SMPC ET SMIA COURS DE MECANIQUE DU POINT .COURS DE MECANIQUE DU POINT MATERIEL. POUR LE PREMIER...

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  • COURS DE MECANIQUE DU POINT MATERIEL. POUR LE PREMIER SEMESTRE DES FILIERES

    Par : MHIRECH Abdelaziz Professeur LUniversit Mohamed V Facult des Sciences Rabat Agdal.

    SMPC ET SMIA.

    UNIVERSITE MOHAMED V FACULTE DES SCIENCES RABAT-AGDAL DEPARTEMENT DE PHYSIQUE

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  • SOMMAIRE

    CHAPITRE 1 : - Systme de coordonnes. - Cinmatique du point matriel (avec et sans changement de rfrentiel). CHAPITRE 2 : Loi fondamentale et thormes gnraux de la dynamique du point matriel. CHAPITRE 3 : Travail et nergie. CHAPITRE 4 : Les mouvements force centrale. CHAPITRE 5 : Vibrations simples : Systmes un degr de libert. CHAPITRE 6 :

    Chocs de deux particules.

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  • CHAPITRE 1 : A) SYSTEMES DE COORDONNEES Selon la nature de la trajectoire dune particule, sa position sera repre par lun des

    systmes de coordonnes : cartsiennes, cylindriques ou sphriques.

    Soient R0(O,x0y0z0) un repre direct orthonorm de base ),,( kji et M la particule reprer. I ]] Systme de coordonnes cartsiennes.

    Dans R0, la position de la particule M est donne par ses trois coordonnes cartsiennes (x,y,z) telles que : x = abscisse de M ; y = ordonne de M ; z = cte de M.

    OMojxOx0

    Pr= ; OMojyOy 0

    Pr= ; OMojzOz0

    Pr= .

    Dans R0, le vecteur position scrit :

    kzjyixmMOmOM ++=+= . Dplacement lmentaire. Le vecteur dplacement lmentaire 'MM (M est rs voisin de M) scrit:

    kdzjdyidxMdOMdMM ++==='

    (Dans R0, 0=== kdjdid ) II]] Systmes de coordonnes cylindriques. Si la trajectoire du point M possde une symtrie axiale de rvolution, il est intressant dutiliser les coordonnes cylindriques de ce point (,,z) dfinies comme suit :

    Om= ( m est la projection de M sur le plan )( 00Oyx ), ),( 0 OmOxangle= et z est

    la projection du vecteur position OM sur laxe 0Oz .

    x0

    z

    x

    y

    y0

    O

    M

    m

    k j i

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  • Une nouvelle base orthonorme directe ),,( kee est associe ce systme de coordonnes telle que :

    .sincos jie +=

    .cossin jie +=

    avec

    e

    ded =

    et

    e

    ded = .

    Quand le point M dcrit tout lespace, les intervalles de variation de , et z sont : 0 < + ; 0 2 ; - < z < +. Dans la base ),,( kee , le vecteur position Om scrit :

    kzemMOmOM +=+= . Dplacement lmentaire:

    Le vecteur dplacement lmentaire 'MM (M trs voisin de M) est:

    kzededMdOMdMM ++=== ' . Cas particulier: Si la trajectoire de M est plane, ce point peut tre repr par ses coordonnes polaires et .

    O

    i

    j

    e

    e

    x0

    y0

    z z0

    O

    M

    m

    e

    e

    e

    k

    k

    i

    j

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  • III]] Systme de coordonnes sphriques. Lorsque le problme prsente une symtrie sphrique autour dun point O que lon prend pour origine du repre despace, il est pratique dutiliser les coordonnes sphriques (r,,) de la particule tudier telles que :

    OMr = ; ),( 0 OMOzangle= ; ),( 0 OmOxangle= .

    Quand M dcrit tout lespace, 0 r < + ; 0 2 ; 0 . Une nouvelle base sintroduit alors : ),,( eeer . O

    +=

    +==

    ++=+=

    .cossin

    sinsincoscoscossincos

    cossinsincossincossin

    jie

    kjikee

    kjikee r

    Dans la base ),,( eeer , le vecteur position scrit :

    rerOM = . Dplacement lmentaire : Le dplacement lmentaire de la particule M en coordonnes sphriques est donn par:

    edrerdedrOMd r )(sin++= .

    z0

    y0

    z

    O

    M

    m

    k

    i

    j

    e

    re

    e

    e

    x0

    e

    e

    i

    j O

    e O

    k re

    e

    e

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  • B) CINEMATIQUE DU POINT MATERIEL.

    - Lobjet de la cinmatique est de dcrire les mouvements dune particule sans tenir compte des causes qui les produisent.

    - La description du mouvement dune particule met en uvre trois vecteurs : i) Le vecteur position. ii) Le vecteur vitesse. iii) Le vecteur acclration.

    - Le corps mobile sera appel point matriel. On parle de point matriel lorsque les dimensions du mobile sont considres ngligeables dans les conditions du problme.

    - En mcanique classique, la vitesse V du point M est ngligeable par rapport la vitesse de la lumire dans le vide.

    - I) Vecteur vitesse :

    a) Vitesse moyenne. Le vecteur vitesse moyenne dune particule M qui se trouve linstant t1 en M1 et linstant t2 en M2 est donne par:

    12

    12

    12

    12 )()()(ttOMOM

    tttOMtOM

    MV m=

    =

    b) Vitesse instantane. Le vecteur vitesse instantane de la particule en M par rapport un repre orthonorm R(O,xyz) est :

    ttOMttOM

    MVRMVt

    mt

    +==

    )()(lim)(lim)/(

    00,

    donc R

    dtOMd

    RMV =)/(

    b) Vitesse algbrique: Dans ce cas, cest la trajectoire elle mme qui sert reprer le mobile laide de labscisse curviligne s (ou coordonne intrinsque) du point M. s = arc (M(t)M(t+t)).

    Le vecteur vitesse est port par le vecteur unitaire T tangent la trajectoire.

    k

    i j

    x

    y

    z

    O

    M(t) M(t+dt)

    T

    d

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  • La vitesse algbrique de M est dtds

    v = . Le vecteur vitesse instantane peut donc s'crire:

    Tdtds

    RMV =)/( .

    II) Vecteur acclration. La drive par rapport au temps du vecteur vitesse ci-dessus donne le vecteur acclration, qui s'crit comme suit :

    .)/(2

    2

    dtTd

    dtds

    Tdt

    sdRM +=

    Or dtd

    dTd

    dtTd

    .= et

    Nd

    Td =

    dsigne le vecteur normal dirig vers le centre de courbure de la

    trajectoire du point M. Par ailleurs, nous avons, s=Rc ou ds=Rcd

    Donc cc R

    vdtds

    Rdtd == 1 .

    Par consquent, NRv

    dtTd

    c

    = .

    Le vecteur acclration instantane du point M scrit alors :

    ntntc

    NTNRv

    Tdtdv

    RM +=+=+=2

    )/( .

    - La direction dfinie par le vecteur N est la normale principale en M la trajectoire.

    - