Cours Mecanique Generale ZITOUNI Et GUES

7/25/2019 Cours Mecanique Generale ZITOUNI Et GUES

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Iset du kef 2011/2012

Statique-cinmatique-dynamique

Enseignants : ZITOUNI et GUESMI Page 1

INTRODUCTION

On prsente dans ce document un cours de mcanique gnrale ncessaire pour la formation

dun technicien suprieur en mcanique. Ce cours est accompagn par des travaux dirigs la

fin de chaque chapitre.

Ce document comporte trois parties :

Statique des solides

- Rappel mathmatique

- Torseurs

- Etudes statique des solides

Cinmatique des solides

- Paramtrage

- Rappel de gomtrie vectorielle

- Cinmatique du point matriel

- Cinmatique des solides indformable

Dynamique des solides

- Gomtrie des masses

- Torseur cintique

- Dynamique des solides indformables


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SOMMAIRE

Premire partie : statique des solides6

Chapitre I : Rappels Mathmatique71. Dfinitions 71.1.2. Proprit...71.2. Vecteur71.2.1. Dfinition81.2.2. Proprits..81.3. Base.8

1.3.1. Dfinition.8

1.4. Repre.81.4.1.

Dfinition82. Oprations sur les vecteurs.82.1. Notation...8

2.2. Dtermination des composantes dun vecteur..8

2.3. Produit scalaire.9

2.4. Produit vectoriel..9

2.5. Double produit vectoriel....10

2.6. Produit mixte.10

2.7. Drivation vectorielle10

Chapitre II : LES TORSEURS

1. dfinition..11

2. Proprits..12

2.1. Torseur nul12

2.2. Egalit de deux torseurs12

3. oprations sur les torseurs 12

3.1. Somme de deux torseurs12

3.2. Multiplication de deux torseurs..12


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3.3. Multiplication dun torseur par un rel.13

3.4. Torseur glisseur..13

3.5. Torseur couple13

3.6. Equiprojectivit.13

3.7. Invariants dun torseur...13

3.8. Dfinition de laxe central et du pas dun torseur..14

Chapitre III : ETUDES STATIQUES DES SOLIDES1.

Introduction..17

2. Les systmes de forces dans lespace17

2.1. Composantes dune force..172.2. Force dfinie par son module et deux points sur sa ligne daction.183. Equilibre dun point matriel184. Liaisons des solides...194.1. Liaisons sans frottements.20

4.2. Liaisons entre solides avec frottements..21

5. Systme de forces.225.1. Moment dune force par rapport un point...235.3 Thorme de VARIGNON236. Statique du solide..246.1. Equilibre du solide : principe fondamental de la statique (PFS) .246.2. Ecriture scalaire du principe fondamental de la Statique...25Travaux Dirigs.26

Deuxime partie : LACINEMATIQUE

Chapitre I : PARAMETRAGE

1. Paramtrage d'un point par rapport un repre...312. systme de coordonnes..31

2.1. Coordonnes cartsiennes.31

2.2. Coordonnes cylindriques.31

2.3. Coordonnes sphriques31

3. paramtrage de lorientation de la base B1par rapport la base B..32

Chapitre II : RAPPELS DEGEOMETRIE VECTORIELLE1. Fonction vectorielle.34


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1.1. Proprits...342. Drivation dun vecteur exprim dans la base B de drivation...343. Changement de base de drivation vectorielle de la base B la base B035

Chapitre III : CINEMATIQUE DU POINT MATERIEL

1. Vecteur vitesse dun point M par rapport un repre.371.1. Dfinition.371.2. Dtermination du vecteur vitesse.37

2. Vecteur acclration dun point M par rapport un repre.392.1. Dfinition..39Chapitre IV : CINEMATIQUE DE SOLIDES INDEFORMABLE1. Champ des vitesses dun solide indformable.41

1.1. Dfinition..41

1.2. Composition des vitesses dun solide41

2. Torseur cinmatique..42

2.1. Composition...42

2.2. Mouvements particuliers42

3. Cinmatique des solides en contact..43

3.1. Vitesse de glissement ...43

4. Vecteur roulement et Vecteur pivotement43

5. Centre instantan de rotation CIR .44

6. Diffrentes liaisons normalises...44

7. Application47

Travaux Dirigs.53

Troisime partie : DYNAMIQUE DES SOLIDES

Chapitre I : GEOMETRIE DES MASSES1. Notions de masse dun systme matriel.571.1. Dfinition..571.2. Grandeur de masse572. Centre dinertie (centre de masse) des solides.58

3. Centre dinertie dun systme compos58

4. Thorme de Guldin.58

5. moment et produit dinertiedinertie...59


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6. Oprateur dinertie...61

7.Thorme de HUYGENS...63

8. matrice dinertie de quelques solides lmentaires.64

Travaux Dirigs66

Chapitre II : TORSEUR CINETIQUE

1. dfinition.69

2. Rsultante cintique69

3. Moment cintique69

4. Cas particulier.70

5. Energie cintique..71

Chapitre III : DYNAMIQUE DES SOLIDES INDEFORMABLES

1. Dfinition72

2. Torseur dynamique..72

4. Cas particulier.73

5. principe fondamental de la dynamique.73

Chapitre IV : PUISSANCE ET TRAVAIL

1. Puissance dveloppe par une action mcanique extrieure73

2. Travail...74

3. Energie potentielle74

4. Thorme de lnergie cintique..74

PROBLEMES DE CINEMATIQUE-DYNAMIQUE..75

Bibliographie...78


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Premire par tie

LA STATIQUE

Chapitre I : RAPPEL MATHEMATIQUES

Chapitre I I : LES TORSEURS

Chapitre I I I : STATIQUE DES SOLIDES


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Chapitre I : Rappels Mathmatique

Objectifs :

- Dfinir les notions de scalaire et de vecteur.

- Dcrire les principales oprations ralises sur les vecteurs, les coordonnes

cartsiennes dun vecteur et la notionde vecteur-position.- Dfinir le produit scalaire et le produit vectoriel de deux vecteurs.

1. Dfinitions :1.1. Point matriel :1.1.1. Dfinition :La mcanique dcrit le mouvement des objets matriels relativement certains corps de

rfrence au cours du temps.Si ces objets sont de dimension suffisamment faible pour quon puisse ngliger leur structureinterne et les dcrire par leur seule position globale, on parle de points matriels.

1.1.2. Proprit :Tous les systmes rels considrer voluent dans lespace physique dont limagemathmatique est lespace euclidien Cest un espace 3 dimensions (ensemble ordonn de 3rels x, y et z) dont les lments sont les points. On note un point A(x, y, z), dont x, y, et z

sont les coordonnes canoniques.

1.2. Vecteur :1.2.1. Dfinition :On appelle bipoint tout couple ordonn de deux points : son origine A et son extrmit B On

le note (AB). Un bipoint (AB) est dfini par :

- son origine A

- son support (D)

- son sens (de A vers B)

- sa norme (distance entre les points A et B)

Les composantes canoniques du bipoint (AB)

sont : (xBxA) ; (yByA) et (zB- zA)Deux bipoints sont dits quipollents sils ont :

- des supports parallles

- mme sens

- mme norme

Lensemble des bipoints quipollents au bipoint (AB) constitue une classe

dquivalenceappele vecteur et note V

Le bipoint (AB) est un reprsentant de la classe dquivalence V et scrit AB .

A

B

(D)


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Le vecteur est lensemble ordonn des 3 composantes canoniques du bipointassoci, on le note : AB = xB xAyB yA

zB zA On appelle vecteur unitaire un vecteur dont la norme vaut 1 : U

=

V

V

1.2.2. Proprits :Lensemble (E) des vecteurs associs lespace euclidienne possde une structure despacevectoriel sur R, car il vrifie les deux proprits suivantes :

Addition vectorielle, qui tout couple de vecteurs (U , V ), associe le vecteur sommeU + V

Multiplication par un rel, qui tout vecteur et rel associe le vecteur colinaire.

1.3. Base :1.3.1. Dfinition :

On appelle base de lespace vectoriel (E), de dimension 3, tout triplet de vecteurs

indpendants (x , y , z)permettant dexprimer linairement, de faon unique, tout vecteurV de(E) : V = x. x + y . y + z . zles rels x, y et z sont les composantes de V dans la baseB(x , y , z)1.4. Repre :1.4.1. Dfinition :

Un repre Rde lespace affine, associ lespace vectoriel (E), est constitu par :- Un point, origine du repre, not O

- Une base B(x , y , z) de lespace vectoriel (E)Ce repre est notR(, ,, )2. Oprations sur les vecteurs :2.1. Notation :

On dfinit les notations possibles des deux vecteurs V et U U = u1. x + u2. y + u3. z; V = v1. x + v2. y + v3. zou U

u1u

2u3 V v1v

2v3 U = u12 + u22 + u32 ; V = v12 + v22 + v322.2. Dtermination des composantes dun vecteur :

L es composantes dun vecteur sur la base B peuvent tre dtermines par la diffrence des

coordonnes dans R de lextrmit B et de lorigine A dun bipoint (A, B) :

AB

xB xAyB

yA

zB zA


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2.3. Produit scalaire :

Le produit scalaire est une forme bilinaire

symtrique dfinie par :

U . V = U .V . cos()avec est langleorient form entre les deux vecteurs = (U , V )Le produit scalaire est un rel positif.

