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Master ASE1 – Identification des Processus – P. Bonnet 1

MODELISATION IDENTIFICATION

DES PROCESSUS

MASTER ASE 1ère année


Pierre BONNET2010-2011


Présentation- objectifs du cours et domaines d'application

PLAN DU COURS

Notion de modèle- modèle paramétrique- modèle de connaissance/modèle de comportement- modèle de signal/modèle de système

Rappel des méthodes de base en Automatique- réponse temporelle d'un système- identification directe à partir de la réponse temporelle- approche fréquentielle

Principe d'ajustement du modèle- modèle linéaire par rapport aux paramètres- minimisation du critère d'ajustement et calcul de la solution optimale- écriture matricielle de la méthode des moindres-carrés

Analyse de la méthode des moindres-carrés- Biais d'estimation- Variance de l'estimation- estimateur du maximum de vraisemblance- rejet des mesures aberrantes


Extension aux modèles non-linéaires- méthode de Gauss- analyse et améliorations

PLAN DU COURS

Moindres-carrés récursifs- principe du calcul récursif- mise en oeuvre de la méthode récursive- facteur de pondération, facteur d'oubli

Modélisation d'un système- choix d'un modèle discret ARMA- mise en place de la méthode des moindres-carrés- comportement du modèle vis à vis du bruit- le modèle ARMAX


Bibliographie- Identification des systèmes - Ioan D. Landau - Hermès – 1998

- Estimation Prédiction - E. Duflos & Ph. Vanheeghe - Technip – 2000

- Identification et commande numérique des procédés industriels - R. Ben Abdennour , P. Borne, M. Ksouri & F. M'sahli - Technip -2001

- Modélisation et Identification des Processus - P. Borne - Technip – 1992

- Cours d'Identification de l'Université de Lund (Suède)http://www.control.lth.se/course/FRT041/

- Cours d'identification de l'EPFL (Suisse)http://lawww.epfl.ch/page4230.html

PLAN DU COURS

http://www.control.lth.se/course/FRT041/

http://lawww.epfl.ch/page4230.html


OBJECTIFS DU COURS

Donner les principes fondamentaux de la modélisation et de l'estimation de paramètres appliqués aux systèmes rencontrés dans de nombreux domaines scientifiques :

l'Automatique pour laquelle la connaissance du modèle est indispensable pour synthétiser une loi de commande

les Sciences Expérimentales, lorsque la validation d'une théorie se fait par des manipulations expérimentales (physique atomique, microélectronique...)

la Biologie, l'Economie, les Statistiques

partout où des observations sont validées par un principe de fonctionnement (règles mathématiques)


Système réelSorties réelles

Erreur de

modélisation

Principe de la modélisation/estimation

Modèle

+

-

Ajustement du modèle

Critère d'évaluation

Critère d'évaluation

Sortiescalculées

Entrées

OBJECTIFS DU COURS


Variables endogènesentrées sorties

+

Bruit sur les entrées

+

Bruit sur les sorties

Evolution des paramètrescaractéristiques

Perturbations dusystème

Variablesexogènes Observations

Différence entre modèle et système réel

Le modèle ne prend pas en compte les grandeurs non mesurables

OBJECTIFS DU COURS


Intérêt de la modélisation:

Fournir un modèle mathématique acceptable pour un système dont on peut "dériver" de nombreuses informations relatives à son fonctionnement dynamique :

calculer la dérivée du signal de sortie, les dérivées successives déterminer un extremum (local) du signal

évaluer des grandeurs endogènes (observateur d'état)

évaluer la dérive d'un système détecter la défaillance d'un système

donner des valeurs estimées/filtrées du signal de sortie extrapoler/prédire le fonctionnement au delà des observations faites interpoler le fonctionnement entre deux points observés

OBJECTIFS DU COURS

donner des valeurs pour certains paramètres caractéristiques du processus étudié


Note importante:

Si vous estimez que ce cours manque d'exemples ou d'applications, il vous suffit d'assister aux exposés en Amphi Maxwell ! (pas de grasse matinée, le cours est à 8h)

Les exemples vous sont présentés, avec démonstration sur Matlab/Scilab et le tableau noir est largement utilisé pour compléter ces transparents.

OBJECTIFS DU COURS


NOTION DE MODELE

NOTION DE MODELE

NOTION DE

MODELE


NOTION DE MODELE

Modèle

Un modèle est une structure mathématique pouvant représenter le système étudié. Cette structure doit comporter des éléments d'ajustement.

la structure du modèle représente la connaissance à priori que l'utilisateur souhaite placer dans le modèle

F p = N pD p

avec N p et D p polynôme en p

Exemple : les fonctions de transfert du type

peuvent représenter une partie des systèmes linéaires différentiels à coefficients constants (systèmes SISO)


NOTION DE MODELE

Modèle quantitatif

Un modèle est quantitatif lorsque les fonctions qui définissent les équations sont spécifiées analytiquement.

Dans un modèle quantitatif, une suite d'opération permet le calcul de la valeur numérique des fonctions du modèle à partir de leurs arguments [et des entrées du système]

Exemple : l'équation différentielle d'un système est un modèle quantitatif (domaine temporel), de même que la fonction de transfert d'un système différentiel à coefficients constants (domaine symbolique de Laplace).

les systèmes aléatoires sont régis par des modèles stochastiques ; la

valeur d'une variable aléatoire ne peut être calculée à un instant t .


NOTION DE MODELE

Modèle paramétrique

Un modèle quantitatif est paramétrique lorsque son expression analytique comporte un nombre fini de constantes non-précisées numériquement appelés paramètres .L'expression générale d'un modèle paramétrique est:

avec variable explicative du modèle

Les paramètres représentent les constantes d'ajustement du modèle aux mesures

X t = f t , a1, a2, ... , a k t

K p

F p = K1 p

Exemple : La fonction de transfert d'un système différentiel du premier ordre est un modèle paramétrique, tout comme son équation différentielle.

et sont les paramètres du modèle, variable explicative du modèle (variable complexe de Laplace)


NOTION DE MODELE

Modèle de connaissance

Un modèle de connaissance est un modèle dont les paramètres représentent des grandeurs caractéristiques de la structure étudiée.

