Cours de Physique Travaux pratiques Générale de mécanique ... · Guide de travaux pratiques en...

Travaux pratiques

de mécanique

newtonienne

Cours de Physique Générale

LPHY1113B-D dispensé par les

professeurs

Eric Deleersnijder et Thierry Fichefet*

DROP IT IN THE

BUCKET!

Edition 2013-2014

Olivier Lecomte(1)

, Elisabeth Crespin(1)

, Francisco Velasco Espejo(2)

(1) Assistant(e), UCL/SST/SC/PHYS (Faculté des Sciences) – UCL/ELI/ELIC (Earth and Life Institute) (2) Technicien de laboratoire, SST/SC/PHYS (Faculté des Sciences).

* Coordinateur du cours LPHY1113B&D, C&E.

Guide de travaux pratiques en mécanique newtonienne, édition 2013-2014.

D éterminer avec

R igueur et

O ptimalité la

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T onitruantes!


Il était une fois, une bille, un rail…

Introduction

La physique, et en particulier la mécanique, est une science expérimentale. De ce fait, si un certain nombre de notions théoriques fondamentales doivent être bien maitrisées pour étudier un système en mécanique newtonienne, l’approche par l’expérience aide souvent à l’appréhension des équations régissant l’évolution d’un corps en mouvement soumis à diverses forces. Par ailleurs, des mouvements simples tels que la chute libre, le roulement sans glissement ou le choc peuvent être facilement observés en laboratoire dans le cadre d’expériences originales et didactiques.

Souvent, les travaux pratiques en physique sont abordés selon la philosophie « vérification des lois ». Une expérience est réalisée dans le but de vérifier si une loi physique est respectée, aux erreurs (systématiques ou aléatoires) près. L’approche proposée ici est différente dans la mesure où il s’agira d’appliquer ces lois dans un contexte concret et suscitant l’intérêt de l’étudiant.

Le travail est proposé sous forme d’un projet que les étudiants réaliseront en groupe de trois. Le but sera de prévoir le comportement du dispositif expérimental, après avoir effectué les calculs théoriques relatifs aux divers mouvements du mécanisme. La réalisation finale de l’expérience permettra de vérifier les prévisions du groupe de travail.


Du point de vue pratique, les étudiants réaliseront ce travail en grande autonomie, c’est l’aspect « projet ». L’assistant encadrant les séances dédiées à la réalisation de ce projet aura évidemment pour rôle de contrôler l’avancement des différents groupes et de les aider afin qu’ils progressent normalement au fil des séances, mais les étudiants auront librement recours aux méthodes qu’ils souhaitent employer et devront avoir un esprit particulièrement critique sur leurs propres résultats et hypothèses de travail. Ce projet se conclura par la rédaction d’un rapport qui reprendra à la fois tous les développements théoriques et les calculs numériques pour la réalisation du projet final. Une grille de rapport sera fournie, afin de servir de guide pour répondre aux questions encadrées en jaune posées dans ce syllabus. Ce rapport de projet sera la base de l’évaluation de la « partie laboratoire » du cours PHY1113B-D. En complément, un test écrit aura lieu lors de la quatrième séance de laboratoire. Nous espérons que les étudiants profiteront des séances de travaux pratiques pour nouer un véritable dialogue avec leur assistant(e) de façon à ce qu’il(elle) puisse leur apporter une aide réellement efficace. Nous tenons à remercier spécialement Sylvain Bouillon (anciennement assistant pour le cours LPHY1113B&D) pour les discussions sur la conception de ce projet, François Massonnet pour l’idée du titre du projet, et tous ceux qui ont collaboré à la réalisation de ce projet de laboratoire.

L’équipe rédactrice de ce syllabus de laboratoire.

Remarque relative à l’inscription aux laboratoires :

L'inscription aux laboratoires est obligatoire: elle se déroule dans le local 207.10 (2ème étage)

du bâtiment Marie Curie le jeudi 19 septembre de 13:00 à 15:00 pour les bioingénieurs, et le

jeudi 26 septembre de 10:45 à 13:30 pour les biologistes, chimistes et géographes. Il est

indispensable de fournir une photographie au format passeport. Sont dispensés de laboratoire

les bisseurs qui ont obtenu une note supérieure ou égale à 12/20 aux laboratoires. La demande

de dispense est obligatoire et s'introduit au même moment que l'inscription aux laboratoires.


