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CAPES de Sciences physiquesTOME 1 - PHYSIQUECOURS ET EXERCICES

Nicolas BILLY � Jean DESBOISMarie-Alix DUVAL � Mady ELIAS � Pascal MONCEAUAude PLASZCZYNSKI � Michel TOULMONDE

B E L I N 8, rue Férou 75278 Paris cedex 06www.editions-belin.com

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DANS LA COLLECTION BELIN SUP SCIENCESS. BACH, F. BUET, G. VOLETCAPES de Sciences physiques. Tome 2. Chimie, cours et exercices

M. GUYMONTStructure de la matière, cours

A. MAURELOptique ondulatoire, coursOptique géométrique, cours

A. MAUREL, J.-M. MALBECOptique géométrique, rappels de cours et exercices

A. MAUREL et G. BOUCHETOptique ondulatoire, rappels de cours et exercices

J. BRUNEAUX, M. SAINT-JEAN et J. MATRICONÉlectrostatique et magnétostatique, coursÉlectrostatique et magnétostatique, rappels de cours et exercices

DANS LA COLLECTION BELIN SUP HISTOIRE DES SCIENCESR. LEHOUCQ ET J.-P. UZANLes constantes fondamentales

O. DARRIGOLLes équations de Maxwell. De MacCullagh à Lorentz

A. BARBEROUSSELa mécanique statistique. De Clausius à Gibbs

M. BLAYLa science du mouvement. De Galilée à Lagrange

Aude Plaszczynski et Marie-Alix Duval remercient respectivement Daniel André et Henri Sergolle dont les excellents polycopiés ont inspiré des parties des chapitres 8 et 10.

Le code de la propriété intellectuelle n’autorise que « les copies ou reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non desti-nées à une utilisation collective » [article L. 122-5] ; il autorise également les courtes citations effectuées dans un but d’exemple ou d’illustra-tion. En revanche « toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle, sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants droit ouayants cause, est illicite » [article L. 122-4].La loi 95-4 du 3 janvier 1994 a confié au C.F.C. (Centre français de l’exploitation du droit de copie, 20, rue des Grands-Augustins, 75006Paris), l’exclusivité de la gestion du droit de reprographie. Toute photocopie d’œuvres protégées, exécutée sans son accord préalable, constitueune contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal.

© Éditions Belin, 2004 ISSN 1158-3762 ISBN 2-7011-4067-6

Photo de couverture© CNRS photothèque/F. Livolant.Schémas : Laurent Blondel/Corédoc

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Sommaire

1. MÉCANIQUE (Pascal Monceau) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Dynamique du point matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Grandeurs cinétiques fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Principe de l’inertie ; référentiels galiléens (1re loi de Newton) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Principe fondamental de la dynamique. Référentiels galiléens (2e loi de Newton) . . . . 16Principe des actions réciproques (3e loi de Newton) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Principe fondamental de la dynamique. Cas des référentiels non galiléens . . . . . . . . . . 17Théorème du moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Théorème de l’énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Interactions conservatives. Énergie potentielle, énergie mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . 19Forces centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Oscillateur harmonique à une dimension. Oscillations libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Mouvement d’une particule au voisinage d’une position d’équilibre stable . . . . . . . . . . 20Oscillateur harmonique unidimensionnel non amorti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Oscillateur harmonique unidimensionnel amorti par frottement fluide . . . . . . . . . . . . . 21Aspect énergétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Oscillations forcées : l’oscillateur harmonique entretenu ; résonance . . . . . . . . . . . 23Recherche du régime permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Comportement de la réponse en amplitude en fonction de la fréquence . . . . . . . . . . . . 24Aspect énergétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Mécanique des systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Préliminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Centre d’inertie ; référentiel barycentrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Énergie cinétique. Conservation de l’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Théorèmes de Koenig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Réduction canonique du problème à deux corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Mécanique du solide indéformable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Éléments de cinématique du solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Moment cinétique, énergie cinétique, opérateur d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Solide en rotation autour d’un axe fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Moments d’inertie à connaître . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Théorème de Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Contact entre solides. Frottement de glissement, lois de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . 34Roulement sans glissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Statique des fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Notion de pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Loi fondamentale de l’hydrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

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Théorème d’Archimède. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2. ÉLECTROMAGNÉTISME (Mady Elias) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121Électrostatique : charges - forces - champ et potentiel électrostatiques . . . . . . . . . 124

Les charges électriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124L’interaction coulombienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124Le champ électrostatique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124Le potentiel électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125Théorème de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Les équations locales de l’électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127Circulation conservative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127Expression locale du théorème de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128Propriétés du potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129Définition et continuité des champs et des potentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Les conducteurs en électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131Conducteur en équilibre électrostatique – champ et potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131Capacité d’un conducteur seul dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131Plusieurs conducteurs en équilibre électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132Influence totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132Condensateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Énergie potentielle d’interaction électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133Système de charges ponctuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133Distribution continue de charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133Distribution volumique de charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133Énergie associée au champ électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133Utilisation de l’énergie pour le calcul des forces électrostatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Magnétostatique : champ et force magnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134Force magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134Champ magnétique : loi de Biot et Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135Exemples de calcul de

−→B à partir de la loi de Biot et Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Symétries du champ magnétique. Théorème d’Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136Symétries par rapport à un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136Symétries par rapport à un plan 1 inversion du sens des courants (transformation S.I.) 137Circulation du champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

Potentiel-vecteur. Flux et circulation du champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Le potentiel-vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Flux du champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140Équation locale portant sur le potentiel-vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140Relations de passage pour le champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Induction électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141Expérience fondamentale de Faraday (1831) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141Autres conditions de manifestation du phénomène d’induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143Induction mutuelle et auto-induction dans l’approximation des régimes quasi-stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

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Étude d’une bobine réelle dans l’approximation des régimes quasi-stationnaires . . . . . 144Le moteur à courant continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

