COURS DE MECANIQUE - VIBRATIONS 1ère année

Catherine Potel, Philippe Gatignol Université du Maine, Le Mans

COURS DE MECANIQUE - VIBRATIONS

1ère année

Catherine POTEL, Philippe GATIGNOL

Chapitre 6. VIBRATIONS - OSCILLATEURS HARMONIQUES

Université du Maine - UFR Sciences et Techniques

Catherine Potel, Philippe Gatignol Université du Maine, Le Mans

A noter que la numérotation des paragraphes adoptée ici est calquée sur celle du cours oral afin de faciliter le suivi du cours magistral, mais ne répond pas aux normes de présentation usuelles d'un document écrit.

Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique DEUST VAS1

Catherine Potel - 6.1 - Université du Maine - Le Mans

Les points importants de ce chapitre sont :

Distinction entre mouvement libre/mouvement forcé, régime transitoire/régime permanent, fréquence propre/fréquence de résonance/fréquence d'excitation, régime apériodique/critique/pseudo-périodique

I INTRODUCTION 1 Généralités Une vibration est le mouvement d'un système mécanique qui reste voisin d'un état de repos. Un tel mouvement peut - soit être provoqué par une excitation : on parle alors de vibrations forcées ; - soit être le résultat d'une action imposée à un instant donné (telle que déplacer le système de sa position de repos, ou lui imposer une impulsion initiale) : on parle alors d'oscillations

libres. En général, les systèmes mécaniques présentent de l'amortissement et les vibrations libres décroissent au cours du temps pour devenir plus ou moins insignifiantes. Au contraire, les vibrations forcées subsistent tant qu'il y a excitation. Un système mécanique non amorti possède des vibrations libres particulières qui ont la particularité d'être périodiques par rapport au temps : c'est ce que l'on appelle les vibrations

propres. Les fréquences correspondantes sont les fréquences propres du système. Le mouvement libre le plus général pour un système est une combinaison de ces vibrations

propres : ce n'est pas en général un mouvement périodique.

Rappel : Une fonction f est périodique de période T si et seulement si : ( ) ( )xfTxf,x f =+∈∀ D . (6.1)

Exemples : les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2 π , la fonction tangente est périodique de période π . Nous allons développer ces idées générales par l'étude du cas particulier fondamental de l'oscillateur à un seul degré de liberté. Nous étudierons tour à tour les mouvements libres de cet oscillateur quand il n'est pas amorti, puis avec de l'amortissement. Nous étudierons ensuite les vibrations forcées de cet oscillateur, en distinguant à nouveau le cas non amorti et le cas amorti. On mettra en particulier en évidence le phénomène de résonance.



Un exemple pratique d'un tel oscillateur est celui de la suspension d'un véhicule automobile. 2 Schématisation Beaucoup de mécanismes, comme une voiture (figure 6.1), peuvent se ramener à un système masse-ressort dont on étudie les vibrations.

⇔a)

1ère étape :

pas d'amortissement ⇒ oscillations libres non amorties

⇔b)

2ème étape :

avec amortissement ⇒ oscillations libres amorties

V→

⇔

sol inégal F

V→V→

⇔

sol inégal F c)

3ème étape :

vibrations forcées ⇒ oscillations forcées, amorties ou non

Figure 6.1 : Etapes de schématisation d'un mécanisme par un système masse-ressort

Le déplacement de la roue, dû à l'inégalité du sol et à la vitesse d'avancement de la voiture, peut s'exprimer comme un déplacement imposé dépendant du temps, provoquant ainsi une oscillation forcée du mécanisme de suspension. On verra comment exprimer cette excitation en fonction du temps t .

L'application du Principe Fondamental de la Dynamique permet d'obtenir une équation

différentielle du second ordre à coefficients constants, avec ou sans second membre, que l'on résout pour obtenir la loi horaire cherchée : 0=xc+xb+xa &&& ,

ou (t)f=xc+xb+xa &&& , avec ( ) 3cb,a, ∈ . (6.2-a) (6.2-b)

L'exemple du mouvement du pendule circulaire, étudié au chapitre 4, § III.1, conduit à l'équation 0ga =θ+θ&& , (6.3)

qui est de la forme (6.2-a) avec 0b = .



II OSCILLATIONS LINEAIRES LIBRES NON AMORTIES

1. Définitions

Oscillations libres Si un système, abandonné à lui-même autour d'une situation d'équilibre stable, évolue ensuite de part et d'autre de cet état, on parle alors d'oscillations libres. L'état instantané du système est caractérisé par l'évolution d'une grandeur physique mesurable (déplacement ( )tx ou angle ( )tθ ) qui rend compte de l'écart du système par rapport à la

position d'équilibre.

Oscillations non amorties Si, pendant la durée des mesures, les phénomènes de dissipation de l'énergie sous forme de chaleur (frottements) provoquent une diminution de l'amplitude des oscillations, inférieure à la sensibilité des appareils de mesure, on peut qualifier les oscillations de non amorties.

Oscillateur linéaire L'équation différentielle qui régit l'évolution de la grandeur caractéristique ( )tx (ou θ ) est

linéaire. Rappel : Fonction linéaire (dans )

L'application f de dans est linéaire si et seulement si ( ) ( ) ( ) ( )2121

221 xfxfxxf,x,x +=+∈∀ , (6.4-a)

et ( ) ( )xfxf,x, λ=λ∈∀∈λ∀ , (6.4-b)

ce qui peut se résumer par ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22112211

221

221 xfxfxxf,,,x,x λ+λ=λ+λ∈λλ∀∈∀ . (6.5)

Exemple de fonction linéaire : ( ) xaxf = . Exemple de fonction non linéaire : ( ) bxaxf += .

2. Forme de l'équation du mouvement

L'équation du mouvement, comme on va le voir dans la suite de ce §, est de la forme 0xcxa =+&& , (6.6)

que l'on écrit préférentiellement 0xx 2

0 =ω+&& , (6.7)



où ac

0 =ω (6.8)

est la pulsation propre (ou pulsation naturelle)

et 0

02Tω

π= (6.9)

la période propre.

La solution générale de l'équation (6.7) est de la forme (figure 6.2) ( ) ( )ϕ+ω= tcosAtx 0 , (6.10)

-15

15

10t

T0

A

x

-15

15

10t

T0

A

x

Figure 6.2

où x tb g est la loi horaire du mouvement, A

son amplitude (de même dimension que x ),

0ω la pulsation propre (en 1s.rad − ) et ϕ la

phase (en rad). Les grandeurs A et ϕ sont des constantes

déterminées à partir des conditions initiales.

Remarques.

( )tx est la grandeur physique mesurable, mais si un angle est mesuré, il est d'usage

d'utiliser une lettre grecque telle θ , et l'équation (6.7) s'écrit alors 02

0 =θω+θ&& , (6.11)

ce qui ne change rien à la généralité de l'exposé qui précède.

L'équation (6.7) est bien linéaire (voir définitions (6.4) ou (6.5)) : si les fonctions ( )tx 1 et

( )tx 2 sont solutions de cette équation, ( ) 221, ∈λλ∀ , la fonction 2211 xx λ+λ est

également solution de l'équation.

La solution (6.10) de l'équation (6.7) peut également s'écrire ( ) ( )101 tcosAtx ϕ−ω= , (6.12-a)

( ) ( )202 tsinAtx ϕ+ω= , (6.12-b)

ou encore ( ) ( )303 tsinAtx ϕ−ω= . (6.12-c)

Quelle que soit l'écriture, la solution est bien en définitive toujours la même, mais, a priori, les constantes A , 1A , 2A et 3A ne sont pas égales entre elles, tout comme les constantes ϕ ,

1ϕ , 2ϕ et 3ϕ ne le sont pas non plus. Il convient de noter de plus qu'écrire iϕ± n'est qu'une



question d'habitude qui n'a aucune incidence sur le résultat final, puisque les arguments iϕ

sont algébriques et modulo π2 .

Rappel. ( ) ( )tsin2tcos 00 ω−=π+ω , (6.13-a)

( ) ( )tsin2tcos 00 ω=π−ω , (6.13-b)

( ) ( )tcos2tsin 00 ω=π+ω , (6.13-c)

( ) ( )tcos2tsin 00 ω−=π−ω . (6.13-d)

3. Retour sur le pendule circulaire Ce système a déjà été étudié au chapitre 4, § III.

O

θ

M

x1

y1

A

x0

y0x1

rex0

re

re0

zrey0

y1

re

P→

T→

l

O

θ

M

x1

y1

A

x0x0

y0y0x1

re x1

rerex0

rex0x0

rere

re0

zrere

0z

0z

rey0

rerey0y0

y1

rey1

re

P→P→

T→T→

l

Figure 6.3

Le système de la figure 6.3 est constitué d'un fil inextensible et sans masse de longueur l=OM à laquelle est accrochée une masse m considérée comme ponctuelle au point M . La tige est en liaison pivot sans frottements d'axe ( )

0ze,O r avec le bâti. La

position du fil est repérée par l'axe 1xO , faisant un angle θ avec l'axe 0xO (figure 6.3). Le repère

( )000 zyx0 e,e,e,O rrr

=R est galiléen, l'accélération de

la pesanteur étant telle que 0xegg rr

= .

Les conditions initiales sont les suivantes : à t = 0, le point M est lancé au point A (θ = 0) avec une certaine vitesse 00v θ= &l ( &θ0 0> par exemple).

Système étudié : Mpointle .

Inventaire des forces :

- Action de la gravité : ( )P,MMr

=→ϖ , avec

0singm

cosgmegmP

1

x 0θ−

θ==B

rr . (6.14)

- Action du fil sur M : ( )T,MMfilr

=→ , avec 0T,eTT

1x >−=rr

. (6.15)

La résultante des actions mécaniques est donc ( ) TPMext

rr+=→R , (6.16-a)



soit ( )0singm

TcosgmMext

1

θ−−θ

=→B

R . (6.16-b)

Résultante dynamique :

Le vecteur position OM est donné par ses composantes sur la base ( )011 zyx1 e,e,e rrr

=B :

1xeOM r

l= . (6.17)

La vitesse du point M par rapport au repère 0R s'écrit

( )0/

0 tdOMd/MV

B

R ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

r , (6.18)

soit, en appliquant la formule de changement de base de dérivation

( ) ( ) OM/td

OMd/MV 01/

01

∧Ω+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= BBR

B

rr , (6.19)

soit ( ) ( )110 yxz0 eee0/MV r&l

rl

r&rr

θ=∧θ+=R . (6.20)

L'accélération du point M par rapport au repère 0R s'écrit

( ) ( )0/

00 td

/MVd/M

B

RR

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=Γ

rr

, (6.21)

soit, en appliquant la formule de changement de base de dérivation

( ) ( ) ( ) ( )001/

00 /MV/

td/MVd

/M

1

RBBR

RB

rrr

r∧Ω+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=Γ , (6.22)

soit ( ) ( )101 yzy0 eee/M r&l

r&r&&lr

θ∧θ+θ=Γ R , (6.23)

d'où ( )11 yx

20 ee/M r&&l

r&lr

θ+θ−=Γ R . (6.24)

La résultante dynamique du point M par rapport au repère 0R s'écrit donc :

( )11 yx

20 emem/Md r&&l

r&lr

θ+θ−=R . (6.25)

PFD pour le point matériel

( ) ( )0/MdMext RRr

=→ , (6.26)

soit, en projection sur 1xer et sur

1yer ,

⎪⎩

⎪⎨⎧

θ=θ−θ−=−θ.msingm

,mTcosgm 2

&&l

&l (6.27-a) (6.27-b)

L'équation du mouvement (6.27-b) s'écrit encore 0sing =θ+θ&&l . (6.28)



Dans le cas des petits angles (petites oscillations), θ≈θsin , (6.29) avec θ exprimé en radian. Cette approximation est appelée approximation harmonique. L'équation (6.28) s'écrit alors, compte tenu de (6.29) 0g =θ+θ&&l , (6.30) qui est de la forme (6.6) avec l=a et gc = , et se met préférentiellement sous la forme

où

.g

,0

0

20

l

&&

=ω

=θω+θ

(6.31-a)

(6.31-b)

L'équation du mouvement (6.31-a) est dite linéarisée. En résumé, le problème à résoudre (problème bien posé) comprend à la fois l'équation du mouvement et les conditions initiales, soit

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=θ=θ=θ

≥∀=θω+θ

.0t,0,00,0t,0

0

20

&&

&&

(6.31-a)

(6.31-c)

Solution de l'équation du mouvement linéarisée (problème 6.31)

D'après l'équation (6.10), la solution de l'équation du mouvement (6.31-a) s'écrit ( ) ( )ϕ+ω=θ tcosAt 0 , (6.32)

les constantes A et ϕ étant déterminées par les conditions initiales (6.31-c).

