COURS D'ELECTROMAGNETISME , J.R. MOSIG, LEMA-EPFL

Theme 0 : INTRODUCTION AU COURS

0.1 THEORIE DES CHAMPS ET THEORIE DES CIRCUITS Les phénomènes électriques au sens large (Electronique, Electromécanique, Electromagnétisme, Télécoms, Enérgie...) peuvent d'habitude être modélisés soit avec une théorie des champs soit avec une théorie des circuits. Pour saisir les différences entre ces théories, commençons par une analogie simple. Supposons qu'on veut étudier la vitesse de des molécules d'eau dans deux environnements très différents: l'océan et le réseau d'eau courante d'un appartement (fig. 0.1). Dans le premier cas, on a affaire à un environnement tridimensionel (3D). La position de chaque molécule d'eau doit être déterminée à l'aide d'un vecteur de position ( , , )x y z=r . La vitesse qu'on cherche à étudier est aussi un vecteur arbitraire ( )v r défini dans un milieu continu 3D et fonction de . Ce vecteur vitesse est un champ vectoriel et il peut être donc étudié avec la théorie des champs. L'électromagnétisme est un exemple typique de ce type de théories des champs.

r

En revanche, le réseau d'eau potable est un ensemble de tuyaux ou canalisations qui peut se décrire mathématiquement par un graphe (appelé aussi réseau ou circuit) comportant un certain nombre de noeuds n connectés par des branches i jb . Pas besoin d'un vecteur de

position ( , , )x y z=r , il suffit au plus d'une coordonnée locale dans chaque branche. Aussi, à l'intérieur de chaque tuyau, la vitesse de l'eau a une direction prédéfinie, imposée par le tuyau. Donc, la quantité d'intérêt est ici une grandeur scalaire, la norme ou amplitude du vecteur vitesse. Ces quantités scalaires qui dépendent d'indices numérotant les noeuds et les branches peuvent s'étudier avec une théorie de circuits. Dans sa formulation classique, la théorie de circuits ne considère même pas la longueur des branches qui souvent a un effet négligeable (qu'est-ce qui se passe si vous changez la longueur d'un tuyau dans votre salle de bains?). Elle est alors une théorie adimensionelle (0D) du point de vue des dimensions physiques. En électricité la théorie des champs correspond au modèle de Maxwell (James Clerk Maxwell, 1831-1879), qui s'exprime à l'aide d'un ensemble d'équations différentielles aux dérivées partielles. Les grandeurs essentielles sont deux champs, le champ électrique ( )E r et

le champ magnétique . L'outil mathématique requis est donc le calcul vectoriel. La théorie de circuits correspond au modèle de Kirchhoff (Gustav Kirchhoff, 1824-1887), qui obéit à des lois algébriques simples. Les grandeurs essentielles sont les tensions v dans les noeuds et les courants

( )H r

i

ji dans les branches. L'algèbre matricielle en est l'outil fondamental. Le modèle de Kirchhoff (discret et scalaire) est en principe plus simple que le modèle de Maxwell (continu et vectoriel). Les ingénieurs ont donc toujours essayé de simplifier des problèmes en trouvant des modèles "circuit équivalent" pour les phénomènes continus. Ainsi, un dispositif à semiconducteurs (transistor, diode...), une fibre optique, un haut-parleur, voire l'espace entre deux antennes, peuvent avec une certaine approximation être représentés par des circuits électriques.