Constitution d’un moteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144Phénomène d’induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145Couple électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146Moteur à excitation indépendante (ou séparée) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147Moteur à excitation série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Les équations de l’électromagnétisme en régime variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149Équation de continuité (conservation de la charge électrique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149Équation de Maxwell - Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149Potentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Ondes électromagnétiques dans le vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151Équation de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151Une solution particulièrement simple : l’onde plane homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151Ondes sinusoïdales. Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152Énergie électromagnétique : densité volumique et flux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153Vue d’ensemble des radiations électromagnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Électromagnétisme de la matière : étude macroscopique des diélectriques . . . . . . 154Mise en évidence du rôle des diélectriques en électrostatique : polarisation induite . . . 154Vecteur polarisation

−→P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Susceptibilité électronique xe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155Répartition des charges de polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155Potentiel et champ à l’intérieur du diélectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155Équations de Maxwell et conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

Électromagnétisme de la matière : étude microscopique des diélectriques . . . . . . 156Polarisation électronique des atomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156Polarisation des molécules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157Bilan des polarisations des diélectriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Électromagnétisme de la matière : milieux aimantés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158Dipôle magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158Moments dipolaires magnétiques dans la matière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159Description d’un échantillon de matière aimantée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160Équations de Maxwell dans la matière aimantée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

3. ÉLECTROCINÉTIQUE (Michel Toulmonde) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255L’interaction électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

Domaines d’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257Les interactions en physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257Le champ électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257Le potentiel électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258Capacité électrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

Les circuits électriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260Courant électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260Loi d’Ohm pour un conducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

SOMMAIRE 5

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Dipôle électrocinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261Résistance pure (conducteur ohmique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263Loi d’Ohm généralisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264Lois des circuits électriques (lois générales) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266Loi de Joule, énergie, puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

Les régimes sinusoïdaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270Grandeurs sinusoïdales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270Intensité efficace (effet Joule) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271Loi d’Ohm en régime sinusoïdal (circuit RLC série) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271Circuit oscillant « parallèle » (circuit bouchon) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274Puissance en régime sinusoïdal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

Les régimes variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276Régime transitoire avec R, L ou C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276Charge et décharge d’un condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276Courant transitoire dans une bobine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277Décharge d’un condensateur dans une bobine (RLC série) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

Mesure de déphasage à l’oscilloscope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

4. ÉLECTRONIQUE (Mady Elias) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301Réseaux linéaires en régime permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

Lois de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303Théorème de superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303Théorème de Thévenin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303Théorème de Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304Théorème de Millman. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304Conseils d’utilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

Diodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305Semi-conducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305Jonction p-n d’une diode semi-conductrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306Caractéristiques d’une diode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

Transistors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310Description du transistor bipolaire npn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310Le transistor amplificateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

Amplificateur opérationnel ou amplificateur de différence intègre . . . . . . . . . . . . . 314L’amplificateur opérationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314Fonctionnement de l’A.O. en régime linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316Fonctionnement en régime de saturation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316L’amplificateur opérationnel réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317Écarts à la perfection des A.O. réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

Modulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318Principe de la modulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318Modulation d’amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319Modulation de fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

6

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Conversions numérique-analogique et analogique-numérique . . . . . . . . . . . . . . . . 324Généralités sur la conversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324Conversion numérique-analogique (CNA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325Conversion analogique numérique (CAN) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

5. ONDES ( Jean Desbois) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

Équations d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384Propagation unidimensionnelle (ondes planes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

Ondes électromagnétiques dans le vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386Équations de Maxwell dans le vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386Propriétés des ondes électromagnétiques dans le vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388Détection des ondes centimétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

Ondes électromagnétiques dans la matière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390Équations de Maxwell dans les milieux matériels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391Conditions de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391Exemples de milieux matériels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392Réflexion et transmission (incidence normale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393Onde « basse fréquence » dans un métal. Épaisseur de peau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395Pression de radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

Ondes acoustiques dans un fluide parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397Équation d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398Impédance acoustique caractéristique (ou itérative). Réflexion, transmission (incidencenormale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399Ultrasons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

L’effet Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400La source S et le récepteur R ont des mouvements colinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400Cas général non relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401L’onde se réfléchit sur R avant d’être captée par S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401Effet Doppler relativiste. Décalage vers le rouge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425

6. OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE ( Jean Desbois) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459Lois de Descartes. Stigmatisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460

Chemin optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460Principe de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460Lois de Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460Stigmatisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461Image d’un point objet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461Aplanétisme. Grandissement linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462

SOMMAIRE 7

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L’optique de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462Conditions de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462Éléments cardinaux d’un système centré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463Dioptres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465Lentilles. Doublets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466

Qualités des instruments d’optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471Grandissement linéaire g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471Puissance P (pour loupes et microscopes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471Grossissement G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473Champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474Pouvoir séparateur. Limite de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475

Fibres optiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477Fibres à saut d’indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478Fibres à gradient d’indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478Fibres multimodes. Fibres monomodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480Pertes. Coefficient d’atténuation linéique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481Matériau utilisé. Procédé de fabrication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481Utilisation et intérêt des fibres optiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482

Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482Miroirs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482Rétroprojecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483Grandeurs photométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484L’œil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486

Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501

7. OPTIQUE ONDULATOIRE (Nicolas Billy) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531Description d’une onde électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533

Onde électromagnétique monochromatique plane, polarisée rectilignement, dans levide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533Onde électromagnétique monochromatique plane dans un milieu d’indice n . . . . . . . . 535Amplitude complexe et intensité de l’onde lumineuse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536Quelques ordres de grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537

La polarisation de la lumière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538Lumière polarisée : polarisation linéaire, circulaire, elliptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538Polariseur, loi de Malus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539

Cohérence temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540Un modèle simple de cohérence temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541Quelques ordres de grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543Lumière naturelle (ou non polarisée) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543

Coefficients de réflexion et de transmission (à incidence normale) . . . . . . . . . . . . . . 544Coefficients de réflexion et de transmission de l’amplitude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544Coefficients de réflexion et de transmission de l’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545

