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RÉDUCTION D'EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES

MODULE 311.2

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Réduction d'expressions littérales Module A 311 – Série 02 – Leçon 1 (3)

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LA DOUBLE DISTRIBUTIVITÉ

1. Rappel .................................................................................................................................1 2. La double distributivité .........................................................................................................1

2.1 Observez bien ! ...........................................................................................................1 2.2 En résumé...................................................................................................................1 2.3 Règle...........................................................................................................................2

3. Remarques importantes ......................................................................................................3 3.1 Nombres négatifs ........................................................................................................3 3.2 Nombre de termes ......................................................................................................3 3.3 Écriture des produits ...................................................................................................3

4. Produit de plusieurs facteurs ...............................................................................................5 4.1 Produit de 3 facteurs ...................................................................................................5 4.2 Produit de 4 facteurs ...................................................................................................6

Devoir à envoyer ......................................................................................................................7 Corrigé des TAC.......................................................................................................................8

A DISTANCE


p.1



1. RAPPEL

Dans la leçon 2 de la série 1, vous avez appliqué la distributivité de la multiplication sur

l'addition :

a ⋅ ( b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c et ( x + y ) ⋅ z = x ⋅ z + y ⋅ z

Cette propriété permet de transformer un produit de facteurs en une somme de termes.

L'utiliser, cela s'appelle "EFFECTUER" ou "DÉVELOPPER" l'expression.

2. LA DOUBLE DISTRIBUTIVITÉ

Nous allons maintenant développer le produit (a + b) ⋅ (c + d).

2.1 Observez bien !

( a + b ) ⋅ ( c + d )

= a ⋅ ( c + d ) + b ⋅ ( c + d )

= a ⋅ ( c + d ) + b ⋅ ( c + d )

= a ⋅ c + a ⋅ d + b ⋅ c + b ⋅ d

2.2 En résumé

( a + b ) ⋅ ( c + d ) = a ⋅ c + a ⋅ d + b ⋅ c + b ⋅ d (1)

Pour obtenir ce résultat, nous avons appliqué deux fois la distributivité de la multiplication

sur l'addition. Nous appellerons donc cette propriété la "DOUBLE DISTRIBUTIVITÉ".

1 1 2 2

1 2

2 1

1ère application de la distributivité

2ème application de la distributivité


p.2


2.3 Règle

• Analysons maintenant les deux membres de l'égalité (1) :

1er membre : (a + b) ⋅ (c + d) produit des deux facteurs a + b et c + d somme somme de a et b de c et d

2ème membre : a c a d b c b d⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ somme des quatre termes a c⋅ , a d⋅ , a c⋅ et b d⋅ produit produit produit produit de a et c de a et d de b et c de b et d

• Concluons :

le produit de deux sommes est la somme des produits de chaque terme de la 1ère

somme par chaque terme de la 2e somme

ce qui revient à exprimer la règle :

Pour multiplier une somme par une somme, on multiplie chaque terme de la 1ère par chaque terme de la 2e et on additionne les produits obtenus.

• Vérifions maintenant la propriété en utilisant un exemple numérique : ce sera votre

premier TAC.

TAC 1

On donne l'expression ( ) ( )9 7 10 3+ ⋅ + .

1) Calculez cette expression sans l'avoir transformée (en respectant bien l'ordre de

priorité des opérations).

2) Transformez cette expression en appliquant la double distributivité.

Calculez ensuite l'expression obtenue en respectant bien l'ordre de priorité des

opérations.


p.3


3. REMARQUES IMPORTANTES

3.1 Nombres négatifs

Certains des termes contenus dans les parenthèses peuvent être négatifs. Vous devez en

tenir compte en appliquant bien la règle des signes de la multiplication.

Exemple : développement de l'expression (2x – 5y) ⋅ (10z – 6).

( 2x – 5y ) ⋅ ( 10z – 6 ) 1 2x ⋅ 10z = 20xz

2 2x ⋅ (– 6) = – 12x

3 – 5y ⋅ 10z = – 50yz

4 – 5y ⋅ (– 6) = (+) 30y

= 20xz – 12x – 50yz + 30y.

3.2 Nombre de termes

Le nombre de termes de l'expression obtenue est égal au produit du nombre de termes

de la 1ère somme par le nombre de termes de la 2e.