Exemple : réponse impulsionnelle d'un système du 1er ordre

représente le gain statique du système

représente la constante de temps

les paramètres du modèle seront déterminés par quelques caractéristiques graphiques de la réponse ou des méthodes plus complexes

s t = K e−t /

K


NOTION DE MODELE

Modèle de connaissanceCertains éléments du modèle peuvent ne pas être accessibles à l'identification.

Exemple : système électrique du 1er ordre

st = K 1− e−t /

K =R2

R1 R2

R1

R2 C = R1 // R2. C

La réponse indicielle (échelon unité) permet de déterminer K et mais pas la valeur des 3 composants.


NOTION DE MODELE

Modèle de comportement

Un modèle de comportement est un modèle dont la structure et les paramètres sont sans rapport avec le système réel

st = a0 a1 t a2 t2... ak tk

Exemple : réponse impulsionnelle d'un système du 2ème ordre modélisé par un développement en série limité à coefficients réels.

aucun des coefficients du modèle ne représente les paramètres caractéristiques d'un second ordre (gain, amortissement et fréquence naturelle), même pour un calcul d'ordre fini.


NOTION DE MODELE

Modélisation d'un système sans entrée

La détermination des paramètres d'un système sans entrée se fait à partir de l'observation de sa sortie (signal de sortie)

l'outil de modélisation intègre la connaissance à priori du processus générateur.

SystèmeSystème

ModèleModèle

SortiesSorties

Sortiesmodélisées

Erreur de

modélisation

+

-CritèreCritère


NOTION DE MODELE

Modélisation d'un système avec entrée

La détermination des paramètres d'un système se fait à partir de l'observation de sa sortie, compte-tenu de l'entrée appliquée.

SystèmeSystème

ModèleModèle

Entréeexterne

SortiesSorties

Sortiesmodélisées

Erreur de

modélisation

+

-CritèreCritère

l'outil de modélisation doit donc prendre en compte le signal de sortie ET le signal d'entrée. Le degré de complexité est donc augmenté.


METHODES DE BASE

METHODESDE

BASE


METHODES DE BASE

Principe des méthodes de base

Les méthodes de base (graphique, Broïda, Strecj, réponse harmonique...) donnent usuellement un modèle de comportement . Pour les systèmes simples, le modèle de comportement correspond au modèle de connaissance.

La détermination des paramètres se fait à partir de la seule observation de la sortie . Ces méthodes s'apparentent donc à des méthodes de modélisation de signaux ou de données expérimentales.

Elles s'appuient sur l'analyse graphique des courbes expérimentales en quelques points particuliers et ne tiennent pas compte de l'ensemble des mesures. Leur robustesse au bruit de mesure est faible.


METHODES DE BASE

Relation entrée, sortie et système

La sortie d'un système linéaire est le produit de convolution entre le signal d'entrée et la réponse impulsionnelle du système.

La sortie est caractéristique du système pour des signaux élémentaires tels que l'impulsion de Dirac, l'échelon ou la rampe.

h t s t e t

s t = e∗h=∫0

t

e h t − d


METHODES DE BASE


Le signal d'excitation le plus courant est l'échelon. L'identification se fait donc à partir de la réponse indicielle.

Remarque : on peut passer de la réponse impulsionnelle à la réponse indicielle par intégration [numérique] des mesures

Si le système présente une intégration dans sa fonction de transfert (pôle nul), il suffit de dériver [numériquement] les mesures pour obtenir la réponse d'un système équivalent sans intégration.


METHODES DE BASE


Exemple du circuit du 1er ordre de la forme :

La réponse impulsionnelle est :

D'où :

L'intégration de la réponse impulsionnelle donne la réponse indicielle:

.

L p = 11 p

S p = 1. 11 p

= 1 /p 1/

s t = 1 e−t /

∫0

t

s udu = 1[−e−t /] 0

t= 1− e−t /


METHODES DE BASE

Méthode graphique directe

1er ordre soumis à un échelon

.

s t = K e11− e−

t s0

H p = K1 p

t0

Réponse s

s0

63%

s0 Ke1

Ke1

e t = e1 u t

Le temps de réponse à 95% est environ de 3

Le temps de montée est:


METHODES DE BASE

Méthode graphique directe

1er ordre soumis à une rampe

.

s t = a K e−

t a K t −

H p = K1 p

e t = a t ut

t0

Réponse

st

s0

s0 a K t

s0 a K t −


METHODES DE BASE

Méthode de Broïda

réponse indicielle du 1er ordre avec retard

.

H p = K e−Tp

1 p

t0

s t

s0

s0 Ke1

28%

40%

t28

Ke1

t40

T = 2.8 t28− 1.8 t40

= 5.5t 40− t 28


METHODES DE BASE

Méthode de Strejc

réponse indicielle du 1er ordre

.

H p = K1 pn

t0

s t

s0

s0 Ke1

T u

Ke1

T a


METHODES DE BASE

Méthode de Strejc

La méthode définit une valeur de nnon-entière ;

généralement, on arrondit cettevaleur à l'entier le plus proche.

.


METHODES DE BASE

Méthode fréquentielle

La méthode fréquentielle s'appuie sur la réponse harmonique du système.

t

A

t0=0

Excitation

Réponse

ht s t e t = Asin t

st = A H je j tEcriture complexe de l'entrée : Le régime permanent de la sortie est :

e t = Ae j t


METHODES DE BASE


Elle permet de réaliser une excitation dans une large gamme de fréquences, contrairement à l'échelon qui possède un spectre réduit. Le nombre de points de mesure est élevé. L'analyse est donc beaucoup plus performante que l'analyse temporelle.

Log

∣H j∣dB

c= 1/

∣H 0∣dBLog

arg H jc= 1/

−45°

−90°

la détermination des paramètres du système se fait généralement graphiquement (asymptotes, coupure, résonance...)


METHODES DE BASE


Utilisation d'un signal d'excitation large bande pour déterminer directement la réponse fréquentielle en une seule mesure :

La transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle s'obtient par :

Il suffit donc de déterminer les transformées de Fourier de l'entrée et la sortie pour déterminer la réponse fréquentielle du système

La méthode est valide sous réserve d'absence de zéro dans le spectre du signal d'excitation. On utilise un bruit blanc ou une SBPA pour l'excitation

s t = e∗h=∫0

t

e h t − d

S = E . H

H = S E


MODELE AJUSTE

MODELEAJUSTE


Objectif

L'idée est de reproduire le travail de l'homme lorsqu'il "ajuste" manuellement /graphiquement le modèle qu'il souhaite appliquer.

Exemple : soit un ensemble de mesures expérimentales qui devraient suivre une loi affine L'utilisateur trace le graphe des mesures, puis prend une règle (le modèle de la loi affine ajustable en ordonnée et en pente) et tente l'ajuster "au mieux". La "qualité" de l'ajustement diffère d'un opérateur à l'autre: le critère d'ajustement n'est pas clairement exprimé; il est du domaine subjectif.

0 1 2 t

y0

y1 y2modèle ajustable x t y3

3 4 ....

y4

MODELE AJUSTE


Critère d'évaluation de l'erreur de modélisation

Soient : les observations faites sur le système

les valeurs prises par le modèles aux instants d'observation

y t i

x t i , a1 , a2 ...

i

y t i = x t i , a1 , a2 ... i

Posons écart [erreur] entre les mesures et le modèle

a1 , a2 ... = ∑n1

n2

y t i − x t i , a1, a2 ...2

L'erreur quadratique cumulée est :

a1 , a2 ... = ∑n1

n2

i2

MODELE AJUSTE

Note : il existe d'autres critères possibles (distance généralisée par exemple)


Minimum du critère

Le critère présente une dépendance quadratique vis à vis des paramètres .

0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 60

2 0

4 0

6 0

8 0

1 0 0

1 2 0

0

5

1 0

1 50

51 0

1 5

0

2 0 0 0

4 0 0 0

6 0 0 0

8 0 0 0

1 0 0 0 0

a1

min

a1

a2

MODELE AJUSTE


Recherche du minimum de

On suppose qu'il y a indépendance/orthogonalité des paramètres :

Le critère d'erreur présente un minimum pour :

et

∂∂a1

= 0∂∂a2

= 0 ....∂∂ ak

= 0

∂2∂a1

2 0∂2∂a2

2 0 ....∂2∂ ak

2 0

Note : Les méthodes de base ne tiennent pas compte des équations de contrainte; ceci peut être une source d'erreur.

MODELE AJUSTE


Resolution

Le minimum est obtenu pour un jeu de valeurs dites optimales pour le critère considéré (critère des moindres-carrés)

Le modèle le plus proche des mesures au sens du critère d'erreur est :

∂∂ ai

= 0 a1 , a2, ... , ak

x t = x t , a1 , a2 , ... a k

Résolution des k équations

Note : Selon la nature du modèle (linéaire ou non-linéaire par rapport aux paramètres), la résolution des équations peut poser problème . Ce cours porte essentiellement sur les méthodes de base applicable aux modèles linéaires.

MODELE AJUSTE


Exemple d'applicationModélisation de 3 mesures successives par un modèle affine de la forme

0 1 2 t

y0=1

y1=2 y2=2x t

x t = a b t

t = 0,1 ,2

y0 , y1 , y2

∂∂a

,∂∂b

a , b

Méthode :1°) Déterminer les valeurs prises par le modèle pour

2°) Exprimer à partir des valeurs de x(t) et des mesures

3°) Former les dérivées partielles

4°) Résoudre le système (Cramer) pour obtenir

MODELE AJUSTE


AJUSTEMENT DU MODELE


x t = a1 f 1t a2 f 2t ...

f 1t , f 2t ...

Un modèle linéaire par rapport à ses paramètres a une expression du type:

Les sont les "formants" du modèle

Exemples : x t = a0 a1 t a2 t 2 ... x t = A cos 10t Bsin 10t

Choix du modèleSoit un modèle de variable explicative t caractérisé par un jeu de paramètres

Modèle linéaire Le modèle est linéaire par rapport à ses paramètres s'il vérifie :

p= {a1 , a2 , ... , ak}

x t ,1 p1 2 p2 = 1 x t , p1 2 x t , p2

x t

AJUSTEMENT DU MODELE PAR LES MOINDRES-CARRES


Cas du modèle linéaire/paramètres d'ajustement

Modèle linéaire à k paramètres :

Instants de n mesures :

Mesures de la sortie du système :

Expression du modèle aux instants de mesures :

Critère d'erreur cumulée à optimiser

x t = a1 f 1 t a2 f 2t ... ak f k t

t1 , t 2 , ... , t n

y t1 , y t 2 , ... , y tn

x t1 , x t 2 , ... , x t n

a1 , a2 ... = ∑i=1

n

y t i − x t i2



n abcisse mesure modèle

1 t1 y t1 xt1 = a1 f 1 t1 a2 f 2 t1 ... ak f k t12 t 2 y t 2 xt 2 = a1 f 1 t 2 a2 f 2 t2 ... ak f k t 2 ... ... ... ......n tn y t n x t n = a1 f 1 tn a2 f 2 tn ... ak f k tn

= ∑i=1

n

[ y t i − a1 f 1t i − a2 f 2t i −... − ak f k t i]2

Présentation des données du problème



Calcul des dérivées du critère quadratique

∂∂ a1

= − 2∑i=1

n

f 1t i[ y t i − a1 f 1t i − a2 f 2t i −... − ak f k t i]

∂∂a2

= − 2∑i=1

n

f 2t i[ y t i − a1 f 1t i − a2 f 2t i −... − ak f k t i]

....

∂∂ ak

= − 2∑i=1

n

f k t i[ y t i − a1 f 1t i − a2 f 2t i −... − ak f k t i ]

∂∂ a1

= 0∂∂a2

= 0 ....∂∂ ak

= 0 a1 , a2 , ... , a k

Minimisation du critère d'erreur quadratique



Présentation homogène du problème

Equations de minimisation :

a1 ∑i=1

n

f 1 2 t i a2 ∑

i=1

n

f 1 t i f 2 t i ... ak∑i=1

n

f 1 t i f k t i = ∑i=1

n

f 1 t i y t i

a1 ∑i=1

n

f 1 t i f 2 t i a2 ∑i=1

n

f 22 t i ... a k∑

i=1

n

f 2 t i f k t i = ∑i=1

n

f 2 t i y t i

.....

a1 ∑i=1

n

f 1 t i f k t i a2 ∑i=1

n

f 1 t i f 2 t i ... ak∑i=1

n

f k2 t i = ∑

i=1

n

f k t i y t i



Présentation homogène du problème

Vecteur des Vecteur des paramètres mesures à identifier pondérées

Matrice de pondération symétrique

= a1

a2

...ak Q = ∑i=1

n

f 1 t i yi

∑i=1

n

f 2t i yi

...

∑i=1

n

f k t i yi

R = ∑i=1

n

f 12t i ∑

i=1

n

f 1t i f 2t i ... ∑i=1

n

f 1t i f k t i

∑i=1

n

f 2t i f 1 t i ∑i=1

n

f 22t i ... ∑

i=1

n

f 2t i f k t i

... ... ... ...

∑i=1

n

f k t i f 1t i ∑i=1

n

f k t i f 2t i ... ∑i=1

n

f k2 t i



Présentation homogène du problème Les équations de minimisation peuvent s'écrire:

La résolution de cette équation matricielle donne la solution optimale pour le modèle :

sous réserve que la matrice R soit inversible

R = Q

= R−1 Q


Exemples : reprise de l'exercice de la page 32, autre exercice sur le signal sinusoïdal Formules utiles

x=A sin tB cos tcos2t=1cos 2 t /2 sin2 t=1−cos2 t /2 sin t cos t=1 /2sin 2 t


Ecriture matricielle du problème des moindres-carrés : Soit x(t) le modèle linéaire par rapport à ses paramètres:

Soit X l'ensemble des valeurs prises par le modèle et Y les mesures:

Posons:

x t = a1 f 1 t a2 f 2t ... ak f k t

X = x t1xt 2

...x t n

= a1 f 1t1a2 f 2t1...ak f k t1a1 f 1t2a2 f 2t 2...ak f k t 2

................a1 f 1 t na2 f 2t n...ak f k t n

H = f 1t1 f 2 t1 ... f k t1

f 1t2 f 2t 2 ... f k t2... ... ... ...

f 1tn f 2tn ... f k tn = a1

a2

...akY = y t1

y t 2...

y t n

⇒ X = H



Ecriture matricielle du problème des moindres-carrés : L'erreur quadratique cumulée s'écrit:

Sachant que : et que :

L'erreur cumulée s'écrit :

La minimisation du critère se fait pour :

= 1 2 ... n 1

2

...n = ∑

i=1

n

y ti − x ti2 = ∑

i=1

n

i2

= Y − X X = H

= Y − H T Y − H

∂∂

= ∂∂a1

∂∂a2

...

∂∂ak

= 0



Ecriture matricielle du problème des moindres-carrés : La solution optimale sera obtenue pour :

En remarquant que est scalaire , on obtient :

La solution optimale est :

∂∂

= −2 H T Y − H

∂∂

= −H T Y − H − Y − H T H

= H T H −1 H T Y



Exemple d'applicationModélisation de 3 mesures successives par un modèle affine de la forme

x t = a bt

t = 0,1,2

= a , bT

Méthode matricielle:1°) Déterminer les valeurs prises par le modèle pour2°) Construire le tableau des valeurs prises par le modèle aux instants de mesure, le vecteur des observations.3°) En déduire les matrices/vecteurs Y , H et

4°) Calculer la solution optimale


0 1 2 t

y0=1

y1=2 y2=2x t


ANALYSE DES MOINDRES-CARRESANALYSE DES MOINDRES-CARRES

ANALYSE DE LA METHODEDES MOINDRES-CARRES


Pondération du critère J : définition du critère d'erreur quadratique pondéré :

Avec Q matrice de pondération - définie positive : toutes ses valeurs propres sont positives strictement - symétriqueExemple :

avec

On remarque que :

= T Q

Q = 1 0 ... 00 2 ... 0... ... ... ...0 0 ... n

10 , 20 , ... , n0

= 0 si et seulement si =0

ANALYSE DES MOINDRES-CARRESANALYSE DES MOINDRES-CARRES


Pondération du critère d'erreur quadratique cumulée :

Minimisation du critère J par ajustement des paramètres :

La solution optimale est :

= T Q

= Y − H T Q Y − H

∂∂

= −H T Q Y − H − Y − H T Q H

∂∂

= =−2 H T Q Y−H = 0

= H T Q H −1 H T Q Y

ANALYSE DES MOINDRES-CARRES



Biais de l'estimation des paramètres: Le biais d'un estimateur est l'espérance de l'écart entre l'estimation et les vraies valeurs. L'estimateur non-biaisé fournit une valeur non-décalée par rapport à la vraie valeur

= H T H −1 H T [H v ]

X = H

Y = H v v

− = H T H −1 H T v

Soit la valeur théorique des paramètres.

Le modèle parfait a pour valeur :

Les mesures ont pour valeur : avec bruit de mesure

L'écart entre l'estimation et la vraie valeur des paramètres du modèle est :


Biais de l'estimation des paramètres:

E [ −] = E [H T H −1 H T v ]

E [ −] = H T H −1 HT E [v ]


Pour un bruit de mesure non corrélé à H , l'espérance sera :

Dans les cas usuels (bruit à valeur moyenne nulle), l'estimateur des moindres-carrés est non-biaisé : la valeur estimée des paramètres est proche de la vraie valeur en moyenne. Il fournit une estimation non-décalée par rapport aux vraies valeurs.

L'espérance de l'erreur d'estimation est :


Variance de l'estimation des paramètres:

2 = E [−2 ] avec = E []

A = E [A − AA− AT ]

A = 1

2

...n

A = E [ 1− 12 1− 12− 2 ... 1− 1n− n

2− 21− 1 2− 22 ... 2− 2n− n

... ... ... ...n− n1− 1 n− n2− 2 ... n− n

2 ]Terme de variance

Terme de covariance


Variance d'une variable scalaire :

Matrice de variance/covariance d'une grandeur vectorielle


Variance de l'estimation des paramètres:

= E [ − − T ]

= E [[H T H −1 H T v ][H T H −1 HT v ]T ]

= E [H T H −1 H T v vT H H T H −1T ]

= [H T H −1 H T ]E [v vT ][H H T H −1T ]


Variance de l'estimateur des moindres-carrés (pour un bruit centré):

Pour un bruit non-corrélé à la matrice H , la matrice de variance-covariance de l'estimation est :


Variance de l'estimation des paramètres: Cas du bruit blanc sur les mesures

= Y2 [H T H −1 ]T


E [v vT ] = E [vt12 0 ... 0

0 v t22 ... 0

... ... ... ...0 0 ... v tn

2 ] = 12 0 ... 0

0 22 ... 0

... ... ... ...0 0 ... n

2 Y

2

chaque mesure est supposée entachée d'un bruit blanc additif

il n'y a pas de corrélation du bruit de mesure entre 2 mesures

Pour un bruit constant sur chaque mesure, de variance , le bruit sur l'estimation des paramètres du modèle est :


Estimateur du maximum de vraisemblance

On prend comme matrice de pondération l'inverse de la matrice de variance-covariance du bruit, ce qui a pour effet de minimiser le poids des mesures à bruit élevé.


bruit = E [v vT ]

= T Q = T bruit−1

= H T bruit−1 H −1 H T bruit

−1 Y



Rejet des mesures aberrantes

Le calcul des paramètres du modèle permet de calculer X

X = H

E [ X X T ] = E [H T H T ]

E [ X X T ] = H H T

La variance de l'estimation est :

E [ X X T ] = X2 = Y

2 H [H T H −1]T H T

Pour des mesures bruitées par un bruit blanc :

y ti x t i X

Rejet des mesures dont l'écart avec le modèle est supérieur à avec K fixé par l'utilisateur ( de l'ordre de 2 à 3)


MOINDRES-CARRES RECURSIFS

MOINDRES CARRESRECURSIFS



Calcul sur n mesures :

Y n = y t1y t 2

...y t n

X n = H n = f 1t1 f 2 t1 ... f k t1f 1 t2 f 2t 2 ... f k t2

... ... ... ...f 1 tn f 2t n ... f k t n

n = H n

T H n−1 H n

T Y n

la solution optimale calculée sur les n mesures est :

On dispose de n observations auxquelles correspondent n valeurs du modèle

n = Y n−X nT Y n−X n

elle minimise le critère calculé sur ces n mesures :



Inconvénients de la méthode classique: La dimension (nxk) de la matrice H croît avec le nombre n de mesures

L'ajout d'une (n+1)ème mesure impose de recommencer la totalité du calcul

n = H nT H n

−1 H nT Y n

n = Rn−1 Qn

Qn = H nT Y n

Rn = H nT H n

Mise en évidence de la solution

Utiliser la technique de calcul

avec de dimension (kxk) et de dimension (kx1)



Ajout de la (n+1)ème mesure : On dispose de n+1 observations auxquelles correspondent n+1 valeurs du modèle :

Y n1 = y t1y t2

...y tn

y tn1 X n1 = H n1 = f 1 t1 f 2 t1 ... f k t 1

f 1t 2 f 2t 2 ... f k t 2... ... ... ...

f 1t n f 2t n ... f k t nf 1t n1 f 2t n1 ... f k t n1

hn1

T = [ f 1 t n1 f 2 tn1 .... f k t n1]

Posons :



Ajout de la (n+1)ème mesure : On dispose de n+1 observations auxquelles correspondent n+1 valeurs du modèle

Y n1 = Y n

y tn1 X n1 = X n

xn1 = H n

hn1T

n1 = H n1T H n1

−1 H n1T Y n1

Posons :



Calcul de :

H n1T H n1

H n1T Y n1 = H n

T Y n hn1 yn1

H n1T H n1 = H n

T H n hn1 hn1T

H n1T Y n1

H n1T H n1 = H n

T hn1 H n

hn1T

H n1T Y n1 = H n

T hn1 Y n

yn1

Calcul de :


hn1T = [ f 1t n1 f 2t n1 .... f k tn1]

Rn1= Rn hn1 hn1T Qn1= Qn hn1 yn1

n1 = Rn1−1 Qn1

Itérer pour passer du rang n au rang n+1 :

Déterminer

Calculer (kxk) puis (kx1)

Et en déduire


Expression récursive de base:

n1 = H nT H n hn1hn1

T −1 H nTY n hn1 yn1

n = Rn−1Qn

Rn = H nT H n

Qn = H nT Y n

Construire la matrice H au rang n

Calculer de dimension (kxk)

Calculer de dimension (kx1)

En déduire estimation initiale au rang n



Calcul récursif évolué :

Posons et

n1 = H nT H n hn1hn1

T −1H nTY n hn1 yn1

Pn = H nT H n

−1

Pn

Pn1 = H nT H n hn1 hn1

T −1

Pn1

A = B C A−1 = B−1− B−1 C B−1[ I B−1C ]−1

Pn1 = H nT H n

−1− H nT H n

−1 hn1 hn1T H n

T H n−1[ 1 hn1

T H nT H n

−1 hn1]−1

= Pn− Pn hn1 hn1T Pn [ 1 hn1

T Pn hn1 ]−1

= Pn − Pn hn1 [ 1 hn1T Pn hn1]

−1 hn1T Pn

Pn1

Quelle est la relation entre et ?

Lemme d'inversion : Soit

Appliquons le lemme à




Pn1 = Pn − Pn hn1 [ 1 hn1T Pn hn1]

−1 hn1T Pn

K n1 = Pn hn1 [1 hn1T Pn hn1 ]

−11

n1 = H nT H n hn1 hn1

T −1 H nT Y n hn1 yn1

Pn1 = Pn − K n1 hn1T Pn

Pn1= I − K n1 hn1T Pn 3

= Pn − K n1 hn1T Pn H n

T Y n hn1 yn1

= Pn H nT Y n Pn hn1 yn1 − K n1 hn1

T Pn H nT Y n − K n1 hn1

T Pn hn1 yn1




n1 = n K n1 yn1− hn1T n

K n1= Pn hn1 [1 hn1T Pn hn1 ]

−1

Pn1= I − K n1 hn1T Pn

Récurrence finale

est le gain matriciel de correction K n1

Le gain de correction diminue à mesure que n augmente

Les termes de la matrice P tendent vers 0 lorsque n augmente




n1 = n Pn1 hn1 yn1− hn1T n

Pn1= Pn −Pn hn1 hn1

T Pn

1 hnT Pn hn1

Autre expression de la récurrence finale

est le gain matriciel de correction Pn1

Le gain de correction diminue à mesure que n augmente et tend vers 0



Utilisation pratique de la récurrence évoluée: Poser les conditions initiales :

matrice carrée kxk vecteur colonne kx1

P0000

Choix de : la matrice a pour définition avec inexistante (absence de ligne).

P00 P00 = H 00T H 00

−1

H 00

Choix de : on propose le plus souvent 0000 = 0

P00 = G I kG = 10ou 100

P étant de dimension constante kxk , on propose le choix : avec G gain d'adaptation ( par exemple)



Pierre BONNET Modélisation Identification 74

Utilisation pratique de la récurrence évoluée:

K 1 = P 00 h1 [1 h1T P 00 h1]

−1

1 = 00 K 1 y1 − h1T 00

P1 = I − K 1 h1T P00

Itérer une première fois

K 2 = P1 h2 [1 h2T P1 h2]

−1

2 = 1 K 2 y 2 − h2T 1

P 2 = I − K 2 h2T P1

Itérer une deuxième fois

Appliquer la récurrence générale



Loi proposée:

Avec et

A chaque étape de la récurrence, on multiplie le "poids" des anciennes mesures par le facteur

Pn1 = 1 H nT H n 2 hn1 hn1

T −1

011 022

Pondération de la récurrence

Objectif : - éviter la décroissance de ou vers 0- diminuer le "poids" des anciennes mesures au profit des plus

récentes

K n1 Pn1

Pn1 =11 P n−

P n hn1 hn1T P n

1/2 hn1T Pn hn1



Loi résultante:

A chaque étape de la récurrence, on multiplie le "poids" des anciennes mesures par le facteur d'oubli

n1 = H nT H n hn1 hn1

T −1H nT Y n hn1 yn1 avec 01

Introduction d'un facteur d'oubli

choix : diminution du "poids" des anciennes mesures au profit des plus récentes d'où le principe du "facteur d'oubli" du passé

2= 11= cste

n−1 n

A la (n+1) ième étape:- la 1ère estimation est pondérée par- la 2ème est pondérée par - la nième est pondérée par - la nouvelle est pondérée par 1

La pondération suit une loi exponentielle



Introduction d'un facteur d'oubli Le facteur d'oubli est choisi de l'ordre de 0.951

Récurrence obtenue :

K n1 =Pn hn1

hn1T Pn hn1

n1 = n K n1 [ yn1− hn1T n ]

Pn1=1 I − K n1 hn1

T Pn

Principale application : suivi des paramètres d'un système évoluant dans le temps

Exemple : suivi des paramètres d'un modèle linéaire par morceaux , pour des données présentant des discontinuités de modèle .

x = at b



Algorithme à trace constante si , on aura avec la matrice "explose"hn10 Pn1 ≃ P n/ 1 Pn

tracePn1 = tr P n = tr P0=Cste

L'algorithme à trace constante a pour objectif de maintenir la somme des éléments diagonaux à une valeur non nulle à tout instant :

On choisit comme valeur de trace kG avec G gain initial et k nombre de paramètres (valeurs typiques G = 1 à 4 ) :

tr Pn1 =11

tr Pn −P n hn1 hn1

T Pn

1/2 hn1T Pn hn1

Les valeurs de et sont déduites de cette équation, le rapport / étant fixé à une valeur constante

1 2 1 2


MOINDRES CARRES NON-LINEAIRES

MOINDRES-CARRES NON-LINEAIRES



Position du problèmeDans de nombreuses applications , la fonction modèle n'est pas linéaire par rapport à ses paramètres. Exemple : réponse indicielle d'un circuit du 1er ordre

0 1 2 t

y0

y1

y2 f t ,

3 4 5

y3y5 y5

L'expression du modèle est :

avec

f t ,= K 1− e−

t

= [K , ]T

la dépendance vis à vis du paramètre est non-linéaire , il n'est plus possible de résoudre le système par la méthode linéaire (pas de matrice H )



La proposition est de partir d'une valeur initiale des paramètres et de modifier itérativement la valeur de d'un incrément de façon à minimiser le critère d'erreur quadratique cumulée à chaque étape.