Table des matières

INTRODUCTION 3

TABLE DES MATIÈRES 5

1. PRÉSENTATION GÉNÉRALE DU PROJET, PLANS ET MATÉRIEL UTILISÉ 6

INTRODUCTION ET SYNTAXE TECHNOLOGIQUE 6

TABLE DES NOTATIONS UTILISÉES 6

PLANS 7

DÉMARCHE GÉNÉRALE DE L’ÉTUDE 10

2. ELÉMENTS DE THÉORIE DES ERREURS 11

3. CINÉMATIQUE DE LA BILLE B1 19

4. DYNAMIQUE DE LA BILLE B0 22

5. CHOC BILLE B0 – GODET G1 ET MONTAGE FINAL 25


1. Présentation générale du projet, plans et matériel utilisé

Introduction et syntaxe technologique

Au cours de ce projet en trois parties, on se propose de réaliser le mécanisme suivant. Une bille B0, initialement positionnée sur un rail R0 incliné, roule sans glisser sur ce dernier jusqu’à son extrémité placée en bordure d’une table T0. Lorsque la bille quitte le rail, elle entame un mouvement de chute libre parabolique pour atterrir violemment (il y a choc, que l’on supposera comme parfaitement inélastique) dans un godet contenant du sel ou du sable. Ce godet (G1) étant relié à un chariot mobile (C1) (poussant lui-même une bille B1 sur un second rail R1), le choc transmet une vitesse initiale à l’ensemble {Chariot+bille} qui va poursuivre son mouvement de translation uniformément accéléré sur R1 dû au déséquilibre entre les masses {G1+B0} et {B1+C1} de part et d’autre de la poulie (supposée sans masse et tournant sans frottement autour de son axe) qui les relie. Enfin, la bille B1 atteignant l’extrémité de R1, est propulsée dans un mouvement de chute libre parabolique dont on cherchera à estimer le point de chute au sol.

La table et les plans suivants présentent le dispositif dans les détails :

h0 Hauteur entre le sol et l’extrémité inférieure du rail R0 - 125 cm

h1 Hauteur de la table T1 - 90 cm

h2 Position verticale finale de la bille B1 sur le rail R1 par rapport à la table T1

h3 (=x1) Hauteur initiale du godet G1 - [50, 70] cm

L Distance horizontale du point de chute final de la bille B1 par rapport à la table T1

l1 Distance horizontale entre l’extrémité du rail R0 (ou table T0) et le centre du godet G1

m0 Masse de la bille B0

m1 Masse de la bille B1

mc Masse du chariot C1

mg Masse du godet G1 (incluant la masse de sel ou de sable qu’il contient)

r0 Rayon de la bille B0

r1 Rayon de la bille B1

θ0 Angle du rail R0 par rapport à la table T0

θ1 Angle du rail R1 par rapport à la table T1

v00 Vecteur vitesse initiale de la bille B0 sur le rail R0

v01 Vecteur vitesse initiale de la bille B0 lors de son mouvement de chute libre

v02 Vecteur vitesse initiale de l’ensemble {B0, G1, B1, C1} après de le choc B0 – G1

v03 Vecteur vitesse initiale de la bille B1 lors de son mouvement de chute libre final

x0 Position initiale de la bille B0 par rapport à l’extrémité basse du rail R0

x1 Position initiale de la bille B1 par rapport à l’extrémité haute du rail R1

Table des notations utilisées


Plans


m0 , r

0

Θ0

x0

h0

h3

l1

mg


Θ1

x1

h2

h1

L

mc

m1 , r

1


Démarche générale de l’étude

Le projet se divise en trois parties, décrites dans les sections suivantes de ce syllabus.

La première, après une sensibilisation au calcul de propagation d’erreurs, vise à étudier

le mouvement de la bille B1, sur le rail R1 et poussée par le chariot C1, sur le thème de la

cinématique. Le but est de déterminer l’accélération de la bille sur le rail afin de pouvoir

calculer sa vitesse en sortie de rail. On remarquera notamment qu’à cause de la complexité des

conditions du mouvement (bille poussée par le chariot, frottements bille/rail, bille/chariot,

etc…), on ne cherche pas dans cette partie à calculer l’accélération de B1 théoriquement. En

revanche, comme on dispose avec le rail R1 d’un dispositif de détection de mouvement, on

peut mesurer précisément les vitesses lors du mouvement. Ces informations permettront

ensuite de calculer la trajectoire de la bille une fois en chute libre et de prévoir la position de

son point de chute.

La deuxième partie se focalise sur la dynamique de la bille B0. Etant donné le matériel

utilisé pour cette partie du dispositif (rail classique R0, pas de système précis de détection de

mouvement), la mesure des vitesses est plus approximative. En revanche la géométrie simple

de la bille permet un calcul simple de son moment d’inertie et de son accélération théorique le

long du rail. Ce calcul théorique sera confirmé par des mesures dont on prendra soin de bien

quantifier les erreurs associées. Le but ultime de cette partie sera dès lors de déterminer la

position initiale de la bille sur le rail R0 afin qu’elle atteigne bien le godet G1 dont la position

initiale est fixée.

Enfin, pour déterminer complètement la vitesse de la bille B1 sur son rail, il faut lier sa

vitesse initiale à la vitesse finale de la bille B0, c’est l’objet de la dernière partie du projet :

l’étude du choc B0 – G1. Une fois cette étude réalisée, l’ensemble du mécanisme peut être

« modélisé » ou « représenté » mathématiquement afin de prévoir le point de chute final de la

bille B1. En effet, la position initiale de B0 sur R0 donne successivement sa vitesse en sortie de

rail puis avant sa réception dans G1 (partie 2 du projet). L’étude du choc permet alors de

connaître, à certaines hypothèses de travail près (que l’on devra justifier), la vitesse de B1 et C1

au début de leur mouvement sur R1, qui elle-même permet le calcul de la vitesse et de la

trajectoire finale de B1 (partie 1 du projet).


