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Relations dordre

Dans tout ce chapitre, E est un ensemble.

1 Relations binaires sur un ensemble

Explication

Les relations sont partout : et dans le monde mathmatique, et dans la vraie vie. Nous passons notre temps comparer desobjets, les mettre en rapport les uns avec les autres selon tel ou tel aspect. Les phrases suivantes, pourtant diverses, sonttoutes laffirmation dun lien entre deux objets : Minou et Matou ont la mme couleur de poils , 3 6 5 , Machinest amoureux de Bidule , 4 divise 12 , Pierre est plus g que Paul , 1 + i et 1 i ont le mme module , etc.

De quelle manire pourrions-nous dfinir proprement la notion de relation en mathmatiques ? Quel objet la relation 0 et x < 0.

La relation 6 sur RR est partielle car, par exemple, sin et cos ne sont pas comparables : sin cos et cos sin. La relation de divisibilit | sur Z est partielle car, par exemple, 2 et 3 ne sont comparables : on na ni 2 6 | 3, ni 3 6 | 2. La relation dinclusion sur P(E) est partielle ds que E contient au moins deux lments. En effet, si a et b sont deuxlments distincts de E, alors

{a} 6 {b} et {b} 6 {a}.

2 Relations dquivalence

Les relations dquivalence ne sont pas au programme de MPSI, mais comme le concept est clairant dans de nombreuxcontextes, nous lutiliserons rgulirement.

Dfinition (Relation dquivalence) On appelle relation dquivalence sur E toute relation binaire sur E qui est lafois rflexive, transitive et symtrique.

Les relations dquivalence sont souvent notes ou ou ou . . .

Exemple La relation dgalit = sur E et la relation avoir le mme signe sur R sont des relations dquivalence.

Exemple Soit n N. La relation de congruence modulo n sur Z est une relation dquivalence.En effet

Rflexivit : Soit a Z. Alors a = a+ 0 n avec 0 Z, donc a a [n]. Transitivit : Soient a, b, c Z. On suppose que a b [n] et b c [n], i.e. a = b+ kn et b = c+ ln pourcertains k, l Z. Alors a = b+ kn = (c+ ln) + kn = c+ (k + l)n avec k + l Z, donc a c [n].

Symtrie : Soient a, b Z. On suppose que a b [n], i.e. a = b + kn pour un certain k Z. Alorsb = a+ (k)n avec k Z, donc b a [n].

Thorme (Classes dquivalence dune relation dquivalence) Soit une relation dquivalence sur E.

Pour tout x E, on appelle classe dquivalence de x (pour ) lensemble{y E/ x y

}.

Les classes dquivalences pour forment une partition de E. Cela revient dire quelle sont non vides, que leurrunion est E tout entier, et quelles sont deux deux gales ou disjointes.

ExplicationCe que ce thorme raconte, cest que la relation dquivalence peut tre re-prsente comme une carte au sens gographique. Chaque classe dquivalenceest comme un pays lintrieur de E dont les lments sont caractriss parune certaine nationalit. Le monde E se trouve ainsi partitionn en pays.

On peut dire les choses autrement. Toute relation dquivalence peut tre ex-prime en franais sous la forme Avoir le mme (. . . ) : avoir le mmesigne , avoir le mme reste de division euclidienne par n pour la congruencemodulo n, etc.

E

Une classe

dquivalence

Une classe dquivalence

Une classe dquivalence

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Dmonstration Pour tout x E, notons cl(x) la classe dquivalence de x pour . Pour tout x E, x x par symtrie de , donc x cl(x), donc en particulier cl(x) est non vide. Clairement E =

xE

cl(x) car pour tout x E, x cl(x).

Soient x, y E. Pour montrer que cl(x) et cl(y) sont gales ou disjointes, supposons-les non disjointes ettchons de montrer quelles sont alors gales. Nous pouvons nous donner un lment z commun cl(x) etcl(y). Par symtrie des rles de x et y, il nous suffit de montrer que cl(x) cl(y). Soit t cl(x).

z cl(y) donc y zz cl(x) donc x z puis z x

t cl(x) donc x t

donc y t par transitivit.

Exemple

La relation avoir le mme signe sur R possde deux classes dquivalence : la classe R+ et la classe R. Il existe exactement deux classes dquivalence pour la relation de congruence modulo 2 : la classe 2Z des entiers pairs etla classe 2Z + 1 des entiers impairs, car nous savons que tout entier est pair ou impair mais pas les deux.