0

Pour , le modèle prend les valeurs : 0 = [a10 , a20 , ... ]T F t ,0 = [ f t1,0f t2,0

...f t n ,0

]L'erreur entre le modèle et les mesures est : = Y − F t ,0

L'erreur quadratique cumulée est : 0 = T = Y − F t ,0T Y − F t ,0

Méthode de Gauss-Newton (méthode de gradient)

Etape initiale

Généralement, l'erreur cumulée sera importante , les conditions initiales étant éloignées de la solution optimale.



Méthode de Gauss-Newton

modification de la valeur de d'un incrément de façon à minimiser le critère

d'erreur quadratique cumulée

0

Pour , le modèle prend les valeurs et l'erreur = 0 F t ,0 0

∂0

∂=0 Pour se placer au minimum d'erreur , on choisit tel que

Calcul du minimum de l'erreur cumulée : ∂ 0

∂= −2 [ ∂ F t ,0

∂ ]T

Y−F t ,0 = 0

Incrémentation




Le développement de Taylor du 1er ordre du modèle permet d'approximer la nouvelle valeur du modèle à chaque instant d'observation :

avec gradient de f en ligne

f t i ,0 = f t i ,0 J i 0.

J i 0 = ∇ f t i ,0T

F t ,0=F t ,0 J 0.

L'extension à l'ensemble des points de calculs prend la forme matricielle suivante :

Avec : jacobienne de f/paramètres

J 0 =∂F t ,0

∂= [

∂ f t 1∂a1

∂ f t1∂ a2

...∂ f t1∂ak

∂ f t 2∂a1

∂ f t 2∂ a2

...∂ f t2∂ak

... ... ... ...∂ f t n∂a1

∂ f t n∂ a2

...∂ f t n∂ak

]

Calcul de F t ,0




D'où : −2 J T Y−F t ,0J 0. = 0

Calcul du minimum de l'erreur cumulée : ∂ 0

∂= −2 [ ∂ F t ,0

∂ ]T

Y−F t ,0 = 0

ItérationOn itère en définissant les nouvelles valeurs des paramètres et les nouvelles valeurs du modèle . La correction suivante à faire sera :

1 = 0 F t ,1

= [ J 1T . J 1]

−1. J 1

T Y−F t ,1

On en déduit la valeur de l'accroissement à faire sur les paramètres pour minimiser l'erreur:

= [ J 0T . J 0]

−1. J 0

T Y−F t ,0


J T J

= [ J T . J I ]−1. J T Y−F t ,

0 = . max [ J T J ]



Limitation : l'inversion de la matrice peut poser problème (matrice singulière).

Pour éviter ce blocage, l'algorithme a été modifié par Levenberg-Marquardt:

Le paramètre joue le rôle d'un amortissement de la correction; il doit être ajusté à chaque pas de calcul. Dans les cas simples, on peut se contenter d'un amortissement constant, dont la valeur initiale a été proposée par Marquardt:

est un paramètre de gain à choisir convenablement (!)




Exemple d'application : soit un système du 1er ordre dont désire connaître les paramètres caractéristiques (gain et constante de temps) par l'observation de la réponse indicielle.

Temps en s 0 1 2 3 4 5

y(t) 0.05 0.45 0.59 0.64 0.64 0.69

= [K , ]Tf t ,= K 1− e−

t Le modèle de la réponse indicielle est : avec

La matrice du Jacobien est construite à partir des dérivées partielles de f par rapport à

∂ f t ,∂K

= 1− e−t ∂ f t ,

∂= −K t

2 e−t

Contrairement au cas d'un modèle linéaire/paramètres, les dérivées partielles dépendent des paramètres eux-mêmes.

Il faut fixer une valeur initiale de K et pour donner une valeur à la matrice Jacobienne

Valeurs initiales proposées : K 0= 1 0= 1

L'observation directe montre que le gain (valeur finale) est proche de 0.7 et la constante de temps de l'ordre de la seconde (échelle de temps)




La matrice Jacobienne est : les valeurs du modèle :J 0 = [0. 0.

0.63 −0.370.86 −0.270.95 −0.150.98 −0.070.99 −0.03

] F 0 = [0.

0.630.860.950.980.99

]L'incrément à faire sur les paramètres est : = J T J −1 J T Y−F 0 = [−0.33

−0.06]La nouvelle valeur des paramètres est : 1= [0.67

0.94]

Après 10 itérations , la valeur des paramètres converge vers : 10= [0.670.92]

L'erreur quadratique cumulée est de : = 0.42

L'erreur quadratique cumulée est de : = 0.0035




Attention : certaines valeurs initiales ne permettent pas à l'algorithme de converger (par exemple K = .1 et tau = .1 )!