L'usage de l'équation (6.32) et de la dérivée par rapport au temps ( ) ( )ϕ+ωω−=θ tsinAt 00& , (6.33)

permet d'exprimer les conditions initiales (6.31-c) sous la forme :

à 0t = , ( )( )⎩

⎨⎧

ϕω−=θ=θϕ==θ

.sinA0,cosA00

00&& (6.34-a) (6.34-b)

L'équation (6.34-a) conduit - soit à 0A = (solution physiquement inintéressante puisque conduisant à ( ) t,0t ∀=θ ), - soit à ( )ππ=ϕ 2 . Le choix 2π=ϕ (6.35-a)

et son report dans l'équation (6.34-b) conduisent à 00A ωθ−= & , (6.35-b)

ce qui conduit finalement à

( ) ( ) ( )tsin2tcost 00

00

0

0 ωω

θ=π+ω

ω

θ−=θ

&& . (6.36)



Remarques. Le choix 2π−=ϕ aurait conduit à 00A ωθ+= & , dont les reports dans l'équation (6.32)

donnent

( ) ( ) ( )tsin2tcost 00

00

0

0 ωω

θ=π−ω

ω

θ+=θ

&& ,

résultat identique à l'expression (6.36).

Le choix de la solution (6.12-b) ( ) ( )202 tsinAt ϕ+ω=θ (6.37-a)

conduit à ( ) ( )2002 tcosAt ϕ+ωω−=θ& , (6.37-b)

et aux conditions initiales

à 0t = , ( )( )⎩

⎨⎧

ϕω=θ=θϕ==θ

.cosA0,sinA00

020

2&& (6.38-a)

(6.38-b)

L'équation (6.38-a) conduit - soit à 0A 2 = (solution physiquement inintéressante puisque conduisant à ( ) t,0t ∀=θ ),

- soit à ( )π=ϕ 02 .

Le choix 02 =ϕ (6.39-a)

et son report dans l'équation (6.38-b) conduisent à 002A ωθ= & , (6.39-b)

ce qui conduit finalement à

( ) ( )tsint 00

0 ωω

θ=θ&

, (6.40)

qui n'est autre que la solution (6.36).

De même que précédemment, le choix π=ϕ 2 aurait conduit à 002A ωθ−= & , dont les

reports dans l'équation (6.37-a) donnent

( ) ( ) ( )tsintsint 00

00

0

0 ωω

θ=π−ω

ω

θ−=θ

&& ,

résultat identique à l'expression (6.40). Conclusion.

Le choix de la forme de la solution n'est qu'une question d'habitude et ne change bien évidemment pas le résultat final, puisque le problème bien posé (6.31) a une solution unique).



4. Cas important du ressort linéaire

a) Ressort horizontal

0 x (t)

T→ M

Oxl0

M

x (t)0

T→

Oxl0

a)

b)

c)

l0

Ox0

ex→

k

y

z M

g→

0 x (t)

T→ M

Oxl00 x (t)

T→T→ M

Oxl0

M

x (t)0

T→

Oxl0

M

x (t)0

T→T→

Oxl0

a)

b)

c)

l0

Ox0

ex→

k

y

z Ml0

Ox0

ex→exex→

k

y

z M

g→g→

Figure 6.4 : Système masse / ressort horizontal. Ressort a)

ni tendu ni comprimé, b) tendu, c) comprimé

Un ressort linéaire de masse négligeable, de raideur k et de longueur libre l 0 est attaché à l'une de ses extrémités, au point O , à un bâti (figure 6.4). La position d'une masselotte de masse m, attachée à son autre extrémité M et supposée ponctuelle en ce point, est repérée par son abscisse x(t). Cette masselotte peut se déplacer sans frottements sur un plan horizontal (non représenté). A l'instant 0t = , la masselotte est écartée d'une distance a vers la droite ( 0a > ) et lâchée sans vitesse initiale.

Au cours du temps, la masselotte oscille de part et d'autre de sa position à l'équilibre, ce qui étire ou comprime le ressort. L'action d'un ressort linéaire sur un objet est de la forme (voir chapitre 3, § III.1) ( ) x0 exkT

rl

r−−= , (6.41)

où k est la raideur du ressort (exprimée en 1m.N − ) et 0l est sa longueur libre (ou à vide)

(figure 6.4).

Il convient de noter que le signe - devant k au second membre de l'équation (6.41)

est toujours présent, que le ressort soit en traction ou en compression.

Ainsi, dans le cas de la figure 6.4-b, le ressort est étiré, 0x 0 >− l , donc ( ) 0xk 0 <−− l , et

( ) x0 exkTr

lr

−−= est bien dirigé vers la gauche. Dans le cas de la figure 6.4-c, le ressort est

comprimé, 0x 0 <− l , donc ( ) 0xk 0 >−− l , et ( ) x0 exkTr

lr

−−= est bien dirigé vers la

droite.






=→ϖ , avec yegmP

rr−= . (6.43)

- Action du ressort : ( )T,MMressortr

=→ , avec l'action Tr

donnée par l'équation

(6.41) ( ) x0 exkT

rl

r−−= . (6.41)

- Action du plan : ( )N,MMplanr

=→ , avec yeNN

rr= et 0N > . (6.44)

La résultante des actions mécaniques est donc ( ) NTPMext

rrr++=→R , (6.45-a)

soit ( )( )

0Ngm

xkMext

0+−

−−=→

l

BR . (6.45-b)


Le vecteur position OM est donné par ses composantes sur la base ( )zyx e,e,e rrr=B :

xexOM r= . (6.46)

La vitesse du point M par rapport au repère ( )BR ,O= s'écrit

( )B

R/

tdOMd/MV ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

r , (6.47-a)

soit ( ) xex/MVr

&r

=R . (6.47-b)

L'accélération du point M par rapport au repère R s'écrit

( ) ( )B

RR/td

/MVd/M ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=Γ

rr

, (6.48-a)

soit ( ) xex/Mr&&

r=Γ R . (6.48-b)

La résultante dynamique du point M par rapport au repère R s'écrit donc :

( ) x0 exm/Mdr&&

r=R . (6.49)


( ) ( )0/MdMext RRr

=→ , (6.50)

soit, en projection sur xer et sur yer ,



( )

⎩⎨⎧

=+−=−−

.0Ngm,xmxk 0 &&l (6.51-a)

(6.51-b) L'équation du mouvement (6.51-b) s'écrit encore ( ) 0xkxm 0 =−+ l&& . (6.52)

Ecrite sous la forme (6.52), l'équation du mouvement n'est plus de la forme (6.6), soit

0xcxa =+&& , puisqu'il y a ici un second membre : 0kxkxm l&& =+ .

Remarquons tout d'abord qu'à l'équilibre, l'équation (6.52) s'écrit, pour 0xx = (position

d'équilibre) et donc pour 0x =&& , 00x l= . (6.53)

0 x (t)

T→ M

Oxx0

x0=l0

Ox0

ex→

ky

zM

g→

position d'équilibre

X (t)

0 x (t)

T→T→ M

Oxx0

x0=l0

Ox0

ex→exex→

ky

zM

g→g→


X (t)

Figure 6.5

Le changement de variable

0xxX −= (6.54)

va permettre d'exprimer l'équation du mouvement (6.52) en fonction de la variable ( )tX dont l'origine est la

position d'équilibre 0x du système

étudié (figure 6.5), et ainsi obtenir une équation sans second membre.

Cette méthode sera systématiquement employée par la suite. Le report de 00 XxXx l+=+= et de sa dérivée seconde Xx &&&& = dans l'équation du

mouvement (6.52) permet d'obtenir finalement 0XkXm =+&& , (6.55)

écrite préférentiellement sous la forme

0XX 20 =ω+&& , (6.56-a)

avec mk

0 =ω , (6.56-b)

pulsation propre du système. Ainsi, par exemple, si la masse m augmente, la pulsation propre 0ω diminue. Il convient de

noter qu'il existe dans la nature bon nombre de systèmes dont les comportements s'apparentent en première approximation à des systèmes à 1 degré de liberté (branche d'arbre



oscillant sous l'effet du vent par exemple). Une modélisation plus fine consisterait à modéliser un tel système avec un ensemble de masses réparties, ce qui augmenterait le nombre de degrés de liberté, et sort du cadre de ce cours. En résumé, le problème à résoudre (problème bien posé) comprend à la fois l'équation du mouvement et les conditions initiales, soit

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

===

≥∀=ω+

.0t,00X,a0X,0t,0XX 2

0&

&&

(6.56-a)

(6.56-c)

Solution de l'équation du mouvement (problème 6.56)

D'après l'équation (6.10), la solution de l'équation du mouvement (6.56-a) s'écrit ( ) ( )ϕ+ω= tcosAtX 0 , (6.57)

les constantes A et ϕ étant déterminées par les conditions initiales (6.56-c).

L'usage de l'équation (6.57) et de la dérivée par rapport au temps ( ) ( )ϕ+ωω−= tsinAtX 00& , (6.58)

permet d'exprimer les conditions initiales (6.56-c) sous la forme :

à 0t = , ( )( )⎩

⎨⎧

ϕω−==ϕ==

.sinA00X,cosAa0X

0& (6.59-a) (6.59-b)

L'équation (6.59-b) conduit - soit à 0A = (solution physiquement inintéressante puisque conduisant à ( ) t,0tX ∀= ), - soit à ( )π=ϕ 0 . Le choix 0=ϕ (6.60-a)

et son report dans l'équation (6.59-a) conduisent à aA = , (6.60-b) ce qui conduit finalement à ( ) ( )tcosatX 0ω= , (6.61-a)

soit, en faisant usage de la relation (6.54), ( ) ( ) ( )tcosatXtx 000 ω+=+= ll . (6.61-b)

Remarque. Le choix π=ϕ aurait conduit à aA −= , dont les reports dans l'équation (6.57) donnent ( ) ( ) ( )tcosatcosatX 00 ω=π+ω−= ,

résultat identique à l'expression (6.61-a).



b) Ressort vertical

g→

ex→

O

M

O O

M

M

x0

l0

x (t)

X (t)

x a) b) c)

g→g→g→

ex→ex→

O

M

O O

M

M

x0

l0

x (t)

X (t)

x a) b) c)


Figure 6.6 : Système masse / ressort vertical a) ressort seul ni tendu ni comprimé, b) système à l'équilibre, c)

système au cours de son mouvement

Un ressort de masse négligeable, de raideur k et de longueur libre l 0 est suspendu par son extrémité O à un point fixe d'un bâti, origine d'un axe vertical dirigé vers le bas, comme le montre la figure 6.6. La position d'une masselotte de masse m, attachée à son autre extrémité M et supposée ponctuelle en ce point, est repérée par son abscisse x(t). A l'instant 0t = , la masselotte est écartée d'une distance a vers le bas ( 0a > ) et lâchée sans vitesse initiale.