Exemple : développement de l'expression (a – b)(m + p + q).

( a – b) . (m + p + q )

= am + ap + aq – bm – bp – bq ← 2 ⋅ 3 = 6 (termes)

1 2 3 4 5 6

Cette "propriété" vous permet de vérifier si vous n'avez oublié aucun produit !

3.3 Écriture des produits

Prenez l'habitude d'écrire les produits obtenus en commençant par le facteur numérique,

puis les facteurs littéraux (les lettres) dans l'ordre alphabétique.

Exemple 4b ⋅ 3ax = (4 ⋅ 3) ⋅ b ⋅ a ⋅ x

= 12abx

Cette manière d'écrire, permise grâce aux deux propriétés de commutativité et

d'associativité de la multiplication, est adoptée par tous les mathématiciens et vous sera

fort utile par la suite.

2 1

3 4

3 1

2

4 5 6

somme de 2 termes

somme de 3 termes


p.4


TAC 2 Effectuez (développez) :

1) (m + p)(x – y)

2) (5x – 3)(3y – 2)

3) (y – 2a – 1)(b + x)

4) (– xy + 2a)( – 4 – 3bc)

5) (2x + y – 5)(a – 3b + cd)


p.5


4. PRODUIT DE PLUSIEURS FACTEURS

4.1 Produit de 3 facteurs

Exemples

Expression numérique Expression algébrique

2 5 7⋅ ⋅ ( ) ( )x a 3 b 7⋅ + ⋅ −

= ( )2 5 7⋅ ⋅ ← 1 → = ( ) ( )x a 3 b 7⎡ ⎤⋅ + ⋅ −⎣ ⎦

= 10 7⋅ ← 2 → = ( ) ( )ax bx b 7+ ⋅ −

= 70 = abx 7ax 3bx 21x− + −

1 On effectue le produit des 2 premiers facteurs.

2 On multiplie le résultat obtenu par le troisième facteur.

Remarque Nous aurions évidemment pu commencer par effectuer le produit des 2e et

3e facteurs, ou encore le produit des 1er et 3e facteurs.

Pour l'expression numérique, nous aurions obtenu :

2 ⋅ 5 ⋅ 7 2 ⋅ 5 ⋅ 7

= 2 ⋅ (5 ⋅ 7) ou = (2 ⋅ 7) ⋅ 5

= 2 ⋅ 35 = 14 ⋅ 5

= 70 = 70

Attention ! La multiplication NE DISTRIBUE PAS la multiplication !

Donc 2 ⋅ 5 ⋅ 7 ≠ (2 ⋅ 5) ⋅ (2 ⋅ 7)

TAC 3 1) Calculez l'expression algébrique de l'exemple ci-dessus de deux autres façons.

2) Effectuez : (5a – b) ⋅ 2c ⋅ (3 + 4d)


p.6


4.2 Produit de 4 facteurs

Exemples

Expression numérique Expression algébrique

2 5 7 4⋅ ⋅ ⋅ ( ) ( ) ( )x a 3 b 7 d 2⋅ + ⋅ − ⋅ +

= ( )2 5 7 4⋅ ⋅ ⋅ ← 1 → = ( ) ( ) ( )x a 3 b 7 d 2⎡ ⎤⋅ + ⋅ − ⋅ +⎣ ⎦

= ( )10 7 4⋅ ⋅ ← 2 → = ( ) ( ) ( )ax 3x b 7 d 2⎡ ⎤+ ⋅ − ⋅ +⎣ ⎦

= 70 4⋅ ← 3 → = ( ) ( )abx 7ax 3bx 21x d 2− + − ⋅ +

= 280 = abdx 2abx 7adx 14ax 3bdx 6bx

21dx 42x+ − − + +

− −

1 On effectue le produit des 2 premiers facteurs.

2 On multiplie le résultat obtenu par le troisième facteur.

3 On multiplie le résultat obtenu par le quatrième facteur.

Remarque Puisque la multiplication est commutative (on peut changer l'ordre des

facteurs), nous aurions pu travailler dans un "ordre" différent.

