Credibilité

Chapitre 1 - IntroductionChapitre 2 - Prime de Bayes

Chapitre 3 - Estimateurs de credibiliteChapitre 4 - Mode`le de Buhlmann-Straub

http://www.therond.fr

Theorie de la credibilite

Pierre [email protected]

Institut de Science Financie`re et dAssurances - Universite Lyon 1

Annee universitaire 2013-2014

Pierre Therond Theorie de la credibilite



Plan du cours

1 Chapitre 1 - Introduction

2 Chapitre 2 - Prime de Bayes

3 Chapitre 3 - Estimateurs de credibilite

4 Chapitre 4 - Mode`le de Buhlmann-Straub




Bibliographie principale

Buhlmann H., Gisler A. (2005) A course in Credibility Theory and itsApplications, Springer.

Denuit M., Charpentier (2005) Mathematiques de lassurance non-vie, volumeII, Economica.

Herzog T.N. (1999) Introduction to Credibility Theory, ACTEX Publications.

Partrat Ch., Besson J.L. (2004) Assurance non-vie, Economica.

Philbrick S.W. (1981) An examination of credibility concepts, Proceedings ofthe CAS, vol. 68, 195-219.




Bibliographie complementaire

Buhlmann H. (1967) Experience Rating and Credibility, ASTIN Bulletin, vol. 4,199-207.

Buhlmann H., Straub E. (1970) Glaubwurdigkeit fur Schadensatze, Mitteilungen derVereinigung Schweizerischer Versicherungsmathematiker, vol. 70.

Cohen A., Dupin G., Levy C. (1986) Tarification de lincendie des risques industrielsfrancais par la methode de la credibilite, ASTIN Bulletin, vol. 4.

Denuit M., Kaas R., Goovaerts M., J. Dhaene (2005) Actuarial Theory for De-pendent Risks : Measures, Orders and Models, Wiley : New York.

Droesbeke J.J., Fine J., Saporta G. (editeurs) (2002) Methodes bayesiennes enstatistique, Technip.

Gerber H. (1995) A teachers remark on exact Credibility, ASTIN Bulletin, vol. 16.

Goulet V. (1998) Principles and application of credibility therory, Journal of ActuarialPractice, vol. 6.

Longley-Cook L.H. (1962) An Introduction to Credibility Theory, Proceedings of theCAS, vol. 49, 194-221.




Exercices

Des exercices figurent en fin de chaque chapitre.

Les etudiants sont neanmoins invites a` consulter le recueil dexercices deVincent Goulet et Hele`ne Cossette disponible sur

http://vgoulet.act.ulaval.ca/ressources/credibilite/

Cossette, H. et Goulet, V., Exercices en theorie de la credibilite : Avecsolutions, 2e ed. revisee, Document libre publie sous contrat CreativeCommons, 2008. ISBN 978-2-9809136-9-3




Illustrations introductivesTheorie de la fluctuation limiteeFormalisation mathematiqueExercices

Sommaire

1 Chapitre 1 - IntroductionIllustrations introductivesTheorie de la fluctuation limiteeFormalisation mathematique du proble`me de tarification








1. Illustrations introductives

1 Chapitre 1 - IntroductionIllustrations introductives

Une premie`re illustrationExemple de Ragnar Norberg

Theorie de la fluctuation limiteeLes originesFluctuation limiteeCredibilite totaleCredibilite partielleQuelques remarques

Formalisation mathematique du proble`me de tarificationRisques individuel et collectifFormulation bayesienne





1.1. Une premie`re illustration





1.2. Exemple de Ragnar Norberg

Considerons 20 contrats independants et a priori homoge`nes (la segmentationne permet pas de les differencier). Ces contrats peuvent etre touches par dessinistres de montant 1 dont la survenance annuelle est distribuee selon une loide Bernoulli.

Ces 20 contrats ont ete observes sur une periode de 10 ans.






Sinistralite observee

Annees 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total

contrat 1 0contrat 2 0contrat 3 1 1 2contrat 4 0contrat 5 1 1 2contrat 6 0contrat 7 1 1 2contrat 8 0contrat 9 1 1 1 1 1 1 6

contrat 10 1 1contrat 11 1 1 1 1 4contrat 12 1 1 1 3contrat 13 1 1contrat 14 1 1contrat 15 0contrat 16 0contrat 17 1 1 1 1 1 5contrat 18 1 1contrat 19 1 1contrat 20 0






Sur les 10 annees dobservation, on denombre au total 29 sinistres. Lasinistralite annuelle moyenne par contrat est donc de 29/200 = 0, 145.

Les contrats n 9, 11 et 17 representent a` eux-seuls 15 sinistres, soit plus de lamoitie de la sinistralite globale. Sans eux, la prime pure annuelle moyenne seraitde 14/170 = 0, 083

Il convient de se demander si le portefeuille est reellement homoge`ne.






Notons pj le parame`tre de la loi de Bernoulli du j-e`me contrat et pj sonestimation naturelle a` partir des observations. Notons de plus p := 1

20

pj .

On cherche a` tester H0 : p1 = p2 = ... = p20.

Sous H0, la statistique

X 2 = 1020

j=1

(pj p)2p

est distribuee selon une loi du 2 a` 19 degres de liberte. Comme219(0, 05) = 30, 14 < X

2 = 57, 9, on rejette H0.

A posteriori, le portefeuille nest donc pas homoge`ne.






La tarification actuelle (meme prime pure p = 0, 145 pour tous) nest pasequitable : la plupart des assures paient trop alors que les assures 9, 11 et 17sont sous-tarifes. Si cette situation perdurait, cela inciterait les bons risques a`partir.

La societe est confrontee a` une alternative :

segmenter davantage pour avoir des portefeuilles plus homoge`nes ; ou

trouver un compromis entre p et pj qui ne soit pas trop volatile au coursdu temps.





2. Theorie de la fluctuation limitee









2.1. Les origines

En 1910, General Motors (GM) assuree chez Allstate pour les accidents detravail remarque que sa prime dexperience est sensiblement inferieure a` laprime reclamee a` lensemble des entreprises assurees.

En argumentant que sa propre exposition au risque (nombre de salaries) estsuffisament importante, GM reclame un tarif fonde exclusivement sur sa propresinistralite et non celle de lensemble des societes assurees.

Dans le meme temps, une plus petite entreprise (Tucker) fait une demandeidentique.





2.1. Les origines

Quelle est la taille a` partir de laquelle une une entreprise peut etre tarifeeexclusivement sur la base de sa propre experience ?