De manière générale, l'étude des vibrations d'un système commence souvent par la recherche de la position d'équilibre, ce qui permet ensuite d'effectuer un changement de variable, pour étudier le mouvement du système autour de la position d'équilibre. Avec l'habitude, les équations sont souvent écrites de manière systématique. i) Recherche de la position d'équilibre 0x




=→ϖ , avec xegmP

rr= . (6.62)



donnée par l'équation (6.41) pour la position d'équilibre 0xx =

( ) x00 exkTr

lr

−−= . (6.63)


rr+=→R , (6.64-a)

soit ( ) ( )[ ] x00 exkgmMext rl−−=→R . (6.64-b)



Principe Fondamental de la statique : ( ) 0Mext

r=→R (6.65)

soit ( ) 0xkgm 00 =−− l ;

d'où kgmx 00 += l . (6.66)

ii) Equation du mouvement




=→ϖ , avec xegmP

rr= . (6.67)



donnée par l'équation

(6.41) ( ) x0 exkT

rl

r−−= . (6.68)


rr+=→R , (6.68-a)

soit ( ) ( )[ ] x0 exkgmMext rl−−=→R . (6.68-b)


Le vecteur position OM est donné par ses composantes sur la base ( )zyx e,e,e rrr=B :

xexOM r= , (6.69)

et l'accélération du point M par rapport au repère R s'écrit ( ) xex/M

r&&

r=Γ R . (6.70)

La résultante dynamique du point M par rapport au repère R s'écrit donc :

( ) x0 exm/Mdr&&

r=R . (6.71)


( ) ( )0/MdMext RRr

=→ , (6.72)

soit, en projection sur xer ,

( ) xmxkgm 0 &&l =−− ,

d'où 0kgmxkxm l&& +=+ . (6.73)



De même que précédemment, écrite sous la forme (6.73), l'équation du mouvement n'est plus de la forme (6.6), soit 0xcxa =+&& , puisqu'il y a ici un second membre.

Le changement de variable 0xxX −= (6.74)

va permettre d'exprimer l'équation du mouvement (6.73) en fonction d'une variable dont l'origine est la position à l'équilibre 0x .

Le report de kgmXxXx 00 ++=+= l et de sa dérivée seconde Xx &&&& = dans l'équation du

mouvement (6.73) permet d'obtenir finalement 0XkXm =+&& , (6.75)


0XX 20 =ω+&& , (6.76-a)

avec mk

0 =ω , (6.76-b)

pulsation propre du système.

Avec l'habitude, ce genre d'équation est écrit de manière assez systématique, mais il ne faut pas oublier que l'équation différentielle du mouvement a la forme (6.75) uniquement quand la grandeur caractéristique ( )tX est référencée par rapport à la position d'équilibre.

En résumé, le problème à résoudre (problème bien posé) comprend à la fois l'équation du mouvement et les conditions initiales, soit

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

===

≥∀=ω+

.0t,00X,a0X,0t,0XX 2

0&

&&

(6.76-a)

(6.76-c)

5. Cas particulier de la rotation autour d'un axe fixe

B0

ze→0

e→0

y

0e→x

O

G(S) θ

P→

a

y g→

B0

ze→0

e→0

y

0e→x

B0

B0

ze→0

ze→e→0

e→0

ye→e→0

y

0e→x

0e→e→x

O

G(S) θ

P→P→

a

y g→g→g→

Figure 6.7

Le solide Sb g de la figure 6.7 est en liaison pivot sans frottements avec un bâti (non représenté) d'axe O e z, r

0e j, ce qui le met en rotation autour de cet axe. La

position du centre de masse G est repérée par l'axe yO , faisant un angle θ avec l'axe 0yO . Le repère

( )000 zyx0 e,e,e,O rrr

=R est galiléen, le repère

R B= O,b g avec B =r r re e ex y z, ,

0e j est lié au solide

Sb g, et l'accélération de la pesanteur est telle que

0yegg rr−= .



Par anticipation sur le cours de mécanique du solide de VAS2, l'application du Principe Fondamental de la Dynamique au solide Sb g pour les moments au point O conduit à

( ) θ=⋅→ &&r CeSext0zOM , (6.77)

où ( )SextO →M est le moment au point O du torseur des actions mécaniques extérieures

s'exerçant sur le solide Sb g et C est le moment d'inertie de Sb g par rapport à O e z, r0

e j (unité

2m.kg ).

O

θ

M

x1

y1

a

A

C

BD

x0

y0x1

re

x 0

re

re

0z

rey0

y1

re

P→

R→

O

θ

M

x1

y1

a

A

C

BD

x0x0

y0y0x1

re x1

re

x 0

rex 0x 0

re

re

0zre

0z

0z

rey0

rey0y0

y1

re

P→P→

R→R→

Figure 6.8

Ce genre d'équation a déjà été obtenu au Chapitre 4, § III/2, lors de l'étude du pendule circulaire pour un point matériel M (figure 6.8). Le moment dynamique est donné par ( )

0z2

0O eam/M r&&r

θ=δ R (6.78-a)

et le moment au point O du torseur des actions mécaniques extérieures par ( )

0zO esinagmMext rθ−=→M , (6.78-b)

ce qui conduit à θ=θ− &&2amsinagm , (6.79) la quantité ( )2am , caractéristique de la répartition de masse du système, étant appelée moment d'inertie du point M par rapport à l'axe ( )

0ze,O r

Lorsque le solide étudié n'est pas un point matériel, le moment d'inertie n'est plus simplement le produit de la masse du point M par le carré de la distance au carré entre le point M et l'axe de rotation (voir § I.6).

Définition : on appelle pendule composé le système oscillant formé par un objet solide

quelconque, susceptible d'osciller sous le seul effet de son poids autour d'un axe fixe

schématisant une liaison pivot parfaite (sans frottements).

Le torseur des actions extérieures est donc la somme du torseur des actions de la gravité S→ω et du torseur des actions du bâti Sâtib → , soit SâtibSSext →+→ω=→ . (6.80)

En posant OG a= (figure 6.7), le moment au point O des actions mécanique extérieures s'écrit SbâtiPOGSext OO →+∧=→ MM

r ,



soit 0ML

sinagm00

0ML

0gm

0

0cosa

sinaSext

00000

O

BBBBBM +

θ−=+−∧θ−

θ=→ ,

d'où, en faisant usage de l'équation (6.77), θ=θ− &&Csinagm , soit 0sinagmC =θ+θ&& . (6.81)

Dans le cas des petites oscillations (approximation harmonique), sinθ θ≈ , et l'équation (6.81) devient 0agmC =θ+θ&& , (6.82)


020 =θω+θ&& , (6.83-a)

avec C

agm0 =ω . (6.83-b)

L'équation (6.83) est à savoir retrouver et non à apprendre par coeur ! En résumé, le problème à résoudre (problème bien posé) comprend à la fois l'équation du mouvement et les conditions initiales, soit

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=θ=θθ=θ

≥∀=θω+θ

.0t,0,0,0t,0

00

20

&&

&&

(6.83-a)

(6.83-c)

6. Calcul de moments d'inertie Ce paragraphe est traité par anticipation sur le cours de mécanique du solide.

a) Introduction

e z→e z→e z→

Figure 6.9

Le solide de la figure 6.9 est constitué d'un disque de grand diamètre et d'un axe de plus faible diamètre, le tout pouvant tourner autour de re z.

On considère quatre anneaux identiques (donc de même masse), que l'on dispose de deux manières différentes (figure 6.10) ; sur la figure 6.10-a), ils sont collés sur la face avant du disque, et sur la figure 6.10-b), ils sont fixés sur l'axe du disque.



e z→

1

e z→

2

e z→

1

e z→e z→

1

e z→

2

e z→e z→

2

Figure 6.10-a) Figure 6.10-b)

Si l'on veut faire tourner chacun des deux systèmes, l'expérience montre qu'il faudra dépenser beaucoup plus d'énergie pour communiquer une vitesse de rotation donnée au système (figure 6.10-a) qu'au système (figure 6.10-b), alors que chacun des deux systèmes a la même masse. On peut donc en conclure que la distance de la masse par rapport à l'axe est un élément important dans l'étude de la dynamique des systèmes.

b) Moment d'inertie par rapport à une droite ∆

A 2

1A

iA

1d2d

id (∆)

Figure 6.11

Soit une droite ∆b g (figure 6.11). Si l'on désigne par d i les distances des points A i du solide Sb g par rapport à ∆b g, on définit le moment d'inertie de Sb g par rapport à ∆b g par :

I S m di i

i∆ b g = ∑ 2 . (6.84)

Dans le cas d'une seule masse (figure 6.8), ( ) 2Oz amSI

0= .

Remarques : Un moment d'inertie est toujours positif. Dimension : I M L∆ = ⇒2 unité : kg m. 2.

Soit K un point quelconque. On considère la base B =

r r re e ex y z, ,d i associée au repère

R B= K,b g, ce repère n'étant pas nécessairement lié à Sb g. Par habitude, lorsque la droite ( )∆

est - l'axe ( )xe,K r , le moment d'inertie ( )SI ∆ est noté A ,

- l'axe ( )ye,K r , le moment d'inertie ( )SI ∆ est noté B ,

- l'axe ( )ze,K r , le moment d'inertie ( )SI ∆ est noté C .

- On pourra se reporter au tableau de la figure 6.12 pour connaître les éléments d'inertie en un point O , et les centres de masse de quelques solides homogènes.



c) Eléments d'inertie de quelques solides homogènes usuels

Figure 6.12

! Lorsque l'on cherche un élément d'inertie en un autre point que le point O , il faut utiliser

le théorème de Huygens (§ II.6.d).

Cen

tre

de m

asse

et é

lém

ents

d'in

ertie

au

poin

t O d

e qu

elqu

es so

lides

hom

ogèn

es u

suel

s

Solid

e ho

mog

ène

de m

asse

M

Cen

tre d

e m

asse

G

Elém

ents

d'in

ertie

So

lide

hom

ogèn

e de

mas

se M

C

entre

de

mas

se G

El

émen

ts d

'iner

tie

cy

lind

re c

reux

C

entre

O

Dem

i-sp

hère

(cr

euse

)

C

ylin

dre

plei

n

C

entre

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Q

uart

de

cerc

le m

atér

iel

P

aral

lélé

pipè

de r

ecta

ngle

C

entre

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Q

uart

de

plaq

ue e

llipt

ique

Sp

hère

(cr

euse

)

C

entre

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Se

cteu

r ci

rcul

aire

B

oule

(pl

eine

)

C

entre

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T

ore

creu

x

C

entre

O

C

ône

creu

x

On

rem

arqu

era

qu'il

est

pos

sibl

e de

déd

uire

de

ce ta

blea

u d'

autre

s rés

ulta

ts :

Ain

si la

tig

e s'o

btie

nt e

n fa

isan

t d

ans

le c

ylin

dre

plei

n, la

pla

que

en fa

isan

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le

para

llélé

pipè

de re

ctan

gle,

etc

...

N.B

. : le

s sol

ides

"cr

eux"

sont

supp

osés

d'ép

aiss

eur n

églig

eabl

e.



d) Théorème de Huygens pour les moments d'inertie

(∆)

d G

(∆ )G Figure 6.13

Théorème de Huygens : Le moment d'inertie d'un solide par

rapport à une droite est égal à la somme du moment

d'inertie par rapport à cette droite de la masse du solide

concentrée au centre de masse G et du moment d'inertie du

solide par rapport à la droite parallèle passant par G .

I S I S I m G

G

m d

∆ ∆ ∆b g b g b g= + ,2

1 24 34 , (6.85)

où ∆ G est la droite parallèle à ∆ et passant par G , et d est la distance entre ∆ et ∆ G

(figure 6.13) Exemple.

x 0

g→g→g→

z 0

θ

O

G

y 0

x 1

y 1

l

Figure 6.14

Le système de la figure 6.14 est constitué d'une tige pesante homogène S de masse m de longueur l . Le centre de masse G est donc situé à une distance 2l du point O. La tige est en liaison pivot sans frottements d'axe ( )

0ze,O r avec le bâti. La

position de la tige est repérée par l'axe 1xO , faisant un angle θ avec l'axe 0xO (figure 6.14).

zy

x

O zy

x

O Figure 6.15

- D'après le tableau 6.12, et avec les notations employées dans ce tableau (figure 6.15),

2yOxO M

121II l== . (6.86)

- Dans le cas présent, et avec les notations employées (figure 6.14), le moment d'inertie par rapport à l'axe ( )0zG , noté

0zGI s'écrit, en faisant usage de la relation (6.86)

2zG m

121I

0l= . (6.87)

La distance entre les axes ( )0ze,G r et ( )

0ze,O r étant égale à 2l , le moment d'inertie par

rapport à l'axe ( )0ze,O r s'écrit, par usage du théorème de Huygens (6.85)

3

m4

mm121

2mII

222

2

zGzO 00

lll

l=+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+= , (6.88)

quantité notée C . L'usage de la relation (6.77) permet alors d'écrire

θ=⋅→ &&lr

3meSext

2zO

0M . (6.89)



7. Le ressort spiral et le fil de torsion Le ressort spiral et le fil de torsion sont deux exemples de pièces mécaniques pouvant exercer un moment de rappel (communément appelé couple de rappel et noté C ) sur le système auquel ils sont liés, fonction de l'angle de rotation θ autour d'un axe de rotation. Ils sont caractérisés par une constante de torsion, pouvant être appelée raideur (par analogie avec la raideur des ressorts en translation étudiés jusqu'à présent dans ce cours) et notée K .

a) Le ressort spiral

O

B

O

B

re

0zre

0z

0z

Figure 6.16-a

La figure 6.16-a représente un ressort spiral. Essentiellement utilisé dans l'appareillage de précision (montres, appareils électriques, ...) et inventé par Christiaan Huygens (1629-1695) en 1675 (figures 6.16-b et c), un ressort spiral est composé d'un ruban de section rectangulaire ou circulaire, encastré à une extrémité B et solidaire à l'autre extrémité O d'un axe )e,O(

0zr perpendiculaire au plan d'enroulement.

Figure 6.16-b : Balancier avec

ressort spiral. Gravure extraite de PRIVAT-DESCHANEL et

FOCILLON, Dictionnaire général des sciences techniques et

appliquées, 1883

Figure 6.16-c : Réalisation du mécanisme de la

première montre à ressort spiral (tel qu'imaginé par Huygens) par Isaac Thuret, l'un des meilleurs

horlogers de Paris, en 1675. http://www.louisg.net/mesure_temps5.htm

Sa raideur K (en 1rad.m.N − et non en 1m.N − comme dans le cas des ressorts en translation précédemment étudiés) est donnée par lqIEK = , (6.90)

où E , qI et l désignent respectivement le module d'Young du matériau constituant le

ressort, le moment quadratique de la section droite ( 64DI 4q π= pour une section circulaire

de diamètre D et 12hbI 3q = pour une section rectangulaire de largeur b et d'épaisseur h )

et la longueur du ressort.



b) Le fil de torsion

re

0zre

0z

0z

l

Figure 6.17

Le fil de torsion quant à lui est un fil rectiligne pouvant être contraint en rotation autour de son axe

0zer (torsion). Sa raideur K (en 1rad.m.N − )

est donnée par lOIGK = , (6.91)

où G , OI et l désignent respectivement le module de Coulomb du

matériau constituant le fil, le moment polaire de la section droite ( 32DI 4

O π= pour une section circulaire de diamètre D ) et la longueur

du fil.

c) Couple de rappel

Dans la suite, le terme "ressort" ou "ressort spiral" désigne indifféremment le ressort spiral ou le fil de torsion. Dans les deux cas, si 0θ désigne l'angle au repos de la torsion (libre de toute contrainte), la

torsion d'un angle θ autour de l'axe )e,O(0z

r provoque un couple de rappel C

(correspondant à la projection sur le vecteur 0zer de l'action du ressort sur le système auquel

il est lié) tel que ( ) ( )0zO Kesystèmeressort

0θ−θ−=⋅→=

rMC . (6.92)

Il convient de bien noter l'analogie de l'expression (6.92) du couple de rappel avec l'expression (6.41) de l'action d'un ressort en translation de raideur k et de longueur à vide

0l sur un système :

( ) ( ) x0 exksystèmeressortr

l−−=→R . (6.93)

Si le ressort spiral est de masse négligeable par rapport aux systèmes auxquels il est lié, sa fonction se réduit à transmettre les efforts mécaniques, notamment son couple de rappel.

d) Exemple de mise en équation d'un problème Le système de la figure 6.18-a est constitué d'une tige 1 sans masse, en liaison avec un bâti 0 par l'intermédiaire d'une liaison pivot sans frottement d'axe O e z, r

0e j, son axe de rotation étant

soumis au couple de rappel d'un ressort spiral ou d'un fil de torsion de constante de torsion K (supposé sans masse). Le torseur des actions du bâti 0 sur la tige 1 peut donc s'écrire :



1O

OO

OO

ZMYLX

O

10

BC ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=→ (6.94)

où C est le couple de rappel exercé par le ressort sur la tige.

θ0

1O

M

x0

z0y1

1x

0y

Figure 6.18-a

On introduit les repères suivants : - repère fixe R B0 00 0 0

= =O e e e Ox y z, , , ,r r re j c h lié au bâti 0, et

supposé galiléen. - repère R B1 11 1 0

= =O e e e Ox y z, , , ,r r re j c h lié à la tige 1.

Au repos, la tige 1 fait un angle θ 0 avec l'axe

re x 0

et l'ensemble est soumis au champ de pesanteur terrestre

r rg g e x=

0.

Le couple de rappel C exercé par le ressort spiral sur la tige lorsque celle-ci est écartée d'un angle orienté θ =

r re ex x0 1

,e j est donné par

( )0K θ−θ−=C . (6.95)

1O

M

x0

z0y1

1x

0y

a

θ1

bille

Figure 6.18-b

Une bille de masse m, assimilée à une masse ponctuelle, est maintenant fixée à l'extrémité M de la tige , située à une distance "a" de son autre extrémité O (figure 6.18-b). On note Σ l'ensemble constitué de la tige et de la bille. A l'équilibre, la tige OM fait un angle θ 1 avec l'axe O e x,

r0

e j .

Système étudié : le système Σ constitué de la tige 1 et de la bille.

Inventaire des actions mécaniques extérieures : - Action de la gravité : ( )P,MM

r=→ϖ , avec

0xegmP rr

= . (6.96)



- Action du bâti :

1O

OO

OO

ZMYLX

O

10

BC ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=→

Moment au point O des actions mécaniques extérieures exercées sur le système Σ

( ) ( ) ( )Σ→+Σ→ϖ=Σ→ bâtiext OOO MMM , (6.97-a)

soit ( ) ( )CBBB

O

O

111

OO ML

0singm

cosgm

00a

bâtiPMOext +θ−θ

∧=Σ→+∧=Σ→ MMr

,

d'où ( )CB +θ−

=Σ→sinagm

ML

ext O

O

1

OM . (6.97-b)

Principe Fondamental de la statique

( ) 0extOr

=Σ→M (6.98-a) soit, en projection sur l'axe

0zer et en reportant l'expression (6.95) du couple de rappel C

pour 1θ=θ ,

( ) 0Ksinagm 011 =θ−θ−θ− ;

d'où 101 sinK

agmθ−=θ−θ . (6.98-b)

Il convient de noter que, d'après l'équation (6.98-b), 001 <θ−θ . La position d'équilibre a

donc lieu pour 01 θ<θ , du fait que l'action de la gravité sur la bille exerce une action qui

comprime le ressort spiral ce qui rapproche la tige de la verticale.

Principe Fondamental de la dynamique L'usage de l'équation (6.77) provenant de l'application du PFD pour les moments au point O conduit à, lorsque la tige est écartée d'un angle θ de l'axe 0xO ,

( ) θ=⋅Σ→ &&r 2zO ameext

0M , (6.99)

où 2am représente le moment d'inertie de la masse ponctuelle m par rapport à l'axe

O e z, r0

e j. Par suite, en reportant les équations (6.97-b) et (6.95) dans l'équation (6.99),

l'équation du mouvement s'écrit ( )0

2 Ksinagmam θ−θ−θ−=θ&& ,

soit ( ) 0Ksinagmam 02 =θ−θ+θ+θ&& . (6.100)



Etude des petits mouvements autour de la position d'équilibre 1θ=θ

Le changement de variable 1θ−θ=Θ (6.101)

et un développement limité de la fonction θsin autour de 1θ=θ vont permettre d'exprimer

l'équation du mouvement (6.100) en fonction d'une variable dont l'origine est la position à l'équilibre. Le report de 1θ+Θ=θ et de sa dérivée seconde Θ=θ &&&& dans l'équation du mouvement

(6.100) permet d'écrire ( ) ( ) 0Ksinagmam 011

2 =θ−θ+Θ+θ+Θ+Θ&& , (6.102-a)

soit, en reportant l'expression (6.98-b) de 01 θ−θ

( ) 0sinK

agmKsinagmam 112 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ θ−Θ+θ+Θ+Θ&& . (6.102-b)

Le développement à l'ordre 1 de ( )Θ+θ1sin s'écrit, en appliquant la formule de Taylor

( ) ( ) ( ) ( ) K+++=+ 02

000 x"f2

hxfhxfhxf , (6.103-a)

( ) 111 cossinsin θΘ+θ≈Θ+θ , (6.103-b)

et son report dans l'équation (6.102-b) conduisent à ( ) 0Kcosagmam 1

2 =Θ+θ+Θ&& ,

soit

où

.am

Kcosagm

,0

21

0

20

+θ=ω

=Θω+Θ&&

(6.104-a)

(6.104-b)

Nota Bene 1. Même en écrivant l'équation du mouvement en fonction d'une variable dont l'origine est la position à l'équilibre 1θ=θ , contrairement au cas des oscillateurs étudiés

jusqu'à présent, l'angle 1θ intervient encore dans l'équation du mouvement.

Nota Bene 2. Si 00 =θ , l'équation (6.98-b) s'écrit

0sinK

agm11 <θ−=θ , (6.105)

alors que 01 ≥θ . Par suite, si 00 =θ , alors 01 =θ , et la pulsation propre s'écrit alors

20am

Kagm +=ω . (6.106)



e) Pendule de Pohl Un pendule de Pohl est un oscillateur harmonique constitué d'un disque en rotation autour de son centre, relié à un ressort spiral qui tend à ramener le disque vers sa position d'équilibre. Le dispositif de la figure 6.19 (distribué par la société Leybold Didactic GmbH) comporte ainsi un pointeur placé sur le disque qui permet de suivre les oscillations et de mesurer les amplitudes, d'un petit moteur relié au ressort spiral qui impose une excitation sinusoïdale et force ainsi les oscillations à une fréquence ajustable par l'utilisateur, et d'un frein électromagnétique permettant de régler l'effet d'amortissement (par courants de Foucault).

Figure 6.19 : Pendule de Pohl distribué par la société Leybold Didactic GmbH. http://www.leybold-didactic.de ; http://fr.wikipedia.org/wiki/Pendule_de_Pohl

1. Echelle circulaire. 2. Corps du pendule : index pour la déviation (2a), index pour la position de phase (2b), ressort spiral (2c). 3. Excitateur : index pour la position de phase de l’excitateur (3a), fente (3b), vis (3c), barre de poussée (3d), poulie avec excentrique (3e). 4. Electroaimant pour frein à courants de Foucault. Douilles de connexion (4a). 5. Moteur de l’excitateur.



8. Représentation de l'oscillateur harmonique non amorti dans le plan des phases Il est possible de représenter les oscillations du système dans le plan des phases, c'est-à-dire dans un repère dont l'axe des abscisses est l'élongation x , et l'axe des ordonnées est sa dérivée x& par rapport au temps t (ou θ et θ& ). Exemple : Système masse-ressort horizontal étudié au § II.4-a)

0 x (t)

MO

x

X (t)

x0=l0

0 x (t)

MO

x

X (t)

x0=l0

Figure 6.20

La solution (6.57) de l'équation du mouvement (6.56-a) s'écrit ( ) ( )ϕ+ω= tcosAtX 0 (6.107-a)

et sa dérivée par rapport au temps ( ) ( )ϕ+ωω−= tsinAtX 00& . (6.107-b)

Par suite, 1A

XAX

2

0

2=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ &

, (6.108)

équation d'une ellipse de demi-grand-axe A et de demi-petit axe 0A ω (figure 6.20). Il en

résulte donc, pour l'ensemble des conditions initiales (pour un système masse-ressort donné), une famille d'ellipses concentriques, décrites dans le sens des aiguilles d'une montre lorsque le temps t augmente (figure 6.20). Par suite, la connaissance d'une seule grandeur, l'amplitude A , permet de savoir sur quelle ellipse se déplace le point représentatif du système dans le plan des phases. Si la courbe ainsi obtenue est fermée, le mouvement est périodique. On verra en particulier que, pour les oscillateurs libres amortis, la courbe n'est plus fermée (voir § III.5).