Pour l'expression numérique, nous aurions pu calculer comme suit :

2 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 4 2 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 4

= 2 ⋅ (5 ⋅ 7) ⋅ 4 ou = (2 ⋅ 7) ⋅ 5 ⋅ 4

= 2 ⋅ 35 ⋅ 4 = 14 ⋅ (5 ⋅ 4)

= 70 ⋅ 4 = 14 ⋅ 20

= 280 = 280

TAC 4 Effectuez :

1) 2a ⋅ (– 2x + 4) ⋅ (2y – 4) =

2) (a + 1)(b + 1)(c – 1)(d – 1) =

3) (x – 3)(1 – 3a)(y + 2) =


p.7


DEVOIR À ENVOYER

Développez :

1) (3x – 4)(2 – 3y) =

2) (2x – 3y + 1)(5a – 2b) =

3) (a – 1)(b – 2)(c – 3) =


p.8


CORRIGÉ DES TAC

TAC 1 (9 + 7) . (10 + 3)

1) Calcul de l'expression sans l'avoir transformée (c'est ainsi qu'il faut travailler !):

(9 + 7) ⋅ (10 + 3)

= 16 ⋅ 13 1ère priorité : les calculs entre parenthèses

= 208

2) Transformation de l'expression en appliquant la double distributivité et calcul :

(9 + 7) ⋅ (10 + 3)

= 9 ⋅ 10 + 9 ⋅ 3 + 7 ⋅ 10 + 7 ⋅ 3 application de la double distributivité

= 90 + 27 + 70 + 21 priorité à la multiplication

= 208

Vous constatez que vous obtenez bien la même réponse !

TAC 2 1) (m + p)(x – y)

= mx – my +px – py

2) (5x – 3)(3y – 2)

= 5x ⋅ 3y – 5x ⋅ 2 – 3 ⋅ 3y + 3 ⋅ 2 *

= 15xy – 10x – 9y + 6

3) (y – 2a – 1)(b + x)

= by + xy – 2ab – 2ax – b – x

4) (– xy + 2a)( – 4 – 3bc)

= 4xy + 3bcxy – 8a – 6abc

5) (2x + y – 5)(a – 3b + cd)

= 2ax – 6bx + 2cdx + ay – 3by + cdy – 5a + 15b – 5cd

* Cette ligne intermédiaire n'est pas indispensable, mais elle peut faciliter le raisonnement dans certains cas.


p.9


TAC 3 1) x . (a + 3) . (b – 7) ou x . (a + 3) . (b – 7)

= x . [(a + 3) . (b – 7)] ← 1 → = [x . (b – 7)] . (a + 3)

= x . (ab – 7a + 3b – 21) = (bx – 7x) . (a + 3)

= abx – 7ax + 3bx – 21 x ← 2 → = abx + 3bx – 7ax – 21x

1 Les crochets sont un 2ème "degré" de parenthèses. Ils sont utilisés pour éviter toute

confusion : on écrit [(…)] au lieu de ((…)).

2 Ces deux réponses sont égales : l'ordre des termes n'a pas d'importance puisque

l'addition est commutative.

Vous pouvez vérifier qu'elles sont aussi égales (heureusement !) à la réponse trouvée

dans la leçon.

2) (5a – b) . 2c . (3 + 4d)

= [(5a – b) . 2c] . (3 + 4d)

= (10ac – 2bc) . (3 + 4d)

= 30ac + 40 acd – 6bc – 8bcd.

TAC 4

1) 2a . (– 2x + 4) . (2y – 4) → 1 terme ; 2 termes ; 2 termes

= (– 4ax + 8a) . (2y – 4)

= – 8axy + 16ax + 16ay – 32a → 4 termes = 1 . 2 . 2 termes

2) (a + 1)(b + 1)(c – 1)(d – 1) → 2 termes ; 2 termes ; 2 termes ; 2 termes

= (ab + a + b + 1)(cd – c – d + 1)

= abcd – abc – abd + ab + acd – ac – ad + a + bcd – bc – bd + b + cd – c – d + 1

→ 16 termes = 2 . 2 . 2 . 2 termes

3) (x – 3)(1 – 3a)(y + 2)

= (x – 3ax – 3 + 9a)(y + 2)

= xy + 2x – 3axy – 6ax – 3y – 6 + 9ay + 18a

Réduction d'expressions algébriques Module A 311 – Série 2 – Leçon 2 (4)


RÉDUCTION D'EXPRESSIONS

1. Suppression des parenthèses .............................................................................................1 1.1 Introduction .................................................................................................................1 1.2 Observons...................................................................................................................2 1.3 Conclusion : règles de suppression des parenthèses.................................................3