2. Eléments de théorie des erreurs

2.1. Introduction

Mesurer une grandeur physique consiste à déterminer le rapport entre cette grandeur et une grandeur étalon standardisée. Cependant, un résultat de mesure ne peut jamais être strictement égal à la grandeur recherchée et il y a toujours une différence, si petite soit-elle, entre la vraie valeur de la grandeur et la valeur de la mesure. Cette différence que l’on appelle erreur sur la mesure, ne peut évidemment pas être déterminée exactement mais il est toujours possible d’en évaluer une limite supérieure.

2.2. Erreur systématique- erreur aléatoire

Si une erreur est faite dans l’élaboration d’une étape de la méthode de mesure, elle affecte toujours, et de la même manière, la mesure. Il peut s’agir, par exemple, d’un appareil mal réalisé qui ne transcrit pas exactement la loi physique, d’un montage imprécis, d’une mauvaise graduation, etc. Une telle erreur est dite systématique.

Certaines erreurs dépendent de circonstances dont l’évolution nous échappe, qui se font en tous sens, et la manière dont elles affectent la mesure varie d’une mesure à l’autre. Ainsi, si un observateur effectue dix fois la mesure d’un diamètre d’une barre cylindrique, il n’obtiendra pas toujours la même mesure. A chaque lecture, l’œil se positionne différemment par rapport à l’appareil ; de même l’adaptation de la pupille peut changer entre deux mesures si la distance observateur-objet varie ; enfin, les interpolations de lecture se font rarement de la même manière. De telles erreurs, qui

sont en fait des incertitudes de mesure, sont dites aléatoires.

En conclusion, nous sommes incapables d’accéder à la vraie valeur d’une grandeur, tout résultat d’une mesure étant entaché de la résultante d’erreurs systématiques et aléatoires.

Dans un système expérimental bien étudié, les erreurs systématiques sont généralement absentes. Seul le recours à un autre appareil ou à une autre méthode permet de déceler leur présence éventuelle. Les erreurs aléatoires sont toujours

présentes ; c’est de celles-ci dont nous allons nous occuper maintenant.

2.3. Erreur absolue-erreur relative

Nous nous contenterons, à ce niveau-ci, de définir l’erreur aléatoire absolue sur une valeur expérimentale x comme étant la quantité positive ∆x telle que la vraie valeur X de la grandeur physique mesurée soit comprise entre x - ∆x et x + ∆x. Cette limite sur la précision de la mesure étant donnée, nous considérerons que la vraie valeur X peut se trouver à n’importe quel endroit de l’intervalle [x - ∆x, x + ∆x], comme c’est le cas dans chacune des situations suivantes


qui sont en général écrites sous la forme :

X x x= ± ∆= ± ∆= ± ∆= ± ∆ .

L’erreur aléatoire relative est définie comme étant le rapport entre l’erreur absolue et la valeur mesurée, c’est-à-dire

r

x

x

∆∆∆∆ε =ε =ε =ε = .

Elle est en général exprimée en pourcent et donne une indication directe sur la précision de la mesure.

2.4. Types d’erreurs aléatoires

Il n’est pas toujours aisé de déterminer la valeur de l’erreur commise sur une mesure étant donné qu’elle peut dépendre de nombreux facteurs. Essayons d’abord d’en aborder quelques-uns parmi les plus importants.

Erreur due à la précision de l’instrument de mesure

Prenons le cas d’une balance pourvue de subdivisions allant jusqu’à 0,1 g, et supposons qu’un observateur ne puisse pas interpoler mieux qu’à un cinquième de subdivision. L’erreur absolue sera donc de 0,1/5 g soit 0,02 g pour toute mesure effectuée avec cette balance.

Le résultat de la mesure comprendra une série de chiffres lus de façon certaine, plus un dernier chiffre basé sur la précision de l’observation, tous ces chiffres étant appelés « CHIFFRES SIGNIFICATIFS ». Dans le cas de notre balance, une mesure à 4

chiffres significatifs pourrait être, par exemple, (((( ))))13,24±0,02 g . Il est bien évident

que seuls les chiffres significatifs peuvent figurer comme résultats de mesures.

Erreur due à l’observateur

Prenons le cas d’une mesure de temps effectuée au moyen d’un chronomètre précis au 1/100e de seconde. Il est certain que le résultat dépendra fortement des réflexes de l’observateur au moment où il débutera la mesure et au moment où il l’arrêtera. L’évaluation de l’erreur due à ces réflexes est évidemment très difficile à effectuer et une manière de l’apprécier consistera à répéter la mesure un certain nombre de fois dans les mêmes conditions. L’erreur sur la mesure est alors déterminée de manière

x - ∆x

x - ∆x

x - ∆x

x + ∆x

x + ∆x

x + ∆x

x

x

x

X

X

X


statistique au moyen de la théorie des probabilités dont nous allons donner les éléments principaux.