MODELISATION DES SYSTEMES

MODELISATIONDES

SYSTEMES


Modélisation d'un système discret

La détermination des paramètres d'un système à partir de l'observation de sa sortie, compte-tenu de l'entrée appliquée.

le modèle doit traduire la relation entrée-sortie caractéristique du système

Système

Modèle

Entréeexterne

SortiesSorties

Sortiesmodélisées

Erreur de

modélisation

+

-




Système discret :

modèle de récurrence

ym n a1 ym n−1 a2 ym n−2 ... a p ym n− p

= b0 u n b1 u n−1 ... bqu n−q



Modèle de récurrence

la sortie du système à l'instant n se déduit de la sortie aux instants ( n-1, n-2, ... ,n-p) et de l'entrée aux instants (n, n-1,n-2, ... ,n-q )

Ce modèle est dit "Autorégressif " ou modèle AR

ymn = −a1 ymn−1 − a2 ymn−2 −...− a p ymn− p

b0 u n b1 u n−1 ... bq un−q



Exemple de modèle de récurrence discrète :

Soit un système du premier ordre de fonction de transfert :

L p = Y pU p

= Kp

y y = K u Ce système correspond à une équation différentielle de la forme :

En approximant la dérivée par Euler :yn1− yn

T e yn = K un

Le système discrétisé est décrit par la récurrence :

y n1 = 1− T e y n K T eu n

Ou : y n = 1− T e y n−1 K T eu n−1



modèle de récurrence :

La récurrence s'applique aux mesures au bruit près: y n = −a1 y n−1 − a2 y n−2 −...− a p y n− p

b0 u n b1 u n−1 ... bq u n−q n

Le membre de droite représente le modèle ARX .

Il est défini à partir des mesures , et non à partir des valeurs modélisées précédentes. On remarque que c'est un modèle avec erreur (la somme pondérée des erreurs faites sur chacune de observations faites aux instants n-1, ...,n-p ) . De ce fait, le modèle est biaisé (erreur systématique si les mesures sont corrélées)



Observation du système sur k échantillons :

instant N : y N = −a1 y N−1 − a2 y N−2 −...− a p y N− p

b0u N b1u N−1 ... bqu N−q N

y N−1 = −a1 y N−2 − a2 y N−3 −...− a p y N− p−1

b0uN−1 b1u N−2 ... bquN−q−1 N−1

instant N-1

y N−k = −a1 yN−1−k − a2 y N−2−k −...− a p y N− p−k

b0u N−k b1uN−1−k ... bquN−q−k N−k

instant N-k:



Observation du système sur k échantillons :

écriture matricielle

Les mesures sont liées à l'entrée par la relation :

[ y N y N−1. . .y N−k ] = [ −y N−1 ... −y N− p u N u N−q

−y N−2 ... −y N− p−1 u N−1 u N−q−1... ... ... ... ...

−y N−1−k ... −y N− p−k u p1 u N−q−k ] [a1

.a p

b0

.bq

] [ N N−1...

p1 ]



Observation du système sur k échantillons (ou plus):

Posons : vecteur vecteur des des mesures para mètres

= [a1

.a p

b0

.bq

]Y = [ y N y N−1. . .y N−k ]

H = [ − yN−1 ... −y N− p u N u N−q−y N−2 ... − y N− p−1 uN−1 u N−q−1

... ... ... ... ...−y N−1−k ... − yN− p−k u p1 uN−q−k ]

Y = H Les mesures suivent la loi :

C'est un problème classique de résolution par les moindres-carrés


MODELISATION DES SYSTEMES Modélisation par les moindres carrés simples: solution de base non récursive

= H T −1H T Y

Exciter le système avec un signal d'entrée et relever la réponse :- échelon - bruit blanc- signal binaire pseudo-aléatoire (voir TP)

Déterminer par les moindres-carrés:- former le vecteur des mesures Y- former la matrice H à partir des mesures et des valeurs d'entrée

(tenir compte d'un retard éventuel)- résoudre le système


MODELISATION DES SYSTEMES Modélisation par les moindres carrés simples: Exemple d'un premier ordre soumis à un échelon d'amplitude 1 : Valeurs relevées pour y(i) : 0 , .4, .7, .95, .98 1, .97, .99, 1.02

Le modèle retenu est :

Les matrices Y et H sont :

Les valeurs obtenues sont :

yn =−a1 yn−1 b1 un−1

H = [ −y 1 u 1−y 2 u 2

... ...−y n−1 un−1]

= [−0.5770.444 ]

Y=[ y 2y 3...

y n]


MODELISATION DES SYSTEMES Résolution par les moindres carrés récursifs: La résolution par les moindres-carrés récursif apporte un outil de calcul efficace,et surtout un moyen d'identification en ligne ,c'est à dire au fur et à mesure que les mesures sont faites

Fixer l'ordre du modèle, son retard et choisir les valeurs initiales :- par exemple

00= 0

P00= 1000

Exciter le système avec un signal d'entrée (échelon...)- relever la réponse (et l'entrée) dès le premier instant d'échantillonnage - ajuster le modèle par les MCR- itérer pour obtenir les n


MODELISATION DES SYSTEMES Résolution par les moindres carrés récursifs:

Exemple du système du premier ordre précédent sans retardY= [0 .4 .7 .95 .98 1 .97 .99 1.02 ]';

Modèle à 2 paramètres a1 et b1 : Valeurs initiales:

00 = [0 0]T

P00= [1000 00 1000]

Récurrence avec le vecteur

hn1= [−y n un]T

Les valeurs de convergent vers la valeur finale précédente La simulation "colle" aux mesures pour les premiers instants (réajustement du modèle sur les mesures) puis produit un effet de filtrage (le modèle a convergé)

n


MODELISATION DES SYSTEMES Les problèmes non traités dans ce cours : La méthode introduit un biais d'estimation : les résultats sont décalés lorsque le bruit est important.

Il devient nécessaire d'introduire un modèle du bruit pour "blanchir" l'erreur ou de décorréler observation/erreur (ARX, MCR généralisés, variable instrumentale...)

La méthode de base suppose que le retard et l'ordre du système sont connus.Il est possible de déterminer automatiquement ces valeurs par minimisation de l'erreur de modélisation.

La méthode peut s'appliquer à un système bouclé déjà régulé (régulateur classique). L'identification se fait sans intervention sur le process existant.Le bouclage provoque un biais important des mesures. Des algorithmes permettent de résoudre cette problématique.

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