2. Sommes algébriques...........................................................................................................4 2.1 Introduction - Vocabulaire ...........................................................................................4 2.2 Réduction de sommes algébriques.............................................................................5 2.3 Règles .........................................................................................................................5

3. Réduction d'expressions algébriques ..................................................................................7 3.1 Exemple ......................................................................................................................7 3.2 Procédé.......................................................................................................................8

Devoir à envoyer ......................................................................................................................9 Corrigé des TAC.....................................................................................................................10


p.1



1. SUPPRESSION DES PARENTHÈSES

1.1 Introduction

Exemples 1

Voici deux expressions algébriques, E1 et E2 : E1 = 7 + (– 3 + 4 – 9)

E2 = 7 – 3 + 4 – 9.

Analysons-les (précisons leur nature) :

• E1 est une somme de 2 termes : 7 et (– 3 + 4 – 9);

• E2 est une somme de 4 termes : 7 ; – 3 ; 4 ; – 9.

Calculons ces deux expressions en respectant l'ordre de priorité des opérations :

E1 = 7 + (– 3 + 4 – 9) E2 = 7 – 3 + 4 – 9

= 7 + (– 8) = 4 + 4 – 9

= 7 – 8 = 8 – 9

= – 1 = – 1

Vous pouvez constater que les deux résultats sont égaux, donc E1 = E2.

Exemples 2

Voici deux autres expressions algébriques, E3 et E4 : E3 = – 3 + (6 – 4 – 5 + 8)

E4 = – 3 + 6 – 4 – 5 + 8.


• E3 est une somme de 2 termes : – 3 et (6 – 4 – 5 + 8);

• E4 est une somme de 5 termes : – 3 ; 6 ; – 4 ; – 5 ; 8.


E3 = – 3 + (6 – 4 – 5 + 8) E4 = 3− + 6 – 4 5− 8+

= – 3 + 5 = 6 – 4

= 2 = 2

Vous pouvez constater que E3 = E4.


p.2


Exemples 3

Voici encore deux autres expressions algébriques : E5 = 4 – (– 2 + 3 – 9)

E6 = 4 + 2 – 3 + 9.


• E5 est une somme de 2 termes : 4 et – (– 2 + 3 – 9);

• E6 est une somme de 4 termes : 4 ; 2 ; – 3 ; 9.


E5 = 4 – (– 2 + 3 – 9) E6 = 4 + 2 – 3 + 9

= 4 – (– 8) = 6 – 3 + 9

= 4 + 8 = 3 + 9

= 12 = 12

Vous constatez que E5 = E6.

Exemples 4

Voici enfin deux dernières expressions algébriques : E7 = – 4 – (7 – 2 + 9 – 6)

E8 = – 4 – 7 + 2 – 9 + 6.


• E7 est une somme de 2 termes : – 4 et – (7 – 2 + 9 – 6);

• E8 est une somme de 4 termes : – 4 ; – 7 ; 2 ; 9 ; – 6.


E7 = – 4 – (7 – 2 + 9 – 6) E8 = – 4 – 7 + 2 – 9 + 6

= – 4 – 8 = – 11 + 2 – 9 + 6

= – 12 = – 9 – 9 + 6

= – 18 + 6

= – 12

E7 = E8

1.2 Observons

Nous pouvons "ranger" les 8 expressions données dans des catégories :

expressions sans parenthèses

(E2, E4, E6, E8)

parenthèses précédées du signe + (E1 et E3)

expressions avec parenthèses

(E1, E3, E5, E7) parenthèses précédées du signe – (E5 et E7)


p.3


Reprenons ces différentes expressions : Parenthèses précédées du signe + Parenthèses précédées du signe –

E1

=

= 7 + ( – 3 + 4 – 9 )

7 + ( – 3 + 4 – 9 ) ↓ ↓ ↓

E5

=

= 4 – ( – 2 + 3 – 9)

4 – ( – 2 + 3 – 9 ) ↓ ↓ ↓

E2 = 7 – 3 + 4 – 9 E6 = 4 + 2 – 3 + 9

E3

=

= – 3 + ( 6 – 4 – 5 + 8 )

– 3 + ( + 6 – 4 – 5 + 8 ) ↓ ↓ ↓ ↓

E7

=

= – 4 – ( 7 – 2 + 9 – 6 )

– 4 – ( + 7 – 2 + 9 – 6 ) ↓ ↓ ↓ ↓

E4 = – 3 + 6 – 4 – 5 + 8 E8 = – 4 – 7 + 2 – 9 + 6

1.3 Conclusion : règles de suppression des parenthèses

• On peut supprimer des parenthèses précédées du signe + sans changer les

signes des termes qui étaient dans les parenthèses.