2.5. Théorie des probabilités - erreur statistique

La valeur moyenne : Pour illustrer cette théorie, nous considérons l’exemple suivant : on mesure 10 fois le temps mis par une bille pour parcourir une distance fixée sur un rail incliné, les temps mesurés étant les suivants :

On constate qu’il n’existe pas de valeur définie du temps recherché, mais nous

pouvons en calculer la valeur moyenne t en additionnant tous les temps mesurés et en divisant cette somme par le nombre total n de mesures, ce qui donne par définition

1,92+1,82+1,86+1,81+1,86+1,92+1,82+1,74+1,97+1,79

10

=1,85s.

n

ii 1

1t t

n ========

====

∑∑∑∑

L’écart-type : Pour déterminer la précision de la valeur moyenne, nous devons calculer une grandeur qui mesure la dispersion des différents résultats autour de celle-ci. La théorie des probabilités montre que la meilleure manière d’exprimer la précision

d’une mesure consiste à utiliser l’écart-type ts défini comme la racine carrée de la

quantité obtenue en divisant la somme des carrés des écarts entre chaque mesure et la moyenne par le nombre de mesures diminué d’une unité, soit

(((( ))))n

2

ii 1

t

t t

s .n 1

====

−−−−====

−−−−

∑∑∑∑

Répartition des mesures autour de la valeur moyenne :

t (s) 1,92 1,82 1,86 1,81 1,86 1,92 1,82 1,74 1,97 1,79


Si la dispersion qui apparaît dans la série de mesures n’est due à aucune déviation systématique mais provient uniquement de fluctuations statistiques, la théorie des probabilités nous indique que 68% (soit un peu plus des deux tiers) des mesures ne diffèrent pas de plus d’un écart-type de la valeur moyenne.

Dans notre exemple, nous voyons ainsi que 8 mesures sur dix sont comprises entre 1,85-0,07=1,78 s et 1,85+0,07=1,92 s, et nous pouvons être sûrs que la prochaine fois que nous ferons la même mesure, il y aura 68% de chances que le temps mesuré ne soit pas plus petit que 1,78 s ni plus grand que 1,92 s. Bien sûr, si nous prenons un domaine d’écart plus grand que l’écart-type, la probabilité d’y trouver une mesure augmente comme le montre le tableau suivant :

Etant donné les valeurs dans ce tableau, si nous prenons une seule mesure de temps, la vraie valeur se situera à moins de trois écart-types de cette mesure et nous choisirons donc cet écart comme erreur aléatoire absolue sur le temps, soit ∆t = 3st.

2.6. Propagation des erreurs

De nombreuses grandeurs physiques dépendent ou sont fonctions de plusieurs quantités fondamentales ; c’est-à-dire que pour connaître une grandeur physique, on est souvent appelé à effectuer diverses mesures. Par exemple, pour connaître une force, on peut appliquer la formule F=ma et il faut d’abord mesurer la masse m ainsi que l’accélération a. Les erreurs de mesures sur ces grandeurs se combinent alors pour former d’autres erreurs sur la grandeur physique à évaluer. L’estimation des erreurs dérivées à partir de leurs composantes constitue la théorie de propagation des erreurs.

Si nous voulons calculer l’erreur ∆∆∆∆z sur une quantité z F(w,x,y)==== calculée à partir

des valeurs expérimentales w, x et y entachées des erreurs expérimentales ∆∆∆∆w, ∆∆∆∆x et

∆∆∆∆y, nous écrirons

.F(w,x, y) F(w,x,y) F(w,x,y)

z w x yw x y

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∆ ∆ + ∆ + ∆∆ ∆ + ∆ + ∆∆ ∆ + ∆ + ∆∆ ∆ + ∆ + ∆∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

≃≃≃≃

Pour information: Cette formule est basée sur le développement en série de Taylor d’une fonction F, permettant d’obtenir une approximation au premier ordre de la variation de cette fonction au voisinage d’un point donné.

1 écart-type ~ 68%1,5 " " ~ 87%2 " " ~ 96%2,5 " " ~ 99%3 " " ~ 100%


2.7. Exemple résolu

Considérons une particule, initialement au repos, que l’on soumet à une certaine force et dont on mesure le déplacement durant un temps donné. Les données expérimentales étant les suivantes

(((( ))))(((( ))))(((( ))))

3,2 0,1 g

43,1 0,5 cm

15,2 0,3 s

m

t ,

= ±= ±= ±= ±

= ±= ±= ±= ±

= ±= ±= ±= ±

ℓℓℓℓ

on désire calculer la valeur de la force appliquée et l’erreur sur cette valeur.

Nous pouvons donc écrire que

et2

F ma

at,

2

====

====ℓℓℓℓ

ce qui entraîne que

(((( ))))-5

2

2 2 0,0032kg 0,431m1,1939 10 N.

15,2s2

mF

t

× ×× ×× ×× ×= = = ×= = = ×= = = ×= = = ×ℓℓℓℓ

Pour calculer l’erreur sur F, nous appliquons la formule générale qui donne, dans ce cas-ci,

(((( )))) (((( )))) (((( ))))-4 -3

2 2 3

-7 -6

2 2 4

2×0,431m 2×0,0032kg 4×0,0032kg×0,431m10 g 5 10 m 0,3s

15,2s 15,2s 15,2s

9,83 10 N 1 10 N.