On dfinit : U u1u2u3

et V v1v2v3

U . V = u1. v1 + u2. v2 + u3. v3On dfinit quelques proprits du produit scalaire :

Les vecteurs de la base sont orthogonaux on a : x . x = 1 ; x . y = 0 Le produit scalaire . est nul dans lun des cas suivants :

- U

est un vecteur nul (norme 0) ; V

est un vecteur nul (norme 0) ;

- U . V sont orthogonaux2.4. Produit vectoriel :

Le produit vectoriel est une application bilinaire antisymtrique f dfinie par : U V = W Le vecteur W est perpendiculaire au plan form par les vecteursU et V Son sens est donn parle tridre (U

, V

, W

)

U V = W = U .V sin() avec est langle orient form entre les deux vecteurs = (U , V )On dfinit quelques proprits du produit scalaire :

Associativit :a. U V = V a. U = a. (U V ) Distributivit :U

V

+ W

=U

V

+ U

W

Antisymtrique : U V = V U

A


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On dfinit : U u1u2u3

et V v1v2v3

on a U V = W = u2v3 u3v2v3u1 u1v3u1v2

v1u2

U V = W =u2v3 u3v2x + u2v3 u3v2y +( u1v2 v1u2)2.5. Double produit vectoriel :

Le double produit vectoriel de trois vecteurs U , V et W est un vecteurX = U (V W )En se servant de la dfinition du produit vectoriel, on peut montrer que ce vecteur X peutsexprimer par:X =

U . W

V

U . V

W 2.6. Produit mixte :

On appelle produit mixte de trois vecteur U , V et W le scalaire U . ( V W )Le produit mixte est invariant par permutation circulaire des vecteurs :

U . ( V W ) = V . ( W U ) = W . ( U V )Le produit mixte ne dpend que de lordre des trois vecteurs.

2.7. Drivation vectorielle :

On considre un vecteur V = x(t). x + y(t). y + z(t). zdont les composantes dans un repreorthonorm R(O,x , y , z) dpendent du temps et les vecteur de la base sont constants(invariants du temps)

On dfinit la drive du vecteur V par rapport au temps de la faon suivante :

( ) = (

)

. + (

)

. +(

)

= + +


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Chapitre I I : LES TORSEURS

Objectifs :- Dfinir la notion des torseurs.

- Donner les principales proprits des oprations sur les torseurs.

1. dfinition :

On appelle torseur

lensemble de deux champs de vecteurs :

Un champ uniforme

sappelle la rsultante gnrale du torseur des forces appliques

Un Champs de moment sappelle le moment rsul tant du torseur des moments deforces appliques.Cest un champ tel que quels que soient les points A et B, il obit au formule de transport des

moments : M A = M B + AB R Lensemble de ces deux lments sappellent lments de rduction du torseur qui reprsente

laction dune pice (1) sur une autre pice (2) au point A. On note ce torseur par :

1/2

A

Si on veut prciser ses lments de rduction en un point A on aura :

1/2A = RM AA = 2/1A = RM AA Daprs le principe des actions mutuelles on peut affirmer que les deux torseurs sont gaux et

opposs.

Dans une base orthonorme B(x

, y

, z

)on crit :

R = X . x + Y . y + Z . z et M A = L . x + M . y + N . zPar la suite la forme du torseur au point A est la suivante :

1/2A = RM AA = XYZ

LMN

A


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2.Proprits :

2.1.Torseur nul :

Un torseur est dit nul si et seulement si ses lments de rduction sont nul tout les deux :

1/2A = 00A = R = 0M A = 0 A 2.2. Egalit de deux torseurs :

Soit les torseurs

1

A

R 1

M 1AAet

2

A

R 2

M 2AA.les deux torseurs sont dites gaux ssi :

- = - =

3. oprations sur les torseurs :

3.1. Somme de deux torseurs :

La somme de deux torseurs 1A = R 1M 1AA et 2A = R

2

M 2AAen un point A est un torseurA au mme point dfinit sous la forme suivante :

A =

R = R 1 + R 2

M

A = M

1A + M

2A

A

3.2. Multiplication de deux torseurs :

Soit les deux torseurs 1A R 1M 1AAet 2A R

2

M 2AAle produit de ces deux derniers est unscalaire dfinit comme ci-dessous :

1

A .

2

A = R

1 . M

2A + R

2. M

1A


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3.3. Multiplication dun torseur par un rel:

Soit un rel, la multiplication du torseur Apar

. A = . R

. M AA 3.4. Torseur glisseur :

Un torseur de rsultante gnrale non nulle est un glisseur, sil existe au moins un point Ao le moment du torseur sannule: A R

0 A3.5. Torseur couple :

Un torseur de rsultante gnrale est nulle est un couple, sil existe au moins un point Ao le moment du torseur est non nul : A = 0

M AA 3.6. Invariants dun torseur :

Pour un torseur donn A = RM AA il y a deux invariants :

Premier invariant : La rsultante gnrale

dun torseur

Deuxime invariant : Le scalaire = R . M A est un invariant scalaire .Pour unpoint B linvariant scalaire est = R . M B avec : M B = M A + BA R Do = R . M A + BA R = R . M A + R . BA R , or le produitmixte BA R = 0 par suite = R . M A = C(B)

Remarque : Linvariant scalaire est indpendant du choix du point.

3.7. Equiprojectivit :

Etant donn un torseur

=

R

M OOconnu par

ses lments de rduction, et un autre torseur

= RM O O tels que : M O = M O + OO R

Le champ des moments est quiprojectif si :

OO . M O = OO . M O

()R

A

M A M O

O


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3.8. Dfinition de laxe central et du pas dun torseur :

On appelle axe central ( ) dun torseur lensemble des points B o les lments derduction R

et M

O sont colinaires tel que :M

o= R

( ave = pas du torseur)

Pour un torseur donn laxe central est une droite qui passe par le point O dfini par :AO = R M 0

(R )2 Ainsi le pas dun torseur scrit :

=

R M A(R

)2


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Travaux Dirigs de Mcanique Gnrale(Torseurs)

Exercice 1:

Soient les points A (1,1,0) et B(-2,0,1), et les vecteurs = (2,1, c), = (3,4,)et = (4,, 0)1- Dterminer les constantes relles a, b et c pour que = soit un torseur.2- Calculer alors linvariant scalaire et linvariant vectoriel.

3- Trouver laxe centrale de ce torseur.

Exercice 2:

On considre les quatre vecteurs lis ( , ) suivants.A10,0,0; U 1 = (3,2,1)A21,2,3; U 2 = (2,1,0)A31,0,1; U 3 = (1,1,3)A42,0,1; U 4 = (3,1,2)Dterminer les lments de rduction au point O du torseur reprsent par les quatre vecteurs

ci-dessus. En dduire linvariant scalaire I.

Exercice 3:

1- Est-ce que la somme de deux glisseurs est un glisseur ?

2- Est-ce que la somme de deux couples est un couple ?

Exercice 4 :

On considre les trois vecteurs glissants ( , ) suivants.A11,1,1; V 1 = (3,2,1)A22,1,2; V 2 = (1,1,2)A30,2,0; V 3 = (1,1,3)


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1- Trouver un vecteur glissant (4,4) tel que le systme complet (V 1, V 2, V 3, V 4) soitquivalent un couple.

2-Trouver un vecteur glissant (

4,

4) tel que le systme complet (V

1, V

2, V

3, V

5)tel que le

systme completaitun moment nul le long de laxe centrale.


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Chapitre I I I : ETUDES STATIQUES DES SOLI DES

1. Introduction :La statique est la partie de la mcanique qui tudie lquilibre des systmes matriels soumis un ensemble de forces. Ces systmes peuvent se rduire un point matriel, un ensemble de

points matriels, un solide ou un ensemble de solides. Dans ce chapitre nous analyserons les

actions mcaniques exerces sur ces systmes travers ltude de lquilibre de celui-ci.Un systme matriel est en quilibre statique par rapport un repre donn, si au cours du

temps, chaque point de lensemble garde une position fixe par rapport au repre.

2. Les systmes de forces dans lespace:

Les systmes de forces sont classs en trois catgories :

Concourants : les lignes daction de toutes les forces du systme passent par unmme point. Cest ce que lon appelle forces concourantes en un point.

Parallles : les lignes dactions des forces sont toutes parallles, on dit aussi ellessinterceptent linfini

Non concourantes et non parallles : les forces ne sont pas toutes concourantes etpas toutes parallles.

2.1. Composantes dune force

Soit une force applique lorigine O dun repre orthonorm R(O,i, j, k ) . Lescomposantes de cette force sont dfinies par :

= + = + = + + = + +

=

+

+

nous avons aussi

2 =

2 +

2 +

2


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2.2. Force dfinie par son module et deux points sur sa ligne daction :Soient deux points ( , , ) et ( ,, ) appartenant la droite () support de laforce le vecteur scrira = + +

= + + = 2 + 2 + 2 = Soit le vecteur unitaire le long de la lignedaction de la force. Il est donn par :

= =

+

+

2+ 2 +2 =1

( + + )Comme la force est donne par : = . = ( + + ) = . ; = . ; = . 3. Equilibre dun point matriel:Un point matriel est en quilibre statique lorsque la somme

de toutes les forces extrieures auxquelles il est soumis, est

nulle.

Ces forces peuvent tre coplanaire ou dans lespace.

1 + 2 + 3 = 0 = = 0=1 Une particule soumise deux forces est en quilibre

statique si les deux forces ont le mme module, la mme

direction mais de sens oppos tel que leur rsultante, soit

nulle.

1 +

2 = 0

;

1

2 = 0

1 =

2


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4. Liaisons des solides :

Nous savons que la position d'un solide dans l'espace peut tre dfinie par 6 paramtres, 3

Rotations et 3 Translations. Ces 6 paramtres sont les 6 degrs de liberts du solide. En fait un

solide n'est gnralement pas seul, il est en liaison avec d'autres solides. Cette liaison va

limiter le nombre de degrs de libert existant entre les solides. L'tude des liaisons rellesexistantes entre les diffrentes pices d'un mcanisme est dlicate et difficile. En effet, les

dfauts entre les surfaces de contact (rugosit, dfaut de forme), la prsence de jeu, la

dformation des pices, les frottements, et l'usure carte le modle thorique de la liaison de

la ralit. Afin de pouvoir tudier le fonctionnement d'un mcanisme, il est ncessaire de

modliser les liaisons entre les diffrentes pices.

