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Diviser en multipliant

les approches ...

Quand les mathématiques

remontent aux sources

Marc Moyon et l’ERR

Histoire des Mathématiques au collège 1

Irem de Limoges

REPERES - IREM. N° 93 - octobre 2013

plines représentées dans une dynamique affi-chée de pédagogie par projets.

Les premières séances de notre travail sesont organisées autour d’une série d’exposés àpartir de la lecture de plusieurs articles histo-riques et épistémologiques [1,2,3]. Plusieurs pro-jets ont ensuite été discutés et progressivementmis en place dans les classes avec, entre autres,la création de nouvelles activités mathéma-tiques en sixième et en cinquième ou encore la

À la rentrée 2011, a été créée une E.R.R.(« équipe de recherche et de réflexion » del’Irem de Limoges co-financée par le rectoratde l’Académie) autour de l’introduction d’uneperspective historique dans l’enseignement desMathématiques. C’est en Corrèze, à Brive laGaillarde, qu’une équipe d’enseignants de deuxcollèges différents s’est déclarée volontaire2. Cesenseignants, de Mathématiques, d’Histoire etde Français, avaient déjà eu l’occasion de tra-vailler ensemble et leur participation à l’E.R.R.a permis de nourrir une nouvelle réflexion ausein de ces équipes en s’appuyant en particu-lier sur les travaux de la commission inter-Irem « histoire et épistémologie des mathéma-tiques ». Outre la forte orientation épistémologiqueque chacun voulait suivre, une des principalesmotivations était de pouvoir travailler ensemble(enseignants de collège et de l’IUFM) pouréchanger nos réflexions sur l’enseignementavec la volonté de lier entre elles les disci-

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1 Les enseignants qui ont participé à ce projet aux côtésde Marc Moyon (IUFM du Limousin) sont Jérôme Dufour(Collège Cabanis, Brive la Gaillarde), Josée Dugal, Chan-tal Fourest, Corinne Maury et Valérie Rosier (CollègeD’Arsonval, Brive la Gaillarde) et Pascal Vilatte (IUFMdu Limousin).2 Nous tenons ici à remercier tous les élèves des collègesCabanis et d’Arsonval de Brive la Gaillarde qui ont parti-cipé à ces travaux. Plusieurs de leurs propres constructionsont servi d’illustrations au présent article.


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DIvISER EN MultIPlIaNt

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mise en place d’un projet interdisciplinaire ensixième dont les objectifs pédagogiques s’inté-graient dans les programmes scolaires des dis-ciplines concernées. En plus des compétencesdisciplinaires, nous avions tous présents àl’esprit les objectifs faisant référence aux com-pétences « transversales » du socle : curiositéet créativité, ouverture aux autres, autonomiedans le travail, prise d’initiatives, engagementdans un projet afin de le mener à terme (expo-sé, dossier...).

Les différentes étapes ont été proposées dans les classes entre février et mai 2012. Lefait d’inscrire ces actions dans la durée a per-mis aux élèves de reprendre et d’enrichir au furet à mesure de l’avancée du programme leursproductions antérieures et de trouver des pro-longements. Citons, à titre d’information, un extrait du programme de Mathématiques que nousreprenons ici à notre compte :

Pour prendre du sens pour les élèves, lesnotions mathématiques et les capacités quileur sont liées gagnent à être mises en évi-dence et travaillées dans des situations riches,à partir de problèmes à résoudre. (…) Toutapprentissage se réalise dans la durée, dansdes activités variées et toute acquisition nou-velle doit être reprise, consolidée et enri-chie. [D1, p. 12]

Il s’est donc agi pour l’enseignant à la foisde réactiver des notions déjà présentées etd’ouvrir des pistes concernant de futures connais-sances. Ce modeste article a pour objectif de pré-senter deux des activités réalisées à partir de laréflexion originale des collègues jusqu’à lamise en place effective dans les classes. Les deuxniveaux concernés sont la sixième et la cinquième(11-13 ans) dans le but de montrer une certai-ne continuité dans les apprentissages géométriques.Mais avant cela, nous proposons une brèveprésentation historique des problèmes de divi-

sion des figures qui a fait l’objet d’une confé-rence à destination des élèves lors de la semai-ne des mathématiques de mars 2012. Préci-sons d’ores et déjà que cette conférence n’estpas strictement nécessaire à la conduite desprojets pédagogiques présentés ci-après. Elle peutnotamment être remplacée par une présentationen classe des principaux éléments du préambulehistorique qui suit.

A. — Préambule historique : La division des figures planes.

La division ou le découpage des figures planesest un chapitre géométrique ancien. Il s’agit decouper une figure ou de la partager selon descontraintes géométriques fixées a priori surles grandeurs (longueurs et surfaces) ou surles figures à obtenir après découpage. En par-ticulier, nous retrouvons ce type de problèmesrésolu par les scribes paléo-babyloniens au IIemillénaire avant l’ère chrétienne [4]. Ce cha-pitre n’est pas abandonné dans le corpus de laGrèce antique qui nous est parvenu. Il est illus-tré, à notre connaissance, par deux des plusgrands noms des mathématiques grecques :Euclide avec son ouvrage Sur la division(aujourd’hui perdu dans sa version originel-le), et Héron d’Alexandrie avec ses Métriques.

Nous sommes naturellement conscients del’importance des deux traditions précédentes maisici, notre propos est d’offrir à notre lecteurquelques témoignages de mathématiciens despays d’Islam et du Moyen Âge latin qui serontutilisés dans la suite de l’article [1,2,3]. Dansles mathématiques rédigées en arabe, la divi-sion des figures planes appartient au chapitredu cilm al- misāḥa [science du mesurage] danslequel les mesures de lignes, de surfaces et devolumes occupent une grande place. Dès leIXe siècle, à Bagdad, al-Khwārizmī (m. vers 850)contribue à développer le mesurage des figures


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planes en rédigeant l’ouvrage fondateur del’algèbre : Kitāb al-mukhtaṣar fī l-ḥisāb al-jabr wa l-muqābala [Abrégé du calcul parl’algèbre et la restauration]. En effet, il y insè-re un bāb al-misāḥa [chapitre de mesurage]dans lequel il montre comment certains problèmesgéométriques peuvent être résolus par l’algèbre.Il est intéressant de lire à quels types de personnesl’algébriste de Bagdad destine son ouvrage :

J’ai voulu qu’il [son ouvrage] enferme ce quiest subtil dans le calcul et qui en lui est le plusnoble, ce dont les gens ont nécessairementbesoin dans leurs héritages, leurs legs, leurspartages, leurs arbitrages, leurs commerces,et dans tout ce qu’ils traitent les uns avec lesautres lorsqu’il s’agit de l’arpentage desterres, de la percée des canaux, de la men-suration, et d’autres choses relevant de sessortes. [5, p. 94]

