OPIQUE II SMP3 2012-2013 1 BOUKHRIS

Chapitre I : RAPPEL D’OPTIQUE

GEOMETRIQUE

I) NOTIONS FONDAMENTALES

1) NOTION DE FAISCEAU LUMINEUX

Tout faisceau lumineux est composé d’un ensemble de rayons

lumineux. Dans cette hypothèse, un faisceau lumineux est formé de

rayons lumineux rectilignes qui se propagent indépendamment les uns

des autres.

2) LOIS DE DESCARTES

Hypothèses

-) rayon transmit

-) rayon incident

-) rayon réfléchit -) Point d’incidence

-) angle réfléchi -) plan d’incidence

-) angle de réfraction -) angle d’incidence

Loi de Descartes

-) le rayon incident et le rayon réfracté sont dans le plan

d’incidence

-) l’angle d’incidence et l’angle de réfraction sont égaux

(module)

-) 1 1 2 2sin sinn i n i

Remarque :

Les lois de Descartes ne sont valables que dans les milieux

isotropes

3) PHÉNOMÈNE DE DISPERSION

Remarque : la lumière blanche est

formée de rayons associés à toutes les

longueur d’onde comprise entre 0.4 <

< 0.8 m.

L’indice de réfraction est fonction

de la longueur d’onde : b

n a

4) PRINCIPE DU RETOUR INVERSE DE LA LUMIÈRE

Ce principe n’est pas un

principe fondamental puisqu’il se

déduit de la troisième loi de

Descartes.

5) PRINCIPE DE FERMAT

Pierre de Fermat (1601-1665) a le

premier posé en principe que le chemin optique des rayons lumineux

était minimal. On a ensuite montré qu’il était extrémal.

Appliqué aux dioptres et aux miroirs, ce principe est équivalent

aux lois de Descartes.

6) CHEMIN OPTIQUE

a - Milieux homogènes

b - Milieux inhomogènes :

ABL nAB

OPIQUE II SMP3 2012-2013 2 BOUKHRIS

( , , )B

ABA

L n x y z dL

Durée de parcours AB

( , , )B

ABA

L n x y z dL c t

Le trajet optique dans un milieu est la longueur que franchirait

la lumière dans le vide pendant le même temps.

a) Remarque :

le principe de Fermat peut être considéré comme hypothèse

fondamentale de l’optique géométrique.

II) THÉORÈME DE MALUS (1802)

1) NOTION DE SURFACE D’ONDE OU FRONT D’ONDE

C’est le lieu des points situés sur les

rayons à une même distance d’une

source ponctuelle S

SM SN SP

Remarques :

-) entre deux surfaces

d’onde le chemin optique est constant.

MM NN PP

-) SS cte quelque soit le rayon suivi (condition du

stigmatisme rigoureux)

2) THÉORÈME DE MALUS :

On suppose que les rayons émis par une source ponctuelle:

-) sont toujours normaux aux surfaces d’ondes (milieu

homogène), ceci après un nombre quelconque de réfractions et de

réflexions.

3) EXEMPLE CLASSIQUE

a) Onde plane :

Pour avoir une onde plane (faisceau parallèle), on utilise une

lentille convergente et on place une source ponctuelle en son foyer.

b) Onde sphérique

Pour avoir une onde sphérique, il suffit d’avoir une source

ponctuelle

c) Remarque : on peut avoir des ondes sphériques à partir des

ondes planes en se disposant d’une lentille convergente.

-) on peut également avoir une onde plane à partir d’une onde

sphérique et cela en disposant d’une lentille convergente.

On résume cette discussion par les conclusions suivantes :

– La notion de rayon lumineux est indissociablement liée à la

notion de front d’onde ou de surface d’onde.

– Un rayon lumineux ne peut se concevoir seul. On ne peut

parler que d’une famille

de rayons lumineux. Cette famille définit des fronts d’ondes qui

sont les surfaces orthogonales à ces rayons.

– Reciproquement un front d’onde détermine localement les

rayons, ce sont des courbes

qui lui sont orthogonales.

/

AB AB nAB Lt

v c n c c

S

M M’

N N’

P P’

Systèm

e

centré

S’

OPIQUE II SMP3 2012-2013 3 BOUKHRIS

III) LIMITES DE L’OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE

On ne peut pas isolé un rayon lumineux (même à l’aide d’une

fente très petite). On risque d’avoir le phénomène de diffusion de la

lumière (voir Chapitre de diffraction).

L’observation des images A’ et B’ de A et B montre une tache de

diffusion qui devient de plus en plus large lorsque l’orifice T devient de

plus en plus petit.