4.1. Liaisons sans frottements :Dans le cas dune liaison sans frottement entre un solide et un plan, la raction est toujoursnormale au plan au point de contact quelques soit le nombre de forces extrieures appliques

au solide.

Dans le cas dun contact ponctuel sans frottement, la condition dquilibre est ralise, si lasomme de toutes les forces extrieures appliques en ce point est gale la raction normale

en ce mme point. = = 0=1 4.2. Liaisons entre solides avec frottements :On pose une pice de bois en forme de paralllpipde sur un plan horizontal. Cette pice de

bois est en quilibre statique. La raction du plan horizontal est gale et oppose au poids de

la pice.

Figure b.1 Figure b.2


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Appliquons graduellement en un point de cette pice une force horizontale (figure : b.1)La pice ne bougera pas tant que cette force est infrieure une certaine valeur limite, il

existe alors une contre force qui quilibre et soppose cette force . est appele force defrottement statique.

Elle rsulte dun grand nombre de paramtres lis aux tats de surfaces, la nature desmatriaux et aux forces de contact entre la pice et la surface considre.Cette force de frottement statique obit la variation reprsente sur la figure suivante.

Si 0

est le coefficient de frottement statique (dpend uniquement de la nature des surfaces de

contact)

Nous pouvons crire :

Pour que lquilibre statique soit ralisable il faut que :

le solide se met en mouvement de glissement sur la surface.Liaisons normalises entre solides :Une liaison est dite parfaite si:

Le contact s'tablit thoriquement en un point, sur une ligne ou sur une surface dedfinition gomtrique simple (plan sphre, cylindre, surface hlicodale, ..);

Les surfaces de contact sont supposes gomtriquement parfaites;

la liaison est sans jeu. La norme NF E04-015 prsente les dix liaisons lmentairesprsentes sur le tableau ci-dessous.


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5. Systme de forces :5.1. Moment dune force par rapport un point:Le moment

(

)par rapport un point O, dune force

applique au point A est gale au

produit vectoriel : = .Le tridre form par les vecteurs ( , ,)est direct.


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5.2. Moment dune force par rapport un axe:

Soit O un point sur laxe () et u

vecteur unitaire port par cet axe.

On dtermine le moment par rapport au point O, not : M /F sa projection sur laxe estdonne par : M /F = M /OF . u . u 5.3 Thorme de VARIGNON :Le moment dun systme de forces concourantes en un point A par rapport un point O estgal au moment de la rsultante des forces par rapport au point O.

Dans les deux cas de figure nous montrerons que le moment rsultant est gal au moment de

la rsultante des forces du systme.

Figure a :Nous avons = ()=1 et le moment au point O est donn par : = (=1 ) = ( 1 + 2 + 3 + ) = Figure b :Nous avons = ()=1 OM 1 = OA + AM 1; OM 2 = OA + AM 2;;OM n = OA + AM n (=1 ) = 11 + 22+ + . (=1 ) = ( + 1) 1 + + 22+ +( + ) .Or on a // donc = 0 On aura finalement :

M i(F ini=1 ) = OA ( F 1 + F 2 + F 3 + F n ) = OA R = M OR


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6. Statique du solide :

Tous les solides que nous tudierons dans ce chapitre sont considrs indformables : la

distance entre deux points du mme solide reste constante quels que soit les systmes de

forces extrieures appliqus.

On considre un solide (S) quelconque soumis des forces( F 1, F 2, F 3, , F n ): appliquesaux points : ( M1, M2, M3, , Mn )6.1. Equilibre du solide : principe fondamental de la statique (PFS) :

Pour que le solide soit en quilibre statique il faut et il suffit que :

La rsultante de toutes les forces extrieures appliques au solide, soit nulle ; Le moment rsultant de toutes ces forces en un point O, soit nul.

=

(

)

=1 = 0

= (=1 ) = 0

Un solide (S), soumis des actions mcaniques extrieures est en quilibre statique si et

seulement si le torseur reprsentant lensemble de ces actions est un torseur nul.Ces deux quations vectorielles se traduisent par les six quations scalaires suivantes :

Thorme de la rsultante statique (TRS) :

= 0 = 0 = 0 = 0 Thorme du moment statique (TMS) :

= 0

= 0

= 0

= 0


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6.2. Ecriture scalaire du principe fondamental de la Statique :

Mathmatiquement, nous pouvons traduire ce PFS par la relation suivante :

= 00 () ( ) =

= 0

0

0

000

On aura finalement un systme de six quations :

= 0

= 0

= 0 = 0 = 0 = 0


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Travaux Dirigs Mcanique Gnrale(Statique)

Exercice 1 :Dterminer les tensions des cbles dans les figures suivantes :

Exercice 2 :

Une barre homogne pesant 80 N est

lie par une articulation cylindrique

en son extrmit A un mur. Elle est

retenue sous un angle de 60avec la

verticale par un cble inextensible de

masse ngligeable lautre extrmit

B. Le cble fait un angle de 30avec

la barre.

Dterminer la tension dans le cble et la raction au point A.

Exercice 3 :

Un systme mcanique compos dune barre coude ADE de masse ngligeable et dun

disque de rayon R, de masse ngligeable, soud celle-ci au point C comme indiqu sur la

figure ci-dessous. La barre est supporte par deux liaisons cylindriques en A et B. On relie le

disque une poulie fixe par un cble inextensible, de masse ngligeable, auquel est suspendue

un poids P. Au point E, dans un plan parallle au plan (xAz), est applique une force F incline par rapport la verticale dun angle =30. Un moment M est appliqu la barre


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afin de maintenir le systme en position dquilibre statique dans le plan horizontal (xAy). On

donne F = 2P, et = 60.

1. Ecrire les quations scalaires dquilibre statique ;2. En dduire les ractions aux points A et B ainsi que la valeur du moment Mpour maintenir

le systme en position dquilibre statique dans le plan horizontal (xAy),

Exercice 4 :

Un couvercle homogne ayant la forme dun demi disque de rayon a de poids P est maintenupar un axe horizontal AB avec une liaison sphrique en A et cylindrique en B. Une cordeinextensible CD, de masse ngligeable est attache au point C et soulve le couvercle de telsorte quil fasse un angle =30 avec laxe horizontal (oy). Lautre extrmit est attach au

point D (- a, 0, a). On donne : OA = OB = a

Le centre dinertie G du couvercle est situ sur laxe OC et tel que : OG =4a

31. Ecrire les quations scalaires dquilibre ;2. En dduire les ractions des liaisons A et B ainsi que la tension de la corde.


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Exercice 5 : Un disque de faible paisseur, de rayon R = 30 cm et de poids P = 350 Kg doitpasser au dessus dun obstacle en forme descalier de hauteur h= 15 cm sous laction duneforce horizontale applique au point D situ la mme hauteur que le centre O du disque.Quelle est la valeur minimale de la force F

minpour faire dmarrer de disque ?

On considre que les frottements sons ngligeables, et on prendra g = 10m/s

2

.

Exercice 15 :

Un arbre homogne horizontal AB de masse ngligeable est maintenu ses extrmits par uneliaison sphrique en A et cylindrique en B. Au point C est emmanche une roue de rayon R etde masse ngligeable. Un fil inextensible est enroul autour de la roue et porte une charge Q.Une tige DE, de masse ngligeable, est soude larbre au point D. Elle supporte sonextrmit E une charge P de telle sorte quelle fasse un angle de 30 lquilibre avec la

verticale, dans le plan (xDz). On donne : P = 15000 N ; a = 0,5 m ; L = 1 m ; R = 0,3 m.Dterminer les ractions aux appuis A et B ainsi que la charge Q lquilibre statique.


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Deuxime partie :LA CINEMATIQUE


Chapitre I I : RAPPELSDEGEOMETRIEVECTORIELLE

Chapitre I I I : CINEMATIQUE DU POINT MATERIEL

Chapitre IV : CINEMATIQUE DE SOLIDES INDEFORMABLE


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1. Paramtrage d'un point par rapport un repre :

Pour dfinir la position d'un solide (S) par rapport un repre R(O, x , y , z), il faut li cesolide un repre R1(O1, x 1, y 1, z1)et dfinir la position de R1par rapport R

R1 est caractris par son origine O1 et sa

base( x 1, y 1, z1) on doit donc dfinir la position de O1par rapport R et lorientation de la base ( x 1, y 1, z1)parrapport la base ( x , y , z)

Conclusion :Reprer un solide rigide par rapport un rfrentiel R dtude consiste :- Dfinir un repre de S : R1

- Paramtrer lorigine O1de R1 laide de coordonnes- Paramtrer lorientation de la base de R1

2. systme de coordonnes :

Les paramtres qui dfinissent la position dun point dans un repre sont : les coordonnes cartsiennes

les coordonnes cylindriques

les coordonnes sphriques

Le type de coordonne choisi est fonction du problme trait (problme symtrie de

rvolution autour dun axe, problme symtrie sphrique).

y

z

O

x

1

z1y 1

O1

x


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2.1. Coordonnes cartsiennes :

(x, y, z)sont les projections orthogonales du vecteur oo

1sur

une base ( x , y , z)ces paramtres sont indpendants.Imaginons maintenant une tige, articul en O, de longueur lqui remplace OO1. Le problme trait est quatre

paramtres (x, y, z, l)qui sont li entre eux par la relation

( x2 + y2 + z2 = l2) donc ils sont dpendants. Dans le

cas gnrale si en dfini la position dun point par nparamtres tel que n > 3, alors il existe ces n paramtres q

relations, tel que : q = n3

On aura finalement :OO 1 = x . x + y .y +z.z

2.2. Coordonnes cylindriques :

r = OH

: angle entre x et u Z : z : projection perpendiculaire de OO1sur (O,z)

Si on dfini la position de O1par les cinq paramtres

(x, y, z, r,

) alors il existe deux relations qui sobtienne on

projetant OH sur (O,x ) et (O,y ) :x = r. cos()y = r sin() On aura finalement :

OO 1 = r. ( cos . x + sin . y ) + z. z2.3. Coordonnes sphriques :

H : projection de O1sur le plan

O, x

, y

u : vecteur unitaire de direction (OH) v : vecteur unitaire vecteur unitaire perpendiculaireau plan O, z, u

w : vecteur unitaire de direction (OO1) r = OO1

: angle entre x et u

: angle entre z

et w

y

z

O

O1

x

y

z

x

y

z

O

O1

x

y

z

x u H

y

z

O

O1

x

y

z

x u H

w

v r


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Si on dfini la position de O1par les six paramtres (x, y, z, r,,) alors il existe troisrelations qui sobtienne on projetons OO1sur (O,x ) ; (O,y ) et (O,z) :

x = r. sin().cos()y = r. sin

. cos(

)

z = r. cos() On aura finalement :OO 1 = r. (sin(). cos() . x + sin. cos() . y ) + cos() . z

3. paramtrage de lorientation de la base B1 par rapport la base B :

Pour orienter la baseB1(x 1, y 1, z1) par rapport la baseB( x , y , z ) , en ncessite troisparamtres indpendants et qui sont en gnrale trois paramtres angulaires.