• On peut supprimer des parenthèses précédées du signe – à condition de

changer les signes des termes qui étaient dans les parenthèses.

TAC 1 Calculez 1° en respectant l'ordre des opérations,

2° en supprimant d'abord les parenthèses :

1) 8 + (2 + 13) =

2) – (3 – 4 + 5) =

3) – (– 3) + (– 5) =

4) (6 – 8) – (9 – 3) =

5) – (4 – 2) – (3 – 5 + 6) =

6) – 8 – [– (3 – 2) – 5] – 2 =

7) 9 – [(– 2 – 8) – (4 – 7)] + (– 5 + 6) =


p.4


2. SOMMES ALGÉBRIQUES

2.1 Introduction - Vocabulaire

5a – 3b – 4ab + c – d + 8

somme algébrique

des 6 termes

5a, – 3b, – 4ab, c, – d, 8

produits - d'un facteur numérique (le nombre)

→ le coefficient

- et d'un ou plusieurs facteurs littéraux (la ou les lettres)

→ la partie littérale

Résumons :

terme coefficient partie littérale

5a 5 a

– 3b – 3 b

– 4ab – 4 ab

c 1* c * c = 1.c

– d – 1* d * – d = – 1.d

8 8 aucune

Un terme qui ne possède pas de partie littérale est appelé terme indépendant. Dans notre exemple : 8.

Des termes qui ont exactement la même partie littérale sont des termes semblables.

Dans notre exemple, il n'y en a aucun.


p.5


2.2 Réduction de sommes algébriques

Exemple

8ax – 5a + 7 – 6ax + x – 5 + a

= 8ax – 6ax – 5a + a + x + 7 – 5

= 2ax – 4a + x + 2 nous avons "réduit" les termes semblables :

• 8ax – 6ax → (8 – 6)ax = 2ax

• – 5a + a = – 5a + 1a → (– 5 + 1)a = – 4a

• + x : pas d'autre terme semblable

• + 7 – 5 = + 2

2.3 Règles

Réduire une somme algébrique, c'est additionner (ou soustraire) les termes

semblables.

Pour additionner des termes semblables, on additionne les coefficients et on garde la même partie littérale.

• Veillez à ne réduire que des termes semblables !

• N'écrivez jamais, par exemple : 5a + 3b = 8ab !!

(pensez : 9 pommes + 3 pommes = 12 pommes

mais : 9 pommes + 3 crayons = ??)

TAC 2 Réduisez les expressions suivantes :

1) 3ax – 4ax + 6ax – ax =

2) – 5a + 3 – 6b – 8 – 3a + 2 =

3) 6a – 2x + 4ax – a – 3a + 3x =

4) 2x – 1 + 3y – 2 + y – 2x – 4 – 4y =


p.6


TAC 3 Supprimez les parenthèses puis réduisez :

1) (a + 2b) – (b – 3a) + (4a – 2b + 1) =

2) – (a + 2ab + 3b) – (a – b) + (a – ab) =

3) a – b – [2a – (b + 2c)] – 2c =

4) 2a – {3b – [4a + (b – a)] + a} – b =

Conseils : • si nécessaire, revoyez le § 1 de cette leçon (règles de suppression des

parenthèses);

• rappelez-vous : [(…)] = ((…)) et {[(…)]} = (((…))).


p.7


3. RÉDUCTION D'EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES

3.1 Exemple

Soit l'expression suivante :

– 2a(b + c – 1) – (2a + 3)(b – c) – (ac – b + 3) + 4.

Le but est de réduire l'expression, donc de l'écrire sous une forme plus simple.

Commençons par l'observer, l'analyser :

elle comporte des produits, des parenthèses, des + et des – en dehors des

parenthèses.

Comme pour le calcul d'expressions numériques, la multiplication a priorité sur l'addition;

on n'utilise les signes + et – en dehors des parenthèses que lorsqu'on a effectué les

autres calculs.

