ENPEI

Année universitaire 2006-2007

COURS DE PHYSIQUE QUANTIQUEET

NUCLEAIRE

Professeur Arezki AMOKRANE

PROGRAMME DE PHYSIQUE NUCLEAIRE ET QUANTIQUE

MODULE Semestriel COEFFICIENT 2 VOLUME HORAIRE 54h00 :Cours : 22h30 TD : 22h3O TP : 09hOO (3 séances de 3h)

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Première partie : éléments de Mécanique quantique et de Physique atomiqueAspect corpusculaire du rayonnement

Rayonnement du corps noirQuantification Effet photo électrique et effet Compton

Aspect ondulatoire des particules matérielles Expérience de diffraction des électrons, hypothèse de Broglie

Paquet d'onde, vitesse de phase, vitesse de groupe et vitesse de phaseCaractère universel de la dualité onde corpuscule

Equation de SchrödingerRègle générale de formation de l'équation d'onde de Schrödinger par le principe de correspondance.Notion de fonction d 'onde et interprétation statistique, relation d'incertitude Applications à des systèmes simples, saut, puits, barrière de potentiel, effet tunnel etc.

Applications à l’atome d’hydrogène L’oscillateur harmonique

Deuxième partie : Introduction a la physique nucléaire

Notions sur la structure des noyaux, nucléons Modèle en couches du noyau du noyau

Introduction aux réactions nucléaires : application à l’énergie nucléaire Radioactivité, caractéristiques des rayonnements, mesures radioprotection, applications

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Avant propos

Ce cours est une introduction à la Physique atomique et à la Physique nucléaire. Il comprend quelques éléments de Mécanique quantique avec la dualité onde

corpuscule et l’équation de Schrödinger résolue dans des cas simple et une application à l’atome d’hydrogène.

Quelques éléments de Physique atomique sont exposés avec notamment les rayons X et leurs applications.

La dernière partie est consacrée à l’introduction à la Physique Nucléaire et l’application de la radioactivité et à l’énergie nucléaire

Ce cours est inspiré des excellents ouvrages de Messieurs J.Hadik, C.Ngo pour la mécanique quantique, Max Born, L.Lopes, B.Cagnac et J.C.Pébay-Péroula, Aria pour la Physique atomique et H. .Enge, P.Fleury et J.P.Mathieu, D.Blanc et L. Valentin pour la Physique Nucléaire.

Il est destiné aux étudiants du premier cycle universitaire.

L’auteurPr A.Amokrane

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Chapitre I

INTRODUCTIONMatière et rayonnement

I-Introduction : matière et rayonnement, énergie

Nous rencontrons dans la nature :- la matière dont sont constitués les objets et les êtres vivants,- les rayonnements tels que la lumière et le son produits par la matière.

L’étude de la matière montre que celle-ci est constituée d’atomes formant généralement des molécules.

Selon la température la matière se présente sous forme de liquide, de solide ou de gaz dans lequel les molécules sont en perpétuel mouvement (agitation thermique).

Dans la théorie corpusculaire de la matière, les corpuscules obéissent aux lois de la mécanique. Ils possèdent une masse m . Quand ils sont en mouvement ils ont une vitesse v , donc une quantité de mouvement et une énergie totale W=mc2 (relation d’équivalence d’Einstein où c est la vitesse de la lumière).

La masse du corpuscule varie avec la vitesse selon l’expression

, avec =v/c.

On montre que W2 = p2c2 + mo2c4 où p est la quantité de mouvement définie

précédemment.Selon la valeur de , on a affaire à la mécanique non relativiste pour v faible ou à la

mécanique relativiste lorsque vc/10.L’énergie cinétique de la particule est la différence entre son énergie totale W et la

quantité moc2 dite énergie de masse au repos, Ec = W - moc2.

Comme , en utilisant le développement en série,

f(x)=f(0)+f’(0)x/1!+ f’’(0)x/2!+…., nous obtenons :

et

Nous voyons que lorsque v est faible devant c, les termes d’ordre élevé peuvent être négligés et nous avons alors qui est la valeur bien connue de l’énergie cinétique en mécanique non relativiste.

L’énergie mécanique Em est la somme entre l’énergie cinétique Ec et l’énergie potentielle Ep

Em = Ec + Ep

L’énergie totale est alors WT = W + Ep = Em + moc2.II-Les radiations électromagnétiques

Maxwell a montré en 1872 qu’on peut considérer tout rayonnement monochromatique (visible ou non) comme lié à la propagation d’un champ électrique E et d’un champ magnétique H perpendiculaires, ayant la fréquence du rayonnement.

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Un rayonnement est le plus souvent la superposition de plusieurs radiations monochromatiques, qui peuvent être séparées (décomposées) à l’aide d’appareils adéquats.(prismes, réseaux, etc…

Une radiation monochromatique est une vibration (onde) qui se propage sans altération dans les milieux parfaitement transparents. Elle est solution de l’équation dite de propagation

Pour un champ électrique parallèle à l’axe Ox, nous avons

, avec

Une onde qui se propage suivant une direction, Oz par exemple, est une onde plane, le champ ne dépend que d’une seule coordonnée.

Dans ce cas, nous avons ,

et .

La dernière équation admet comme solution Ez = Emsin2(x/-t).

L’onde est caractérisée par sa période T=2/ et sa fréquence = 1/T= /2.Toutes les radiations électromagnétiques se propagent dans le vide avec la même

vitesse c. On dit que le vide n’est pas dispersif, c est la vitesse de la lumière dans le vide.

c = 299 792,9 0,8 km/s.On définit également une radiation monochromatique par sa longueur d’onde dans le

vide =cT=c/.Le champ électrique s’écrit alors Ez = Emsin2(x/-t). La vitesse de propagation dans un milieu transparent et isotrope dépend du milieu et

est inférieur à c, v=c/n, où n représente l’indice du milieu.

Les ondes électromagnétiques sont classées en fonction de leur longueur d’onde.

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E

H

0,1Å

100 Å

0,4

0,7

0,8+

200

1cm

100m

Ondes hertziennesIRVisibleUVRX

III-Energie des ondes électromagnétiques

En un point où règne un champ électromagnétique E, la densité d’énergie (ou énergie volumique) est donnée par u = E2 où est la permittivité du vide.

On montre en électromagnétisme que le champ électrique et le champ magnétique sont

reliés par la relation où et sont respectivement la perméabilité magnétique et la

permittivité du milieu.

On en déduit que u = H2 = .

Le champ électrique et le champ magnétique étant perpendiculaires, on peut introduire le vecteur de Pointing , colinéaire à c.

On a alors .

L’énergie dans une région R est l’intégrale de u dans cette région

.

On peut mettre en évidence le fait que les ondes électromagnétiques transportent de l’énergie, par l’échauffement d’une plaque lorsqu’elle est frappée par un rayonnement provenant d’un corps (rayonnement thermique par exemple) ou la mise en mouvement d’une plaque par la pression de radiation.

IV- Production des ondes électromagnétiques

Les ondes électromagnétiques libres ont été obtenues par Hertz en 1888. Celui-ci a utilisé les oscillations électriques propres d’un doublet (appelé oscillateur de Hertz), constitué de deux tiges métalliques identiques portant à leurs bouts une sphère chargées par une source à haute tension et un éclateur. Lorsque la différence de potentielle entre les éclateurs atteint une valeur assez élevée (tension disruptive), une étincelle jaillit entre les deux éclateurs rendant conducteur l’espace entre eux, les charges de S et S’ tendant à se neutraliser. Un phénomène d’oscillations propres s’établit dans le conducteur constitué par les deux tiges . Un champ électrique est produit dans l’espace entourant les deux tiges. La détection des ondes se fait à l’aide d’un doublet de forme analogue.

Sous l’action du champ électrique variable de l’onde

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Face noire

Face blanche

O_

L

L

Tube à décharge

S

S’

E

E’

E

électromagnétique, un phénomène d’induction se produit dans le circuit détecteur (doublet) dont les électrons commencent à effectuer des oscillations forcées, donnant lieu à un courant électrique rapidement variable pouvant produire l’allumage d’un tube à décharge miniature.

V- Conclusion

Nous venons de voir ce que c’est une onde électromagnétique.Nous verrons dans les prochains chapitres comment une onde peut se comporter

comme un corpuscule et comment un corpuscule peut se comporter comme une onde. C’est ce que l’on désigne par la dualité onde-corpuscule, qui sont deux aspects complémentaires.

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Chapitre II

RAYONNEMENT DU CORPS NOIRET

QUANTIFICATION DE L’ENERGIE

I-Introduction

Les corps portés à haute température émettent un rayonnement( éclairage par incandescence). Celui-ci provient des atomes qui émettent des ondes électromagnétiques . La couleur du rayonnement évolue du rouge au blanc lorsque la température du corps s’élève. Elle est donc l’indice de la température du corps. Le rayonnement émis par un corps ne dépend que de la température et non de la nature du corps (théorème de Kirchhoff).

II- Corps noir

L’étude du rayonnement thermique s’effectue à l’aide d’une enceinte close dont les parois sont maintenues à une température T bien définie. Les parois de la cavité échangent entre elles de la chaleur sous forme de rayonnement de sorte que règne dans l’enceinte un champ électromagnétique. L’étude est menée en perçant un petit trou dans l’enceinte de sorte que le rayonnement (ou l’énergie) perdu soit négligeable , ( un rayon lumineux qui entrerait par ce trou a en effet très peu de chance d’en ressortir, car il subit de multiples réflexion sur les parois au cours desquelles il est absorbé). Il en est de même des rayons émis par les parois. C’est pour cela qu’on appel ce phénomène rayonnement du corps noir. C’est un corps idéal tel que tout rayonnement qui frappe sa paroi est entièrement absorbé.

Le rayonnement du corps noir est caractérisé par son intensité I() qui ne dépend ni de la nature du corps, ni des caractéristiques géométriques de la cavité, mais uniquement de la température. La puissance dP rayonnée par unité de surface dans la bande de fréquence et +d est définie par :

dP = I()d (annexe III)L’énergie dE rayonnée dans une direction

faisant un angle avec la normale à la surface, dans un angle solide d autour de cette direction et pendant le temps dt est :dE = I(,T)d dS cos dt d Introduisons la densité d’énergie u(,T) du rayonnement par unité de volume dv et pour une fréquence comprise entre et +d. Par définition

u d = dE/dv (densité d’énergie ou énergie par unité de volume).

Le volume dv est celui du cylindre de base dScos et de longueur cdt (distance parcourue par la lumière pendant le temps dt). L’énergie émise dans l’angle solide d est donnée par :

dE = u d dv d/4 (le facteur 4 est dû à l’isotropie du rayonnement).

En égalant à la relation précédente, on obtient

N

d

cdt

dS

u = 4 I(,T)/c=4P(,T)/c . La mesure de l’intensité I(,T) permet de déterminer u.Le spectre du rayonnement du corps noir est un spectre continu, ( I() est une fonction

continu de ). Il est indépendant de la taille et de la forme de la cavité ainsi que de la nature du matériau. On obtient la même courbe pour tous les fours ayant la même température T.

L’aire sous la courbe est donnée par P = T4 ( loi de Stephan).L’étude expérimentale montre que la valeur de I() part de zéro, augmente de façon

exponentielle, passe par un maximum pour max telle que max.T = cte= 0.2898cm.K (loi du déplacement de Wien, max se déplace quand T varie), puis décroît comme exp(-C/T).

Rayleigh et Jeans ont donné une loi, selon laquelle I()=2. Cette loi est manifestement incorrecte puisqu’elle ne rend pas compte du maximum de la courbe, ni de la décroissance au-delà du maximum (m).

La théorie classique du rayonnement électromagnétique, élaborée par Rayleigh et Jeans, est basée sur le théorème selon lequel « le champ électromagnétique dans une cavité fermée est équivalent à un ensemble dénombrable d’oscillateurs harmoniques linéaires et indépendants tels que l’énergie de ce champ est la somme des énergies des oscillateurs, associés deux à deux à chaque fréquence ».

Le problème revient donc à évaluer le nombre des oscillateurs (atomes) associés au rayonnement électromagnétique. Celui-ci est donné par le nombre de modes de vibration, c’est à dire le nombre des ondes stationnaires dont la cavité est le siège.

Selon la théorie classique, à la température d’équilibre T, l’onde électromagnétique forme à l’intérieur de la cavité des ondes stationnaires. Le nombre de ces ondes (ou modes de vibration) dépend de la longueur d’onde .

Selon que celle-ci est petite ou grande , le nombre de modes est plus grand ou plus petit. Des calculs détaillés (annexe I) montrent que le nombre de modes est donné par l’expression

dg = (82/c3)dL’énergie des oscillateurs est calculée à partir de la loi d’équipartition de l’énergie de

Boltzmann, selon laquelle la population de chaque niveau (nombre d’atomes dans le niveau d’énergie Ei) est donnée par Ni=Noexp(-Ei/kT), l’énergie moyenne est alors

, où k est la constante de Boltzmann k=1,38 10-23 Joules/degré.

Il lui correspond la densité d’énergie égale au produit du nombre dg de modes de vibration par l’énergie kT de l’oscillateur

u = (82/c3)kT.On voit que cette expression ne rend compte que de la partie croissante (basses

fréquences) de la courbe mais ne peut pas expliquer la partie décroissante (hautes fréquences). En particulier lorsque est grand (cas des rayons Ultra Violet), u devient infinie, c’est ce qu’on appelle la catastrophe de l’Ultraviolet.

III- Loi de Planck

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T croissanteI(,T)

Pour retrouver l’allure de la courbe I(), Max Planck proposa en 1900, l’idée de quantification de l’énergie selon laquelle l’énergie que peut recevoir ou donner un oscillateur linéaire ne varie pas de façon continue mais par quantité discrète E = h (d’où le nom de quantum d’énergie). Par conséquent un oscillateur linéaire ne peut posséder qu’une suite discontinue de niveaux (figure ci-contre) dont l’énergie est (modèle en couches)

En = n h + ½ hLa population de chaque niveau est donnée

par la formule de Boltzmann (Annexe II) Nn = NTexp(-En/kT) (1)

NT étant le nombre d’oscillateurs se trouvant à la température T.Si No est le nombre d’oscillateurs se trouvant à l’état fondamental d’énergie Eo

Nn = Noexp(-(En- Eo)/kT) = Noexp(-nh/kT) (2)Posons x = h/kT, le nombre total d’oscillateurs NT est :

NT = Nn = No(1+ e-x+e-2x+ …) = No/(1-e-x),et No = NT(1-e-x) (3)

En portant dans la relation (2), on obtient Nn= NTe-nx (1-e-x) (4)

L’énergie moyenne de l’oscillateur à la température T est définie par :Ē =(NnEn)/ Nn .

En remplaçant Nn par NT, on a :Ē =En Nn/NT.

Avec En = nh, on aboutit à Ē = nh.e-nx (1-e-x) = h(1-e-x) n e-nx (5)

Comme ,

ne-nx = e-x/ (1- e-x)2 (6)et Ē = h(1-e-x) e-x/ (1- e-x)2 = he-x/ (1- e-x) = h (e-x -1)ou Ē= h/ e h/kT-1 (7)La densité d’énergie s’obtient en multipliant cette expression par le nombre de modes

de vibrations dans l’enceinte de volume V, dans un intervalle de fréquence d, dg = (82/c3)d

et du = Ē. dg = (((82/c3) h)/ (e h/kT-1)d et u = du/ d = (((82/c3) h)/ (e h/kT-1)

ou (8)

qui est la loi de Planck qui a introduit la quantification de l’énergie, et donné le nom de mécanique quantique au formalisme qui en a découlé pour l’étude des phénomènes microscopiques liés à l’atome et au noyau.

IV- Conséquences de la loi de Planck

a)-Loi de Rayleigh Jeans. Cette loi concerne le spectre aux basses fréquences . Lorsque est petite,

l’exponentielle de la relation (8) tend vers 1+h/kT, de sorte que (8) peut s’écrire u = (8h3/c3)/ h/kT =82 kT /c3 2

qui n’est rien d’autre que la loi de Rayleigh-Jeans.

b)-Loi du déplacement de Wien

8

7/2 h

5/2 h

3/2 h

1/2 h

En remplaçant par c/, la formule de Planck peut encore s’écrire :

.

En remarquant que ud = - ud, (car quand augmente, d est positif, alors que diminue et d est alors négatif) on peut écrire (avec d =-d/2) :

ou .

En dérivant par rapport à , il vient

On obtient la longueur d’onde maximale en faisant du/d = 0,

,

soit encore .

D’où . En remarquant que hc/kT 1, (au maximum est grand, est petit) nous obtenons

mT = hc/5k = Constante = 2,874 10-3m °K = 0,29 cm°K, qui est la loi du déplacement de Wien.

a) - Loi de StéphanCette loi donne la puissance rayonnée par unité de surface, ce qui correspond à l’aire

sous de la courbe I(,T) que multiplie (car dP = I()d). Elle est donnée par l’intégrale de dP(,T)d= (u c/4) d, soit

Posons x = h/kT, dx = h/kT d, l’intégrale devient

Avec , on obtient P = T4

qui est la loi de Stephan, avec (voir annexe III).

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Chapitre II

Effet photoélectrique

I- Définition

Lorsqu’un rayonnement électromagnétique d’une certaine longueur d’onde (rayons ultraviolets), provenant d’une source de lumière frappe une plaque de métal alcalin, atome à électron externe (lithium Li, sodium Na, rubidium Rb, caesium Cs, potassium K), des électrons peuvent être arrachés. Ce phénomène fut découvert par Hertz en 1887 et étudié par Lénard en 1902 et a reçu le nom d’effet photoélectrique.

a) Mise en évidenceUn électroscope initialement chargé

négativement se décharge lentement. En effet l’irradiation par les photons permet aux charges électriques négatives en excès de s’échapper. Si l’on interpose entre la plaque et la source lumineuse une lame de verre qui absorbe les rayons ultraviolets, le phénomène disparaît, ce qui montre qu’il ne se produit que pour certaines fréquences.

b) Etude expérimentaleL’expérience est réalisée avec le dispositif ci-dessous

La source S émet les photons qui traversent l’enceinte à travers une fenêtre de quartz F. Ceux-ci arrivent sur la plaque C (cathode) à laquelle ils arrachent des électrons qui sont accélérés par l’anode accélératrice A portée au potentiel V. Les électrodes E1 et E2 recueillent les électrons ( L’électrode E2 permet de les identifier quand on leur applique une induction électromagnétique B perpendiculaire à leur trajectoire (plan de la figure).

Le flux de particules est déterminé par la mesure du courant électrique à l’aide d’un galvanomètre placé entre l’électrode collectrice E1 et l’anode accélératrice A.

Source S

A Anode accélératrice

E1 Electrode collectrice

E2

CCathode

V

F

Fenêtre de quartz

+B

G

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Selon que la tension V est positive ou négative , les électrons émis sont accélérés ou freinés. V doit donc être positive pour que les électrons puissent atteindre l’électrode collectrice. On identifie les particules émises par la plaque comme étant des électrons à l’aide des relations entre l’énergie cinétique et le rayon de courbure par le champ magnétique.

En effet l’énergie cinétique est donnée par Ec = ½ mv2 = q VLe rayon de courbure s’obtient en écrivant que mv2 = RqvB, ce qui donne

q/m =2 V/B2R2.Connaissant B, R et V, on en déduit que le rapport q/m est identique à celui de

l’électron, donc les particules arrachées par les photons à la plaque sont des électrons, d’où le nom d’effet photo électrique donné à ce phénomène.

Remarques1- L’effet photoélectrique ne se produit que pour de la lumière de longueur d’onde

inférieure à une certaine valeur, ou supérieure à fréquence appelé fréquence seuil, caractéristique du matériau.

2- Le courant mesuré dans le galvanomètre augmente avec la tension VA-Vc, et atteint une valeur maximale appelée courant de saturation.

3- Ce courant s’annule pour une valeur négative de la tension appelée contre-tension maximale.

II- Interprétation

a) Théorie classiqueLes observations expérimentales mettent en évidence l’existence d’une fréquence

minimale (fréquence seuil) au-dessous de laquelle aucune émission n’est observée. Alors que selon la théorie classique l’énergie cédée à l’électron par le champ

électromagnétique du photon est proportionnelle à la densité d’énergie électromagnétique donc au flux de photons incidents. On doit donc avoir un seuil de flux.

Calculons le temps qu’il faut au champ électromagnétique pour arracher un électron de l’atome d’une plaque de potassium, placée à 75 cm d’une lampe de 100 watts qui rayonne 5% de sa puissance. Chaque atome présente au photon un disque de 1 angstrœm de diamètre. Il faut lui fournir une énergie de 2 électron- volts pour arracher un électron.

La puissance reçue par un atome est égale à la puissance rayonnée dans l’angle solide d sous lequel la source est vue :

P = d

Comme d = dS/r2, on a Watt.

Or la puissance est l’énergie par unité de temps ( P = E/t) et t=E/P, soit

.

Ce temps est très élevé part rapport au temps observé expérimentalement qui est de L’ordre de 10-9sec. On voit que la théorie classique ne permet pas d’expliquer l’effet photoélectrique.

r

ddS

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a) Interprétation quantique

Einstein a expliqué l’effet photoélectrique en considérant l’interaction du faisceau de lumière avec les électrons de l’atome comme la collision des particules incidentes que sont les photons avec les électrons atomiques. Il confirma ainsi l’hypothèse de grains de lumière (photons) postulés par Planck dans son interprétation du rayonnement thermique (corps noir).

L’électron étant lié au noyau par l’énergie de liaison, pour l’arracher lors du choc, il faut fournir une énergie au moins égale à l’énergie de liaison. Les photons doivent donc avoir une énergie h, qui doit être transférée à l’électron lors du choc pour l’arracher à l’atome.

En écrivant la conservation de l’énergie totale du système (photon +électron), on obtient : h-E=Ec (équation d’Einstein ) pour l’effet photoélectrique

Pour que l’électron soit émis, il faut que son énergie cinétique soit positive. Ec0 entraîne hE. La relation précédente montre que h doit être supérieure à E. A la limite EC

est nulle et l’on a hs=E. La fréquence correspondante est appelée fréquence seuil s qui indique qu’il faut une énergie Ws minimale aux photons pour produire l’effet photoélectrique.

III- Conséquences

a)- Fréquence seuilLa fréquence correspondant à l’énergie minimale du photon pour produire l’effet

photoélectrique est appelée fréquence seuil s . Elle est caractéristique du matériau de la cathode.

L’équation d’Einstein Ec se réécrit h-hs = Ec ou h-Ws =Ec Ec est l’énergie résiduelle que l’électron emmène sous forme d’énergie cinétique.

b)- Courant de saturationNous avons dit que le courant I mesuré par le galvanomètre varie avec la tension

accélératrice V= VA-VP.1) Si on maintient la fréquence constante, le courant varie avec V. I augmente et

atteint une valeur limite appelée courant de saturation. 2) Au contraire, lorsque V diminue, I continue à diminuer, et ne s’annule pas

pour V=0, mais pour une tension négative appelée contre tension maximale. Cela est dû au fait qu’à la sortie du métal les électrons ont une énergie cinétique Ec=h-hs, lorsqu’ils ne sont pas accélérés par la tension VA-VP. Les électrons étant peu rapides, il se produit une charge d’espace qui les freine et empêche certains d’atteindre l’électrode collectrice. Le courant est ainsi diminué. Lorsqu’on augmente V, les électrons sont accélérés et la charge d’espace diminue. Lorsque V est élevée, tous les électrons sont collectés et le courant n’augmente plus, d’où le nom de courant de saturation.

Contre tension maximale

A la sortie du métal et lorsque la fréquence des photons est supérieure à la fréquence seuil, les électrons possèdent une énergie cinétique qui leur permet d’atteindre l’électrode

I

Puissance croissante

Courant de saturation à constant Courant de saturation à variable

variable

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collectrice même en l’absence de tension accélératrice. Si on applique une tension négative les électrons se dirigeront toujours vers l’électrode collectrice, tant que l’énergie cinétique résiduelle sera positive, c’est à dire que 1/2mv2 - eV 0.

Ils s’arrêteront lorsque 1/2mv2 - eVo= 0, Vo est appelée contre-tension maximale que les électrons sont capables de vaincre.

Comme 1/2mv2 = h - Ws = h( - s) =eVo, Vo = h( - s)/e, est donc une fonction de  :

Vo = h/e +cteLa courbe représentative de Vo en fonction

de est une droite (figure ci-contre). Ceci constitue une méthode de détermination

de la constante de Planck, h/e représentant la pente de la droite, h s’obtient en remplaçant e par sa valeur

e=1,6 10-19cb. On en déduit également la valeur du potentiel,

intersection de la droite avec l’axe de Vo, telle que Vo(0)=cte, qui donne :

eVo=h (0)+Ws =hs

Par analogie avec le potentiel d’arrêt, on écrit Ws=eVs et Vs= hs/e.

Vs est appelé potentiel de sortie.

On donne ci-dessous les valeur de Vs pour différents métaux.

Métal Na Mg K Ca Fe Ni Zn RbVs 2.5 2.4 2.4 2.3 4.8 5 3.4 2.2

La longueur d’onde de l’effet photoélectrique s’écrit s = c/s = (hc/e)x(1/Vs) = (12400/Vs)Å.

IV Le photon.

L’énergie lumineuse est transportée par des grains de lumière appelés photons d’énergie W=h. En utilisant la formule d’Einstein pour l’énergie totale W=mc2, on peut définir la masse relativiste du photon, en écrivant que h = mc2, soit m= h / c2. Sa quantité de mouvement est donnée par p = mv =mc ( car v=c, vitesse de la lumière). On a donc

p = mc2/c = h/c=h/.Par ailleurs la masse d’un corpuscule varie avec la vitesse selon l’expression

m = .

En faisant v = c , dans cette expression, on voit que le photon aurait une masse infinie, ce qui n’a pas de sens, (nous serions tous assommés par la lumière qui est constituée de photons !). La seule façon solution d’obtenir une valeur finie pour m est de faire m o = 0, donc la masse au repos du photon ne peut être que nulle.

Ce qui fait que le photon n’est pas un corpuscule au sens habituel, car toutes les particules ayant une masse au repos non nulle, on une vitesse inférieure à celle de la lumière.

V-Application de l’effet photoélectrique 

a)-Cellule photoélectrique

Voh/e

s

-Vs

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La cellule photoélectrique permet la conversion de la lumière en énergie électrique. Elle permet la mesure de l’intensité de la lumière. Elle est couramment utilisée dans les appareils photographiques où elle reçoit le nom de posemètre.

Elle est constituée par une mince couche de métal sensible à la lumière (alliage de césium-antimoine, césium- oxygène).

Le schéma de principe est représenté sur la figure ci-contre.

Le courant de saturation IM est proportionnel à la puissance P du faisceau lumineux.

La sensibilité de la cellule est définie comme le rapport IM/P.

Si on suppose que chaque photon incident libère un électron, le nombre dN d’électrons libérés est égal au nombre N de photons incidents. On a donc IM = Ne.

Comme P=Nh, la sensibilité devient IM/P=Ne/Nh=e/h=(e/hc)/, inversement proportionnelle à la longueur d’onde.

La sensibilité réelle est bien inférieure, car la majorité des photons incidents sont transformés en énergie d’agitation thermique dans la plaque ou renvoyés vers l’extérieur, une faible partie produit l’effet photoélectrique. Soit n le nombre de ces électrons, on désigne alors par rendement quantique de la cellule, le rapport du nombre n d’électrons (ou de photons efficaces) au nombre N de photons incidents :

= n/N. La sensibilité de la cellule devient alors :

IM/P=Ne/Nh=(e/hc)/.Les valeurs des rendements quantiques varient entre 1/5 et 1/500.

b)-Energie solaireL’effet photoélectrique est également utilisé pour la production d’énergie à partir des

rayonnements solaires sur des panneaux constitués d’un matériau (silicium) sensible à la lumière. C’est ce qu’on désigne par énergie solaire qui est maintenant couramment utilisée pour l’alimentation des satellites, des montres, des calculatrices, des feux de circulation ou pour le pompage d’eau ou le chauffage domestique.

C

A

Schéma de principe de la cellule photoélectrique

14

Chapitre IV

EFFET COMPTON

I- Introduction

Lorsqu’on envoie un faisceau de rayons X (photons), celui-ci interagit avec le matériau et subit une diffusion, c’est à dire qu’il est dévié d’un certain angle par rapport à la direction du faisceau incident.

Compton étudia ce phénomène et trouva en 1923, que le rayonnement diffusé se compose de deux radiations différentes (figure),

- la première correspondant à la diffusion de la radiation incidente sans changement de longueur d’onde,

- la seconde à une radiation de longueur d’onde plus élevée ’ = + .

L’écart est indépendant a) de la longueur d’onde,b) de la nature du matériau cible,c) Il croît avec l’angle de diffusion .

L’expérience donne = 0,0486 sin2(/2) en Angstrœms.

II- Interprétation classique

Selon la théorie électromagnétique classique, le champ électrique E=Eosin(t–x/c) du photon communique aux électrons atomiques un mouvement d’oscillations forcées. Ceux-ci vont émettre dans toutes les directions une onde de même fréquence que le rayonnement incident.