Nous allons voir un exemple classique de paramtrage de la base B1(x

1, y

1, z

1) par rapport

la base ( x , y , z ) en utilisant les angles dEULER

En effectuant trois rotation selon trois angles appels angles dEULER pour la base ( x , y , z)en trouve la base (x 1, y 1, z1)

y u

O

v

x

zw

O

z1

v

w x 1

O

y 1

u

( x , y , z) ( u , v , z)

u , w , z1

( x 1, y 1, z1)Rotation autourde laxe zdun

angle

Rotation autour

de laxe u dunangle

Rotation autour

de laxe z1dunangle


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: angle de prcession ; : angle de nutation ; : angle de rotation propreLes deux bases( u

, v

, z

)et

u

, w

, z

1

sont appeles bases intermdiaires.

Soit R2un repre li la base( u , v , z) et R3un repre li la baseu , w , z1les vecteurs vitesses de rotation sont dfinies par : 1/3 = ddt . z1 = . z 1; 2/0 = ddt . z = . z; 3/2 = ddt. u = . u


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Chapitre I I : RAPPELS DEGEOMETRIE VECTORIELLE

1. Fonction vectorielle :Soit lespace vectoriel R3muni dune baseB( x , y , z)Soit trois fonctions relles u1( t ) , u2( t ) , u3( t ) dun paramtre rel t .Lapplication qui toute valeur de t associe le vecteur

z)t(uy)t(ux)t(u)t(u 321

est appele fonction vectorielle de variable t . Nous supposerons toujours par la suite que les

fonctions ui(t) sont continues et suffisamment drivables, par rapport la variable t .

1.1. Proprits :

Drive dune somme de vecteurs:

ddt

(V 1 + V 2)/R

= ddt

(V 1)/R

+ ddt

(V 2)/R

Drive du produit dune fonction scalaire par un vecteur:

ddt

(. V )/R

= V . ddt

()/R

+ . ddt

(V )/R

Drive dun produit scalaire/

ddt

(V 1 . V 2)/R

= ddt

(V 1)/R

. V 2 + V 1. ddt

(V 2)/R

Drive dun produit vectoriel:

ddt

(V 1 V 2)/R

= ddt

(V 1)/R

V 2 + V 1 ddt

(V 2)/R

d

dtV ((t)) /R =d

dt. d

dtV /R = . d

dtV 2. Drivation dun vecteur exprim dans la base B de drivation :

Si )t(u

est une fonction vectorielle qui t associe :

z)t(uy)t(ux)t(u)t(u 321

On appelle drive vectorielle dans la baseB, la fonction vectorielle qui tassocie le

vecteur :


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zBdt /

)t(udy

Bdt /)t(ud

xBdt /

)t(ud

Bdt /)t(u

321

Dans la suite , lorsque t reprsente le paramtre temps , on notera :

i2

i2

ii

uB/dt

)t(udetu

Bdt /

)t(ud

La drive scrit alors: zuyuxuBdt /

)t(ud 321

3. Changement de base de drivation vectorielle de la base B la base B0:

Soit B0une base orthonorme directe etBune autre base orthonorme directe. Soit )t(u

une

fonction vectorielle qui admet des composantes u1( t ) , u2( t ) et u3( t ) dansB.

Soit : z)t(uy)t(ux)t(u)t(u 321

On se propose de dterminer lexpression de la fonction vectorielle:Bdt /

)t(ud

0

.

Drivons )t(u

dans la baseB0.

03

02

01321

0 Bdt /zdu

Bdt /yd

uBdt /

xduzuyuxuBdt /

)t(ud

Le terme zuyuxu 321

reprsente la drive de )t(u

dans la base B .Le deuxime

terme est expliciter .Il faut bien entendu se donner le mouvement de la base B par rapport

la base B0.Pour ce faire, il apparat normal de se donner les trois drives dans B0des

vecteurs unitaires de la base B :

zayaxaBdt /

xd 1312110

zayaxaBdt /

yd 232221

0

zayaxaBdt /

zd 3332310

Dans ces expressions, les neufs coefficients aijsont des fonctions de t.Mais la baseBest

orthonorme .Ainsi, quel que soit t, on obtient deux groupes de relations , car :

Les trois vecteurs admettent une norme unitaire

1)t(x)t(x

; 1)t(y)t(y

; 1)t(z)t(z

Les trois vecteurs sont deux deux orthogonaux :

0)t(y)t(x

; 0)t(y)t(z

; 0)t(x)t(z

On obtient finalement :


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zayaBdt /

xd 13120

; zaxaBdt /

yd 2321

0

; yaxaBdt /

zd 32310

La drive vectorielle dun vecteur de la baseB, dans la baseB0 , est orthogonale ce vecteur.Les neuf coefficients aij se rduisent six , car aij= 0

0Bdt /

ydxy

Bdt /xd

00

; 0)zaxa(xy)zaya( 23211312

Soit : a 12 + a 21 = 0

On obtient la relation gnrale dantisymtrie: a ij + a j i = 0

En dfinitive, les neuf coefficients aij se rduisent trois. Soit a12, a13 et a23ces coefficients

.Dans ces conditions, les drives des vecteurs unitaires de la base B, donnes de dpart,

scrivent:

zayaBdt /

xd 13120

; zaxa-Bdt /

yd 2312

0

; yaxa-Bdt /

zd 32130

En prenant en compte les deux proprits dmontres (drives orthogonales et antisymtrie),

il est possible de construire un vecteur )B/B( 0

tel que :

x)B/B(Bdt /

xd 00

; y)B/B(Bdt /

yd 0

0

; z)B/B(Bdt /

zd 00

En dfinitive, pour ce type de mouvement (rotation dangle, autour de z

), on a :

z)B/B( 0


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Chapitre I I I : CINEMATIQUE DU POINT MATERIEL

1. Vecteur vitesse dun point M par rapport un repre :1.1. Dfinition :

Le vecteur vitesse du point M par rapport au repre R, la date t, est la drive du vecteur

position () par rapport t, dans R.1.2. Dtermination du vecteur vitesse :

SoitR1(O1, x 1, y 1, z1) un repre li au solide (S),R(O, x , y , z)un repre Gall lien et M un point du solide(S) de coordonnes (x1, y1, z1) dansR1(O1, x 1, y 1, z1)et (x,y,z ) dans R

O1M = x1. x 1 + y1. y 1 + z1. z 1; = . + . + .

a. Drive dun vecteur exprim dans la base de drivation R1:V M/R = d

dt(O1M )

/R1

= ddt

(x1)/R1

. x 1 + ddt

(y1)/R1

. y 1 + ddt

(z1)/R1

. z1 + x1. ddt

( x 1)/R1

+ y1.

d

dt

( y

1)

/R1+ z1.

d

dt

( z

1)

/R1

Or on a : ddt

( x 1)/R1

= ddt

( y 1)/R1

= ddt

( z1)/R1

= 0

Do on a:

/ = . + . + . De mme on dtermine:

/ = d

dt(OM )/R = . + . + .

y

z

O

x 1z1

y 1O1


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c. Drive dun vecteur qui nest pas exprim dans la base de drivation R :SoitR1(O1, x 1, y 1, z1) un repre li au solide (S), R(O, x , y , z)un repre Gall lien et M un

point du solide (S) de coordonnes (x1, y1, z1) dansR1(O1, x 1, y 1, z1)et ( x,y,z ) dans RO1M = x1. x 1 + y1. y 1 + z1. z 1; OM = x. x + y . y + z . z d

dt(O1M )

/R

= ddtx1

/R

. x 1 + ddt

(y1)/R

. y 1 + ddt

(z1)/R

. z1 + x1. ddt

( x 1)/R

+ y1. ddt

( y 1)/R

+ z1. ddt

( z1)/R

ddt

(O1M )/R

= ddtx1

/R. x 1 + d

dt(y1)

/R. y 1 + d

dt(z1)

/R. z1 + x1. (R1/R) x 1

+ y1.

(R1/R)

y

1 + z1.

(R1/R)

z

1

= ddtx1/R . x 1 + ddt(y1)/R . y 1 + ddt(z1)/R . z1 + (R1/R) (x1. x 1 + y1. y 1 + z1. z1)= d

dtx1

/R

. x 1 + ddt

(y1)/R

. y 1 + ddt

(z1)/R

. z1 + (R1/R) O1M On aura finalement :

(/) = (/) + (/) d. Composition des vitesses:

Dans la description du mouvement dun solide par rapport un repre il est souventcommode de passer par lintermdiaire dautres repres.On considre deux repres R1et R de lespace associ un solide rigide S qui est enmouvement.