Conséquences :

on ne peut pas

isoler un rayon lumineux ;

le phénomène de

diffraction, déjà observé

avec les ondes sonores et

ultrasonores, met en évidence le caractère ondulatoire de la lumière.

IV) PRINCIPE D’HUYGENS

1) SOURCE SECONDAIRE

OU DÉRIVÉE

Si l’on considère une cuve

rectangulaire pleine d’eau et une

tige verticale est en contact avec la

surface d’eau. La vibration de la tige provoque des ondelettes sur la

surface d’eau (onde surfacique circulaire). En plaçant une fente au

niveau de la surface de nouvelles ondelettes se forment au delà de la

fente ; elle se comporte alors comme une nouvelle source ponctuelle :

c’est une source secondaire

Cas d’une

ouverture

Cas de deux

ouvertures

Alors tout se passe comme si le trou se comporte comme une

autre source ponctuelle qui présente la même propriété que la source

d’origine. Elle est appelée source secondaire.

a) Exemple

ondelettes de formes circulaires qui apparaissent sur la surface.

Il s’agit alors d’une onde qui se propage dans toutes les directions du

plan excité (ondes circulaires).

Lorsqu’on pose un obstacle dans la direction de propagation des

ondes avec une ouverture très fine, on observe la formation de

nouvelles ondelettes au delà de l’ouverture et la forme des

ondelettes dépend de la dimension de l’ouverture.

OPIQUE II SMP3 2012-2013 4 BOUKHRIS

Ouverture large

a >

Petite

ouverture a <

Cas d’ondes électromagnétiques

On considère une source lumineuse placée en un point O. à un

instant t une surface d’onde de rayon R, tout point de cette surface

V) EQUIVALENCES DES DIFFÉRENTS PRINCIPES

Lois de Descartes, Principe Fermat, Théorème de Malus,

Principe d’Huygens

A partir des 3 premiers principes, on peut expliquer plusieurs

phénomènes à l’aide de l’optique géométrique

Le dernier aussi mais il peut également interpréter des

phénomènes de diffraction

Chapitre II : GÉNÉRALITÉS SUR LA

LUMIÈRE ET LES INTERFÉRENCES

I) - NOTION D’ONDE

Une onde est une perturbation se propageant de proche en proche dans l'espace.

Lors du passage de l'onde en un point, le milieu subit une perturbation. La perturbation du

milieu en un point peut être une oscillation harmonique simple.

Dans le cas des ondes mécaniques, la perturbation est produite par une oscillation

de la matière.

1) CAS D’UN RESSORT

Si la matière se déplace

parallèlement à la direction de

propagation de l'onde, c'est une onde

longitudinale. Si la matière se déplace

perpendiculairement à la direction de

propagation de l'onde, c'est une onde

transversale

2) CORDE VIBRANTE

Une corde excitée par l’une de ces extrémités ou tendue entre deux les extrémités

peut laisser se propager des ondes mécaniques transversales. Le passage de l'onde en un

point produit un déplacement transversal.

OPIQUE II SMP3 2012-2013 5 BOUKHRIS

L’onde produite au point z = 0 se propage le long de l’axe Ox

Pour poser cette équation de vibration, nous allons assumer les données

physiques suivantes :

la masse de la corde est répartie uniformément par unité de longueur.

La corde est entièrement élastique et n’a pas de frottement (résistance de

déformation mécanique de la corde).

Les mouvements transverses sont tellement petits qu’on peu considérer que

chaque point de la corde se meut perpendiculairement à l’axe des x.

La tension de rappel de la corde est si élevée qu’on peut négliger l’apport de la

force de gravitation sur la masse (pesante) de la corde.

Étant donnée l’absence de résistance mécanique de déformation, la tension est

toujours tangentielle à la courbure de la corde en tout point (autrement il y aurait une

composante perpendiculaire).