X.

|A|-|A|

-|A| ω0

|A| ω0

X

BD

C

X.

|A|-|A|

-|A| ω0

|A| ω0

X

BD

C Figure 6.21

Pour se convaincre du sens de parcours des ellipses, il suffit, pour simplifier, de prendre

0=ϕ et 0A > dans les équations (6.107).



- A 0t = , ( ) A0X = et ( ) 00X =& , ce qui correspond au point B . - A 2t0 π=ω , ( ) 0tX = et ( ) 0AtX ω−=& , ce qui correspond au point C .

- A π=ω t0 , ( ) AtX −= et ( ) 0tX =& , ce qui correspond au point D .

- Etc. L'intérêt des représentations dans le plan des phases est d'obtenir un comportement qualitatif sur le système étudié, par comparaison avec le cas où le système est amorti. Ce type de représentation offre en particulier l'avantage de représenter la position en fonction de la vitesse, deux grandeurs devant être définies pour connaître l'état d'un système.

III OSCILLATIONS LINEAIRES LIBRES AMORTIES L'oscillateur est abandonné à lui-même et est soumis à un amortissement dû à l'existence d'une force de frottement fluide. Cette force de frottement dissipe l'énergie mécanique sous forme de chaleur. 1 Forme de l'équation du mouvement

L'équation du mouvement, comme on va le voir dans la suite de ce §, est de la forme 0xcxbxa =++ &&& , (6.109)

que l'on écrit préférentiellement 0xx2x 2

0 =ω+γ+ &&& , (6.110)

où b est un facteur d'amortissement positif,

ac

0 =ω (6.111)

est la pulsation propre (ou pulsation naturelle) des oscillations libres non amorties,

et a2

b=γ (6.112)

caractérise l'amortissement (en 1s − ). Il convient de noter que la terminologie en ce qui concerne l'amortissement n'est pas bien définie et que les grandeurs b et γ sont des grandeurs caractérisant toutes deux

l'amortissement sans qu'une dénomination précise leur soit associée.



1er exemple : système masse-ressort amorti

k

m

λ

Figure 6.22

La force de frottement visqueux est de la forme − λ &x e xr , ce qui conduit à

l'équation : 0xkxxm =+λ+ &&& , (6.113)

où le facteur d'amortissement λ a pour dimension [ ] 1TM −=λ et pour unité

associée 1m.s.N − , et où le terme γ défini par l'équation (6.112) a pour

expression

m2λ

=γ , (6.114)

et pour unité 1s − . 2ème exemple : pendule composé avec pivot réel

ze→0

O

G(S) θ

P→

a

ze→0

ze→e→0

O

G(S) θ

P→P→

a

Figure 6.23

Le moment de frottement visqueux est de la forme − µ θ&re z 0

, ce qui conduit

à l'équation : 0agmC =θ+θµ+θ &&& , (6.115)

où le facteur d'amortissement µ a pour dimension [ ] 12 TLM −=µ et pour unité associée m.s.N , et où le terme γ défini par l'équation (6.112) a pour

expression

C2

µ=γ , (6.116)

et pour unité 1s − . 2 Résolution mathématique de l'équation Ce paragraphe ne remplace nullement le cours de mathématiques consacré à la résolution

des équations différentielles du second ordre à coefficients constants.

La résolution de l'équation (6.110) s'obtient en cherchant des solutions indépendantes ax et

bx de la forme ( ) tra etAtx = et ( ) tr

b eBtx = .

Le report de ( )tx a et de ses dérivées successives par rapport au temps

( ) ( ) tra etr1Atx +=& et ( ) ( )[ ] tr

a ertr1rAtx ++=&& dans l'équation (6.110) conduit à

( ) ( )[ ] 0t,0etr2rr2A tr20

2 ≥∀=ω+γ++γ+ ,

soit 0A = (6.117-a)



ou

⎪⎩

⎪⎨⎧

=ω+γ+=γ+

.0r2r,0r

20

2 (6.117-b) (6.117-c)

La résolution de l'équation (6.117-c), appelée équation caractéristique, conduit à calculer son discriminant réduit

20

2' ω−γ=∆ , (6.118)

nul ici, puisque le report de la condition (6.117-b) dans l'équation caractéristique (6.117-c) revient à écrire γ−=r et 2

02r ω= , c'est-à-dire 0r ω−=γ−= .

La solution ( ) tr

a etAtx = est donc solution de l'équation (6.110) uniquement si les

conditions (6.117-b) et (6.117-c) sont satisfaites, c'est-à-dire si γ−=r et si 0' 20

2 =ω−γ=∆ .

Le report de ( )tx b et de ses dérivées successives par rapport au temps ( ) tr

b erBtx =& et

( ) tr2b erBtx =&& dans l'équation (6.110) conduit à

0t,0eBerB2erB tr20

trtr2 ≥∀=ω+γ+ ,

soit 0B = (6.119-a)

ou 0r2r 20

2 =ω+γ+ , (6.119-b)

qui n'est autre que l'équation caractéristique (6.117-c) déjà trouvée. La solution (6.119-a) étant physiquement inintéressante puisque conduisant à

( ) 0t,0tx b ≥∀= , il ne reste plus qu'à résoudre l'équation (6.119-b), appelée équation

caractéristique, et donc à calculer son discriminant réduit '∆ donné par l'équation (6.118). Lorsque le discriminant réduit 0' 2

02 =ω−γ=∆ , la solution de l'équation (6.119-b)

est donnée par la racine double γ−=r (ce qui correspond de plus aux conditions (6.117-b,c)), et la solution générale de l'équation (6.110) est alors donnée par la somme ( ) ( )txtx ba + .

Lorsque le discriminant réduit 0'≠∆ , la solution de l'équation (6.119-b) est donnée par deux racines distinctes 1r et 2r , et la solution générale de l'équation (6.110) est alors

donnée par la somme tr2

tr1

21 eBeB + (les conditions (6.117-b,c) ne sont alors plus

satisfaites et la fonction ( )tx a n'est pas solution).

Finalement, la recherche de la solution générale d'une équation différentielle du second ordre à coefficients constants telle que l'équation (6.110) conduit à écrire l'équation caractéristique (6.119-b) et à en calculer son discriminant réduit (6.118), ce qui mène aux deux cas suivants.



a) Premier cas : ∆' = 0 c'est-à-dire γ = ω0 Lorsque le discriminant réduit '∆ est nul, la solution r est donnée par la racine double de l'équation caractéristique (6.117-c) γ−=r , (6.120) et la solution ( )tx est donnée par ( ) ( )txtx ba + ,

soit ( ) ( ) treBtAtx += ,

soit ( ) ( ) teBtAtx γ−+= , (6.121)

où les constantes A et B dépendent des conditions initiales. Ce cas correspond au régime

critique (voir § 3 suivant).

b) Deuxième cas : ∆' ≠ 0 Lorsque le discriminant réduit '∆ est non nul, les solutions 1r et 2r de l'équation

caractéristique (6.119-b) peuvent être soit toutes les deux réelles, soit toutes les deux complexes conjuguées (en fonction du signe de '∆ ), et, dans les deux cas, la solution peut s'écrire

( ) tr2

tr1

21 eBeBtx += , (6.122)

où les constantes 1B et 2B dépendent des conditions initiales et sont complexes dans le cas

général (ce que symbolise la notation ^ ). i) Si 0'>∆ c'est-à-dire 0ω>γ

Les racines 1r et 2r sont réelles (les constantes 1B et 2B également)

'r1 ∆−γ−= et 'r 2 ∆+γ−= , (6.123)

et le régime correspondant est appelé régime apériodique (voir § 3 suivant). ii) Si 0'<∆ c'est-à-dire 0ω<γ

Les racines 1r et 2r sont complexes conjuguées et le régime correspondant est appelé régime

pseudo-périodique (voir § 3 suivant). Ces racines s'obtiennent en les écrivant sous la forme δ−γ−=1r et δ+γ−=2r , (6.124-a)

où '2 ∆=δ . (6.124-b)

Le choix 220i γ−ω=δ (6.124-c)

et son report dans les expressions (6.107-a) des racines conduisent finalement à

et

⎩⎨⎧

ω+γ−=ω−γ−=

,ir,ir

a2

a1 (6.125-a) (6.125-b)



où 220a γ−ω=ω (6.126)

est une grandeur appelée pseudo-pulsation (l'indice "a" n'ayant aucun rapport avec la solution ax précédemment écrite).

La solution ( )tx de l'équation (6.110), donnée par son expression (6.122) s'écrit finalement

( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ += ωω−γ− ti

2ti

1t aa eBeBetx . (6.127)

Il est usuel d'exprimer la solution (6.122) à l'aide des fonctions trigonométriques circulaires. Ainsi, en remplaçant les exponentielles complexes par leurs expressions en fonction des fonctions trigonométriques circulaires, l'équation (6.127) peut s'écrire

( ) ( )ϕ+ω= γ− tcoseCtx at , (6.128)

où ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tsinBBitcosBBtcosC a12a21a ω−+ω+=ϕ+ω , (6.129-a)

soit ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tsinBBitcosBBsintsinCcostcosC a12a21aa ω−+ω+=ϕω−ϕω . (6.129-b)

Pour que l'équation (6.129-b) soit vérifiée quel que soit t , il faut que

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

−=ϕ−

+=ϕ

,BBisinC,BBcosC

12

21

soit

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+

−=ϕ

=

.BB

BBitan

,BB4C

21

21

212

(6.130-a)

(6.130-b)

Les constantes C et ϕ sont réelles et dépendent (tout comme 1B et 2B qui sont complexes)

des conditions initiales. La notation C n'a bien sur rien à voir avec le moment d'inertie des équations (6.77) ou (6.115)... Remarque. Du fait que la solution ( )tx est réelle, elle est égale à son complexe conjugué

( )tx * , ce qui, par usage de l'équation (6.127), conduit à

t,eBeBeBeB ti*2

ti*1

ti2

ti1

aaaa ∀+=+ ω−ωωω− ,

soit *21 BB = et *

12 BB = . (6.131)

3 Les trois régimes En résumé, l'équation du mouvement étant de la forme 0xx2x 2

0 =ω+γ+ &&& , (6.132)

la recherche des solutions de la forme ( ) tra etAtx = et ( ) tr

b eBtx = conduit à résoudre

l'équation caractéristique



0r2r 20

2 =ω+γ+ (6.133)

dont le discriminant réduit est donné par 2

02' ω−γ=∆ . (6.134)

Suivant le signe de ce discriminant réduit ∆' , trois types de régimes sont obtenus : régime critique, régime apériodique, régime pseudo-périodique.

a) ∆' = 0 : régime critique

L'amortissement, caractérisé par 0ω=γ , (6.135)

est qualifié d'amortissement critique. La solution de l'équation du mouvement (6.132) est de la forme : ( ) ( ) teBtAtx γ−+= , (6.136)

où A et B dépendent des conditions initiales. Le retour à l'équilibre se fait sans oscillation, et l'allure de x tb g est la même que dans le cas

d'un amortissement fort (voir § III.3-b suivant). On peut cependant montrer que le retour vers la position d'équilibre est le plus rapide.

b) ∆' > 0 : régime apériodique L'amortissement, caractérisé par 0ω>γ , (6.137)

est qualifié d'amortissement fort. La solution de l'équation du mouvement (6.132) est de la forme : ( ) tr

2tr

121 eBeBtx += , (6.138)

où 1B et 2B dépendent des conditions initiales,

et où les racines de l'équation caractéristique 'r1 ∆−γ−= et 'r 2 ∆+γ−= , (6.139)

sont toutes deux négatives.