8

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Les trous de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547Méthode de calcul des déphasages en optique physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547Intensité des interférences lumineuses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548Description de la figure d’interférences, interfrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550Quelques variations sur le thème « trous de Young » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551Observations des interférences de type trous de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560

Interférences non localisées et interférences localisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561Interférences par division d’amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562

Franges d’égale inclinaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562Franges d’égale épaisseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565

Interféromètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568Interféromètre à deux ondes (ou interféromètre à faisceaux séparés) . . . . . . . . . . . . . . . 568Interféromètre à ondes multiples (ou de Fabry-Perot) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569

Principe de Huygens – Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572Qu’est ce que la diffraction ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572Principe de Huygens – Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573Validité du principe de Huygens – Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573Diffraction de Fresnel et diffraction de Fraunhofer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574

Diffraction à l’infini par une fente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575Diffraction par une fente infinie éclairée sous incidence normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575Diffraction par une fente infinie éclairée sous incidence oblique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577

Diffraction à l’infini par une ouverture rectangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578Diffraction par une ouverture circulaire, limite de résolution des instrumentsd’optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581

Diffraction à l’infini par une ouverture circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581Limite de résolution d’un instrument d’optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582

Diffraction à l’infini par deux écrans complémentaires, théorème de Babinet . . . 584Processus d’interaction entre la matière et le rayonnement. Émission stimulée . . 584

Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584Description qualitative des processus d’interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586Description quantitative : émission spontanée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587Description quantitative : absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589Description quantitative : émission stimulée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590Équilibre thermodynamique, rayonnement du corps noir, relations entre coefficientsd’Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591

Principes de fonctionnement d’un laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592Cavité optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593Milieu amplificateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594Propriétés du rayonnement émis par un laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598

Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610

8. THERMODYNAMIQUE (Aude Plaszczynski) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635Vocabulaire et définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637

Notion de système thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637

SOMMAIRE 9

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État d’un système. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637Transformations d’un système. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638Variables d’état communément utilisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638

Gaz parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639Définition et équation d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639Mélange de gaz parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639Transformations d’un gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640

Quelques propriétés des corps purs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640Coefficients thermoélastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640Diagramme d’état (P; T ) d’un corps pur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641Diagramme (P; V ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641Cas particulier de l’eau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642

Premier principe de la thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642Notion d’énergie interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642Définition énergétique du gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643Le premier principe de la thermodynamique (pour les systèmes fermés) . . . . . . . . . . . . 643Notion d’enthalpie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644

Calcul du travail échangé par un système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646Définition du travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646Différents types de transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647Travail des forces de pression pour une transformation quasi-statique . . . . . . . . . . . . . . 647Exemples de calcul du travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647

Calcul de la chaleur échangée par un système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648Coefficients calorimétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648Chaleur échangée par des solides ou des liquides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648Chaleur échangée par un gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649Changements de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651

Détentes de Joule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652Détente de Joule-Gay-Lussac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652Détente de Joule-Thomson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653

Second principe de la thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653Notion d’entropie, énoncé du second principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653Différentielle de l’entropie ; application au cas du gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654Bilan entropique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655Diagrammes entropiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657

Machines thermiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658Relations fondamentales. Inégalité de Clausius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659Différents types de machines thermiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659Rendement et efficacité des machines thermiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 660Exemples de fonctionnement de machines frigorifiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661Moteurs de Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662

Théorie cinétique des gaz parfaits monoatomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662Les bases de la théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663Propriétés du gaz parfait : interprétation microscopique de la pression et de latempérature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664Loi de distribution de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667

10

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Transferts thermiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669Aspects phénoménologiques de la diffusion thermique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669Flux de chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 670Loi de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 670Les équations de la diffusion thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673

Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686

9. PHYSIQUE MODERNE (Marie-Alix Duval) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703Dualité onde-corpuscule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704

Phénomènes ou expériences classiquement inexplicables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704Dualité onde-corpuscule en électromagnétisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709Généralisation de la dualité onde-corpuscule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709

Dynamique relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710Un peu de relativité restreinte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710Cinématique des réactions du type 1(12) → 3 1 4 1 5 1 · · · . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712

Le noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714Radioactivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716

10. ASTRONOMIE (Michel Toulmonde) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733L’astronomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735

Repères historiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735Domaines d’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735

Mouvements apparents. Les observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735Le mouvement diurne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736Mouvements apparents du Soleil et de la Lune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737Les phases de la Lune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738Les éclipses de Soleil et de Lune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739Mouvements apparents des planètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 740

Temps et calendrier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 741Origine astronomique des unités de temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742Valeur des unités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742Le jour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743Remarques importantes sur le vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744

Les échelles dans l’Univers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745Unités de distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745Exemples de distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745Parallaxe stellaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747Le Système solaire à l’échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748

Détermination des distances de la Lune et du Soleil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 750La distance Terre-Lune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 750La distance Terre-Soleil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751

SOMMAIRE 11

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Mesure de la Terre par Ératosthène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752Copernic et le modèle héliocentrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754

Les périodes sidérales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754Les distances au Soleil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755Modèle géocentrique et modèle héliocentrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756

La gravitation universelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757Aspect historique de la découverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757Newton et la force centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758Newton, la pomme et la Lune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759Masse d’inertie et masse gravitationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759Masse de la Terre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759

Les marées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759Attraction différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759Le marnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761Rythme des marées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761Influence du Soleil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761Ralentissement de la rotation de la Terre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762Période de rotation de la Lune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763

Lunettes et télescopes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765Évolution historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765Clarté d’un instrument (lunette ou télescope) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767Pouvoir séparateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767Radiotélescopes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767

Analyse spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768Découvertes de Newton (1670) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768Principes de l’analyse spectrale (1859) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769Effet Doppler-Fizeau (1848) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769