Soit un point M appartenant S, le mouvement de M par rapport R1est appel mouvement

relatif, par contre le mouvement de M par rapport R est appel mouvement absolu.

=

1

+

1

/

=

=

(1 + 1 )

/ = = (1 ) + (1 ) Or on a :

(1 ) = 1/et on a aussi (1 ) = (1 ) 1 + (R1/R) O1M Donc :

=

1/

+

(R1/R)

O1M


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Avec /1 = () est la vitesse relatifde M par rapport R1. = / = () est la vitesse absoluede M par rapport R.

= 1/+ (R1/R) O1M appel vitesse dentranement. =+ ()

On aura finalement :

/ = / + / + (/) Si M est un point fixe de S linstant (t) alorsV

M/R1

= 0

; puisque R1est li S .Par la

suite la vitesse de M li au repre R1 est :

V (M R1/R) = V O1/R + (R1/R) O1M Finalement, la relation de composition des vitesses est la suivante : / = /+ ( /)2. Vecteur acclration dun point M par rapport unrepre :2.1. Dfinition :On appelle acclration du point M, linstant t, par rapport au repre R, la drive du vecteurvitesse de ce mme point, au mme instant et par rapport au repre R.

a. Acclration de M par rapport au temps dans le repre R (acclration absolue) :

M/R = d2OMdt2

R

=d2x

dt2. x + d2y

dt2. y + d2z

dt2. z

/

=

.

+

.

+

.

b. Acclration de M par rapport au temps dans le repre R1 (acclration relative):

M/R1 = d2O1Mdt2

R1

=d2x1

dt2. x 1 + d2y1

dt2. y 1 + d2z1

dt2. z1

= . + . + .


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c - Composition des acclrations :

22 / =

(0/) / + ( /1+ R1/RO1M ) /

M/R = O1/R+ dV M/R1dt /R + d R1/Rdt /R O1M + R1/R d(O1M )dt R Or on a: d(O1M )

dt

R= d(O 1M )

dt

R1+ R1/RO1M ) alors on dfinit :

= O1/R + d R1/Rdt /R O1M + R1/R( (R1/R) O1M ):acclration dentranementde M dans R

acclration complmentaireou aussi de Coriolis :

= 2. R1/R M/R1)Donc on aura : = + + 1Si M est li R1alors : M/R1 = 0 et M/R1 = 0

Finalement on peut crire la relation de composition des acclrations : M/R = M/R1+ M R1/R + 2. R1/R M/R


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Chapitre IV : CINEMATIQUE DE SOLIDES INDEFORMABLE

La cinmatique du solide concerne ltude du mouvement des solides suppossindformables. Elle tient une place importante dans les applications quotidiennes de la

mcanique.

1. Champ des vitesses dun solide indformable :

1.1. Dfinition :

Un systme matriel S (ensemble de points matriels) est dit solide indformable (rigide), ou

simplement solide, si les distances mutuelles ne varient pas au cours du temps :

Pour toutes position i et j du solide (S) on a : = constante1.2. Composition des vitesses dun solide :

Vitesses linaires :Soit M appartenant S mobile par rapport R3lui mme mobile par rapport R2, mobile / R1,

mobile / R0.

V

(M

S/R0) = V

(M

S/R1) + V

(M

R1/R0)

V (M S/R1) = V (M S/R2) + V (M R2/R1)V (M S/R2) = V (M S/R3) + V (M R3/R2)On dduit des trois galits :

( /) = ( /) + ( /) + ( /) + ( /) Vitesses angulaires :

On a : d(O

1M

)

dt R0 = d(O

1M

)

dt R1 + (R1/R0) O1M

P

P1

q2

q1


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Et d(O 1M )dt

R1

= d(O 1M )dt

R2

+ (R2/R1) O1M Do

d(O 1M )

dt

R0

=

d(O 1M )

dt

R2

+

(R2/R0) O1M

Dou la relation entre les vecteurs vitesses instantans de rotations : (/) = (/) + (/)2. Torseur cinmatique :

2.1. Composition :

Le torseur cinmatique dfinit en un point A dans un repre R est un torseur dont les

lments de rduction sont les suivants :

(/) = (S/R)V (A S/R)/RAvec : (S/R0) : vitesse instantane de rotation de S par rapport RV (A S/R): vitesse linaire du point (A S) dans son mouvement pat rapport RLa transformation du torseur du point A un autre B :

(/)

=

(S/R)

V

(B

S/R)

/Ravec V (B

S/R) = V (A

S/R) +

(S/R)

AB

(S/R)est llment invariant du torseur cinmatiqueOn a aussi(2/0) = (2/1) + (1/0) 2.2. Mouvements particuliers :

Translation :Le solide rigide S est dit en translation par rapport au rfrentiel R si le torseur

cinmatique est reprsent par un torseur couple :

(/) = 0V (A S/R)/R Mouvement de rotation instantane :

Un solide rigide S est dit en rotation par rapport R si le torseur cinmatique est un

glisseur :

/ = S/R0 /


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3. Cinmatique des solides en contact :3.1. Vitesse de glissement :

Soient deux solides S1 et S2 en mouvement par

rapport un rfrentiel R. Considrons que ces

solides sont en contact ponctuel au point P.

Notons (II) le plan tangent commun en P S1 et

S2. Le torseur cinmatique du mouvement du

solide S2par rapport au solide S1 scrit :

(2/1) = (S2/S1)V (P S2/S1)/R a. dfinition :

On appelle vitesse de glissement au point P du solide S2 par rapport au solide S1 le vecteur

vitesse dentranement du point P dans le mouvement de S2 par rapport S1, cest dire lavitesse du point P appartenant S2 (P2) par rapport S1 :

( /) = ( /)b. Proprit :SoitR un rfrentiel dtude, alors la relation de composition des vitesses permet dcrire:

( /) = ( /) ( /)Ceci traduit le fait que le vecteur glissement au point P du solide S2 par rapport au solide S1

est situ dans le plan tangent commun aux deux solides (II)

Remarque :La vitesse de glissement ne dpend que des solides en contact, elle est indpendante des

rfrentiels par rapport auxquels S1 et S2 sont en mouvement.

c. Condition de non-glissement :

Soit P un point de contact entre deux solides S1 et S2, on dit quil y a non - glissement, linstant t, en P entre S1 et S2 si :

( /) = ( /) ( /) =


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4. Vecteur roulement et Vecteur pivotement :

Soit (S2/S1)le vecteur instantan de rotation de S2par rapport S1, admet des composantessur la normale n au contact et dans le plan tangent (II) :

(S2/S1) = N (S2/S1) + T(S2/S1) P(S2/S1) = P(S2/S1). n . n :est appel vecteur pivotement de S2 par rapport S1. R(S2/S1) = (S2/S1) P(S2/S1): Tangent au plan (II), appel vecteur rotationde roulement du mouvement du solide S2 par rapport S1

5. Centre instantan de rotation CIR :

On appelle centre instantan de rotation (CIR) du mouvement plan sur plan dun repre R2parrapport un repre R1 le point dintersection I de laxe central avec les plans (II1) et (II2) dumouvement.

Ce point vrifie : ( /) = 6. Diffrentes liaisons normalises :


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7. Application 1: (Robot de soudure)

Le schma plan de la figure suivante reprsente la cinmatique simplifie dun robot desoudure

On associe chaque solide i une base orthonorme directe )zy,x( ii,i .

Les liaisons et le paramtrage des diffrents bras du robot sont les suivants:

0-1: liaison pivot d'axe (A, z ); on pose: )y,y()x,x( 1010

0-2: liaison pivot d'axe (A , z ); on pose: )y,y()x,x( 2020

1-3: liaison pivot d'axe (B , z ) ; telle que: 1xLAB

2-4: liaison pivot d'axe (E , z ) ; telle que: 2xDEA

3-4: liaison pivot d'axe (C,z), telle que: 4xLEC

Par ailleurs: 33 xHBJetxDCB .

Les mouvements du robot sont commands par deux moteurs:

Le solide 1a son mouvement de rotation command par un moteur M1;3

2,3

Le solide 2a son mouvement de rotation command par un moteur M2;4,

4-


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Questions :

Premire partie. Etude dans le cas o 0 et le moteur M2est l'arrt.

1-Dterminer le torseur cinmatique du mouvement de:

a- 2par rapport 0, au point A.b- 1par rapport 0, au point A.c- 4par rapport 0, au point E.d- 3par rapport 0, au point B.e- 3par rapport 1, au point B.f- 3par rapport 4, au point C.

2-Dterminer le vecteur vitesse du point Jappartenant 3, par rapport 0: 3/0)(jV

3- Dfinir et tracer la trajectoire du point Jdans 0.

Deuxime partie. Etude dans le cas o3 et le moteur Mlest l'arrt.

1- Dterminer le torseur cinmatique du mouvement de:

a- 1par rapport 0, au point A.

b- 2par rapport 0, au point A.

c- 4par rapport 0, au point E.

d- 3par rapport 0, au point B.

e- 3par rapport 1, au point B.f- 4par rapport 2, au point E.

2- Dterminer le vecteur vitesse du point Jappartenant 3, par rapport 0: 3/0)(jV

3- Dfinir et tracer la trajectoire du point Jdans 0.

Troisime partie. Les deux moteurs fonctionnent.

1- Dterminer le vecteur vitesse du point Jappartenant 3, par rapport 0: 3/0)(JV

2- Tracer sur une figure la surface lie 0 dans laquelle se dplace le point Jlorsque et

varient dans les limites dfinies prcdemment.