Plus gnralement, pour tout n N, il existe n classes dquivalence pour la relation de congruence modulo n : la classenZ de 0, la classe 1 + nZ de 1, la classe 2 + nZ de 2. . . et la classe (n 1) + nZ de n 1. Nous dmontrerons ce rsultatproprement plus tard dans lanne. Ceux qui connaissent le thorme de la division euclidienne comprendront que cestexactement ce quil dit : a Z, ! r J0, n 1K/ a r [n].

3 Relations dordre

3.1 Dfinition

Dfinition (Relation dordre) On appelle relation dordre sur E ou ordre sur E toute relation binaire sur E qui est la fois rflexive, transitive et antisymtrique.

Les relations dordre sont souvent notes 6 ou 4 ou . ou -. . .

Exemple Les relations 6 sur R et RR sont des relations dordre, ainsi que la relation dinclusion sur P(E).

Exemple La relation de divisibilit | nest pas une relation dordre sur Z, mais cen est une sur N.

En effet Nous avons dj vu que la relation | sur Z nest pas antisymtrique. Travaillons donc sur N.

Rflexivit : Soit n N. Alors n|n car n = 1 n. Transitivit : Soient n, n, n N tels que n|n et n|n. Montrons que n|n. Comme n|n et n|n, n = knet n = kn pour certains k, k N. Aussitt n = kn = kkn avec kk N, donc n|n.

Antisymtrie : Soient n, n N tels que n|n et n|n. Montrons que n = n. Comme n|n et n|n, n = knet n = kn pour certains k, k N. Aussitt n = kn = kkn, donc nous devons distinguer deux cas :

Si n = 0, n = kn = 0 donc n = n.

Si n 6= 0, alors kk = 1. Or k et k sont deux entiers naturels, donc k = k = 1, donc n = kn = n.

Explication

Quattendons-nous intuitivement des notions de classement, hirarchie, ordre, prfrence ? Essentiellement la transitivit en fait, cest ce qui compte le plus. Si A est plus grand que B et B plusgrand que C, alors A est plus grand que C. Toute entorse la transitivit contredit lide dune hirarchie.

La rflexivit est impose dans la dfinition des relations dordre mais aurait pu ne pas ltre. Les ma-thmatiques ont simplement privilgi les relations du type infrieur ou gal aux relations du type infrieur strictement . Une dfinition des relations strictes est tout de mme nonce plus loin.

Lantisymtrie est un autre choix conventionnel. La relation tre plus g (ou du mme ge) que sur lensemble des tres humains est transitive et rflexive, mais non antisymtrique car deux individusdistincts peuvent tre ns au mme instant. Bien que non antisymtrique, cette relation nen est pas moinsconue intuitivement comme une relation de hirarchie. Les relations rflexives et transitives sont en faitappeles des pr-ordres en mathmatiques, et ce sont dj intuitivement des relations qui classent.

Ce quil faut retenir, cest que les relations dordre sont des exemples importants de hirarchies au sens large (rflexivit)et sans ambigut (antisymtrie) mais quelles ne formalisent pas toutes les hirarchies concevables.

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Il est dusage, pour une relation note 4, quon lise la relation x 4 y ainsi : x est plus petit que y . Rien ne sopposecela dit ce quon dise plutt : x est plus grand que y , cest pure affaire de convention et il faut tre cohrent. Etreplus grand en vieillesse, cest aussi tre plus petit en jeunesse par exemple.

Pour finir, notez bien que les relations dordre excluent les boucles. Il nest pas possible davoir une bouclede la forme x1 4 x2 4 x3 4 . . . 4 xn 4 x1 dans laquelle les lments sont distincts et n > 2, car la transitivit etlantisymtrie de 4 forceraient lgalit x1 = x2 = . . . = xn.Sans boucles, les relations dordre ont comme une orientation naturelle : en les parcourant on vatoujours de lavant, on ne revient jamais en arrire, on ne tourne jamais en rond. Cest un peu comme les rseaux fluviaux :les fleuves et les rivires coulent tous en direction de la mer et ne bouclent jamais. Cest prcisment cette orientation quinous invite considrer que certains lments sont plus petits/grands que dautres.

1 0 1 2 e La relation 6 sur R est une relation dordre totale. Cest pr-cisment pour cette raison quon peut la reprsenter comme uneligne unique, une fibre unique oriente contenant tous les rels.