Donc :

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

somme parent

2a b c 1 2a 3 b c ac b 3 4

hèsde de

entre2a par b c 1

" "

produ

" " " "

2a 3 par b

it produit

ec s

↓ ↓ ↓− + − + − − +

↓

− + − + −↓↓ ↓

à calculer d'abord à c

frontière frontière frontiè

alculer d'ab ( ) à

r

so urd

e

pprimer

− − +

terme↓

Pour mieux vous montrer les détails du calcul, nous développerons les produits séparément :

• ( )( ) ( )

2a b c 1 application de la distributivité simple

2a b 2a c 2a 12ab 2ac 2a

− + −

= − ⋅ + − ⋅ − − ⋅

= − − +

• ( ) ( )( ) ( )

2a 3 b c application de la double distributivité

2a b 2a c 3 b 3 c2ab 2ac 3b 3c

+ −

= ⋅ + ⋅ − + ⋅ + ⋅ −

= − + −

L'expression donnée devient :

( ) ( )2ab 2ac 2a 2ab 2ac 3b 3c ac b 3 4

n'oubliez pas de bienindiquer les parenthèses(car "signe devant" !)

− − + − + − − +

−

− − +


p.8


Il nous reste des parenthèses (précédées du signe –) à supprimer avant de pouvoir

réduire les termes semblables, d'où l'expression devient :

– 2ab – 2ac + 2a – 2ab + 2ac – 3b + 3c – ac + b – 3 + 4

et nous terminons le calcul :

– 2ab – 2ab – 2ac + 2ac – ac + 2a – 3b + b + 3c – 3 + 4

= – 4ab – ac + 2a – 2b + 3c + 1.

Écrivons le calcul correctement :

– 2a(b + c – 1) – (2a + 3)(b – c) – (ac – b + 3) + 4 → calcul des produits

= – 2ab – 2ac + 2a – (2ab – 2ac + 3b – 3c) – (ac – b + 3) + 4 → suppression des ( )

= – 2ab – 2ac + 2a – 2ab + 2ac – 3b + 3c – ac + b – 3 + 4 → réduction des termes

semblables

= – 4ab – ac + 2a – 2b + 3c + 1.

3.2 Procédé

Pour réduire une expression algébrique : 1. on analyse l'expression donnée :

• si c'est une somme, on repère bien les différents termes (et les signes + et

– hors des parenthèses),

• si c'est un produit, on repère bien les différents facteurs.

2. on applique la règle de priorité des opérations, c'est-à-dire que

• on effectue d'abord les produits (en n'oubliant pas la "ligne encadrée" :

lorsqu'un produit est précédé du signe –, on l'écrit entre parenthèses, afin d'éviter les erreurs de signes),

• on supprime ensuite les parenthèses, en appliquant les règles de

suppression ; 3. on réduit (on additionne) les termes semblables.

TAC 4 Développez et réduisez s'il y a lieu :

1) – 5(– 2a + 3b)x = 5) (1 – 2x)(y + 3) – (y – 2)(2x – 3) =

2) 2(3x – 4y – z) – 4 = 6) – 3(4x – 5) + (4x – 8).3 + 9 =

3) – 2a(– b + c – 1) – (2ab – 2ac – 2a) =

4) 3a(x – 1) + (a – 9)(2x + 1) =


p.9


DEVOIR À ENVOYER

Développez et réduisez s'il y a lieu :

1) 8y – (3x + 2y – z).4 =

2) – (a – b) + (b – 1)(– a) – b =

3) (a + 2)(– b – 3) – 5(– a + 5) =


p.10


CORRIGÉ DES TAC

TAC 1 Calcul 1° en respectant l'ordre des opérations,

2° en supprimant d'abord les parenthèses.

1) 1° 8 + (2 + 13)

= 8 + 15

= 23

2° 8 + (2 + 13)

= 8 + 2 + 13

= 10 + 13

= 23

La règle de suppression des parenthèses précédée de "+" est, en fait, une simple application de l'associativité de l'addition.

2) 1° – (3 – 4 + 5)

= – (– 1 + 5)

= – 4

2° – (3 – 4 + 5)

= – 3 + 4 – 5

= 1 – 5

= – 4

Ici, la règle de suppression des parenthèses précédées de "–" est, en fait, la transformation de l'opposé d'une somme de termes en la somme des opposés des termes.