Ce qui n’est pas le cas puisque ’ est supérieure à .. Donc cette interprétation n’est pas valable.

III-Interprétation quantique

Les mesures expérimentales montrent que la radiation diffusée a une longueur d’onde ’ supérieure à celle de la radiation incidente. Compton expliqua ce phénomène en considérant le photon comme une particule et la diffusion comme la collision des deux particules que sont le photon et l’électron atomique considéré comme libre (car son énergie de liaison est très petite devant l’énergie du photon).

On peut alors appliquer au phénomène, les lois de conservation de l ‘énergie et de la quantité de mouvement. Nous avons :

Spectromètre

Bloc diffuseur

Radiation incidente

Spectromètre

Electron

Bloc diffuseur

Radiation incidente

photon

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Avant la collision Après la collisionPhoton électron Photon électron

Energie h moc2 h’ Quantité de h/c 0 h’/c mvmouvement Angles de diffusion

La conservation de l’énergie totale s’écrit :h + moc2 = h’ + (1)La conservation de la quantité de mouvement donne :

ou (2)En projetant sur les axes Ox (direction incidente) et Oy (normale à cette direction), on obtient : h/c+0 =(h’/c)cos + (3) 0 = h’/c sin + (4)

En élevant au carré (après avoir remplacé par c/), la relation (1) donne:

(5)

De la relation (3) on tire:

(6)

La relation (4) donne : (7)

En retranchant (7) + (6) de (5), on obtient : ,

ou

soit (8)

La relation (8) montre que est positif et croît avec . Le facteur qui a les dimensions d’une longueur d’onde s’appelle longueur d’onde Compton et vaut :

, soit =0,02426Å.

C’est la longueur d’onde pour laquelle l’énergie des photons est égale à l’énergie au repos de l’électron. En effet on a h = hc/ = moc2 = 0,510 MeV.du photon diffusé

L’énergie cinétique du photon diffusé est donnée par l’expression Ec = h’) (9)La relation (8) donne =’-=h(1-cos)/moc

ou ( qui donne

y

O

x

p

ho/c

h/c

16

et .

L’énergie du photon diffusée est alors

(10)

Energie de l’énergie de l’électron  

En portant dans (9), on obtient l’énergie de l’électron  :

En divisant haut et bas par h (1-cos)/moc2, on obtient (11)

Angle de diffusion de l’électron

De même de 3 et 4 on tire :tg = sin/(/’ -cos).

En remplaçant /’ tiré de (10), on aboutit à :

ou

En utilisant les lignes trigonométriques de l’arc moitié : sin=2sin(/2)cos(/2) et cos=cos2(/2)-sin2(/2), et la relation cos2(/2)+sin2(/2)=1, on obtient

17

ou (12)

Cette relation montre que l’électron est toujours diffusé vers l’avant. Lorsque croît de 0 à , décroît de /2 à 0.

18

Chapitre V

SPECTRES ATOMIQUES

I-Spectre d’émission d’une substance

Une substance soumise à des excitations convenables, telles qu’une température élevée, une décharge électrique, l’absorption de rayonnement, un champ électrique intense (électroluminescence), une réaction chimique (chimiluminescence), un frottement (triboluminescence), etc., émet un rayonnement.

L’étude des spectres ou spectroscopie se fait à l’aide d’appareils appelés spectroscopes. On distingue divers domaines de la spectroscopie selon la longueur d’onde des radiations étudiées (fig.1) :

Spectroscopie des radiations visiblesSpectroscopie des radiations ultraviolettes et infrarougesSpectroscopie des rayons X Spectroscopie des ondes hertziennes .

Fig 1.Echelle des radiations électromagnétiques

Les différents spectroscopes comprennent : - les spectroscopes à prisme - les spectroscopes à réseau - les spectroscopes interférentiels - les spectroscopes à rayons X - les spectroscopes à ondes hertziennes.

La figure 2 représente un spectroscope à prisme couramment utilisé.Dans les sources thermiques, un matériau réfractaire est porté à haute température (par

exemple par effet joule comme dans une lampe à incandescence). Le rayonnement émis est réparti de façon continu sur toutes les fréquences. Ce spectre continu ne dépend que de la température, mais peu du matériau utilisé.

Dans les sources à décharge, le rayonnement est produit en appliquant une différence de potentiel aux électrodes placées aux extrémités d’un un tube contenant une vapeur d’une substance sous faible pression . Une décharge autonome se produit , la substance devenant luminescente. Le spectre obtenu est caractéristique de la substance.

Il en est de même de la lumière émise par un arc électrique (qui se produit lorsqu’on rapproche deux électrodes auxquelles est appliquée une différence de potentiel de quelques dizaines de volts. Le spectre obtenu est caractéristique de la substance constituant les électrodes et le gaz qui les entoure.

.

19

300 0,3m

rayonscosmiques X UV visible IR

Ondes hertziennes

0,001Å 0,1 Å 0,01 0,4 0,75 30 km+

gaz

T

V

Production d’une étincelle Arc électrique

Fig.2 Spectroscope à prisme

source

Lorsqu’on envoie un faisceau de lumière complexe émis par une source thermique sur un prisme et qu’on recueille le faisceau émergeant dans le plan focal d’une lunette, on observe une succession de couleurs allant du rouge (le moins dévié) au violet. Chaque couleur correspond à une radiation monochromatique de longueur d’onde donnée, qui est une composante de la lumière incidente complexe. L’ensemble de ces images constitue le spectre (de la lumière) de l’élément considéré.

Au contraire lorsque le rayonnement provient d’une source, autre que thermique comme celle à décharge, à arc ou à étincelle, le spectre observé est un spectre de raies, c’est à dire que l’émission ne se produit que pour certaines radiations. Dans le cas de la vapeur de mercure placée dans un tube à décharge, le spectre est constitué de deux raies bleues, d’une verte et d’un doublet jaune.

II- Spectre d’absorption

Beaucoup de substances absorbent la lumière qu’elles reçoivent. Lorsqu’on les interpose sur le trajet d’un rayonnement à spectre continu, on observe dans le spectre obtenu avec un spectroscope, l’absence de certaines radiations qui apparaissent sous forme de traces sombres dites d’absorption, de longueurs d’onde bien déterminées. Selon la substance, on observe de larges bandes sombres ( liquide ou substance en solution) mais aussi des spectres de raies (gaz et vapeur). Ces spectres sont caractéristiques des substances.

III- Spectre d’émission de l’atome d’hydrogène et des ions hydrogénoides

Les spectres atomiques sont situés dans le visible et l’ultraviolet. Considérons l’atome d’hydrogène le plus simple de tous les atomes. Il a un seul électron. Les ions ne possédant qu’un seul électrons sont appelés ions hydrogénoides.

L’étude du spectre d’émission de l’atome d’hydrogène se fait en utilisant un tube dit de Geissler dans lequel on introduit le gaz sous faible pression.

Lorsqu’on applique une différence de potentiel élevée entre les électrodes E (plusieurs milliers de volts), une décharge autonome se produit. Le gaz devient luminescent, surtout dans la partie capillaire C, c’est à dire qu’il émet de la lumière.

Le spectre observé est formé de quatre raies visibles qu’on désigne par les symboles H, H, H et H groupées en série.

Cette série est suivie de raies ultaviolettes décelables par photographie. Si on abaisse la tension aussi faiblement que possible on observe d’autres séries de raies.

L’ensemble des raies montre une régularité très marquée. En 1885 Balmer trouva une expression permettant d’exprimer le nombre d’onde =1/ (inverse de la longueur d’onde) des raies selon la relation:

,

où est la constante de Rydberg =109677,7cm-1, n un nombre entier supérieur à 2 et variant d’une raie à une autre n = 3, 4, 5….

20

E

E

C

Tube de Geissler

H H, H H (Å)

Spectre d’émission de l’hydrogène

6563 48614340

4102

Quand n tend vers l’infini, tend vers , dite limite de la série de raies, appelée série de Balmer.

L’expérience révèle la présence d’autres séries de raies dont les nombres d’onde sont donnés par une formule analogue

, où no varie d’une série de raies à une autre . Il vaut 1 pour la

série de Lymann, 2 pour la série de Balmer, 3 pour celle de Paschen etc.

Les spectres des ions hydrogénoides tels que le deutérium (isotope de l’hydrogène), l’ion He+, l’ion Li++, etc…, sont semblables à celui de l’atome d’hydrogène mais avec des constantes plusieurs fois plus grande que celle de l’hydrogène. Les nombres d’onde de ces

ions sont donnés par l’expression ,où Z est un nombre entier

représentant le numéro atomique de l’élément considéré.

IV- Principe de combinaison de Ritz

Le principe de combinaison de Ritz dit que : le nombre d’onde d’une raie spectrale émise par un atome d’espèce déterminée peut être représenté par la différence de deux termes spectraux, caractéristiques de cet atome et de forme algébrique analogue:

.

Pour l’atome d’hydrogène, l’identification avec la formule de Balmer donne .

Les raies étant obsevées expérimentalement on en déduit les termes spectraux.Une conséquence du principe de combinaison de Ritz est que la différence entre deux

nombres d’onde est égal à la différence entre deux termes spectraux donc à un autre nombre d’onde.

Exemple 2,6 - 3,6 = (T6 –T2) – (T6 –T3) = T3 – T2 = 2,3.

V-Interprétation des spectres d’émission et d’absorption: les niveaux d’énergie de l’atome

En 1913, Niels Bohr interpréta les spectres de raies des atomes en utilisant la notion de photon d’énergie h = hc/=hc.

En remplaçant dans l’expression de , on obtient

.

Selon le modèle de Bohr, l’émission ou l’absorption de rayonnement est due à la transition d’un électron entre les niveaux d’énergie Ei et Ef . Si on appelle hno,n la perte

21

H

H

,

H

H

H

H

,

H

H

H

H

,

H

H

Série de Lyman

Série de BalmerPaschenBkPf

Å+100012163646

+5000

+10000

+ 20000

d’énergie subie par l’atome au cours du processus d’émission, la conservation de l’énergie s’écrit

.

En identifiant avec la relation précédente, il vient , où En

représente l’énergie de l’atome d’hydrogène. Ceci signifie qu’un atome ne peut posséder qu’une suite discontinue d’états d’énergie appelés encore niveaux d’énergie, n est appelé nombre quantique.

Le niveau d’énergie le plus bas de l’atome pour lequel n=1 est l’état fondamental. Pour n supérieur à 1, on a les états excités, l’atome dans un état excité revient spontanément vers un état d’énergie inférieure.

Le passage d’un état excité à un autre ou à l’état fondamental correspond à une transition et s’accompagne de l’absorption ou de l’émission de rayonnement de fréquence:

Lors de l’absorption d’une radiation d’énergie h, l’atome acquiert de l’énergie, et passe d’un état de nombre quantique n1 à un état de nombre quantique n2 supérieur tel que

, ou

Si on fait n1= 2 , on obtient la formule de Balmer.

En comparant avec la formule de Bohr donnant l’énergie , on

obtient . Avec mo=9,109.10-31kg, e=1,602.10-19Cb, 1/4o=9.109MKS, on trouve cm-1

On représente sur la figure ci-dessous le schéma des termes spectraux de l’atome d’hydrogène et les transitions correspondantes.

VI- Spectre des atomes à plusieurs électrons

Les atomes à plusieurs électrons donnent des spectres plus compliqués que ceux des ions hydrogénoides. A titre d’exemple considérons le spectre du sodium. Il peut être obtenu par le moyen de l’arc électrique. L’examen du spectre obtenu fait apparaître pusieurs séries

22

1

2

3

4

5

6n

Lyman

Balmer

Paschen

Brackett

Pfund

de raies dont les nombres d’onde sont donnés par une expression semblable à celle de l’atome

d’hydrogène ,

est une constante voisine de la constante de Rydberg, n un nombre entier supérieur à 2.

Cette expression peut encore s’écrire

où p = 0,88 et s =1,36. D’autres séries de raies constituent le spectre d’émission du sodium.

Leur nombres d’onde sont donnés par l’expression ,

no et n sont des nombres entier pouvant prendre les valeurs 3,4,5 etc. a et a’ des nombres qui varient d’une série à l’autre et d’un élément à l’autre.

Le principe de combinaison de Ritz reste valable pour ces atomes, le terme spectral

étant maintenant donné par

23

Chapitre VI

THÉORIE ONDULATOIRE DE LA MATIÈREHYPOTHÈSE DE DE BROGLIE

I- Introduction : ondes de matière

Nous avons vu comment Planck (1900), Einstein (1905) et Compton (1923) ont pu expliquer respectivement les phénomènes de rayonnement du corps noir, l’effet photoélectrique et l’effet Compton, en introduisant la notion de photon ou grain de lumière, selon laquelle la lumière se comporte comme un faisceau de particules. C’est ce qu’on a dénommé par aspect corpusculaire du rayonnement.

Au photon de vitesse c, de longueur d’onde , ils associèrent un corpuscule d’énergie h, de quantité de mouvement p=mc= h/ et de masse m= h/c2 ( mais nulle au repos).

En 1924, Louis de Broglie proposa de la même façon qu’on a associé aux ondes lumineuses un corpuscule, de faire correspondre à toute particule matérielle, une onde de matière de longueur d’onde = h/p = h/mv.

A toute particule d’énergie E, de quantité de mouvement p, se déplaçant dans la direction xx’, on associe ainsi une onde de la forme (x,t)= Asin2( x/-t)= Asin (kx -t), ou en notation exponentielle (x,t)= A e2i(x/ - t) = A e i(kx - t) où = 2 et k=2/ désigne le nombre d’onde de la particule.

II- Vérification expérimentale des ondes de matière

Si l’hypothèse de de Broglie est juste, elle doit entraîner pour les particules (auxquelles on a associé des ondes) les mêmes phénomènes que ceux observés avec les ondes lumineuses, tels que les interférences ou la diffraction.

Effectivement ces phénomènes ont été observés en 1927 par Davisson et germer.Selon leur expérience, un faisceau d’électrons de 50eV, issu d’un canon à électrons est

envoyé perpendiculairement sur une plaque de nickel constituée par un monocristal . Ceux-ci sont déviés par le cristal dans une direction . En mesurant l’intensité des électrons diffusés, à l’aide d’un compteur, on obtient une courbe qui a l’allure ci-dessous, indiquant un pic signe de la diffraction des électrons par le cristal de nickel.

La courbe de la figure de droite représente le nombre d’électrons détectés à un angle , indiquant un pic de diffraction prononcé.

24

Plaque de nickel

Canon à électrons

compteur

Fig.1: diffraction des électrons

InterprétationLa surface du cristal est constituée d’un réseau régulier d’atomes. Ceux-ci se

comportent avec les électrons comme le font les lentilles avec les rayons lumineux.. Les électrons sont ainsi diffractés dans une direction , selon la loi de Bragg 2d sin = n, où n est l’ordre de diffraction, d la distance entre deux plans réticulaires du cristal, la longueur d’onde associée à l’électron (figure 2).

Lorsqu’un électron arrive sur un atome, il est diffusé dans une direction . Deux faisceaux diffractés par deux atomes différents dans la même direction produisent des interférences constructives ou destructives. Les maxima de diffraction sont tels que leur différence de chemin optique est un multiple de , conformément à la loi de Bragg.La différence de chemin est la distance BCH. Dans le triangle on a BC = AC sin ,AC étant égal à la distance réticulaire d (distance entre deux plans parallèles du réseau). On a donc BCH=2BC=2dsin= n, appelée loi de Bragg 2dsin= n

Pour un cristal de nickel, la mesure du pas d par la diffraction des rayons X donne

d = 0.91 .

Pour = 65o et n=1,on trouve = 2x0.91Åx0.906=1.65 .

Le calcul de part l’expression = h/p, donne : =h/2mE = h/2meV =hc/ 2mc2 eV = (6.62 10-34 x3 108)x(2x5.11 103x54x 1.610-19)1/2

= 1.67 .

On voit bien que la valeur mesurée de coïncide parfaitement avec la valeur calculée à partir de la loi de Broglie, ce qui vérifie l’hypothèse des ondes de matière.

L’expérience de diffraction de particule peut se refaire avec n’importe quelle particule. Ainsi la diffraction des neutrons est utilisée pour la détermination des rayons nucléaires.

On peut également réaliser des expériences d’interférences avec les électrons, en intercalant sur leur trajet un fil chargé positivement. Selon qu’ils passent au-dessus ou au-dessous du fil les électrons sont déviés vers le bas ou le haut.. Tout se passe comme les photons avec le bi-prisme de Fresnel. Les électrons interfèrent. La mesure de l’interfrange permet de déduire la longueur d’onde

ConclusionLa réalisation des expériences sur la diffraction et les interférences permet de

confirmer l’hypothèse des ondes de matière. Avec l’association de corpuscules aux ondes électromagnétiques, on voit qu’il y a

complémentarité entre les deux aspects ondulatoire et corpusculaire.

III- Fonction d’onde : vitesse de phase Une onde se propageant le long d’un

axe xx’ par exemple est représentée par une fonction y(x,t) = Asin(kx - t) , où k est le nombre d’onde et la fréquence.

Exemple champ électrique E = Eo sin (t + ) , élongation d’un ressort, etc…Par analogie, on associe à toute particule qui se déplace, une relation dite fonction

d’onde de la forme .

25

y(x,t)

x

H

A

B

Fig.2: schéma de la diffraction

C

(x,t) = Asin(kx - t) ou en notation complexe (x,t) =A ei(kx - t). La différence entre une particule et une onde est que la particule peut être parfaitement

localisée dans l’espace alors que l’onde a une étendue infinie.La fonction d’onde ne représente donc pas une particule avec une position bien

définie, mais elle est telle que la probabilité pour que cette particule se trouve à l’intérieur d’un petit volume dv autour de la position x est donnée par  , où |(x,t)|2

représente la densité de probabilité. La particule pouvant se trouver en un point quelconque de l’espace , on doit avoir dv = 1.

En effet, on montre en électromagnétisme, que l’intensité d’une radiation lumineuse due à la propagation d’un champ électrique et d’un champ magnétique est égale au module du

vecteur de Pointing , tel que .

L’intensité est donc proportionnelle au carré de l’amplitude de la vibration E. Il en est de même pour les particules pour lesquelles le carré de l’amplitude de la fonction d’onde donne la probabilité de présence.

On dit que la fonction d’onde est normée ou de carré sommable.Cette onde se déplace avec la vitesse de phase v qu’on obtient en écrivant que

(x,t)=A e2i, soit = (kx - 2t). La vitesse de phase se calcule en considérant les surfaces planes (ondes planes) de phase constante.

Alors = (kx - 2t) = constante, donne x = (2t/k) + cste.En dérivant, il vient v = dx/dt =2/k = .Comme l’énergie E = h = mc2 et que p = mv, on a v = (mc2/h) = (mc2) /h = mc2/p,

ou v = mc2/mv = c2/v, qui montre que v est supérieur à la vitesse de la lumière. Ceci ne doit pas surprendre car ce n’est pas la particule qui se déplace à la vitesse v, mais l’onde. v n’est pas mesurable expérimentalement.

IV- Paquet d’ondes: vitesse de groupe

On montre que toute superposition linéaire de fonction d’ondes est encore une fonction d’onde.

La somme de toutes ces ondes forme une onde résultante créant une sorte de bosse qui se déplace avec une vitesse appelée vitesse de groupe. (x,t) = A(ki)sin (kix - 2it), où i=1,2, ……n.

Prenons l’exemple de deux ondes Acos(k1x-1t) et Acos(k2x-2t)

ou en notation exponentielle e(i(k

1x -2

1t) et e (i (k

2x - 22t) .

Leur somme est Acos(k1x-1t)+Acos(k2x-2t),

qu’on peut écrire Acos1+Acos2,avec 1= k1x -21t et 2=k2x - 22t

Posons M=(1+2)/2 et Mod=(1-2)/2.

En utilisant les relations cos(a+b)=cosacosb-sinasinb,et cos(a-b)=cosacosb+sinasinb, on obtient cos(a+b)+ cos(a-b)=2 cosacosb

26

ce qui donne pour =2Acos((1+2)t/2)cos((1-2)t/2), ou

 

La fonction d’onde de fréquence

et de nombre d’onde a une

amplitude

qui varie lentement (battements) avec une fréquence plus faible que celle de la vibration.

Cette amplitude est maximale pour .

En dérivant, il vient.

Le maximum se déplace donc à la vitesse , dite vitesse de

groupe vg. Lorsque tend vers ’, (et que k tend vers k’), vg = d/dk . On montre que vg est la

vitesse avec laquelle se déplace la particule.En effet, comme E=h= et p=h/=k, vg = d/dk= dE/dp. De l’expression , on obtient

Nous avons vu que la fonction d’onde définit la densité de probabilité, par conséquent l’endroit où son amplitude est élevée correspond à la probabilité la plus grande de trouver la particule.

D’où la signification de la vitesse de groupe qui est la vitesse de la particule.V-Principe d’incertitude d’Heisenberg

Nous allons montrer que la position d’une particule définie par une fonction d’onde (x,t), une position x et une quantité de mouvement p, ne peut pas être connue avec une précision mais que la précision de la position et celle de la quantité de mouvement sont liées entre elles par une relation dite d’incertitude d’Heisenberg : xp= h

27

pp

x

A

B

M

H

Reprenons l’expérience de diffraction d’électrons ( ou de photon par une fente). La position du faisceau de particules est déterminé avec une incertitude x (le faisceau peut passer par n’importe quel endroit à l’intérieur de la fente). De même les particules atteignant l’écran après avoir été diffractées, ont subi une déviation vers le haut ou vers le bas en acquérant une quantité de mouvement avoir une quantité de mouvement p, dans la direction normale à la direction incidente.

La figure montre que p = p sin.Les interférences ont lieu lorsque la

différence des chemins optiques est un multiple entier de la longueur d’onde .

Cette différence est égale à BM-AM = BH. Or BH = x sin.Ecrivons que BH = x sin = et remplaçons sin par p/p et p par h/.x sin =xp/p=xp(/h)=

ou xp = h, qui est la relation d’incertitude d’Heisenberg.La relation exacte donnée par la mécanique quantique est xp = ħ

Cette relation montre qu’on ne peut pas déterminer simultanément avec une bonne précision la position et la quantité de mouvement d’une particule. Plus l’incertitude est petite pour l’une, plus elle est grande pour l’autre et vice et versa.

On peut établir la même relation pour des grandeurs conjuguées telles que l’énergie et le temps Et = h. Ici E représente l’énergie d’un niveau de l’atome ou du noyau et t sa durée de vie, E et t, les incertitudes respectives.

En remplaçant E  par h, on obtient la relation t =1.

28

Chapitre VII

EQUATION D’ONDE DE SCHRODINGER

1- Etablissement de l’équation

Nous avons vu qu’à toute particule, la théorie de de Broglie associe une onde de la forme (x,t) = Asin (kx - t) ou A e2i(x/ - t) ou A ei(kx - t)

Dérivons par rapport à x, on a

et .

D’où

C’est l’équation d’onde qui caractérise (x,t). En l’étendant à toutes les coordonnées,

on obtient :

soit (r,t) + k2(r,t) = 0 ou (r,t) + (2/)2(r,t) = 0.

Le symbole représente l’opérateur laplacien.

Par définition, un opérateur est un être mathématique qui agit sur une fonction, telle que la dérivation, la multiplication, l’addition, etc…Le résultat de l’opération est appelé valeur propre. Ici k2 est la valeur propre de l’action du laplacien sur la fonction d’onde.

En remplaçant par h/mv, k =2/ =2mv/h. On obtient alors (x,t) + (2mv/h)2 (x,t) = 0,Comme cette particule possède une énergie cinétique E = ½ mv2 et une énergie

potentielle V, son énergie totale est E=Ec +V. Ce qui donne Ec= E-V. L’expression donnant v devient v=(2Ec/m)1/2 = (2(E-V)/m)1/2. On aboutit à l’équation :

(1)

qui est la célèbre équation de Schrödinger. Il est possible de généraliser cette équation pour les régimes dépendant du temps. Considérons pour simplifier, le cas à une dimension.La dérivée par rapport au temps de la fonction d’onde est :

L’opération revient donc à multiplier (x,t) par –2i.

Comme l’énergie est donnée par E=h=, on a :

.

Ce qui revient à remplacer l’opération E(x,t) par .

On aboutit alors à l’équation de Schrödinger dépendant du temps

29

, (2)

dont la résolution nécessite la connaissance du potentiel V. II- Potentiels

La résolution de l’équation de Schrödinger qui relie la fonction d’onde et l’énergie de la particule, à travers l’équation

,

nécessite la connaissance du potentiel V.Nous avons vu en mécanique la notion de potentiel. Lorsqu’une particule rencontre sur

son parcours un obstacle, elle peut avoir ou pas assez d’énergie pour le franchir. On dit qu’elle rencontre une barrière de potentiel. Exemple pour lancer un corps en l’air il faut vaincre la force de gravitation qui découle du potentiel de gravitation. Il en est de même d’une différence de potentiel électrique pour une particule chargée, etc…

Il en est de même pour les particules quantiques, exemple la répulsion des électrons par le noyau, ou bien la répulsion des nucléons dans un noyau, etc….

Le potentiel V(r) peut avoir différentes formes. Les plus simples sont le mur, (ou le saut) de potentiel, la barrière de potentiel et le puits de potentiel.

La fonction d’onde peut s’écrire (r,t) = (r) e-2it. Dans le cas du problème à une dimension, cette fonction s’écrit (x,t) = (x) e-2it.

Nous nous limiterons à la recherche des solutions de l’équation de Schrödinger indépendante du temps, (x,t) = (x).

La fonction d’onde (x) est solution de l’équation:

(3)

Elle est de la forme (r,t) = Ae-i(kr ) .

a) Comportement de la fonction d’onde dans une région où le potentiel est constant

On distingue deux cas, celui où l’énergie de la particule est supérieure au potentiel et celui où elle est inférieure.

1) Cas où EVLe nombre d’onde est donné par .La fonction d’onde solution s’écrit:1 = A1exp(ikx) + A’1 exp(-ikx) , (4)

où A1 et A2 sont des constantes pouvant être complexes.2) cas où EV.Définissons , l’équation a maintenant la solution 2= A2exp(k’x) + A’2exp(-k’x). (5)

b)- Marche ou mur ou saut de potentiel

Deux cas sont à considérer selon que l’énergie de la particule est supérieure ou inférieure au potentiel.

I II

V(x)

Vo

x’ x

30

1)- Cas où EVPosons (6)

Dans la région I, le potentiel est nul, l’équation d’onde est .

Le nombre d’onde k est égal à , la solution de l’équation d’onde est de la forme (4) du paragraphe 1 précédent, soit

1 = A1exp(ikx) + A’1 exp(-ikx) .Le terme A’1 exp(-ikx) signifie que l’onde incidente se réfléchit sur le mur de

potentiel. On introduit à cet effet le coefficient de réflexion R en écrivant 1 sous la forme :1 = Aexp(ikx) + RA exp(-ikx)

Dans la région II, le potentiel n’est pas nul, l’équation d’onde est

ou ,

la solution est alors réelle et est donnée par (5) 2 = A2exp(k’x) + A’2 exp(-k’x) .

On doit avoir A2 =0 car la solution A2exp(k’x), donne une amplitude tendant vers l’infini telle que la probabilité de trouver la particule augmente indéfiniment, ce qui n’est pas physiquement acceptable. On a donc 2 = A’2 exp(-k’x), qu’on peut encore écrire

2=TAexp(-k’x) , où T est le coefficient de transmission.

Nous avons donc à résoudre un système de deux équations 1 = Aexp(ikx) + RA exp(-ikx) et

2 = TAexp(-k’x).Ceci se fait en écrivant les conditions de continuité qui sont

1 (0) = 2 (0)

et ,

Ce qui donne A+RA = TA ou 1 +R =T et 2iAk - 2iRAk = - 2TAk’.Les deux relations entre T et R donnent R = T–1 et i(1 – T +1)/T = k’/k , aboutissant à

T = 2ik/(ik-k’) et R = (ik+k’)/(ik-k’) (7)

On montre que RR* = 1 ; ce qui signifie qu’il y a réflexion totale comme le montre la mécanique classique. Toutefois comme T n’est pas nul, une partie des particules du faisceau est transmise.

Beaucoup d’auteur désignent par coefficients de réflexion et de transmission les quantités RR* et TT*.

2)- EVo

Posons et , l’équation d’onde s’écrit

. Elle admet les solutions suivantes :

1 = A1 exp(ikx) + A’1 exp(-ikx)et 2 = A2 exp(ik’x) + A’2 exp(-ik’x) ou 2 = A2 exp(ik’x) en faisant A’2= 0 (pas de réflexion à l’infini)

Les conditions de continuité donnent A’1/ A1 =( k’ –k)/(k’+k) et A’2/ A1 =2k/(k’+k).

31

En posant A’1 = RA1 et A’2 = TA1 , R et T étant les coefficients de réflexion et de transmission , on trouve :

R = ( k’ –k)/(k’+k) et T = 2k/(k’+k) (8)

c)- Barrière de potentiel

Le potentiel ayant la forme représentée ci-contre est appelé barrière de potentiel.