La figure de gauche ci-dessous est une reprsentation de la relation sur lensemble des parties de{1, 2, 3

}, tandis quon a

reprsent droite la relation de divisibilit | sur N plus exactement sur J0, 20K pour simplifier. Le fait que ces relationsne sont pas totales se visualise bien : il ne suffit pas dune fibre pour reprsenter ces relations, il en faut plusieurs.

b

b

b

b

b

b

b

b

{1}

{2}

{3}

{1, 2

}

{1, 3

}

{2, 3

}

{1, 2, 3

}

b

b b b b b b b b

b b b b b b

b b b b

b b

b

1

2 3 5 7 11 13 17 19

4 6 9 10 14 15

8 12 18 20

16 24

0

Dfinition (Relation stricte associe une relation dordre) Soit 4 une relation dordre sur E. La relation surE dfinie pour tous x, y E par : x y x 4 y et x 6= y est transitive et antisymtrique, appele la relationstricte associe 4.

Dmonstration

Transitivit : Soient x, y, z E. On suppose que x y et y z. Alors en particulier x 4 y et y 4 z, doncpar transitivit de 4 : x 4 z. Lgalit x = z est-elle possible ? Si x = z, alors x 4 y et y 4 x, donc x = ypar antisymtrie de 4 alors que par hypothse x 6= y. Comme voulu : x 4 z et x 6= z, i.e. x z.

Antisymtrie : Soient x, y E. On suppose que x y et y x. Alors en particulier x 4 y et y 4 x, doncx = y par antisymtrie de 4.

Exemple Naturellement, la relation usuelle < sur R est la relation stricte de la relation 6.

3.2 Majorants/minorants

Dfinition (Majorant/minorant) Soient 4 une relation dordre sur E et A une partie de E. On dit que A est majore (pour 4) sil existe M E tel que : a A, a 4M .

Un tel lment M est appel un majorant de A. On dit aussi que A est majore par M ou encore que M majore A. On dit que A est minore (pour 4) sil existe m E tel que : a A, m 4 a.

Un tel lment m est appel un minorant de A. On dit aussi que A est minore par m ou encore que m minore A. On dit que A est borne (pour 4) si elle est la fois majore et minore.

$ $ $ Attention ! Une partie majore possde en gnral plusieurs majorants : par exemple, si M en est un majorant etsi M 4M , alors M est aussi majorant. Voil pourquoi on ne parle jamais du majorant, mais toujours dun majorant.

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Exemple

Lintervalle ], 1] est major par 1 (pour 6), mais aussi par 2, 3. . . Il nest pas minor en revanche. Lensemble

{8, 10, 12

}est minor par 2 et major par 120 pour la relation de divisibilit | sur N.

P(E) est minor par et major par E pour la relation dinclusion .

3.3 Plus grands/petits lments

Dfinition (Plus grand/petit lment) Soient 4 une relation dordre sur E et A une partie de E. Soit M E. On dit que M est un plus grand lment de A ou un maximum de A (pour 4) si M A et si M est

un majorant de A. Soit m E. On dit que m est un plus petit lment de A ou un minimum de A (pour 4) si m A et si m est un

minorant de A.

Explication Bref, un plus grand lment M dune partie A estMA

un lment de AM majore A

plus grand que tous les autres.

Thorme (Unicit du plus grand/petit lment) Soient 4 une relation dordre sur E et A une partie de E.Si A possde un plus grand (resp. petit) lment pour 4, alors celui-ci est unique. On peut donc lappeler le plus grand(resp. petit) lment de A et le noter maxA (resp. minA).

$ $ $ Attention ! Le plus grand lment est unique. . . sil existe !

Dmonstration Contentons du cas des plus grands lments. Soient M,M E quon suppose tous deux plusgrands lments de A. Alors M 4 M car M majore A et M A, et de mme M 4 M car M majore A etM A. Conlusion : M = M par antisymtrie de 4.

Exemple Lintervalle [0, 1[ na pas de plus grand lment (pour 6). Il possde en revanche un plus petit lment, savoir 0.

En effet

1

M + 1

2

M0

0 [0, 1[ et 0 est un minorant de [0, 1[, donc 0 est le plus petit lment de [0, 1[. Nous allons maintenant passer en revue tous les lments de [0, 1[ et montrer quaucun dentre eux ne majore

[0, 1[. Cela montrera bien que [0, 1[ na pas de plus grand lment.

Soit M [0, 1[. Montrer que M nest pas un majorant de [0, 1[, cest montrer que a > M pour un certaina [0, 1[. Il nous suffit donc dexhiber un rel compris strictement entreM et 1. Clairement, M + 1

2convient.

Exemple On travaille dans cette srie dexemples avec la relation de divisibilit | sur N.

(i) 0 est le plus grand lment de N eh oui ! et 1 est son plus petit lment.

(ii) Lensemble N \{0, 1

}ne possde ni plus petit lment ni plus grand lment.

(iii) Lensemble{2, 3, 6

}possde un plus grand lment cest 6 mais pas de plus petit lment.