L'amortissement est fort et le retour à l'équilibre se fait asymptotiquement pour un temps infini, sans que jamais le mobile ne passe par la position d'équilibre. Il n'y a pas

d'oscillations. x(t)

t0

x 0

Figure 6.24 Remarque. Dans le cas de la figure 6.24, x x0 0b g = et &x 0 0b g = .

c) ∆' < 0 : régime pseudo-périodique

L'amortissement, caractérisé par 0ω<γ , (6.140)

est qualifié d'amortissement faible. La solution de l'équation du mouvement (6.132) est de la forme : ( ) ( )ϕ+ω= γ− tcoseCtx a

t , (6.141)

où C et ϕ dépendent des conditions initiales, et où la pseudo-pulsation aω est définie par

220a γ−ω=ω , (6.142-a)

de pseudo-période aT associée

a

a2Tω

π= . (6.142-b)

i) Représentation graphique

La multiplication des fonctions ( )ϕ+ω tcosC a (figure 6.25-a) par les fonctions

exponentielles te γ−± (figure 6.25-b), permet d'obtenir l'allure de la solution (6.1414) (figure 6.26).

t0 t0

+ e − γ t

- e − γ t

a) b)

t0 t0

+ e − γ t+ e − γ t− γ t

- e − γ t- e − γ t− γ t

a) b)



Figure 6.25

Figure 6.26

Le mouvement est un mouvement oscillant dont l'amplitude décroît avec une

constante de temps τγ

=1 qui

est la durée au bout de laquelle l'amplitude est divisée par e ; cette constante de temps augmente si l'amortissement diminue.

ii) Rapport entre deux maximums (resp. minimums) successifs - Décrément logarithmique

L'amplitude du mouvement, à un ou plusieurs intervalles de pseudo-période aT , peut être une donnée expérimentale qui permet de déduire les caractéristiques de l'oscillateur, et notamment son facteur d'amortissement γ , en fonction de la pseudo-période aT .

Figure 6.27

Ainsi, le rapport entre deux maximums (resp. minimums) successifs est-il donné par (figure 6.27)

1

2AA

=α , (6.143-a)

soit, en faisant usage de la solution (6.144), et puisque ( ) 1tcos a =ϕ+ω

(resp. -1) pour 1tt = et 2tt = ,

( )12

1

2 ttt

te

eC

eC −γ−γ−

γ−==α ,

d'où aTe γ−=α . (6.143-b)

De même, on peut également définir le décrément logarithmique δ par

1n

1

2

1A

Aln

n1

AA

ln+

==δ , (6.144)

où n désigne la nième élongation (du même côté). Le report de l'expression (6.143) du rapport α dans la relation (6.144) conduit à

τ

=γ=α−=δ aa

TTln , (6.145)



où γ

=τ1 (6.146)

est la durée au bout de laquelle l'amplitude est divisée par e .

Le report de l'expression du facteur d'amortissement γ déterminé en fonction du décrément

logarithmique en faisant usage de l'équation (6.145) par

π

ωδ=

δ=γ

2Ta

a , (6.147)

dans l'expression (6.142-a) au carré de la pseudo-pulsation aω permet d'écrire

( )[ ]20a 21 πδ+ω=ω . (6.148)

Si le rapport ( ) 12 <<πδ (c'est-à-dire si 1a >>τω ), le développement à l'ordre 2 de la

relation (6.148) permet d'écrire

2

2

0

0a

8π

δ−≈

ω

ω−ω . (6.149)

La relation (6.149) donne la mesure de l'écart entre la pseudo-pulsation aω de l'oscillateur

amorti et sa fréquence propre 0ω (même oscillateur mais non amorti).

4 Facteur de qualité du système Le facteur de qualité Q d'un système est une grandeur qui tient compte de la faculté du

système considéré à osciller ; il est défini par ( )γω= 2Q 0 . (6.150)

Par suite, - si 0ω>γ , c'est-à-dire si 21Q < , le régime est apériodique,

- si 0ω=γ , c'est-à-dire si 21Q = , le régime est critique,

- si 0ω<γ , c'est-à-dire si 21Q > , le régime est pseudo-périodique.

L'usage des relations (6.142) permet d'écrire la pseudo-période aT sous la forme

[ ]200a 1TT ωγ−= , (6.151)

soit, en reportant l'expression du facteur de qualité (6.133),

( )20a Q411TT −= , (6.152)

où 00 2T ωπ= est la période propre des oscillations libres non amorties.

L'interprétation du facteur de qualité en termes de bande passante en régime permanent pour les oscillations forcées sera donnée au § III.5-c).



5 Représentation de l'oscillateur harmonique amorti dans le plan des phases .

x

x

0 x

x

0

Figure 6.27 : Oscillateur libre non amorti

L'évolution d'un oscillateur non amorti dans le plan des phases est une ellipse (voir § II.8) d'équation

1A

xAx

2

0

2=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ &

(6.153)

qui est donc une courbe fermée (figure 6.27).

Ce n'est en revanche plus le cas en présence d'amortissement.

a) Mouvement critique

La solution (6.136) et sa dérivée par rapport au temps s'écrivent

( ) ( )( ) ( )[ ]⎪⎩

⎪⎨⎧

++γ−=+=

γ−

γ−

,eABtAtx,eBtAtx

t

t

& (6.154-a)

(6.154-b) ce qui conduit à la courbe paramétrique en fonction du temps t de la figure 6.28.

x.

x0x0x.x.

x0x0

Figure 6.28 : Oscillateur libre amorti,

régime critique. Cas où les conditions initiales sont telles que, à 0t = , ( ) 0x0x =

et ( ) 00x =& .

Quand +∞→t , x et x& tendent vers 0.

b) Mouvement apériodique


( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

+=

,erBerBtx

,eBeBtxtr

22tr

11

tr2

tr1

21

21

&

(6.155-a)

(6.155-b)

avec 0r,r 21 < , ce qui conduit à la courbe paramétrique en fonction du temps t de la

figure 6.29.



x.

x0x0x.x.

x0x0


régime apériodique. Cas où les conditions initiales sont telles que, à 0t = , ( ) 0x0x =

et ( ) 00x =& .


c) Mouvement pseudo-périodique


( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]⎪⎩

⎪⎨⎧

ϕ+ωω+ϕ+ωγ−=

ϕ+ω=γ−

γ−

,tsintcoseCtx

,tcoseCtx

aaat

at

&

(6.156-a)

(6.156-b)

ce qui conduit à la courbe paramétrique en fonction du temps t de la figure 6.30.

x0

x0

x.

x0

x0

x.

x0

x0

x.x.


régime pseudo-périodique. Cas où les

conditions initiales sont telles que, à 0t = , ( ) 0x0x = et ( ) 00x =& .




IV OSCILLATIONS FORCEES SOUS EXCITATION PERIODIQUE (SYSTEME AMORTI)

1. Equation du mouvement Les oscillateurs étudiés dans les paragraphes précédents sont maintenant soumis à une action mécanique extérieure (force d'amplitude 0F ou moment d'amplitude 0C ) supposée

sinusoïdale de pulsation ω . L'excitation de l'oscillateur est alors périodique (de période ωπ= 2T ), et les oscillations sont dites forcées (par opposition aux oscillations libres des § II

et III).

- Il ne faut pas confondre la notation 0ω qui désigne la pulsation propre des oscillations

libres non amorties, et la notation ω qui désigne la pulsation des oscillations forcées. - Il convient également de noter que le terme "sinusoïdal" désigne une fonction circulaire qui peut être soit la fonction sinus, soit la fonction cosinus. C'est la fonction cosinus qui est choisie dans la suite de ce paragraphe par commodité, mais la fonction sinus aurait tout aussi bien pu être utilisée. - Il convient par ailleurs de noter qu'en toute rigueur, le signal d'excitation n'est pas réellement sinusoïdal, puisque mis en service à 0t = ... L'équation du mouvement est alors de la forme

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

≥ω=ω+γ+

<=ω+γ+

,0tsi,tcosfxx2x

,0tsi,0xx2x

020

20

&&&

&&&

(6.157-a)

(6.157-b)

où 0f est homogène à une accélération si x est homogène à une longueur ( mFf 00 = ), ou

à une accélération angulaire si x (noté alors préférentiellement θ ) est un angle ( If 00 C= ), I étant homogène à un moment d'inertie.

En résumé, le problème à résoudre (problème bien posé) comprend à la fois l'équation du mouvement et les conditions initiales, soit

( )( ) ( )⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

===

≥ω=ω+γ+

<=ω+γ+

.0t,x0x,x0x

,0tsi,tcosfxx2x

,0tsi,0xx2x

00

020

20

&&

&&&

&&&

(6.157-a)

(6.157-b)

(6.157-c)



2. Solution générale de l'équation Comme toute équation différentielle comportant un second membre, la solution générale ( )tx de l'équation avec second membre est la somme de la solution générale ( )tx 1 de l'équation

sans second membre et d'une solution particulière ( )tx 2 de l'équation avec second membre,

soit ( ) ( ) ( )txtxtx 21 += , (6.158)

où la solution ( )tx 1 correspond aux oscillations libres du système, est donc de la forme

(6.121), (6.127) ou (6.128) et tend donc vers 0 au bout d'un certain temps, et où la solution particulière ( )tx 2 correspond au régime appelé stationnaire ou permanent.

Deux régimes sont à distinguer. Régime transitoire

Le régime transitoire est la première partie du mouvement pendant laquelle les vibrations libres (fonction ( )tx 1 ) s'atténuent de plus en plus pour tendre vers zéro. Ce régime est bien

entendu constitué à la fois de ( )tx 1 mais également de ( )tx 2 .

Régime stationnaire (ou permanent) :

Le régime stationnaire est la deuxième partie du mouvement, régulier, périodique, puisque la cause du mouvement est une force elle-même périodique, et correspond donc uniquement à la fonction ( )tx 2 .

La durée du régime transitoire est le temps pendant lequel le système se "souvient" de son état initial, avant que la force n'entre en action. Passé ce temps, rien dans l'état du système ne permet de retrouver cet état initial. L'ordre de grandeur de la durée de ce régime transitoire est donné par la constante de temps γ=τ 1 (voir Eq. (6.146)).

Dans le cas d'un système faiblement amorti, cette période transitoire pourra être très longue, voire de durée infinie dans le cas d'un système sans amortissement γ τ= ⇒ → ∞0b g. 3. Méthode d'étude du régime stationnaire (ou permanent) L'étude du régime stationnaire consiste à chercher une solution particulière ( )tx 2 de

l'équation (6.157-b) ( )tcosfxx2x 0

20 ω=ω+γ+ &&& . (6.159)

Pour cela, il est commode de lui associer l'équation ( )tsinfyy2y 0

20 ω=ω+γ+ &&& , (6.160)



et de poser yixX += . (6.161)

Par suite, les dérivées première et seconde de la nouvelle variable X s'écrivent

respectivement yixX &&& += et yixX &&&&&& += , et la somme de l'équation (6.159) et de l'équation (6.160) multipliée par ( )i s'écrit

ti0

20 efXX2X ω=ω+γ+ &&& , (6.162)

équation dont il est aisé de trouver une solution particulière en la cherchant sous la forme

( ) ti2 eAtX ω= , (6.163)

où 2A est une amplitude complexe.

La solution particulière ( )tx 2 de l'équation (6.159) est ainsi la partie réelle de la solution

( )tX de l'équation (6.162) :

( ) ( )[ ]tXetx 2 R= , (6.164)

soit, en reportant l'amplitude complexe 2A sous forme trigonométrique,

2i22 eAA ϕ= , (6.165)

dans l'expression (6.163) de ( )tX , soit

( ) ( ) ( ) ( )[ ]222ti

2 tsinitcosAeAtX 2 ϕ+ω+ϕ+ω== ϕ+ω , (6.166)

il vient ( ) ( )222 tcosAtx ϕ+ω= . (6.167)

Remarques.

La méthode de recherche d'une solution particulière d'une équation différentielle à coefficients constants, exposée dans ce paragraphe, est bien adaptée au cas où le second membre de l'équation différentielle a la forme d'une exponentielle complexe. Il existe d'autres méthodes qui font l'objet d'un cours de mathématiques.