À travers ces mots, il est manifeste que lesmathématiques d’al-Khwārizmī s’adressentaux hommes dans certaines de leurs pratiquesquotidiennes. De nombreuses corporationsd’artisans sont ici visées. C’est ainsi que plu-sieurs juristes sont aussi mathématiciens ouque des géomètres tentent de résoudre des pro-blèmes artisanaux avec en particulier le décou-page des figures. L’un des meilleurs représen-tants de ce dernier groupe est probablement lemathématicien et astronome persan Abū l-Wafā’ al-Būzjānī (940-988). Il rédige, entreautres, le Kitāb fī mā yahtāju ilayhi as-sānīc minacmāl al-handasiya [Livre sur ce qui est néces-saire à l’artisan en construction géométrique]dans lequel il s’intéresse aux pratiques géo-métriques des artisans décorateurs, ou encoredes répartiteurs d’héritage. Il est ainsi amené,au sujet du découpage de carrés, à distinguerles géomètres des artisans :

Un groupe de géomètres et d’artisans se sonttrompés au sujet de ces carrés et de leur

composition, les géomètres à cause de leurpeu d’expérience dans la pratique et les arti-sans à cause de leur dénuement dans la scien-ce de la démonstration; et ce parce que<pour> le géomètre, lorsqu’il n’a pas d’expé-rience dans la pratique, il lui est difficiled’approcher, selon les conceptions de l’arti-san, ce qui est, pour lui, juste à l’aide desdémonstrations à l’aide des lignes. Ce que visel’artisan c’est ce qui lui facilite la construc-tion et lui montre la justesse de ce qu’il voitpar les sens et l’observation; et il ne se sou-cie pas de la démonstration de la chose ima-ginée et <de la justesse> des lignes. Le géo-mètre, <lui>, dès lors que la démonstrationde la chose imaginée est établie, ne se sou-cie pas de la justesse de cela par l’observa-tion alors qu’elle n’est pas exacte. [6, p. 144-154 d’après 7]

Ainsi, Abū l-Wafā’ expose plusieurs pro-blèmes de décomposition et recomposition ducarré qui illustrent cette tension entre géo-mètres et artisans. Il débute par la constructiond’un carré à partir de deux carrés quelconques(cf. annexe 1a), pour se concentrer ensuite surla construction d’un carré à partir, par exemple,de deux, cinq (cf. annexe 1b) ou encore neuf car-rés égaux. La construction d’un carré à partirde trois carrés égaux sera l’occasion de mettreface à face deux procédures géométriquesexpertes et deux procédures d’artisans qui sontgéométriquement erronées mais « justes àl’œil » (cf. figures 1 et 2).

Arrêtons-nous maintenant sur l’une desdeux constructions, géométriquement justes,que propose Abū l-Wafā’. Son énoncé et lafigure correspondante (cf. figure 3) sont :

Nous divisons deux carrés en deux moitiés selonles diamètres, et nous appliquons chacuned’elles à l’un des côtés du troisième carré,en mettant l’angle demi droit de chaque tri-


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angle sur l’un des angles du carré et sa dia-gonale sur le côté du carré. Alors une par-tie du triangle dépasse du côté de l’autreangle du carré. Puis nous joignons les anglesdroits des triangles à l’aide de lignes droites.Ce sera le côté du carré cherché. Alors, dechaque grand triangle, se sépare un petittriangle que nous coupons et que nous dépla-çons vers le triangle apparaissant sur l’autrecôté. [6, p. 144-154 d’après 7]

Si, ici, c’est le lien entre le géomètre etl’artisan qui est illustré. Là, c’est l’interac-tion des mathématiques avec le domainejuridique du partage des terrains à la suited’un héritage ou d’un partage entre copro-priétaires. Les terrains prennent alors desformes géométriques, du carré au trapèze enpassant par le triangle. Pour mieux com-prendre ce type de problème, lisons une deces constructions :

Figure 1

Figure 2


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Et si on nous dit : comment diviser le carréABDG en deux moitiés et aménager un che-min de largeur DH. Nous prolongeons GAjusqu’à M et nous construisons AM égal à GH.Et nous prolongeons AB jusqu’à L et nous tra-çons un cercle à partir du centre G et avecle rayon GM. Le cercle coupe la droite BAau point L. Et nous relions LG. Et nous cou-pons LK <de LG> égal à GH. Et nous tra-çons la droite KETR parallèle à la droiteBAL. Et nous traçons HT parallèle à la droi-te DB. Il y a donc la surface HE égale à lasurface EB. Et voici sa figure. [6, p. 131-132]

De nombreux autres auteurs des paysd’Islam vont contribuer à développer ce cha-pitre mathématique notamment en donnantdes résolutions algébriques à ces problèmes departage.

Ce sera en particulier le cas d’al-Karajī(m. vers 1029) qui propose, entre autres, leproblème suivant :

Si on te dit, tu as un quadrilatère de longueur20 bāb 3 et de largeur 10 bāb, divise-le entretrois personnes : la moitié pour l’un d’eux,le tiers pour un autre et le quart pour unautre de sorte qu’il y ait, en son centre, uneroute de largeur 2 bāb à laquelle aboutissent,par la longueur, les entrées des trois quote-

Figure 3

Figure 4

3 Le bāb est une unité de mesure utilisée en pays d’Islamaussi bien en Orient qu’en Occident.


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parts, l’une par le devant, l’autre par la droi-te et l’autre par la gauche, de sorte que la quote-part du propriétaire du tiers soit à l’avant,selon cette figure.

Figure 5

La procédure pour cela est que l’on pose lalongueur de la route comme la chose. Et tula multiplies par la largeur de la route, et çadonne deux choses et ceci est la surface de laroute. Et tu poses le dix-huit qui reste, <à divi-ser> en deux parties entre les propriétairesde la moitié et du quart parce que ceux-ci vontprendre leurs parts à partir de la droite de laroute et de sa gauche. Une des deux parts est12. Ceci est la largeur de la part du pro-priétaire de la moitié. Et le six qui reste estla largeur de la part du propriétaire du quart.Et la longueur de chacun est la longueur dela route, et c’est la chose. La surface de la partdu propriétaire de la moitié est douze choses.La surface de la part du propriétaire du quartest six choses. Et à partir de cette règle-là, ilfaut que la surface de la part du propriétai-re du tiers soit huit choses. Et la surface dela route est deux choses, et le mesurage totalde cette surface est vingt-huit choses. Et ceciest égal à deux cents. Et la chose seule égalesept bāb et un septième d’un bāb. Et ceci estla longueur de la route. Et il reste la largeurde la part du propriétaire du tiers à partir dela largeur totale de dix bāb : deux bāb et six-septièmes d’un bāb. [8, p. 202-204]

Autrement dit, si la longueur de la route estx, la surface totale est 12x + 8x + 2x + 6x = 28xet on aboutit trivialement à l’équation linéaire28x = 200, qui donne x = 200/28 = 7 + 1/7 commesolution. Le partage en demi, tiers et quart peutétonner dans un premier temps, mais il seretrouve régulièrement dans les textes liés auxpartages successoraux en pays d’Islam res-pectant ainsi certaines règles coraniques. Le par-tage se fait alors effectivement dans le rapportqui est donné par ce que 2 est à 3 et est à 4.

Au XIIe siècle, lorsque l’Europe latine vas’approprier une grande partie du savoir et despratiques scientifiques des pays d’Islam notam-ment grâce aux traductions arabo-latines, lechapitre des divisions des figures ne fera pas excep-tion. Des mathématiciens, comme Fibonacci (XIIIe s.), Jean de Murs (XIIIe s.) ou encore plus tard Christophorus Clavius (m. 1612) etSimon Stevin (m. 1620), vont à leur tour s’empa-rer de ce type de problèmes et les développerà leur manière dans leur « géométrie pratique ».Les artisans décorateurs et les répartiteursd’héritage ne seront pas mentionnés mais les pro-blèmes mathématiques restent bien dans lemême esprit. Terminons donc cet aperçu his-torique par un problème proposé et double-ment résolu par Fibonacci.