3) EQUATION DE PROPAGATION

De plus comme nous avons postulé que tous les points de la corde n’effectuent

qu’un mouvement strictement vertical, les composantes horizontales de tension doivent

s’équilibrer. Ainsi si au point P, la corde subit une tension 1T et qu’au point Q elle subit

une tension 2T , les composantes horizontales doivent s’équilibrer :

1 2cos cosT T T

ou T = constante est la tension originale de la corde

dans le sens vertical, la seconde loi de Newton nous donne que la résultante des

forces appliquée provoque une accélération de la masse d’inertie, c'est-à-dire :

2

2 1 2sin sin .

uT T x

t

En divisant cette équation par la précédente, nous obtenons :

22 1

22 1

sin sin

cos cos

T T x u

T T T t

soit : 2

2

.tan tan

x u

T t

or tan et tan sont respectivement les pentes aux points x et x + x . C’est )

dire :

tanx

u

x

et tanx x

u

x

d’où l’équation remaniée : 2

2

1

x x x

u u u

x x x T t

soit lorsque x est infiniment petit : 2 2

2 2

u u

Tx t

que l’on met souvent sous la forme canonique : 2 2

2 2 2

1u u

x v t

L’équation de la corde vibrante simplifiée, mais c’est aussi l’équation d’onde à

une dimension qu’on retrouve pour la propagation des ondes électromagnétiques.

4) SOLUTION DE L’ÉQUATION DE PROPAGATION

Cette équation admet comme solution générale :

u(x, t) = f1(x + vt) + f2(x vt)

f1(x + vt) correspond à un déplacement vers la gauche de la perturbation avec une

vitesse v.

De même f2(x vt) correspond à un déplacement vers la droite.

Si f1(x) correspond à la forme de la corde à l’instant t = 0, la forme à l’instant t

s’obtient en translatant la fonction f1(x) vers la gauche de la distance vt

5) CAS D’UN PROFIL SINUSOÏDAL

Une onde progressive transversale est décrite par le déplacement transversal qui

dépend de la position et du temps. Pour le cas d'un profil sinusoïdal, on a :

Si l’on suppose qu’à l’instant t l’onde arrive en M(z,t), l’équation de cette onde

s’écrit :

( , ) sin( )z t A t

A l’instant t’ cette onde s’est déplacée et elle arrive en z’ avec un retard de t ,

ce qui permet d’écrire : t t t

OPIQUE II SMP3 2012-2013 6 BOUKHRIS

( , ) sin( ) sin ( ) sin )

2sin ) sin )

2sin ) sin

z t t A t A t t A t t

z zA t A t

v T v

A t z A t kz

6) cas des vibrations à trois dimensions

Tout onde obéit à l’équation de propagation d’onde suivante :

Onde plane : une onde plane est une onde dont la fonction ne dépend que d’une

seul variable x , z ou z. Dans le cas d’une onde plane se propageant selon l’axe Ox :

L’équation s’écrit :

2 2

2 2 2

10

x v t

II) - CAS GÉNÉRAL

1) ONDE SPHÉRIQUE MONOCHROMATIQUE

Une solution particulière de l'équation de propagation concerne les ondes émises

par les sources ponctuelles : les ondes sphériques dont l'image naïve est celle des ``ronds

dans l'eau'' obtenus lorsqu'on lance une pierre dans l'eau. Une onde sphérique est

caractérisée par la symétrie sphérique de son champ électromagnétique. Si elle est

monochromatique, alors son amplitude complexe s'écrit

( )0( , ) j t krr t er

2) ONDE PLANE ET MONOCHROMATIQUE

On se place dans un milieu linéaire, homogène et isotrope loin des sources de

champ électromagnétique

L'onde plane est une solution particulière de l’équation précédente. Les champs

ne dépendent que d'une seule variable souvent notée z. L'équation de propagation

d’une onde prévoit alors que la solution s'écris comme la somme de deux vibrations se

propageant en sens inverse l'une de l'autre à la vitesse v :

( , ) ( ) ( )

onde progressive onderegressive

z zr t f t g t

v v

( ) ( )

0 0( , ) j t kr j t krr t e e

Généralement les ondes proviennent de sources quelque part dans l'espace et se

propagent de la source vers le point courant (point où les champs sont calculés). On doit

alors choisir le signe + ou - dans les expressions ci-dessus. Par convention on choisira le

signe - (propagation vers les z > 0).

Remarque : On peut noter deux différences au niveau des expression entre une

onde plane et une onde sphérique :

- kr au lieu .k r : cette différence peut s'interpréter par le fait qu'en chaque point

M la direction de propagation de l'onde est parallèle au rayon vecteur r SM . On peut

alors définir un vecteur d'onde local zk ke dont la norme vaut 2

et dont la

direction est celle de la propagation au point M. Il est aisé de voir que .k r kr .

- L'amplitude décroît comme 1

r, donc l'intensité comme

2

1

r.