2 2 3

m mF m t

t t t∆ = ∆ + ∆ + ∆∆ = ∆ + ∆ + ∆∆ = ∆ + ∆ + ∆∆ = ∆ + ∆ + ∆

= × + × × + ×= × + × × + ×= × + × × + ×= × + × × + ×

= × ≈ ×= × ≈ ×= × ≈ ×= × ≈ ×

ℓ ℓℓ ℓℓ ℓℓ ℓℓℓℓℓ

Le résultat final devra donc s’écrire sous la forme

(((( )))) -51,2 0,1 10 N.F = ± ×= ± ×= ± ×= ± ×

2.8. Exercices

Nous proposons une série d’exercices sur le calcul d’erreur en indiquant seulement le résultat au point suivant.

2.8.1. Vitesse moyenne


On mesure la vitesse moyenne v d’un objet à l’aide du temps t mis pour atteindre la position x à partir de la position x0 selon la formule

0x xv

t

−−−−==== .

Calculer la valeur de la vitesse moyenne et les erreurs absolue et relative sur cette vitesse à l’aide des données suivantes :

(((( ))))(((( ))))(((( ))))

2,15 0,05 m

7,35 0,05 m

9,1 0,3 s.

0x

x

t

= ±= ±= ±= ±

= ±= ±= ±= ±

= ±= ±= ±= ±

Présenter le résultat de la vitesse moyenne correctement arrondi au bon nombre de chiffres significatifs et accompagné de son unité.

Solution :

(((( ))))

0,5714 m/s,

0,052 5%,

0,0298 0,03 m/s,

0,57 0,03 m/s.

v

v

v

v

v

====∆∆∆∆ = ≈= ≈= ≈= ≈

∆ = ≈∆ = ≈∆ = ≈∆ = ≈= ±= ±= ±= ±

2.8.2. Energie mécanique

Un oiseau de masse m vole à la vitesse constante v, à une altitude constante h. Son énergie totale E s’écrit

21E mv mgh

2= += += += +

.

Calculer la valeur de l’énergie totale et les erreurs absolue et relative sur cette énergie à l’aide des données suivantes :

(((( ))))(((( ))))(((( ))))

500,1 0,1 g

20 1 km/h

230 1 m.

m

v

h

= ±= ±= ±= ±

= ±= ±= ±= ±

= ±= ±= ±= ±

Présenter le résultat correctement arrondi au bon nombre de chiffres significatifs et accompagné de l’unité qui convient (prendre g=9,81 m/s2).

Solution :


(((( ))))

1136,09 J,

5,90 6 J,

0,0052 0,5%,

1136 6 J.

E

E

E

E

E

====∆ = ≈∆ = ≈∆ = ≈∆ = ≈∆∆∆∆ = ≈= ≈= ≈= ≈

= ±= ±= ±= ±

2.8.3. Rythme cardiaque

Pour estimer le rythme cardiaque d’un patient, un médecin prend le pouls de ce dernier et compte le nombre de battements n=44 perçus, tout en mesurant le temps t=30 s à l’aide de la trotteuse de sa montre. Sachant qu’il peut commettre une erreur

de comptage du nombre de battements (∆∆∆∆n=1 battement) et que son temps de réflexe est de 0,2 s, estimer la fréquence cardiaque du patient ainsi que les erreurs absolue et relative sur la mesure de cette fréquence. NB : attention à l’erreur sur le temps qu’il faut considérer.

Solution :

(((( ))))

1,467 Hz ,

0,056 6%,

0,087 0,08 Hz,

1,47 0,08 Hz.

υ =υ =υ =υ =∆υ∆υ∆υ∆υ = ≈= ≈= ≈= ≈υυυυ

∆υ = ≈∆υ = ≈∆υ = ≈∆υ = ≈υ = ±υ = ±υ = ±υ = ±

2.8.4. Force résultante

La composante de la résultante de deux forces suivants l’axe horizontal s’écrit

x 1 1 2 2R F cos F cos= θ − θ= θ − θ= θ − θ= θ − θ

.

Calculer la valeur de cette composante de la résultante ainsi que les erreurs absolue et relative à l’aide des données suivantes :

(((( ))))(((( ))))(((( ))))(((( ))))

1,5 0,2 N

0,7 0,2 N

18 3 degrés

7 3 degrés.

1

2

1

2

F

F

= ±= ±= ±= ±

= ±= ±= ±= ±

θ = ±θ = ±θ = ±θ = ±

θ = ±θ = ±θ = ±θ = ±

Présenter le résultat correctement arrondi au bon nombre de chiffres significatifs et accompagné de l’unité qui convient.