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Rponses

Premire partie :

1-a-Le torseur cinmatique du mouvement de 2par rapport 0, s'crit au point A:

02/0)(AV

0(2/0)

A

A(2/0)

1-b- Le torseur cinmatique du mouvement de 1par rapport 0, s'crit au point A:

02/0)(AV

z(2/0)

A

A(2/0)

1-c- Le torseur cinmatique du mouvement de 4par rapport 0, s'crit au point E:

04/0)(EV

z(4/0)

E

E(2/0)

1-d- Le torseur cinmatique du mouvement de 3par rapport 0, s'crit au point B:

1

yL3/0)(BV

0(3/0)

B

B(2/0)

En effet : 11 yLxLzAB(1/0)1/0)(AV1/0)(BV3/0)(BV

Le solide 3a un mouvement de translation circulaire par rapport 0.

1-e-Le torseur cinmatique du mouvement de 3par rapport 1, scrit au point B:

03/1)(BV

z-(3/1)

B

B(3/1)

en effet z-)1/0()0/3()1/3(

1-f-Le torseur cinmatique du mouvement de 3 par rapport 4 , scrit au point C:

03/4)(BV

z-(3/4)

C

C(3/4)

en effet z-)4/0()0/3()4/3(

2- Les points Jet Bappartiennent au mme solide 3; on peut crire :

11 yLxLz3/0)(BVBJ(3/0)3/0)(JV3/0)(JV



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3- Dans le mouvement de translation circulaire du solide 3 par rapport 0, les points de 3dcrivent dans 0 des trajectoires parallles .Par consquent, la trajectoire du point J est un Arc

de cercle de rayon L et de centre K, quatrime sommet du paralllogramme ABJK .Le point K

est tel que 0xHAK .

Deuxime partie

1-a-Le torseur cinmatique du mouvement de 1par rapport 0, scrit au point A:

01/0)(AV

0(1/0)

A

A(1/0)

1-b-Le torseur cinmatique du mouvement de 2par rapport 0, scrit au point A:

02/0)(AV

z(2/0)

A

A(2/0)

1-c-Le torseur cinmatique du mouvement de 4par rapport 0, scrit au point E:

2

yD4/0)(AV

0(4/0)

E

E(4/0)

En effet : 22 yD-xD-zAE(2/0)2/0)(AV2/0)(EV4/0)(EV


1-d- Le torseur cinmatique du mouvement de 3par rapport 0, scrit au point B:

03/0)(BV

z(3/0)

B

B(3/0)

1-e- Le torseur cinmatique du mouvement de 3par rapport 1, scrit au point B:


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03/1)(BV

z(3/1)

B

B(3/1)

en effet z)1/0()0/3()1/3(

1-f- Le torseur cinmatique du mouvement de 4par rapport 2, scrit au point E:

04/2)(EV

z-(4/2)

E

E(4/2)

en effet z-)2/0()0/4()2/4(

2- Les points Jet Bappartiennent au mme solide 3; on peut crire :

33 yHxHzBJ(3/0)3/0)(BV3/0)(JV

Le solide 3a un mouvement de rotation autour du point B, par rapport 0.

3-La trajectoire du point Jdu solide 3dans 0est un arc de cercle de centre Bet de rayon H.

Troisime partie

1-Les points Jet Bappartiennent au mme solide 3; on peut crire :

BJ(3/0)3/0)(BV3/0)(JV

Les points Bet Aappartiennent au mme solide 1; alors :

11 yLxLzAB(1/0)1/0)(AV1/0)(BV

Dou: 3131 yHyL3/0)(JVSoitxHzyL3/0)(JV


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2-

Compte-tenu des rsultats prcdents, le domaine PQRSque peut dcrire l'extrmit Jdubras 3du robot est dlimit par les quatre arcs de cercle suivants:

-arc de cercle de centre K1, de rayon L.

-arc de cercle de centre K2, de rayon L.

-arc de cercle de centre B1, de rayon H.

-arc de cercle de centre B2, de rayon H.

Les points K1et K2dfinissent les positions extrmes du point Ket les points B1et B2cellesdu point B.


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Travaux Dirigs Mcanique Gnrale(Cinmatique)

Exercice 1 :

Un disque mince, de rayon r roule sans glisser lintrieur dun anneau fixe de rayon R.

La position du disque est dtermine par langle ),( ux et par langle , angle de rotation du

disque autour de son centre dans le repre zyxC ,,,

on demande de calculer :

1le vecteur vitesse de la particule du disque en

contact avec lanneau. En dduire la condition

de roulement sans glissement.

Exercice II : (Etude dune palette dune hlice)

Une pale dhlicoptre peut tre schmatiquement reprsente par une palette plane mobile

autour dun axe x , solidaire dun disque de rayon R tournant autour de laxe vertical 0z avec

une vitesse angulaire constante. La position de la palette est dtermine par langle ),( uy

. Sachant que ).sin(.0 ta .

Dterminer le vecteur vitesse de lextrmit A de la palette de longueur L.

X

X

Y

Y

U

P

C

X0

Y0

Z0

Z

X

Y

U

P


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Exercice III : (Souris de micro-ordinateur)

On se propose dtudier le fonctionnement dune souris mcanique associ un micro-

ordinateur :

- Le plan de travail est inclin (0) , il lui est li le repre R0( , , , )O 0 0 0 ;

- Le cadre li la souris porte le numro (1) , il lui est li le repre )z,y,x(C,R 1111 ;

- En fonctionnement normal la bille (2) de rayon R , roule sans glisser en I , sur le plan

O ;

- Le galet (3) , de rayon a, fait lobjet dune liaison pivot daxe 1yL avec le cadre (1) ;

- Le galet (4) ,de rayon a, fait lobjet dune liaison pivot daxe 1xM avec le cadre (1) .

Les galets commandent des potentiomtres .En fonctionnement normal ils roulent sans glisser

,respectivement en J et K sur la bille (2) .

On note1

y(3/1)(3/1)

le vecteur instantan de rotation de (3/1)

et 1x(4/1)(4/1) le vecteur instantan de rotation de (4/1) .

Le solide (1) est anim dun mouvement plan par rapport au solide (0) .La condition de

contact en C impose RzOC 0 .

La position de (1) par rapport (0) est dfinie par :

000 zRyyxxOC avec 101010 zzavec)y,y()x,x(


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Le torseur cinmatique associ au mouvement de la bille (2) par rapport au cadre (1) est dfini

par :

000C02/1)(CV

zryqxp(2/1)(2/1)

C

Pour linstant les composantes p, q et r du vecteur instantan de rotation sont inconnues .Onse donne le mouvement du cadre (1) par rapport au plan (0) .A savoir :

00

0C

yyxx1/0)(CV

z(1/0)(1/0)

C

Questions :

a) Expliquer la condition de roulement sans glissement en I .En dduire le vecteur

instantan de rotation )1/2( en fonction des donnes.b) Expliquer la condition de roulement sans glissement en J .En dduire le vecteur

instantan de rotation )1/3( en fonction des donnes.c) Expliquer la condition de roulement sans glissement en K .En dduire le vecteur

instantan de rotation )1/4( en fonction des donnes.


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Troisime partie

DYNAMIQUE DES SOLIDES

Chapitre I : GEOMETRIE DES MASSES

Chapitre I I : TORSEUR CINETIQUE

Chapitre I I I : DYNAMIQUE DES SOLIDES INDEFORMABLES

Chapitre IV : PUISSANCE ET TRAVAI L


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Chapitre I : GEOMETRIE DES MASSES

1. Notions de masse dun systme matriel:1.1. dfinition :

A chaque systme matriel (S) est associ, une quantit scalaire positive invariable en

mcanique classique, appele : masse du systmeLa masse dun solide fait rfrence la quantit de matire contenue dans le volume de cesolide.

1.2. Grandeur de masse :1.2.1. Systmes discrets :La masse dun systme matrieldiscret (S) est gale la somme des masses qui le composent.

La masse dun systme matriel est dfinie par lagrandeur scalaire suivante :

m = mini=1

1.2.2. Systmes continus :

Si le systme est constitu dun ensemble continu demasses, la masse du systme scrirait sous la formedune intgrale continue:

m = dm(P)(S)

Llment est la mesure de la masse dm(P) au voisinage du point (P).

Le systme (S) est un volume :

m = (P)v

dv

(P)la masse volumique au pointP et dv un lment de volume du solide (S) Le systme (S) est une surface : (cas des plaques fines) lpaisseur est ngligeable

devant les deux autres dimensions.

(P)est la densit surfacique au pointP et ds un lment de surface du solide (S)


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Le systme (S) est linaire : (cas des tiges fines) les deux dimensions sont ngligeablesdevant la longueur de la tige.

m =

(P)

s

dl

(P)est la densit linique au pointP et dl un lment de longueur du solide (S)Dans les systmes homognes (solides homognes) la densit des solides est constante

2. Centre dinertie (centre de masse) des solides:On appelle centre dinertie dun systme matriel (S) le point G dfini par la relation : = 0 OP est un point du solide avec OP = Xi+ Yj+ Zk et avec OG = XGi+ YG j+ ZG k Soit O le centre dun repre orthonorm (O,i, j, k )nous pouvons crire dans ce repre :OP = OG + GP OP dmPS = OG dmPS + GP dmPS Or on a GP dm

PS = 0 alors nous obtenons :OG = 1

m OP dm

PS Les coordonnes du centre dinertie G dun systme homogne sont dtermines par descalculs utilisant les lments infinitsimaux tel que : dl pour les lments linaires, ds pour les

lments surfaciques et dv pour les lments volumiques. Ainsi nous pouvons crire :

= 1 ; = 1 ; = 1 Remarque :- Le centre dinertie des masses homognes concide avec le centre dinertie de leurs volumes

sils sont volumiques ou de leurs surfaces sils sont surfaciques.- Si le solide prsente des lments de symtrie (axes ou plans) son centre dinertie est

ncessairement situ sur ces lments de symtrie.

3. Centre dinertie dun systme compos:

XG = ximini=1 mini=1 ; YG = yimi

ni=1 mini=1 ; ZG = zimi

ni=1 mini=1

Avec mi la masse du solide Si de S et xi,yi et zi du point Gile centre de masse de Si

4. Thorme de Guldin :


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Une seconde mthode pour la dtermination des centres dinertie des solides linaires ousurfaciques homognes fut trouve par Guldin. Elle consiste faire tourner ces solides autour

des axes quils ninterceptent pas. Les solides linaires dcriront des surfaces et les solidessurfaciques dcriront des volumes.