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0.2 LE TEMPS ET LA VITESSE DE PROPAGATION En plus de la dépendance avec les coordonnées, tout phénomène électrique peut dépendre du temps. Par exemple on peut travailler avec des courants continus (indépendants du temps) ou avec des courants alternatifs (à variation temporelle cos tω ). Mais la question qui nous intéresse ici ce n'est pas de savoir si un phénomène électrique a une variation temporelle dans chaque point de l'espace. Ce qui est encore plus important est de savoir si cette variation temporelle (si elle existe) est la même dans tous les points de l'espace affectés par le phénomène, autrement dit si tous les points sont "parfaitement synchronisés". La théorie de la relativité nous apprend que toutes les interactions physiques se propagent dans l'espace avec une vitesse finie, qui est au mieux celle de la lumière dans le vide. Donc, une propagation instantanée est physiquement impossible. Mais si le temps de propagation est "court" on pourra toujours utiliser le concept de temps de propagation nul (ou de vitesse de propagation infinie) pour simplifier l'étude des phénomènes. La phrase "temps de propagation court" est bien sûr relative et le temps de propagation devra être comparé avec un temps ou durée caractéristique du phénomène, par exemple la période d'un signal alternatif ou la largeur des impulsions d'un signal numérique. Sous sa forme classique, la théorie de circuits accepte que le temps de propagation le long des branches peut être négligé. Cette hypothèse doit être vérifié dans chaque cas. Par exemple, dans un dispositif dont les dimensions physiques ne dépassent pas 1 mètre et les signaux voyagent à la vitesse de la lumière, le temps de propagation ne dépasse pas 3 nanosecondes. Des impulsions espacés d'un microseconde ou des signaux à 1 MHz varient alors trop lentement pour qu'on remarque un retard ou déphasage entre les phénomènes ayant lieu dans les différents points du dispositif. Mais ceci n'est pas le cas si la distance entre impulsions est d'un nanoseconde ou si la fréquence des signaux est de 1 GHz. Dans le premier cas, on applique la théorie de circuits classiques. Toutes les dimensions physiques peuvent être négligées, la théorie est adimensionelle (0D), pas de mètres dans les lois de Kirchhoff. Dans le deuxième cas la théorie de circuits doit être généralisée et faire apparaître le temps de propagation le long des branches. On arrive alors à une théorie unidimensionelle (1D) dite théorie des lignes de transmission. Les mêmes considérations s'appliquent à la théorie des champs, qui est statique si on accepte une vitesse de propagation infinie (temps de propagation nul) et dynamique autrement Le tableau suivant synthétise ces possibilités. vitesse de prop. infinie vitesse de prop. finie

/ t∂ ∂ = 0 Théorie de circuits en courant continu

CIRCUITS (Kirchhoff, scalaire) / t∂ ∂ ≠ 0 Théorie de circuits

en courant alternatif

/ 0t∂ ∂ = Théorie des lignes de transmission (Propagation d'ondes EM)

/ t∂ ∂ = 0 Electrostatique, Magnétostatique

ELECTROMAGNETISME (Maxwell, vectoriel) / t∂ ∂ ≠ 0 Quasistatique

Electromécanique

/ 0t∂ ∂ = Electrodynamique (Propagation et rayonnement d'ondes EM)

La théorie des lignes de transmissions est très proche de l'électrodynamique car elle tient compte du temps fini de propagation des signaux. En fait, on verra qu'elle correspond à l'électrodynamique dans le cas particulier où les phénomènes varient avec une seule coordonnée spatiale. Des phénomènes comme la propagation d'un signal électromagnétique le

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long d'une fibre optique peuvent être parfaitement étudiés avec la théorie des lignes de transmission. En fait, l'ordinateur a permis récemment de généraliser la théorie des lignes de transmission à deux et trois dimensions. Elle devient alors un modèle numérique appélé méthode TLM (Transmission Line Matrix) fort apprécie pour l'étude de phénomènes électromagnétiques compliqués, incluant le rayonnement et les antennes. 0.3 LE SIGNAL ELECTROMAGNETIQUE Considérons un système de transmission comportant un émetteur, un récepteur et un canal de transmission (fig. 0.2). Cette structure générale peut correspondre à une communication entre deux ordinateurs par fibre optique, entre deux téléphones mobiles à travers de l'espace libre ou entre deux puces à travers un circuit imprimé. A l'entrée du canal de transmission on a le signal de l'émetteur s et a la sortie on obtient le signal qui va agir sur le récepteur. En général, le "canal" est un système complexe qui inclut des circuits électroniques (transducteurs, amplificateurs...) et un système passif de transmission (fibre optique, ligne imprimée, faisceau hertzien...).

( )e t( )rs t

Les propriétés mathématiques abstraites des signaux et des canaux de transmission sont étudiées avec la "Théorie du Signal". Dans ce cours on ne s'intéresse qu'à la partie passive du canal, qu'on appèle en raccourci "ligne de transmission". On étudiera en particulier les propriétés physiques acquises par les signaux du fait qu'elles doivent être véhiculées par ces lignes de transmission et la relation entre les signaux s t et s , à l'entrée et à la sortie de la ligne. Mathématiquement, les lignes de transmission seront considérées comme structures unidimensionelles à symétrie de translation. La section droite de la ligne , perpendiculaire à la coordonnée de transmission z, reste donc constante et définit le type de ligne.