Nucléosynthèse stellaire et vie des étoiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 770Les réactions nucléaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 770Évolution d’une étoile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771Abondance des éléments dans l’Univers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771Quelques lois du rayonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772

Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781

A. RAPPELS MATHÉMATIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797Formules de trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797Moyenne d’une fonction périodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 798Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 798Quelques relations utiles d’analyse vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 799

12

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C h a p i t r e 1MécaniqueLes notes de cours de ce chapitre rappellent les grands principes et théorèmesindispensables pour passer le concours du CAPES et enseigner la physique enlycée et collège. Elles attirent d’autre part l’attention sur certains points précis dontl’expérience montre qu’ils posent souvent des problèmes aux étudiants. Elles doiventêtre conçues comme un guide pour les révisions. Leur contenu doit être connuavec précision avant d’aborder les exercices et problèmes qui en permettrontl’assimilation.Les exercices et problèmes ont été sélectionnés de manière à constituer un ensemblepédagogiquement cohérent : ils recouvrent une très large partie du contenu du pro-gramme, et requièrent l’utilisation de la plupart des méthodes mises en oeuvre pourrésoudre les problèmes de mécanique.

1. Dynamique du point matériel1.1. Grandeurs cinétiques fondamentales1.2. Principe de l’inertie ; référentiels galiléens (1re loi de Newton)1.3. Principe fondamental de la dynamique. Référentiels galiléens (2e loi de Newton)1.4. Principe des actions réciproques (3e loi de Newton)1.5. Principe fondamental de la dynamique. Cas des référentiels non galiléens1.6. Théorème du moment cinétique1.7. Théorème de l’énergie cinétique1.8. Interactions conservatives. Énergie potentielle, énergie mécanique1.9. Forces centrales

2. Oscillateur harmonique à une dimension. Oscillations libres2.1. Mouvement d’une particule au voisinage d’une position d’équilibre stable2.2. Oscillateur harmonique unidimensionnel non amorti2.3. Oscillateur harmonique unidimensionnel amorti par frottement fluide2.4. Aspect énergétique

3. Oscillations forcées : l’oscillateur harmonique entretenu ; résonance3.1. Recherche du régime permanent3.2. Comportement de la réponse en amplitude en fonction de la fréquence3.3. Aspect énergétique

4. Mécanique des systèmes4.1. Préliminaire4.2. Centre d’inertie ; référentiel barycentrique

1. MÉCANIQUE 13

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4.3. Quantité de mouvement4.4. Moment cinétique4.5. Énergie cinétique. Conservation de l’énergie4.6. Théorèmes de Koenig4.7. Réduction canonique du problème à deux corps

5. Mécanique du solide indéformable5.1. Éléments de cinématique du solide5.2. Moment cinétique, énergie cinétique, opérateur d’inertie5.3. Solide en rotation autour d’un axe fixe5.4. Moments d’inertie à connaître5.5. Théorème de Huygens5.6. Contact entre solides. Frottement de glissement, lois de Coulomb5.7. Roulement sans glissement

6. Statique des fluides6.1. Notion de pression6.2. Loi fondamentale de l’hydrostatique6.3. Théorème d’Archimède

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1. DYNAMIQUE DU POINT MATÉRIEL

1.1. Grandeurs cinétiques fondamentales

p

M

R

O

Pour un point matériel M, de masse m, animé d’unevitesse −→v par rapport à un référentiel R donné, ondéfinit les grandeurs cinétiques suivantes :* Quantité de mouvement :

−→p = m−→v

* Moment cinétique en un point A :

−→sA =−−→AM ∧ −→p

(moment en A de la quantité de mouvement).* Énergie cinétique :

Ec =12

mv2

1.2. Principe de l’inertie ; référentiels galiléens(1re loi de Newton)

Principe : Il existe des référentiels privilégiés, appelés galiléens, dans lesquels la quantité demouvement d’une particule isolée est constante (cela correspond soit au repos, soit au mouvementrectiligne uniforme).

VO1

R1

y1

z1

x1 O2

R2

y2

z2

x2

Cette loi fait des droites des objets cinéma-tiques privilégiés. Ce sont aussi des objetsgéométriques privilégiés (dans un espaceeuclidien).Les référentiels galiléens sont en transla-tion rectiligne uniforme les uns par rap-port aux autres. L’opérateur qui permetde passer d’un référentiel à un autre estla transformation de Galilée G(V ). Ellecontient l’homogénéité et l’isotropie del’espace ainsi que l’uniformité du temps. La vitesse de propagation de l’informationest supposée infinie. Dans l’hypothèse où R2 est en translation rectiligne uniforme devitesse V par rapport à R1, dans la direction parallèle à Ox (Fig. ci-dessus), la relation

1. MÉCANIQUE 15

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entre les deux référentiels s’écrit (dans les repères définis par les origines O1, O2 et lestrois axes de directions fixes associés) :

x1

y1

z1

t1

=

1 0 0 V

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

x2

y2

z2

t2

Matriciellement, cette relation s’écrit :

[X1] =[

G(−→V )

][X2]

Il est facile de montrer que l’ensemble{[

G(−→V )

]}des transformations de Galilée a une

structure de groupe :

[G(

−→V )

]⊗

[G(

−→V ′)

]=

[G(

−→V ")

]où

−→V ′′ =

−→V 1

−→V ′

Les lois de la mécanique classique sont invariantes dans les transformations du groupede Galilée.

1.3. Principe fondamental de la dynamique. Référentielsgaliléens (2e loi de Newton)

Principe : Dans un référentiel galiléen, la dérivée de la quantité de mouvement d’un point matérielpar rapport au temps est égale à la somme des forces qu’il subit.(

d−→pdt

)Rgal

=∑−→

f

Dans un autre référentiel galiléen, le principe fondamental appliqué à ce point s’écritexactement de la même façon, puisque deux référentiels galiléens ne sont pas accélérésl’un par rapport à l’autre.Dans le cas où la masse du point est constante, ce principe s’écrit m−→a =

∑−→f

1.4. Principe des actions réciproques (3e loi de Newton)

Principe : Si un point matériel 1 exerce sur un point matériel 2 une force−−→F1→2, alors le point

matériel 2 exerce sur 1 une force opposée−−→F2→1 = −

−−→F1→2

Cette loi suppose une transmission instantanée de l’information. Ainsi, le principe desactions réciproques n’est-il plus valable dans le cadre de la théorie de la relativité restreinte.