Mowbray [1914] puis Whitney [1918] apportent les premie`res reponses a` cettequestion en fondant la theorie de la fluctuation limitee ou credibiliteamericaine.

Mowbray A.H. [1914] How Extensive a Payroll is Necessary to Give aDependable Pure Premium ?, Proceedings of the CAS, vol. 1, 24-30.

Whitney A. [1918] The Theory of Experience Rating ?, Proceedings of theCAS, vol. 4, 274-92.





2.1. Les origines

La theorie de la fluctuation limitee constitue la premie`re approche de credibilitequi a ete utilisee pour mettre a` jour les primes individuelles de la sinistraliteindividuelle observee.

Lidee est de tarifer le contrat n j pour la (t + 1)-e`me periode par

(1 Zt) p + Zt j pt ,

ou` j pt =1t

ts=1

j ps . Le coefficient Z est appele facteur de credibilite.

La theorie de la fluctuation limitee consiste a` fixer Z de manie`re a` ce que lesvariations aleatoires de la prime restent limitees.





2.2. Fluctuation limitee

Deux situations sont possibles :

Z = 1, on parle de credibilite totale.

Z ]0; 1[, on parle alors de credibilite partielle.





2.3. Credibilite totale

On parle de credibilite totale lorsque la prime pour la (t + 1)-e`me periodedepend exclusivement de la sinistralite propre de lassure observee sur les tpremie`res periodes.

La prime vaut donc j pt .

Le proble`me reside dans la question de lapplicabilite de cette prime : a` partirde quelle exposition au risque, peut-on appliquer a` un assure une prime baseeexclusivement sur sa propre experience ?






Notons S la charge de sinistres dun assure au cours dune periode. Supposonsque

S =N

k=1

Xk ,

ou` N P() et (Xk ) est une suite de v.a.i.i.d. de moyenne et de variance 2independante de N.

On accordera a` lassure une credibilite totale si la probabilite que la charge desinistres seloigne de la moyenne est suffisament faible, i.e. si

Pr

[ |S E[S]|E[S]

c] ,

ou` c et sont des constantes fixees a priori (par exemple : c = 5% et = 5%).






Le theore`me central-limite (applicable a` une somme aleatoire) permet, pour unnombre important dobservations de faire lapproximation

S E[S]Var[S]

N (0, 1).

Ce qui conduit a`cE[S]Var[S]

=c

(2 + 2) z/2.

Dou` lon deduit

F :=z2/2c2

(1 +

(

)2),

le nombre minimum de sinistres esperes durant la prochaine periode pour quelon puisse appliquer la credibilite totale.






Dans le cas particulier ou` les montants de sinistres sont constants (reparationforfaitaire), pour c = 5% et = 5%, le nombre minimum de sinistres esperesdurant la prochaine periode doit etre superieur a`

F =

(1, 96

5%

)2 (1 + (0)2

) 1537,

pour que lassure se voit appliquer une prime exclusivement fondee sur sapropre experience.

En pratique, peu dassures peuvent repondre a` ce genre de crite`re.





2.4. Credibilite partielle

Lorsquun assure ne dispose pas du volume de risque F , la theorie de lafluctuation limitee permet de determiner une prime qui sera un barycentre de laprime collective et de la prime dexperience.

Ainsi on est amene a` determiner le facteur de credibilite Z tel que

Pr

[ |S E[S]|E[S]

Z c] .

En procedant de la meme manie`re que precedemment, on obtient la relation

Z =

z/2c

(1 +

(

)2) =

F.





2.5. Quelques remarques

Si le principal interet de la fluctuation limitee reside dans sa simplicite de miseen oeuvre, cette theorie souffre dinconvenients qui en font un outil peu utiliseen pratique :

choix a priori des deux parame`tres c et delicat (quelles justifications ?),

approximation central-limite,

approche paradoxale : pour obtenir le facteur de credibilite, on faitlhypothe`se que lon connat , 2 et , i.e. que lon est capable dedeterminer la prime pure propre de lassure considere. Dans une tellesituation, pourquoi choisir une autre prime ?





3. Formalisation mathematique du proble`me de tarification









3.1. Risques individuel et collectif

Considerons un risque individuel qui produit des montants agreges de sinistres(Xj )j=1,...,n ou` Xj est le montant correspondant a` la periode j .

On souhaite determiner la prime pure E [Xn+1] pour la periode future.Pour cela, on fait les hypothe`ses classiques :

de stationnarite : les Xj sont identiquement distribues de fonction derepartition F ;

dindependance : les Xj sont independants.

En pratique, F est inconnue et varie dun risque a` lautre.

Notation : designera le profil de risque et F la fonction de reparitioncorrespondante.






La prime individuelle correcte pour un assure de profil de risque est

P ind () := E [Xn+1|] =: ().

En pratique, et () sont inconnus. Il faut donc trouver un estimateur ()pour ().

Les assures ont des profils de risque i (i {1, ..., I}) inconnus de lassureur quiprennent leur valeur dans . N.B. Dans le cas dun portefeuille reellementhomoge`ne, est reduit a` un singleton.

En revanche, lassureur dispose dinformations sur la structure collective durisque (ex : la plupart des conducteurs sont des bons risques qui ont rarementun accident et un petit nombre a frequemment des sinistres). Cette informationpeut etre resumee par la distribution de probabilite U() sur .






Definition (Fonction de structure)

La distribution U() est appelee fonction de structure du portefeuille.

La prime collective est donnee par

Pcoll :=

()dU() =: 0.

Cette prime correspond au montant moyen de sinistre espere par risque surlensemble du portefeuille.

The`se La prime la plus competitive est la prime individuelle correcte. Sinon il ya des opportunites darbitrage.





3.2. Formulation bayesienne

Le proble`me evoque supra se decrit aisement en termes bayesiens. Laproblematique peut etre resumee par un mode`le a` deux urnes.

La premie`re urne represente le collectif de risques dont on selectionne unelement qui conditionne le contenu de la deuxie`me urne dans laquelle on tiredes variables aleatoires X1,X2, ... de fonction de repartition F.

Formellement :

est une v.a. de fonction de repartition U ;

conditionnellement a` = , les v.a. X1,X2, ... sont i.i.d. de fonction derepartition F.






Remarques :

Dans cette interpretation, la prime individuelle devient une v.a. puisquelon ne sait pas distinguer a priori deux risques

P ind := E [Xn+1|] =: ().La prime collective est, en revanche, un montant certain

Pcoll := 0 :=

()dU() = E [Xn+1] .

Les X1,X2, ... ne sont independants que conditionnellement a` = . Sinonils sont positivement correles :

Cov(X1,X2) = E [Cov(X1,X2|)] + Cov (E[X1|],E[X2|])= 0 + Cov[(), ()] = Var[()].






Notre objectif est destimer pour chaque risque la prime correcte () aussiprecisement que possible compte-tenu de lhistorique X = (X1, ...,Xn)

dont ondispose.

La meilleure prime dexperience ou prime de Bayes est definie par

PBayes = () := E [()|X] .

Il sagit dune prime certaine a` la difference de la prime individuelle.





Exercices

Exercice 1.1 Considerons la situation ou`, si les montants de sinistres sont constants, lenombre de sinistres attendu pour pouvoir utiliser la credibilite totale vaut 2 670. Quelest le nombre minimum de sinistres attendus pour pouvoir utiliser la credibilite totalelorsque les montants de sinistres sont distribues selon une loi log-normale desperance1 000 et de variance 1 500 000 ?

Exercice 1.2 Soit x le nombre de sinistres esperes pour pouvoir utiliser la credibilitetotale en acceptant une erreur de 5 % avec une probabilite de 90 %. Notons y lameme grandeur pour une erreur acceptee de 10 %. Que vaut le rapport x

y?

Exercice 1.3 Montrer que lon attend au moins 2 401 accidents par an pour pouvoirutiliser la credibilite totale en acceptant une erreur de 4 % avec une probabilite de95 %. En supposant que lon dispose dune exposition au risque de 40 000 vehiculespar an et que la frequence de sinistres moyenne est 0,0441, determiner le niveaumaximal du facteur de credibilite.




Langage bayesienMeilleure prime dexperienceConstruction dune echelle bonus-malusClasses de lois conjugueesExercices

Sommaire


2 Chapitre 2 - Prime de BayesLangage bayesienMeilleure prime dexperienceConstruction dune echelle bonus-malusClasses de lois conjuguees







1. Langage bayesien

2 Chapitre 2 - Prime de BayesLangage bayesienMeilleure prime dexperienceConstruction dune echelle bonus-malus

ContexteTarification a posteriori sans personnalisation a prioriTarification a posteriori avec frequences a priori differenciees

Classes de lois conjugueesChoix de la loi de structure et de la loi conditionnelleFamille exponentiellePrime de Bayes dans le cadre exponentielConstruction de classes conjuguees





1. Langage bayesien

Considerons une hypothe`se H et un evenement B et notons Pr[H] notreconnaissance initiale (a priori) de la vraisemblance de lhypothe`se H. Alors

Pr[B|H] represente la probabilite conditionnelle de levenement B souslhypothe`se H ;

consideree comme une fonction de H, Pr(B|H) est la vraisemblance de Bsachant H ; et

Pr[H|B] est la probabilite a posteriori de H.





1. Langage bayesien

Le theore`me de Bayes nous permet decrire

Pr[H|B] = Pr[B|H] Pr[H]Pr[B]

,

lorsque Pr[B] > 0.

Ainsi lorsque Pr[B] > 0, la probabilite a posteriori de H (Pr[H|B]) estproportionnelle au produit de la probabilite a priori (Pr[H]) et de lavraisemblance de B sachant H (Pr[B|H]).





1. Langage bayesien

Rappels :

Prime individuelle (variable aleatoire) :

P ind = () = E [Xn+1|] .Prime collective (reel) :

Pcoll = 0 =

()dU() = E [Xn+1] .

Prime de Bayes (reel lorsque lon a observe X) :

PBayes = () = E [()|X] .





2. Meilleure prime dexperience









Definition (Crite`re de lerreur quadratique moyenne)

Un estimateur () de () est au moins aussi bon quun estimateur ()

si

E

[(() ()

)2] E

[(()

())2]

,

ou` E

[(() ()

)2]est lerreur quadratique moyenne de ().

Theore`me

Au regard du crite`re de lerreur quadratique moyenne,

() = E [()|X]est le meilleur estimateur de ().






Theore`me (Erreur quadratique moyenne)

(1) Lerreur quadratique moyenne de la prime de Bayes vaut :

E

[(() ()

)2]= E [Var(()|X)] .

(2) Lerreur quadratique moyenne de la prime collective est donnee par :

E[(0 ())2

]= Var [()]

= E [Var(()|X)] + Var [E(()|X)] .

Remarque : Lerreur quadratique moyenne de la prime de Bayes correspond aupremier terme de decomposition de la variance dans celle de la prime collective.





3. Construction dune echelle bonus-malus








3.1. Contexte

Fin des annees 60, en Suisse, le niveau des primes dassurance auto dependuniquement de la puissance du vehicule.

Les assureurs souhaitent augmenter le niveau des primes quils jugentinsuffisant pour couvrir les sinistres.

Accord des autorites de controle sous reserve que le nouveau tarif tiennecompte du passe-sinistre des assures.

F. Bichsel est charge de mettre au point un syste`me de mise a` jour desprimes mieux adapte aux profils de risques individuels.

Bichsel estime que les differences de profil de risque entre les conducteurssont mieux resumees par les nombres de sinistres que par leur taille.





3.2. Tarification a posteriori sans personnalisation a priori

Notons Nj le nombre de sinistres engendres par un conducteur particulierdans lannee j ,

Xj la charge agregee de sinistres correspondante.

Bichsel fait implicitement lhypothe`se suivante :

Hypothe`se (Hypothe`se implicite de Bichsel)

Pour tout profil de risque , E [Xj | = ] = CE [Nj | = ] ou` C est uneconstante qui depend uniquement de la puissance du vehicule et ou`E [Nj | = ] depend uniquement du conducteur.Sous cette hypothe`se, il suffit donc de modeliser le nombre de sinistres.






Hypothe`se (Poisson-Gamma)

(PG1) Conditionnellement a` = , les v.a. Nj (j = 1, ..., n) sont independanteset identiquement distribuees selon une loi de Poisson de parame`tre , i.e.

Pr (Nj = k| = ) = e k

k!, pour k N.

(PG2) est distribue selon une loi Gamma de parame`tres et , i.e. a pourdensite

u() =

()1e, pour 0,

ou` () =0

ex x1dx, pour > 0.

Remarque : E[] =

et Var[] = 2 = E[]Var[] est une mesure de

lhomogeneite du collectif.






Proposition

Sous lhypothe`se 2, on a pour la frequence de sinistres (notee F )

F ind = E [Nn+1|] = ,F coll = E [] =

,

F Bayes = + N + n

= N + (1 ),

ou` = nn+

, N =n

j=1

Nj et N =1n

nj=1

Nj .

Lerreur quadratique moyenne de F Bayes est donnee par

E

[(F Bayes

)2]= (1 )E

[(F coll

)2]= E

[(N )2] .






Remarques (1/2) :

La prime de Bayes PBayes = CF Bayes est une fonction lineaire desobservations (cest donc une prime de credibilite).

F Bayes est une moyenne ponderee de la frequence individuelle observee Net de la frequence esperee a priori E[] =

.

= nn+

est appele facteur de credibilite. Il est croissant avec le nombredannees dobservation n et decroissant avec , i.e. plus on disposedinformations individuelles, plus on accorde de credit au passe-sinistres delassure et plus le collectif est homoge`ne, plus on accorde de credit a` laprime collective.

est egalement le facteur par lequel est reduite lerreur quadratiquemoyenne lorsque lon utilise F Bayes au lieu de F coll .






Remarques (2/2) :

Lerreur quadratique moyenne de F coll vaut :

E

[(F coll

)2]= E

[(

)2]= Var [] =

2.

Lerreur quadratique moyenne de N vaut :

E[(

N )2] = E [E [(N )2 |]] = E [Var (N|)]=

E[]

n=

n.

E[(

F Bayes )2] E [(N )2] et E [(N )2] n 0 doncE

[(F Bayes

)2] n 0.Pierre Therond Theorie de la credibilite





Demonstration (1/2) :

Les deux premiers points sont immediats.

Pour obtenir la prime de Bayes, ecrivons la densite a posteriori de sachantN = (N1, ...,Nj )

,

u(|N) =

()1e

nj=1

e Nj

Nj !

()1e

nj=1

e Nj

Nj !d

+n

j=1Nj1

e(+n).

Le membre de droite est le noyau de la densite dune loi Gamma de parame`tres = + N et = + n, dou` lon obtient F Bayes .






Demonstration (2/2) :

Lerreur quadratique moyenne de F Bayes est donnee par

E

[(F Bayes

)2]= E [Var (|N)] = E

[ + N

( + n)2

]=

( + n)2

(1 +

n

)=

1

n +

=

2(1 ) = 1

n

.






Tableau : Distribution observee du nombre de sinistres par police en 1961

Nombre de polices

k avec k sinistres0 103 7041 14 0752 1 7663 2554 455 66 2

Total 119 853






Estimation des parame`tres de structure par la methode des moments :

N = N1961 :=1

I

Ii=1

N(i) = 0, 1551

2N =1

I 1I

i=1

(N(i) N1961

)2= 0, 1793

N = E[N] = E [E[N|]] =

2N = Var[N] = E [Var[N|]] + Var [E[N|]]

= E[] + Var[] =

+

2=

(1 +

1

) = 0, 9956 et = 6, 4172.






En remplacant les parame`tres de structure et par leurs estimateurs et ,la prime de Bayes du conducteur ayant lhistorique (N1, ...,Nn) est estimee par :

F Bayesemp

=n

n + N +

n +

, ou N =

1

n

nj=1

Nj .

Remarque : Le calcul de la prime de Bayes seffectue frequemment en deuxetapes :

determination de lexpression de PBayes sous lhypothe`se que les parame`tresde structure sont connus ;

estimation des parame`tres de structure a` laide des donnees du collectif.






Description du risque dans le collectif

P(N = k) =

P (N = k| = ) u()d

=

e

k

k!

()1ed

=

()

1

k!

e(+1)+k1d

=(+k)

(+1)+k

=( + k)

()k!

(

+ 1

) (1

+ 1

)k=

( + k 1

k

)p(1 p)k , avec p =

+ 1.

On retrouve la distribution binomiale-negative.






Description du risque dans le collectif

Le mode`le Poisson-Gamma represente mieux les observations que le mode`lehomoge`ne dans lequel tous les assures ont le meme parame`tre de Poisson.

Tableau : Nombre de polices avec k sinistres

k Observe P(N ) BN (, )0 103 704 102 630 103 7611 14 075 15 922 13 9272 1 766 1 235 1 8743 255 64 2524 45 2 345 6 0 56 2 0 1

Total 119 853 119 853 119 853






Construction de lechelle bonus-malus (1/2)

Lechelle bonus-malus doit permettre dajuster la prime dun conducteur enfonction de sa frequence de sinistre esperee.

En pratique, cela passe par lutilisation dun coefficient a` appliquer a` la primecollective :

coef . bonus malus = FBayes

0

ou` 0 = 0, 1551 est la frequence de sinistres moyenne observee.






Construction de lechelle bonus-malus (2/2)

Tableau : Coefficients bonus-malus

n\k 0 1 2 31 87% 173% 260% 347%2 76% 153% 229% 306%3 68% 137% 205% 273%4 62% 123% 185% 247%5 56% 113% 169% 226%6 52% 104% 156% 207%

Dans ce tableau, n represente le nombre dannees dobservation et k le nombrede sinistres observes.





3.3. Tarification a posteriori avec frequences a priori differenciees

Lhypothe`se 2 peut se reecrire sous la forme suivante :

(PG1) Conditionnellement a` = , les v.a. Nj (j = 1, ..., n) sontindependantes et identiquement distribuees selon une loi de Poisson deparame`tre 0, ou` 0 =

.

(PG2) est distribue selon une loi Gamma avec E[] = 1 et de parame`trede forme .

Remarques (1/2) :

E[] = 1 le parame`tre dechelle de la distribution de est egal auparame`tre de forme .

F ind = E[Nj |] = 0 donc designe directement le coefficientbonus-malus recherche.





3.3. Tarification a posteriori avec frequences a priori differencieesRemarques (2/2) :

Lheterogeneite du portefeuille peut etre mesuree par le coefficient devariation de F ind . Sous cette reecriture du mode`le,CoVa(F ind ) =

Var[] et =

(CoVa(F ind )

)2.

Pour estimer , il est naturel de considerer la frequence relative de

sinistres Fj =Nj0

. En particulier, F ind = E[Fj |] = .

En divisant F Bayes par 0, on obtient :

F Bayes :=F Bayes

0= = E[|N] = 1 +

(N 1),

ou` = n0 represente le nombre de sinistres espere a priori et =

+0 =+ . De plus,

N

= F :=1

n

nj=1

Fj = 1 + (

F 1).






Considerons la situation dans laquelle la frequence a priori varie selon lesannees et selon les risques et interessons-nous a` un risque de nombre desinistres espere j et de nombre de sinistres observes Nj pour lannee j .

Hypothe`se (Poisson-Gamma II)

(PG1) Conditionnellement a` = , les v.a. Nj (j = 1, ..., n) sontindependantes et identiquement distribuees selon une loi de Poisson deparame`tre j .(PG2) est distribue selon une loi Gamma avec E[] = 1 et de parame`tre deforme .