On distingue deux cas, selon que l’énergie E est supérieure ou inférieure à la hauteur de la barrière.

Si EV0, classiquement les particules ne peuvent pas franchir la barrière.Soit et , les solutions de l’équation d’onde sont :

région I (V=0) 1 = A1exp(ikx) + A’1 exp(-ikx) région II (0xa) 2 = A2exp(k’x) + A’2 exp(-k’x).région III 3 = A3exp(ikx) + A’3 exp(-ikx) 

Pour x =0, 1 (0) = 2 (0) donne A1+A’1 = A2 + A’2 Pour x = a, 2 (a) = 3 (0)

soit A2exp(k’a) + A’2exp(-k’a) =A3exp(ika) +A’3 exp(-ika) ou en prenant A’3 = 0 (pas de réflexion à l’infini)

A2 exp(k’a) + A’2 exp(-k’a) = A3 exp(ika) .

La condition donne iA1 k – iA’1 k = A2 k’- A’2 k’

Au point a, la condition donne

k’A2 exp(k’a) - k’A’2 exp(-k’a) = ikA3 exp(ika).Nous pouvons retrouver les résultats en remplaçant ik’ du paragraphe précédent par k’.Finalement on aboutit à :

(9) .

La probabilité (A3 A3 *) pour que la particule traverse la barrière n’est pas nulle, c’est ce

qu’on appelle effet tunnel.

d)- Puits de potentiel

Un puits de potentiel est représenté par la courbe ci-contre.

On doit considérer deux cas :-V0E0

et E0

1) E0 On retrouve les cas étudiés précédemment dans le cas où l’énergie est supérieure à Vo.

2) -VoE0 Soient et . Les solutions de l’équation d’onde sont :

III

III

V

a

-a/2 a/2

-V0

I II III

E

32

région I (x-a/2, V=0, E0, maisV) 1 = A1exp(kx) + A’1 exp(-kx) région II (-a/2xa/2, où V =Vo, EVo ) 2 = A2exp(ik’x) + A’2 exp(-ik’x).région III (xa/2, V=0, E0, maisV) 3 = A3exp(kx) + A’3 exp(-kx) 

Pour simplifier, considérons le cas où A’1 = 0, 1 = A1exp(kx).

Les conditions de continuité s’écrivent : Pour x =-a/2,

1 (-a/2) = 2 (-a/2), A1 exp(-ka/2) =A2 exp(-ik’a/2) + A’2 exp(ik’a/2)

La condition de continuité , donne

A1kexp(-ka/2) = ik’(A2exp(-ik’a/2) – ik’A’2exp(ik’a/2)). Au point x =a/2,

2 (a/2) = 3 (a/2), soit A2 exp(ik’a/2) + A’2 exp(-ik’a/2) = A3 exp(ka/2)

La condition donne

ik’A2 exp(ik’a/2) - ik’A’2 exp(-ik’a/2) = kA3 exp(ka) -kA3 exp(-ka).

Finalement on obtient :

et

(10)

La fonction devant être bornée dans la région III, on doit avoir A3 = 0, soit

. Comme k et k’ dépendent de l’énergie, cette équation n’est satisfaite que

pour certaines valeurs de l’énergie, qui constituent les niveaux d’énergie liés de la particule dans un puits de potentiel.

On a deux cas :

1) , (11)

En développant l’exponentielle et en utilisant les relations trigonométriques

cos2a=(1-t2)/(1+t2) et sin2a=2t/(1+t2) où t=tga/2,on aboutit à k/k’ = tg k’a/2.Comme et ,

on a:

33

0 a x

En utilisant la relation

L’expression a k/k’ = tg k’a/2, donne:

.

La relation (11) est équivalente au système :Cos2(ka/2) = k/ ko

tg(ka/2) 0.Les niveaux d’énergie sont obtenus par l’intersection de la droite de pente 1/ko avec

les arcs de sinusoïde.)

2) , les relations précédentes deviennent :

sin(ka/2) = k/ ko et tg(ka/2) 0.Les états

liés sont à nouveau les intersections de la sinusoïde et de la droite de pente 1/ko.

e) -Particule dans un puits de potentiel à bords infinisConsidérons une particule à l’intérieur d’un

puits de potentiel à bords infinisPour 0 x a, V =O et V = por x a et x0.L’équation de Schrodinger à l’intérieur du

puits est

ou , avec

La solution générale est de la forme = Asinkx + Bcoskx.Les conditions de continuité s’écrivent

(0)=0 et (a), car la particule ne peut pas franchir le mur,soit Asin0 + Bcos0 = 0 qui n’est vérifiée que si B=0. Ce qui entraine pour (x) = Asinkx.

De même pour x=a on a (a) = Asinka=0. Comme A ne peut pas être nul, on doit avoir

sinka=0, soit ka = n, qui donne ,

où n = 1, 2, 3, etc.En portant dans l’expression donnant k en

fonction de l’énergie, on trouve

/a 2/a 3/a

0 a x

E1

E2

E3

n = 1

n = 2

n = 3

34

.

n est appelé nombre quantique.Ce résultat montre qu’une particule dans un puits de potentiel infini ne peut prendre

que certaines valeurs discrètes de l’énergie.

III- Opérateurs

a)- Définition

Un opérateur est un être mathématique qui agit sur une fonction pour donner un résultat, comme la dérivation, la multiplication, l’intégration, etc …

En mécanique quantique on désigne ainsi le laplacien . La

quantité s’appelle le hamiltonien.

On définit l’opérateur quantité de mouvement .

Or p= h/ . La longueur d’onde intervient dans l’expression de la fonction d’onde = A e 2i(x/ - t) .

En dérivant par rapport à x, on a .

En remplaçant par h/p, on obtient , soit avec , .

En identifiant les coefficients de , on obtient ou .

Comme l’énergie cinétique est donnée en mécanique classique par , par

analogie, on obtient l’opérateur énergie .

En généralisant aux trois dimensions x, y, z , on a , soit

.

b)-Valeur moyenne d’une grandeur

On montre en mécanique quantique que la valeur moyenne d’une grandeur g est donnée par l’expression .

Lorsque la grandeur est représentée par un opérateur, comme l’énergie cinétique, cet opérateur agit sur la foncti6n d’onde . Dans le cas de l’énergie cinétique, on a

.En remplaçant l’énergie cinétique par , on a

où l’opérateur agit sur la fonction .

c)-Produit scalaireOn définit en mécanique quantique le produit scalaire de deux fonctions d’onde par

l’expression .

35

Deux fonctions sont orthonormées si leur produit scalaire est nul .

36

Chapitre VI

APPLICATION ATOME D’HYDROGENE EN MECANIQUE QUANTIQUE

Le problème consiste à trouver les états de l’électron sous l’action du noyau .

I- Equation d’onde

L’équation de Schrödinger est donnée par

L’énergie potentielle de l’électron est donnée par

où r est la distance entre l’électron et le noyau supposés ponctuels, q et q’ sont les charges respectives de l’électron et du noyau d’hydrogène. Comme q=q’=q, on a (en omettant 1/4o pour alléger l’écrire, nous le reprendrons pour les calculs précis) L’équation d’onde devient

(1)L’atome d’hydrogène est constitué d’un électron de masse me et d’un noyau de masse

mp (proton), l’équation de Schrödinger s’écrit à nouveau

(2)

Introduisons les coordonnées relatives de l’électron et du proton x = xe- xp et les coordonnée du centre de masse

On a et (4)

l’équation de Schrödinger devient

(5)

Posons (masse réduite du système des deux particules)

et (masse de l’atome), on obtient

(6)

La fonction d’onde peut s’écrire (x,X,t) = (x,t) X(X,t) (7) L’équation d’onde se sépare en deux nouvelles équations

37

(3)

(8a)

et - (8b)

Ces deux équations traduisent le mouvement relatif de l’électron (x) et du noyau, d’une part et celui du centre de masse (X).

En se rappelant que la masse réduite est définie par

où mp =1840me, on peut négliger devant et on retrouve l’équation (1) où m=me.

Posons à nouveau (x,t) = (x)e-iEt/h (9)

L’équation (8a) devient

(10)

II- Etat fondamental de l’atome d’hydrogèneIntroduisons les coordonnées polaires : x = r cossin y = rsinsin z = rcosLa fonction (x,) devient (r,,)Le Laplacien en coordonnées polaires est donné par:

(11)

ou

(12) On peut écrire =R(r)G(,) et satisfait à l’équation

(13)

Posons R = A e-r/a, l’équation (13) devient (avec A0)

(14)Les coefficients de r et 1/r doivent être séparément nuls de sorte que

(15a)

et

(15b)La relation (15b) donne , qui est le rayon de Bohr de l’atome

d’hydrogène. En portant cette valeur dans (15a), on obtient

(16)

38

M

z

xy

r

qui est l’énergie de l’état fondamental de l’atome d’hydrogène.

III- Fonction d’onde

Ecrivons la condition de normalisation de la fonction d’onde R(r). On doit avoir

Comme dv = 4 r2dr ,on a ,

ce qui donne A = 1/( a3)1/2 La fonction d’onde s’écrit alors (17)

avec La probabilité pour que l’électron se

trouve à l’intérieur du volume dv autour du point de coordonnées (r, ,) est donnée par

dP = RR*dv=A2e-2r/ar2sindrdd.En intégrant sur et , on obtient la

probabilité sur la position r, soit

P(r)dr=A2e-2r/arr2drsindd

(18)

La densité de probabilité est représentée sur la figure ci-dessus. Elle est maximum pour r= a, (à cet effet annuler la dérivée) ce qui signifie que l’orbite

de Bohr peut être interprétée comme l’ensemble des points où la probabilité est maximum.

La fonction d’onde globale qui décrit l’atome d’hydrogène dans son état fondamental s’écrit finalement:

(19)

avec et IV- Harmoniques sphériques

L’équation d’ondes s’écrit en coordonnées polaires

(20)

où (21)

Posons et

(22) L’équation (10) devient

=0 (23)

Cette équation peut être résolue en séparant les variables, partie dépendant de et , et partie dépendant de r, soit:

39

P(r )

r

(24)

L’équation est vérifiée si chaque membre est égal à une constante , soit (25a)

et (25b)

En remplaçant 2 par son expression (21), l’équation (25a) devient

ou (26)

La fonction Y(,) solution de (26) est appelée harmonique sphérique et ne dépend que de la forme du potentiel.

Posons Y(,) =()(), l’équation (26) s’écrit à nouveau (27)

ou en divisant par ,

ou encore Cette équation n’a de solution que si chacune des parties dépendant de et de est

égale à une constante 2,

soit (28a)

et (28b)

L’équation (28b ) a pour solution la fonction

= Aeim +Be-im (29)La fonction d’onde (x,t) dépendant de ne peut être univoque que si est

périodique et de période = 2. Ce qui implique que est un nombre entier m.

La fonction d’onde est alors

= Aeim +Be-im,

avec A 2 =B2 =1/2 et m= 1, 2 ,3, 4, …, ce qui donne , avec m=0,±1, ±2, ±3, … (30)

Revenons maintenant à l’équation (28a) et introduisons la variable =cos, la fonction () est maintenant une fonction de et s’écrit

(31)

Posons , (32) l’équation (31) devient (33)

40

ime

O n montre que les fonctions Pm ne sont rien d’autres que les polynômes de Legendre

donnés par l’expression

(34)

Les premiers polynômes de Legendre sont :

P0 = 1, P1 = u, P2 = ½ (3u2 - 1), P3 = ½ (5u2 –3u), P4 =⅛(35 u2-30u +3).

où u= = cos

Les fonctions s’écrivent =AlmPl

m(), les harmoniques sphériques sont données

par

Ylm(,) = Al

m Plm() (35)

V- Solution de l’équation d’onde radiale et états excités de l’atome

L’équation d’onde (25b) est appelée équation d’onde radiale ( car elle ne dépend que de la distance r)

Remplaçons 2 par son expression (+1), on a

- (36)

Posons R(r) =f ( r)/r, l’équation précédente devient  

(37)

La condition de normalisation de la fonction d’onde s’écrit :

,

Car est égal soit à 1 si l=l’ et m = m’ , soit à 0 dans le cas contraire.

Quand r tend vers l’infini, l’équation (37) se réduit à

(38)

( V(r)=-q2/r tend vers zéro quand r tend vers l’infini).La solution est f

=Ae-ar + Be+ar, avec a =

41

La solution Be+ar tendant vers l’infini quand r tend vers l’infini, implique

f =Ae-ar (39) En outre la fonction f( r) doit tendre vers zéro quand r tend vers zéro, de sorte que l’équation (37) devient

(40)

Sa solution est de la forme A0r+1 + B0r-.

Comme f( r) doit être finie à r = 0, cela entraîne B0= 0, et

f( r)= A0r+1 (41)

Les solutions (39) et (41)suggèrent l’expression suivante pour f(r)

f( r) = r+1e-argl(r) (42)

Les solutions (39) et (41)suggèrent l’expression suivante pour f(r)

f( r) = r+1e-arg(r)La fonction g( r) doit satisfaire l’équation

(43)

avec et .

Développons g( r) en série,

(44)En portant dans (43), on obtient la relation de récurrence

(n+1)(n+2l+2)bn+1 =2a(n+l+1-1/2a) bn (45)

Quand n est très grand, la série est divergente. On a bn+1/ bn = 2a/n.

La série n’est convergente que si 1/a = +l+1 (coefficient de bn dans (45).

Ce qui donne br+1 = 0 ;

La relation 1/a = +l+1 donne (46) où n = +l+1.

L’expression (46) donne l’énergie des états excités de l’atome d’hydrogène.Les paramètres n, l et m représentent les nombres quantiques.

42

Chapitre VII

STRUCTURE ÉLECTRONIQUE DES ATOMES

I- Introduction

Nous avons vu dans l’étude de l’atome d’hydrogène, qu’un électron est caractérisé par quatre nombres quantiques :

- le nombre quantique principal n,- le nombre quantique de moment angulaire orbital ,- les composantes ml du moment angulaire orbital sur un axe de quantification,- le moment angulaire intrinsèque dit de spin s avec ses deux composantes 1/2.

Les électrons comme les nucléons étant des particules identiques, donc indiscernables, Pauli a établi un principe selon lequel deux particules identiques ne peuvent pas avoir le même ensemble des nombres quantiques n, , ml et ms. Elles doivent différer par l’un d’entre eux.

Ainsi nous pourrons obtenir le nombre d’électrons ayant le même nombre quantique principal n. Ces électrons constituent une couche.

Pour chaque valeur de n, on peut avoir toutes les valeurs de allant de zéro à n-1. Ces électrons constituent la sous couche .

II- Nombre d’électrons

Voyons maintenant comment on peut obtenir le nombre d’électrons constituant une couche, c’est à dire ayant la même énergie définie par le nombre quantique principal.

Pour une valeur donnée de n, on obtient le nombre total des électrons en faisant prendre au nombre quantique orbital , les valeurs allant de zéro à n-1.

Pour chaque valeur de , les composantes sur l’axe de quantification vont de m l= - à ml =+, soit 2 +1 valeurs différentes définissant (2+1) électrons.

Chaque électron pouvant avoir une valeur du spin égal à plus ou moins 1/2, soit deux valeurs, le nombre total des électrons est alors 2(2+1).

Ainsi nous obtenons, le nombre d’électrons correspondant à chaque valeur de  : m ms Nombre d ‘électrons

0 0 -1/2, +1/2 21 -1, 0, +1 -1/2, +1/2 62 -2, -1, 0, +1, +2 -1/2, +1/2 103 -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3 -1/2, +1/2 144 -4,-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4 -1/2, +1/2 18

Le nombre d’électrons pour chaque valeur de n, s’obtient , en sommant le nombre d’électrons de toutes les sous couches =0 à =n-1.

Ainsi nous obtenons le tableau ci-dessous

n Nombre d’électrons 2+1 Nombre total d’électrons1 0 2 2 22 0, 1 2 + 6= 8 103 0, 1, 2 2 + 6 +10 = 18 284 0, 1, 2, 3 2 + 6 + 10 + 14 = 32 42

43

Etat fondamental

Lorsque touts les électrons ont été placés dans les couches, en faisant varier le nombre quantique principal de 1 à n et le nombre quantique de 0 à n-1, on obtient l’état fondamental de l’atome. La représentation de l’état s’appelle nomenclature. Elle utilise les symboles représentant les sous-couches, ns2(2+1) pour =0, np2(2+1) pour =1, nd2(2+1)) pour =2, etc…, n représentant le nombre quantique principal correspondant à la couche à laquelle appartent la sous-couche, l’exposant 2(2+1), représentant le nombre d’électrons dans la sous couche.

Par exemple, la couche s comportant deux électrons (s=+1/2 et s=-1/2), on la représente par le symbole s2, la couche p, par le symbole p6, etc…

La nomenclature de l’atome d’oxygène comportant 8 électrons ets 1s22p6 le nombre 2 représentant la multiplicité

Etat excité

Les électrons occupent dans l’état fondamental, les couches les plus basses de l’atome. Lorsque tous les électrons sont placés, les couches de n plus élevé au-dessus de la dernière sous couche qui peut comprendre un électrons , les autres sous couches constituent les états excités de l’atome.

Si l’on fournit de l’énergie à un électron de l’atome, par exemple à l’aide d’un rayonnement électromagnétique, l’électron peut passer sur une couche plus élevé, selon l’énergie fournie, qui doit correspondre à la différence d’énergie entre la couche où se trouvait l’électron et la couche où il aboutit. On dit que l’on a excité l’atome. C’est le phénomène d’absorption.

Inversement, l’état excité ayant une durée de vie courte, quelques 10-14seconde, l’atome revient spontanément à l’état fondamental en réémettant l’énergie absorbée. C’est le phénomène d’émission.

Rayons X

Lorsqu’on expulse un électron d’une couche interne d’un atome (K,L,M , etc…), on dit qu’on a créé une lacune. Cette place ne reste pas longtemps inoccupé (par exemple K), elle est vite remplie par un électron d’une couche externe (par exemple L). La différence d’énergie EL-EK entre les deux couches mises en jeu est émise sous forme de rayonnement d’énergie h= EL- EK.

e-, Em

e-arrachée-, En

R-Xnoyau

Série L

Série M

Série K

noyau

K

L

M

N

44

Les niveaux d’énergie étant caractéristiques des atomes, les rayons X le sont également. Ils pourront donc être utilisés pour déterminer la composition des matériaux.

Les rayons X sont très pénétrants, ils peuvent traverser la matière, dans laquelle ils sont atténués (une partie d’entre eux peut être absorbée (voir effet photoélectrique, effet Compton). Le nombre de photons I ayant traversé une épaisseur x du matériau donné par l’expression I=Ioe-x, où Io est nombre de photons initiaux, est le coefficient linéaire d’absorption, caractéristique du matériau.

Les rayons X ont de nombreuses applications dans différents domaines : en médecine ils servent à la radiographie et le scanner pour l’imagerie médicale, en radiothérapie pour le traitement des tumeurs, en cristallographie pour la caractérisation des matériaux, dans l’industrie pour l’analyse des matériaux, la mesure des épaisseurs, etc…

LasersLe Laser (de l’anglais Light Amplificator by Stimulated Radiation), consiste à en

l’absorption d’une radiation de fréquence = (E2- E1)/h, qui fait passer l’atome du niveau fondamental 1 au niveau excité 2.

Nous avons vu q’un atome excité revient spontanément à l’état fondamental. Ce phénomène s’appelle l’émission spontanée.

Si n2 est le nombre d’atomes dans l’état excité d’énergie E2, le nombre dn2 d’atomes qui se désexcitent pendant l’intervalle de temps dt est dn2 = -An2dt.

La quantité est la probabilité d’émission spontanée.

Il est également possible de provoquer l’émission de rayonnement par un atome dans un état excité en le soumettant à l’action d’un rayonnement électromagnétique.

En effet dans la théorie classique de l’électromagnétisme, l’électron est considéré comme un oscillateur harmonique, de fréquence propre o . Lorsqu’il est soumis à l’action d’une force extérieure de fréquence , il entre en oscillation forcée, le mouvement peut être soit accéléré, soit freiné, l’énergie emmagasinée augmente (absorption) ou diminue (émission).

Par conséquent un atome dans un état excité E i peut absorber ou émettre de la lumière pour passer dans un état excité plus élevé ou plus bas.

Dans le cas de l’absorption, le nombre d’atomes qui passent de l’état E1 à l’état E2 par unité de temps est proportionnel à la densité d’énergie u du rayonnement électromagnétique

(Einstein) : (1)

Le coefficient B12 représente la probabilité d’absorption. Dans le cas de l’émission Einstein a suggéré que le rayonnement émis se compose de

deux contributions:1) - les atomes au niveau E2 reviennent spontanément au niveau E1 selon la loi du

hasard. Leur nombre est donné par (2)

A21 est la probabilité d’émission spontanée.2)- les atomes au niveau E2 peuvent tomber au niveau E1 sous l’action du rayonnement

électromagnétique incident, en émettant des photons. C’est l’émission induite ou provoquée ou stimulée.

dn2/dt

45

le nombre d’atomes dn2’ qui passent de l’état E2 à l’état E1 dans ce cas est proportionnel à la

densité d’énergie : u . (3)

B21 est la probabilité d’émission induite, elle est égale à la probabilité d’absorption B21 = B12.

L’équilibre entre émission et absorption s’écrit .

soit n1B21u = A31n2 + B12n2u

qui donne .

Lorsqu’un atome est dans un état excité, il peut revenir à l’état normal, spontanément ou par stimulation. Dans le premier cas on obtient un photon alors que dans le second (stimulation), on obtient deux photons. Si chacun d’entre eux peut à nouveau stimuler un atome, on aura après n opérations 2n photons.

On dit qu’on a amplifié le nombre de photons de photons initial.L’amplification n’est possible que s’il existe un nombre suffisant d’atomes dans l’état

excité. Or nous avons dit que l’émission stimulée est faible devant l’émission spontanée. A l’équilibre thermique, la population du niveau E1 est supérieure à celle du niveau E2

conformément à la loi de répartition de Boltzmann. Il faudrait alors rendre le nombre d’atomes dans l’état excité E2 supérieur au nombre n1 dans l’état inférieur E1, ce qui revient à "inverser les populations" des niveaux. L’opération est comparable au pompage de l’eau qui augmente son énergie potentielle en élevant sa hauteur.

Ce phénomène imaginé en 1949 par A.Kastler est appelé pompage optique, par lequel on fait monter des atomes dans l’état E1 vers l’état E2. Il consiste à utiliser trois niveaux : Le niveau E1, le niveau E2 et un niveau E3.

Supposons que la transition entre E3 et E1soit interdite par les règles de sélection et que la durée de vie de E3 soit très petite devant celle de E2. Faisons passer les atomes de E1 au niveau E3

adéquate par l’absorption d’une radiation adéquate. Par émission spontanée, les atomes au niveau E3 vont passer dans le niveau E2

dont la population va devenir plus grande puisqu’il se peuple plus vite qu’il ne se désexcite, jusqu’à devenir plus grande que celle de E1. On dit qu’on a réaliser une inversion de population. L’opération est appelée pompage optique.

En enfermant le milieu émetteur dans une cavité à paroi réfléchissante les photons émis par stimulation vont être réfléchi et provoquer à leur tour une stimulation, augmentation ainsi le nombre de photons émis (d’où le terme amplification).

Les applications du laser sont nombreuses, on peut citer la soudure ou la découpe de plaque métallique en métallurgie, la médecine en ophtalmologie pour le traitement du décollement de la rétine, la télémétrie, le guidage, la lecture de disque compacts, etc..

E3

E2

E1

46

Chapitre VIIINIVEAUX D’ENERGIE ET SPECTRES DES ATOMES

I- Les niveaux d’énergie de l’atomeNous avons vu comment déterminer les niveaux d’énergie de l’atome d’hydrogène à

partir de la résolution de l’équation de Schrödinger. Il est possible mais plus compliqué d’en faire autant pour tous les atomes à plusieurs électrons, car il est très difficile de résoudre l’équation de Schrödinger pour un problème à n corps (particules) .

Il faut à cet effet tenir compte des différentes interactions qui ont lieu dans l’atome. Les deux principales sont :

- Les interactions électrostatiques des électrons avec le noyau ,- Les interactions électrostatiques des électrons entre eux.

Le hamiltonien du système électrons- noyau, s’écrit

,

i représente le laplacien de l’électron i, ri la distance de l’électron i au noyau.

Le terme correspond à l’interaction de l’électron i avec le noyau,

Le terme est l’interaction entre un électron i et un électron j avec ji de façon à ne

compter qu’une seule fois cette interaction, rij désigne la distance entre les deux électrons.La résolution exacte de l’équation de Schrödinger n’étant pas possible, à cause de des

propriétés mathématiques des équations aux dérivées partielles, on a recours à des approximations successives. Ce problème sortant du cadre de ce cours nous donnerons seulement les résultats . De même que pour l’atome d’hydrogène, la mécanique quantique donne l’énergie des niveaux d’un atome à plusieurs électrons. Ces niveaux sont caractérisés par les nombres quantiques principal (qui caractérise le niveau, le nombre quantique orbitale , le nombre quantique m définissant la projection de sur l’axe de quantification, la composante ms du spin de l’électron.

Les électrons remplissent progressivement chacun des niveaux d’énergie n en commençant par le niveau de n=1 , d’abord la couche =0, puis les couche successives jusqu’à la couche =n-1.

Le remplissage se fait selon le principe d’exclusion de Pauli, concernant les particules identiques qui dit que deux particules identiques ne peuvent pas avoir dans le même niveau d’énergie, couche ou sous couche le même ensemble de nombres quantiques, ils doivent différer par l’un d’entre eux.Ainsi pour n=1, =0, seuls deux électrons de ms=1/2 et ms=-1/2, peuvent occuper la couche.Pour n=1, on peut avoir=0 et =1, correspondant à deux sous couches, une pour chaque valeur de . La couche =0, se remplit comme précédemment. Pour la couche =1, m peut prendre les valeurs 0, 1 et -1, pour chaque valeur de ms , soit 4 valeurs de m et ms

correspondant à quatre électrons différents. Le nombre d’électrons pour chaque sous couche est 2(2+1). Celui correspondant à la

valeur de n, s’obtient, en sommant le nombre d’électrons de toutes les sous couches de l=0 à

l=n-1, soit .

La somme des nombres d’électrons sur toutes les valeurs de n donne le nombre total d’électrons de l’atome. On obtient le tableau ci-dessous.Nombre quantique

Nombre quantique orbital Nombre d’électrons

Nombre d’électrons

Nombre total

47

principal n par s/couche

d’électrons par couche

n=1 =0 m=0 ms =-½ et ms =½ 2 2 2n=2 =0

=1 ……………………………m=-1 ms =-½ et ms =½m=0 ms =-½ et ms =½m= 1 ms =-½ et ms =-½

…………222

2

6

8

n=3 =0=1= 2

………………………………………………………………m=-2 ms =-½ et ms=½m=-1 ms =-½ et ms=½m= 0 ms =-½ et ms =½m= 1 ms =-½ et ms =½m= 2 ms =-½ et ms =½

………….…………........22222

2 6

10

18

II- L’état fondamental la configuration électronique de l’atome.Lorsque tous les électrons ont été placés dans les couches en respectant le principe

d’exclusion de Pauli, on obtient l’état fondamental de l’atome. Chaque électron est caractérisé par un nombre quantique principal n et un nombre

quantique orbital , désignant respectivement la couche et la sous couche dans laquelle il se trouve.

Chaque sous couche est désigné par un symbole s, p , d, etc…, correspondant aux valeurs de =0, 1, 2, 3, etc.,, précédé par la valeur de n et en exposant le nombre d’électrons.Par exemple, on a la couche 1s1 pour l’atome d’hydrogène, 1s2 pour l’hélium. Pour l’oxygène, on a les couches 1s2, 2 s2 et 2p4.

L’ensemble des symboles des sous couches, remplies progressivement désigne la configuration de l’état fondamental de l’atome. Une sous couche contenant le nombre maximum d’électrons permis par le principe d’exclusion de Pauli est dite complète, comme les sous couches 1s2, 2 s2 et 2p6.

On représente le schéma des niveaux par le diagramme ci-contre. L’ordre des couches se fait selon la loi de Hund (n+ croissant).

Couplage spin-orbiteLe placement des électrons dans les couches atomiques en faisant varier

de =0 à =n-1, attribue aux électrons d’une même couche la même valeur de l’énergie. On dit que le niveau est dégénéré. On lève cette dégénérescence en couplant le moment angulaire orbital et le moment cinétique de spin de l’électron, c’est à dire en faisant leur somme

. C’est ce désigne par l’expression de couplage et s. Cela revient à ajouter un terme dans l’équation de Schrödinger, ce qui se traduit par des énergies différentes à deux

électrons de j différents. Les sous-couches électroniques de même nombre quantique n et de même moment -s

+s

n,l∞

5s

4p

3d

4s

3p

3s

2p

2s

1s

n,l∞

5s

4p

3d

4s

3p

3s

2p

2s

1s

48

nombre quantique orbital , sont remplacées par deux sous-couches de moment angulaire et

, avec un écart en énergie E.