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1.5. Principe fondamental de la dynamique. Cas des référentielsnon galiléens

O1

R1Galiléen en translation non

rectiligne uniformepar rapport à R1

y1

z1

x1 O2

R2

y2

z2

x2

M• R2 est en translation par rapport à R1(translation non rectiligne uniforme).

Principe : Le principe fondamental de ladynamique dans R2 non galiléen s’écrit :

(d−→pdt

)R2

=∑−→

f 1−→fie(M)

−→fie(M) est la force d’inertie d’entraînement dupoint M due à l’accélération de R2 par rapportà R1 galiléen.

Dans le cas d’une translation, l’accélération d’entraînement du point M ne dépend ni desa position par rapport à R2 ni de sa vitesse par rapport à R2 et on a :

−→fie (M) = −m−→ae (M) = −m−→a (R2/R1) = −m

(d2−−−→O1O2dt2

)

où −→a (R2/R1) est l’accélération de R2 dans sa translation par rapport à R1.

O

M

H

R1 z1

x1

y1

R2x2

z2y2

• R2 est en rotation autour d’un axe par rap-port à R1

Principe : Le principe fondamental de la dyna-mique dans R2 non galiléen s’écrit :

(d−→pdt

)R2

=∑−→

f 1−→fie(M) 1

−→fic (M)

où−→fie(M) est la force d’inertie d’entraînement du

point M due à la rotation de R2 par rapport à R1galiléen et

−→fic (M) la force d’inertie de Coriolis du

point M.

L’accélération d’entraînement du point Mcomporte deux termes dépendant de la posi-tion de M dans R2. L’un d’entre eux est la cause de la célèbre force d’inertie centrifuge,l’autre n’intervient que si la rotation de R2 par rapport à R1 est non uniforme. Si

−→V (R2/R1)

1. MÉCANIQUE 17

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désigne le vecteur rotation (ici parallèle à Oz1) de R2 par rapport à R1, on a :

−→fie (M) = −m−→ae (M) = mV2

−−→HM︸︷︷︸

force d’inertiecentrifuge (en mV2r)

−md−→V (R2/R1)

dt∧ −−→OM

où H est le projeté orthogonal de M sur Oz1L’accélération de Coriolis du point M dépend de la vitesse de M dans le référentielentraîné R2, −→vR2 (M)

−→fic (M) = −2m

−→V (R2/R1) ∧ −→vR2 (M)

1.6. Théorème du moment cinétique

Théorème : La dérivée par rapport au temps du moment cinétique du point matériel M en unpoint fixe O d’un référentiel galiléen est égale à la somme des moments en ce point des forcessubies par M : (

d−→s Odt

)Rgal

=∑−→

MO(−→f ) où

−→MO(

−→f ) =

−−→OM ∧

−→f

Pour utiliser le théorème du moment cinétique dans un référentiel non galiléen, il fautajouter à la somme des moments les moments des forces d’inertie d’entraînement et deCoriolis, soit

−−→OM ∧ −→fie (M) et

−−→OM ∧ −→fic (M).

1.7. Théorème de l’énergie cinétique

• Cas d’un référentiel galiléen

O

M1

M2Rgal

Théorème : Dans un référentiel galiléen, lavariation d’énergie cinétique du point M entredeux instants t1 et t2 est égale à la somme destravaux des forces subies par M entre ces deuxinstants.

DEc = Ec2 − Ec1 =∑

W1→2(−→f )

où

W1→2(−→f ) =

∫ M2M1

−→f · d−−→OM

Si −→v désigne le vecteur vitesse de M, la puissance de la force −→f à un instant donné est :

P (−→f ) =

dWdt

=−→f · −→v

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Il est utile de se rappeler qu’on peut calculer le travail en intégrant la puissance de−→f

entre deux instants :

W1→2(−→f ) =

∫ t2t1

P (−→f )dt

• Cas d’un référentiel non galiléen : il faut ajouter à la somme des travaux des forces, lestravaux des forces d’inertie d’entraînement.

Remarque : la force d’inertie de Coriolis ne travaille pas, puisqu’elle est à chaqueinstant normale à la vitesse du point dans le référentiel entrainé (sa puissance esttoujours nulle) :

P (−→fic (M)) =

−→fic (M) · −→vR2 (M) = 0, (∀t)

1.8. Interactions conservatives. Énergie potentielle, énergiemécanique

• Forces conservatives : une force est conservative si son travail lors du déplacement dupoint matériel M d’un point A à un point B ne dépend pas du chemin suivi. En particuliersur un contour fermé quelconque :∮

C

−→f · d−−→OM = 0, ∀C, fermé

Il est alors facile de montrer qu’une force est conservative si et seulement s’il existe unefonction scalaire Ep(x, y, z), ne dépendant que des coordonnées d’espace, telle que :

−→f (x, y, z) = −−−→gradEp(x, y, z)

On a alorsWA→B(

−→f ) = Ep(A) − Ep(B)

L’énergie potentielle Ep(x, y, z) n’est pas, étant donné un champ de forces, définie de

façon univoque, mais à une constante additive près. On dit que le champ de forces−→f

dérive d’un potentiel.Etant donné un champ de forces

−→f , il est donc conservatif si −→rot(−→f ) = −→0

• Conservation de l’énergie mécanique : en appliquant le théorème de l’énergie ciné-tique, dans le cas où les forces dérivent toutes d’un potentiel, on montre que :

Théorème : L’énergie mécanique Em = Ec 1 Ep d’une particule soumise uniquement à des forcesconservatives ne dépend pas du temps :

dEmdt

= 0

Il est important de remarquer que cette propriété reste vraie si la particule est aussisoumise à des liaisons (forces de contact avec une surface ou une courbe) à conditionque celles-ci ne travaillent pas. C’est en particulier le cas en l’absence de frottements,mais aussi lorsqu’on a des frottements latéraux, de résultante orthogonale à la vitesse àtout instant.

1. MÉCANIQUE 19

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1.9. Forces centrales

Un point matériel M est soumis à une force centrale de centre O si la droite d’actionde cette force passe par O quelle que soit la position de M. Une telle force dérive d’uneénergie potentielle qui est obligatoirement isotrope (les lignes de force sont orthogonalesaux surfaces d’égale énergie potentielle) de sorte qu’on l’écrit

−→F = f (r)−→ur , où −→ur est le

vecteur unitaire radial des coordonneés sphériques, avec f (r) = −dEpdr

.

Propriétés : Soit un point matériel M soumis uniquement à une force centrale de centre O. Onobserve les propriétés suivantes :

– Le moment cinétique en O −→s O(M) du point matériel est conservatif.– Le mouvement de M s’effectue donc dans un plan perpendiculaire à −→s O(M) et passant par O.

On le décrira de manière pratique en coordonnées polaires.

– Le mouvement de M obéit à la loi des aires : pendant une durée Dt donnée, le rayon vecteur−−→OM balaie des aires égales, quelle que soit la position de M.

– L’énergie mécanique du point M dans un champ de forces central−→F = f(r)−→ur est conservative.

Compte tenu de la conservation du moment cinétique, on peut passer des expressionsgénérales de la vitesse et de l’accélération en coordonnées polaires (r, u) à des relations nefaisant plus intervenir le temps ; ce sont les formules de Binet. En définissant la constantedes aires C par ‖−→s O(M)‖ = mC, on a C = r2, et :

v2 = C2[(

1r

)21

(ddu

(1r

))2]−→a = −C

2

r2

1r 1

d2(

1r

)du2

−→ur

➜ Voir exercices 1 à 15

2. OSCILLATEUR HARMONIQUE À UNE DIMENSION.OSCILLATIONS LIBRES

2.1. Mouvement d’une particule au voisinage d’une positiond’équilibre stable

Une position d’équilibre stable pour une particule placée dans un champ de forces dérivantd’une énergie potentielle se définit par l’existence d’une force de rappel lorsqu’on l’écartede cette position ; comme

−→F = −−−→grad(Ep), cela se traduit par un minimum de l’énergie

potentielle. Dans le cas général multidimensionnel, l’étude des positions d’équilibre et deleur stabilité peut être difficile car les surfaces équipotentielles peuvent avoir une topologiecompliquée (points selles,... )

20

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2.2. Oscillateur harmonique unidimensionnel non amorti

L’hypothèse harmonique suppose que la réponse est linéaire : la force de rappel estproportionnelle au déplacement x de la particule par rapport à sa position d’équilibrestable. L’énergie potentielle est donc quadratique par rapport aux déplacements.• Étude dynamique : à une dimension Fx = −kx, où x repère le déplacement de la parti-cule par rapport à l’équilibre, est la seule force qu’elle subit. Le principe fondamental dela dynamique conduit à une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficientsconstants :

d2xdt2

1 v20x = 0

La solution générale peut s’écrire x(t) = a sin(v0t 1 f) où v20 =km

. v0 est la pulsation

propre de l’oscillateur ; a et f dépendent de deux conditions initiales.Les oscillations d’un oscillateur harmonique non amorti sont isochrones : leur pul-sation ne dépend pas de l’amplitude du mouvement.• Aspect énergétique : l’énergie mécanique d’un oscillateur harmonique non amorti estune intégrale première du mouvement. Em =

12

mv2112

kx2 est constante, proportionnelle

au carré de l’amplitude des oscillations et au carré de la pulsation : Em =12

ma2v20Un oscillateur harmonique ne possède que des états liés : deux barrières de potentiel leconfinent dans une région finie de l’espace.

Théorème du viriel : L’énergie cinétique et l’énergie potentielle de l’oscillateur harmonique sontoscillantes, de période égale à T0/2. Leurs moyennes temporelles sont égales.

2.3. Oscillateur harmonique unidimensionnel amorti parfrottement fluide

• Aspect dynamique ; mise en équation : en plus de la force de rappel Fx = −kx, laparticule est soumise à une force de frottement fluide

−→f = −h−→v (h > 0). L’équation

différentielle du mouvement s’écrit :

d2xdt2

11t

dxdt

1 v20x = 0 où v20 =

km

et1t

=hm

v0 est la pulsation propre de l’oscillateur et t correspond physiquement à un temps derelaxation ; c’est le temps caractéristique du régime libre. Lorsqu’on écarte le systèmede l’équilibre et qu’on le lâche, il revient à sa position d’équilibre et au repos après« quelques t ».

• Solutions de l’équation différentielle ; représentation complexe : l’équation caracté-ristique associée à l’équation différentielle est r2 1 (1/t)r 1 v20 = 0La forme des solutions de l’équation différentielle dépend du signe de D = 1/t2 − 4v20

1. MÉCANIQUE 21

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– Si D > 0 (2v0t < 1), soit (h > 2√

mk), le régime est apériodique : amortissement assezimportant. L’équation caractéristique a 2 racines réelles négatives distinctes r1 et r2.La solution générale s’écrit :

x(t) = a exp(r1t) 1 b exp(r2t)

La particule retourne à sa position d’équilibre sans effectuer d’oscillations. Il est importantde remarquer que le fait que les racines soient négatives assure le retour à l’équilibre (lalimite de la vitesse lorsque t tend vers l’infini est zéro).– Si D < 0 (2v0t > 1), soit (h < 2

√mk), le régime est oscillatoire : amortissement

assez faible. L’équation caractéristique a deux racines complexes distinctes c1 et c2 à partieréelle négative ; la solution générale complexe s’écrit : X (t) = a exp(c1t) 1 b exp(c2t).L’élongation est alors la partie réelle (notée x) de X ; il apparaît naturellement dans lecalcul la pulsation