Solution :


(((( ))))

0,7318 N ,

0,4175 N 0,4 N,

0,57 60%,

0,7 0,4 N.

x

x

x

x

x

R

R

R

R

R

====∆ = ≈∆ = ≈∆ = ≈∆ = ≈∆∆∆∆ = ≈= ≈= ≈= ≈

= ±= ±= ±= ±

2.8.5. Pendule

La période d’oscillation d’un pendule de longueur ℓℓℓℓ est mesurée en comptant un nombre n d’oscillation et le temps t mis pour les effectuer. Si l’amplitude des oscillations est suffisamment petite, l’accélération de la pesanteur g peut être déterminée au moyen d’une telle mesure grâce à la formule :

T 2g

= π= π= π= π ℓℓℓℓ

Calculer l’accélération de la pesanteur g et les erreurs absolue et relative commises à l’aide des mesures suivantes :

(((( ))))(((( ))))

20 oscillations

39,9 0,3 s

1,00 0,01 m.

n

t

===== ±= ±= ±= ±

= ±= ±= ±= ±ℓℓℓℓ

Présenter le résultat correctement arrondi au bon nombre de chiffres significatifs et accompagné de l’unité qui convient.

Solution :

(((( ))))

2

2

2

9,919 m/s ,

0,248 0,25 m/s ,

0,0250 2,5%,

9,92 0,25 m/s .

g

g

g

g

g

====∆ = ≈∆ = ≈∆ = ≈∆ = ≈∆∆∆∆ = ≈= ≈= ≈= ≈

= ±= ±= ±= ±


3. Cinématique de la Bille B1

OBJET DU LABORATOIRE :

Cette séance est consacrée à l’étude du mouvement uniformément accéléré d'une bille à une et deux dimensions. La première partie consiste à calculer l’accélération expérimentale du mouvement rectiligne de la bille B1 le long d'un plan incliné. La deuxième partie étudie le mouvement de chute à deux dimensions de la bille une fois qu'elle a quitté le rail.

EXPERIENCE :

Mouvements uniformément accélérés d’une bille à une et deux dimensions.

Travail préliminaire :

Mouvement rectiligne : Rappeler les équations de la cinématique pour le mouvement rectiligne uniformément accéléré. Donnez la formule littérale de l’accélération de la bille en fonction de la vitesse initiale du mouvement v02 et du temps t pour parcourir une distance x. Trouver ensuite la vitesse v03 acquise en fin de rail (distance x1).

Mouvement parabolique : La bille quitte ensuite le rail à une hauteur h1+h2 du sol. Calculer la portée L de la trajectoire parabolique en fonction de la vitesse v03 acquise par la bille B1 à l’extrémité du rail.

Protocole expérimental et mesures

Matériel nécessaire :

♦ rail

♦ chariot + dispositif de détection de mouvement

♦ une bille en acier de 1,5 cm de diamètre

♦ une grande feuille de papier blanc

♦ une grande feuille de papier carbone

♦ un fil à plomb

♦ du papier adhésif

♦ un mètre ruban

♦ du papier millimétré

Démarche expérimentale :

� Réaliser le montage en se référant à la vue de droite du montage du projet en page 9. Placer le charriot sur le rail incliné et déposer la bille devant le charriot.

Guide de travaux pratiques en mécanique newtonienne,

Deux dispositifdépart du chariot et Le temps mis pour pdispositifs sur le rail et sur le chariot. Pour ce faire, on pourra se référer à la documentation du matériel disponible en salle de laboratoire.

� Déposer au pied de la table une feuille de papier blaadhésif et, au moyen d'un fil à plomb, y indiquer l’origine des positions par rapport à laquelle la portée sera mesurée.feuille.

� Pour 3 différentes positions initiales (masse quelconque dans le godet chariot en mouvement en le lâchant. temps de parcours du chariotici la vitesse initi

� Pour chaque distance, mesurer la portée B1.

� Mesurer la hauteur de chute

Traitement des données

Calculer l’accélération du mouvement rectiligne. Estchaque distance

A partir de l’accélération, calculer la vitesse de la bille B1 en bout de rail pour chaque distance. Détailler son calcul d’erreur.

Tracer le graphe théorique de la portée en fonction de la vitesse dbout de rail et reporter vos points expérimentaux en indiquant clairement les intervalles d’erreur sur la portée et la vitesse.

Conclusion

Le graphe théorique estréponse est négative, répertopertinentes qui n’ont pas été prises en compte.

Utilisation des résultats dans le cas du dispositif expérimental global

Compte tenu de la vitesse initiale partie 5), établir les équations permettant d’une part de calculer la vitesse la bille B1 en sortie de rail R1expérimentalement)même rail.


Deux dispositifs de détection de mouvement seront placés départ du chariot et à trois-quarts de la distance x1 à partir de cette position. Le temps mis pour parcourir cette distance sera ainsi dispositifs sur le rail et sur le chariot. Pour ce faire, on pourra se référer à la documentation du matériel disponible en salle de laboratoire.

Déposer au pied de la table une feuille de papier blanc, la coller avec du papier adhésif et, au moyen d'un fil à plomb, y indiquer l’origine des positions par rapport à laquelle la portée sera mesurée. Placer le papier carbone sur la

Pour 3 différentes positions initiales (x1=100 cm, 80 cm, 6masse quelconque dans le godet G1 tout en retenant le chariot, puis me

riot en mouvement en le lâchant. Dans chaque cas, effectuer la mesure du emps de parcours du chariot. A noter qu’à la différence du cas du projet final,

la vitesse initiale du mouvement v02 est nulle.