C’est alors l’arithmétisation des grandeursqui est en jeu dans la démonstration alternati-ve du mathématicien pisan avec l’utilisation de

la formule .

Lorsque tu veux diviser quelque triangle quece soit en deux parties égales à partir d’un som-met, trace une ligne à partir de ce sommetjusqu’au milieu du côté étendu sous celui-ci ;et tu auras ce que tu désires. Par exemple, nousvoulons diviser le triangle ABG en deux [par-ties] égales à partir du point A.

base 3 hauteur

2


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Que soit divisé le côté BG en deux [parties]égales au point D (cf. figure 5) et que soit tra-cée la droite AD. Je dis que le triangle ABGest divisé en deux triangles égaux. En effet,les deux triangles ABD et ADG sont égauxl’un à l’autre, puisqu’ils sont sur des baseségales, et sous la même hauteur qui est la hau-teur menée de A sur la ligne BG. En effet, deuxtriangles construits l’un et l’autre sous lamême hauteur sont comme les bases d’aprèsle début du sixième Livre [d’Euclide] 4. C’estpourquoi, BD est à DG comme le triangle ABDest au triangle ADG. Comme la base BD estégale à la base DG, alors les deux trianglesABD et ADG sont égaux l’un à l’autre commece qui a été dit précédemment.

Ou bien si nous traçons la hauteur issue deA sur la ligne BG (cf. figure 6), elle-mêmesera de toute façon la hauteur de chacun desdeux triangles ABD et ADG. La multiplica-

tion de la moitié de la hauteur par les basesBD et DG égale la multiplication de la moi-tié de cette même hauteur par la base BG.Comme de la multiplication de la moitié dela hauteur par les bases BD et DG provientl’aire des triangles ABD et ADG. Alors il estdémontré que le triangle ABD est égal au tri-angle ADG. [10, p. 110]

B. — Genèse et réalisation d’un projetinterdisciplinaire en sixième (11-12 ans) : « De l’ornementation à la géométrie… de l’artisan au géomètre… »

Même si la lecture s’en trouve moins flui-de, nous avons choisi de présenter tour à tourles éléments disciplinaires du projet pourmieux comprendre comment les enseignantsde Mathématiques, Français et Histoire ont arti-culé, dans leur propre discipline, le projetdans sa globalité.

B1. Le travailde l’enseignant de Mathématiques

Les séances de Mathématiques se sont arti-culées autour de deux problèmes. Le premier,« Comment reconstituer un carré à partir de deuxcarrés identiques ? », peut être vu comme pré-paratoire au second qui demande plus deréflexion. Ce dernier se propose d’énoncer desprocédures pour reconstituer un carré à partirde trois carrés identiques. Les activités pré-sentées répondent aux objectifs disciplinairessuivants [D2, Palier 3 /Compétence 3, p. 35] :— Manipuler : puzzle en bois, découpages

sur papier quadrillé, assemblages, pavages,collages.

— Construire : utilisation des instruments degéométrie, tracé sur des supports diffé-rents papier (papier quadrillé, Canson).

Figure 6

Figure 7

4 Il s’agit ici de la première proposition du Livre VI :« Les triangles et les parallélogrammes qui sont sous la mêmehauteur sont l’un relativement à l’autre comme leursbases. » ; [9, vol. 2, p. 155].


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— Nommer, coder : utilisation du vocabulai-re des objets géométriques, des symboles,des notations, des codages de longueurségales, d’angles.

— Mesurer : des longueurs et des angles.— Calculer : réintroduction de la « fraction par-

tage » dans un cadre géométrique, fractionde l’unité, écriture d’égalités, calculs avecdes fractions d’aires...

— Ecrire : rédiger le texte d’un programme deconstruction.

— Raisonner— Revenons maintenant aux problèmes.

Problème n°1 : Reconstituerun carré à partir de deux carrés identiques.

Trois séances du cours de Mathématiqueslui sont consacrées (environ 2h 30). C’est lamanipulation qui occupe la première d’entreelles. La question « Comment reconstituer un carréà partir de deux carrés identiques ? » est poséeoralement de manière à permettre un échange dequestions et de commentaires au sein de la clas-se. Elle est finalement écrite au tableau commetâche à réaliser. Le travail se déroule en binômeà partir de deux carrés identiques découpés dansdu papier quadrillé pour faciliter les tracés et ledécoupage. Après une phase d’essais succes-sifs et de tâtonnement, plusieurs binômes vontassez vite trouver l’une ou l’autre des solutionsrecherchées. Ils ont majoritairement eu l’idée dudécoupage des deux carrés suivant les diagonales(cf. figure 8), un groupe a trouvé seul, sans aide,l’autre possibilité en conservant un carré (cf.figure 9). L’idée de faire apparaître des figuresparticulières, triangles rectangles isocèles, etnon de découper de façon quelconque est assezvite apparue comme très précieuse.

Un groupe découpe ou plie sans aucuneréflexion préalable et n’avance pas : l’enseignantlui donne alors un coup de pouce (une indica-

tion visuelle) et projette des éléments décora-tifs où certains motifs illustrent une solution auproblème posé (cf. figures 10 et 11). Tous lesgroupes ont alors des éléments leur permet-tant de produire une réponse.

Figure 8Figure 9


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A la fin de la séance, après un momentd’échange collectif où l’on évoque le nomde tous les éléments des compositions etles axes de symétrie des deux pavages, tousles élèves sont à même de mettre en formeune fiche avec collage et coloriage de deuxpuzzles (cf. figures 8 et 9). Ils terminerontce travail chez eux.

Les différentes manipulations ont per-mis à tous les élèves d’être actifs et des’impliquer dans cette première recherche.Chaque élève a intégré le problème géomé-trique posé, et il reste maintenant à exploi-ter les deux puzzles obtenus. Cette exploi-tation se déroule en deux parties. Pour lapremière, ce sont les grandeurs et mesuresqui sont au programme. Au préalable, lesnotions d’aire et de périmètre, les fractions« partages » et les « nombres fractions » ontété traités. L’objectif est de comparer les airesde chacun des éléments constituant les deuxpuzzles différents sans les mesurer. Lesréponses des binômes sont projetées autableau et commentées. Peu d’erreurs appa-

raissent. Une contrainte supplémentaire estajoutée : une unité d’aire est fixée, celle du« grand carré ». Ils expriment alors l’aire dechaque figure à l’aide de fractions (cf. figu-re 12). Tous les groupes ont réussi à trou-ver de bonnes réponses. Ils ont ensuite pourconsigne de trouver le maximum d’égalitésoù interviennent ces fractions. La fraction-partage est ainsi réintroduite dans un cadregéométrique original que les élèves s’appro-prient très vite car ils ont déjà réfléchi, avecla construction des puzzles, au rapport desaires des figures concernées. Cela donne dusens à leur travail et ils font preuve de beau-coup d’initiatives.