V =√

v20 − 1/4t2

On écrit la solution :

x(t) = exp(−t/2t)(a cos Vt 1 b sin Vt)

La particule retourne à sa position d’équilibre en effectuant des oscillations dont l’ampli-tude décroît exponentiellement, avec un temps caractéristique de l’ordre de 2t ; bien quela fonction x(t) ne soit pas périodique, on remarque qu’elle s’annule à des intervalles detemps égaux permettant de définir une pseudo-période T = 2p/V.La pseudo-période des oscillations amorties est toujours un petit peu plus élevée que lapériode propre, mais en reste très proche dans la limite de l’amortissement faible.Le décrément logarithmique d caractérise la rapidité de l’amortissement ; c’est le rapportentre les deux temps caractéristiques qui apparaissent naturellement dans l’équation diffé-rentielle, à savoir la période propre et le temps de relaxation. L’amplitude des oscillationsdécroît d’autant plus vite que d est élevé.

x(t 1 T )/x(t) = exp(−T/2t) et d = T/2t

Le rapport des amplitudes des oscillations espacées d’une pseudo-période est uneconstante égale à exp(−d).– Si D = 0 (2v0t = 1), (soit h = 2

√mk), le régime est critique : c’est le régime qui assure

la transition entre le régime apériodique et le régime oscillatoire. La solution générales’écrit :

x = (at 1 b) exp(−t/2t)

La particule retourne à sa position d’équilibre sans effectuer d’oscillations. Il est facilede montrer que, pour des conditions initiales et pour v0 et t fixés, le temps que met laparticule pour retourner à l’équilibre est alors minimal.

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2.4. Aspect énergétique

À partir de l’équation différentielle, on multiplie chaque membre par ẋ, et on intègreentre t1 et t2 :

mẍ(t)ẋ(t) 1 kx(t)ẋ(t) = −hẋ(t)2

E(t2) − E(t1) =∫ t2

t1

−→f · −→v dt = −

∫ t2t1

hẋ(t)2dt

L’énergie mécanique d’un oscillateur harmonique amorti diminue au cours du temps : lavariation d’énergie mécanique du système entre deux instants est égale au travail de laforce de frottement entre ces deux instants.


3. OSCILLATIONS FORCÉES : L’OSCILLATEUR HARMONIQUEENTRETENU; RÉSONANCE

L’oscillateur harmonique entretenu est soumis de plus à une force extérieure périodiqueet sinusoïdale F(t) de période T .

3.1. Recherche du régime permanent

À une dimension, le principe fondamental de la dynamique conduit à une équationdifférentielle linéaire du second ordre à coefficients constants. La solution générale estla somme de l’intégrale générale de l’équation sans second membre et d’une intégraleparticulière de l’équation avec second membre :

ẍ(t) 11t

ẋ(t) 1 v20x(t) = F (t)/m

La solution générale de l’équation sans second membre se caractérise par le fait que salimite tend vers 0 lorsque t tend vers l’infini, quel que soit le régime transitoire ; dansla pratique, cette solution « s’écrase » sur un temps caractéristique de quelques t. Celasous-entend évidemment, que le frottement fluide n’est pas nul.F (t) étant une excitation sinusoïdale, on est amené à chercher une réponse sinusoïdalez(t) de même fréquence. On utilise la représentation complexe (x = Re(z)) :

z̈(t) 11t

ż(t) 1 v20z(t) =(

f0/m)

eivt => z(t) = z0eivt

avec

z0 =f0m

31

(v20 − v2) 1 iv/t

1. MÉCANIQUE 23

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– En régime permanent, l’oscillateur répond à la fréquence fixée par l’excitateur.– L’amplitude de la réponse est proportionnelle à l’amplitude de l’excitation (réponselinéaire).– L’amplitude de la réponse dépend des caractéristiques intrinsèques de l’oscillateur(v0, t) et de la fréquence v de l’excitateur .– La réponse présente en général un déphasage avec l’excitation.

On peut définir la réponse en vitesse par ż = v0 exp(ivt), où v0 = ivz0 :

v0 =f0m

3iv

(v20 − v2) 1 iv/t

3.2. Comportement de la réponse en amplitude en fonctionde la fréquence

• Le phénomène de « résonance en amplitude »Avertissement : Il importe de remarquer que le titre est entre guillemets. On dit qu’ily a résonance lorsque la puissance cédée par l’excitateur à l’oscillateur est maximale ;cela se produit lorsque la fréquence de l’excitateur est rigoureusement égale à la fréquencepropre de l’excitateur. La mise en évidence du phénomène de résonance proprement ditnécessite l’étude de la réponse en vitesse ; on ne peut donc pas en toute rigueur parler de« résonance en amplitude ».z0(v) = ( f0/m).Fa(v) conduit à :

|Fa(v)| =1√

(v20 − v2)2 1 (v/t)2et tan f(v) = − v/t

v20 − v2

où f est le déphasage entre la force excitatrice F (t) et la réponse en amplitude x(t). Laseule donnée de tan f(v) ne suffit pas à déterminer la phase f(v). Pour la déterminer, onpeut remarquer que l’argument de Fa(v) est négatif.

1

Fa,max

Fa,max

2

21

Fa

>>1

ωοτ <

m

Si l’oscillateur est assez faiblement amorti

(pour v0t >1√2

) l’amplitude de la réponse

présente un maximum pour une pulsationexcitatrice vm légèrement inférieure à la pul-sation propre v0 de l’oscillateur ; la forceexcitatrice est alors en avance de un peumoins de p/2 sur le déplacement. On a

vm =√

v20 − 1/2t2

• Réponse à basse fréquence : dans la limite des basses fréquences, la force excitatriceest pratiquement en phase avec le déplacement.

24

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• Réponse à haute fréquence : dans la limite des hautes fréquences, la réponse tend vers 0comme 1/v2 (l’oscillateur n’ a pas le temps de répondre à cause de son inertie). La forceest pratiquement en opposition de phase avec le déplacement.

