ACT2025 - Cours 5 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Cinquième cours.

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MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

Cinquième cours

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Rappel:

• Taux instantané de l’intérêt ou force de l’intérêt

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Rappel:

• Taux instantané de l’intérêt ou force de l’intérêt

• Taux instantané de l’intérêt constant

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Rappel:

• Taux instantané de l’intérêt ou force de l’intérêt

• Taux instantané de l’intérêt constant

• Date de comparaison

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Rappel:

• Taux instantané de l’intérêt ou force de l’intérêt

• Taux instantané de l’intérêt constant

• Date de comparaison

• Diagramme d’entrées et sorties

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Rappel:

• Taux instantané de l’intérêt ou force de l’intérêt

• Taux instantané de l’intérêt constant

• Date de comparaison

• Diagramme d’entrées et sorties

• Équation de valeur

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Si nous connaissons la fonction d’accumulation A(t) alors le taux instantané de l’intérêt est

Rappel:

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Si nous connaissons le taux instantané de l’intérêt x pour tout x entre 0 et t, ainsi que le principal A(0), alors nous pouvons déterminer la fonction d’accumulation

Rappel:

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Le montant d’intérêt gagné pendant la période allant de 0 jusqu’au temps t

Le montant d’intérêt gagné pendant la période allant du temps t = a jusqu’au temps t = b est

Rappel:

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Nous allons maintenant considérer des questions relatives au temps, à la durée d’un prêt: échéance moyenne, duplication

du capital

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Échéance moyenne:

L’échéance moyenne est le moment t* pour lequel un versement de (s1 + s2 + ... + sn) dollars est équivalent à n versements de s1, s2, ... , sn dollars respectivement payables aux moments t1, t2, ... , tn.

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Nous avons le diagramme d’entrées et sorties suivant:

Échéance moyenne: (suite)

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L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 0 est :

Rappelons que

Échéance moyenne: (suite)

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De ceci, nous obtenons que

Échéance moyenne: (suite)

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De ceci, nous obtenons que

Échéance moyenne: (suite)

Donc

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Finalement nous obtenons

Échéance moyenne: (suite)

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Finalement nous obtenons

Échéance moyenne: (suite)

ou encore

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Dans cette dernière équation, désigne le taux instantané de l’intérêt constant équivalent au taux d’intérêt composé i, c’est-à-dire

e = (1 + i) ou encore = ln(1 + i)

Échéance moyenne: (suite)

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Échéance moyenne approché:

Il est possible d’approximer la valeur de t* par l’échéance moyenne approchée:

En effet,

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Échéance moyenne approché: (suite)

Pour démontrer cette formule, il faut utiliser la série binomiale

si , x sont des nombres réels et -1 < < 1 et développer t = (1 + i)-t en série.

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Exemple 1:

Anastasia doit rembourser un prêt en faisant 4 versements : 1500$, 3500$, 3000$, 2500$ payable respectivement à la fin de la 5e, 7e, 8e et 12e année. Le taux d’intérêt composé de ce prêt est 6% par année. Le total des versements de ce prêt est 10500$. Supposons qu’elle préfèrerait faire un seul versement de 10500$ pour rembourser ce prêt.

Quand doit-elle faire ce remboursement?

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Nous devons calculer l’échéance moyenne. Par ce qui précède, nous obtenons le diagramme suivant:

Exemple 1: (suite)

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Le taux d’intérêt est i = 6% par année. L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 0 est

1500(1.06)-5 + 3500(1.06)-7 + 3000(1.06)-8 + 2500(1.06)-12

| |

10500(1.06)-t*

Exemple 1: (suite)

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Nous obtenons que l’échéance moyenne est alors

t* = 8.038029924 années

soit environ après 8 ans, 13 jours, 21heures et 8 minutes.

Exemple 1: (suite)

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Par contre, nous obtenons que l’échéance moyenne approchée est

soit environ après 8 ans, 69 jours, 12heures et 34 minutes.

Exemple 1: (suite)

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Il est possible de montrer que nous avons toujours

Remarque 1:

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L’inégalité

est une conséquence de l’inégalité entre la moyenne

géométrique et la moyenne arithmétique:

Remarque 1: (suite)

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Combien faut-il de temps pour qu’un capital investi double?