Avec les supports visuels (puzzle / figures/ code couleur), tous les groupes parviennentà écrire des égalités où vont intervenir demi,quart, huitième. Les élèves les plus « intuitifs »vont jusqu’à écrire des sommes où figurent desfractions de dénominateurs différents ainsique des produits de fractions par un entier(cf. figure 13). À la fin de la séance, la syn-thèse des travaux des différents groupes est riche

Figure 10 : Détail d’une mosaïque de la Mos-quée Hassan II, Casablanca (XXe siècle)

[photo personnelle]

Figure 11 : Détail d’un décor mural,Grenade (IXe -Xe siècles) [11, p. 97].


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et animée. Toutes les traces écrites des élèvessont complétées, chacun choisissant les rela-tions qui lui « parlent» (plus ou moins élabo-rées) faisant intervenir les fractions d’aires(cf. figures 12 et 13).

Des remarques sont également faites (àl’oral de façon informelle) sur les angles etleurs mesures (90°, 45°) et sur la somme de cer-tains d’entre eux. On évoque des parallèles,des perpendiculaires, des points alignés, etc. Pro-gressivement les productions s’enrichissentencore avec des mesures, des codages... (cf.figures 8 et 9, 12 et 13). L’exploitation desdeux figures-puzzle est allée ce jour-là au-delàdes attentes initiales de l’enseignant.

Tous les élèves sont alors prêts, plusieurs joursaprès, pour la seconde partie entièrement dédiée

à un travail d’écriture. Il s’agit en effet de décri-re précisément la façon d’obtenir le carré (à par-tir des deux autres) à une personne qui ne sau-rait pas le faire. Le travail s’effectue au brouillonet par binôme. Chaque binôme choisit un puzz-le à décrire et a pour consigne de penser à utili-ser le vocabulaire des figures géométriques. Laséance se termine en plein travail d’écriture etse poursuivra chez eux ou en étude. Le lende-main, au début du cours suivant, les produc-tions sont vidéoprojetées, les principales erreurs(notations, vocabulaire spécifique, syntaxe,étapes à scinder...) sont corrigées en plénière.

Tous les éléments sont traités et mis encommun, cela renforce les échanges entre euxet installe un climat de respect mutuel. Ce tra-vail, qui s’inscrit dans la progression de sixiè-me après des exercices plus simples de recherche

= ou =

1 = = + + +

1 5121

183 4

183 4

12

48

12

143 4

14

14

14

14

Figure 12 Figure 13


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de programmes de construction, a permis àcertains de réviser le vocabulaire de géométrieet surtout de travailler sur la chronologie des étapesde la construction. Un groupe « testeur », consti-tué des élèves qui avaient le plus de mal à rédi-ger un programme de construction, est chargéde vérifier si les deux textes contiennent bien

les consignes nécessaires et suffisantes en fai-sant les figures sur Canson avec les données rédi-gées par leurs camarades.

Les textes « validés » sont recopiés et com-plètent la fiche (cf. figures 14 et 15) où figurentmaintenant de nombreuses informations !

Figure 14

Figure 15


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Problème n°2 : Reconstituer un carré à partir de trois carrés identiques.

Le travail se déroule toujours en binôme àpartir de trois carrés identiques découpés dansdu papier quadrillé. Les élèves disposent du texteancien étudié en Français (cf. annexe 2a-2b), du document photo (cf. annexe 2a) et du puzzle en bois qu’ils peuvent manipuler. Tousles groupes s’engagent dans la résolution du pro-blème avec intérêt mais, au bout d’un certaintemps, le manque de méthode, de soin et de pré-cision découragent plus d’un élève. Certains ontl’idée de numéroter les éléments du puzzlepour mieux s’y retrouver, d’autres décident decolorier chaque élément. Les productions sontde qualité inégale et ne satisfont pas tous lesbinômes. L’étape du collage va elle-aussi êtretrès décevante et il est bien souvent difficile d’obte-nir le résultat attendu (cf. figure 16). Le travailde « l’artisan » s’avère donc bien délicat ! Parcontre, le passage à la construction sur Canson,c’est-à-dire une partie du travail du « géo-mètre » avec ses instruments (règle, équerre etcompas), a réservé d’agréables surprises (cf. figu-re 17) ! Cette séance qui s’inscrit dans la pro-

gression de sixième après les constructions detriangles et de quadrilatères particuliers estl’occasion de mettre en application les com-pétences déjà travaillées par ailleurs. Chaqueélève, même les plus en difficulté, exprime lavolonté de réaliser une « belle » figure quitteà se reprendre plusieurs fois. L’aide entre pairsse révèle ici aussi très profitable.

Au début du cours suivant, les productionssont vidéoprojetées et commentées. Les figuressont codées et toutes les remarques listées,triées, corrigées au tableau. C’est à nouveau uneformidable opportunité pour travailler le voca-bulaire de géométrie, les égalités de longueurset d’angles, de mesurer (notamment avec lerapporteur), de comparer, de calculer dessommes d’angles et d’étudier l’éventuelle pré-sence de symétries. La notion de symétrie cen-trale est évoquée même si elle n’est pas au pro-gramme de sixième : certains avec du papier calqueont mis en évidence le demi-tour pour expliquerl’égalité des aires des petits triangles. Rien nepeut être rigoureusement justifié à leur niveau,mais des pistes sont évoquées et des écrits derecherche sont rédigés au brouillon. Pour noter

Figure 16 Figure 17


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les angles, on utilise des lettres grecques. À cetteoccasion et à la demande des élèves, un « petit »alphabet sera fourni par l’enseignante de lettresclassiques. Le débat de classe est vraimentriche et animé, tous participent activement pourque chacun finalise sa propre fiche avec tousles éléments traités et mis en commun.

B2. Le travail de l’enseignant de Français

Le dernier problème posé par la collèguede Mathématiques est une traduction fran-çaise d’un texte arabe original (Xe siècle). S’ila la forme textuelle d’un énoncé médiéval, ilne correspond pas aux problèmes mathéma-tiques habituellement donnés aux élèves de col-lège. En effet, il présente des particularités derécit que l’on tend à éviter aujourd’hui, notam-ment pour plus de clarté ou de rigueur scien-tifique. Il se présente avec de nombreux lienslogiques, au sens parfois inconnu des élèvesde sixième. Il mélange les temps de la conju-gaison (présent/futur), enfin il présente desphrases longues et complexes d’un point devue syntaxique.

Il n’offre donc pas un sens immédiatementperceptible et on sait combien il est importantde ne pas laisser un élève sans outil devant untexte qui ne se révèle pas à première lecture, souspeine de laisser place au découragement. C’estdonc à ce niveau que l’enseignante de lettres peutet même se doit d’intervenir. Il s’agit alorsd’amener l’élève à lire et comprendre un textedont le sens n’est pas donné et par conséquentà se demander quelles compétences de lecturemettre en œuvre, compétences qui sont iciessentiellement lexicales et syntaxiques.

Se déroulant en trois étapes principales,le travail en français a plusieurs objectifsrelevant du programme de sixième et dusocle commun de connaissances et de com-pétences [D3, p. 1-13] :

— Lire un texte court et le replacer dans uncontexte,

— Déduire le sens de mots inconnus ou obs-curs du contexte et plus généralement tra-vailler sur un lexique spécifique,

— S’exprimer à l’oral par rapport à un texte,— Découvrir la phrase complexe (subordon-

nées, antécédents ou référents de pronoms),— Observer, identifier et manipuler des connec-

teurs,— Ecrire un texte avec des contraintes d’écri-

ture.