• Acuité de la « résonance en amplitude » : dans la limite d’un amortissement nettementfaible (v0t � 1) vm est très voisin de v0 et l’acuité de la résonance en amplitude estcaractérisée par une largeur de bande passante telle que :

Dva = 1/t

La « résonance » en amplitude, lorsqu’elle existe est d’autant plus étroite que l’amortisse-ment est faible. Il en va de même pour la résonance définie par la vitesse à la différencequ’elle n’existe pas toujours.

• Principe de causalité : les effets ne peuvent précéder les causes. Cela se manifeste ici parle fait que la réponse en amplitude est toujours en retard de phase sur la force excitatrice.

3.3. Aspect énergétique

• Bilan instantané : l’énergie cinétique et l’énergie potentielle sont des fonctions pério-diques, de période T/2 dont l’amplitude dépend du module de la fonction de réponse.L’énergie mécanique est en général dépendante du temps.Ce n’est que dans le cas où la fréquence de l’excitateur est égale à la fréquence proprede l’oscillateur que la puissance instantanée qu’il lui fournit est égale à la puissanceinstantanée dissipée par l’amortissement.• Puissance moyenne absorbée : résonance. La puissance moyenne absorbée est lagrandeur moyenne effectivement accessible à la mesure.

〈P〉T (v) =1T

∫ T0

p(t)dt =f 20 t2m

1(v20 − v2

v/t

)21 1

La puissance moyenne absorbée par l’oscillateur a un profil fréquentiel Lorentzien. Elleest maximale lorsque la fréquence de l’excitateur est égale (rigoureusement) à la fréquencepropre de l’oscillateur ; la bande passante en puissance (largeur totale à mi-hauteur de〈P〉T (v)) est telle que :

Dv〈P〉 3 t = 1

Le facteur de qualité Q ne dépend que des caractéristiques de l’oscillateur et rend comptede l’acuité de la résonance :

Q =v0

Dv〈P〉≈ v0t


1. MÉCANIQUE 25

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4. MÉCANIQUE DES SYSTÈMES

Les définitions et théorèmes tels qu’ils sont énoncés ici sont valables aussi bien pour dessolides indéformables que pour des systèmes déformables.

4.1. Préliminaire

Au sens classique, un système S peut être défini comme un ensemble de points matérielsMi, chacun étant affecté d’une masse mi. Le passage à des distributions continues de masses’impose souvent lorsque l’on calcule les grandeurs mécaniques (moments d’inertie oupositions de centres de gravité,...). Il est cependant plus pratique de retenir les définitionssous forme discrète et facile de retrouver rapidement tous les théorèmes de la mécaniquedes systèmes en utilisant des sommes discrètes plutôt que des intégrales.Le passage du discret au continu pour une grandeur mécanique A s’effectue en rempla-çant : ∑

i

A(Mi)mi par∫∫∫

A(M)dm.

4.2. Centre d’inertie ; référentiel barycentrique

Le centre d’inertie G du système matériel S, de masse totale m est défini par :

−−→OG =

∑Mi∈S

mi−−→OMi

m

ce qui peut s’écrire−−→OG =

∫∫∫S

−−→OMdmm

dans le cas d’une distribution continue.

– La position de G ne dépend pas du choix de O.– Si la distribution de masse du système présente des symétries (plans, axes), G est àl’intersection de ses éléments de symétrie. Pour déterminer les éléments de symétrie deS, l’examen de la forme géométrique ne suffit pas. Il faut penser à l’homogénéité de ladistribution de masse.Le référentiel barycentrique (Rba) associé à R a son origine en G et est en translation(généralement non rectiligne) par rapport à R ; les axes du repère barycentrique sont àtout instant parallèles aux axes de R.

R

O GG

Rba

Rba

Instant t1 Instant t2

26

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�

�

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�

4.3. Quantité de mouvement

Définition : La quantité de mouvement du système S dans le référentiel R est :

−→p (S/R) =∑Mi∈S

mi−→v (Mi/R)

Cette définition n’est généralement pas utilisable directement pour calculer des quantitésde mouvement dans un problème de mécanique. Il est donc crucial de se rappeler qu’ildécoule de la définition de G la relation très utile :

−→p (S/R) = M−→v (G/R)

La définition même de Rba implique que la quantité de mouvement d’un système estnulle à tout instant dans le référentiel barycentrique (−→p (S/Rba) =

−→0 ) ; cette propriété

est utile pour traiter des problèmes de chocs.• Principe de l’inertie : différents énoncés peuvent en être donnés. À ce titre-là, il estintéressant de se reporter à l’ouvrage d’Isaac Newton De philosophiae naturalis principiamathematica paru en 1687.

Principe : Dans un référentiel galiléen, la quantité de mouvement d’un système isolé estconstante.

Il importe de bien avoir présent à l’esprit que cela signifie que G est soit au repos, soit enmouvement rectiligne et uniforme, et que le système peut se déformer et tourner autourde G• Théorème du centre d’inertie (ou résultante cinétique)

Théorème : Le mouvement du centre d’inertie d’un système est le même que celui d’un pointmatériel dont la masse totale serait celle du système et auquel seraient appliquées toutes les forcesextérieures. (

d−→p (S/Rgal)dt

)Rgal

=∑−→

Fext

Dans le cas où R n’est pas galiléen, il faut ajouter à la somme des forces extérieures, lesforces d’inertie d’entraînement et de Coriolis (il faut en général intégrer sur la totalitédu système pour les calculer).

4.4. Moment cinétique

Définition : Le moment cinétique en un point quelconque A, du système S par rapportà R est :

−→sA(S/R) =∑Mi∈S

−−→AMi ∧ mi−→v (Mi/R)

1. MÉCANIQUE 27

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�

Le moment cinétique dépend du point où on le calcule et se transforme comme untorseur :

−→sA(S/R) = −→s B(S/R) 1−→AB ∧ −→p (S/R)

• Théorème du moment cinét

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