En effet Dmontrons seulement les assertions (i) et (ii).

(i) Lentier 0 est lment de N et plus grand que tout le monde car tout le monde le divise, donc cest le plusgrand lment de N. Lentier 1 est lement de N et plus petit que tout le monde car il divise tout le monde,donc cest le plus petit lment de N.

(ii) Par labsurde, supposons que N \{0, 1

}possde un plus petit lment m. En particulier m|2 et m|3, donc

m|(3 2), i.e. m|1. Le seul diviseur de 1 tant 1 lui-mme, m = 1 forcment, et ceci est contradictoire car1 / N \

{0, 1

}alors que, par hypothse, m N \

{0, 1

}.

Par labsurde, supposons maintenant que N\{0, 1

}possde un plus grand lment M . En particulier 2M |M

car 2M N \{0, 1

}, donc M = 2kM pour un certain k N. Mais justement, k tant entier, 2k 6= 1 donc

M = 0. Nous obtenons bien l une contradiction car 0 / N\{0, 1

}alors que, par hypothse, M N\

{0, 1

}.

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3.4 Bornes suprieures/infrieures

Explication Nous avons vu que [0, 1[ na pas de plus grand lment, mais pourtant en un sens sa borne 1 est quelquechose de cet ordre mais quoi exactement ? Comment saisir conceptuellement ce 1 qui la fois nest pas dans [0, 1[ et pourtantnest pas nimporte qui ? Ce qui rend 1 si particulier pour [0, 1[, cest que 1 en est non seulement un majorant, mais surtout lemeilleur, loptimum, le plus petit possible. La dfinition suivante parat du coup trs naturelle.

Dfinition (Borne suprieure/infrieure) Soient 4 une relation dordre et A une partie de E. Sil existe, le plus petit majorant de A pour 4 est appel la borne suprieure de A (pour 4) et not supA. Sil existe, le plus grand minorant de A pour 4 est appel la borne infrieure de A (pour 4) et not inf A.

Explication La diffrence essentielle entre les plus grands lments et les bornes suprieures dune partie A, cestque les bornes suprieures nappartiennent pas forcment A.

$$ $ Attention ! La borne suprieure nexiste pas toujours, mais quand elle existe, elle est unique en tant que plus petitmajorant raison pour laquelle on a pu dfinir une notation supA.

Thorme (Lien entre les plus grands/petits lments et les bornes suprieures/infrieures) Soient 4 unerelation dordre et A une partie de E. Si A possde un plus grand (resp. petit) lment pour 4, alors A possde une bornesuprieure (resp. infrieure) pour 4 et on a :

supA = maxA (resp. inf A = minA).

Dmonstration Contentons-nous du cas des bornes suprieures. Notons M lensemble des majorants de A.Nous devons montrer queM possde un plus petit lment alors A possdera une borne suprieure et quenfait ce plus petit lment est maxA on aura donc supA = maxA. Il suffit de vrifier deux choses :

que maxA M : or par dfinition, maxA est un majorant de A ; que maxA est un minorant de M : or par dfinition maxA A.

Exemple Lintervalle R+ ne possde pas de borne suprieure (pour 6) car il nest pas major. En revanche, parce que 0 enest le plus petit lment, 0 en est aussi la borne infrieure.

Exemple Nous avons vu que [0, 1[ navait pas de plus grand lment, mais cela dit [0, 1[ admet 1 pour borne suprieure.

En effet Pour montrer que 1 est la borne suprieure de [0, 1[, i.e. le plus petit majorant de [0, 1[, nous allonsmontrer dabord que 1 majore [0, 1[, puis quaucun rel strictement infrieur 1 ne majore [0, 1[.

Evidemment, 1 majore [0, 1[.

Soit x ], 1[. Montrons que x ne majore pas [0, 1[. Cela revient montrer que [0, 1[ contient un lmentt strictement suprieur x. Si x < 0, alors on peut poser par exemple t = 0, et si x [0, 1[, alors commex+ 1

2 [0, 1[, on peut poser t = x+ 1

2. Dans les deux cas, on a trouv un lment t qui convient.

Exemple Pour la relation de divisibilit | sur N :

Borne suprieure = Plus petit majorant = Plus petit multiple commun = PPCM,

et de mme : Borne infrieure = Plus grand minorant = Plus grand diviseur commun = PGCD.

Par exemple : inf{6, 8, 10

}= PGCD

(6, 8, 10

)= 2 et sup

{6, 8, 10

}= PPCM

(6, 8, 10

)= 120.