Différentes expériences ont permis de mettre en évidence les niveauix d’énergie de l’atome, telles que les expériences de spectres d’émission de Balmer, l’expérience de Franck et hertz et le mùodèle de Bohr.

VII- Largeur de raieL’observation des raies émises par un atome montre qu’elles ont une certaine largeur.Lorsqu’on observe le spectre d’émission des atomes à l’aide d’un spectromètre à cristal, en enregistrant l’intensité par pas de autour de la longueur d’onde , d’une raie, on obtient la figure ci-contre appelé spectre atomique, à la place de la raie qu’on obtient avec le spectroscope à prisme indiquant une raie d’une certaine épaisseur, mais dont l’intensité décroît en s’écartant du centre de la raie.La largeur , indique que la transition entre l’état excité et l’état fondamental, ne se fait pas avec une seule fréquence (monochromatique) mais dans un intervalle autour de la fréquence . Cet élargissement à plusieurs causes, dont les principales sont la largeur naturelle et la largeur Doppler.

a)- la largeur naturelleNous avons vu dans les relations d’incertitude d’Heisenberg, que l’énergie E d’un

niveau et sa durée de vie (temps que met l’atome pour retourner à l’état fondamental est tel que E. Ceci se traduit par une largeur de la fréquence de la transition, donc une largeur de la longueur d’onde correspondante. C’est cette largeur qui est appelée largeur naturelle. En mécanique classique, les atomes sont considérés comme des oscillateurs. L’amortissement des oscillations se traduit par une largeur de la fréquence.L’équation du mouvement s’écrit , dont la solution est

où . On peut considérer l’amortissement faible de sorte qu’on peut négliger le second terme et écrire qui montre que l’oscillation est pseudopériodique.

La transformée de Fourrier en fréquence de x(t) donne l’amplitude A()

Source émettrice(vapeur de mercure)

E

E

C

collimateur

collimateur

Cristal analyseur

détecteur

T

T

Intensité

49

L’intégration donne

Au voisinage de la résonnance (- o) o et l’on peut négliger le second terme. Alors

L’intensité est proportionnelle à A 2. Comme A est

complexe IAA* ou , dont la courbe

représentative est montrée sur la figure ci-contreOn voit sur cette courbe que la raie présente une largeur.On apelle largeur à mi-hauteur, l’écart , tel que l’intensité est égale à la moitié du maximum.

A2 est maximum pour o = . La largeur à mi-hauteur est obtenue pour |A|2()=1/2|A|2(o) , soit ()=1/2t. La largeur à mi-hauteur est le double de cette valeur MH (w)=1/t

b)- largeur Doppler Généralement les atomes émetteurs ne sont pas au repos (gaz en agitation). Ils ont

donc une certaine vitesse. Or on sait en mécanique classique que lorsque la source est animée d’un mouvement de vitesse v, cela se traduit par ce qu’on appelle l’effet Doppler, qui consiste en le changement de la fréquence du rayonnement émis en une fréquence ’ légèrement

différente telle que (si la source s’éloigne de l’observateur) ou (si la source

s’éloigne de l’observateur) (si la source se rapproche de l’observateur) . Lorsqu’on regarde dans une direction , par rapport à la direction du mouvement de la source, l’expression

devient .

En écrivant =c/, les relations précédentes s’écrivent ou

(quand l’atome s’éloigne) et ou soit ou

encore (pour l’atome qui se rapproche)

Comme la raie spectrale est la superposition des raies émises par de nombreux atomes, il s’ensuit un élargissement de la raie.

Ce qui donne au total, pour la largeur de la raie ou

.

Dans le cas d’un gaz en agitation thermique, la loi de répartition des vitesse est donnée par la

loi de Maxwell-Boltzmann

Intensité

o

Imax

Imax/2

50

En remplaçant vx par , la loi de distribution des vitesses devient

. L’intensité de la radiation est proportionnelle à cette fonction,

soit dont la courbe représentative est

donnée sur la figure ci-contre.La largeur à mi-hauteur est telle que l’intensité est égale à la moitié

du maximum, soit .

Ce qui donne en prenant le logarithme . Soit . La largeur

à mi-hauteur est le double de cette valeur, soit .

En remplaçant par , on a ou en utilisant la constante des gaz

parfait k=R/ɳ,k/m= R/ɳm= R/M ou ɳm=M masse molaire. Alors

Pour la raie à 2537 Å du mercure de masse molaire 200,59 g , et à la température de 500°K, la largeur Doppler est

,

Å=2,8668.10-3 Å

La largeur à mi-hauteur d’une raie spectrale est la contribution de tous les élargissements. Elle est telle que

On peut supprimer la contribution due à l’effet Doppler, en réduisant la température du gaz ou en utilisant un jet atomique, qui se propage dans une seule direction et en regardant dans la direction perpendiculaire selon laquelle la vitesse des atomes est nulle.

Détecteur

Direction d’observation

Jet atomique

Intensité

o

Max

Max/2

51

Chapitre IX

LES CONSTITUANTS DU NOYAU

I- Introduction

La notion d'atome remonte aux philosophes grecs au cinquième siècle avant l'ère chrétienne (ANAXAGORAS,LEUCIPPE et DEMOCRITE) qui supposèrent que la matière est formée de particules invisibles, indivisibles , incompressibles et en perpétuel mouvement qu'ils nommèrent atomes (du Grec atomus= indivisible). Ce n'est que bien plus tard , au 16è

siècle, qu'une réelle étude scientifique sur des considérations expérimentales commence. Les concepts atomiques ont été introduits par les chimistes. Les étapes suivantes se succédèrent.

Robert BOYLE (1629-1691) introduisit la notion d'élément chimique pour interpréter les réactions chimiques.

BERNOULLI employa, dans sa théorie cinétique des gaz, des modèles atomiques pour expliquer la pression exercée par les gaz sur les parois des vases qui les contiennent introduisant ainsi la notion d'atome.

LAVOISIER énonça en 1774 la loi sur la conservation de la matière selon laquelle " rien ne se perd, rien ne se crée, tout se transforme".

L’étude des corps purs a conduit les chimistes à les classer en deux catégories: les corps composés et les corps simples.

Les corps simples sont constitués de molécules, elles-mêmes constituées de particules identiques appelées atomes, en nombre variable selon l’élément chimique considéré, généralement un ou deux. Exemple, les molécules d’hydrogène, d’oxygène et d’azote comprennent deux atomes, celle du carbone, du fer et de l’uranium n’en comportent qu’un, la molécule d’ozone en comporte trois. On écrit H2, O2, N2, C, Fe, U et O3.

Les atomes de plusieurs corps simples peuvent s’unir pour constituer des molécules de corps composés. Exemple la molécule d’eau est H2O et celle de l’acide sulfurique est H2SO4.

Selon Proust (1801), les éléments chimiques se combinent dans une réaction chimique suivant des proportions bien définies dans un rapport constant. Si AaBbCc est la formule d'un corps composé constitué de a atomes de A , b atomes de B et c atomes de C, les masses m(i) sont telles que: m(AaBbCc ) = a m(A) + b m(B) + c m(C)

et a m(A)/(b m(B)) = 1 et a m(A)/(c m(C)) = 2,

m(i) désigne la masse du corps i et i les nombres de Proust.Ainsi 12 grammes de carbone se combinent à 32 grammes d'oxygène pour former 44

grammes de gaz carbonique ; le nombre de Proust est:a m(C)/(bm(O)) = 12/32=3/8.

DALTON (1808) approfondit cette idée, en énonçant la loi des proportions multiples, selon laquelle deux éléments A et B peuvent se combiner dans une réaction chimique pour donner, non pas un seul composé, mais plusieurs, selon la règle "les masses d'un corps A qui se combinent à la même masse de B sont dans des rapports simples égaux à des fractions rationnelles". Ainsi la combinaison de l'hydrogène et du carbone peut donner naissance à différents composés :

C + H2 CH2

C + 2H2 CH4

2C + 3H2 C2 H6

Les masses d'hydrogène qui se combinent à 12 grammes de carbone sont respectivement 2g, 4g et 3g.

52

L'étude de certains composés ayant des éléments communs permet de faire un choix judicieux sur la composition de leur formule. Par exemple, dans les composés oxygénés, la masse d'oxygène est toujours un multiple de 16. Il est alors naturel de penser que tous les composés oxygénés qui ont un rapport de Proust tel que le nombre 16 représente la masse d'oxygène, possèdent un atome de celui-ci. Il en est de même des composés carbonés où la masse de carbone est toujours un multiple de 12.

Pour les gaz, la loi d’Avogadro dit que le nombre d'atomes ou de molécules contenus dans un volume donné à une pression et une température données est le même pour tous les gaz".

La loi de Gay-Lussac (1808) indique que les volumes de gaz qui interagissent sont dans un rapport simple. Par exemple, 2 volumes d'oxygène se combinent à un volume d'azote pour donner un volume de NO2 ou une molécule d'azote se combine à deux molécules d'oxygène pour donner deux molécules de NO2 :

N2 + 2O2 2NO2 ,

où V(N2)/V(O2) = n1 et V(NO2)/V(O2)= n2

sont des rapports simples, la lettre V désignant les volumes respectifs.Comme on sait que 32 g d'oxygène se combinent à 28 g d'azote pour donner 92 g de

NO2, on a été amené à définir la masse molaire et la masse atomique d'oxygène et d'azote, et de la même manière celle celles d'un corps quelconque. Il faut donc choisir une unité de masse, qui est celle d'un atome d'un gaz standard, dont la masse atomique serait par définition égale à 1. Ce gaz est l’hydrogène.

Longtemps on avait choisi l’oxygène 16 dont la masse est égale à 16. Depuis 1960, on a préféré la masse de l’atome de Carbone 12 telle que M(12C)= 12.

La quantité d'un corps dont la masse en grammes est égale à M s'appelle une mole (ou molécule-gramme) ou atome-gramme représenté par la lettre A quand il s'agit d'un corps monoatomique.

Par exemple, un atome-gramme d'azote vaut 14 g et une mole 28g. Le nombre de molécules ou d'atomes contenus dans une mole ou un atome-gramme ne

dépend pas de la nature du corps considéré (loi d'Avogadro ). Si on considère deux corps A et B, on a:

M(A)/m(A) = M(B)/m(B) = L où M et m désignent respectivement les masses d'une mole (ou atome-gramme) et celle d'une molécule (ou atome ), L est appelé nombre de Lodscmidt ou d'Avogadro N et vaut 6,02 1023 molécules ou atomes.

Selon la loi d'Avogadro, le volume molaire, à la température T normale (T = 0° Celsius) et à la pression P (P = 1 atmosphère), est de 22,4 litres. La masse d'une molécule ou d'un atome est alors donnée par m = M/L = M/N .

La nature atomique de l’électricité a été introduite par Faraday à partir des expériences sur l’électrolyse selon lesquelles 96500 coulombs libèrent à la cathode d’un voltamètre une valence-gramme d’un corps.

L’électron est introduit par C.J.Stoney (1874).

II - Classification périodique des éléments

Mendéléiev eut l'idée en 1869 de classer les éléments suivant l'ordre croissant de leurs masses atomiques en mettant dans la même colonne les éléments ayant des propriétés chimiques semblables. Par exemple tous les métaux alcalins (lithium, sodium, potassium, etc.) réagissent sur l'eau en dégageant de l'hydrogène, les halogènes (fluor, brome, iode, etc.) forment avec l'hydrogène des acides et des sels avec les alcalins. A l’époque, la notion de

53

H

H H

H

H

H

H

HH

H

H

H

H

H

H H

H

H

H

H

HH

H

H

H

H

HH H

H

H

H

H

HH

H

H

H

H

H

H H

H

H

H

H

HH

H

H

H

H

H

H

H

H

H

H

H

H

H

H

H

H

H

Figure 1 :Modèle atomique de Prout

atome d’hydrogène

numéro atomique n’était pas encore connue, et pourtant Mendeleïev avait prévu des cases vides.

1 1H

2He

2 3Li

4Be

5B

6C

7N

8O

9F

10Ne

3 11Na

12 Mg

13Al

14Si

15P

16S

17Cl

18Ar

4 19K

20Ca

21Sc

22Ti

23V

24Cr

25Mn

26Fe

27Co

28Ni

29Cu

30Zn

31Ga

32Ge

33As

34Se

35Br

36Kr

5 37 Rb

38Sr

39Y

40Zr

41Nb

42Mo

43Tc

44Ru

45Rh

46Pd

47Ag

48Cd

49In

50Sn

51Sb

52Te

53I

54Xe

6 55Cs

56Ba

57-71Terres rares

72Hf

73Ta

74W

75Re

76Os

77Ir

78Pt

79Au

80Hg

81Tl

82Pb

83Bi

84Po

85At

86Rn

7 87Fr

88Ra

89-103Terres rares

104 105

106 107 108

Terres rares(Lantanides)

57

La58Ce

59Pr

60Nd

61Pm

62Sm

63Eu

64Gd

65Tb

66Dy

67Ho

68Er

69Tm

70Yb

71Lu

Terres rares(Actinides)

89Ac

90Th

91Pa

92U

93Np

94Pu

95Am

96Cm

97Bk

98Cf

99E

100Fm

101Mv

102No

103Lw

(Le nombre en haut de la case indique le numéro atomique de l’élément chimique).

III - Structure des atomes: les modèles atomiques

Toutes les considérations précédentes rendent plausible l'hypothèse que la matière est constituée d'atomes.

a)- Modèle de Prout

La première hypothèse sur la structure des atomes fut émise par Prout (1815) qui à partir de la constatation selon laquelle la masse M des atomes de tous les éléments est un multiple de la masse M(H) de l'atome d'hydrogène (M = n M(H); n entier), suggéra que les atomes de tous les éléments sont formés d'atomes d'hydrogène (figure 1).

En 1886 T. Crookes repris l’idée de Prout et expliqua que les masses ne sont pas entières à cause du mélange de deux éléments de masse entières différentes, éléments que Soddy appela isotopes (même place), hypothèse confirmée par J.J.Thomson en 1910.

Tableau périodique des éléments

54

b)- Modèle de Thomson

L’idée de Prout sera pourtant rejetée à la fin du 19ème siècle par les mesures précises des masses atomiques.

L’étude de la structure des atomes se poursuit avec les travaux de Crookes (1879) sur la décharge électrique dans les gaz.

Lorsqu'on applique une différence de potentiel entre deux électrodes placées dans un récipient contenant un gaz sous faible pression (figure 2), il se produit une forte luminescence. Quand la pression diminue jusqu’à atteindre 10-2 à 10-3 millimètre de mercure, celle-ci disparaît et on observe une fluorescence de la paroi en verre opposée à la cathode. Cette fluorescence est constituée de rayons cathodiques (car ils proviennent de la cathode).

Jean Perrin montra en 1895 que les rayons cathodiques transportent une charge électrique négative.

Thomson étudia (1897) ces rayons. Ils sont déviés de leur trajectoire par l'action d'un champ magnétique ou électrique comme le sont les électrons. Il identifia alors les rayons cathodiques à des électrons. Faraday avait déjà postulé l’existence de la charge électrique élémentaire dans la loi sur l’électrolyse, selon laquelle 96500 coulombs libèrent une valence gramme d’hydrogène dans un voltamètre à eau acidulée. (On voit bien qu’avec le nombre d’Avogadro N=6,02 1023 et la charge de l’électron mesurée par Millikan e=1,610-19 coulombs, on a bien Q=6,02 1023 x1,610-19 =96 500cb.

Comme les électrons proviennent des atomes, (on savait déjà avec Becquerel que les corps radioactifs émettent des électrons: radioactivité bêta), il conclut que les atomes isolés, électriquement neutres, sont constitués par des électrons distribués de façon homogène à l'intérieur de la matière chargée positivement.

Selon ce modèle atomique de Thomson, dit modèle du plum-pudding (gâteau de prunes), la masse et la charge positive de l’atome, sont répartie uniformément à l’intérieur d’une sphère de rayon r.

Les électrons se déplacent à l’intérieur de charges positives en subissant des oscillations forcées. Si Ze est la charge positive de la sphère, un électron périphérique est soumis à une force attractive égale à –Ze2/4or2. Si o est la pulsation propre d'oscillation de l’électron, l'intensité de la force est obtenue en écrivant

f = – mo2r = – Ze2/ 4or2

où m et e désignent, respectivement, la masse et la charge de l'électron, Ze la charge de la sphère positive, de rayon r. On obtient r = (Ze2/4omo

2)1/3.

Figure 2 : Dispositif expérimentalpour l’observation des rayons cathodiques. C: électrode émettrice, A: anode, E: écran fluorescent

AC

E

Modèle de Thomson (Plum- pudding) électron matière chargée positivement

- - --

-

-

--

--

- -

-

-

- -

-

-

-

-

-

- -

-

-

-

-

- -

-

-

55

Les radiations émises par les atomes étant situées dans le visible ou l'ultraviolet de longueur d’onde = 3000Å, on a

o = 2=2c/=2x3,14x3.108/3.10-7=6,281015 sec-1 et r=10–8 cm. Cette dernière valeur constitue une première estimation du rayon atomique.

c)- Modèle de Rutherford

D'autres découvertes ont permis d'approfondir l'étude de la structure des atomes. En 1895 Rœntgen découvre les rayons X, tandis qu'en 1896 Becquerel attribua le

noircissement des plaques photographiques placées au voisinage de sels d'uranium, à un nouveau phénomène appelé radioactivité.

Par la suite, Pierre et Marie Curie en 1898, remarquèrent que la radioactivité émise par un minerai d'uranium est plus importante que celle due à l'élément uranium, pur. Ils attribuèrent cet effet au fait que le minerai contient deux autres éléments radioactifs radium et polonium) provenant de la désintégration de l’uranium, de sorte que la radioactivité observée est la somme de celle de l’uranium seul et de ses descendants. Ils ont ainsi découvert la famille radioactive. Rutherford et Soddy élaborèrent la théorie de la décroissance radioactive en 1903.

L'étude des rayonnements émis par les éléments radioactifs permit de les classer en trois types: la désintégration alpha () correspondant à l'émission de particule He++ deux fois ionisée, la désintégration bêta (-) et (+) correspondant à l'émission d'un électron ou d’un positon, une particule identique à l’électron mais portant une charge positive et enfin la désintégration gamma correspondant à l'émission de photon de grande énergie. La découverte de la radioactivité alpha, allait permettre à Rutherford et ses étudiants de préciser la structure de l’atome. En effet, Geiger et Marsden étudièrent la diffusion (figure 3) par des cibles d'or, des particules d’énergie 5,5 MeV, émises par le radon (corps radioactif),. Ils constatèrent que la plupart des particules sont diffusées vers l'avant (comme si elles ne rencontraient aucun atome, ce qui est la preuve du grand vide qui existe entre les atomes), alors qu’une très faible partie d'entre elles subit des chocs avec les atomes et est déviée dans toutes les directions (d’où le nom de diffusion de Rutherford), certaines particules l’étant à des angles supérieurs à 90° (diffusion arrière ou rétrodiffusion de Rutherford appelée RBS, de l'anglais Rutherford Back Scattering).

Ce phénomène ne peut être expliqué par le modèle de Thomson qui prévoit un très faible angle de diffusion de 0,025°. Rutherford montra, alors, que les particules alpha étant chargées positivement, seul un champ électrique intense dû à des charges positives concentrées dans une petite région de l'espace pouvait les repousser (figure 4) . Cette charge positive était déjà prévue par Lénard et constitue le noyau de l’atome.

Comme l'atome est électriquement neutre et que les électrons sont chargés négativement, la charge positive du noyau est égale en valeur absolue à celle de l'ensemble des

Figure 3: Schéma de la diffusion de RutherfordS : source, C: cible, D1 et D2 : diaphragmes

S

D1D2

C

Détecteur(ZnS)

S C

--

-

- ----

-

--

--

--

--

--

--

-- -

--

--

--

--

-

--

-+

+

Figure 4 : Modèle atomique de Rutherfordélectronnoyau

-56

électrons qui sont distribués uniformément autour du noyau.

En 1913 Bohr construit le modèle planétaire de l’atome dans lequel les électrons gravitent autour du noyau sur des orbites stationnaires comme le font les planètes autour du Soleil.

En 1919, Rutherford utilisa les particules alpha pour bombarder des noyaux de deutérium provocant l'émission de noyaux d'hydrogène.

Comme certains noyaux émettent des électrons dans le phénomène de la radioactivité, il suggéra que les noyaux de tous les corps sont formés d'électrons et de noyaux d'hydrogène appelés protons (on voit bien ici que l’idée de Prout n’était pas si mauvaise).

L'hypothèse la plus naturelle est donc qu’un noyau de charge positive Ze est constitué de A protons et (A-Z) électrons, où A représente le nombre de masse introduit par Prout, les A-Z électrons étant requis pour annuler la charge excédentaire des protons. En effet l'atome étant électriquement neutre, si on désigne par x le nombre des électrons du noyau, on doit avoir

(Ae++xe-+ Ze- =0 d'où x = A-Z .Ce modèle fut connu sous le nom de modèle électron-proton du noyau(figure 5) .Cette idée sera maintenue jusqu’en 1932, lorsque Chadwick découvre le neutron. En

effet quand des noyaux de béryllium sont bombardés par des particules alpha, des particules neutres très pénétrantes sont émises. On pensa d’abord que ce sont des rayons gamma (car ils ne sont pas chargés).

Comme les particules émises ne sont pas détectées directement par le processus d'ionisation (comme le sont les gamma), on abandonna alors cette hypothèse, d’autant plus que l’application des lois de conservation de l’énergie et de la quantité de mouvement dans les réactions nucléaires, indiqua que ces particules ne pouvaient pas être des rayons gamma.

Chadwick montra que ces particules neutres ont des masses très voisines de celle du proton; comme elles ne sont pas chargées, il les dénomma neutrons.

Depuis la découverte du neutron, on admet qu’un noyau de nombre de masse A est constitué de Z protons et de N=(A–Z) neutrons (figure 6).

On considère le proton et le neutron comme deux états de charge d’une même particule appelée nucléon.

d)- Modèle des quarks

En 1961 Gell-Mann proposa un modèle selon lequel toute particule élémentaire y compris les nucléons est constituée de quarks au nombre de six:

u

u

d

proton : 2 quarks u et un quark d

d

u

d

neutron: 2 quarks d et un quark u

Figure 5: Modèle du noyau : électron-proton de Rutherford : cas du Carbone 14: A=14, Z=6, x=A-Z=8 + proton, électron

++ +

++ +

++

++

+

++ +

_

_

__

_

_

__

_

Figure 6: modèle du noyau, cas du 14

6C8: Z=6, N=8, A=N+Z=14 neutron, proton+n

n

+

+

n

+

+

+

nn

n

nn

+

n

57

u (up), d (down), c (charmed), s (strange), t(top) et b (botton ou beauty). Ainsi le proton est constitué de deux quarks u et d’un quark d, alors que le neutron comporte un quark u et deux quarks d.

A ce jour aucun quark n'a pu être observé expérimentalement, la tentative de séparer les quarks se heurte à l’interaction forte qui augmente avec la distance comme pour deux masses liées par un ressort.

L’étude des quarks est la Chromodynamique, nom donnée à la théorie de l’interaction forte.

La figure, ci-dessous, montre l’image d’un cristal de silicium obtenue à l’aide d’un microscope à effet tunnel, on peut observer les atomes formant un réseau hexagonal

IV- Nomenclature des noyaux

On représente un noyau de nombre de masse A par le symbole où X est le symbole chimique de l'élément; exemple 16O pour l’oxygène, 56Fe pour le fer, 235U pour l’uranium. Le symbole chimique fixe le nombre de protons Z, par exemple, Z=8 pour O et Z=92 pour U. Cependant, souvent, notamment pour les éléments lourds, on indique Z et on écrit, par exemple, et . On peut également donner le nombre de neutrons et écrire par

exemple .Finalement on peut représenter un noyau par le symbole .Les différentes définitions sont portées dans le tableau ci-dessous.

Appellation ou symbole

Définition

Nucléon p ou nnoyau A

ZMN

isotopesisobares

isotones

isodiaphères

noyaux miroirs

proton ou neutronassemblage de nucléons : Z protons et N neutrons et de nombre de masse Anoyaux de même Z mais de A différents, exemple 13 N, 14N et 15Nnoyaux de même nombre de masse A mais de Z et N différents,exemple 15N, 15O et 15Cnoyaux de même nombre N de neutrons, mais de Z et A différents,exemple N7, O7, et C7

noyaux ayant le même nombre N-Z de neutrons en excès,exemple 22

10Ne10 et 188O10

noyaux dont le nombre de protons de l'un est égal au nombre de neutrons de l'autre, exemple 15

7N8 et 15

8 O7

V-Découvertes récentes

En 1934 Irène et Frédéric Joliot montrèrent que beaucoup d'éléments stables émettent des rayonnements lorsqu'ils sont soumis au bombardement de particules alpha mettant ainsi en évidence la radioactivité artificielle.

La fission nucléaire a été découverte par Hahn et Strasman (1938) en soumettant certains noyaux lourds au bombardement de neutrons de très faible énergie (énergie d’agitation thermique), dits neutrons thermiques, ouvrant la voie à la production d'énergie nucléaire et son application pratique à la production d'énergie électrique.

58

La mécanique quantique introduite par Planck, Einstein et de Broglie en 1932.L'antiproton, particule de masse égale à celle du proton et de charge opposée, fut

découvert par Chamberlain en 1955.Cockroft et Walton simultanément avec Van de Graaf, mettent au point en 1931 la

première machine permettant de communiquer de l'énergie (accélérer) aux particules, à l’aide d’une machine électrostatique de haute tension (plusieurs milliers de volts) appelée accélérateur, ouvrant ainsi la voie aux réactions nucléaire.

V-ConclusionLa physique nucléaire a influencé considérablement les autres sciences et présente de

nombreuses applications dans divers domaines: - découverte de nouveaux éléments chimiques, - utilisation des isotopes en biologie, médecine et industrie (notamment les traceurs), - exploitation des réactions nucléaires pour la production d’énergie (fission et fusion), - utilisation des accélérateurs de particules pour l'analyse élémentaire,

Avec les découvertes sur la constitution de la matière, notamment l'avènement de la Physique Nucléaire, on pourrait dire que la découverte de la pierre philosophale si chère aux alchimistes est enfin faite, on peut en effet par le moyen des réactions nucléaires fabriquer tous les matériaux, mais à quel prix!

59

Chapitre X

CARACTÉRISTIQUES DU NOYAUCHARGE, MASSE ET DIMENSION DU NOYAU

I- Charge

Rutherford a montré qu'un atome est constitué d'un noyau central de charge Ze- et de Z électrons périphériques, la charge totale de l'atome étant nulle. Le noyau atomique porte donc une charge positive qui peut être déterminée par diverses méthodes.

Dans la diffusion de Rutherford la section efficace différentielle (voir plus loin) est donnée par l'expression

d/d = b2/16 sin4(/2) où b2 = 2Zze2/M0 v2 et M0 = M1M2 / (M1+ M2), la masse réduite du système des deux particules en interaction et v la vitesse d'approche (la cible étant au repos v est la vitesse de la particule incidente).

La mesure de d/d permet de déterminer Z, lorsque l'on connaît z.

Une autre méthode consiste à utiliser la spectroscopie de rayons X. En effet la loi de Moseley (1913) qui donne les longueurs d'onde des discontinuités d'absorption par l'expression =(1/)=R(Z-C)2/n2 où R= 109677 cm-1 est la constante de Rydberg, C la constante d'écran dépendant de la couche en jeu, Z le numéro atomique de l'atome et n le nombre quantique principal.

L'énergie de la raie émise est donnée par En = h=hc/= Rhc(Z-C)2/n2 = 0,0136 (Z-C)2/n2 KeV

h= 6,626 10-34 MKS, étant la constante de Planck, c= 3 108 m/s la vitesse de la lumièrePour la couche K, n=1, C=1, la discontinuité d'absorption du cuivre se produit à

l'énergie E=10,6 KeV et l'on a: Z-1= (10,6)1/2/(0,0136)1/2= (771,4)1/2 = 27,9d'où Z (Cu)= 27,9 +1=28,9 29

De même, pour le Molybdène, l'énergie étant 22,6 KeV, on trouve Z(Mo)= 42.D'autres méthodes telles que la capture K, la conversion interne, permettent la

détermination de la charge du noyau et aboutissent toutes à la conclusion que le noyau atomique porte une charge positive égale à Z fois la valeur absolue de la charge de l'électron. Les noyaux ayant la même charge donc le même nombre d'électrons périphériques sont appelés isotopes. Ils ont les mêmes propriétés chimiques. On Z=0 pour le neutron et Z=1 pour le proton.

II-Masse du noyau et énergie de liaison

a)- Masse du noyau

La matière ayant une masse, des fractions de celle-ci en ont également. Ainsi les noyaux que sont les atomes dépourvus d'électrons ont une masse. Celle-ci ou plus exactement celle des atomes est déterminée à l'aide d'appareils, appelés spectromètres ou spectrographes de masse. Ces derniers sont basés sur le principe de l'action combinée des champs électriques et magnétiques sur les particules chargées, comme les ions des atomes.