La première étape est nécessairement uneou plusieurs lectures silencieuses, seules lectures-compréhension et qui épousent le rythme de cha-cun (rythme très varié en sixième selon lesélèves). La deuxième étape consiste en le repé-rage du vocabulaire mathématique, de la maî-trise duquel on s’assure, vocabulaire qui estici assez simple paradoxalement. L’élève prendainsi assez vite confiance et peut utiliser des cou-leurs pour souligner ces repères. La troisièmeétape, un peu plus complexe que les repérageslexicaux précédents, nous a fait faire un retoursur le contexte de ce problème, tel qu’il estproposé en introduction. Cela a été la tâche del’enseignante de mettre en rapport ce texte etl’idée de savoir-faire de l’artisan. Il est donc pro-posé aux élèves de relever les verbes du texteen différenciant ceux qui relèvent de l’action,du « faire » de ceux qui expriment le résultatde ces actions.

Enfin, ce texte met en œuvre une syntaxecomplexe pour un élève de sixième. Il s’agitdonc de vérifier le sens et la valeur de lienslogiques tel « alors » qui a ici un sens consé-cutif, tandis que les élèves privilégient tou-jours son sens temporel. Les pronoms per-sonnels et relatifs sont aussi très présents. Ilconvient d’aider les élèves à repérer les réfé-rents ou antécédents de ces pronoms.


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L’enseignant de français peut voir, dans cetravail interdisciplinaire, plusieurs intérêts poursa propre discipline. La séance se déroulant enprésence des deux professeurs, les élèves onttout de suite l’intuition que des compétences dansles deux disciplines vont leur être demandéessur un même support : ici, c’est le Français auservice des Mathématiques. Il est alors plusfacile de leur montrer que cette démarche peuts’étendre à tous les textes.

C’est une lecture « en action », en surlignant,colorant des éléments du texte, voire en ledécoupant en différentes étapes. L’élève estdonc comme un artisan, lui aussi avec dessavoir-faire, face à un texte dont le sens n’appa-raît pas à la première lecture, la lecture-décou-verte qui est souvent la seule que fait un élèvede sixième. Il découvre ainsi la nécessité d’unelecture plus analytique pour laquelle il saitconvoquer des savoirs. C’est au tour de l’ensei-gnant de Mathématiques de profiter de ce tra-vail pour les autres énoncés (définitions, pro-blèmes, règles…) qui emplissent le cahier deMathématiques.

Plusieurs prolongements ont été envisa-gés pour faciliter le passage à la narration desélèves de sixième : écrire un récit à partir del’image d’un artisan au travail en incluant ce texteproblème, écrire un récit du point de vue d’unscribe égyptien à partir de notes de la conférence(cf. annexe 3) ou encore écrire la biographie d’unmathématicien à partir de divers documents(cf. annexe 4).

B3. Le travail de l’enseignant d’Histoire

Concernant la contribution du professeurd’Histoire au projet, il a été nécessaire de trou-ver sa place, en particulier pour comprendre ceque cet enseignant pouvait apporter dans lecadre de sa discipline. Dans l’élan de la miseen place du nouveau programme, l’idée de lier

Mathématiques et Histoire avait germé avant ceprojet dans le cadre de travaux communs sur l’His-toire de la numération notamment. En outre, leprogramme d’Histoire de sixième, enrichi de l’His-toire des Arts, permettait d’ouvrir de nouveauxhorizons. Plusieurs interrogations se sont alorsposées : (1) définir l’intervention en classe unefois le sujet d’étude trouvé (comment l’intégrerdans la progression ? Comment procéder ?Avec quels documents ?....), (2) définir lescompétences du socle à mobiliser, (3) cher-cher à intégrer le projet dans le cadre de l’His-toire des Arts et enfin, (4) réfléchir à la traceécrite des élèves.

Les premières séances de l’ERR ont per-mis de définir le sujet d’étude à partir du texted’Abū l-Wafā’ (cf. préambule historique). Si nousdevions résumer ce projet en un titre, ce seraitalors : « De l’ornementation à la géométrie...de l’artisan au géomètre… ». Ce sujet cherchedonc à comprendre comment le savoir-fairedes hommes a pu précéder ou impulser larecherche de la vérité scientifique.

Face à ce sujet et au texte de départ, laplace de l’Histoire est apparue clairement puis-qu’il a fallu remonter à la source des Mathé-matiques et se poser la question suivante :« Pourquoi les hommes ont-ils eu besoin de déchif-frer/comprendre le monde ? ». Il s’est doncagi, dans le cadre du programme d’Histoire desixième qui s’étend de l’Antiquité aux débutsdu Moyen-Âge, de trouver un angle d’approchecohérent en sachant que le texte d’Abū l-Wafā’est daté de la période médiévale.

La réalisation d’un diaporama a semblé lamise en œuvre la plus simple, permettant« d’ouvrir l’appétit » des élèves. Mais pour« accrocher les élèves », il était nécessaired’avoir traité préalablement certaines parties duprogramme. Récapitulons brièvement la démarchequi a été privilégiée [D4] :


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— Traiter la partie 1 d’Histoire : • La Mésopotamie dans le cadre del’Orient ancien au IIIe millénaire avantJ.C., ce qui permet d’évoquer la néces-sité pour les hommes de savoir compteravant de savoir écrire.

— Traiter les deux premiers chapitres de la par-tie 2 de la civilisation grecque :

• Aux origines du monde grec• La cité des Athéniens aux Ve-IVesiècles avant J.C.

— Profiter de la dernière leçon sur Alexandrele Grand et la « Grèce des savants » pourintroduire le volet Histoire de ce projet : lediaporama « Comment les savants de l’anti-quité et du Moyen Âge cherchent-ils àcomprendre et à déchiffrer le monde ? »

— Faire travailler les élèves en autonomiesur la fiche d’activité (cf. annexe 5)

C’est donc au moment de traiter la « Grècedes savants » que le volet Histoire a pu semettre en place. Sur une heure de cours d’His-toire et en présence du professeur de Mathé-matiques, le diaporama est projeté. L’ensei-gnant se sert des documents pour tisser un lienentre les différentes civilisations qui profitentdes découvertes des prédécesseurs pour lesenrichir, les démontrer. Il a donc fallu expliquerles documents pour mettre en évidence leurrelation. En outre, étant donnée la complexitéde certaines périodes historiques, le professeurd’Histoire doit « zoomer » certains points, cer-tains moments de l’Histoire, certains personnages.Tout dire, tout montrer n’est pas possible.

Le choix du diaporama pour le volet His-toire est très intéressant car cela a l’avantage decaptiver un public souvent peu habitué à l’uti-lisation du vidéoprojecteur. Les documentsvisionnés, même si certains sont difficilesd’accès pour des élèves aussi jeunes, sont expli-

qués, animés parfois et cette intervention lais-se une grande place aux réactions des élèves quipeuvent être interrogés sur la nature du docu-ment, son époque, l’auteur… mais qui peu-vent également à tout moment interromprel’enseignant pour poser des questions.