4.1. 1er

Thorme de Guldin :La surface S engendre par la rotation dun arc de courbe de longueurL autour dun axe () sans lintercepter dans son plan est gale au

produit de la longueur L de larc par la longueur de la circonfrence2 dcrite par le centre dinertie G de larc de courbe.Soit L la longueur de larc et RG sont centre dinertie.

La longueur (primtre) dcrite par la rotation du centre dinertie Gpar rapport laxe () estdonne par : 2

,

Alors la surface dcrite par cet lment est gale :/ = 2 = /2

Dans le cas dun systme homogne de plusieurs lments on aura :

= /2

4.2. Deuxime Thorme de Guldin :Une surface plane homogne, limite par une courbe ferme S simple et

tournant autour dun axe () sans le rencontrer engendre un volume V.Le volume V engendr est gal au produit de la surface S par la

longueur du primtre 2RG dcrit par le centre dinertie G de cettesurface autour de laxe ()./ = 2 = /

2Dans le cas dun systme homogne de plusieurs lments on aura :

= /2 5. moment et produit dinertiedinertie:

5.1. Moment dinertie:

par rapport un point :On appelle moment d'inertie du solide S par rapport un point A la quantit positive:

=

(

)


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Moment dinertie par rapport un axe:On appelle moment dinertie dun systme matriel continu S par rapport un axe ,la quantit positive = ()HM = r ; H est la projection orthogonale deP sur laxe,

5.1.1. Moment dinertie par rapport O et aux axes du repre:

Moment dinertie pat rapport O:

= 2 () avec 2 = 2 + 2 + 2Alors on a :

=

(

2 +

2 +

2)

(

)

Moment dinertie par rapport laxe :Ixx = r2S dmPo r2: reprsente la distance du point P laxe (Ox); 2 = 2 + 2Alors on a :

=

2 +

2

(P)

Moment dinertie par rapport laxe :Iyy = r2S dmPo r2: reprsente la distance du point P laxe (Oy); 2 = 2 + 2Alors on a : = 2 + 2

() Moment dinertie par rapport laxe :

Izz = r2S dmPo r2: reprsente la distance du point P laxe (Oz); 2 = 2 + 2Alors on a : = 2 + 2

()


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Les moments dinertie par rapport aux plans (xOy), (xOz), (yOz) sont donns en fonction dela distance qui spare le point (P) du plan considr, ce qui se traduit par les quations

suivantes :

= 2

; = 2

; 2

()Il rsulte des diffrentes relations prcdentesque :

La somme des moments dinertie dun solide par rapport aux trois axes dun repreorthonorm est gale au double du moment dinertie du solide par rapport au centre durepre.

+ + = 2 + 2 P+2 + 2 + 2 + 2 ()Do on a: + + = 20

La somme des moments dinertie dun solide par rapport deux plans perpendiculairesest gale au moment dinertie du solide par rapport laxedintersection des deux

plans :

+

=

;

+

=

;

+

=

5.2. Produit dinertie:

Le produit dinertie caractrise labsence de symtrie dans la rpartition des masses.

On dfinit :

= : Produit dinertie du solide S par rapport laxe (Ox) et (Oy)

=

: Produit dinertie du solide S par rapport laxe (Oy) et (Oz)

= : Produit dinertie du solide S par rapport laxe (Ox) et (Oz)6. Oprateur dinertie:

6.1. Dfinition :

On appelle oprateur d'inertie (JO(S)) au point O d'un solide S l'oprateur qui tout vecteur u delespace associe le vecteur :

(

)

(

)


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6.2. Matrice dinertie:La matrice dinertieest le reprsentant de loprateur dinertie dfinit sou la forme suivantedans la base B (

,

,

) au point O

() = (, ,)Avec : = : Moment dinertie du solide S par rapport laxe (Ox) = : Moment dinertie du solide S par rapport laxe (Oy)

=

: Moment dinertie du solide S par rapport laxe (Oz)

= : Produit dinertie du solide S par rapport laxe (Ox) et (Oy) = : Produit dinertie du solide S par rapport laxe (Oy) et (Oz) = : Produit dinertie du solide S par rapport laxe (Ox) et (Oz)6.3. Solides prsentant des plans de symtrie:

Certains solides prsentent des formes particulires admettant des plans de symtrie par

rapport aux axes du repre R choisi. Pour chaque plan de symtrie, les produits dinertie sur

les deux autres plans sont nuls :

(xOy) plan de symtrie ====> = = 0

(

)

=

0

0

0 0 (, ,) (yOz) plan de symtrie====> = = 0

() = 0 00 00 0

(

,

,

)


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Si (xOz) est un plan de symtrie ====> = = 0

() = 0 0 0 0 (, ,)6.4. Solides prsentant un axe de symtrie:

Si (OX) est un axe de symtrie du solide (S) : B = C ==> = Si (Oy) est un axe de symtrie du solide (S) : A = C ==>

=

Si (Oz) est un axe de symtrie du solide (S) : B = C ==> = 7.Thorme de HUYGENS :

Si le tenseur dinertie est connu au centre dinertie G du solide (S) dans la base ; alors on peutdterminer le tenseur dinertie au point O dans la mme base.Soit = 0 + 0 + 0 Si le solide (S) est de masse m on aura :

=

+

(

2 +

2)

= +(2 + 2) = +(2 + 2) = +( .) = +( .)

=

+

(

.

)


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8. matrice dinertie de quelques solides lmentaires :

Sphre creuse

Sphrepleine

Cylindre plein

Cylindre creux


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Paralllpipde pyramide

Cne droit


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Travaux Dirigs Mcanique Gnrale(Cinmatique)

Exercice 1 :Dterminer le centre dinertie des corps solides homognes suivants :a)Un demi-cercle matriel de rayon

R;

b)Un demi disque matriel de rayon R ;c)Une demi sphre matrielle creuse de rayon R ;d)Une demi sphre matrielle pleine de rayon R.

Exercice 03 :Dterminer le centre dinertie de la surface triangulaire homogne suivante.

Exercice 4:Dterminer le centre dinertie dun cne de hauteur h et de rayon de base Rpar rapport sonsommet


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Exercice 4 :

a)Dterminer les tenseurs dinertie en O relativement au repre orthonorm des solideshomognes (S) suivants : quart de cercle, quart de disque, demi-sphre creuse, demi-sphre

pleine ci-dessous

b)Calculer pour chacun des solides le moment dinertie par rapport la droite() passant parle point O et le point A de coordonnes (R, R, 0)

c) Dterminer les axes principaux dinertie pour chaque solide.

Exercice 5 :Une pice mcanique homogne est constitue dun cylindre creux S

1de masse m

1, daxe

Oy, et soud sa base un paralllpipde S2de masse m2 tel que reprsent sur la figure ci-

dessous. Dterminer :

1. Le tenseur dinertie de la surface cylindrique au point O ;2. Le tenseur dinertie du systme au point O ;3. Le moment dinertie du systme par rapport la droite () faisant un angle de 30 dans le

sens positif avec laxe Ox et passant par O ;4. Le produit dinertie du systme par rapport aux droites () et () appartenant au plan

(xOz) tel que '.


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Exercice 6 :Soit une plaque carre homogne de ct a, de masse m dans un repre orthonorm R. Le

centre de masse de la plaque est en O, avec laxe Oxperpendiculaire la plaque.1. Dterminer la matrice dinertie de la plaque au point O ;2.A laide de plaques identiques, on construit une bote cubique vide de masseM. On dsigne

le centre de masse de cette bote par le point O2, qui est aussi le centre du repreR

a) Donner les coordonnes des centres de masses de chaque face de la bote par rapport aurepreR

b) Dterminer la matrice dinertie dela bote dans le repreRc) Le repre est-il un repre principal dinertie ?d) Calculer le moment dinertie de la bote par rapport un axe passant par O

2etF.


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Chapitre I I : TORSEUR CINETIQUE

1. dfinition :

Le torseur cintique est le torseur des quantits de mouvement d'un systme matriel (S) dans

son mouvement par rapport au rfrentiel R.

C(S/R)A = R C(S/R) = V (S/R)

S

dm

A (S/R) = AM V (M/R)dmS A

(

/

): Rsultante cintique ou quantit de mouvement de l'ensemble matriel E

dans son mouvement par rapport R (/) : Moment cintique au point A de l'ensemble matriel E dans sonmouvement par rapport R.