Pour chaque distance, mesurer la portée L de la chute parabolique de la bille

Mesurer la hauteur de chute h1+h2.

Calculer l’accélération du mouvement rectiligne. Est-ce bien la mêchaque distance ? Détailler son calcul d’erreur.

A partir de l’accélération, calculer la vitesse de la bille B1 en bout de rail pour chaque distance. Détailler son calcul d’erreur.

Tracer le graphe théorique de la portée en fonction de la vitesse dbout de rail et reporter vos points expérimentaux en indiquant clairement les intervalles d’erreur sur la portée et la vitesse.

Le graphe théorique est-il compatible avec le graphe expérimentalréponse est négative, répertorier clairement toutes les sources d’erreurs pertinentes qui n’ont pas été prises en compte.


Compte tenu de la vitesse initiale v02 du charriot C1 (qui sera déterminée à la partie 5), établir les équations permettant d’une part de calculer la vitesse la bille B1 en sortie de rail R1 (qui dépendra de son accélération, mesurée expérimentalement), et d’autre part la portée L par rapport à l’extré

de détection de mouvement seront placés à la position de à partir de cette position.

ainsi mesuré. Installer ces dispositifs sur le rail et sur le chariot. Pour ce faire, on pourra se référer à la documentation du matériel disponible en salle de laboratoire.

nc, la coller avec du papier adhésif et, au moyen d'un fil à plomb, y indiquer l’origine des positions par

Placer le papier carbone sur la

=100 cm, 80 cm, 60 cm), déposer une tout en retenant le chariot, puis mettre le Dans chaque cas, effectuer la mesure du

A noter qu’à la différence du cas du projet final,

de la chute parabolique de la bille

ce bien la même pour

A partir de l’accélération, calculer la vitesse de la bille B1 en bout de rail pour

Tracer le graphe théorique de la portée en fonction de la vitesse de la bille en bout de rail et reporter vos points expérimentaux en indiquant clairement les

il compatible avec le graphe expérimental ? Si la rier clairement toutes les sources d’erreurs


(qui sera déterminée à la partie 5), établir les équations permettant d’une part de calculer la vitesse v03 de

(qui dépendra de son accélération, mesurée par rapport à l’extrémité de ce


Préparer le calcul d’erreur sur L en fonction de ∆v03, ∆θ1 et ∆t, les erreurs respectives sur v03, θ1 et le temps de chute t de la bille B1. Cette erreur fera partie de la chaîne des calculs d’erreur demandés lors de la réalisation du rapport final.


4. Dynamique de la bille B0


Cette séance est consacrée à l’étude du mouvement d’une bille qui roule sur un rail incliné sans glisser sous l’effet d’une force constante. C’est le cas de la bille B0, dans le cadre de ce projet. L’expérience tend à mettre en évidence l’effet du moment d’inertie du corps sur son accélération linéaire.

EXPERIENCE :

Étude du mouvement de roulement d’une bille sur un rail incliné


Démontrer que l’accélération linéaire d’un corps de masse m qui dévale une

pente faisant un angle θθθθ avec l’horizontale, en tournant autour d’un axe de rayon r, vaut :

2

gsina

I1

mr

θθθθ====++++

où I est le moment d’inertie du corps par rapport à l’axe de rotation.

Retrouver l’expression du moment d’inertie I d’une sphère pleine de rayon r.

En déduire qu’une bille de rayon r qui roule sur un rail faisant un angle θθθθ avec l’horizontale, en s’appuyant sur lui en deux points séparés par une distance d,

subit une accélération gsin

a1,56

θθθθ==== lorsque d=8,0mm

et r=7,5 mm.

Réfléchir aux rôles respectifs joués par la masse et le moment d’inertie du solide roulant sur le rail sur la vitesse du solide en sortie de rail. Quelles sont les solutions expérimentales pour obtenir une vitesse de sortie plus grande ?



♦ 2 statifs

♦ 1 rail en aluminium d’1m de longueur – rail R0

♦ bille

♦ 4 noix

r

d


♦ une barre en acier inoxydable de 50 cm

♦ une balance

♦ un micromètre

♦ un mètre ruban

♦ un chronomètre


� Mesurer les dimensions (à l’aide du micromètre) et la masse de la bille.

� Réaliser le montage en se référant à la partie droite de la vue de face du montage global du projet en page 8 de ce document. L’une des extrémités du rail doit être en bordure de table, et l’inclinaison du rail est ajustée à l’aide des deux statifs et de la barre transversale qui le supportent.

� Effectuer 4 fois les mesures suivantes : pour des angles θθθθ=0.05, 0.06, 0.07, 0.08, 0.09, 0.10 radian, lâcher la bille à une distance de 60cm (mesurée précisément) de l’extrémité du rail en bordure de table et mesurer le temps mis par la bille pour parcourir cette distance.

Traitement des données

Calculer la valeur du moment d’inertie I de la bille et de son erreur ∆I à partir de l’expression déterminée lors du travail préliminaire (en g.cm2).