L'amplitude complexe 2A est l'amplitude complexe du régime permanent, et son étude

(en module et en phase), fait l'objet du § 4 suivant. Les grandeurs 2A et 2ϕ ne dépendent

pas des conditions initiales (6.157-c).

Dans le cas où le second membre de l'équation du mouvement (6.159) est ( )tsinf 0 ω

(cf. la remarque du § IV.1, juste avant les équations (6.157)), il suffit d'échanger les rôles de x et de y dans les équations (6.159) et (6.160), et de choisir pour solution particulière la

partie imaginaire (et non plus la partie réelle) de ( )tX : ( ) ( )[ ]tXmtx 2 I= .



4. Mise en évidence du phénomène de résonance sur un exemple

a) Oscillateur non amorti

F = F0 cos (ω t)

k

m

F = F0 cos (ω t)

k

m

Figure 6.31

Une masse ponctuelle m est suspendue à un ressort de masse négligeable et de raideur k . Un mécanisme (non représenté) soumet la masse à une force F sinusoïdale de pulsation ω (figure 6.31) de la forme ( )tcosFF 0 ω= .

La position de la masse m est repérée par l'abscisse ( )tx dont l'origine

est prise à la position d'équilibre de la masse.

L'équation du mouvement s'obtient, de la même manière qu'au § II.4-b), en tenant compte de la force F et s'écrit donc

( )tcosFxkxm 0 ω=+&& , (6.168)

soit ( )tcosfxx 020 ω=ω+&& , (6.169-a)

où mk0 =ω (6.169-b)

est la pulsation propre des oscillations libres non amorties, et mFf 00 = . (6.169-c)

Remarque. Il convient de bien noter qu'ici, la position de la masse par rapport à la position d'équilibre est notée ( )tx , alors qu'elle était notée ( )tX au § II.4-b), et que, dans ce même §, ( )tx désignait

la position de la masse par rapport au bâti. C'est une situation très courante de changer ainsi de notation, et il faut bien se souvenir que l'équation du mouvement a la forme (6.169-a) uniquement parce que ( )tx est repéré par rapport à la position d'équilibre.

La solution générale de l'équation sans second membre

0xx 20 =ω+&& (6.170-a)

est donnée par exemple par l'équation (6.10) ( ) ( )1011 tcosAtx ϕ+ω= , (6170-b)

où les constantes 1A et 1ϕ sont déterminées par les conditions initiales portant sur la

solution totale ( ) ( ) ( )txtxtx 21 += de l'équation (6.169-a).

La solution particulière de l'équation

( )tcosfxx 020 ω=ω+&& , (6.171-a)



correspondant au régime permanent, est déterminée par la méthode exposée au § IV.3 précédent, en associant à l'équation (6.171-a) l'équation ( )tsinfyy 0

20 ω=ω+&& , (6.171-b)

et en posant yixX += . (6.172)

Par suite, la dérivée seconde de la nouvelle variable X s'écrit yixX &&&&&& += , et la somme de l'équation (6.171-a) et de l'équation (6.171-b) multipliée par ( )i s'écrit

ti0

20 efXX ω=ω+&& , (6.173)


( ) ti2 eAtX ω= , (6.174)


Le report de l'expression (6.174) et de sa dérivée seconde ti

22 eAX ωω−=&& dans l'équation

(6.173) conduit à ( ) 0t,efeA ti

0ti

220

2 ≥∀=ω+ω− ωω ,

équation vérifiée 0t ≥∀ uniquement si la fonction du temps (ici tie ω ) peut être mise en

facteur d'un terme (ici ( )[ ]0220

2 fA −ω+ω− ) qui doit alors être nul,

soit

ou encore

( ) .1

1f

A

,f

A

200

20

2

20

20

2

ωω−=

ω

ω+ω−=

(6.175-a)

(6.175-b)

L'amplitude 2A du régime permanent est ici une quantité réelle, positive lorsque 0ω<ω ,

négative lorsque 0ω>ω , et tendant vers l'infini lorsque 0ω→ω (figure 6.32).

Il est commode, en vue de superposer ces courbes à celles obtenues lorsque l'oscillateur est amorti (voir § IV.4-b) suivant), de représenter l'amplitude réelle 2A sous forme de module et

de phase 2ϕ , cette dernière étant égale à 0 lorsque 0A 2 > et à π (ou π− ) lorsque 0A 2 <

(figure 6.33). La solution particulière ( )tx 2 de l'équation (6.171-a) est ainsi la partie réelle de la solution


( ) ( )[ ]tXetx 2 R= , (6.176)



soit, en reportant l'expression (6.1758-a) de l'amplitude 2A dans l'expression (6.174) de

( )tX ,

( ) ( )tcosf

tx22

0

02 ω

ω−ω= . (6.177)

La solution générale de l'équation du mouvement (6.171-a) est donc, d'après les équations (6.158), (6.172-b) et (6.177)

( ) ( ) ( )tcosf

tcosAtx22

0

0101 ω

ω−ω+ϕ+ω= , (6.178)

où seules les constantes 1A et 1ϕ dépendent des conditions initiales (6.157-c).

Figure 6.32 : Amplitude

normalisée 0202 fA ω en

fonction de la pulsation réduite

0ωω pour un oscillateur non

amorti.

Figure 6.33 : Module a) et phase b) de l'amplitude normalisée

0202 fA ω en fonction de la

pulsation réduite 0ωω pour un

oscillateur non amorti. La représentation de telles grandeurs normalisées sans dimension permet d'obtenir des courbes valables quels que soient les paramètres ( m , k ,

0F ) de l'oscillateur.

Lorsque 0ω→ω , ∞→2A : ce phénomène est appelé phénomène de résonance (bien noter

l'orthographe et le nombre de n...), et la pulsation ω (resp. fréquence) de l'oscillation forcée à laquelle ce phénomène se produit est appelée pulsation (resp. fréquence) de résonance. La pulsation de résonance ω est ici égale à la pulsation propre 0ω des oscillations libres non

amorties.



Cela explique pourquoi il est interdit à une troupe entière (militaires) de marcher au pas cadencé (qui favorise une fréquence précise) pour éviter la destruction éventuelle du pont qui peut se produire si la fréquence du pas se trouve être celle de résonance du pont (le pont est un système continu mais en première approximation il est doté d'un mouvement propre global associé à sa masse et son élasticité : mouvement transversal d'une poutre encastrée à ses deux extrémités). L'exemple le plus connu de ce phénomène est celui de l'effondrement du pont de Tacoma dans l'Etat de Washington (USA) en Novembre 1940. En toute première approximation, la masse m (ou le moment d'inertie C ) du pont est celle (ou celui) du tablier, l'élasticité étant donnée par les câbles. Ce pont était entré en résonance par l'effet des forces dues au vent sur le profil du tablier (mouvement forcé). Une fois que le pont a commencé à se tordre (mode de torsion, figure 6.34-a) avec une fréquence environ égale à 1.4 Hz, l'amplitude a augmenté, conduisant à l'effondrement du pont (figure 6.34-b).

a) b) Figure 6.34 : Torsion a) puis effondrement b) du Pont de Tacoma.

http://www.nrc-cnrc.gc.ca/highlights/2003/0306tacoma_f.html

Une solution au problème est d'optimiser le profil du tablier pour que l'effet du vent ne se traduise pas par une force qui entretient le mouvement oscillatoire...

b) Oscillateur amorti

F = F0 cos (ω t)

k

m

λ

F = F0 cos (ω t)

k

m

λ

Figure 6.35

Une masse ponctuelle m est suspendue à un ressort de masse négligeable et de raideur k et à un amortisseur de constante λ . Un mécanisme (non représenté) soumet la masse à une force F sinusoïdale de pulsation ω (figure 6.35) de la forme ( )tcosFF 0 ω= . La position

de la masse m est repérée par l'abscisse ( )tx dont l'origine est prise à

la position d'équilibre de la masse.

L'équation du mouvement s'obtient, de la même manière qu'au § II.4-b), en tenant compte de la force F et s'écrit donc

( )tcosFxkxxm 0 ω=+λ+ &&& , (6.179)



soit ( )tcosfxx2x 020 ω=ω+γ+ &&& , (6.180-a)

où mk0 =ω (6.180-b)

est la pulsation propre des oscillations libres non amorties, ( )m2λ=γ , (6.180-c) et mFf 00 = . (6.180-d)

La solution générale de l'équation sans second membre

0xx2x 20 =ω+γ+ &&& (6.181)

est donnée, selon les valeurs relatives de γ et de 0ω (voir § III), par l'une des équations

(6.121), (6.127) ou (6.128) ( ) ( ) t

111 eBtAtx γ−+= , (6.182-a)

ou ( ) tr1

tr11

21 eBeAtx += , (6.182-b)

ou ( ) ( )1at

11 tcoseCtx ϕ+ω= γ− , (6.182-c)

où les constantes 1A et 1B , ou 1C et 1ϕ , sont déterminées par les conditions initiales

(6.157-c) portant sur la solution totale ( ) ( ) ( )txtxtx 21 += de l'équation (6.180-a).

La solution particulière de l'équation

( )tcosfxx2x 020 ω=ω+γ+ &&& , (6.183-a)

correspondant au régime permanent, est déterminée par la méthode exposée au § IV.3 précédent, en associant à l'équation (6.183-a) l'équation ( )tsinfyy2y 0

20 ω=ω+γ+ &&& , (6.183-b)

et en posant yixX += . (6.184)

Par suite, les dérivées première et seconde de la nouvelle variable X s'écrivent

respectivement yixX &&& += et yixX &&&&&& += , et la somme de l'équation (6.183-a) et de l'équation (6.183-b) multipliée par ( )i s'écrit

ti0

20 efXX2X ω=ω+γ+ &&& , (6.185)


( ) ti2 eAtX ω= , (6.186)


Le report de l'expression (6.186) et de ses dérivées première ti

2 eAiX ωω=& et seconde ti

22 eAX ωω−=&& dans l'équation (6.185) conduit à



( ) 0t,efeAi2 ti0

ti2

20

2 ≥∀=ω+γω+ω− ωω ,

équation vérifiée 0t ≥∀ uniquement si la fonction du temps (ici tie ω ) peut être mise en

facteur d'un terme (ici ( )[ ]0220

2 fAi2 −ω+γω+ω− ) qui doit alors être nul,

soit γω+ω−ω

=i2

fA

220

02 , (6.187)

soit, sous forme trigonométrique,

avec

et

( )

.2tan

,4

fA

,eAA

220

2

222220

02

i22

2

ω−ω

ωγ−=ϕ

ωγ+ω−ω

=

= ϕ

(6.188-a)

(6.188-b)

(6.188-c)

Il est commode, afin d'obtenir des expressions indépendantes des caractéristiques de l'oscillateur, d'exprimer les relations (6.188) en fonction des variable et paramètres adimensionnels 0v ωω= (6.189-a)

( )00 m2 ωλ=ωγ=ξ , (6.189-b)

et ( ) 20020 f0AA ω==ω= , (6.189-c)

ce qui conduit à

et

( ).

v1v2tan

,v4v1

1A

A

22

22220

2

−

ξ−=ϕ

ξ+−=

(6.190-a)

(6.190-b)

Les figures 6.36 présentent les courbes représentatives de l'amplitude normalisée 02 AA en

module et en phase en fonction de la pulsation réduite 0v ωω= , pour différentes valeurs

d'amortissement ξ (régime critique pour 1=ξ , régime apériodique pour 1>ξ et régime pseudo-périodique pour 1<ξ et oscillateur non amorti pour 0=ξ ).

La solution particulière ( )tx 2 de l'équation (6.183-a) est ainsi la partie réelle de la solution


( ) ( )[ ]tXetx 2 R= , (6.191-a)

soit ( ) ( )222 tcosAtx ϕ+ω= . (6.191-b)



La solution générale de l'équation du mouvement (6.183-a) est donc, d'après les équations (6.1581), (6.191) et par exemple (6.182-c), ( ) ( ) ( )221a

t1 tcosAtcoseCtx ϕ+ω+ϕ+ω= γ− , (6.192)

où seules les constantes 1C et 1ϕ dépendent des conditions initiales (6.157-c).