( )e ( )r t

Le tableau ci-dessous donne les sections de quelques lignes de transmission courantes dans la technologie moderne. Un regard rapide montre que dans beaucoup de cas (surtout lorsque la ligne comporte au moins deux conducteurs comme les lignes coaxiale, bifilaire, imprimée...) on peut prendre comme grandeur physique représentative du signal soit la tension entre conducteurs soit le courant dans l'un d'eux. Mais la tension n'a pas de sens dans un guide d'onde (tuyau conducteur creux) et ni tension ni courant électrique peuvent être définis dans une fibre optique. Même si le binôme tension/courant fournit souvent une simplification utile, ce sont toujours les champs électromagnétiques qui fournissent en dernière analyse le support physique du signal, qui doit alors traité en général comme un signal électromagnétique. 0.4 PROPRIETE FONDAMENTALE D'UNE LIGNE DE TRANSMISSION IDEALE Pour préciser mathématiquement le problème, on oriente le canal ou ligne de transmission selon la coordonnée z (fig. 0.2). Définissons le signal dans un point quelconque de la ligne comme . Si les points z=0 et z=d correspondent respectivement au début et à la fin de la ligne, où émetteur et récepteur sont connectés (fig. 0.2), on peut écrire:

( , )s z t

( ) ( 0, )es t s z t= = et ( ) ( , )rs t s z d t= =La ligne idéale serait celle qui n'affecte pas le signal:

( ) ( ) ( , ) ( 0, )r es t s t s z d t s z t= ⇒ = = = Ceci est possible du point de vue de la théorie de circuits mais impossible si la vitesse de propagation v est finie. Car alors, ce qui arrive "ici" (z) et "maintenant" (t) peut arriver plus loin mais seulement plus tard 0( ' )z z z= + 0( ' / )t t z v= + . On a alors comme meilleure situation possible:

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( / ) ( ) ( , / ) ( ,r es t d v s t s z d t d v s z t0+ = ⇒ = + = = )

t

En général, si on considère deux points quelconques z et z' à l'intérieur de la ligne et deux instants du temps t et t', le signal sera le même en (z,t) et en (z',t') si:

' et 't t z z vτ τ= + = + . Or ceci implique:

' ' ( ) ( ) constantez vt z v v t z vtτ τ− = + − + = − = Ceci est la propriété fondamentale des lignes de transmission idéales. En d'autres mots, le signal ne dépend pas du temps et de l'espace de façon indépendante mais à travers la variable composée . Dans un diagramme cartésien bidimensionnel t-z, le signal est le même (c'est à dire se propage sans changements) dans les points sur les droites de pente v.

z v−

0.5 ETUDE CONCEPTUELLE D'UNE LIGNE DE TRANSMISSION SIMPLE Considérons maintenant une version plus spécifique de notre système de transmission (fig. 0.3). L'émetteur est un simple générateur de tension continue U (une pile!) avec une résistance interne R et un interrupteur. Le récepteur est une résistance R qui représente une charge (anglais: Load) quelconque. La ligne de transmission est ici une ligne bifilaire ayant une longueur d. On considère une ligne idéale formée par des conducteurs parfaits qui ont une résistance nulle. Le système est en circuit ouvert au départ (interrupteur ouvert depuis

) et on ferme soudainement l'interrupteur en t .

g

g L

t =−∞ 0=Du point de vue de la théorie de circuits classique, la ligne de transmission est juste une connexion faite d'un matériau conducteur parfait. Sa longueur d et sa géométrie ne jouent aucun rôle. Les courants à l'entrée et à la sortie de la ligne devraient être identiques et données par:

0 ; 0( 0, ) ( , )

/( ) ; 0g g L

tI z t I z d t

U R R t<

= = = = + >

La première correction évidente est l'introduction du retard. Le courant à l'entrée ( est peut être celle de l'expression précédente, mais en tout cas le courant à la sortie

devrait être donnée par la valeur:

0)z =

(z d= )

v

)

0 ; /

( , )/( ) ; /g g L

t d vI z d t

U R R t d<

= = + >

où v est la vitesse de propagation des signaux. La réalité est beaucoup plus compliquée et le courant aussi bien à l'entrée qu'à la sortie peut adopter un comportement complexe qui dépend des propriétés géométriques et physiques de la ligne. En fait, dans ce cas la théorie des circuits nous fournit seulement la valeur limite

( 0, ) ( , ) /(g g LI z t I z d t U R R= → ∞ = = → ∞ = +

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Il est intéressant d'imaginer aussi d'autres situations comme par exemple, revenir à la condition "circuit ouvert" en ouvrant l'interrupteur en 0t t= . Le résultat est encore plus inattendu (essayez de l'imaginer!) et demandera une étude détaillée de la théorie des lignes de transmission. Mais avant d'aller plus loin, quelques remarques sur les conventions usuelles sont de mise.