Proposition

Sous lhypothe`se 3, on a :

F Bayes = = E[|N] = 1 + (

N 1),

ou`

N est le nombre observe de sinistres,

=n

j=1

j le nombre de sinistres espere a priori,

= + .

Remarque : Ce resultat est plus fort que le precedent, car peut varier entreles risques (par exemple dependre de variables explicatives telles que lacomposition de la flotte de vehicules).





4. Classes de lois conjuguees








4. Classes de lois conjuguees

Dans lexemple precedent, pour determiner la prime de Bayes, il a etenecessaire de specifier :

la loi conditionnelle F du nombre de sinistres pour = ,

la fonction de structure U().

Notons F = {F : } la famille des distributions possibles etU = {U()| } la famille des fonctions de structure.

Si, en pratique, la specification de F nest pas evidente, celle de U lest encoremoins.





4.1. Choix de la loi de structure et de la loi conditionnelle

En pratique, les conditions suivantes doivent etre verifiees :

La famille U doit etre assez grande pour contenir les distributions quipeuvent decrire le collectif.

La famille U doit etre aussi petite quil est possible de representer notreconnaissance du collectif.

Idealement, les familles U et F devraient etre choisies de manie`re a` ce quela prime de Bayes puisse sexprimer analytiquement.






Definition (Familles de distributions conjuguees)

La famille U est conjuguee a` la famille F si, pour tout et pour touterealisation x du vecteur des observations X, il existe tel que

U(|X = x) = U(), pour tout .

Un des principaux interets dutilisation des familles de distributions conjugueesest que la distribution a posteriori obtenue sur une periode peut etre utiliseecomme a priori de la periode suivante.

Ceci a notamment pour effet de simplifier les processus de mise a` jour desprimes : les methodes mises en place peuvent etre conservees pour les periodessuivantes.






Exemple (1/2)

Considerons une suite de n v.a. Bernoulli N1,N2, ...,Nn qui ont toutes la memeprobabilite constante de succe`s . Le nombre total de succe`s observe est doncdistribue selon une loi binomiale B(n,). Connaissant , la probabilitedobserver r succe`s lors des n tirages vaut

Pr[N1 + ...+ Nn = r |] =(

nr

)r (1)nr .

Supposons que la distribution a priori de soit une loi (a, b) qui admet doncpour densite

f () =(a + b)

(a)(b)a1(1 )b1, [0; 1].






Exemple (2/2)

Dapre`s la re`gle de Bayes, la densite de la loi a posteriori de est donnee par

f (|n1, ..., nn) f ()f (n1, ..., nn|) = f ()n

i=1

f (ni |)

a1(1 )b1r (1 )nr

a+r1(1 )b+nr1.La distribution a posteriori de est une loi (a + r , b + n r).Ainsi la famille des lois beta est conjuguee a` la famille des lois Bernoulli.





4.2. Famille exponentielle

Definition (Famille exponentielle)

Une distribution de probabilites appartient a` la famille exponentielle Fexp si saloi peut sexprimer sous la forme :

dF (x) = exp

[x b()2/

+ c(x , 2/)

]d(x), x A R,

ou` designe la mesure de Lebesgue ou la mesure de comptage, b C2(,R),b injective, c : R2 R et et 2 constantes.Interpretation des parame`tres :

2 est le parame`tre de dispersion,

le poids a priori associe a` lobservation,

le profil de risque.






De nombreuses distributions usuelles font partie de la famille exponentielle,notamment :

Poisson,

Bernoulli,

binomiale,

gamma,

gaussienne,

inverse-gaussienne.






Notons Fb,cexp la famille associee aux fonctions b et c et considerons la familleUbexp des distributions ayant une densite de la forme

u() = exp

[x0 b()

2+ d

(x0,

2)], .

Theore`me

La famille Ubexp est conjuguee a` Fb,cexp .

Remarques :

x0 et 2 sont des hyperparame`tres,

la famille conjuguee a` Fb,cexp ne depend pas de c.






Exemples de classes conjuguees dans la famille exponentielle :

Poisson - gamma,

binomial - beta,

gamma - gamma,

geometrique - beta,

gausienne - gaussienne.





4.3. Prime de Bayes dans le cadre exponentiel

Supposons que, pour fixe, les composantes de X = (X1, ...,Xn) sont

independantes, de distribution F Fb,cexp , toutes avec le meme parame`tre dedispersion 2 et avec les poids j , j = 1, ..., n.

Theore`me

Pour la famille Fb,cexp et sa famille conjuguee Ubexp,

P ind () = b(), Var [Xj | = , j ] = b()2

j,

et sous certaines conditions de regularite,

Pcoll = x0,

PBayes = X + (1 )Pcoll ,

ou` X =n

j=1

jXj et =

+2/2 .

La prime de Bayes est lineaire en les observations : on parlera de credibiliteexacte.





4.4. Construction de classes conjuguees

Theore`me

Considerons les hypothe`ses suivantes :

(H1) Pour x fixe, les fonctions de vraisemblance l() = f(x) sontproportionnelles a` un element de U , i.e.

x, ux U , ux() = f(x)(

f(x)d

)1.

(H2) U est fermee sous loperateur produit, i.e.

u, v U , u(.)v(.)(

u()v()d

)1 U .

Si F et U satisfont (H1) et (H2), alors U est conjuguee a` F .Demonstration : La distribution a posteriori vaut :

u(|x) = f(x)u()f(x)u()d

=

f(x)d

f(x)u()dux()u() U .






En considerant le theore`me 5, pour construire une classe conjuguee a` F , il estnaturel de construire

U ={

ux : ux() = f(x)

(f(x)d

)1, x A

}.

Si U est fermee sous loperation produit alors U est conjuguee a` F ; sinon onlui recherchera une extension naturelle qui lest.






Exemple : Considerons F la famille des distributions binomiales,F = {f(x) : [0; 1]} avec

f(x) = Cxn

x(1 )nx , x =n

j=1

xj , xj {0; 1}.

U est lensemble des distributions beta de parame`tre (i , n + 2 i),i {1, ..., n + 1}.

U nest pas fermee sous loperation produit mais U lensemble des distributionsbeta en est une extension naturelle qui est fermee sous loperation produit(exercice). Donc grace au theore`me 5, U est conjuguee a` F .