4 Deux proprits importantes de N pour la relation 6

$ $ $ Attention ! On sintresse ici seulement la relation 6 sur N et non la relation de divisibilit |.

Thorme Toute partie non vide de N possde un plus petit lment.

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Dmonstration Soit A une partie non vide de N. Nous voulons montrer que A possde un plus petit lment.Supposons par labsurde que A nen possde pas. Nous allons montrer par rcurrence que A est minore par npour tout n N, puis nous en tirerons une contradiction.

Initialisation : A est minore par 0 car toute partie de N lest. Hrdit : Soit n N. Supposons A minore par n. Comme par hypothse A ne possde pas de

plus petit lment, forcment n / A, et du coup n < a pour tout a A. Mais ceci revient dire, parce quenous travaillons avec des entiers, que n+ 1 6 a pour tout a A. Bref, A est minore par n+ 1.

Nous venons donc de montrer que : n N, a A, n 6 a. Or par hypothse A est non vide, donc nouspouvons nous en donner un lment a0. En particulier a0 + 1 6 a0 contradiction.

Thorme Toute partie non vide majore de N possde un plus grand lment.

Dmonstration Soit A une partie non vide majore de N. Par hypothse, lensemble M des majorants de Adans N est non vide. En vertu du thorme prcdent, il possde donc un plus petit lment m.

Supposons dabord que m = 0. Alors a 6 m = 0 pour tout a A, et comme a N, a = 0. Puisque A estnon vide, cela montre que A = {0}, et donc A admet 0 pour plus grand lment.

Supposons prsent m 6= 0, et donc que m 1 N. Comme m = minM, m 1 ne majore pas A, doncm 1 < a pour un certain a A. Or lingalit dentiers m 1 < a 6 m est en fait une galit :m = a. Finalement, m majore A et m A puisque m = a, donc A admet m pour plus grand lment.

5 La relation 6 sur R et lensemble R

Petit rappel. . .

Thorme (Compatibilit de la relation dordre avec laddition et la multiplication) Pour tous a, b, c, d R : Si a 6 b et c 6 d, alors a+ c 6 b+ d. Si 0 6 a 6 b et 0 6 c 6 d, alors 0 6 ac 6 bd.

Si a 6 b et c 6 0, alors bc 6 ac. Si 0 < a 6 b, alors 0 < 1b6

1

a.

5.1 La proprit de la borne suprieure/infrieure

Explication

Le rsultat qui suit est une proprit essentielle de lensemble des rels. Sa dmonstration dpend dela faon dont on construit R partir de Q, donc ne nous intresse pas car nous admettons lexistence des nombres rels.En un sens en tout cas, toute lanalyse est dans ce thorme. Directement ou non, cest de lui que nousallons dduire tous les grands thormes danalyse au programme : thormes de la limite monotone, thorme des suitesadjacentes, thorme de Bolzano-Weiertstrass, thorme des valeurs intermdiaires, image dun segment par une fonctioncontinue, thorme de Heine, thorme de Rolle, thorme des accroissements finis et construction de lintgrale.

Le problme pos est simple : dterminer quelles parties de R possdent une borne suprieure.Le cas de lensemble vide se traite part : admet tout rel pour majorant, donc comme R nest pas minor, ne possdepas de borne suprieure.

Ensuite, videmment, si une partie non vide de R possde une borne suprieure, cette partie est aussi majore. Et rcipro-quement ? Toute partie non vide majore de R possde-t-elle une borne suprieure ? La rponse est oui.

Thorme (Proprit de la borne suprieure/infrieure){Toute partie non vide majore de R possde une borne suprieure.Toute partie non vide minore de R possde une borne infrieure.

$ $$ Attention ! Proprit de la borne suprieure est une marque dpose : cest le nom dun thorme fondamentalsur les rels. Rien voir avec une proprit gnrale des bornes suprieures, et encore moins avec leur dfinition !

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En pratique La proprit de la borne suprieure est un rsultat dexistence mais ne donne aucun renseignementsur la valeur de la borne en question. Pour cette raison, elle nest utilise que dans des contextes thoriques dans lesquels onne peut pas connatre cette valeur lavance.

Le rsultat suivant est nonc pour les bornes suprieures, mais on peut ladapter bien sr au cas des bornes infrieures.

Thorme (Oprations sur les bornes suprieures) Soient A et B deux parties non vides majores de R dontpossdant chacune une borne suprieure daprs la proprit de la borne suprieure.

(i) Si A B, alors supA 6 supB.

(ii) Lensemble A B possde une borne suprieure et de plus : sup(A B) = max{supA, supB

}.

(iii) Lensemble A+ B ={a+ b

}aA,bB

possde une borne suprieure et de plus : sup(A+ B) = supA+ supB.