La détermination des masses des noyaux peut se faire également à l'aide des réactions nucléaires.

Une première idée de la masse des noyaux peut être obtenue à partir de la somme des masses de leurs constituants que sont les protons et les neutrons. On pourrait écrire:

60

AZM= Z mp + Nmn ,

m pet mn représentant respectivement les masses du proton et du neutron. La masse de l'atome s'obtient en ajoutant la masse des Z électrons.

M= Z mp + Nmn+ Z me

Les mesures précises effectuées avec les spectromètres de masse indiquent une légère différence entre la masse des noyaux et la somme des masses des protons et des neutrons. Cette différence est appelée défaut de masse m. A

ZM= Z mp + Nmn-mLa quantité mc2 correspond à l'énergie libérée lorsqu'on rassemble les nucléons pour

obtenir un noyau ou celle qu'il faut fournir pour l'éclater en ses constituants.De nombreux spectroscopistes préfèrent utiliser le terme d’excès de masse pour la

quantité AZm c2=( A

ZM-A)c2 et réservent le nom d'énergie de liaison à la quantité mc2= Z mp + Nmn- A

ZM. C'est l’excès de masse qui est généralement donné dans les tables.

On a par exemple pour le proton 11= 0,007825 u et pour le neutron 1

0=0,008665 u.

b)-Unité de masse atomique

Le kilogramme est une unité trop grande pour le monde microscopique, de sorte qu'on a été amené à choisir une unité plus adaptée. L'Union Internationale de Physique Pure et Appliquée ( IUPAP en anglais International Union for Pure and Applied Physics ) a adoptée l'unité de masse atomique de symbole u comme étant la douzième partie de la masse de l'atome de Carbone 12:1u = (masse atomique de 12C )/12. Comme une mole de 12C a une masse de 12 g et que le nombre d’Avogadro vaut N = 6,02 1023 , on a :

1u = 12 10–3kg/ (12 6,02 1023 ) = 1,66043 10-27kgce qui montre bien que le kilogramme est une unité trop grande pour les masses atomiques et nucléaires.

On a, par exemple, pour le proton 11H=1,007824u et pour le neutron 1

0H=1,008665u. Remarquons que le neutron est légèrement plus lourd que le proton.

c)-Equivalence entre la masse et l'énergie

Einstein a montré en 1905 dans le cadre de la théorie de la relativité, qu’il y a équivalence entre la masse m et l'énergie E totale d’une particule selon la relation :

E = mc2 , où c est la vitesse de la lumière dans le vide.

Dans une réaction exothermique (réaction dégageant de l'énergie sous forme de chaleur), la masse totale des produits de la réaction doit être moindre que celle des produits réagissant, la diminution de la masse correspond au dégagement d'énergie.

Si on ajoute de la chaleur à un corps (expérience du corps noir), sa masse devrait augmenter.

Cependant ces changements ne peuvent pas être facilement observés à cause de la faiblesse des variations de masse mises en jeu.

Du point de vue des unités de l’énergie, les unités habituelles sont trop grandes et les physiciens nucléaires ont défini une unité plus adaptée qui est l'électron-volt (eV), représentant la variation de l’énergie cinétique d'un électron qui subit une différence de potentiel de 1 Volt :

1 eV = 1,602.10-19 Joule = 1,602.10-12 erg

61

En utilisant l'équivalence de la masse avec l’énergie, on peut exprimer les masses des noyaux en unités d'énergie divisées par c2 , m = E/ c2.

La relation E=mc2 donne 1uc2 = 1,6604.10-27 x (3.108) = 14,923.10-11 Joule.Avec la définition de l’électron volt, on obtient :1u = 14,923.10-11/1,602.10-19 = 9,315.108eV/ c2 931,5 MeV/ c2. La valeur admise est :1u = 931,441 MeV/ c2

La masse de l'électron est telle que mec2 = 0,510 MeV,celle du proton est mpc2 = 938,7295 MeV et celle du neutron est mnc2 =939,5119 MeV

L'équivalence entre la masse et l'énergie se vérifie par les transformations de matière dans la fission nucléaire qui est réalisée dans les réacteurs nucléaires qui produisent de l’énergie, la matérialisation de l'énergie dans les accélérateurs de particules, etc...

d)-Energie de liaison

La relation donnant la masse d'un noyau en fonction de ses constituants, s'écrit

AZMc2= Z mpc2

+ Nmnc2-mc2 ,La quantité -mc2 est équivalent à une énergie et s’appelle énergie de liaison E, qui

s’ écrit : E = ( A

ZM- Zmp - Nmn) c2

En utilisant les excès de masse, on obtientE = (A+A

Z)- Z(1+ mp)- N(1+mn)c2 = AZM -Zmp -Nmn c2

Pour le deutéron , on aE =(0,014102-0,007825-0,008665) c2

= -2,224 MeV.Dans beaucoup d’ouvrages, E est prise comme positive

et AZM= Zmp + Nmn- E/c2

Pour comparer la stabilité des noyaux on définit l'énergie de liaison par nucléon E/A. Celle-ci varie d'un noyau à l'autre selon la figure ci-dessous.

Les noyaux ayant une grande stabilité sont situés sur le haut de la courbe représentant la valeur absolue E/A en fonction de A.

On voit sur la figure que E/A augmente pour A allant de 2 à 20, passe par un maximum pour A50, puis décroît lentement tout en restant supérieur à 7,5MeV.

Cette courbe explique la possibilité de libération d'énergie soit par fusion de noyaux légers (cas de deux noyaux de deutérium pour former un noyau d'Hélium), soit par fission de noyaux lourds (cas de l'Uranium).

62

Une étude détaillée montre que l'énergie de liaison dépend des caractéristiques du noyau (volume, surface, numéro atomique, différence entre nombre de protons et neutrons et du fait que A est pair ou impair). Les différents termes ont été obtenus par Bohr en assimilant le noyau à une goutte de liquide (dont les molécules représentent les nucléons) de forme sphérique.

Selon ce modèle- le noyau a une forme sphérique,- la matière nucléaire est incompressible (comme la goutte de liquide),- la force nucléaire est la même pour chaque paire de nucléons (p-p, p-n, n-n); on dit

qu'elle est indépendante de la charge. Elle est également à courte portée, chaque nucléon n'interagissant qu'avec ses plus proches voisins.

Selon des considérations empiriques, l’expression de l’énergie de liaison est donnée par:

El = a1A - a2A2/3- a3 - a4 +a5A-3/4.

La masse d’un noyau est alors donnée par:

M(A,Z) = Zmp +Nmn- 1/c2(a1A - a2A2/3- a3 - a4 +a5A-3/4).

Lorsque A est grand on peut prendre

M(A,Z) = Zmp +Nmn- 1/c2(a1A - a2A2/3- a3 - a4 +a5A-3/4).

Cette expression est appelée formule semi-empirique de masse ou de Von Weizsäcker.Les mesures précises des masses atomiques avec les spectromètres de masses et les

bilan d'énergie des réactions nucléaires ont permis la détermination des différents cœfficients. On a : a1= 14,1 MeV, a2= 13 MeV, a3= 0.595 MeV, a4= 19 MeV, a5 = 33.5 MeV,avec = +1 : noyaux pair-pair, = 0 : noyaux pair- impair, et = -1: noyaux impair-impair.

e)- Isobare le plus stable et désintégration bêta

Pour une famille d'isobares (A constant), l'expression de la masse d'un noyau en fonction du numéro atomique est une fonction du second degré

La courbe représentative est une parabole. Le noyau le plus stable est celui pour lequel l'énergie de liaison est la plus élevée en valeur absolue, donc celui dont la masse est la plus basse. Il se situe au minimum de la courbe. Son numéro atomique est obtenu en annulant la dérivée de la masse par rapport à Z, soit, en prenant l’expression en Z(Z-1):

qui donne

ou , pour la formule avec Z2

Remarque:

63

Pour les noyaux lourds, on peut utiliser sans grande erreur la formule obtenue avec le terme de surface en Z2.

Le noyau stable correspondant à la masse minimale est celui ayant Z = Zo, Comme celui-ci est généralement un nombre décimal, on prend le nombre entier le plus proche. Les noyaux dont le nombre de masse est différent, sont instables et se désintègrent par émission bêta. Ceux de Z inférieur à Zo le font par émission bêta moins, ceux de Z supérieur à Zo le font par émission bêta plus ou capture électronique.

On distingue deux cas, celui des noyaux de A impair et celui des noyaux de A pair. (Z pair, N pair et Z impair et N impair)

Dans le premier cas = 0 et il n'y a qu'une seule parabole, il ne peut y avoir qu’un seul noyau stable.

Exemple, l’isobare le plus stable de la famille A=123 est obtenu pour Zo=51,997.Z devant être un nombre entier, l’isobare le plus stable est donc le noyau de Z=52.

Dans le second cas, est égal, soit à -1 (noyaux impair-impair), soit à +1 (noyaux pair-pair), donnant lieu à deux paraboles, il peut y avoir un à deux noyaux stables (confirmant l’excellente stabilité des noyaux pair-pair.

Exemple : Le calcul donne pour l’isobare le plus stable de la famille A=124, Zo=52,514. Le nombre entier le plus proche est 53, qui correspond à un noyau impair-impair. Celui-ci étant instable, on doit donc prendre Z le plus proche à savoir Z=52 qui correspond au noyau pair-pair le plus stable. Le noyau correspondant est le , mais et le sont également stables.

Figure : Parabole de stabilité  noyau de A impair

64

f)-Energie de séparation

Les nucléons étant fortement liés dans le noyau, il faut dépenser une énergie pour en arracher un d’entre eux, c’est l’énergie de séparation, qui est l’opposée de l’énergie de liaison du dernier nucléon.

D’après la loi de conservation on a: S =M(A-x,Z-y) +m(x, y) – M(A,Z)c2

= El(A,Z)- El(A-1,z)- El(x,y) où M(A-1,Z), M(A,Z) ,m(x,y) représentent respectivement les masses des noyaux résiduel, initial et de la particule arrachée.

Dans le cas où m(x, y) est un proton , on a Sp= M(A-1,Z-1) +mp) – M(A,Z)c2.

Dans le cas où m(x, y) est un neutron , on a Sn= M(A-1,Z) +mn) – M(A,ZExemple: l’énergie de séparation du neutron dans 13C est : Sn=M(12, 6) +mn) – M(13,6)c2. Comme 12C= 12u, 13C = 13.003354u, mn= 1.0086654u et Sn= 4.947 MeVDe même on trouve pour 7Li, Sn(7Li)= 7.243 MeV

et pour 4He, Sp( 4He) = 21.795 Mev.

III-Forme et dimensions du noyau.

a)-Introduction

Nous avons déjà dit que la première notion sur la forme du noyau a été donnée par la théorie cinétique des gaz dans laquelle les noyaux sont des sphères solides.

J.J. Thomson a suggéré qu'un atome a une forme sphérique, il est chargé positivement et de dimensions de l’ordre de 10-8cm, dans lequel les électrons sont répartis de façon homogène (plum pudding).

-

+

Noyaux stables

Parabole de stabilité : noyau de A pair :Courbe (a): noyaux impair-impair (instables)Courbe (b) : noyaux pair-pair (plus stables), les flèches verticales indiquent les noyaux stables

(a)

(b)

65

Rutherford a introduit le noyau atomique, ayant également une forme sphérique, de rayon de l’ordre de 10-12cm. Dans l'expérience de diffusion des particules alpha sur une cible d'or, les noyaux d'or, de charge positive Ze, exercent sur les particules alpha également chargées positivement une force électrique répulsive. Si E est l'énergie cinétique d'une particule alpha de charge ze, dans le cas d'un choc frontal, la particule alpha, s'approche du noyau d'or à une distance D, appelée distance minimum d'approche. A cet endroit la particule alpha n'a plus d'énergie cinétique, mais uniquement une énergie potentielle due à son interaction avec le noyau cible. La conservation de l'énergie s’exprime en écrivant que l'énergie E loin du noyau (considéré au repos) est égale à l'énergie lors de la collision égale à l'énergie potentielle Zze2/D, soit :

Ec() + Ep() = Ec(D) + Ep(d). Comme à l’infini Ep() =0 et à la distance D, Ec(D) =0, on obtient

.

Pour des particules alpha de 25 MeV, diffusées par des noyaux d'or (Z =79) on trouve une distance D de 10-12 cm, qui donne l’ordre de grandeur de la taille du noyau.

b)-Unité de longueur en physique nucléaire

L'unité de longueur du système MKSA étant trop grande pour mesurer les dimensions nucléaires, on introduit une nouvelle unité appelée fermi (fm), 1 fm = 10-15m.

IV- Unités en physique nucléaire

L’unité de la charge est celle de l’électron e=4,803 uescgs=1,6.10-19cb.L'unité de longueur du système MKSA étant trop grande pour mesurer les dimensions

nucléaires, on introduit une nouvelle unité appelée fermi (fm), 1 fm = 10-15m.L'unité d’énergie est l’électron-volt (eV). 1 eV=1,6.10-19joule. Les multiples sont le

MeV (106 eV), le GeV (109 eV).L'unité de masse est l’unité de masse atomique u douzième de la masse de 12C, telle

que u=1,66.10-27kg. On exprime également les masses en unité d’énergie divisée par c2

66

Chapitre V Energie de liaison.

Modèle de la goutte liquide et formule semi- empirique de masseou de Weizacker

(vérifier s’il n’y a pas un second noyau stable de A=124)

1- Définition de l’énergie de liaison.

La relation donnant la masse d'un noyau en fonction de ses constituants, s'écrit

AZMc2= Z mp c2

+ Nmn c2-m c2 ,Par définition, l’équivalent en énergie de la quantité mc2 est appelée énergie de

liaison El,, qui s’ écrit : El = (Z mp + Nmn- A

ZM ) c2

En utilisant les défauts de masse, on obtientEl = Z(1+ mp ) + N(1+mn ) - ( A+A

Z ) c2 = Z mp +Nmn - AZM c2

Pour le deutéron , on aEl =(0,007825 + 0,008665-0,014102) c2

= 2,224 MeV.Pour comparer la stabilité des noyaux on définit l'énergie de liaison par nucléon E l/A

qui varie d'un noyau à l'autre selon la figure ci-dessous.

El/A augmente pour A allant de 2 à 20, passe par un maximum pour A50, puis décroît lentement tout en restant supérieur à 7,5MeV.

Cette courbe explique la possibilité de libération d'énergie soit par fusion de noyaux légers (cas de deux noyaux de deutérium pour former un noyau d'Hélium), soit par fission de noyaux lourds (cas de l'Uranium)

L'énergie de liaison dépend des caractéristiques du noyau, représentées par différents termes. Ces termes ont été obtenus par Bohr en assimilant le noyau à une goutte de liquide de forme sphérique, (dont les molécules représentent les nucléons).

Selon ce modèle- le noyau a une forme sphérique.- la matière nucléaire est incompressible (comme la goutte de liquide).

67

- la force nucléaire est la même pour chaque paire de nucléons (p-p, p-n, n-n), on dit qu'elle est indépendante de la charge. Elle est également à courte portée, chaque nucléon n'interagissant qu'avec ses plus proches voisins.

I- Terme de volumeLa courbe donnant la variation de l'énergie de liaison par nucléon montre que celle-ci

est presque constante, sauf pour les noyaux légers. L'énergie de liaison qui est le travail des forces nucléaires est donc proportionnelle au nombre de nucléon soit à A. En effet EL/A= cte donne :

EL= cte x A

Or nous avons vu que le rayon du noyau est donné par R=roA1/3, ou .

En portant dans l'expression ci-dessus, on obtient:

Qu’on écrit EL = a1A.Comme le nombre de nucléons est proportionnel au volume du noyau, ce terme est

appelé terme de volume.

II- Terme de surface

Les nucléons à la surface (quadrillage) du noyau ont moins de voisins que ceux à l'intérieur (lignes horizontales), ils sont donc moins liés. Leur nombre est proportionnel à la surface du noyau qui varie en R2 donc en A2/3. On tient compte de cet effet en en introduisant un terme correctif

El(surf)= - a2A2/3

n

+

+

n

+

++

+

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

+

+

+

n

n

n+

+

+

68

III- Terme dû à la répulsion coulombienne entre les protons

Les forces coulombiennes n’agissent qu’entre les paires de protons. Ce sont donc des forces répulsives dont l’action va s'opposer à celle des forces de liaison nucléaires. On doit donc tenir compte de cet effet en introduisant un terme correctif dans l'expression de l'énergie de liaison donnée par le terme de volume. On détermine ce terme en supposant que les protons sont uniformément répartis dans le noyau que l'on peut assimiler à une sphère uniformément chargée. Le théorème de Gauss permet de calculer l'énergie W d'une telle sphère qui est donnée par la relation:

Or et q= r3 , dq= 4r2dr

Avec R = roA1/3, on obtient

où a3 = = 0,72 MeV.

En fait comme un proton ne peut agir que sur les Z-1 autres protons du noyau, on doit remplacer Z2 par Z(Z-1), de sorte que

L’expression en Z2 reste une bonne approximation pour les noyaux lourds.

IV- Terme d'asymétrie

Les noyaux lourds possèdent un nombre de neutrons largement supérieur à celui des protons, alors que les noyaux légers ont tendance à avoir N=Z. Le nombre de neutrons excédentaires est requis pour compenser la répulsion coulombienne des protons. On doit donc tenir compte de ce fait en introduisant un terme correctif qui devrait être nul pour N=Z , négatif pour NZ et augmenter en valeur absolue avec N-Z.

Pour déterminer ce terme on procède de la façon suivante:A partir du noyau N=Z=A/2 (noyau symétrique), on peut obtenir un noyau N, Z

(asymétrique), en transformant un certain nombre de protons en neutrons. Si Z est ce nombre, on doit avoir:

N = A+Z et Z = A- Z ,

qui donne Z= (N-Z).

Si l'on suppose (principe d'exclusion de Pauli) qu'il n'y a qu'un nucléon d'une espèce (proton ou neutron) par couche et que celles-ci sont équidistantes (E représentant l'énergie entre deux niveaux), le travail nécessaire pour déplacer les Z protons pour les transformer en neutrons est Z fois le déplacement de chaque nucléon, soit

67

3

3

4rq

r

drdq=4r2dr

Z(ZE)= (Z)2E = .

Le calcul par la mécanique quantique montre que E est inversement proportionnelle à A, de sorte que

.

V- Terme d'énergie liée au nombre pair ou impair de nucléons ou terme d'appariement

Les noyaux pair-pair étant les plus stables, doivent avoir une énergie de liaison plus grande en valeur absolue que celle des noyaux de A impair. Cela implique un terme correctif supplémentaire.

Ce terme doit donc être positif (ce qui augmente l’énergie de liaison en valeur absolue) pour les noyaux pair-pair,

nul pour les noyaux pair impair et négatif (ce qui diminue l’énergie de liaison en valeur absolue) pour les noyaux

impair-impair les moins stables.Il vaut:

(El)app= a5A-3/4

avec = +1 , noyaux pair-pair = 0 , noyaux pair- impair et = -1 , noyaux impair-impair.

Finalement l'énergie de liaison d'un noyau s'écrit :

La masse d’un noyau est alors donnée par:

Cette expression est appelée formule semi-empirique de masse ou de Von Weizsäcker.

Les mesures précises des masses atomiques avec les spectromètres de masses et les bilan d'énergie des réactions nucléaires ont permis la détermination des différents coefficients. On a : av= 14,1 MeV, as= 13 MeV, ac= 0.595 MeV, asym= 19 MeV, aapp = 33.5 MeV.

VI- Isobare le plus stable et désintégration bêta.

Pour une famille d'isobares (A constant), l'expression de la masse d'un noyau en fonction du numéro atomique est une fonction du second degré.

La courbe représentative est une parabole. Le noyau le plus stable est celui pour lequel l'énergie de liaison est la plus élevée en, donc celui dont la masse est la plus basse. Il se situe au minimum de la courbe. Son numéro atomique est obtenu en annulant la dérivée de la masse par rapport à Z, soit, en prenant l’expression en Z(Z-1):

68

qui donne

Pour la formule avec Z2, on a

Z0= ,

Remarque: Pour les noyaux lourds, on peut prendre utiliser sans grande erreur la formule obtenue avec le terme de surface en Z2.

Le noyau stable correspondant à la masse minimale est celui ayant Z = Z o, Comme celui-ci est généralement un nombre décimal, on prend le nombre entier le plus proche. Les noyaux dont le nombre de masse est différent, sont instables et se désintègrent par émission bêta. Ceux de Z inférieur à Zo le font par émission bêta moins, ceux de Z supérieur à Zo le font par émission bêta plus ou capture électronique.On distingue deux cas, celui des noyaux de A impair et celui des noyaux de A pair.

Dans le premier cas = 0 et il n'y a qu'une seule parabole, il ne peut y avoir qu’un seul noyau stable.

Exemple, l’isobare le plus stable de la famille A=123 est obtenu pour Zo=51,997.Z devant être un nombre entier, l’isobare le plus stable est donc le noyau de Z=52.

Dans le second, est égal, soit à -1 (noyaux impair-impair), soit à +1 (noyaux pair-pair), donnant lieu à deux paraboles, il peut y avoir plusieurs noyaux stables (confirmant l’excellente stabilité des noyaux pair-pair.

69

-

-

-

-

-

+

+

+

+

-

+

+

+

Noyau stable

Parabole de stabilité : noyau de A impair

Exemple : Le calcul donne pour l’isobare le plus stable de la famille A=124, Zo=52,514. Le nombre entier le plus proche est 53, qui correspond à un noyau impair-impair instable, on doit donc prendre Z=52 qui correspond au noyau pair-pair le plus stable.Sn (Z=50) et Xe (Z=54), sont également stables.

VII-Energie de séparation.

Les nucléons étant fortement liés dans le noyau, il faut dépenser une énergie pour en arracher un d’entre eux, c’est l’énergie de séparation, qui est l’opposée de l’énergie de liaison du dernier nucléon.

D’après la loi de conservation on a: M(A,Z)c2+S= M(A-x,Z-y) +m(x, y)c2

S =M(A-x,Z-y) +m(x, y) – M(A,Z)c2

= El(A,Z)- El(A-1,Z)- El(x,y) où M(A-1,Z), M(A,Z), m(x,y) représentent respectivement les masses des noyaux résiduel, initial et de la particule arrachée.

Dans le cas où m(x, y) est un proton , on a Sp= M(A-1,Z-1) +mp) – M(A,Z)c2.

Dans le cas où m(x, y) est un neutron , on a Sn= M(A-1,Z) +mn) – M(A,Z)c2.Exemple: l’énergie de séparation du neutron dans 13C est : Sn=M(12, 6) +mn) – M(13,6)c2. Comme 12C= 12u, 13C = 13.003354u, mn= 1.0086654u, Sn= 4.947 MeVDe même on trouve pour 7Li, Sn(7Li)= 7.243 MeV

et pour 4He, Sp( 4He) = 21.795 Mev.

Les règles concernant l’énergie de séparation du dernier nucléon peuvent se résumer comme suit :

70

-

+

Noyau stable

Parabole de stabilité : noyau de A pair :Courbe (a): noyaux impair-impair (instables)Courbe(b) : noyaux pair-pair (plus stables)

a

b

- Pour une famille d’isotopes, l’énergie de séparation du dernier neutron est plus élevée pour les noyaux de N pair. - Pour une famille d’isotones, l’énergie de séparation du dernier proton est plus élevée pour les noyaux de Z pair.

Ceci est dû à l’excellente stabilité des noyaux de Z ou N pair, notamment ceux où l’autre nombre de nucléons est pair (noyaux pair-pair). - Il y a une forte analogie entre Sn et Sp qui suggère l’hypothèse de l’indépendance de charge de la force nucléaire: f(n-n) = f(p-p) = f(p-n).

VIII- Nature des forces nucléaires

Nous connaissons déjà trois types de forces: - les forces de gravitation qui s’exercent entre deux masses, - les forces électriques qui s’exercent entre deux charges électriques (corps

électriquement chargées, comme deux noyaux ou deux protons). - les forces magnétiques qui s’exercent entre deux masses magnétiques ( ou

deux fils parcourus par un courant).Les forces précédentes sont caractérisées par une intensité faible qui dépend de la distance entre les objets entre lesquels elles s’exercent.

Les forces qui agissent entre deux nucléons sont d’une autre nature car leur intensité est plus importante que celle prévisible par les phénomènes précédents. Elles sont toujours attractives et à courte portée: un nucléon n’est lié qu’à ses plus proches voisins. On peut expliquer la nature des forces nucléaires par analogie avec les liaisons chimiques qui résultent de l’échange d’un électron entre deux atomes. Dans l’interaction entre un proton et un neutron, Heizenberg a postulé l’échange de la charge entre les deux nucléons. Cette hypothèse fut rejetée par Yukawa qui admet que les deux nucléons échangent un méson (+ , o , -), selon la réaction suivante :

p+ n n’ +++ n p’+n’ou p+ n n’ +-+ n n’+p’ou n+ n n’ +o+ n n’+n’ou p+ p p’ +o+p p’+p’

Le méson dont la masse est environ 270 fois celle de l’électron a été découvert dans les rayons cosmiques par C.Powel en 1934

IX- Applications

a) Energie libérée par la fission nucléaire symétrique d’un noyau

La réaction de fission s’écrit:M(A,Z) M(A/2, Z/2) + M(A/2, Z/2) 2 M(A/2, Z/2)

Ce qui donne pour le bilan de la réaction de fission :(M(A,Z))c2 = (M(A/2, Z/2) + M(A/2, Z/2))c2+ Q = (2 M(A/2, Z/2))c2+ Q

soit Q = (M(A,Z) - (2 M(A/2, Z/2))c2

En utilisant la formule semi-empirique de masse, Q devient: Q = (2 El M(A/2, Z/2) - El(A,Z).

71

= - 0.260 as(A/2)2/3+ 0.370 ac = - 3.40(A/2)2/3+ 0.22 .

La fission se produit si elle donne lieu à la libération d’énergie, donc si le bilan de la réaction est positif, soit :

Q = - 3.40(A/2)2/3+ 0.22 . 0,

ou 0.22 3.40(A/2)2/3, soit Z2/A3.40/0.22.

En prenant A2Z, il vient Z 31.

b)- Calcul du paramètre de rayon du noyau à partir de l’énergie de liaison des noyaux miroirs

Deux noyaux miroirs sont deux noyaux dont le nombre de protons de l’un est égal au nombre de neutrons de l’autre et vice et versa (N1= Z2 et Z1 = N2 , exemple et

. Les masses respectives étant notées M(A,Z) et M(A-Z,A), leur différence s’écrit :M= M(A,Z) - M(A-Z,A).

En utilisant la formule semi-empirique de masse, M s’écrit:

M(A,Z) = Zmp +Nmn- 1/c2(avA – asA2/3- ac - aas +aapA-3/4)

M(A, A-Z)=(A-Z)mp+Zmn-1/c2(avA-asA2/3-ac -aas +aapA-

3/4)M= (A-2Z)(mn- mp) - 1/c2(acA(A-2Z)/A1/3.

La différence entre les énergies de liaison correspondantes est:

El= El(A,Z) - El(A, A-Z) = (A-2Z)( mn- mp) -Mc2 = acA2/3(A-2Z).

La détermination de El permet d'obtenir a3 et d'en déduire le paramètre de rayon

nucléaire ro , donné par . ro = .

La relation précédente donne en effet: a3 = El/ A2/3(A-2Z) = El(A,Z) - El(A, A-Z).Exemple cas des noyaux et .On a El(19, 37) = 315.510 MeV et El(18, 37)= 308.587 MeV.El= 6.923 MeV et ac = 0.6235 MeV

En portant dans l’expression de ro = , on obtient:

Le rayon de ces noyaux est R = roA1/3 = 1.39 (37)1/3 = 1.39x3.33= 4.631 fm

72

73

Chapitre XII

MODÈLE EN COUCHES

I-Introduction

Les propriétés chimiques des éléments sont reliées au remplissage régulier des couches électroniques. Le tableau périodique est basé sur le remplissage progressif des couches en faisant croître le nombre quantique principal et le nombre quantique orbital

Des électrons ayant la même énergie ont le même nombre quantique principal et occupe la même couche. A ce quantique correspond un nombre quantique orbital dont la valeur varie de 0 à n-1. A chacune de ses valeurs correspond une sous couche. D’après le principe d’exclusion de Pauli selon lequel deux particules identiques ne peuvent pas avoir le même ensemble de s quatre nombre quantiques, n, , m et ms où m sont les projections de sur l’axe de quantification et ms=1/2 sont les composantes du spin, le nombre d’électrons par sous couche est égal à 2(2+1), le nombre d’électrons par couche étant 2n2.

De même qu’il existe des régularité dans les propriétés chimiques des éléments, des régularités dans les propriétés nucléaires des noyaux (stabilités) ont été observées.