Exercices

Exercice 2.1 Considerons un portefeuille regroupant exclusivement des bons et desmauvais risques. Notons B levenement etre un bon risque et Bc soncomplementaire etre un mauvais risque. Supposons que lassureur ne sache pas, apriori distinguer les bons des mauvais risques mais quil sait quils sont en proportionsegales dans son portefeuille (Pr[B] = 1/2). Notons Nk le nombre de sinistres causespar un assure au cours de lannee k et supposons que

Pr[Nk = 1|B] = 0, 2 = 1 Pr [Nk = 0|B]Pr[Nk = 1|Bc ] = 0, 8 = 1 Pr [Nk = 0|Bc ]

Supposons enfin que les sinistres sont tous de meme montant 1 et queconditionnellement a` la qualite du risque, les nombres de sinistres sont independants.1. Determinez la prime pure a priori dun assure de ce portefeuille.2. Considerons un assure avec lhistorique de sinistres : (N1 = 0,N2 = 1,N3 = 0).Quelle est la probabilite quil sagisse dun bon risque ?3. Quelle prime exigeriez-vous de cet assure pour la 4e annee ?





Exercices

Exercice 2.2 Considerons un assure dont le nombre annuel de sinistres est distribueselon une loi de Poisson de parame`tre . Les montants de sinistres sont constants. Ladistribution a priori de est une loi uniforme sur lintervalle [0, 1].1. Donnez la prime de Bayes de cet assure.2. Lors de la premie`re annee dobservation, lassure a cause un sinistre. Quelle primelui reclameriez-vous pour la seconde annee ?

Exercice 2.3 Notons Ni le nombre de sinistres causes par un assure durant lannee i .Conditionnellement a` , les Ni sont independants et identiquement distribues selonune loi de Poisson de parame`tre . admet pour densite g() = e, > 0.1. Donnez la probabilite que lassure cause 2 sinistres durant la pemie`re anneePr[N1 = 2].2. Donnez la distribution predictive de N2 sachant que N1 = 2 (il sagit de determinerPr[N2 = n|N1 = 2] pour n = 0, 1, ...)





Exercices

Exercice 2.4 Considerons un assure qui

a exactement un sinistre par an,

dont le cout est distribuee selon une loi exponentielle de densitef (x |T = t) = tetx , x > 0,ou` le parame`tre T admet pour densite h(t) = tet , t > 0.

1. Donnez la prime de Bayes de cet assure pour la premie`re periode.2. Sachant quil a eu un sinistre de montant 5 la premie`re annee, determinez la densitea posteriori de T .

Exercice 2.5 La distribution a priori dune v.a. H est donnee par Pr[H = 0, 25] = 0, 8et Pr[H = 0, 5] = 0, 2. Conditionnellement a` H les v.a. Di sont i.i.d. Le resultat duneexperience Di est distribue selon

Pr[Di = d |H = h] = hd (1 h)1d ,pour d {0; 1}.1. Sachant D1 = 1, exprimez la loi a posteriori de H.2. Sachant D1 = 1, quelle est la distribution predictive du resultat de lexperience D2 ?




Prime de credibiliteMode`le de BuhlmannExercices

Sommaire



3 Chapitre 3 - Estimateurs de credibilitePrime de credibiliteMode`le de Buhlmann






Contexte

La prime de Bayes () = E [()|X] est le meilleur estimateur possiblede la prime individuelle () = E [Xn+1|].En general, elle ne peut sexprimer de manie`re analytique ; son calculnecessite alors lutilisation de methodes numeriques.

Sa determination necessite en outre de specifier une distributionconditionnelle et une distribution a priori.

La theorie de la credibilite repose sur lidee de se restreindre a` la classe desestimateurs qui sont lineaires en les observations.

Comme dans lapproche bayesienne, la qualite de ces estimateurs sera apprecieepar le crite`re derreur quadratique moyenne.





1. Prime de credibilite

3 Chapitre 3 - Estimateurs de credibilitePrime de credibilite

Introduction dans un contexte simplifieInterpretation de la prime de credibiliteErreur quadratique moyenne de la prime de credibilite

Mode`le de BuhlmannHypothe`ses du mode`leEstimateur de credibilite homoge`neEstimation des parame`tres de structure





1.1. Introduction dans un contexte simplifie

Hypothe`se (Mode`le de credibilite simplifie)

(H1) Les variables aleatoires Xj (j = 1, ..., n) sont, conditionnellement a` = ,independantes et identiquement distribuees selon une loi F avec les momentsconditionnels

() = E [Xj | = ] ,2() = Var [Xj | = ] .

(H2) est une variable aleatoire de distribution U().

Dans ce mode`le, on a

P ind = () = E [Xn+1|] ,

Pcoll = 0 =

()dU().






On souhaite trouver un estimateur de la prime individuelle () et lon va serestreindre a` ceux qui sont lineaires en les observations X = (X1, ...,Xn)

.

Notons Pcred ou() le meilleur estimateur lineaire en X de ().

Lestimateur de credibilite() est de la forme

() = a0 +

nj=1

aj Xj ,

ou` les coefficients (a0, a1, ..., an) sont solution de

(a0, a1, ..., an) = arg min E

() a0 nj=1

aj Xj

2 .






La distribution de X est invariante par permutations des Xj , donc

a1 = ... = an.

Aussi, lestimateur de credibilite est de la forme

() = a + bX ,

ou` a et b sont solution de(a, b)

= arg min E[(() a bX)2] .






Les e.d.p. de ce proble`me sont

E[() a bX ] = 0,

Cov(X , ()

) bVar (X) = 0.De par la structure de dependance du mode`le, on a

Cov(X , ()

)= Var [()] =: 2,

Var(X)

=E[2()

]n

+ Var [()] =:2

n+ 2,

dou` lon obtient

b = 2

2 + 2/n=

n

n + 2/ 2,

a = (1 b)0.






Theore`me

Sous les hypothe`ses (H1) et (H2), lestimateur de credibilite est donne par

() = X + (1 )0,

ou` 0 = E [()] et =n

n+2/2.

Remarques :

On retrouve la meme structure que pour la prime de Bayes dans le cadreexponentiel.

Pcred est une moyenne ponderee de la prime collective et de la primeindividuelle observee.






Remarques :

Le coefficient := 2/ 2 est appele coefficient de credibilite. En lecrivantsous la forme

=

(/0/0

)2,

et en remarquant que

0=

E [Var(Xj |)]

E[Xj ],

0= CoVa[()].

sinterpre`te comme le rapport entre la variabilite interne du risque et

lheterogeneite du portefeuille.






Remarques :

Le facteur de credibilite crot avec le nombre dannees dobervations n,crot avec lheterogeneite du portefeuille (mesuree par

0) et decrot avec

la variabilite interne au risque (mesuree par 0

).

