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Cours mcanique de fuides

I. Hydrostatique

1. IntroductionLes problmes qui peuvent tre rsolus au moyen des quations del'hydrostatique concernent toutes les situations dans lesquelles le fuideest soit au repos soit uniormment acclr. !ans ces deu" cas# il n'y apas de mouvement relati entre les particules fuides et par consquent iln'e"iste pas de orce de rottement $ les orces qui a%issent sur lessuraces dlimitant les particules fuides sont uniquement des orces depression et s'e"ercent perpendiculairement & ces suraces# ce quiconstitue %lobalement le cadre de ce chapitre.

prs avoir introduit la notion de pression# nous tablirons l'quation

ondamentale de l(hydrostatique et l'appliquerons au" cas de fuidesincompressibles ou compressibles. )ous utiliserons ensuite ces rsultatspour caractriser la rsultante des orces de pression s'e"er*ant surl'ensemble d'une surace immer%e# et par e"tension d+nir la poussed'rchimde.

,. )otion de pressionLorsqu(un fuide est au repos -ou uniormment acclr# la pressiondsi%ne la orce par unit de surace qui s'e"erce perpendiculairement &un lment de surace de normale. /n a ainsi -voir +%ure 1 $

/0 la pression est une %randeur scalaire ne dpendant que descoordonnes du point auquel la orce est value. 2ar consquent# lapression est indpendante de l'orientation de la surace sur laquelle ellea%it.

3i%ure 1

4emarque

Il est & noter que considrer un fuide comme parait est quivalent &poser que les orces de surace sont tou5ours uniquement des orces depression $ elles sont normales au" suraces sur lesquelles elles s'e"ercent

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Complment 1

6n fuide parait est un fuide qui# mme en mouvement# ne prsente pasde orces de surace tan%entielles -contraintes de cisaillement dues & laviscosit. Il en rsulte qu'un fuide parait est un fuide dont la viscosit

est suppose nulle. 2our un fuide rel ces conditions ne sont vri+es ques'il est au repos ou uniormment acclr

Complment ,

7n units 8.I.# la pression s'e"prime en pascal -2a et est homo%ne & des

. /n trouve %alement $ le bar -1bar 9 2a# l'atmosphre

-1atm 9 2a# le mm H% ou le torr -1 :orr 9 1 mm H% 9 1;;#; 2a.

;.

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2ar consquent# il vient $

2ar analo%ie# suivant les autres directions# on trouve $

La rsultante s'crit donc $

3orces de volume

8(a%it simplement du poids de l'lment de volume d>. /n a donc $

/0 % est l'acclration de la pesanteur et la masse volumique du fuide

Bilan

!'aprs le 2rincipe 3ondamental de la !ynamique -23!# on sait que larsultante des orces s'e"er*ant sur un corps est %ale au produit de samasse dm par l'acclration a-"#y#? qu'il subit. Ici# soit le fuide est au

repos# auquel cas # soit il est uniormment acclr ce qui permetd(crire.

/n a donc # soit encore $

7n simpli+ant par d># on obtient une quation locale# indpendante del'lment de volume choisi et donc valable en tout point du fuide $

et qui# pour un fuide au repos# se simpli+e pour donner l(quation

ondamentale de l'hydrostatique $

Considrons alors que le champ de pesanteur est tel que. 2arpro5ection sur les trois a"es du rrentiel cartsien# on obtient $

2ar consquent# et l'quation ondamentale del'hydrostatique se rsume & $

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. pplication au" fuides incompressibles 7"ample1

Lorsqu'un fuide peut tre considr comme incompressible# il en rsulte

que sa masse volumique est une constante $ 8i# enoutre# les variations de l'acclration de la pesanteur sont n%li%eables# %

sera considre constante. !ans ces conditions seulement# et si#l'quation ondamentale de la statique des fuides montre que la pressionvarie linairement avec ?

!(o0 $

3i%ure;

8i pour un niveau de rrence la pression vaut alors la pressionpour un niveau ? quelconque s'e"prime comme $

/n peut %alement e"primer cette mme pression en onction de la

proondeur -voir +%ure ;