- En particulier, il a été constaté que les noyaux dont le nombres de protons et de neutrons est égal à 2, 8, 20, 50, 82 et 126, appelés nombre magiques, sont particulièrement stables.

- Le nombre d’isotopes (noyaux de même Z est important (10) pour Z=50 (Sn), alors qu’il n’y a qu’un seul pour Z=49 (In)

- l’énergie de séparation du dernier nucléon est particulièrement faible pour N égal au Nombre magique +1

On peut alors se poser la question de savoir comment sont placés les nucléons à l’intérieur du noyau. Comme pour les électrons, on imagina alors une structure en couches des nucléons de façon à reproduire les nombres magiques donnant une stabilité particulière aux noyaux comme la structure en couches des électrons expliquait les propriétés chimiques des éléments.

II- Suite des états d’un nucléon

A l’intérieur du noyau, chaque nucléon les nucléons exercent les uns sur les autres interaction due aux forces nucléaires. On peut représenter ces interaction par un potentiel moyen V(r) dont la forme est semblable à celle de la distribution de la densité du noyau (les forces nucléaires étant à courte portée, l’énergie potentielle est alors approximativement proportionnelle aux nombre de ses voisins donc à la densité nucléaire). Les énergies des niveaux que peut occuper chaque nucléon les solutions de l’équation de Schrödinger

.

L’espacement des niveaux dépend de la nature du potentiel, de sa forme et de son étendue.

a)-Potentiel de l’oscillateur harmonique

80

La forme la plus simple du potentiel est celle de l’oscillateur harmonique : V(r) = -Vo+ ½ m2r2

m est la masse de la particule, la pulsation de ses oscillations

Les solutions sont de la formeEn = ЋN + 3/2N est le nombre quantique de l’oscillateur

tel que N = nx + ny + nz , nx, ny et nz étant des nombres entiers tels que la fonction d’onde est

,

x, y et z étant les composantes du vecteur r, L la largeur du puits.On montre que N = 2(nr – 1) + , où nr est le nombre quantique radial représentant le

nombre de nœuds (zéros) de la fonction d’onde), le nombre quantique orbital.Du fait du principe d’exlusion de Pauli, le nombre de chaque type de nucléons

(protons ou neutrons) est égal à 2(2+1) On obtient le nombre de nucléons par sous couche et couche (appelé nombre

d’occupation) en faisant varier N à partir de zéro et nr à partir de 1 et = 0, 1, 2, etc .On obtient les résultats suivants

N nr état Nombre de Nucléons(sous couche)

Energie Nombre total de Nucléons

O 1 0 1s 2 1/2 Ћ 21 1 1 1p 6 3/2 Ћ 82 1

220

1d2s

10 2

5/2 Ћ5/2 Ћ

1820

3 21

13

2p1f

614

7/2 Ћ7/2 Ћ

2640

Les lettres s, p, d, f , etc. correspondent aux valeurs respectives de l , 1, 2, 3, etc.

Les énergies des niveaux sont N= 0, Eo = 1/2 ЋN=1, E1= 3/2 ЋN=2, E2= 5/2 ЋN=3, E3= 7/2 Ћ,etc.

Des niveaux de même N et de différent ont la même énergie, on dit qu’ils sont dégénérés.

Nous voyons sur le tableau que seuls les trois premiers nombres magiques sont reproduits par le modèle de l’oscillateur harmonique.

D’autres formes de potentiels, puits de potentiel rectangulaires à parois finies, infinies, à bords arrondis donnent des résultats semblables.

Il faut donc faire appel à d’autres considérations.b) Potentiel avec couplage spin orbite

81

V(r)

r

-Vo

1s

1p

1d, 2s

V(r)

r

-Vo

Forme du puits de potentiel de l’oscillateur harmonique

Le fait que les nucléons possède un moment angulaire orbital et un moment angulaire propre dit spin s, ils exercent les uns sur les autres, un autre type d’interaction appelée interaction spin- orbite.

En 1948, M.G. Mayer et D. Haxel proposèrent l’explication des autres nombres magiques en incluant dans l’équation de Schrödinger, un terme supplémentaire , pour lever la dégénérescence des niveaux en abaissant la sous couche (n, l+1/2) par rapport à la sous couche (n, l-1/2).

Le nouveau potentiel est V(r) + Montrons que cette correction permet de modifier l’énergie des niveaux.

A cet effet calculons le produit . Nous avons jLa relation métrique dans le triangle quelconque donne

j2= l2+ s2 + 2 ls ( ) ou ( ) = (j2- l2+ s2)/2Comme s = ½, il y a deux façon de composer l et s , soit :

j = l + ½ (cas l et s parallèles)et j = l – ½ (cas l et s antiparallèles).

Remplaçons j2, l2 et s2 par j(j+1), l(l+1) et s(s+1). Nous obtenons ( ) = (j(j+1)- l(l+1) - s(s+1))/2, qui donne

Pour j = l-1/2, on a = ½ l,Pour j= l-1/2, on a =-1/2

(l+1), de sorte que l’interaction spin orbite s’écrit :½ Cl ou –1/2 C(l+1).

Nous voyons que ces deux valeurs sont différentes de sorte que l’énergie des niveaux de même l mais de j = l1/2 , sont différentes, ce qui montre que les deux niveaux sont distincts et que l’on a levé la dégénérescence, en séparant le niveau (n,) en deux niveaux, (n, +1/2) et (n, +1/2).

Le couplage spin-orbite permet de retrouver tous les nombres magiques.

Le nombre de nucléons de chaque espèces est maintenant égal au nombre de valeurs différentes de mj

comprises entre –j et +j, soit 2j+1 nucléons identiques.

Nous obtenons le nouveau schéma des niveaux ci-dessus.Les couches se succèdent dans l’ordre suivant :

(1s1/2)2(1p3/2)4(1p1/2)2(1d5/2)6(2s1/2)2(1f7/2)8(1f5/2)6(2p3/2)4(2p1/2)2….II- Conséquences du modèle en couches

On peut déduire des résultats précédents les conséquences suivantes:

82

s

l

j

n, -1/2

n, +1/2

n,

2

8

20

28

50

82

0

1d

2s1/2

1s

1p1/2 1p3/2

1d3/2

1d5/2

1p

1f5/2 1f7/2

1f

2s

2p1/2 2p3/2

2p

1s1/2

1g7/2 1g9/2

1g

2d3/2 2d5/2

2d

1h9/2

1h

1h11/2

3s 3s1/2

En(MeV)Echelle arbitraire

a)-Moment angulaire

Deux nucléons dont les composantes du moment angulaire sont antiparallèles auront un moment résultant nul. Il en est ainsi pour chaque paire de nucléons.

De sorte qu’un noyau ayant un nombre pair de protons ou de neutrons aura pour ces nucléons un moment angulaire résultant nul.

Ainsi le moment angulaire des noyaux pair-pair est nul.Le moment angulaire des noyaux de nombre de masse A impair (Z pair, N impair ou Z

impair et N pair) est égal à celui du nucléon célibataire dans l’état j (situé dans la dernière couche).

Exemple 27Al a 13 protons et 14 neutrons. Le moment angulaire des neutrons est nul. Celui des protons est égal à celui du treizième proton situé sur la couche 1d de j=5/2. Ainsi le moment angulaire du noyau 27Al est j=5/2.

Par contre le moment angulaire de 16O est nul.Ainsi le modèle en couche permet de retrouver les caractéristiques des noyaux légers.Lorsque le numéro atomique du noyau augmente la valeur du moment angulaire total

des nucléons augmente, les forces de couplage entre paire de nucléons sont plus intenses, de sorte que les nucléons ont tendance à se grouper par paire dans un tel niveau (de j élevé) même au pris d’une dépense d’énergie.

b) parité

De la même façon que pour le moment angulaire, le modèle en couche a des conséquences sur la parité. On montre en mécanique quantique que la parité que l’on désigne par le symbole , est la propriété qu’a la fonction d’onde de changer ou non de signe, lorsque la coordonnée r changées en –r.

La fonction est pair lorsque (-r) =(r) et impair lorsque (-r) = - (r).Finalement la parité est donnée en fonction du moment angulaire orbital par

= (-1) l.Chaque couche complète contenant 2j+1 nucléons identiques donne une parité

j =-1l2j+1

Comme 2j+1 est un nombre pair puisque 2j est impair (j=k/2, k entier impair 1, 3, (, etc., une couche complète donne donc une parité paire (+1),de sorte que :

- un noyau pair –pair a une parité positive,- un noyau de A impair a une parité (-1)l (l moment angulaire orbital du nucléon

célibataire), - un noyau impair- impair a une parité

(-1)lp (-1)ln c) Etats excités

Lorsque les couches sont remplies dans l’ordre croissant du nombre quantique principal, les nucléons occupent les niveaux d’énergie les plus bas du noyau. Lorsque toutes les couches les plus basses, sont remplies, on obtient l’état fondamental.

Lorsque l’on communique de l’énergie à un noyau, par l’absorption d’un rayonnement gamma ou au moyen des réactions nucléaires, un ou plusieurs nucléons peuvent passer à un niveau d’énergie plus haut. Par exemple un proton de l’oxygène 16 passe du niveau 1p1/2 au niveau 1d5/2. On dit que le noyau est excité et que le niveau 1d5/2 est un état excité de l’oxygène 16.

L’état excité est un état temporaire, il a une durée de vie très courte, de l’ordre de

83

10-16s, le noyau revient spontanément à l’état fondamental en émettant un rayonnement électromagnétique (gamma).

Le passage de l’état fondamental à un état excité ou d’un état excité à un autre ou vers l’état fondamental est une transition. Les transitions entre les niveaux d’énergie du noyau obéissent à certaines règles dites de sélection sur les moments angulaires

j= jf – ji =-1,0,+1et l =lf-li= -1 ou +1Les niveaux d’énergie sont mis en évidence par la mesure des rayons gamma émis par

le noyau lors des transitions.

84

m

x

Chapitre XIII

L’OSCILLATEUR HARMONIQUE

I-IntroductionNous avons vu en mécanique classique ce qu’est un oscillateur harmonique. Le cas

auquel on se réfère le plus souvent est celui des oscillations d’une masse m portée par l’extrémité d’un ressort.

Le mouvement de la masse est gouverné par l’équation dont la solution est de la forme x = A cos (t +)où (1)est la pulsation et k la raideur du ressort. Le rssort est soumis à une force de rappel

qui dérive du potentiel

. (2)

C’est ce potentiel qu’on désigne par potentiel de l’oscillateur harmonique. Il a la forme représentée sur la figure ci-contre.

Les oscillations de l’électron dans l’atome peuvent être représentée par un tel potentiel. L’étude du mouvement de l’électron dans l’atome peut donc se faire en utilisant l’équation de Schrödinger où la valeur du potentiel serait celui de l’oscillateur harmonique.

II- Niveaux d’énergie de l’oscillateur harmonique

L’équation de Schrödinger peut alors s’écrire

, (3)

dans laquelle nous avons porté le potentiel .

Faisons le changement de variable (4)avec positif

L’équation de Schrödinger devient

(5)

Posons (6)

et (7)

L’équation différentielle précédente s’écrit . (8)

Cherchons les solutions de la forme (9)

x

V(x)

80

En portant dans l’équation (8) et en annulant le coefficient de xp, on obtient la relation (p +1) (p+2) ap+2 - 4pa + bap +0 (10)

qui donne la relation de récurrence

(11)La solution générale est de la forme

(12).

Cette fonction n’est pas de carré sommable, on doit considérer alors deux cas :a1 = 0 , ao 0 b = 4p p pairao =0, a1 0 b = 4p p impair.

La solution F (x) se réduit à un polynôme P de degré p et tend vers zéro lorsque x tend vers l’infini et est de carré sommable.

L’équation (8) devient

(13) Posons , l’équation (13) s’écrit

(14)

Ses solutions sont les polynômes de l’Hermite, ce qui donne pour (x)

(15)

Les polynômes de l’Hermite sont Ho + 1, H2(z) = 4z2 –2, H1 (z) = 2z, H3 (z) + 8z3 – 12 z et Hn( z) =(2z–d/dz) Hn-1(z)Les niveaux d’énergie s’obtiennent en écrivant

soit

qui donne E

ou en remplaçant k par m 2 et par 2

81

Chapitre IV

STABILITÉ NUCLÉAIRE ET ÉNERGIE DE LIAISON

I - Introduction.

Nous avons vu que la masse d'un noyau n'est pas égale à la somme des masses de ses constituants. La différence est l'énergie qu'il faut fournir pour le dissocier , les nucléons étant liés entre eux par des forces nucléaires. C'est donc également l'énergie qui maintient la cohésion du noyau et qui est appelée énergie de liaison.

L'existence de beaucoup de noyaux stables qui nécessitent de grandes énergies pour les casser est une conséquence directe de l'intensité des forces nucléaires dont la mesure directe est impossible même entre une paire de nucléons. Les forces nucléaires sont étudiées principalement par l'observation des sections efficaces de diffusion de protons ou de neutrons de hautes énergie par des ^protons. Une théorie satisfaisante de la force nucléaire n'est pas encore élaborée. Dans tous les cas, il serait illusoire de pouvoir calculer l'interaction de tous les nucléons dans un noyau. C'est le problème bien connu de l'interaction à plusieurs corps.

Le problème de la stabilité nucléaire peut être toutefois examiné de façon semi-empirique, en étudiant la courbe n=f(Z) donnant le nombre de neutrons en fonction de celui des protons ou à partir de l'énergie de liaison El.

II- Noyaux stables et les modes de désintégration

Lorsqu'on trace la courbe N=f(Z), on constate que l'ensemble des noyaux stables stabilité au-dessus de la droite N=Z.

On peut faire les observations suivantes:

a)- Les noyaux stables de faible masse ont tendance à avoir les mêmes nombres de protons et de neutrons, comme par exemple etc…, c'est l'effet de symétrie.

b)-Lorsque le nombre de masse augmente, le nombre de neutrons augmente plus vite que celui des protons et devient nettement plus grand pour les nombres de masse élevés.

82

Exemple ,

etc…Les neutrons en excès sont requis pour compenser la répulsion coulombienne entre les

protons, en impliquant des forces nucléaires supplémentaires qui elles sont indépendantes de la charge.

c)- Désintégration -

Beaucoup de noyaux lourds sont instables et se transforment en noyaux stables en convertissant un neutron en un proton, émettant un électron et un antineutrino selon la réaction: .

C’est la désintégration - qui se traduit pour le noyau par .

et représentant le noyau initial et le noyau résiduel.On remarque que cette transformation est isobarique (conservation du nombre de

masse A). Exemple .La loi de conservation de l'énergie permet de calculer l'énergie maximum Tmax, émise

sous forme d’énergie cinétique lors de cette désintégration et qui s'appelle énergie maximum de désintégration.

.où T est l'énergie emportée par l'antineutrino. et Tme l'énergie cinétique de l'électron. On alors Tmax = Tme+ T = .

Généralement ce sont les masses des atomes qui sont données. On a

et . En remplaçant dans la relation ci-dessus, on trouve

soit .On obtient finalement

Tmax = .

d)- Désintégration alpha ()

Une autre catégorie de noyaux instables est constituée par les noyaux lourds émetteurs alpha (). L'expulsion d'une particule alpha réduit en effet de deux unités le nombre de protons et par voie de conséquence la répulsion coulombienne. Tous les émetteurs alpha appartiennent à l'une des trois familles radioactives dont les têtes de séries sont des éléments de grande durée de vie et qui sont la famille de l'uranium la famille du et la

famille de l'actinium . Ces noyaux et leurs descendants radioactifs se trouvent aujourd'hui dans la nature car leur durée de vie est comparable à l'âge de la terre.

Exemple + . L'équation de la désintégration alpha s'écrit:

X Y + . Ce qui se traduit pour la conservation de l'énergie par:

83

T, TM' et T représentent respectivement l'énergie cinétique des particules alpha , du noyau de recul M' et l'énergie des émis éventuellement par le noyau de recul s'il est formé dans un état excité. C'est la somme des énergies Tmax = T + TM' , qui est appelé énergie de désintégration alpha Tmax.

Pour déterminer cette énergie appliquons d'abord la loi de conservation de la quantité de mouvement:

qui donne

Or et En remplaçant dans la relation précédente après l’avoir élevée au carré, on

obtient :

2m E = 2M'EM' qui donne EM' =

L'expression de l'énergie désintégration alpha devient

Tmax = E + EM'' = E( 1+ ) = E( )

ou

où Mo est la masse réduite du système constitué par la particule alpha et le noyau de recul

M' et donnée par .

Exemple: l'énergie de désintégration du gadolinium est Tmax= M(Gd) - M(Sm) - M()=-(81899+88011-2603)10-3MeV=3,509 MeV

et T=Tmax

Nous avons Mo= = =3.895.

D’où E= 3,509x =3.417 MeV

et EM'=E =3.417x = 0.092.

On vérifie que l’on a bien Tmax =E + EM'= 3.417+0.092 = 3.509 MeV.

d) désintégration +

e) Une autre catégorie comprend les noyaux riches en protons qui peuvent être fabriqués artificiellement par les réactions nucléaires réalisées à l'aide de particules accélérées par les accélérateurs de particules. Dans ces réactions, un deuton incident est capturé et un neutron est émis ajoutant ainsi un proton au noyau cible. Le noyau résiduel est instable et se transforme en convertissant un proton en un neutron émettant un positon et un neutrino selon la réaction p n + e+ = , qui se traduit pour le noyau par

.C’est la désintégration +.

La conservation de l’énergie totale s’écrit :

.

où T est l'énergie emportée par le neutrino et est l'énergie cinétique du positon. L’énergie maximum de désintégration +- est alors

.

84

En utilisant les masses atomiques et comme pour la désintégration -, on trouve

ou On obtient finalement .

f)- fission

Enfin une autre forme d'instabilité concerne les noyaux transuraniens très lourds, de Z supérieur à celui de l'uranium produits artificiellement car très instables et qui se brisent en deux noyaux de masses très voisines. Dans ce phénomène appelé fission, le noyau lourd en se coupant en deux a pour effet de réduire la répulsion coulombienne des protons. Exemple

, (l'astérisque indique que les deux noyaux sont radioactifs).

d)-Capture électronique

Certains noyaux peuvent se transformer en captant un électron d’une couche électronique (K par exemple) selon la réaction . La conservation du nombre de masse et de la charge, montre que cette transformation est analogue à la désintégration béta moins (Z-1)=Z’. Le calcul de l’énergie maximum de désintégration se calcule de la même façon : Tmax=

III-Règles de stabilité.

L'étude des noyaux stables a permis d'établir les règles de stabilité suivantes:

a)- Isobares.

- Lorsque le nombre de masse est pair, il y a toujours un, deux ou trois noyaux de Z différents stables, toujours pair, exception pour les noyaux légers , pour lesquels bien que impair, Z satisfait à la règle de stabilité N=Z. Il n'y a pas de noyau stable pour Z=8 correspondant au béryllium. Exemple pour A=40, et sont stables.

- Pour A impair, il n'y a qu'un seul noyau stable, de Z pair ou impair.

b)- Isotopes

- Lorsque Z est pair, il y a toujours au moins deux isotopes stables. En général le nombre de neutrons de ces isotopes est pair.

Exemple et , , et .- Pour Z impair, il n'y a pas plus de 2 isotopes stables, tous de N pair. Il n'y a pas

d'isotope stable pour N impair, à l'exception des noyaux , satisfaisant à la règle N=Z.

c)- isotones

85

- Lorsque N est pair, il y a toujours au moins deux isotones stables. En général le nombre de protons de ces isotopes est pair.

Exemple , et .- Pour N impair, il n'y a pas plus de 2 isotones stables, tous de Z pair.

Il n'y a pas d'isotone stable pour Z impair, à l'exception des noyaux , satisfaisant à la règle N=Z.

d)- L'étude précédent permet également d'établir les résultats suivants:

- Lorsque le nombre de masse est impair, il existe un seul isobare stable. Quand il y a plus d'un seul isobare, seul un est stable, les autres sont radioactif , de grande durée de vie. Exemple est stable, ses isobares, 60Nd, 61Pm, 62Sm, 64Gd, 65Tb, 66Dy et 67Ho sont tous radioactifs.

- Si des isotopes ou isotones de nombre de masse A+1 et A-1 sont stables, alors l'isotope ou isotone de nombre de masse A est stable. Exemple et étant stables,

l'est aussi.- Si un noyau de nombre de masse 2n+1, ayant un nombre de neutrons (ou de protons)

pair est stable, alors ses isotones (ou isotopes) de nombre de masse 2n et 2n+2 le sont aussi. Exemple est stable, et sont stables.

IV-Conclusion.

Il y a environ 1200 atomes. Seuls 280 sont stables et se répartissent de la façon suivante.

Z N A=N+Z Nombre ObservationsPair Pair pair 166 Nombreux isotopes

Impair impair 57 Nombreux isotopesImpair Pair impair 53 Généralement un seul isotope

Impair pair 4 4 noyaux stables: ,

V-Lois de décroissance radioactive

a)-Loi fondamentale de la radioactivité

La radioactivité est un phénomène spontané, c’est à dire qu’il se produit tout seul en obéissant aux lois de la statistique ou du hasard. Le nombre dN d’atomes désintégrés pendant l’intervalle de temps dt est donné par la loi due à Soddy et Rutherford:

dN = - N dt (1)Cette relation représente la loi fondamentale de la radioactivité.

No est le nombre d’atomes initiaux, dn est le nombre d'atomes détruits pendants le temps dt.est appelée la constante radioactive du noyau, elle est indépendants du temps (constante sur 109 années) de la température, de la pression et de l'état chimique, elle ne dépend que du matériau.

En intégrant la relation (1), on obtient le nombre d’atomes présents à l’instant t.

86

N =No e-t, (2)Le nombre d’atomes désintégrés est No-N= No(1 - e-t)La loi fondamentale indique que la probabilité de désintégration d'un atone est donnée

pour un court intervalle de temps dt par le produit dt (dt « 1), qui est indépendant de l'âge de l'atome.

b)- Activité d’un élément radioactif

On caractérise l’importance du rayonnement émis par un élément radioactif par son activité qui est le produit du nombre d’atomes qui se désintègrent par la constante radioactiv:

A=-dN/dt= N (3)En portant (2) dans (3), on obtient A=-dN/dt= No e-t

ou A=Ao e-t , (4)Ce qui signifie que l’activité et le nombre radioactifs d’atomes évoluent de la même façon.

L’unité de l’activité est le curie qui correspond à la désintégration de un gramme de radium 226Ra de période 1620 ans, soit à 3.7 1010 désintégrations par seconde.

On a en effet1 curie= 6,02 1023x 0,693/(226x1620x365x24x3600)=3,7 1010 .

Le curie étant une unité très grande , on utilise souvent :le millicurie, tel que 1 mc = 10-3cet le microcurie tel que 1c = 10-6c. On utilise maintenant le becquerel (Bq) qui correspond à une désintégration par

seconde. Curie=3,71010Bq.

c)- La période T et la durée de vie moyenne

1)- Période T

Par définition, la période d’un élément radioactif est le temps au bout duquel le nombre de noyaux radioactifs a diminué de moitié.

Au temps t égal à la période T, la relation (2), N=No/2 = No e-,

soit T=Log2/ =0.693/ secondesou Ln2 = 0.693 (5)

Exemple, la période du 14C est T = 5570 ans, celle de235U est T= 4.5 109 années et celle du 60Co est T=5.3 ans. La valeur de T est indépendante du choix de l'origine t=0 des temps. Après m périodes , l'activité est(1/2)m fois l'activité initiale . Par exemple , il faut attendre 50 ans pour que l'activité de 6OCo (T= 5,2 années) devienne 1000 fois sa valeur initiale. En effet (1/2)m=1/1000 donne en prenant le logarithme à base 10, mLog(1/2) = Log(1/1000), soit m = 3/0.31 10, d’où t = 10 T= 10x5.2 = 52 ans

2)- Vie moyenne

Un paramètre très important de la radioactivité est la vie moyenne .La vie d'un atome particulier est comprise entre t=0 et l’infini. Mais la vie moyenne

d'un certains nombre d'atomes d’un même élément est bien définie.En effet s'il y no atomes présents à l'origine , il en reste n =no e-t au bout du temps t

dont la vie est supérieure à t (puisqu’ils ne sont pas désintégrés au bout du temps t. Ceux qui

87

se désintègrent entre t et t + dt ont une vie égale à t. La probabilité de se désintégrer étant dt, le nombre de ces noyaux est ndt = no e-t dt. Leur vie totale est t no e-t dt

La durée de vie totale L de tous les atomes est donc :

La durée de vie qu'on appelle vie moyenne est = L/no, ou

=1/(6)

Avec la relation (5) on obtient =1/ VI- Séries radioactives

a) equations de désintégration

Les éléments radioactifs naturels, à l'exception de certains éléments de longue vie, comme 4OK (1,25 109a), 87Rb (51010a) , 147Sm (1,31011a) , proviennent de la désintégration de l'une des familles radioactives (Uranium, Actinium, Thorium, Neptunium, dont les têtes de série sont 238U (4n+2), 235U (4n+3), 232Th(4n) et 237Np (4n+1), de nombre de masse respectif (4n+2), (4n+3), (4n) et (4n+1) où n est un nombre entier.

Considérons la famille de 238U, de période 4.5 109 années, plus grande que celle de 1'un quelconque de ses descendants.

On désigne les membres de la chaîne par A, B, C, D etc…jusqu’au noyau stable S. A, B, C, D etc… S, représentent à la fois le nom et le nombre d'atomes de chaque membre. 1, 2, 3, …, n sont les constantes de désintégration. La série est terminée lorsque le noyau produit est stable, sa constante de désintégration est alors nulle..

On représente la série de désintégrations par le schéma suivant :ABCD……S (8)

Ecrivons les équations de la désintégration :Le premier élément A obéit à la loi fondamentale, on a donc dA = - 1 A dt,

Le deuxième élément obéit également à la même loi, mais il provient également de la désintégration de A, donc on a :

dB = dB1 +dB2 =( 1A -2B)dtOn a de même pour C, dC = dC1 +dC2 = (2B- 3C)dt, et ainsi de suite jusqu’à l’élément

stable.On peut réécrire le système d’équations pour le cas de trois éléments comme suit:

dA/dt = - 1 A (9) dB/dt = 1A -2B (10) dC/dt =2B- 3C. (11)Les solutions peuvent être obtenues par substitution.Posons A= a e-

1t (12)

B= b1 e-1t +b2 e-

2t (13)

et C= c1 e-1t +c2 e-

2t+c3 e-

3t. (14)

On a bien sur A= Ao e-

1t.

Dérivons l’équation (13), on obtient dB/dt = -1 b1 e-1t - 2 b2 e-

2t .

Egalons à (10) après avoir remplacé A par Aoe-1t, ce qui donne

-1 b1 e-1t - 2 b2 e-

2t = = 1 Aoe-

1t -2( b1 e-

1t +b2 e-

2t).

En identifiant les coefficients des exponentielles on trouve:

88

-1 b1=1 Ao-2 b1, soit b1 (2 -1 ) =1 Ao et (15) .

Ecrivons les conditions initiales: à t = 0, on a A =Ao, B = 0 et c= 0 En portant dans la relation (13), on obtient b1 = - b2 (16)

et

(17)La même méthode permet de trouver C.

(18)

Et d’une manière générale

18bis) Les activités des éléments A, B, C, etc…, sont égales à tout instant à 1A, 2B et 3C.

Exemple : Série de 238 92U RaA(218

84Po) (T= 3,05 mn)RaB(2l482Pb) (T=26,8 mn)RaC

(2l483Bi) (T=19,7mn)

RaD ( 214 82Pb) (T= 19, 4 années).

On obtient la figure ci-contre .

b)-Equilibre radioactif

Lorsque l’activité d’un élément est égale à celle d’un autre élément de la même série, on dit qu’on a un équilibre radioactif. On peut déterminer sur la figure ci-dessus, où nous avons reporté les activités, les instants où les activités sont égales. Ceci peut être déterminé par le calcul en utilisant les relations (12), (17) et (18) en écrivant par exemple pour A et B ,

1A =2 B, soit 1A= 1 Ao e-1t =2 ,

qu’on peut encore écrire .

Cette relation dépend des valeurs relatives de 1 et 2.

89

En particulier si 1 2, l’activité de B, , peut s’écrire en

négligeant 2 devant 1, . En négligeant le premier terme, on obtient

, qui signifie que l’activité de B ne dépend que de sa propre période. En effet

lorsque 1 2 ou T1 T2, le parent se désintègre si rapidement que l’on pourrait considérer que tous les atomes B sont présents à l’instant initial.

Inversement si 1 2, alors le rapport ne dépend que de 1, c’est le cas contraire du précédent, l’activité de B ne dépend que de 1, les atomes B disparaissant au fur et à mesure qu’ils sont produits.

