H. MUSTAPHAJ.R. de DREUZY

J. ERHEL

PlanPlan Présentation du problème.Présentation du problème.

Méthodes numériques.Méthodes numériques.

Outils prévus.Outils prévus.

Discussion et question !!!Discussion et question !!!

Modèle géométrique des réseaux de fractures 3D

Modélisation des écoulements dans les réseaux de Modélisation des écoulements dans les réseaux de fracturesfractures

EquationsEquations

Q = - K .Q = - K .h h (1)(1)

Div ( Q ) = 0 Div ( Q ) = 0 (2)(2)

Conditions aux limites

Flux ( charge imposée )Dirichlet homogène

Pas de flux

(Q.n = 0)

Neumann

Complexité des écoulements à l’échelle du réseau

Complexité des écoulements à l’échelle de la fracture

Origine de la complexité

• Grand nombre d’intersections.

• Les petites intersections.

• Existence des zones avec des petits angles

qui nécessitent une finesse de mailles.

Réduire les complexités?

Modifier les configurations!!!!!

• Quels critères de simplifications??• Perte marginale de la précision.• Un gain important en temps de calcul.

Plan Présentation du problème.

Méthodes numériques.

Outils prévus.

Discussion et question !!!

Méthodes Numériques1. Méthode directe

Résolution par éléments finis sur l’intégralité du réseau. N: nombre des fractures du réseau, : fracture  i. 

Le système linéaire obtenu est donné par : AH = F (1) avec :

A=

H1 F1

A11

ANN

0 000

Aii 00

A10

AN0

A01 A0N A00

, H = HN

H0

et F = FN

F0

• Hi regroupe les éléments internes de la fracture i.• H0 regroupe les éléments intersections de toutes les fractures.

Simplification du système linéaire

AH = F

A11H1 + A01H0 = F1

A22H2 + A02H0 = F2

. . .ANNHN + A0NH0 = FN

A10 H1 +A20 H2 +…+AN0 HN +A00H0 = F0

H1 = (F1 - A01H0)H2 = (F2 - A02H0)

HN = (FN - A0NH0)

Est-ce qu’on calcule S ou non ????2. Méthode de perméabilité équivalente K_eq :: Calcul S

3. Méthode de sous domaines :: Non

A11

ANN

0 000

Aii 00

A10

AN0

A01 A0N A00

HN

H0

= FN

F0

H1F1

S G

Comparaison a priori des méthodes simplifiées K_eq et Sous-domainesespace mémoire + temps de calcul

S =S = Sous-Sous-domainesdomaines K_eqK_eq

Avant le Avant le gradient gradient conjuguéconjugué

Factorisation Factorisation dede

AAiiii = L = LiiLLii

O( O( CiCi ) ) O( O( CiCi ) )

Calcul de Calcul de

nnii. . O( O( CiCi ) )

Pendant le Pendant le gradient gradient conjuguéconjugué

Calcul de Calcul de S S PP

À chaque À chaque itérationitération

O( O( CiCi ) )

ComplexitComplexité é

TempsTemps ~~ Ci +Ci + CiCi

~~ Ci + Ci + nini..Ci Ci + +

MémoireMémoire Li Li est est stockéestockée CiCi

est est stockéestockée

NG : nombre d’itérations du gradient conjugué.

ni : nombre d’intersections de la fracture i. CCii : nombre d’éléments non nuls de LLii..

Méthodes numériques à l’échelle de la fracture

EcoulementEcoulement EFEF EFMEFM EFMHEFMH VFVF

InconnuesInconnuesCharges sur Charges sur

les les sommetssommets

1.1. Charges Charges moyennes par moyennes par élémentséléments

2.2. Flux à travers Flux à travers les les interélémentsinteréléments

1.1. Charges moyennes Charges moyennes par éléments.par éléments.

2.2. Charges moyennes Charges moyennes sur les sur les interéléments.interéléments.

3.3. Flux moyens sur les Flux moyens sur les interélémentsinteréléments

Approximation Approximation de la charge de la charge moyenne par moyenne par

élémentséléments

Matrice associée Matrice associée au système au système

linéairelinéaire

Symétrique Symétrique définie définie positivepositive

Symétrique Symétrique

non définienon définie

Symétrique Symétrique

définie positivedéfinie positive

Symétrique Symétrique

définie positivedéfinie positive ( ( condition condition

DelaunayDelaunay ))

Conservation Conservation locale de la masselocale de la masse NonNon OuiOui OuiOui OuiOui

Continuité du flux Continuité du flux à travers les à travers les

interélémentsinterélémentsNonNon OuiOui OuiOui OuiOui

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Méthodes numériques.

Outils prévus.

Discussion et questions !!!

Outils à utiliser

o Génération Logiciel de génération de réseaux de fractures (CAREN).

o Maillage1. Emc2 pour le maillage (Gamma-INRIA) 2. Medit pour visualiser le maillage et le flux (Gamma-INRIA)

o Résolution à l’échelle de la fracture1. Code d’EFMH «  H. Hoteit, P. Ackerer, J. Erhel »2. Factorisation LU ???

o Résolution à l’échelle du réseau Gradient conjugué ???

Emc2 - Medit

Structure du Code à générer

Génération du Réseau en 3D Sortie « .C »

Maillage

Appeler la fonction du mailleur Emc2 «  .f  ».

MeditInterface

Visualisation

Fracture

Résolution à l’échelle de la fractureMéthode des EFMH

Résultats

Flux à l’échelle de la fracture

Visualisation du flux dans la fracture

RéseauGradient conjuguéOu méthode directe

Résultats

Flux à l’échelle du réseau

Visualisation du flux dans le réseau

InterfaceC Fortran

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Méthodes numériques.

Outils prévus.

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QuestionsQuestions Quels logiciels utiliser?Quels logiciels utiliser?

MaillageMaillageVisualisationVisualisation

Méthode numériques à l’échelle du réseau ?Méthode numériques à l’échelle du réseau ?DDirecte irecte K_eqK_eqSous-domainesSous-domaines

A l’échelle de la fracture ?A l’échelle de la fracture ? EFEF

EFMEFM EFMHEFMH ++ VF VF

Emc2Medit