3) 1° et 2°

– (– 3) + (– 5)

= 3 – 5

= – 2

En appliquant la règle de suppression des parenthèses, nous retrouvons le procédé d'addition et de soustraction des nombres négatifs.

4) 1° (6 – 8) – (9 – 3)

= – 2 – 6

= – 8

2° (6 – 8) – (9 – 3)

= 6 – 8 – 9 + 3

= – 2 – 9 + 3

= – 11 + 3

= – 8

• (6 – 8) = (+) (6 – 8) donc ( ) précédées de + → pas de changement des signes; • – (9 – 3) : parenthèses précédées de – → changement des signes.


p.11


5) 1° – (4 – 2) – (3 – 5 + 6)

= – 2 – 4

= – 6

2° – (4 – 2) – (3 – 5 + 6)

= – 4 + 2 – 3 + 5 – 6

= 2 3− − + 5 – 6

= – 6

• – (4 – 2) : parenthèses précédées de – → changement des signes; • – (3 – 5 + 6) : ( ) précédées de – → changement des signes; • – 4 + 2 = – 2 • – 2 – 3 = – 5 et – 5 + 5 = 0.

6) 1° – 8 – [– (3 – 2) – 5] – 2

= – 8 – (– 1 – 5) – 2

= – 8 – (– 6) – 2

= – 8 + 6 – 2

= – 2 – 2

= – 4

2° – 8 – [– (3 – 2) – 5] – 2

= – 8 – (– 3 + 2 – 5) – 2

= – 8 + 3 – 2 + 5 – 2

= 5− – 2 + 5 – 2

= – 4

• suppression des ( ) à l'intérieur des [ ] : ▫ précédées de – → changement des signes, ▫ on remplace les [ ] par des ( ); • – (– 3 + 2 – 5) : parenthèses précédées

de – → changement des signes; • – 8 + 3 = – 5 et – 5 + 5 = 0

7) 1° 9 – [(– 2 – 8) – (4 – 7)] + (– 5 + 6)

= 9 – [(– 10 – (– 3)] + 1

= 9 – (– 10 + 3) + 1

= 9 – (– 7) + 1

= 17

2° 9 – [(– 2 – 8) – (4 – 7)] + (– 5 + 6)

= 9 – (– 2 – 8 – 4 + 7) – 5 + 6

= 9 + 2 + 8 + 4 – 7 – 5 + 6

= 29 – 12

= 17

• suppression des ( ) à l'intérieur des [ ] : ▫ (– 2 – 8) = (+)( – 2 – 8) → pas de changement des signes, ▫ – (4 – 7) : parenthèses précédées de – → changement des signes, ▫ on remplace les [ ] par des ( ); • suppression des ( ) hors des [ ] :

parenthèses précédées de + → pas de changement des signes.


p.12


TAC 2 1) 3ax – 4ax + 6ax – ax

= 4ax

• ces 4 termes sont semblables : ils ont la même partie littérale "ax";

• – ax = – 1ax • 3 – 4 + 6 – 1 = 4

2) – 5a + 3 – 6b – 8 – 3a + 2

= – 8a – 6b – 3

termes semblables : • termes "en a" : – 5a et – 3a • termes indépendants : + 3, – 8, + 2

3) 6a – 2x + 4ax – a – 3a + 3x

= 2a + 4ax + x

termes semblables : • termes "en a" : 6 a, – a (= – 1a), – 3a • termes "en x" : – 2x, + 3x un seul terme "en ax"

4) 2x – 1 + 3y – 2 + y – 2x – 4 – 4y

[ = 0x + 0y – 7] → ligne non nécessaire

= – 7

termes semblables : • termes "en x" : 2x,– 2x ET 2x – 2x = 0x = 0• termes "en y" : + 3y, + y (= + 1y), – 4y ET + 3y + 1y – 4y = 0y = 0 • termes indépendants : – 1, – 2, – 4 ET – 1 – 2 – 4 = – 7

TAC 3 1) (a + 2b) – (b – 3a) + (4a – 2b + 1)

= a + 2b – b + 3a + 4a – 2b + 1

= 8a – b + 1

2) – (a + 2ab + 3b) – (a – b) + (a – ab)