VII- Radioactivité artificielle

Seul un faible nombre d’élément naturels sont radioactifs. Pour les besoins de l’activité humaine, médecine, industrie, agriculture, on a été amené à produire des radioisotopes par le biais des réactions nucléaires.Lorsque le produit d’une réaction nucléaire est radioactif, on dit qu’on à affaire à la radioactivité artificielle. C’est le cas de environ 3000 nuclides, dont les périodes sont très courtes devant l’âge de la terre (environ 105 années, ordre de grandeur de la période des éléments radioactifs naturels), de sorte qu’ils ne peuvent pas exister à l’état naturel.Considérons la réaction nucléaire a+Xb+Y*, induite par des particules incidentes a sur une cible X pour produire le radioisotope Y*. Soient : le nombre des particules incidentes (fluence) traversant par seconde un cm 2 de surface de la cible d’épaisseur dx, N le nombre d’atomes cible par unité de volume Il se produit par seconde Ndx atomes du radionuclide Y* .Le radisotope Y se désintègre suivant la loi dn2/dt=-n . Pendant l’intervalle de temps dt, il se produit dn1=Ndxdt d’atomes Y. Le nombre d’atomes Y présent à un instant t est la somme dn=dn1+dn2=Ndxdt-ndt ou dn/dt=-n +Ndx, qui est une équation différentielle avec second membre de la forme

La solution de l’équation sans second membre est n=Ae-t.Appliquons la variation de la constante

. En égalant avec l’équation différentielle avec second membre, on trouve

, qui donne , dont la solution est A=ke-t/. La solution générale de l’équation différentielle est alors

n=Ae-t+k/Pour t=0, on n=0, soit A+k/=0 et A=-k/ .n s’écrit n=(-k/) e-t+k/= (k/)(1- e-t).Comme k=Ndx,

VIII- Applications de la radioactivité.

La décroissance radioactive a trouvé des applications très intéressantes au problème, d’établir les dates d'événements très anciens.

90

a)- Datage des fossiles par le carbone 14

Le carbone 14 produit par les neutrons contenus dans les rayons cosmiques de l’atmosphère sur l’azote 14, par la réaction 14N +n p+ 14C. Le carbone 14 est radioactif et est utilisé pour le datage des fossiles.

Au même titre que le carbone 12, le carbone 14 se combine chimiquement avec l'oxygène pour former une matière organique. Le carbone dans une plante vivante ou un animal a la même composition isotopique que le carbone atmosphérique. Quand l’animal où la plante meurt, son échange de carbone avec l’atmosphère cesse et le carbone 14, radioactif, disparaît avec une période de 55701 ans.

On détermine l’âge de l’organisme en comparant sa teneur en carbone 14 à celle de l’atmosphère qui est supposée constante au cours des temps.

En géologie, la radioactivité permet d’obtenir l'information sur le temps absolu. Les substances communément employées sont l’uranium et ses isotopes , le thorium et le potassium.

b)- Age d’une roche.

Si à sa formation, une roche contient une certaine quantité d’uranium, elle accumule en elle au cours du temps, l’hélium et le plomb produit par la désintégration alpha de l’uranium. Donc un atome d’uranium 238 donne_ particules alpha avant d’aboutir au noyau stable de plomb 206. Si l’hélium ne s’est pas échappé de la roche, le rapport entre l'uranium et l'hélium accumulé donne l’âge de la roche. La précaution la plus importante est d'être certain que ni l’hélium, ni l’uranium n'ont quitté l'échantillon.

On peut également utiliser le rapport U/Pb ( cas des minerais vieux de 6 108 années..Les plus vieilles roches sont âgées de 2,7 109 ans, la terre quant à elle, a 4.5 109 ans.

c)- Médecine

Les rayonnements ont une action physiologique sur les tissus humains à cause de leur interaction avec la matière. Ils sont utilisés pour le radiodiagnostic (gammagraphie, scintigraphie) et la radiothérapie

c.1)-Radiothérapie.Les rayonnements émis par les radio-isotopes ont une action physiologique sur les

tissus. Ils libèrent des particules chargées (électron et particules alpha) qui ionisent les molécules constituant les tissus à cause de leur interaction avec la matière avec les atomes qui les constituent. Par l’énergie qu’ils transportent et qu’ils déposent lors de l’interaction, ils peuvent détruire les cellules. C’est pour cela qu’on les utilise en radiothérapie pour la destruction des cellules cancéreuses.

Il convient de bien les diriger sur les tissus malades. L’isotope est administré au malade par irradiation directe sous forme d’aiguille pour le

traitement des tumeurs externes, dans les cancers de la peau, de la cavité buccale, ou par l’injection dans les cancers internes par le biais de molécule marquée à l’aide de l’isotope radioactif. Cette molécule est choisie en fonction de son action spécifique métabolique ou physiologique.

Ainsi on utilise le cobalt 60 pour la destruction des cellules cancéreuses, le phosphore 32 pour le traitement des leucémies, l’iode 131 pour le cancer de la thyroïde, etc...

91

c.2)-RadiodiagnosticLes radio-isotopes sont également utilisés pour le diagnostic. Par exemple, l ‘iode 131

renseigne sur l ‘activité de la thyroïde et les métastases du cancer de la thyroïde, l’oxygène 15 sur l’irrigation sanguine du cerveau.

c.3)-Scintigraphie.Les radioéléments sont utilisés en médecine nucléaire pour l’imagerie médicale. Un

radio-isotope émetteur gamma est injecté dans un organe où il est fixé par un tissu. Celui-ci émet la radiation correspondante. Les rayonnements sont détectés par un compteur à scintillations constitué d’un cristal d’iodure de sodium (NaI), d’où l’appellation de scintigraphie. L’intensité du rayonnement mesuré dépend de la concentration dont on mesure les variations. On utilise le codage en couleur pour améliorer l’image.

d)-Utilisation en biologie et dans l’agriculture .

d 1)-Conservation des aliments.Les aliments sont soumis à un rayonnement gamma issu du cobalt 60, ou à un faisceau

d’électrons accélérés jusqu’à une énergie inférieure à 10 électronvolts. Il est ainsi possible d’inhiber la germination, d’empêcher les insectes de se reproduire, de les tuer, de supprimer partiellement ou totalement la charge microbienne, de détruire les germes pathogène comme le fait la pasteurisation ou de les stériliser.

Ces produits ne présentent aucune toxicité pour le consommateur.d 2 ) Biologie.

L’utilisation du phosphore 32 a permis de montrer que les engrais phosphatés sont mieux assimilés par épandage sur les feuilles que par enfouissement dans le sol.

e)-Applications industrielles.On utilise les éléments radioactifs dans l’industrie à différentes fins.

e 1) Mesure des épaisseurs.

Lorsqu’un rayonnement traverse une épaisseur de matière, une partie du faisceau est atténué selon l’expression I=Ioexp(-x) où x est l’épaisseur du matériau. La mesure de I permet de déduire l’épaisseur. On utilise le cobalt 60, le césium 137, le thulium 170 émetteurs gamma très pénétrant permettant la mesure d’épaisseurs pouvant atteindre 6 centimètres, comme l’épaisseur de zinc sur l’acier galvanisé, l’épaisseur des parois des cuves ou la coque des navires, etc...

Les émetteurs bêta sont utilisés pour le contrôle de l’épaisseur dans l’industrie du papier, des plastiques , des métaux minces

e 2)- Jauge de niveau.Le radioélément est placé au fond du récipient contenant le liquide dont on veut

déterminer le niveau.

e 3)- Gammagraphie.C’est la radiographie par transparence utilisant une source de rayons gamma provenant

de sources radioactive ( cobalt, césium, iridium), l’épaisseur varie de 5 à 12 centimètres en fonction de la source.

ec 4)- Traceurs

92

Les radio-isotopes, carbone 14, soufre 35, chlore 36 et fer 56 sont utilisés en qualité de traceurs. Dans l’industrie du pétrole pour repérer la nature et la qualité des produits transportés dans les pipelines .

La recherche de sources d’eau utilise le tritium, isotope de l’hydrogène un des constituants de l’eau.

Les déplacements de sable des ports peuvent être repérés par l’emploi du Chrome 51, le zinc 65 ou le scandium 46.

93

Chapitre VIII

SECTION EFFICACEET DIFFUSION ELASTIQUE

I-Définition de la section efficace

Lorsqu'un faisceau de particules incidentes arrive sur une cible, une faible partie d'entre elles subit une interaction. Ce qui est l'une des preuves de l’existence de grand vide dans le noyau, la matière occupant un faible volume.

Soit un faisceau de particules d'intensité I, par exemple un faisceau de protons) traversant par seconde une région contenant A noyaux cibles par cm3. Une épaisseur dx de la cible contient Adx noyaux par cm2 et le faisceau qui la traverse est atténué par des collisions des particules incidentes avec les noyaux. Si dI est le changement d'intensité (nombre de particules par unité de temps) du faisceau, dI est proportionnel à I et à Adx, ce qui donne.

dI = - I Adx (1)Le signe (-) correspond à une diminution du nombre de particules incidentes après

collision.Le facteur de proportionnalités est appelé section efficace nucléaire de la cible pour

les particules du faisceau. Elle donne la probabilité de réaction par noyau cible.

= (2)

On voit que a les dimensions. d'une surface. La raison de cette appellation est que si on associe une surface à chaque noyau cible, la réaction se produit chaque fois qu'une particule incidente pénètre à l'intérieur de .Adx étant le nombre de noyaux cible, on voit bien que le nombre de particules déviées donc heurtant la cible est IAdx.

L'unité de section efficace est le cm2. On exprime souvent les sections efficaces en barn (b), lb = 10 -24 cm2

Le nombre N de particules légères produit par la réaction par unité de temps, est égal à -dI, c'est à dire que chaque particule incidente diffusée produit une particule émergente. On a donc

= (3)

L'intégration de (1) donne I(x) = I(o) e - Ax (4)

I(o) représente le nombre de particules du faisceau incident, désigné par le terme intensité, donnée habituellement en unité de courant (ampère) et x l'épaisseur de la cible traversée. La quantité A= est appelé coefficient d'atténuation linéaire du faisceau ou coefficient d'absorption, son inverse est le libre parcours, c’est à dire la distance moyenne franchie par chaque particule incidente avant de réagir.

Le rapport = e - Ax est souvent appelé atténuation.

En général, les particules du faisceau incident peuvent produire plusieurs réactions avec les noyaux cibles, exemple diffusion élastique et diffusion inélastique.

Chaque réaction produit une atténuation dIi du faisceau, à laquelle correspond une section efficace i, le nombre total de particules diffusées est la somme des particules diffusées dans chaque processus

dI =dI = - I Adxi = - IAdx (5)

94

où =i représente la section efficace totale et i la section efficace partielle.

II- Section efficace différentielle

La section efficace peut dépendre de la direction d’émission des particules secondaires. On définit alors une section efficace différentielle dans la direction ( ,) en considérant le nombre dN de particules diffusées dans l'angle solide d=sin d d.

dN = IAdxd (6)

N.B . L'angle solide est défini par la relation d=

où dS=r2ddavec = rsin, d=r2d d sin/r2= sin d d

et = - dI/ IAdx d = (dN/ d)/Iadx. (7)

III- Application à la diffusion élastique entre particules chargées

C'est le cas de la diffusion d'un proton, d'un deuton , d'une particule alpha ou de tout autre noyau sur un noyau plus lourd.

Trajectoire

On montre en mécanique, que la trajectoire d’un corps soumis à une force en 1/r2 (force centrale) comme dans le cas du potentiel coulombien qui s’exerce entre deux particules chargées est une hyperbole (cas répulsif), dont le foyer est le noyau cible.

Paramètre d'impact et diamètre de collision

Soit vo la vitesse initiale de la particule incidente (par exemple une particule alpha) de masse M1 et de charge ze, la distance X du noyau diffuseur de charge Ze à la trajectoire initiale est appelée paramètre d'impact. La trajectoire étant une hyperbole dont le noyau diffuseur est l'un des foyers (figure).

Les trajectoires initiale et finale de la particule incidente sont les asymptotes à cette parabole. Après collision donc, la particule incidente est dévié de l'angle que font ces deux asymptotes. A chaque paramètre d'impact correspond un angle de diffusion . Supposons que pendant tout le temps que se produit la diffusion, le noyau lourd ne bouge pas (il est en effet plus lourd et on peut le supposer immobile) et que seules les forces de répulsion coulombienne interviennent.

95

x

r

dS

Calculons l'énergie des deux particules dans le c.m. avant la collision,

M1 + M2 = Mo

où Mo= M1M2/M1+M2 est la masse réduite du système des deux particules.La conservation de l'énergie dans le c.m. s'écrit (énergie des deux particules égale à

l'énergie de la particule incidente loin du noyau diffuseur augmentée de l'énergie de la répulsion coulombienne).

Mo = Mo +Zze2/rDans le cas d'un choc frontal r et v tendent simultanément vers zéro. On obtient ainsi

la distance de plus petit approche en faisant v1= 0 dans la relation (3). Soit rmin=Zze2/( Mo ) appelé diamètre de collision.

En coordonnées polaires avec origine au centre de masse où r et sont celles de la particules incidente au temps t, les composantes de sa vitesse sont vr et v

vr= et v=r

La conservation du moment angulaire (moment de la quantité de mouvement) avant et après collision s'écrit:

Movx = Mo r r = Mo r2 r

Or le chargement d'impulsion est dû à laforce coulombienne soit

Mo = Mo + ( car d'après la loi de Newton f = dp/dt

En prenant toutes les composantes lelong de la bissectrice le diagramme des trajectoires initiale et finale (figure), on obtient

- 2Movosin =

(dans le cas de la diffusion élastique on montre que vi = vf = vo).

La force coulombienne est Zze2/r2. varie de - (-) à + (-) et dt = r2 .

La relation précédente devient

2Movosin = Zze2/vox

96

bissectrice

bissectrice

direction de la force

Position de la particule

pf

pi

p

dS

= Zze2/vox sin

soit tg = , avec b=(1/4o)Zze2/( Mo )

La section efficace différentielle est l'aire de l'anneau défini par le rayon x et la largeur dx (figure):

d = 2 x dx = 2 cotg/2 = .

Or d = 2 sin d ,

ce qui donne

97

Chapitre XI

LOIS DE CONSERVATIONDANS LES RÉACTIONS NUCLÉAIRES

I – Définitions

a) - Réaction nucléaire

Une réaction nucléaire est le phénomène qui se produit lorsqu’ qu'une particule nucléaire provenant d’un accélérateur, d'une source radioactive ou du rayonnement cosmique, rencontre la matière.

On représente une réaction par le schéma suivant : a + X b +Y, que l’on note X(a,b)Y

Selon le type de particules incidentes ou émises, différents types de réactions peuvent se produire:

- si a est un photon, la réaction s'appelle une photo réaction nucléaire - si b est un photon, c’est une capture radiative.

- si b=a et Y= X, on a affaire à la diffusion élastique,- si b=a et Y= X*, on a affaire à la diffusion inélastique, cela signifie que X

est dans un état excité, généralement le noyau X se désexcite en émettant un photon - si b différent de a et Y différent de X, on a une réaction nucléaire

proprement dite.La première réaction nucléaire fut réalisée par Rutherford en 1919 en bombardant

des noyaux d’azote 14 (147N) par des particules alpha (4

2He) provenant d’une source radioactive :

147N + 4

2He 178O +1

1H.La première réaction utilisant un accélérateur de particules fut réalisée en 1930 par

Cockroft et Walton.73Li + p 4

2He + 42He

En 1939 fut découverte la fission des noyaux de A supérieur à 200 par les neutrons :235

92U + n 2n + 14055C + 94

37Rb.L’étude des réactions nucléaires renseigne sur la structure des noyaux.

Voie de réaction

L’ensemble a+X constitué par le projectile a (particule incidente) et le noyau bombardé X (cible) représente la voie d’entrée. L’ensemble b+Y des produits (particules émises) constituent la voie de réaction.

II- Lois de conservation

Soit la réaction a + X b +Y, A1, A2, A3 et A4 les nombres de masse respectifs, Z1, Z2, Z3 et Z4 les numéros atomiques correspondants.

Pour qu’une réaction nucléaire puisse avoir lieu, elle doit remplir un certain nombre de conditions appelées lois de conservation concernant les propriétés conservées au cours de la réaction.

a)- Conservation du nombre de masse

98

Le nombre de nucléons est conservé au cours de la réaction nucléaire. Ceci se traduit par la relation :

A1 + A2 = A3 + A4

Exemple, réaction d +14N 4Ne + 12CA1=2, A2=14, A3=4 et A4=12A1+A2=A3 + A4 donne 2+14=4+12

b)- Conservation de la charge

Le nombre de protons est conservé au cours de la réaction, soit:Z1 + Z2 = Z3 + Z4

Exemple, réaction 1d +14 7N 4

2Ne + 126C

Z1 =1, Z2 =7, Z3 =2 et Z4=6Z1 + Z2 =Z3 +Z4 donne bien 1+7=2+6

c)- Conservation de l’énergie totale et de la quantité de mouvement

Pour décrire une réaction nucléaire on doit choisir un système de référence, donc un repère ou système de coordonnées. On distingue le système du laboratoire où l’origine des coordonnées est fixe dans le laboratoire et le repère du centre de masse (c.m) où l’origine des coordonnées est le centre de masse ou de gravité du système de particules.

Considérons le système du laboratoire. Les particules a, X, b et Y ont respectivement les masses m1, m2, m3 et m4, les énergies cinétiques E1, E2, E3 et E4, les quantités de mouvement p1, p2, p3 et p4.

Représentons la réaction par le schéma ci-dessous :

La particule incidente en rencontrant le noyau cible forme avec lui un noyau composé de durée de vie très courte. Par la suite, celui-ci se décompose en deux noyaux b et Y en respectant les lois de conservation du nombre de masse, de la charge, de l’énergie totale et de la quantité de mouvement.

On parle bien de l’énergie totale, car selon l’équivalence entre masse et énergie on doit considérer en plus des énergies cinétiques les masses des noyaux.

1)- Conservation de l’énergie totale, définition du Q de réaction

La conservation de l’énergie totale s’écrit: m1c2 + E1+ m2 c2 + E2 = m3c2 + E3 + m4c2+ E4 (1) Cette relation peut encore s’écrire

m1c2 + m2c2 - m3c2- m4c2 = E3 +E4- E1 -E2=Q

Q est appelé Q de réaction ou chaleur de la réaction Il est la différence entre les énergies cinétiques de la voie de réaction et celles de la voie d’entrée, soit

Q = E3 + E4 - E1- E2 (2)

m1 m2n.c

m3

m4

99

Q = m1c2 + m2c2- m3c2 - m4 c2. (3)

Si le noyau cible est au repos, v2=0, E2=0 et Q= E3 + E4 - E1 (4)

Exemple pour la réaction 147N(d,p)15

7N, les excès de masse étant (14N)=2863,417 keV, (d)=13135,72 keV, (15N)=101,438 keV, (p)=7288,96 keV, nous obtenons

Q= m1c2 + m2 c2 - m3 c2 - m4 c2 = (A1+m1)+ (A1+m2)- ((A3+m3 +(A4+m4)) = m1+m2-m3-m4

=2863,417+13135,72-7288,96-101,438= 8608,732 keV=8,608 MeVPour la réaction 12

6C(,d)147N les excès de masse sont (12C)=0 (expliquer pourquoi),

()=2424,911keV, le Q de réaction est: Q=2424,911-2863,417-13135,72=-13504,226 KeV=-13,504 MeVDans le cas de la diffusion élastique m1 = m3 et m3 = m4 , Q = 0.Si Q est positif , la réaction libère de l’énergie, c’est une réaction exoénergétique.Lorsque Q est négatif, m1 + m3 - m3 - m4 0. Les masses des produits de la réction sont

supérieures à celles de la voie d’entrée, ce qui signifie que l’apport de masse doit provenir d’ailleurs, c’est à dire de la transformation d’énergie en masse (principe d’équivalence), la réaction nécessite de l’énergie, c’est une réaction endoénergétique. Cette énergie. Dans ce cas la réaction nécessite un apport d’énergie, la particule incidente doit avoir une certaine énergie appelée énergie seuil ou minimale pour produire la réaction.

Une réaction nucléaire a lieu si les particules b et Y sont émises, c’est à dire si E3 + E40.Le Q de réaction peut être déterminé à partir des masses mesurées à l’aide de

spectromètres de masse, ou à partir de la détermination des masses des particules émises à l’aide d’analyseur magnétique ou électrique.

2)- Conservation de la quantité de mouvement

Le schéma de la réaction est représenté sur la figure ci-contre.

Les quantités de mouvement sont respectivement

Avant le choc : pour la particule de masse m1, pour la particule de masse m2

(qu’on peut supposer au repos, donc v2= 0 et p2 =0.

Après le choc, on a de même pour la particule de masse m3

et pour la particule de masse m4.De plus les particules m3 et m4 sont émises dans les directions faisant respectivement

les angles et par rapport à la direction de la particule incidente.La conservation de la quantité de mouvement s’écrit :

En projetant sur les axes vertical et horizontal , on obtient 0 = m3v3sin -m4v4sin

m3

m4

y

x

O

p 3

p4

p1

100

ou m3v3sin = m4v4sin (5)et m1v1= m3v3 cos +m4v4 cosou m1v1- m3v3 cos = m4v4 cos (6)

En élevant au carré les deux équations (5) et (6) précédentes, on obtient :

et En additionnant membre à membre et en exprimant les vitesses en fonction des

énergies, on obtient : (7)

En utilisant la relation (2) on peut écrire E4 = Q + E1-E3 (8)

(car E2 = 0, particule m2au repos). Ce qui donne (7) donne :

 

(9)L’équation (9) qui est indépendante du mécanisme de la réaction donne le Q de

réaction qu’on appelle également bilan de la réaction. . On peut remplacer sans erreur importante les masses mi par les nombres de masse Ai.

À = 90, Q = E3 (1 + m 3/m4) - El(1-ml/m4).

Remarque: On peut trouver directement le résultat précédent en appliquant la relation trigonométrique dans le triangle, construit sur les quantités de mouvement, soit

ouIII- Calcul de l’énergie de la particule m3

L’énergie de la particule b, s’obtient en résolvant l’équation (9) donnant Q qui est une équation du second degré en E3 . Les solutions sont

, (10)

avec (11)

et (12)

Les réactions énergétiquement possibles sont celles pour lesquelles E3 est réelle et positive. Les relations précédentes montrent que les solutions peuvent ne pas exister lorsque :

- Q a une valeur négative - la particule incidente est lourde telle que m4 – m1 est négatif- l’ angle d'observation est tel que cos est négatif

Le comportement de l'équation (9) pour différentes valeurs de E1 permet de prévoir les types de réaction nucléaires qui peuvent se produire

)- Réactions exoenergétiques

m3

m4

p1

p1

p4

p4

p3

101

Lorsque Q est positif, la relation (2), Q = E3 + E4- E1- E20 , montre que l'énergie cinétique des produits de réaction E3 + E4 est supérieure à l'énergie cinétique E1+ E2 des particules dans la voie d'entrée.

Exemple: pour la réaction 147N(d,p)15

7N, Q = 8,806 MeV est positif.

1)- Le projectile a l'énergie 0 (E1 =O)

Quand E1 tend vers zéro, les équations (10) et (11) montrent que v tend vers zéro et w tend vers

. Alors E3 tend vers . (13)

La relation (13) montre que E3 est indépendante de l’angle . Elle est donc la même peur tous les angles .

On a également Q = E3 + E4 (car E1 et E2 sont nulles)

,D’où relations tg = -tg (14)Qui donne + =180°

2)- Le Projectile a une énergie déterminée

En général m4 > m1

Dans ce cas, w est > 0 pour tout E1 (relation (12), l’expression (10) montre qu'une seule solution sera positive , soit

E3 dépend de cos ; la plus petite valeur de E3 correspond à une émission vers l’arrière dans la direction = 180° . Pour =90°, E3 = w.

)- Réactions endoenergétiques

Si pour une réaction Q est > 0, la réaction inverse a une valeur de Q négative.

Exemple: la réaction 147N(d,)12

6C, 147=2863,74, 2

1=13135,9 et 422424,92.

Q=13574,72, son inverse, la réaction 126C(,d)14

7N a Q = - 13574,72.

1)-Le projectile a l’énergie zéro

Q étant négatif lorsque E1 tend vers zéro, v tend vers zéro et la relation (10) montre que

est négatif, de sorte que v2+ w est négatif et est imaginaire, donc la réaction

nucléaire n’a pas lieu., l’énergie E1 est insuffisante pour compenser l’accroissement de la masse au repos (différence entre m3+m4 et m1+ m2 : définition du Q de réaction).

En effet, la relation Q= m1c2 + m2c2 - m3c2 - m4c2 0, entraîne m3 + m4m1 + m2

Comme Q = E3 + E4 - E10 et que la réaction n’a lieu que si E3 + E40, on doit avoir E3 + E4 E1 et E1 positive qui signifie que la réaction nécessite un apport d’énergie par la particule incidente (E10).

2)-Energie seuil

102

On appelle énergie seuil, la plus petite valeur de l’énergie E1 de la particule incidente pour laquelle la réaction peut avoir lieu . La réaction nucléaire a lieu lorsque les particules b et Y sont émises donc quand E3 + E40. La relation (10) montre que E3 ne peut être définie (réelle) que si v2 + w 0. A la limite v2 + w est nul.

Quand v2 + w = 0, les relations (10) et (11) donnent:

(16)

Cette valeur est minimum pour = 0 et est appelée énergie seuil

, (17)

avec Q = m1c2 + m2 c2 - m3 c2 - m4 c2 et Qm2, (18)on peut remplacer m3 + m4 par m1 +m2 et m4 –m1 + m3 par m2 et on a

(19)

Dans le cas de la réaction126C(,d)14

7N de Q=-13574 MeV, on trouve Esl=18098 MeV.

IV- Conservation du moment angulaire

Dans une réaction nucléaire, le moment angulaire est une constante du mouvement .Soit une réaction a + X C b + Y (où C est le noyau composé intermédiaire).

Désignons par Sa, S X, Sb et Sy les moments cinétiques ou angulaires des différents noyaux. La capture de la particule incidente par le noyau cible se fait avec un moment angulaire orbital l. De même la séparation du noyau composé en b et Y se fait avec un moment angulaire l’. Le moment angulaire s’écrit S = Sa + SX pour la voie d’entrée et S’=Sb+Sy, pour la voie de réaction.

La conservation du moment angulaire s’écrit Sl =S’l’.Exemple réaction 13

6C(p, )105B. Sa =1/2, S X= 1/2, Sb=0 et Sy =3

On a le tableau suivant , pour la voie d’entréeS l 0 10 0 11 1,0 2, 1, 0

pour la voie de réactionS l 0 1 23 3 2, 3, 4 5, 4, 3, 2, 1

La conservation du moment angulaire implique, que la réaction ne se produit que pour des valeurs identiques de J et J’, soit par exemple si J = 0, la voie de réaction se produit pour une valeur de s’ =3 et l’ = 3, pour laquelle on peut avoir J’ = 0.

V- Grandeurs non conservées

Les moments dipolaires magnétiques et les moments quadrupolaires électriques des noyaux interagissant ne sont pas conservés dans les réactions nucléaires

(15)

103

Ces moments dépendent de la distribution de masse de charge et de courant à l'intérieur des noyaux mis en jeu dans la réaction

VI- Exemples : réactions de fission et de fusion

a)- réaction de fission

Energie libéréeNous avons vu que la fission peut être spontanée, lorsque le noyau lourd se casse en

deux noyaux X et Y.Ce type de réaction peut être provoquée avec certains noyaux, lorsqu’on les bombarde

avec des neutrons de très faible énergie. C’est la fission induite que l’on peut provoquer sur les noyaux dits fissiles tels que 233

92U, 235U et 23994Pu.

Exemple 23592U + n 95

39Y + 13853I + 3n.

Cette réaction libère de l’énergie.Calculons à cet effet le bilan de la réaction, en écrivan,t la conservation de l’énergie

totale :

.En remplaçant les masses par leurs expressions en fonction des énergies de liaison et

des masses des nucléons, on aboutit à :

Dans l’exemple précédent, l’énergie de liaison de 23592U est 7,55 MeV par nucléon,

celles de 9539Y et 138

53I, sont respectivement de 8,60 MeV et 8,30 MeV, ce qui donne

Q = 212 MeV.

b)- réaction de fusion

Les mêmes considérations que pour la fission , montre qu’on peut obtenir de l’énergie lorsqu’on provoque la fusion (assemblage de deux noyaux légers), le noyau résiduel ayant une énergie de liaison plus élevée.

La réaction de fusion s’écrit X + Y C,

Exemple 11H + 1

1H 21H

21H + 2

1H 31H +1

1H 2

1H + 31H 4

2He +n.Ecrivons la conservation de l’énergie totale:

.

En remplaçant les masses par leurs expressions en fonction des énergies de liaison et des masses des nucléons, on about it à :

Exemple précédent 21H + 3

1H 42He +n, l’énergie de liaison par nucléon de 2

1H est 1,112 MeV par nucléon, celles de 3

1H est 2 MeV et celle de 42He est de 7 MeV, de sorte

que l’énergie produite par la réaction de fusion est Q = 4x7 – 2x1,112 – 3x 2 = 19,76 MeV.