Figure 6.36 : Module a) et phase b) de l'amplitude

normalisée 02 AA en

fonction de la pulsation réduite 0ωω pour

différentes valeurs du paramètre d'amortissement ξ . La représentation de telles grandeurs normalisées sans dimension permet d'obtenir des courbes valables quels que soient les paramètres ( m , k , λ , 0F ) de l'oscillateur.

Pour un oscillateur non amorti ( 0=ξ ), la résonance est atteinte lorsque 0ω→ω (voir § IV.4-

a) ; lorsque l'amortissement est suffisamment faible (régime pseudo-périodique de l'oscillateur libre), le module 2A de l'amplitude du régime permanent présente un maximum

(résonance) pour une pulsation mω proche de la pulsation propre 0ω . La résonance

d'amplitude n'a donc pas lieu précisément pour la pulsation propre des oscillations libres non amorties. Par anticipation sur le § IV.5.e), la pulsation mω est donnée par la relation

220m 2 γ−ω=ω . (6.193)

Remarque. D'après l'équation (6.187), et puisque l'argument de ( )γω+ω−ω i222

0 est compris entre 0 et

π , l'argument 2ϕ de l'amplitude complexe 2A est tel que

[ ]0,2 π−∈ϕ , (6.194-a)

ce qui implique 0sin 2 <ϕ . (6.194-b)

Comme par ailleurs, d'après l'équation (6.188-c), 2tan ϕ est du signe de ( )0ω−ω , il s'ensuit

que 222 tansincos ϕϕ=ϕ est du signe de ( )ω−ω 0 .



5. Puissance transmise au système par la source excitatrice en régime permanent Comme souligné au § III.4, le facteur de qualité ( )γω= 2Q 0 (6.195)

est une grandeur rendant compte de la faculté d'un système à osciller. Le but de ce § est d'interpréter maintenant cette grandeur en termes de puissance et de bande passante (en régime permanent).

a) Puissance instantanée transmise par la source au système La solution particulière de l'équation du mouvement (correspondant au régime permanent), donnant la position du système oscillant, est donnée par (§ IV.4) ( ) ( )222 tcosAtx ϕ+ω= (6.196)

et sa vitesse par ( ) ( )222 tsinAtv ϕ+ωω−= ,

soit ( ) ( )2tcosVtv 222 π+ϕ+ω= (6.197-a)

où 22 AV ω= (6.197-b)

est le module de l'amplitude de la vitesse. D'après l'équation (5.1) du chapitre 5 (§ I.1-a), la puissance instantanée de la force excitatrice ( ) ( )tcosFtF 0 ω= (6.198)

appliquée au point en lequel est calculée la vitesse ( )tv 2 , relativement au repère (galiléen)

R est telle que ( ) ( ) ( )tvtFt 2=P , (6.199-a)

soit, en faisant usage des relations (6.197) et (6.198-a) ( ) ( ) ( )2tcostcosVFt 220 π+ϕ+ωω=P . (6.199-b)

Remarque. Le calcul d'une puissance s'effectue avec des quantités réelles et non complexes,

car la partie réelle d'un produit n'est pas égale au produit des parties réelles.



b) Puissance moyenne La puissance moyenne, notée P , est, par définition,

( )∫=T0

tdtT1 PP , (6.1200)

où ωπ= 2T , soit, en reportant l'expression (6.199-b) de la puissance instantanée dans

l'équation (6.200) et en utilisant la relation trigonométrique classique

( ) ( )[ ]bacosbacos21bcosacos −++= ,

( ) ( )[ ]∫ π+ϕ+π+ϕ+ω=T0 22

20td2cos2t2cos

T2

VFP ,

d'où

( ) 220

220

sin2

VF2cos

2

VFϕ−=π+ϕ=P . (6.201)

D'après l'équation (6.194-b), 0sin 2 <ϕ , ce qui implique que 0>P ; cela signifie bien

qu'en moyenne dans le temps (sur une période) l'énergie est donc bien fournie positive par la source au système et non pas l'inverse.

Calcul de 2sin ϕ en fonction de v et ξ .

Le report de l'expression (6.190-b) de 2tan ϕ dans l'équation

2

22

222tan1

tancostansin

ϕ+

ϕ±=ϕϕ=ϕ ,

conduit à

( )22

22

22

v1

v41

v1v2

sin

−

ξ+

−

ξ−

±=ϕ ,

soit ( )

0v4v1

v2sin2222

2 <ξ+−

ξ−=ϕ . (6.202)

Le report des expressions (6.1202) de 2sin ϕ , (6.197-b) de 2V , (6.190-a) de 02 AA et

(6.180-d) de 00 fmF = dans l'expression (6.201) de la puissance moyenne conduit finalement

à (voir figure 6.37)

( ) 2222

2

0

20

v4v1

vfm

ξ+−

ξω

=P . (6.203)



Recherche de la pulsation rendant P maximale (résonance)

La dérivée de la puissance moyenne P par rapport à la pulsation réduite 0v ωω= est

( ) ( )[ ]

( ) 22222

2222222

0

20

v4v1

v8v1v4vv4v1v2fm

vdd

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ξ+−

ξ+−−−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ξ+−

ξω

=P

. (6.204)

L'annulation du numérateur du second membre de l'équation (6.204) conduit à ( )( ) 0v1v1 22 =+− ,

soit 1v 2 −= (solution physiquement impossible) ou 1v 2 = . Par suite, la puissance moyenne P est maximale (résonance de puissance) pour 1v = ,

soit 0ω=ω , pulsation propre des oscillations libres non amorties (figure 6.34), qui ne

dépend par du facteur d'amortissement ξ .

La valeur maxP correspondante s'obtient en remplaçant v par 1 dans l'équation (6.203), ce

qui conduit à

γ

=ωξ

=4

fm

4

fm 20

0

20

maxP . (6.205)

c) Bande passante - facteur de qualité

L'acuité de la résonance (c'est-à-dire le caractère plus ou moins aigu de la courbe représentative de la puissance moyenne P autour de la résonance) est décrite en termes de

bande passante ou de facteur de qualité.

Définitions : - La bande passante est l'intervalle de fréquence (ou de pulsation), noté 12 ω−ω=ω∆ ,

où la puissance moyenne P fournie par la force excitatrice est supérieure à la moitié

de sa valeur maximale maxP .

- Le facteur de qualité est le rapport de la fréquence de résonance sur la largeur de la

bande passante :

ω∆

ω= 0Q . (6.206)



Recherche des pulsations 1ω et 2ω telles que 2maxPP =

Le report des expressions (6.203) et (6.205) dans l'équation 2maxPP = (6.207)

conduit à

( ) 0

20

2222

2

0

20

8

fm

v4v1

vfm

ωξ=

ξ+−

ξω

,

soit ( )( ) 01v2v1v2v 22 =−ξ−−ξ+ ,

soit 1v 2 +ξ±ξ−= ou 1v 2 +ξ±ξ= ,

soit, en ne gardant que les deux racines positives

1v 21 +ξ+ξ−= et 1v 2

2 +ξ+ξ= , (6.208)

il vient

et

.2

,22vv

12

012

γ=ω∆=ω−ω

ωγ

=ξ=−

(6.209-a)

(6.209-b)

Par suite, l'expression (6.206) du facteur de qualité est

γ

ω=

ξ=

221Q 0 , (6.210)

expression donnée sans démonstration au § III.4.

Figure 6.37 : Puissance moyenne P fournie par la force excitatrice en fonction de la

pulsation réduite 0ωω pour différentes valeurs du paramètre d'amortissement ξ .



d) Bande passante et amplitude Contrairement au cas de la puissance moyenne fournie au système par la force excitatrice, le module 2A de l'amplitude complexe du régime permanent n'est pas maximal pour 1v = ,

soit 0ω=ω (voir figure 6.36 et § IV.4-b).

Recherche de la pulsation mv rendant 2A maximale (résonance d'amplitude)

La dérivée du module 2A de l'amplitude complexe par rapport à la pulsation réduite

0v ωω= est, en faisant usage de l'expression (6.190-a)

( )[ ] ( ) 2/3222222

02

v4v1v8v1v4A21

vd

Ad −

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ξ+−ξ+−−−= . (6.211)

L'annulation du numérateur du second membre de l'équation (6.211) conduit à 0v = ou 22 21v ξ−= ,

soit, en ne retenant pas la solution 0v = qui n'offre que peu d'intérêt,

2m 21v ξ−= si 21<ξ . (6.212)

Par suite, le module de l'amplitude complexe 2A du régime permanent est maximal

(résonance d'amplitude) pour 2m 21v ξ−= , soit 22

a22

0m 2 γ−ω=γ−ω=ω . La

résonance d'amplitude n'a donc lieu ni pour la pulsation propre 0ω des oscillations libres

non amorties, ni pour la pseudo-pulsation aω du régime pseudo-périodique des oscillations

libres amorties (figure 6.38).

La valeur max2A correspondante s'obtient en remplaçant v par mv dans l'équation

(6.190-a), ce qui conduit à

20

max2

12

1A

A

ξ−ξ= . (6.213)

Si le facteur d'amortissement 1<<ξ , un développement au premier ordre en ξ de l'expression

(6.213) conduit à ( )ξ≈ 21AA 0max2 , (6.214-a)

soit, en faisant usage de l'expression (6.210) du facteur de qualité Q ,

QAA 0max2 ≈ . (6.214-b)



Bande passante en termes d'amplitude D'après la définition de la bande passante donnée au § IV.5-c), la bande passante correspond à l'intervalle de fréquence où la puissance moyenne est supérieure à 2maxP . L'expression

(6.201) de la puissance moyenne, en faisant usage de l'expression (6.197-b) de l'amplitude de la vitesse, montre que la puissance moyenne est proportionnelle au carré de 2A . Par suite,

pour l'amplitude 2A du régime permanent, la bande passante correspond à l'intervalle de

fréquence où l'amplitude est supérieure à 2Amax2 (figure (6.38).

Figure 6.38 : Module de l'amplitude 2A du régime permanent en fonction de la pulsation

réduite 0ωω , pour une valeur d'amortissement telle que 2.0=ξ .

Recherche des pulsations 1ω et 2ω telles que 2AA

max22 = (pour 21<ξ )

Le report des expressions (6.190-a) et (6.213) dans l'équation 2AA

max22 = (6.215)

conduit à

( ) 22222 122

1

v4v1

1

ξ−ξ=

ξ+− ,

soit ( ) ( ) 0181v122v 22224 =ξ−ξ−+−ξ+ ,

soit ( ) 222 1221v ξ−ξ−ξ−= ou ( ) 222 1221v ξ−ξ+ξ−= , (6.216) soit, au premier ordre en ξ

ξ−≈ 21v 2 ou ξ+≈ 21v 2

soit, en ne gardant que les deux racines positives ξ−≈ξ−≈ 121v 1 et ξ+≈ξ+≈ 121v 2 , (6.217)



il vient

et

.2

,22vv

12

012

γ≈ω∆=ω−ω

ωγ

=ξ≈−

(6.218-a)

(6.218-b)

Par suite, si 1<<ξ (en pratique 38.0<ξ , voir remarque ci-après), la bande passante en

amplitude est égale à la bande passante en amplitude. Remarque. Les racines 1v et 2v n'ont d'existence que si les expressions (6.216) de 2v de l'équation

sont positives, ce qui est manifestement vrai pour ( ) 222 1221v ξ−ξ+ξ−= , mais ne l'est

pas toujours pour ( ) 222 1221v ξ−ξ−ξ−= . En effet, pour que ce dernier carré soit positif,

il faut que le polynôme ( ) 188P 24 +ξ−ξ=ξ soit positif. Le tracé de ( )ξP en fonction de ξ

(figure 6.39) montre que cette condition n'est respectée que pour 38.042

21 ≈−<ξ (puisque

21<ξ ).

Figure 6.39. Tracé de ( ) ξ+ξ−ξ=ξ 188P 24 en fonction de ξ

COURS DE MECANIQUE - VIBRATIONS 1ère année

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