= – a – 2ab – 3b – a + b + a – ab

= – a – 3ab – 2b

3) a – b – [2a – (b + 2c)] – 2c

= a – b – (2a – b – 2c) – 2c

= a – b – 2a + b + 2c – 2c

= – a

4) 2a – {3b – [4a + (b – a)] + a} – b

= 2a – [3b – (4a + b – a ) + a] – b

= 2a – ( 3b – 4a – b + a + a ) – b

= 2a – 3b + 4a + b – a – a – b

= 4a – 3b


p.13


TAC 4 1)

– 5(– 2a + 3b)x

= (10a – 15b) . x

= 10ax – 15bx

→ produit de 3 facteurs : – 5 ; (– 2a + 3b) ; x

1° on effectue le produit des 2 premiers, en appliquant la

distributivité simple (et on indique bien le résultat entre

parenthèses);

2° on effectue le produit, en appliquant la même règle.

2) 2(3x – 4y – z) – 4

= 6x – 8y – 2z – 4

→ somme algébrique de 2 termes : 2.(3x – 4y – z) et 4

1° on effectue le produit dans le 1er terme (distributivité

simple);

2° on effectue la somme : ici, nous n'avons aucun terme

semblable, donc le calcul est terminé.

3) – 2a(– b + c – 1) – (2ab – 2ac – 2a)

= 2ab – 2ac + 2a – 2ab + 2ac + 2a

= 4a

→ somme algébrique de 2 termes :

– 2a.(– b + c – 1) → produit de – 2a

par (– b + c – 1)

et (2ab – 2ac – 2a) → somme entre ( )

1° • on effectue le produit,

• on supprime les ( ) précédées de "–",

donc on change les signes;

2° on réduit les termes semblables.

4) 3a(x – 1) + (a – 9)(2x + 1)

= 3ax – 3a + 2ax + a – 18x – 9

= 5ax – 2a – 18x – 9

→ somme de 2 termes :

3a.(x – 1) → produit de 3a par (x – 1)

et (a – 9).(2x + 1) → produit de (a – 9) par

(2x + 1)

1° on effectue les 2 produits;

2° on réduit les termes semblables.

5) (1 – 2x)(y + 3) – (y – 2)(2x – 3) → somme dont les 2 termes sont des produits

= y + 3 – 2xy – 6x – (2xy – 3y – 4x + 6) → on effectue les produits; ! – devant ( )

= y + 3 – 2xy – 6x – 2xy + 3y + 4x – 6 → on supprime les ( )

= 4y – 2x – 4xy – 3 → on réduit les termes semblables.


p.14


6) – 3(4x – 5) + (4x – 8).3 + 9

= – 12x + 15 + 12x – 24 + 9

= 0

Réduction d'expressions algébriques Module A 311 – Série 2

Corrigé du devoir 1 (3)



1) ( ) ( ) ( ) ( )3x 4 2 3y 3x 2 3x 3y 4 2 4 3y6x 9xy 8 12y

− − = ⋅ + ⋅ − − ⋅ − ⋅ −

= − − +

2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2x 3y 1 5a 2b 2x 5a 2x 2b 3y 5a 3y 2b 1 5a 1 2b10ax 4bx 15ay 6by 5a 2b

− + − = ⋅ + ⋅ − − ⋅ − ⋅ − + ⋅ + ⋅ −

= − − + + −

3) ( ) ( ) ( )( ) ( )a 1 b 2 c 3 on effectue d'abord le produit des 2 premiers facteurs

ab 2a b 2 c 3abc 3ab 2ac 6a bc 3b 2c 6

− − −

= − − + −

= − − + − + + −

Réduction d'expressions algébriques Module A 311 – Série 2

Corrigé du devoir 2 (4)



1) ( ) ( )8y 3x 2y z 4 8y 12x 8y 4z

8y 12x 8y 4z12x 4z 4z 12x

+ − ⋅ = + −

= − − += − + = −

− −

2) ( ) ( ) ( ) ( )a b b 1 a b a b ab a b

a

− − − − = − + − +

= −

+− −+

b+ ab a− + b−ab= −

3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a 2 b 3 5 a 5 ab 3a 2b 6 5a 25

ab 3a 2b 6 5a 252a 2b ab 31

+ − − − + = − − − − − +

= − − − − + −= − − −

− −

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