3) CHOIX D'UN MODÈLE POUR LA VIBRATION LUMINEUSE

En optique, l'équation de propagation d’une onde électromagnétique prévoit alors

que E et B s'écrivent comme la somme de deux vibrations se propageant en sens

inverse l'une de l'autre à la vitesse v :

2

2 2

2 2 2

2 2 2

10

v t

x y z

z

t

z

M

M

’

T

OPIQUE II SMP3 2012-2013 7 BOUKHRIS

( )z

E tv

et ( )z

B tv

Les champs électriques et magnétiques sont perpendiculaires entre eux et à la

direction de propagation. Ils sont en phase et constants dans tout plan perpendiculaire à la

direction de propagation dit plan d'onde.

. On utilisera de préférence la notation complexe :

( )( ) ( )

0

( , )

rj t

j t kr j tvE r t Ae e Ae e Ae e

EA

r

e est un vecteur unitaire perpendiculaire à la trajectoire choisie, k la norme du

vecteur d'onde.

4) CAS D’UNE ONDE ÉLECTROMAGNÉTIQUE PLANE

Considérons une ondes électromagnétique plane progressive ayant l’axe z

comme direction de propagation ; cette vibration peut être représentée par le vecteur

champ électrique et/ou magnétique :

( )0

j t krE E e

L'onde plane monochromatique ou onde plane sinusoïdale est une forme

particulière de ces solutions pour lesquelles E et B sont des fonctions trigonométriques :

cosinus, sinus ou plus généralement exponentielles complexes. Si est la pulsation de

la fonction trigonométrique on écrit :

( , ) cos( ) ,0E r t E t kz z zez

( , ) cos( ) cos( )E z t E t kz e E t eo o

2 2

2;

kz z zv vT

k vT

Dans le cas d’un milieu quelconque :

On sait que : c

nv

cela conduit à :

0

n

et

2 2

0 0

nz L

; L est le chemin optique

( ) ( );

0 0j t kr j t kr

E E e B B e

où k zv

est le vecteur d'onde.

III) COMPOSITION DE DEUX ONDES LUMINEUSES MONOCHROMATIQUES, DE DIRECTIONS QUELCONQUES ET DE MÊME PULSATION

1) EXPRESSION DE L’INTENSITÉ

Dans la cas général,, on considère un repère (o,x,y,z) et deux sources S1 et S2. la

direction de propagation de l’onde de la sources S1 à un point M sera représentée par 1k

et la direction de propagation de l’onde de la sources S2 au point M sera représentée par

2k .

H

O

OPIQUE II SMP3 2012-2013 8 BOUKHRIS

L’onde émise par S1 en M s’écrit : 1 1 1 1 1cos( )E A t k S M

On aussi pour S2 : 2 2 2 2 2cos( )E A t k S M

que l’on peut encore écrire :

1 1 1 1 1cos( ( ) )E A t k r r

2 2 2 2 2cos( ( ) )E A t k r r

L’onde résultante en M est :

1 2

1 2

1 2 1 2

1 2

e e e e

e e e

j jj t j t

j jj t

E E E A A

A A

D’ou, l’intensité résultante en M est :

1 2 1 2*

1 2 1 2e e e e e ej j jj t j tI EE A A A A

1 1 1 1 1k r k r 2 2 2 2 2k r k r

2 21 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1

2 21 2 1 2

1 2

2 cos ( ) ( )

2 cos

I A A A A k k r k r k r

A A F I I F

F A A

2) DISCUSSION DU TERME F

Ce terme est appelé intensité mutuelle, c'est lui qui contient les interférences. Il

est à variation rapide (période des oscillations ) et présente des oscillations

conduisant à l'observation d'une figure d'interférence striée de franges brillantes et

sombres.

a) a- Cas ou 2 1 Cte dans le temps et

si l’on se place dans le cas ou la distance , on a : 1 2k k k

2 1 2 1( )k r r ; 2 1 2 1 1 2r r OS OS S S ; 1 2 2 1.k S S

2 2 1

0

2 1

0

2

2

nS SH

est appelée différence de marche

Dans ce cas l’intensité intégrée s’écrit :

2 21 2 1 2 2 1

0

22 cos( . )I A A A A

si tous les termes sont constants dans le temps.

2 21 2 1 2 2 1

0

22 cos( . )I A A A A

3) CAS OU 2 1 0

2 21 2 1 2

0

22 cos( )I A A A A

0

20 2k

==> k ===> k

2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 max2 2 cos ( )I A A A A A A A A A A I

Cela correspond à des franges claires.

0

22 (2 1)k k

1( )

2k => k

2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 max2 2 cos ( )I A A A A A A A A A A I

Cela correspond à des franges sombres,

a) Remarque : si 1 2A A

(a) : 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 max2 2 ( )I A A A A A A A A A A I

Cela correspond à des franges brillantes.