(iv) Pour tout > 0, lensemble A ={a}aA

possde une borne suprieure et de plus : sup(A) = supA.

Dmonstration

(i) Pour tout x A, x B donc x 6 supB, donc supB majore A, donc supA 6 supB.(ii) Pour tout x A B, si x A alors x 6 supA 6 max

{supA, supB

}, et si de mme x B alors

x 6 supB 6 max{supA, supB

}. Bref, max

{supA, supB

}majore A B.

Soit s < max{supA, supB

}. Alors s < supA ou s < supB, donc s ne majore pas A ou s ne majore pas B,

donc il existe x A B tel que s < x, ce qui prouve que s ne majore pas A B.Conclusion : max

{supA, supB

}est le plus petit majorant de A B, donc sup(A B) existe et vaut

max{supA, supB

}.

(iii) Pour tout x A + B, disons x = a + b pour certains a A et b B, x = a + b 6 supA + supB, doncsupA+ supB majore A+ B.Soit s < supA + supB. Alors s supB < supA donc s supB ne majore pas A, donc il existe a A telque s supB < a. Mais du coup s a < supB, donc s a ne majore pas B, donc il existe b B tel ques a < b. Finalement s < a+ b avec a+ b A+ B, donc s ne majore pas A+ B.Conclusion : supA+supB est le plus petit majorant de A+B, donc sup(A+B) existe et vaut supA+supB.

(iv) Pour tout x A, disons x = a pour un certain a A, x = a >06 supA, donc supA majore A.Soit s < supA. Alors s

< supA donc s

ne majore pas A, donc il existe a A tel que s

< a, i.e. s < a

avec a A, donc s ne majore pas A.Conclusion : supA est le plus petit majorant de A, donc sup(A) existe et vaut supA.

5.2 Lensemble R

On officialise prsent ladjonction de deux lments et lensemble des rels.

Dfinition (Droite acheve R) On appelle droite acheve R lensemble R{,

}dans lequel les symboles nouveaux

et sont distincts et rgis par les lois suivantes : Prolongement de lordre : Pour tout x R : < x 0 si x < 0 et x() = ()x =

{ si x > 0 si x < 0.

$ $ $ Attention ! Cette dfinition ne donne aucun sens aux expressions , 0, 0 et .

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En ralit, cest dans R que la proprit de la borne suprieure gagne tre nonce tant elle y devient simple. Le rsultatnest pas vraiment au programme mais il est clairant.

Thorme (Proprit de la borne suprieure/infrieure dans R) Toute partie de R possde une borne suprieureet une borne infrieure (dans R, donc ventuellement ).Plus prcisment, propos des bornes suprieures :

toute partie non majore de R admet pour borne suprieure dans R, pour les parties non vides majores de R, les bornes suprieures dans R et dans R concident.

Explication Merci R ! Toute partie de R. . . Lnonc dans R tait plus compliqu parce quen un sens R estincomplet : il lui manque des extrmits. Quon lui en rajoute et le monde devient simple.

Exemple

Dans R, R+ ne possde pas de borne suprieure car il nest pas major, mais dans R, supR+ existe et vaut . Le segment [0, 1] possde une borne suprieure dans R et dans R, savoir 1, mais il serait idiot dutiliser la proprit dela borne suprieure pour en justifier lexistence. Une simple vrification explicite suffit : 1 = max[0, 1], donc 1 = sup[0, 1].

Dans R, sup = car le plus petit lment de lensemble des majorants de , qui est R tout entier, est .

5.3 Partie entire

Thorme (Partie entire)

Soit x R. Il existe un unique entier n Z tel que n 6 x < n+1. On lappelle la partie entirede x et on le note x. Cet entier x est donc le plus grand entier relatif infrieur ou gal x.

A retenir tout prix : x 1 < x 6 x < x+ 1.bb

b

b

b

b

bc

bc

bc

bc

y = x

Exemple 11 = 11, 5, 2 = 5, 4 = 4, mais attention : 7, 3 = 8 (et non pas 7).

Dmonstration Le rsultat parat vident mais justement, nous allons le dmontrer.

Unicit : Soient m,n Z tels que m 6 x < m+1 et n 6 x < n+1. Sommons les ingalits m 6 x < m+1et n1 < x 6 n : mn1 < 0 < mn+1, ou encore 1 < mn < 1. Or mn est un entier,donc m n = 0, i.e. m = n.