Dans le cadre de cet article et pour per-mettre à notre lecteur de s’approprier le maté-riel présenté, il est important de détailler les élé-ments que nous avons privilégiés lors de lapréparation du diaporama. Après un rappel de lanécessité pour les hommes de maîtriser les quan-tités dès la Préhistoire et l’apport des civilisationsorientales (Mésopotamie et la naissance de l’écri-ture au IVe millénaire avant J.C.), le diaporamas’articule autour de trois points essentiels :

1) Le début du raisonnement scientifique en pre-nant comme illustration une carte des espacesfortement influencés par la culture grecque(VIe-Ier siècles avant J.C.) sur laquelle sont loca-lisés les grands savants et philosophes commeÉratosthène et Euclide. Le monde selon Era-tosthène est aussi présenté [A].

2) La diffusion des savoirs scientifiques avecle rôle des hommes de pouvoir comme Alexandrele Grand. Une carte de ses conquêtes est expo-sée, puis un plan d’Alexandrie au IVe siècle avantJ.C. et une représentation imaginaire de laBibliothèque d’Alexandrie permettant de pré-senter la civilisation hellénistique [B]. Unecarte des routes maritimes et terrestres du com-merce au début du Moyen Âge, une carte dumonde musulman au VIIIe siècle faisant res-sortir Bagdad5 sont extrêmement utiles pour com-prendre la géographie du bassin méditerranéen,principale scène des échanges scientifiques.Un extrait du Livre des Catégories des Nations

5 Ici, nous sortons du programme de sixième, il fautdonc expliquer, situer et répondre aux questions quipeuvent émerger.


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de Sāciḍ al-Andalusī (XIe siècle) montre lecalife abbasside al-Ma’mūn et son goût prononcépour les sciences, ce qui nous permet d’évoquerle rôle du mécénat dans le développement dessciences en pays d’Islam :

Le calife abbasside al-Mamoun s’occupa derechercher la science là où elle se trouvait.Il entra en relation avec les empereurs de Byzan-ce, leur fit de riches présents et les pria delui faire don des livres de philosophie qu’ilsavaient en leur possession. Les empereurs luienvoyèrent ceux des ouvrages de Platon,d’Aristote, de Galien, d’Euclide, de Ptoléméequ’ils détenaient. Al-Mamoun choisit alorsdes traducteurs; la traduction en ayant été faite,avec toute la perfection possible, le calife pous-sa ses sujets à les étudier. [12, p. 100]

Enfin, une miniature d’al-Wāsilī (XIIIesiècle) d’une bibliothèque [C] et une copied’un folio manuscrit présentant une traductiongréco-arabe du théorème dit « de Pythagore »[13, p. 74] nous offre l’occasion de montrer lerôle des traductions d’une tradition scientifiqueà une autre dans la diffusion des savoirs et pra-tiques scientifiques.

3) La vérité scientifique ou l’esthétique ? Pourapporter des éléments de réponse à cette ques-tion, nous avons choisi des reproductions del’observatoire de Gralata au XVIe siècle [D],la carte du monde selon le géographe al-Idrīsī[E], un hadith [parole du prophète] interdisantla représentation humaine accompagnant des pho-tographies de palais arabo-musulmans, commel’Alhambra de Grenade par exemple, et demosquées où la décoration est massivementgéométrique : « Gardez-vous de représenter leSeigneur ou la créature ; ne peignez que les arbres,les fleurs, les objets inanimés » [14, p. 17].Nous terminons avec une photographied’aujourd’hui montrant un artisan au travail, avecses outils pour réaliser des mosaïques de déco-

ration en faisant remarquer l’absence d’ouvrageset d’instruments mathématiques qui permet decommenter l’extrait du texte d’Abū l-Wafā’(cité précédemment).

Pour garder une mémoire de cette présen-tation, il est nécessaire de fournir une traceécrite aux élèves. Nous avons choisi de luidonner la forme d’une fiche que les élèves doi-vent compléter seuls ou en groupe en effectuantéventuellement quelques recherches (cf. annexe 5).

Cette démarche en Histoire permet de vali-der plusieurs des compétences du socle com-mun de connaissances et de compétences notam-ment les items correspondant à la culturehumaniste. Les compétences sociales et civiquespeuvent aussi faire l’objet d’une validationdans le cadre d’un comportement responsablepour comprendre l’importance du respect mutuelet accepter toutes les différences.

Le bilan est là-encore très positif. En par-ticulier, pour les élèves, cela a nettement éveilléleur curiosité quant au rôle des philosophes, dessavants et à la puissance scientifique et cultu-relle des pays d’Islam, ce qui est au program-me de cinquième.

B4. Conclusion

Ce travail, mené en interdisciplinarité, a per-mis d’abord d’éveiller la curiosité des élèvesà la fois à partir de problèmes anciens, dedémarches concrètes et de textes historiques ori-ginaux d’accès a priori complexe. Notredémarche s’est appuyée sur la spontanéité etla fraîcheur d’élèves de sixième sans qu’ils seposent de questions parasites sur le bien-fondédes différents travaux proposés. Au contrairechacun, selon son niveau, ses difficultés, sescompétences, s’est senti concerné par sa tâcheau sein de son binôme, puis a bénéficié deséchanges au sein de la classe.


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Certains sont allés au-delà de la demandeet ont pris l’initiative de créer des dossiers – tra-vail qui dépasse la simple compilation – avecdes titres, un sommaire, une classification, descouleurs, des illustrations… ce travail a étémené en autonomie, à la maison.

Cette interdisciplinarité a permis d’allerplus loin dans l’étude d’un texte ancien, expé-rience riche qui a consisté à se confronter à untexte dont le sens se dérobe à une premièrelecture (lexique, syntaxe anciens ou obscurs) etqui se révèle progressivement grâce à diversesdémarches (relevés de champs lexicaux, précisionssyntaxiques…) De plus, ce sens dévoilé adébouché sur une démarche et des instructionsconcrètes (dessins, découpages).

Enfin ces travaux ont sensibilisé les élèvesà des méthodes et des savoirs dont ils ont com-pris la cohérence – l’exemple le plus simple enest l’utilisation à leur demande de lettres grecquespour noter les angles. Le texte problème s’estinscrit dans l’Histoire et la chronologie puis dansune démarche de langue qui relève pour eux ducours de Français dont ils ont dû convoquer lesacquis spécifiques. De plus, grâce à la confé-rence de Marc Moyon, le lien a été fait entre l’arti-san et le géomètre et a permis d’aborder l’idéede pavage et de décors donc la notion de Beauqui aurait pu trouver un prolongement en His-toire des arts (étude de pavages en peinture et

architecture, l’École d’Athènes de Raphaël, lesfigures de savants astronomes-mathématiciens-poètes…) Et c’est sans doute toute la richessed’un tel travail interdisciplinaire de ne pas avoirépuisé les envies des élèves et les perspectivespossibles des enseignants !

C. — Couper les triangles en deux et les quadrilatères en quatre. Des activités mathématiques et informatiques en cinquième (12-13 ans).

Dans cette dernière partie, l’introduction d’uneperspective historique dans l’enseignement desMathématiques se présente sous une formebien différente du projet interdisciplinaire pré-cédent. En effet, l’Histoire des Mathématiquesintervient ici davantage au niveau de la formationdes collègues engagés dans l’ERR « Histoiredes mathématiques au collège » qu’au niveaud’une mise en place effective en classe.