(b) 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 min2 2 ( )I A A A A A A A A A A I

1 2D S S a

1 2D S S a

OPIQUE II SMP3 2012-2013 9 BOUKHRIS

Remarque : si les amplitudes des amplitudes identiques, les franges sont noires.

4) CONTRASTE

On défini le contraste des franges par la quantité : max min

max min

I I

I I

, ce terme

traduit la visibilité des franges sur l’écran.

Remarque : si 1 2A A , c'est-à-dire min 0I ===> 1

Contraste avec des amplitudes identiques Contraste avec des amplitudes différentes

cas ou 1 2A A et 2 1 0

2 2 2 21 2 1 2 1 2 max min2I A A A A A A I I

Donc, on n’a pas d’interférences

5) CAS OU 1 2//A A ET 2 1 ( )f t

2 21 2 max minI A A I I ou les interférences ne sont pas observées.

On dit que les sources S1 et S2 sont spatialement incohérentes.

IV) COHÉRENCE SPATIALE – COHÉRENCE TEMPORELLE

lorsqu’un atome est désexcité, il

envoie un train d’onde et non pas une onde.

Les trains d’onde émis

successivement par un atome dans le temps

ont tous la même longueur de cohérence main

ils sont indépendants les uns des autres :

- Sans relation de phase ; phases à

l’origine aléatoires

- sans relation de polarisation.

1) COHÉRENCE TEMPORELLE

La durée de cohérence temporelle n’est pas la seule quantité qui caractérise la

cohérence temporelle, on a également :

- Le produit . 1

- La longueur de cohérence cL V

Une source de lumière est de grande cohérence temporelle si et seulement si :

- Elle est très monochromatique ( est très faible)

- Elle émet de long trais d’onde ( cL )

- Elle présente une grande durée de cohérence

2) ORDRE DE GRANDEUR

Pour une lampe à gaz 1010 s ; 3cL cm

Une étoile 1610 s ; 3cL m

3) COHÉRENCE SPATIALE

Soit une source S ponctuelle et monochromatique qui émet dans toutes les

directions de l’espace, alors toute surface sphérique de centre S est une surface d’onde.

a) Cas d’une onde monochromatique

On peut alors considérer que tous les points de la surface vibre en phase, on dit

que la surface d’onde est spatialement cohérente. c'est-à-dire que le vecteur qui

caractérise la vibration a la même phase en tout point :

y

x

l =V : longueur de cohérence

OPIQUE II SMP3 2012-2013 10 BOUKHRIS

y

x

0cos( )E A t kx

b) Cas d’une onde ordinaire (source large polychromatique)

Dans ce cas, seuls les points d’une surface très limitée vibrent en phase, les

dimensions de cette surface perpendiculaire à la direction de

propagation caractérisent la cohérence spatiale l

On admet qu’à chaque train d’onde est associé une

surface d’onde, dans cette surface tous les points vibrent en

phase.

On montre que l

est l’angle sous lequel

on voit la source depuis le point M où on mesure l . Ceci est lié à la largeur de la

source

4) APPLICATION :

On a interférence lorsque les phases 2 1 cte dans le temps.

Donc pour avoir interférence, il faut que S1 et S2 appartienne à un même l :

-) si l a on a interférence

-) si l a pas d’interférence

Exemple 1 :

Si une source a une largeur e = 0.1 mm et S1S2 = 10 cm,

on a : 30.110

100rd ===>

63

5

0.5 100.5 10 0.5

10l m mm

Exemple 2 : pour une étoile

710 rd ===> 6

7

0.5 105

10l m

(sans turbulence atmosphérique).

V) CARACTÉRISATION DE LA LUMIÈRE NATURELLE

1) REPRÉSENTATION DE LA LUMIÈRE NATURELLE

Les vecteurs iE qui caractérisent les vibrations s’écrivent :

1 1 1cos( )E A t

2 2 2cos( )E A t

……………………

cos( )i i iE A t

Pour cela, on écrit :

Suivant Ox : 0 cos( )xi x

i

X E X t

Suivant Oy : 0 cos( )yi y

i

Y E Y t

A un instant t’, les précédentes relations s’écrivent :

Suivant Ox : '0 cos( )

x

i x

i

X E X t

Suivant Oy : '0 cos( )

y

i y

i

Y E Y t

2) COHÉRENCE

L’incohérence est caractérisée par la non existence d’aucune relation entre les

phases ( ) ( )x x y yet et et

l

S