Existence dans le cas positif : Soit x R+. Lensemble X ={n Z/ n 6 x

}est une partie de R qui

est non vide (car 0 X) et majore par x, donc possde une borne suprieure en vertu de la proprit dela borne suprieure, que nous noterons x. Par dfinition, comme voulu : x 6 x, mais nous ne savonspas encore que x est un entier par exemple.Bien sr, x 1 nest pas un majorant de X puisque x en est le plus petit, du coup x 1 < npour un certain n X. A prsent, si un lment m X tait strictement suprieur n, on aurait mmem > n + 1 donc m > x contradiction car x majore X. Ceci prouve que n majore X, et donc quen = maxX = supX = x. En particulier, comme n, x est un entier : le plus grand entier relatif infrieurou gal x.

Enfin, forcment, x < x+1. Dans le cas contraire, x+1 serait un lment de X strictement suprieur x, alors que x = supX.

Existence dans le cas ngatif : Soit x R. Dans le cas o x est entier, on peut poser x = x car alorsclairement x 6 x < x+ 1.

Dans le cas o x nest pas entier, appuyons-nous sur le cas positif dj trait et posons x = >0x 1.

Multiplions lingalit x 6 x < x+1 par 1 : x 1 < x 6 x, i.e. x < x 6 x+1.Comme enfin x nest pas entier : x 6 x < x+ 1 (changement strict/large).

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Exemple Nous aurons bientt rgulirement recours aux raisonnements qui suivent, il faut donc bien les comprendre. Soient > 0 et A > 0 fixs. Le mot rang dsigne ci-dessous uniquement des entiers naturels.

A partir de quel rang est-il vrai que 1n< ? Cette ingalit est vraie si et seulement si n >

1

. Comme

1

est le plus

grand entier infrieur ou gal 1

, lingalit

1

n< est vraie partir du rang

1

+1 .

A partir de quel rang est-il vrai que n2 > A ? Cette ingalit est vraie si et seulement si n >A, donc partir du rang

A+1 .

A partir de quel rang est-il vrai que 12n

< ? Cette ingalit est vraie si et seulement si 2n >1

, ou encore n > ln

ln 2,

donc partir du rang max

{0,

ln ln 2

+1

}. Pourquoi ce max ? Parce que nous cherchons un entier naturel.

5.4 Intervalles de R

Explication Rappelons que, par dfinition, a et b tant des lments de R ventuellement on pose :

[a, b] ={x R/ a 6 x 6 b

}(intervalle ferm), [a, b[ =

{x R/ a 6 x < b

}(intervalle semi-ouvert droite),

]a, b] ={x R/ a < x 6 b

}(intervalle semi-ouvert gauche) et ]a, b[ =

{x R/ a < x < b

}(intervalle ouvert).

Pour a et b rels, [a, b] est aussi appel un segment. Ces ensembles sont tous appels des intervalles, mais du coup la notiondintervalle vous a t dfinie jusquici en quatre cas. Nest-il pas possible den donner une dfinition dun seul tenant ? Cestlobjectif de ce paragraphe, que nous rinvestirons plus tard quand nous dmontrerons le thorme des valeurs intermdiaires.

Dfinition (Intervalle de R) On appelle intervalle (de R) toute partie I de R telle que :

x, y, t R,(x I et y I et x 6 t 6 y

)= t I .

Explication Un intervalle de R est donc une partie I de R qui contient tous les segments dont les extrmits sontdans I , ou encore qui contient toutes les valeurs intermdiaires des points quelle contient.

Exemple Pour tous a, b R tels que a 6 b, [a, b], [a, b[, ]a, b] et ]a, b[ sont des intervalles au sens de la dfinition prcdente.En effet Contentons-nous du cas de lensemble [a, b[. Soient x, y, t R tels que x [a, b[, y [a, b[ et x 6 t 6 y.Nous devons montrer que t [a, b[. Rien de plus facile : a 6 x 6 t 6 y < b.

Le thorme suivant nonce que la rciproque de lexemple prcdent est vraie.

Thorme (Caractrisation des intervalles de R) Les intervalles de R sont exactement toutes les parties de R ayantlune des formes [a, b], [a, b[, ]a, b] et ]a, b[ pour certains a, b R avec a 6 b.

Dmonstration Soit I un intervalle de R. La proprit de la borne infrieure/suprieure dans R montre queI possde une borne infrieure a et une borne suprieure b. Nous devrons ensuite distinguer plusieurs cas.

Cas o a I et b I : Montrons que I = [a, b]. Montrons que [a, b] I . Soit x [a, b]. Alors a 6 x 6 b avec a I et b I , donc comme I est un

intervalle, x I . Montrons que I [a, b]. Soit x I . Comme a minore I et b majore I , a 6 x 6 b, i.e. x [a, b].