Grâce à la lecture de deux articles d’Histoiredes Mathématiques [1, 3], nous avons décidé demettre en place en cinquième deux séances deMathématiques illustrant l’Histoire de la géo-métrie euclidienne (propriétés élémentaires etpartage de figures planes) en privilégiant unedémarche de recherche et l’exploitation d’un logi-ciel de géométrie dynamique. Ces deux activi-tés s’appuient sur le paragraphe ci-dessous desinstructions officielles [D1, p. 24, p. 26] :

3.1 Figures planes(…)Médianes et hauteursd’un triangle.

— Connaître et utiliser la défi-nition d’une médiane (…) d’untriangle.

Ces notions sont à relier au travail sur l’aired’un triangle. La démonstration des pro-priétés de concours n’est pas envisa-geable en classe de cinquième. (…)

4.3 AiresParallélogramme, triangle

— Calculer l’aire d’un parallé-logramme— Calculer l’aire d’un triangleconnaissant un côté et la hauteurassociée.

La formule de l’aire du parallélogrammeest déduite de celle de l’aire du rectangle.Le fait que chaque médiane d’un tri-angle le partage en deux triangles demême aire est justifié.


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L’activité « partage d’un triangle »

C’est en réalité la notion d’aire, qui est aucœur du programme de la classe de cinquième,qui a retenu notre attention. C’est bien cette notionqui est centrale dans la première activité « Par-tage d’un triangle » (cf. annexe 6). Nous noussommes arrêtés sur la propriété de la médianequi partage un triangle en deux triangles demême aire avec les propositions 37 et 38 du LivreI des Éléments d’Euclide 6 sous-jacentes dansla démonstration de ladite propriété. L’idée aété de construire une activité dans laquelle unepremière partie permettrait aux élèves de démon-trer les deux propositions des Éléments puis unedeuxième partie où il leur faudrait réinvestir cerésultat pour justifier le partage équitable d’unterrain triangulaire.

Aussi avons-nous voulu privilégier unedémarche expérimentale sur différentes figureset, pour cela, l’outil informatique nous a parubien adapté et conforme aux exigences duprogramme :

Les travaux de géométrie plane prennenttoujours appui sur des figures dessinées, sui-vant les cas, à main levée, à l’aide des ins-truments de dessin et de mesure, ou dans unenvironnement informatique. Ils sont conduitsen liaison étroite avec l’étude des autresrubriques. Les diverses activités de géomé-trie habituent les élèves à expérimenter et àconjecturer, et permettent progressivement des’entraîner à des justifications mettant enœuvre les outils du programme et ceux déjàacquis en classe de 6ème. [D1, p. 23]

Enfin, nous avons complété la fiche d’acti-vité avec une introduction présentant brièvementle cadre historique des problèmes proposés (cf. annexe 6).

L’activité « Partage d’un triangle », pré-vue en une heure, est réalisée en salle infor-matique en binôme (par nécessité vu le nombred’élèves et de postes informatiques). En pré-requis, les élèves doivent connaître la formu-le de l’aire d’un triangle et être familiarisés avecl’utilisation d’un logiciel de géométrie dyna-mique. Ici, c’est le logiciel libre Geogebraqui a été utilisé. Nos objectifs sont triples :d’abord, appliquer un programme de construc-tion avec un logiciel de géométrie, puis cal-culer et comparer des aires et enfin rédiger unepetite séquence déductive.

Tous les élèves constatent que la mesure del’aire reste la même. Ensuite, de nombreuxélèves n’utilisent pas [AH] comme hauteur ettracent spontanément la hauteur issue de M1 puis

celle issue d’un nouveau point M2. Si l’écritu-

re littérale de l’aire du triangle ABC ne pose pasde problème, beaucoup ont du mal à conclureavec deux expressions égales qui s’écriraient

= et = .

Il faut alors les guider pour faire intervenir lalongueur de la hauteur [AH] commune aux tri-angles ABM de base [AB], pour tout point M de(d). La synthèse de cette expérimentation per-met de revenir sur les énoncés de la proposition37 du Livre I des Éléments d’Euclide et, par exten-sion, de la 38 du même livre.

Dans la partie « application » de l’acti-vité, alors que la figure dynamique permet àune grande majorité d’élèves de placer lemilieu de [RE] et tracer la médiane (terme enco-

AAM1B

AB 3 M1N1

2AAM2B

AB 3 M2N2

2

6 Proposition I. 37 : « Les triangles qui sont sur la mêmebase et dans les mêmes parallèles sont égaux entre eux. »,[9, vol. 1, p. 264].Proposition I. 38 : « Les triangles qui sont sur des baseségales et dans les mêmes parallèles, sont égaux entreeux. », [9, vol. 1, p. 265].


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re inconnu pour eux), la démonstration de lajustesse de cette construction est difficile. Enparticulier, à notre grande surprise, les élèvesne font pas le lien entre la figure obtenue etles énoncés des propositions des Élémentsd’Euclide vus précédemment. La lecture del’introduction historique se révèle alors vrai-ment importante et amène la majorité desélèves à tracer la parallèle à (ER) passant parP. La synthèse de cette activité est alors réa-lisée au début du cours suivant. Elle nous apermis de rédiger une trace écrite correspon-dant à la définition de la médiane d’un triangleet la propriété d’équipartition de ladite figu-re. C’est aussi l’occasion de débattre de l’exis-tence éventuelle de plusieurs solutions duproblème posé et donc de l’existence des troismédianes d’un triangle.

L’activité « un quadrilatère en quatre ! »

En voulant prolonger ce travail pour nouspermettre de réinvestir la propriété des médianes,nous avons découvert, dans de nombreuxmanuels scolaires de cinquième, la présencede plusieurs exercices et activités centrés surla division de triangles ou de quadrilatères. Dansla plupart des manuels consultés, nous avonsalors pu regretter, pour les enseignants etélèves lecteurs, l’absence de présentation his-torique de ces problèmes. Néanmoins, notreattention a été retenue par une activité infor-matique proposant une division de quadrila-tère [D5, p. 251] dont nous nous sommeslibrement inspirés pour créer un travail pratique,à nouveau en salle informatique et en binôme(cf. annexe 7). Outre la manipulation du logi-ciel de géométrie pour réaliser une figure pluscomplexe, nos objectifs sont ici de recon-naître et utiliser la propriété de la médianed’un triangle, penser à la somme des aires enaidant éventuellement les élèves en difficul-té, formuler une conjecture et rédiger uneséquence déductive.

Comme dans le cas de l’activité « partagede triangle », la partie expérimentale est réus-sie par l’ensemble des élèves. Les difficultés appa-raissent au moment de rédiger la démonstrationoù les demandes d’aide sont importantes mêmesi nous avions déjà travaillé, à plusieurs reprises,la rédaction de séquences déductives.

Conclusion

Globalement, grâce aux séances de travailde l’ERR, nous avons facilement pu mettre enplace des activités en cinquième pour aborderune notion du programme sous un angle diffé-rent par rapport aux années précédentes. Sur-tout, les lectures, les recherches et les réflexionsau sein de l’équipe nous ont permis de nous for-mer, autant que faire se peut, à l’Histoire desMathématiques et à son introduction dansl’enseignement des Mathématiques. La trans-mission du savoir de l’enseignant à ses élèvess’en est trouvée facilitée grâce à une approcheoriginale qui a semblé répondre à l’une desprincipales attentes des élèves : l’utilité desmathématiques.