Lorsque la prime de Bayes est lineaire, elle concide avec la prime decredibilite, on parle alors de credibilite exacte.

La prime de credibilite fait intervenir les parame`tres de structure 2, 2 et0. Ces parame`tres pourront etre estimes empiriquement sur le collectif oufixes a priori (avis dexpert).





1.2. Interpretation de la prime de credibilite

Pcred est une moyenne ponderee de Pcoll et de X .

Pcoll = 0 est le meilleur estimateur a priori, son erreur quadratiquemoyenne vaut

E[(0 ())2

]= Var[()] = 2.

X est le meilleur estimateur lineaire et individuellement non-biaise baseuniquement sur les observations, son erreur quadratique moyenne vaut

E[(X ())2

]= E

[2()

n

]=2

n.

Pcred est une moyenne ponderee dont les poids sont inversement proportionnelsa` lerreur quadratique moyenne de ses deux composantes.





1.3. Erreur quadratique moyenne de la prime de credibilite

Theore`me

Lerreur quadratique moyenne de lestimateur de credibilite() vaut

E

[(() ()

)2]= (1 ) 2

= 2

n.

Demonstration : exercice.Remarques :

est le coefficient par lequel est reduite lerreur quadratique moyennelorsque lon utilise Pcred au lieu de Pcoll .

(1 ) est le coefficient par lequel est reduite lerreur quadratiquemoyenne lorsque lon utilise Pcred au lieu de X .





1.3. Erreur quadratique moyenne de la prime de credibilite

Sous les hypothe`ses (H1) et (H2), on a

Prime Erreur quadratique moyenne

Pcoll = 0 Var [()]

Pcred =() (1 )Var [()]

PBayes = () E [Var (()) |X]

Le principal interet de la prime de credibilite reside dans sa simplicite de miseen oeuvre : il nest pas necessaire de specifier une structure (choix conjoint dela priori et de la distribution conditionnelle) qui ajoute un risque additionnel demode`le.

En contrepartie, la precision de la prime de credibilite est moindre que celle dela prime de Bayes.





2. Mode`le de Buhlmann

3 Chapitre 3 - Estimateurs de credibilitePrime de credibilite

Introduction dans un contexte simplifieInterpretation de la prime de credibiliteErreur quadratique moyenne de la prime de credibilite

Mode`le de BuhlmannHypothe`ses du mode`leEstimateur de credibilite homoge`neEstimation des parame`tres de structure





2. Mode`le de Buhlmann

Jusqua` present, on sest interesse la tarification dun risque particulier. On vadorenavant considerer un portefeuille de I risques similaires.

On notera Xi = (Xi1, ...,Xin) le vecteur des observations associe au risque i et

i son profil de risque.

Ces I risques sont similaires dans la mesure ou` chaque risque i respecte leshypothe`ses (H1) et (H2).

On se retrouve ainsi dans le cadre decrit par Buhlmann [1967].





2.1. Hypothe`ses du mode`le

Hypothe`se (Mode`le de Buhlmann)

(B1) Les variables aleatoires Xij (j = 1, ..., n) sont, conditionnellement a`i = , independantes et identiquement distribuees selon une loi F avec lesmoments conditionnels

() = E [Xij |i = ] ,2() = Var [Xij |i = ] .

(B2) Les couples (1,X1), ..., (I ,XI ) sont independants et identiquementdistribues.

Du fait de (B2), le portefeuille est heteroge`ne : les profils de risque 1, ...,Isont independants et ont la meme distribution de structure U().Ces risques ont neanmoins en commun quon ne peut les differencier a priori.






Lobjectif est de trouver lestimateur de credibilite dans le mode`le deBuhlmann. Cela ame`ne deux questions :

Que cherche-t-on a` estimer ?Pour chaque risque individuel i , on souhaite estimer la prime individuelle

(i ) par lestimateur(i ) qui est lineaire en les observations. On

estime donc I primes.

En quelles observations lestimateur doit-il etre lineaire ?On utilisera toute linformation disponible (pas uniquement le passe

sinistres du risque i) et lon supposera que(i ) est le meilleur estimateur

de la classe(i ) : (i ) = a +I

k=1

nj=1

bkj Xkj ; a, bkj R .






La distribution de Xi est invariante par permutations des Xij (j = 1, ..., n), donc

(i ) = a

(i)0 +

Ik=1

b(i)k Xk ,

ou` Xk =1n

nj=1

Xkj et

(a

(i)0 , b

(i)k

)= arg min E

((i ) a(i)0 Ik=1

b(i)k Xk

)2 .Les e.d.p. par rapport a` a

(i)0 et aux b

(i)k donnent (exercice)

Cov((i ), Xk

)= b

(i)k Var

[Xk].






Dapre`s (B2), Cov((i ), Xk

)= 0 si i 6= k.

Lestimateur de credibilite de (i ) ne depend donc que des observationsassociees au risque i . Il est de la forme

(i ) = Xi + (1 )0,

ou` = nn+2/2

.

Bien quayant la meme forme, ce resultat est plus fort que le precedent carlestimateur est ici base sur lensemble des observations du portefeuilleX = (X1, ...,X

I ).





2.2. Estimateur de credibilite homoge`ne

Definition (Estimateur homoge`ne de credibilite)

Lestimateur homoge`ne de credibilite(i )

hom

de (i ) est le meilleurestimateur de la classe des estimateurs collectivement sans biais(i ) : (i ) =

Ik=1

nj=1

bkj Xkj ; E[(i )

]= E [(i )] , bkj R

.Remarquons que

E

[(i )

hom]

= E [(i )] = E [Xkj ] = 0,

pour tous i , j et k. On en deduit donc la contrainte sur les parame`tres

Ik=1

nj=1

bkj = 1.





2.2. Estimateur de credibilite homoge`ne

Theore`me

Dans le mode`le de Buhlmann, lestimateur homoge`ne de credibilite est donnepar

(i )

hom

= Xi + (1 )X ,ou` = n

n+2/2.

Demonstration : exercice.

Remarque : Le terme X est lestimateur naturel de 0.





2.3. Estimation des parame`tres de structure

Theore`me

Les estimateurs

2 =1

I (n 1)I

i=1

nj=1

(Xij Xi

)2,

2 =1

I 1I

i=1

(Xi X )2 2

n,

sont sans biais et convergents.





Exercices

Exercice 3.1 Considerons un assure dont le nombre annuel de sinistres est distribueselon une loi de Poisson de parame`tre . La distribution a priori de est une loiuniforme sur lintervalle [0, 1].Lors de la premie`re annee dobservation, lassure a cause un sinistre. Utilisez le mode`lede Buhlmann pour estimer le nombre de sinistres espere que va engendrer cet assurepour la deuxie`me annee puis comparez le resultat avec celui obtenu dans lexercice 2.2.