Expliciter la formule littérale permettant d’obtenir l’accélération expérimentale aexp de la bille le long du rail.

Expliciter et justifier le calcul de l’erreur absolue ∆∆∆∆aexp .

À l’aide de vos mesures et des formules littérales de aexp, et ∆∆∆∆aexp construire le tableau de résultats suivant :

θ sin θ aexp ± ∆aexp

Pour les valeurs de θθθθ comprises entre 0,05 et 0,1 radian, tracer le graphique

théorique de l’accélération en fonction de sinθθθθ et y reporter les points expérimentaux.

Conclusion


Les graphes théoriques sont-ils compatibles avec les graphes expérimentaux ? Si la réponse est négative, réfléchir aux sources d’erreurs qui n’ont pas été prises en compte.


Reprendre les calculs pour le dispositif expérimental décrit par les plans de la partie 1 de ce document, afin de calculer :

- L’accélération de la bille B0 en fonction de l’angle θ0.

- Comme vu à la séance consacrée à la cinématique de la bille B1, calculer (littéralement) la vitesse vectorielle v01 de B0 en sortie du rail R0.

- Déterminer les équations du mouvement de chute de la bille après sa sortie de rail (accélération, vitesse et position), et connaissant les contraintes h0, l1 et h3 (qui définissent la position du godet G1 qui doit se trouver sur la trajectoire de la bille), en déduire x0 (le positionnement initial de B0 sur R0) en fonction des deux quantités calculées précédemment.

- Enfin, déterminer la vitesse de la bille au point d’impact avec le godet G1 (cette vitesse sera utilisée dans le calcul de choc qui déterminera la vitesse initiale du chariot C1).

Calculer l’erreur sur les variables ainsi calculées. Ces calculs d’erreurs ne seront pas demandés dans le rapport final, mais pourront faire l’objet de points « bonus » si fournis et corrects.


5. Choc bille B0 – godet G1 et montage final


Cette séance est consacrée à l’étude du choc entre la bille B0 et le godet G1 du montage final. Deux objectifs sont à atteindre. Le premier est de déterminer la vitesse acquise par l’ensemble {B0, G1, C1, B1} après le choc (réception de B0 dans G1). Enfin, il s’agit de reconstituer le montage global en fonction du calcul théorique global prévoyant le point de chute de la bille B1.

EXPERIENCE :

Étude du choc B0 – G1


Le choc B0 – G1 peut-il être considéré comme élastique ? inélastique ? Justifier en précisant les précautions expérimentales prises afin de vérifier l’hypothèse choisie.

A partir de la loi de conservation de la quantité de mouvement, établir le lien entre la vitesse de la bille B1 avant le choc et la vitesse v02 de l’ensemble {B0, G1, C1, B1} juste après le choc (donc vitesse initiale du mouvement de translation de {C1, B1}). On fera particulièrement attention au fait que l’équation de conservation de la quantité de mouvement est vectorielle et aux hypothèses faites pour déterminer les vitesses après le choc.

A partir de l’étude sur la cinématique effectuée à la partie 3, et étant donné la distance l1 fixée, calculer numériquement la vitesse de B0 avant le choc ainsi que v02, aux approximations près (qui seront précisées).

Faire une hypothèse réaliste pour l’erreur relative sur v02. Justifier cette hypothèse en fonction des conditions expérimentales réelles pendant le choc, et des hypothèses déjà formulées ci-dessus.

Synthèse de l’étude globale

A partir de l’ensemble des travaux effectués, reconstituer la chaine des calculs théoriques, depuis la position initiale de la bille B0 jusqu’au mouvement de chute libre de la bille B1, et prévoir la distance horizontale L du point de chute de la bille par rapport à l’extrémité du rail R1.




L’ensemble du matériel à disposition pour ce projet.


� Monter le dispositif global en accord avec les calculs théoriques préliminaires.

� Placer un godet de réception au point de chute prévu pour la bille B1.

� Réaliser l’expérience

Conclusions :

On conclura sur la réussite ou la non-réussite de l’expérience, en présentant l’écart entre les valeurs théoriques et réelles de L par rapport à l’erreur théorique calculée à priori. On présentera également la valeur et l’erreur sur chacune des quantités intervenant dans la chaîne de calcul de L en fonction de v02. On précisera notamment, le cas échéant, les causes d’un point de chute mal estimé en argumentant sur la probabilité de ces causes.

Résumé schématique des calculs demandés dans le rapport :

La notation y = f(x) signifie « calcul de y en fonction de x ».

Abordé en séance n°1

L = f(v03) + ∆L = f(∆v03)

v03 = f(v02) + ∆v03 = f(∆v02)


v01 = f(l, h0, h3, θ0)

x0 = f(v01) � v01 = f(x0) (1)

vx(t*), vy(t*) (vitesses

horizontale et verticale de B0 juste avant impact dans G1) =

f(v01)


v02 = f(vy(t*)), hypothèse sur

∆v02/v02

(1) Cette étape nécessite le calcul de l’accélération théorique a0 de la bille B0 lors de son roulement sur le rail R0.

I

II

III IV

V

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