Duplication du capital:

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Si nous investissons un capital de K dollars au taux d’intérêt composé i, nous voulons déterminer le temps nécessaire t pour que la valeur accumulée après cette période soit 2K. En équation, nous avons

K(1 + i)t = 2K

Duplication du capital: (suite)

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Après simplification, nous obtenons (1 + i)t = 2. En prenant le logarithme des deux côtés de l’égalité, nous obtenons

t ln(1 + i) = ln(2)

Duplication du capital: (suite)

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Après simplification, nous obtenons (1 + i)t = 2. En prenant le logarithme des deux côtés de l’égalité, nous obtenons

t ln(1 + i) = ln(2)

Finalement

Duplication du capital: (suite)

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Cette valeur

peut être approximée par la règle de 72.

Duplication du capital: (suite)

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Cette valeur

peut être approximée par la règle de 72. Plus précisément,

Duplication du capital: (suite)

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Exemple 2: Si le taux d’intérêt composé est i = 5% par année, alors il faudra pour que le capital double

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Exemple 2: Si le taux d’intérêt composé est i = 5% par année, alors il faudra pour que le capital double

Par la règle de 72, nous obtenons comme approximation

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Combien faut-il de temps pour qu’un capital investi triple?

Triplication du capital:

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Nous pouvons procéder exactement comme pour la duplication du capital et obtenir que le temps nécessaire pour que le capital triple est

Triplication du capital: (suite)

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Cette valeur

peut être approximée par la règle de 114.

Triplication du capital: (suite)

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Cette valeur

peut être approximée par la règle de 114. Plus précisément,

Triplication du capital: (suite)

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Si le taux d’intérêt composé est 6% par année, alors il faudra pour que le capital triple

Exemple 3:

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Si le taux d’intérêt composé est 6% par année, alors il faudra pour que le capital triple

Par la règle de 114, nous obtenons comme approximation

Exemple 3:

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Nous allons maintenant considérer des questions relatives au taux d’intérêt.

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Considérons une situation très simple. Le flux financier a une seule entrée P et une seule sortie A. Nous connaissons la durée de la transaction n.Dans une telle situation, le diagramme d’entrées et sorties est

Situation 1:

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L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = n est

P(1 + i)n = Aoù P, A et n sont connus.

Situation 1: (suite)

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L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = n est

P(1 + i)n = Aoù P, A et n sont connus.

Situation 1: (suite)

Nous obtenons facilement que

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Considérons une situation plus complexe. Le flux financier a plusieurs entrées et plusieurs sorties. Nous connaissons les moments où ces montants sont versés.

Dans une telle situation, l’équation de valeur nous permet d’écrire une équation sous la forme

f(i) = 0 où f(x) est une fonction connue

après avoir transféré tous les termes d’un côté de l’équation de valeur à l’autre.

Situation 2:

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Pour résoudre ce type de questions, nous verrons deux méthodes dans le cours:

• Méthode de bissection

• Méthode de Newton-Raphson

Nous allons maintenant expliquer la méthode de bissection. Nous verrons plus tard celle de Newton-Raphson.

Situation 2: (suite)

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Déterminons le taux d’intérêt d’un prêt dont le flux financier est représenté par le diagramme d’entrées et sorties suivant:

Exemple 4:

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L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 9 est

5000(1 + i)9 + 5000(1 + i)7 | |

4000(1 + i)5 + 4000(1 + i)3 + 2000(1 + i)2 + 3000

Exemple 4: (suite)

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Exemple 4: (suite) En transférant tout vers la gauche, nous obtenons

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Exemple 4: (suite) En transférant tout vers la gauche, nous obtenons

Ainsi i est un zéro de la fonction f(x), où

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Nous pouvons noter que

f(4%) = -833.0496513 et f(6%) = 601.3797796

Donc la fonction f a un zéro entre 4% et 6%.

Exemple 4: (suite)

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Nous pouvons noter que

f(4%) = -833.0496513 et f(6%) = 601.3797796

Donc la fonction f a un zéro entre 4% et 6%.

Nous subdivisons cet intervalle en deux, nous évaluons la fonction f au point milieu 5% pour savoir dans quel sous-intervalle se trouve le zéro. Nous répétons ensuite cet algorithme avec le sous-intervalle plus petit. Nous obtenons le tableau.

Exemple 4: (suite)

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i f(i)

4% -833.0496513

6% 601.3797796

5% -148.4830568

5.5% 218.011650

5.25% 32.690028

5.125% -58.410764

5.1875% -12.989460

5.21875% 9.817942

5.203125% -1.593838

Exemple 4: (suite)

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Donc nous pouvons conclure que le taux d’intérêt recherché est approximativement 5.2% par période de capitalisation. Si nous voulons plus de précision, il faut alors poursuivre nos calculs en subdivisant de plus en plus l’intervalle de départ.

Exemple 4: (suite)