Exercice 3.2 Une societe dassurance couvre deux contrats depuis 3 ans. Elle disposedes montants annuels de sinistres suivants :

Contrat Annee 1 Annee 2 Annee 31 5 8 112 11 13 12

Selon le mode`le de Buhlmann, quelles primes reclameriez-vous a` ces deux assures pourla 4e annee ?





Exercices

Exercice 3.3 Un portefeuille de 340 assures a produit 210 declarations de vol au coursdune annee. La repartition des sinistres est la suivante :

Nombre de sinistres Nombre dassures0 2001 802 503 10

En supposant que le nombre de sinistres declares par un assure suit une loi de Poissondont le parame`tre peut varier dun assure a` lautre, determinez le facteur de credibilite(selon le mode`le de Buhlmann) pour un assure de ce portefeuille. Deduisez-enlaugmentation de la prime dun assure qui aurait declare deux sinistres.

Exercice 3.4 Soit Ni le nombre de sinistres (de montant 1) causes par un assure aucours de lannee i . Conditionnellement a` = , les Ni sont supposes independantes etdistribuees selon une loi de Poisson de parame`tre . est suppose de loi gamma demoyenne a/ et de variance a/2.1. Un assure a produit n1, n2 et n3 sinistres les trois premie`res annees. Calculez saprime de Bayes pour la quatrie`me annee.2. Comparez avec la prime qui lui serait reclamee selon le mode`le de Buhlmann etcommentez.




Hypothe`ses du mode`leEstimateurs de credibiliteRecapitulatif de la demarcheExercices

Sommaire




4 Chapitre 4 - Mode`le de Buhlmann-StraubHypothe`ses du mode`leEstimateurs de credibiliteRecapitulatif de la demarche





Motivation

Considerons la situation dun portefeuille de contrats qui doivent etre tarifes.Ce portefeuille a fait lobjet dune segmentation qui a conduit a` la creation declasses de risque a` linterieur desquelles les risques ne peuvent etre differenciesa priori.

La theorie de la credibilite va permettre, pour chaque risque, denrichirlinformation a priori grace au passe sinistre.

Dans cette optique, le mode`le de Buhlmann utilise une hypothe`se peu realiste :

2(i ) = Var [Xij |i ] .

Il apparat en effet assez naturel que cette variance conditionnelle devrait etredecroissante avec lexposition du risque i .





Motivation

Le mode`le de Buhlmann-Straub vient generaliser le mode`le de Buhlmann enrelachant cette hypothe`se par lintroduction de poids.

Ce mode`le est largement utilise en pratique que ce soit en assurance non-vie, enassurance vie ou en reassurance.

Dans la suite, nous traiterons un portefeuille de I risques (ou classes de risques)et nous noterons Xij le ratio de sinistres (ou la frequence de sinistres ou la taillemoyenne des sinistres ou tout autre indicateur) du risque i pendant lannee j etij le poids associe.





Demonstration des resultats

La plupart des resultats de ce chapitre se demontrent de la meme manie`re quedans le mode`le de Buhlmann (cf. Chapitre 3 : Estimateurs de credibilite).

Pour les autres, le lecteur pourra se referer a` Buhlmann & Gisler [2005] pour ledetail des preuves.





1. Hypothe`ses du mode`le

4 Chapitre 4 - Mode`le de Buhlmann-StraubHypothe`ses du mode`leEstimateurs de credibilite

Estimateur non-homoge`neEstimateur homoge`neEstimation des parame`tres de structureEstimateur empirique de credibilite

Recapitulatif de la demarche






Hypothe`se (Mode`le de Buhlmann-Straub)

Le risque i est caracterise par le profil de risque i qui est une realisation de iet lon a(BS1) Les variables aleatoires Xij (j = 1, ..., n) sont, conditionnellement a` i ,independantes avec les moments conditionnels

(i ) = E [Xij |i ] ,2(i ) = ij Var [Xij |i ] .

(BS2) Les couples (1,X1), ..., (I ,XI ) sont independants et les 1, ...,I sontindependants et identiquement distribues.

Remarques generales :

Le nombre dannees dobservations peut varier entre les risques.Formellement cela passe par lintroduction de poids nuls.

Lindependance conditionnelle dans (BS1) peut etre relachee en exigeantseulement la non-correlation conditionnelle, i.e. E [Cov (Xik ,Xil |i )] = 0pour k 6= l .






Remarques sur (BS2) :

Les risques sont independants : les sinistres engendres par deux contratsdifferents sont independants.

Les risques sont a priori egaux : cette hypothe`se doit etre testee. Buhlmann& Gisler [2005] proposent un ajustement du mode`le dans le cas contraire.

Remarques sur (BS1) :

Pour chaque risque, le vrai ratio de sinistres (i ) nevolue pas au coursdu temps : hypothe`se classique en assurance non-vie, elle necessitera leplus souvent lelaboration prealable de donnees as-if.

La variance conditionnelle est inversement proportionnelle aux poids quelon se donne. En pratique les poids sont des mesures du volume de risque(duree dexposition au risque, montants assures en incendie, masse salarialeen sante, chiffre daffaire realise par la cedante en reassurance, etc.)






Rappel des notations :

Prime individuelle, (i ) := E[Xij |i ],Risque individuel normalise (ij = 1),

2(i ) := ij Var[Xij |i ],Prime collective, 0 := E[(i )],

Risque collectif normalise (ij = 1),

Var[Xij ] = Var[E[Xij |i ]] + E[Var[Xij |i ]]= Var[(i )]

=:2

+ E[2(i )] =:2

.

2 est une mesure du risque interne au risque individuel alors que 2

mesure lheterogeneite du portefeuille.





2. Estimateurs de credibilite

4 Chapitre 4 - Mode`le de Buhlmann-StraubHypothe`ses du mode`leEstimateurs de credibilite

Estimateur non-homoge`neEstimateur homoge`neEstimation des parame`tres de structureEstimateur empirique de credibilite

Recapitulatif de la demarche





2.1. Estimateur non-homoge`ne

Pour chaque risque i , on cherche lestimateur de credibilite(i ) de son ratio

de sinistres individuel (i ).

On dispose de donnees X = (X1, ...,XI ) sur lensemble du portefeuille.

Les risques etant independants (BS2),(i ) depend uniquement des

observations Xi rattachees au risque i , soit

(i ) = ai0 +

j

aij Xij .





2.1. Estimateur non-homoge`ne

Credibilité

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