Cas o a I et b / I : Montrons que I = [a, b[. Montrons que [a, b[ I . Soit x [a, b[. Comme x < b et b = sup I , x ne majore pas I , donc x < b

pour un certain b I . Alors a 6 x 6 b avec a I et b I , donc comme I est un intervalle, x I . Montrons que I [a, b[. Soit x I . Comme a minore I et b majore I , a 6 x 6 b. Mais x I alors

que b / I , donc a 6 x < b, i.e. x [a, b[.

Cas o a / I et b I : Dans ce cas I = ]a, b]. Adapter le cas prcdent.

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Cas o a / I et b / I : Montrons que I = ]a, b[. Montrons que ]a, b[ I . Soit x ]a, b[. Comme a < x et a = inf I , x ne minore pas I , donc a < x

pour un certain a I . Comme x < b et b = sup I , x ne majore pas I , donc x < b pour un certain b I .Alors a 6 x 6 b avec a I et b I , donc comme I est un intervalle, x I .

Montrons que I ]a, b[. Soit x I . Comme a minore I et b majore I , a 6 x 6 b. Mais x I alorsque a / I et b / I , donc a < x < b, i.e. x ]a, b[.

5.5 Application aux fonctions de R dans R

Dfinition (Fonctions majore/minore/borne) Soient A une partie de R et f : A R une fonction.Nous y reviendrons plus tard : ci-dessous, f(A) dsigne limage de A par f , i.e. lensemble des valeurs prises par f sur A.

On dit que f est majore sur A si f(A) est une partie majore de R, i.e. si : M R/ x A, f(x) 6M .Un tel rel M est appel un majorant de f sur A. On dit ausi que f est majore par M sur A ou que M majore f sur A.

On dit que f est minore sur A si f(A) est une partie minore de R, i.e. si : m R/ x A, f(x) > m.Un tel rel m est appel un minorant de f sur A. On dit aussi que f est minore par m sur A ou que m minore f sur A.

On dit que f est borne sur A si f est la fois majore et minore surA, i.e. si : K R+/ x A,f(x) 6 K.

Majore non minore Minore non majore Borne

DmonstrationPar dfinition, f est borne sur A si elle y est majore et minore : m,M R/ x A, m 6 f(x) 6M . Cenest pourtant pas la proposition que nous avons nonce ci-dessus, mais en fait ces propositions sont quivalentes.

Si : K R+/ x A,f(x) 6 K, alors K 6 f(x) 6 K, donc f est minore par K et majore

par K, donc borne.

A prsent, si : m,M R/ x A, m 6 f(x) 6 M , posons K = max{|m|, |M |

}. Alors pour tout

x A : K 6 |m| 6 m 6 f(x) 6M 6 |M | 6 K, doncf(x) 6 K.

$ $ $ Attention !

Quand vous voulez majorer une fonction f , concrtement vous devez majorer f(x) pour tout x, mais ne choisissez jamaisun majorant qui dpend de x : votre majorant doit tre valable pour tout x.

Le contraire de majore nest pas minore . En gnral, les fonctions ne sont ni majores ni minores.

Dfinition (Maximum/minimum dune fonction) Soient A une partie de R et f : A R une fonction. Sil existe, le plus grand lment de f(A) est appel le maximum de f sur A et not max

Af ou max

xAf(x).

Dire quun rel M est le maximum de f sur A revient dire que f est majore par M sur A et que M = f(c) pour uncertain c A.

Sil existe, le plus petit lment de f(A) est appel le minimum de f sur A et not minA

f ou minxA

f(x).

Dire quun rel m est le minimum de f sur A revient dire que f est minore par m sur A et que m = f(c) pour uncertain c A.

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$ $ $ Attention !

Le maximum dune fonction est unique. . . sil existe, mais il peuttre atteint en plusieurs points diffrents. b b

b

b

Un unique maximumatteint deux fois

Un unique minimumatteint une fois

Pas un maximummais un maximum local(notion tudie plus tard)

Dfinition (Borne suprieure/infrieure dune fonction) Soient A une partie de R et f : A R une fonction. Si elle existe, la borne suprieure de f(A) est appele la borne suprieure de f sur A et note sup

A

f ou supxA

f(x).

Si elle existe, la borne infrieure de f(A) est appele la borne infrieure de f sur A et note infAf ou inf

xAf(x).

Explication

La grande diffrence entre les extrema et les bornes suprieures/infrieures, cest queles extrema sont forcment atteints alors que les bornes suprieures/infrieures ne lesont pas ncessairement.

b

Borne suprieure(non atteinte)

Minimum,donc borne infrieure

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