D. — Conclusion générale.

Pour les enseignants de l’ERR « Histoiredes Mathématiques au collège », la découver-te de nouveaux épisodes de l’Histoire desMathématiques a permis aux uns de revisiter ladiscipline qu’ils enseignent depuis plusieursannées et aux autres de penser leur propre dis-cipline (Histoire et Français) en écho avec lestravaux réalisés en classe de Mathématiques.

Notre présentation conjointe de la mise enplace en classe de plusieurs activités géométriqueset d’éléments de réflexions menées au sein denotre groupe IREM illustre modestement ceque peut être l’introduction d’une perspective


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historique dans l’enseignement des Mathéma-tiques. Comme les travaux de la CII « épisté-mologie et histoire des mathématiques » l’ontdéveloppé et continuent à le démontrer [15] :ladite introduction, moteur d’interdisciplina-

rité, peut prendre plusieurs formes et intervienttant au niveau des élèves, c’est-à-dire en clas-se, que pour permettre, en amont, une meilleu-re réflexion de l’enseignant sur l’objet ou la notionà enseigner. Ne nous en privons pas !

Table des annexes

Annexe 1 : Exemples de travaux d’élèves réalisés en autonomie suite au pro-jet interdisciplinaire « De l’ornementation à la géométrie... de l’artisan au géo-mètre… »

Annexe 2a-b : « Un élément d’ornementation avec trois carrés identiques »

Annexe 3 : « Le scribe »

Annexe 4 : « La biographie d’Euclide »

Annexe 5 : « Pourquoi les hommes ont-ils eu besoin de déchiffrer/comprendrele monde ? »

Annexe 6 : « Partage d’un triangle »

Annexe 7 : « Un quadrilatère en quatre ! »


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annexe 1aConstruction d’un carré à partir de 2 carrés différents.


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annexe 1b Construction d’un carré à partir de 5 carrés égaux.


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annexe 2aUn élément d’ornementation avec trois carrés identiques


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annexe 2b Un élément d’ornementation avec trois carrés identiques


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annexe 3Le scribe


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annexe 4 La biographie d’Euclide


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annexe 5Pourquoi les hommes ont-ils eu besoin de déchiffrer/comprendre le monde ?


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annexe 6 Partage d’un triangle


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annexe 7Un quadrilatère en quatre


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Éléments de bibliographie

[1] M. Moyon, « La division des figures planes comme source de problèmespour l’enseignement de la géométrie », in Actes de la Rencontre des IREM duGrand Ouest et de la réunion de la Commission Inter-IREM Epistémologie etHistoire des mathématiques, J.-P. Escofier et G. Hamon (éds). Rennes: IREMde Rennes - Université de Rennes 1, 2009, p. 71-86.[2] M. Moyon, « Practical Geometries in Islamic Countries : the example ofthe division of plane figures », in History and Epistemology in MathematicsEducation. Proceedings of the 6th European Summer University (Vienne, 19-23 juillet 2010), M. Kronfellener, É. Barbin, et C. Tzanakis (éds). Vienne: Ver-lag Holzhausen GmbH, 2011, p. 527-538.[3] M. Moyon, « Diviser un triangle au Moyen Âge : l’exemple des géomé-tries pratiques latines », in Les mathématiques éclairées par l’histoire, Des arpen-teurs aux ingénieurs, É. Barbin (éd.). Paris: Vuibert Adapt, 2012, p. 73-90.[4] C. Proust, « Problèmes de partage : des cadastres à l’arithmétique », Cul-tureMath, site expert des Écoles Normales Supérieures et du Ministère de l’Édu-cation Nationale. http://www.math.ens.fr/culturemath/index.html [consulté le03 février 2012].[5] R. Rashed, Al-Khwārizmī. Le commencement de l’algèbre. Paris: Blanchard,2007.[6] Abū-l-Wafā’ al-Būzjānī, Kitāb fī mā yahtāju ilayhi as-sanic min acmāl al-handasa [Livre de ce qui est nécessaire à l’artisan en constructions géomé-triques]. Bagdad: Imprimerie de Bagdad, 1979.[7] A. Djebbar, Textes géométriques arabes (IXe-XVe siècles). Dijon: IREMde Dijon, 2009.[8] al-Karajī, Al-Kafī fī l-hisāb [Le livre suffisant en calcul]. Alep: Institut d’His-toire des Sciences Arabes, 1986.[9] Euclide, Les Éléments. Traduit par B. Vitrac. Paris: Presses Universitairesde France, 1990.[10]B. Boncompagni, La practica geometriae di Leonardo Pisano. Rome:Tipografia delle scienze matematiche e fisiche, 1862.[11]M. Bernus-Taylor, Les Andalousies. De Damas à Cordoue. Paris: ÉditionHazan, Institut du Monde Arabe, 2000.[12]Sācid al-Andalusī, Kitāb tabakat al-umam [Livre des catégories desnations]. Paris: Larose éditeurs, 1935.[13]A. Djebbar, L’âge d’or des sciences arabes. Paris: Institut du MondeArabe, 2006.[14]J.-F. Clément, « L’image dans le Monde Arabe. Interdits et Possibilités »,Annuaire de l’Afrique du Nord, vol. 32, p. 11-42, 1993.


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[15]É. Barbin, « Épistémologie et histoire dans la formation mathématique »,Repères-IREM, no 80, p. 74-86, 2010.

Documents pédagogiques & instructions officielles :

[D1] BO n°6 du 28 août 2008, Mathématiques, préambule pour le collège.[D2] Document ressource pour le socle commun dans l’enseignement desmathématiques au collège, Mai 2011, DEGESCO.[D3] BO n°6 du 28 août 2008, Français.[D4] BO spécial n°6 du 28 août 2008 (Histoire) , voir les différents thèmes surhttp://eduscol.education.fr/cid49683/ressources-pour-classe-sixieme.html [consul-té le 06 février 2013][D5] Myriade Mathématiques 5e, Paris, Bordas, 2010.

Documents iconographiques :

[A] « Carte des terres émergées selon Eratosthène » (IIIe-IIe siècles avantJ.C.), disponible sur http://expositions.bnf.fr/globes/bornes/itz/22/05.htm [consul-té le 06 février 2013][B] Documents disponibles sur http://hgcollege.editions-bordas.fr/eleve/webfm_send/253 [consulté le 06 février 2013].[C] Miniature « une bibliothèque à Bassora », extraite d’al-Hariri, Al-Maqāmāt[Les Séances], copié et peint par al-Wāsilī à Bagdad, 1236, Paris, BnF, ms. Arabe5847. Disponible sur http://classes.bnf.fr/dossitsm/islam.htm [consulté le 31 jan-vier 2013].[D] Page du Shāhinshāh nameh montrant des astronomes effectuant des mesuresavec différents instruments, Istanbul, University Library, T.Y. 1404. Disponiblesur :http://www.qantara-med.org/qantara4/public/show_document.php?do_id=1217&lang=en [consul-té le 01/02/2013][E] Planisphère d’al-Idrīsī, Oxford, The Bodleian Library (Ms. Pococke 375 fol.3v-4). Disponible sur http://classes.bnf.fr/idrisi/grand/9_05.htm [consulté le31 janvier 2013]

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