104

Chapitre XII

Applications de la Physique Nucléaire

Outre les applications de la radioactivité et à la production d’énergie, la physique nucléaire a des applications dans le domaine de l’analyse des matériaux, notamment dans la recherche de traces, pour l’analyse des impuretés dans les couches minces à semi-conducteur, l’analyse de l’hydrogène dans les métaux, l’analyse de la pollution, les produits pharmaceutiques, les oligo-éléments dans le sang, les métaux lourds dans l’eau, les études de stœchiométrie en chimie, le dosage du carbone et de l’oxygène dans les aciers en métallurgie, etc…C’est le domaine de la microanalyse.

I- Qu'est ce que la microanalyse?C'est l'analyse des éléments en faible quantité dans les matériaux. Ces

quantités se chiffrent généralement en partie par million (ppm) voire en partie par billion (ppb) . Comparée aux concentrations des éléments majeurs, ces éléments constituent des traces.

Généralement la microanalyse consiste en le dosage des éléments sous forme de traces dans les matériaux.

II- L'utilisation des faisceaux d'ions des fins d'analyse élémentaire Ces techniques couramment utilisées remontent aux années 1960, en

physique du solide pour 1'etude des couches minces, notamment dans la technologie des semi-conducteurs et l'implantation ionique, pour la détermination des traces en métallurgie, en archéologie, en biologie et médecine, en géologie, pour la mesure de la pollution atmosphérique, pour ne citer que ces domaines d'application.

Le principe de ces méthodes est très simple, il est basé sur l'interaction des particules avec la matière. Cela consiste à observer les effets résultant du bombardement des échantillons à analyser par des particules chargées issues des accélérateurs de particules et à en déduire la composition à partir des lois gouvernant l'interaction des particules incidentes avec la cible.

L'interaction des particules incidentes avec les atomes de la cible fait appel à la notion de section efficace. On observe généralement ce qui se passe dans un angle solide d donné autour d’une direction donnée . On utilise alors la section efficace différentielle.

On représente l’interaction par l'équation a+Xb+Y

où a est la particule incidente, X le noyau cible, b la particule légère émise, Y le noyau résiduel.

La section efficace différentielle s'écrit

où dN est le nombre de particules émises dans l'angle solide d, I représente le nombre de particules incidentes et Adx celui de la cible.

Ce qui intéresse l’analyste est le nombre d’atomes (ou de noyaux) de l’échantillon à analyser qui constitue la cible, c’est à ire la quantité Adx donné par

.

Les méthodes nucléaires d'analyse ont l'avantage d'être spécifiques, non destructives aux légers dommages près, rapides, très sensibles (quelques parties

105

par million (ppm)). Elles ont l'inconvénient de la limitation des volumes à analyser et de l'importance des moyens utilisés.

III-Les diverses méthodes d’analyseLorsqu’on bombarde une cible par un faisceau de particules chargées, différentes

réactions peuvent se produire : -la diffusion élastique de particules chargées, due à l’interaction coulombienne entre la

particule chargée incidente a et le noyau cible X a+Xa+X

La particule émise est identique à la particule incidente. Généralement lorsque la diffusion concerne les particules légères sur des noyaux lourds à basse énergie, la section efficace différentielle est donnée par la formule de Rutherford.

Dans ce cas la détermination de Adx est simple, car on connaît la valeur de la section efficace différentielle. Ce phénomène est utilisé pour la détermination des concentrations dans les cibles minces ou épaisses. On observe les particules diffusées vers l’arrière, et la méthode est alors appelée RBS (Rutherford Backscattering, ou rétrodiffusion de Rutherford.

La réaction s’écrit a+Xb+X.Pour certaines énergies des particules incidentes, la section efficace de la réaction

passe par un maximum appelé résonance. Les réactions nucléaires sont utilisées pour doser un élément particulier dans un échantillon comme par exemple le bore dans un échantillon de silicium. 11B (p,) L’énergie d’excitation est de 163 keV.

III.2-Analyse par activationLa réaction s’écrit a+Xb+X*

Elle aboutit à un niveau excité du noyau de recul, et produit ainsi des gamma de désexcitation. La mesure du nombre de gamma émis permet de remonter au nombre de noyaux cibles.III.4-L'émission X induite

La réaction s’écrit a+Xa+Y+X*où X* représente les rayons X émis.

Dans cette réaction les particules incidentes chargées interagissent avec les électrons des couches internes des atomes.

Dans ce processus, un électron d’une couche interne est expulsé pour être remplacé par un électron d’une couche externe. Ce réarrangement s’accompagne de l’émission d’un rayonnement X (correspondant à la différence des énergies de liaison de l’électron expulsé et de celui qui le remplace).

Les X émis par un atome qui se désexcite sont caractéristiques de celui-ci.L'excitation atomique par des particules chargées a été observée pour la première fois

en 1912 par J.Chadwick(2) en utilisant les particules alpha provenant des sources radioactives. Mais le développement de cette technique est plus récent. Elle fut introduite à l'Institut de Technologie de Lund en 1970 par J.B. Johanson et collaborateurs Cette méthode a pris de I'ampleur avec la libération des accélérateurs de particules de basse énergies par les physiciens nucléaires dans leur course vers les hautes énergies et par le développement des détecteurs de photons à semi-conducteur (1960) qui permirent contrairement au spectromètre à cristal l'analyse simultanée de plusieurs éléments présents dans 1'echantillon.

106

L'étude des X émis peut donc renseigner sur la nature de 1'element qui les a émis, la connaissance des section efficaces permet la détermination du nombre d'atomes. Ceci peut donc constituer une méthode d'analyse.

Le principe est très simple:Il faut exciter I'atome et mesurer les X émis. Ceci a d'abord été réalisé en utilisant des photons (fluorescence X), puis des électrons pour bombarder les atomes. Les X émis étaient détectés par des spectromètres à cristal ou des compteurs proportionnels et des compteurs à scintillation de faible résolution. L'excitation atomique peut être également obtenue en utilisant des particules chargées comme projectiles. ). On a utilisé différents types d'accélérateurs (Van de Graaf, cyclotrons) donnant des ions d énergie de 0,1 à 10 MeV/u, des protons, des particules , des ions oxygène ou des ions plus lourds tels que Br, Xe, 1, etc...

IV- Avantages et inconvénientsLes méthodes nucléaires d’analyse sont non destructives, utilisent peu de matière et

sont très sensibles.L’inconvénient est l’utilisation d’un matériel coûteux, tels que les accélérateurs.

Toutefois on peut réaliser des analyse avec des sources radioactives, ce qui a pour conséquence de diminuer les prix.

107

Annexe I

THÉORIE STATISTIQUE DU RAYONNEMENT THERMIQUE DU CORPS NOIRDÉCOMPTE DU NOMBRE DE MODES D’ONDES STATIONNAIRES PRÉSENTS

DANS UNE ENCEINTE FERMÉE DE VOLUME V

Soit l’enceinte parallélépipédique de côtés a, b et c, l’équation d’une onde progressive se propageant dans l’espace libre est de la forme :

(1)

étant le vecteur de propagation, et les cosinus directeur correspondants.

Pour qu’une onde de ce type naissant dans l’enceinte puisse former un système d’ondes stationnaires stables, les parois de l’enceinte doivent jouer le rôle de surfaces nodales, ce qui se traduit par les conditions :

, et

(2)

où n1, n2 et n3 sont des nombres entiers, et les cosinus directeurs correspondant au vecteur de propagation de module

et dont les composantes sont

, et

z =Les conditions de résonances (2) s’écrivent donc sous la forme

, et

(3)

Tirons de (2) les cosinus directeurs, liés par la formule 2+2+2

= 1, on obtient 4/2=(n1

2/a2)+(n22/b2)+(n3

2/c2)soit 2=(n1

2/(2a)2+(n22/(2b)2+(n3

2/(2c)2. Comme (1/)=c/, on obtient 2= c22 = c2 n1

2/4a2+…… (4)Les vibrations susceptibles d’engendrer dans la cavité des ondes stationnaires stables

forment donc dans l’échelle des fréquences une suite discontinue déterminée par tous les triplets possibles de nombre entiers n1, n2, n3. A chacun de ces triples correspond un vecteur d’onde déterminé .

a

bc

108

Nous admettrons que le nombre de vecteur d’onde qui correspondent à un intervalle de fréquence d au voisinage d’une fréquence est indépendant de la forme de la cavité et ne dépend que de son volume V

Pour évaluer ce nombre de modes, il est commode de considérer un espace figuratif à trois dimensions en considérant un réseau spatial dont mes mailles ont les grandeurs d’arêtes,

, , et dont le volume est ,

l’extrémité du vecteur aboutit à un nœud n, n1, n2, n3 de ce réseau.

Si dans cet espace, on considère le volume

y

z

x

109

compris entre deux sphères concentriques de rayons et la partie de ce volume vaut

et contient en moyenne un nombre de mailles égale à

(5)

Chaque système d’ondes stationnaires est formé par la superposition des 8 ondes progressives qui résultent de la réflexion de sur les plans de coordonnées. Le nombre de modes d’ondes stationnaires de la cavité dans l’intervalle de fréquence entre =c est d=(+d)c (car =c), vaut (d’après (5))

dg= V (6)

Il faut doubler ce nombre pour tenir compte de la polarisation

dg= V

Soit par unité de volume

dg=

Annexe II

DISTRIBUTION DE BOLTZMANN

Soit un atome ou une molécule dans les états d’énergie E1, E2, E3, etc….

Cherchons la probabilité de trouver le système dans l’état d’énergie Ei. A cet effet

imaginons un grand nombre N d’objets identiques se trouvant dans différents états quantiques en équilibre thermique.

Soit Ni le nombre d’objets dans l’état Ei

,N2 le nombre d’objets dans l’état E2,etc…

Le nombre d’objets N1 est donné par la méthode des probabilités, c’est à dire le

nombre de C1 combinaisons de N objets N1 à N1, soit

Dans les N-N1 objets restants, il faut trouver les N2 objets da,ns l’état d’énergie E2,

soit

Et ainsi de suite. Le nombre de configurations W correspondant à Ni dans l’état E1,

N2 dans l’état E2, etc…, est le produit de toutes les combinaisons Ci.

110

De plus le nombre total d’objet et leurs énergies sont reliés par les relations

N = Ni + N2 + N3 + …. (2)

E = N1E1+ N2 E2 + N3E3 + .... (3)

La distribution la plus probable s’obtient en cherchant le maximum de W .Prenons le logarithme de W.

lnW = lnN ! -lnNi ! (4)

Appliquons la formule de Stirling

x ! = (2x)1/2xxe-x, de sorte que Ln(x !) = xlnx –x +(1/2)ln2x.

Pour les grandes valeurs de x, on peut se limiter aux deux premiers termes, à savoir Ln(x !) = xlnx –x.

Appliquons ce résultat à la formule (4), lnW = NlnN – N -NilnNi +Ni lnW = NlnN – NilnNi (5)

Le maximum est obtenu en appliquant la méthode des coefficients indéterminés, en multipliant la relation (2) par - et la relation (3) par - et additionnant avec (5), soit :

- N = - (Ni + N2 + N3 + …. )

-E = -(N1E1+N2 E2+N3E3 + ....)

lnW = NlnN – NilnNi

Il faut maintenant chercher le maximum de l’expression NlnN – -NilnN - Ni -E (6)

Pour cela égalons à zéro les dérivées partielles de (6) par rapport à N1, N2, N3,

….Ni. Cela donne

-lnNi – 1 - -Ei = 0

En posant C = e-1 - , on obtient

Ni = C e- Ei

La constante est égale à 1/kT où k est la constante de Boltzmann et T la température absolu, ce qui donne

Ni = C e- Ei/kT (7)

La constante C se détermine en écrivant que N =Ni = C e- Ei/kT.

d’où C = N/ e- Ei/kT

 

Le nombre d’atomes No à l’état fondamental dans l’ état d’énergie Eo est donné par

No = C e- Eo/kT (8)

111

En faisant le rapport de l’expression (7) par (8) on obtient la célèbre formule de répartition des niveaux d’énergie de l’atome :

Ni = No e- (Ei – Eo)/kT

Autre méthode: formule du baromètre

La loi fondamentale de l’hydrostatique donnant la pression en fonction de l’altitude

s’écrit:

dp = -gdz (1)

où est la masse volumique de l’air , g l’accélération de la pesanteur et dz la variation de

l’altitude.

Utilisons la loi de Byle-Mariotte qui donne la pression d’un gaz à la température T,

selon la relation p =

(2)

Où n est le nombre de molécules par unité de volume, le nombre d’Avogadro, k la constante

de Boltzmann k=1,37 10-23J°K.

En dérivant par rapport à n , on obtient dp =kT dn (3)

Les relations (1) et (3) donnent

-gdz =kTdn (4)

Or la masse volumique est égale au produit nm de la masse m d’une molécule par le

nombre n de molécules par unité de volume = nm

Ce qui donne

(5)

En intégrant on obtient , mg(z-zo) représente l’excès d’énergie

potentielle de pesanteur que possède une molécule située à l’altitude z par rapport à une

molécule placée à l’altitude zo. Posons E = mg(z-z

o), l’expression précédente devient

qui est la formule de répartition de l’énergie de Boltzmann.

Cette loi est générale et s’applique à tout ensemble de molécules en équilibre à la

température T. Cette loi donne la répartition des atomes dans les différents états d’énergie Ei

tels que le nombre Ni d’atomes ayant l’énergie E

i est

,

qui est l’expression obtenue par la théorie statistique.

(no représente le nombre d’atomes à l’état fondamental, d’énergie E

o

)

112

Annexe IV

MODÈLE DE BOHR POUR L’ATOME D’HYDROGÈNEET LES IONS HYDROGÉNOIDES

IntroductionOn sait depuis très longtemps (Thomson et Rutherford) que les atomes sont constitués

d’un noyau et d’un nuage d’électrons.Balmer interpréta en 1885 le spectre d’émission de l’atome d’hydrogène selon la

formule , où représente le nombre d’onde de la raie, no et n deux

nombres qui dépendent de la raie et de la série.Planck a introduit en 1900, l’idée de quantification de l’énergie selon laquelle un

oscillateur ne peut émettre ou absorber de l’énergie qu’en quantité h (quantum d’énergie), étant la fréquence du rayonnement et h la constante de Planck

h= 6,625 10-34 J s = 6,625(10-27erg s.La question que l’on se pose est alors de savoir comment se comporte les électrons

dans l’atome.

Conditions de quantification

Selon la théorie classique, l’électron en mouvement autour du noyau doit rayonner de l’énergie en perdant de l’énergie mécanique. Le rayon de son orbite devrait donc diminuer constamment et le rayonnement serait continu. Or il n’en est pas ainsi puisque le spectre des atomes est un spectre de raies.

Pour expliquer ce phénomène, N.Bohr est parti de deux postulats: 1- Les trajectoires de l’électrons dans l’atome d’hydrogène sont telles que le

moment cinétique de l’électron est un multiple de ħ :mvr = n ħ, avec n=1,2,3,… (1)

v est la vitesse de l’électron, r le rayon de l’orbite supposée circulaire. Le nombre n est appelé nombre quantique principal Pour chaque valeur de n nous

avons une orbite dite stationnaire. La relation (1) est appelée condition de quantification du moment cinétique ou angulaire.

2 - Quand l’électron décrit une orbite stationnaire, l’atome n’émet ni n’absorbe de l’énergie (sous forme de rayonnement). L’absorption ou l’émission de rayonnement a lieu lorsque l’électron passe (transition) d’une orbite stationnaire caractérisée par un rayon r, un nombre n et une énergie Ei à une autre orbite d’énergie Ef, telle que l’énergie du rayonnement absorbé ou émis est : hif = Ef - Ei (2)

Rayon de l’orbite de l’électron pour l’atome d’hydrogène ou un ion hydrogénoïde

L’électron est soumis de la part duNoyau à la force d’attraction coulombienne

(3)

où Z est le numéro atomique de l’atome. N

efc

Fc

Ze

v

113

Lors de son mouvement sur son orbite autour du noyau, l’électron est en équilibre sous

l’action de la force coulombienne et de la force centrifuge fc qui tend à l’en éloigner: .

Ce qui donne

(4)

En utilisant la relation (1), on trouve :

(5)

Ce résultat montre que le rayon de l’orbite dépend du nombre quantique n.En faisant n =1, 2, 3, etc… , on obtient les différentes orbites ou les différents états ou

niveaux d’énergie de l’atome. Pour n= 1, on a affaire à la première orbite, son rayon est appelé rayon de Bohr

Avec h = 6,625 10-27 erg s, m = 9,109 10-28 g, e = 4,803 10- 10 uescgs+ 1,6 10-19coulomb, on trouve

ro = 0,528 10-8 cm

On peut écrire . (6)

Le diamètre de l’orbite est alors donné par

,

où =h/mc est la longueur d’onde Compton et =1/137,04 la constante de

structure fine.

Energie des niveaux

L’énergie du niveau (énergie totale correspondant à la valeur de n) est la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle de l’électron correspondant à l’orbite stationnaire de rayon rn.

En = Ecn +V (7)L’énergie potentielle V est celle de l’électron dans le champ du noyau

.

L’énergie cinétique est . La relation (4) donne

,

soit

114

En portant la valeur de rn, on obtient

(8)

Le signe moins(-) de l’énergie du niveau signifie que cette énergie correspond à l’énergie de liaison de l’électron. L’état de l’atome est dit état lié.

L’énergie de l’atome ne varie pas de façon continue mais elle est fonction du nombre quantique qui varie de façon discrète et par valeur entière. On dit qu’elle est quantifiée.

A chaque valeur du nombre quantique n correspond un niveau d’énergie En. L’état stable de l’atome est celui qui correspondant à l’énergie la plus grande en valeur

absolue ou la plus petite en valeur algébrique. Il est appelé état fondamental, son énergie est obtenue en faisant n =1, soit

(9)

Pour Z =1, nous avons l’atome d’hydrogène, cette énergie vaut

L’énergie d’un niveau de nombre quantique n est alors

(10)

Elle correspond aux états excités del’atome (figure ci-contre).

Le passage de l’état fondamental à un état excité (excitation) ou d’un état excité à l’état fondamental (désexcitation)

est une transition. Elle est due à l’absorption ou donne lieu à l’ émission d’un rayonnement d’énergie h = Ef - E

Vitesse de l’électron sur son orbite

La vitesse de l’électron est donnée par la relation (1)

. En portant la valeur de rn, donnée par la relation (5), on obtient

. (11)

Le rapport v/c de la vitesse de l’électron à celle de la lumière est

La constante de structure fine = 1/137,04 peut être considérée comme petite devant l’unité. De ce fait, on voit que la vitesse de l’électron est petite devant celle de la lumière, ce qui justifie l’utilisation de la mécanique non relativiste.

Interprétation des spectres d’émission de rayonnement par les atomes

La formule de Balmer donnant le nombre d’onde des raies d’émission de l’atome

d’hydrogène , peut s’expliquer à partir du deuxième postulat de Bohr

n=1

n = 2

n = 3

n = 4

excitation désexcitation

115

concernant les transitions de l’électron. En effet nous avons dit que l’énergie du rayonnement émis est égale à la différence entre les énergies des niveaux entre lesquels se fait la transition:

h=Ef-Ef.En remplaçant les énergies par leur valeurs données par l’expression (8), on obtient

.

En identifiant avec la formule de Balmer, on obtient pour la constante de Rydberg

en unités UESCGS, e = 4,803 10-10UESCGS, m = 9,108 10-28

g,h=6,625 10-35erg sec, c=3 1010cm/sec,

. (12)

en unités MKSLes séries

de raies s’obtiennent naturellement en considérant les transitions entre les différents niveaux.

1

2

3

4

5

6

n

Lyman

Balmer

Paschen

Brackett

Pfund

116

On retrouve bien la signification du nombre no de la formule de Balmer Il vaut 1 pour la série de Lymann, n vaut 2, 3, 4, …

2 pour la série de Balmer, n vaut 3, 4, 5, …3 pour celle de Paschen , n vaut 4,5, 6, …etc.

Energie d’ionisation

Lorsqu’on fait tendre n vers l’infini, le rayon de l’orbite augmente indéfiniment, l’électron s’éloigne du noyau et l’énergie du niveau correspondant (énergie de liaison de l’électron) tend vers zéro. L’électron devient donc libre, on dit que l’atome est ionisé.

Nous avons vu que pour faire passer un électron du niveau fondamental à un niveau plus élevé (état excité), il faut lui founir de l’énergie. L’énergie d’ionisation est donc l’énergie qu’il faut communiquer à l’atome pour faire passer l’électrn de l’état fondamental à l’état excité le plus élevé (ionisé), de sorte à l’arracher à l’attraction du noyau. Cette énergie est donc égale en valeur absolue à son énergie de liaison. Elle vaut pour l’atome d’hydrogène 13,6 electron volts. Pour un ion hydrogénoide ele vaut Z2 fois plus.

Correction de l’entrainement du noyau

Dans les calculs précédents ,nous avons supposé que l’électron décrit une orbite circulaire autour du noyau supposé immobile. Ceci n’est qu’une approximation, car la masse du noyau étant environ 2000 fois plus grande que celle de l’électron, le centre de masse de l’ensemble peut être confondu avec le noyau. En toute rigueur nous aurions du considérer le mouvement autour du centre de masse qui sera supposé fixe, le noyau et l’électron étant en mouvement.

Prenons le cas de l’atome d’hydrogène. Le centre de masse G est donné par la relationmp GN + meGM = 0

Soient r1= GN et r2 = GM, et r = r2 - r1

la relation précédente s’écrit r1mp + r2 me = 0. (13)En exprimant r1 et remplaçant r2 en fonction de r, on obtient

(14a)

. (14b)

En remplaçant dans la relation (13), on obtient

N (Ze)

M(e)

fc

Fc

v

G

r1mp + r2 me = 0ou r1mp = - r2 me

et ,

où est la masse réduite du système electon-proton (noyau d’hydrogène).

On vérifie bien que la masse réduite est peu différente de celle du noyau.Calculons le moment cinétique .Nous avons =p +e = mpr1v1 + mer2v2 = rv (voir cours de mécanique).La condition de quantification de Bohr doit être remplacée par la relation rv =nħ. On

voit qu’il faut remplacer la masse de l’électron par celle de la particule fictive. Les expression obtenues en considérant seulement la masse de l’électron deviennent

, , et .

En comparant les relations donnant la constante de Rydberg, et en désignant par R

celle obtenue en considérant seulement le mouvement de l’électron et R celle tenant compte

de l’entraînement du noyau, on obtient , avec . C’est ce qui

explique la différence entre les constantes mesurées pour l’atome d’hydrogène et le deutérium (isotope de l’hydrogène). L’influence de la masse du noyau sur les raies spectrales a permis la découverte des isotopes par l’analyse spectroscopique.

Principe de correspondance

En théorie classique, l’électron en mouvement émet un rayonnement de même fréquence que celle de son mouvement.

La relation (4) donne .

La fréquence de révolution est .

Avec et ,

.

Principe de correspondance (Niels Bohr). En théorie classique la fréquence du rayonnement

(lumière) émis par un atome est égale à . La théorie quantique indique que

lorsqu’un atome passe d’un niveau de nombre quantique n d’énergie E in à un niveau nombre quantique n-1, d’énergie En-1 il émet un rayonnement de fréquence f égale à

.

Lorsque n tend vers l’infini f tend vers . Cette expression

montre que les résultats de la théorie (mécanique) quantique tendent vers ceux de la théorie (mécanique) classique pour les nombres quantiques élevés. Pour n très grand le rayon de l’atome atteindrait des dimensions très grandes ( r=5,3 mm pour n=10 000) de sorte qu’il pourrait être décrit par la mécanique classique.

N

d

O

dS

O’

N

d

O

dS

O’

d’

Annexe III  

LOI DE STEPHAN

Grandeurs photométriquesOn caractérise le rayonnement lumineux par différentes grandeurs.

a) Flux énergétique : C’est l’énergie dE rayonnée par unité de temps. On définit également le flux monochromatique, c’est à dire celui correspondant à un intervalle de longueur d’onde

d : E = dE/ d .

b) Intensité : C’est le rapport I = dE/d, flux d’énergie sur l’angle solide d.

c) Eclairement :Le quotient Є =dE/dS,

reçu par l’élément de surface dS divisé par

son aire. En remplaçant dE par Id, on

obtient Є =Id/dS

Or d =dScos/d2, où est l’angle que

fait la normale à la surface avec l’a xe de

l’angle solide, d la distance OO’ de la

source à la surface éclairée.

Alors Є =Id/dS = Icos/d

2 et dE = ЄdScos.

d) Luminance d’une sourceConsidérons une source de surface dS’,

l’intensité énergétique est donnée par l’expression dI=LdS’cos, où est l’angle que fait la normale à dS’ avec l’axe de l’angle solide. L est appelée luminance énergétique de la source.

d étant la projection de dS’ sur sa normale, d= dS’cos et L= dI/d..

En portant dans l’expression de dE =Id, on obtient dE = LdS’cosdScos/d2. En remarquant que dS’cos/d2= d’, on obtient dE = LdScos d’ et pour l’éclairement

Є =Ld’cos .En considérant une émission monochromatique de fréquence dans l’intervalle étroit d,

on peut définir les grandeurs monochromatiques correspondantes L =dL/d, E=dE/d, etc., de sorte que le flux énergétique s’écrit dE = L d dScos d’. En multipliant par dt, on obtient l’énergie rayonnée à la fréquence , dans les intervalles de fréquence d et de temps dt :dE= L d dScos d’ qui est l’expression utilisée dans le premier paragraphe, où L =I

e) Emittance énergétique : c’est la quantité H = dE/d. Comme dE=Id= LdS’cosd. Le cône d’angle solide d découpe sur la sphère de rayon d, une surface dS telle que

dS = d2d, dont la projection sur le plan de la source est d’ = dScos= d2dcos. D’où dE=Ldd’/d2. En intégrant sur d’, dE=Ldd’/d2 = ( Ld/d2 ) d’. Or d’est la projection de la demie sphère de rayon d sur le plan de la source. Elle est egale à d2, ce qui

donne pour l’émittance .

La loi de Stephan exprime la dépendance de l’émittance énergétique H,

dSd’

d

d

flux d’énergie par élément de surface de la source (H= dE/d) qui est le produit de la luminance I (ou intensité) par , H = I, donc la puissance énergétique P . Comme u = 4I/c, H=c u/4.

En intégrant, on obtient l’émittance totale H = c U/4. En remplaçant par l’expression obtenue pour U, on obtient

,

avec

.

C’est cette quantité qui est donnée par la loi de Stephan H=T4.

Annexe V

MESURE DES RAYONS NUCLÉAIRES PAR LA DIFFUSION DES NEUTRONS

La nature ondulatoire des particules permet d'utiliser la diffraction des neutrons par les cristaux pour la détermination des rayons nucléaires Le noyau constitue pour le neutron une pupille qui le diffracte. En effet il est bien connu en optique (théorème de Babinet sur les pupilles complémentaires) que la figure de diffraction associée à une pupille percée dans un écran est identique à elle associée à un objet opaque ayant les dimensions de la pupille. On obtient l'ordre de grandeur du rayon en utilisant le fait que les maxima et minima successifs de diffraction sont séparés par des angles obéissant à la relation (qr) = , q étant le moment transféré où p et p' sont les quantités de mouvement du neutron dans le centre de masse avant et après la diffraction et r le rayon de l’objet.

La diffraction correspond à la diffusion élastique ; les moments p et p' du neutron sont égaux en valeur absolue. Dans le triangle OAB de la figure ci-dessus (b), on voit que q= 2psin(/2) .

On a alors (qR) = (2psin(/2) Rħ) = , soit (sin(/2) )= /2pħR.Comme p= / on a (sin(/2 )= /2R.Par exemple pour le plomb les premiers minima se situent respectivement à =25° et

=55°, on a sin(/2) sin (12,5°) = 0,2164 et sin(27,5°) =0,4617, (sin(/2 )= 0,2453, Or =(12400.10-6Å/(2x3,14))/(

= 11,962.10-16m =1,2 Fm (pour des neutrons de 14,5 MeV)et R= / 2(sin(/2)= 3,14x1,2/ 2x0,2453= 7,6 Fm.

Pour l'or on trouve 1 = 45°, 2= 85° et R=6,43 Fm.De nombreuses autres expériences en particulier la diffusion des électrons par les

noyaux permettent d'admettre que le rayon du noyau est relié au nombre de masse par la relation R = roA1/3, où ro est le paramètre de rayon nucléaire dont la valeur varie entre 1,2 et 1,5 fm.

Calculons la masse volumique du noyau. On a = M/V= (A/N)/(4/3)R3

En remplaçant R par son expression en fonction de A , on obtient : = 1/N(4/3) ro

3= 1,6 1038 particules par cm3 . On voit que ce résultat est indépendant du noyau (le nombre de masse ne figure plus

dans l’expression de ), ce qui montre que la densité de la matière nucléaire est constante ou que la matière nucléaire est incompressible.

(a)

q/p p

p’(b)

O A

B

I()

(c)

Diffraction des neutrons : (a) schéma de principe, (b) conservation de la quantité de mouvement, (c) spectre de la diffraction.