2. Rsultante cintique :

Soit O un point li R et G le centre d'inertie de l'ensemble matriel S de masse m, par

dfinition du centre d'inertie on a : = en drivant par rapport au temps dansR,

m

d

dt

OG

R=

d

dtOM

dm

S R=

(

d

dt

OM

R)dm

S

=

V

(S/R)

S

dm

Do on a finalement:

(/) = (/) = . (/)Pour un systme compos de n sous systme la rsultante cintique scrit sous la formesuivante :

(/) = (/)= Avec Giet misont respectivement le centre de masse et la masse du sou systme S i

3. Moment cintique :

Le moment cintique au point A peut s'crire :

A(S/R) =

AM

V

(M/R)dm

S


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Or on aV (M S/R) = V (A S/R) + (S/R) AM A (S/R) = AM V (A S/R)dm

S

+AM ( (S/R) AM )dmS

On reconnat dans le premier terme la dfinition du centre d'inertie G:

AM V (A S/R)dmS

= mAG V (A S/R)On reconnat dans le deuxime terme l'oprateur d'inertie du solide S au point A,

AM ( (S/R) AM )dmS = IA(S/R). (S/R)On aura finalement pour un systme homogne : (/) = ( /) + (/). (/)

Pour un systme compos de n sous systme le moment cintique scrit sous la formesuivante :

(/) = ( ( /) + (/). (/) )=

Transformation du moment cintique de A un autre B :

B(S/R) = A (S/R) + mV (G S/R) AB 4. Cas particulier :

A est confondue avec G :

A(S/R) = IA (S/R). (S/R) A est fixe par rapport R : AS/R = IAS/R. S/R


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5. Energie cintique :

Soit un solide S de masse m, de centre d'inertie G, en mouvement par rapport un repre R,

A un point li au solide. Par dfinition :

(/) = 12( (/))2 Pour un solide lnergie cintique est gale au produit des deux torseurs cintique etcinmatique :

2.(/) = C(S/R)A . (S/R)A

C(S/R)

A

: Torseur cintique

(S/R)A : Torseur cinmatiqueOn aura finalement :

2. EC(S/R) = m. V (G/R). V (A S/R) + (S/R). A (S/R)Pou un systme compos de n sous systme on a :

EC(S/R) = EC(Si/R)n

i=1


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Chapitre I I I : DYNAMIQUE DES SOLIDES INDEFORMABLES

1. Dfinition :

La dynamique cest ltude du mouvement dun solide (S) en tenant compte des effortsquisont lorigine de ce mouvement.2. Torseur dynamique :2.1. Dfinition :

Le torseur dynamique est le torseur des quantits d'acclration d'un systme matriel E dansson mouvement par rapport R.

D(S/R)A = R D(S/R) = (M/R)

S

dm

A(S/R) = AM (M/R)dmS A

(/) = . (G/R): Rsultante Dynamique

(

/

) : Moment Dynamique au point A de l'ensemble matriel S dans son

mouvement par rapport R.

2.2. Relation entre le moment cintique et le moment dynamique :

On a : A (S/R) = AM V (M/R)dmS En drivant lquation prcdant on obtient :

ddt A(S/R)

R= m V (A S/R) V (G/R) + (/)

Dou la relation entre le moment dynamique et le moment cintique :

(/)= (/) + ( /) (/)Pour un solide compos de n sous systme :

(

/

)=

(

/

)

+

(

/

)

(

/

)

=


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4. Cas particulier :

A est confondue avec G :

A (S/R) = ddt A(S/R)

R

A est fixe par rapport R :

A(S/R) =

d

dtA (S/R)

R

5. principe fondamental de la dynamique :

5.1. Dfinition :

Soit un solide S en mouvement par rapport un repre R il existe au moins un repre galilen

tel que le torseur dynamique est gal au torseur des efforts extrieurs appliqus S :

D(S/R)A = (EE)AD(S/R)A : Torseur dynamique au point A(EE)A : Torseur statique au point A5.2. Thormes gnraux :

Le PFD donne naissance deux thormes de dynamique :

Soit D(S/R)A = R D(S/R) = . (G/R)

A(S/R)

A

et (EE)A = R (E E)M

A((E

E))

A

Lgalit entre les deux torseurs donne les deux thormes suivants :

Thorme de la rsultante dynamique :

R D(S/R) = . (G/R) = R (E E) Thorme du moment dynamique :

A(S/R) = M A(E E)


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Chapitre IV : PUISSANCE ET TRAVAI L

1. Puissance dveloppe par une action mcanique extrieure :

1.1. Dfinition :

La Puissance dveloppe par une action mcanique extrieure exerce par un solide S2 sur un

autre S1en mouvement par rapport un repre R est par dfinition :

P(S2 S1/R) = f(M). V (M S1/R)dmMS1

Avec () : force exerce par un solide S2 sur un autre S1 ( 1/) : vitesse linaire de M par rapport REn utilisant la relation ( 1/) = ( 1/) + (S1/R) AM on aura laPuissance dveloppe par une action mcanique extrieure est le produit scalaire de deuxtorseurs ; torseurs des actions mcaniques et celui cinmatique au point A.

P(S2 S1/R) = (S1/R)A . (S1/S2)A Dmonstration :

On a :

P(S2 S1/R = fM. V M S1/R = fM. V A S1/R+ S1/RAM dmMS1MS1 = fM.

MS1 V A S1/Rdm + fM. S1/RAM dmMS1 fM. S1/RAM dm

MS1 = S1/R. fM. AM dm =MS1 S1/R. M A (S2/S1)

f

M

.

M

S1

V

A

S1/R

dm = V

A

S1/R

.

f

M

M

S1

dm = V

A

S1/R

. R

(S2/S1)

Dou on aura finalement le rsultat: P(S2 S1/R) = (S1/R)A = (S1/S2)A Avec :(S1/R)A = S1/RV A S1/RA : torseur cinmatique en A

(S1/S2)A = R (S2/S1)M A(S2/S1)A


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1.2 Cas particulier de puissance :

Si (S1/S2)Aest un glisseur : P(S2 S1/R) = V A S1/R. R (S2/S1)Si

(S1/S2)

Aest un couple : P(S2

S1/R) = M

A(S2/S1).

S1/R

2. Travail :

Le travail entre deux dates t1 et t2une action mcanique extrieure exerce par un solide S2 sur

un autre S1en mouvement par rapport un repre R est par dfinition :

W(S2 S1/R) = P(S2 S1/R)dtt2t1

3. Energie potentielle :

On dit quun solide possde une nergie potentielle associe laction mcanique de S2surS1, si :

PS2 S1/R = ddt

U(S2 S1/R)U(S2 S1/R) : nergie potentielle associe laction mcanique exerce par un solide S2 surun autre S1en mouvement par rapport un repre R

4. Thorme de lnergie cintique:

Le principe de conservation de lnergie conduit crire, pour un solide S, que la puissancedveloppe par les actions mcaniques extrieures au solide S est gale la variation de

lnergie cintique soit:

dEC(S/R)

dt= P(S S/R)


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PROBLEMES DE CINEMATIQUE-DYNAMIQUE

Problme NI :

On considre le systme matriel suivant () compos des solides suivants:

(S1) : est un coulisseau de masse m

1, de centre de masse G

1li au repre R

1en mouvement de

translation rectiligne par rapport un repre fixe 0(0,0, 0)suivant laxe0.(S2) : est une barre uniforme de longueur 2 , de masse m

2, de centre de masse G

2li R

2

(S3) : est un disque homogne de rayon R , de masse m

3,de centre de masse G

3li R

3

On donne les tenseurs dinertie : IG2 (S2) = A

20 0

0 B2 0

0 0 C2R2; IG3.(S3) = A

30 0

0 B3 0

0 0 C3R3 1. Dterminer les vitesses et les acclrations des points Gi avec i = 1,2,3

2. Calculer les moments cintiques (/0)des (Si) en Giavec i =1,2,33. Calculer les moments dynamiques (/0)des (Si) en Giavec i =1,2,34. En dduire le moment dynamique 1(/0) du systme au point G1: exprim dans R05. Calculer lnergie cintique EC(

/Rdu systme par rapport R0.


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Problme NII :

Le systme mcanique reprsent ci-dessous est compos de deux solides.

(S1) : une barre de longueur OO

1= L, de masse ngligeable, maintenue ses deux extrmits

par des liaisons : sphriques O et cylindrique en O1 ( daxe x 1). Le disque (S2) a un rayon R etune masse m. La barre, li au repre R1(x 1, y 1, z1) , est en rotation dans le plan vertical unevitesse angulaire par rapport au repre fixe autour de laxe z0 . Le disque li aurepreR2(x 2, y 2, z2) , tourne autour de laxe x 1 une vitesse de rotation . Le tenseurdinertie du disque au point O

1dans est donn par : IO1 (S2) = A 0 00 C 0

0 0 C

R2

On prendra comme repre de projection.

Dterminer :

1. La vitesse de rotation instantane 2/0 du disque par rapport au repre fixe2. La vitesse et lacclration du point O

1par la cinmatique du solide ;

3. Le moment cintique et le moment dynamique aux points O1

et Opar rapport R0

4. Lnergie cintique du systme

5. Appliquer le thorme de la rsultante dynamique au systme

6. Appliquer le thorme du moment dynamique au systme au point O.


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Problme NIII :

Une machine de ponage des sols est compose dun bras OAC de masse ngligeable tel que

OA=L, AC=L/2 et dun disque de rayon R et de masse M. Le bras est en mouvement de

rotation par rapport au bti fixe avec une vitesse de rotation = cte. Le disque tourne autourdu bras AC avec une vitesse de rotation = cte On prendra R1comme repre de projection.Dterminer :

1. Vitesse de rotation instantane du disque

2. Vitesse et acclration absolues du point C

3. Le torseur cintique du disque en O ;

4. Le torseur dynamique du disque en O ;

5. Lnergie cintique du systme.


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BIBLIOGRAPHIE

STATIQUE A.Campa,R.Chappert et R. Picand, MECANIQUE PAR LES PROBLEMES , C.Cortnet, ESSENSIEL DU COURS DE MECANIQUE, Jean-Louis Fanchon, GUIDE DE MECANIQUE, NATHAN.

CINMATIQUE MECANIQUE GENERALE

Auteur : A. FATNASSI

Edition : DAR EL MAAREF 1999

MECANIQUE DES SOLIDES Applications IndustriellesAuteur : P. AGATI, Y. BERMONT, G. DELVILLEEdition : DUNOD 1996

GUIDE DE MECANIQUE Sciences et Technologies industriellesAuteur : J. L. FANCHONEdition : NATHAN 1996

DYNAMIQUE MECANIQUE GENERALE

Auteur : A. FATNASSI

Edition : DAR EL MAAREF 1999

MECANIQUE DES SOLIDES Applications Industrielles Auteur : P.AGATY, Y. BERMONT, G. DELVILLE Edition : DUNOD 1996 GUIDE DE MECANIQUE Sciences et Technologies industrielles Auteur :

J. L. FANCHONEdition : NATHAN 1996

Cours Mecanique Generale ZITOUNI Et GUES

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