- Le graphisme de lignes bifilaires est traditionnellement utilisé pour représenter toutes les lignes de transmission (même si elles ne comportent pas 2 conducteurs!).

- Tout ce qui se trouve à l'extérieur des symboles de la ligne bifilaire est considéré sans longueur. Ainsi, générateur, résistance interne et interrupteur dans la fig. 0.3 sont considérés comment étant tous dans le même point. Les lois de Kirchhoff restent donc valables à l'extérieur des lignes.

- Dans une ligne bifilaire on peut dire que le courant va du générateur à la charge par un conducteur et revient par l'autre. On aurait tort en disant la même chose au sujet des signaux (qu'on peut fabriquer en modulation tout/rien agissant sur l'interrupteur) et même au sujet de l'énergie qui, elle, passe clairement de la pile à la charge.

- L'information va de l'émetteur (générateur) au récepteur (charge) et revient éventuellement du récepteur vers l'émetteur mais en utilisant la ligne bifilaire comme un tout. En fait la ligne "guide" le signal, mais celui-ci voyage dans l'espace au voisinage de la ligne. C'est pour cela qu'on peut transmettre de l'information et de l'énergie dans des systèmes avec un seul conducteur ou même sans conducteurs. Ceci contraste fortement avec la théorie des circuits classique, qui exige toujours un circuit fermé en boucle pour qu'un courant (et donc un signal) puisse circuler.

0.6 AFFAIBLISSEMENT SUR DES LIGNES REELLES: PROPAGATION ET RAYONNEMENT Dans un canal de transmission réel, en plus de l'inévitable retard, les signaux subissent un affaiblissement en se propageant. Donc, en général, pour un système dont les propriétés physiques ne changent pas dans le temps on a

( , / ) ( ) ( ,s z d t d v A d s z t+ + = ) où A(d) est l'affaiblissement. Deux cas sont importants en pratique. Propagation Dans une propagation guidée le long d'une ligne de transmission matérielle (fibre optique, câble coaxial...), on peut montrer que l'affaiblissement est une fonction exponentielle décroissante:

( ) exp( )A d dα= − Le facteur α est l'affaiblissement linéique de la ligne, dépendant des matériaux utilisés et du type de signal (fréquence...). Si le signal s correspond à une tension ou à un courant, il faut doubler la valeur de α quand on évalue une puissance, car celle-ci est liée au carré de la tension ou du courant. Les technologies modernes fournissent des lignes avec les pertes suivantes (valeurs moyennes indicatives):

Type de ligne α Distance pour réduction de la puissance à la moitié

Coaxial à 100 MHz 10 dB/100m 30m Coaxial à 10 GHz 100 dB/100m 3m

Guide d'onde à 10 GHz 20 dB/100m 15m Fibre optique dans l'infrarouge 1 dB/100m 300m

Rayonnement Si le signal est transmis comme une onde électromagnétique dans un milieu sans pertes (le vide ou à peu près l'air) la puissance totale du signal se conserve, mais elle est étalée sur des

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surfaces sphériques de plus en plus grandes. Donc, si on raisonne en termes de puissance au mètre carré p (densité de puissance), on peut écrire:

2 24 ( ) ( , / ) 4 ( , )z d p z d t d v z p z tπ π+ + + = Si on prend cette densité de puissance comme représentative du signal et on considère des grandes distances , on peut trouver à partir de l'équation précédente que dans le rayonnement électromagnétique, l'affaiblissement en puissance est inversement proportionnel au carré de la distance :

( )d >> z

20( ) /A d A d=

Mais pour toute combinaison de constantes α , on peut toujours trouver une distance d satisfaisant l'inégalité:

0, A

20exp( ) /d A dα− <

On conclut que: une transmission par rayonnement finit toujours par être moins affaiblie qu'une transmission par propagation.

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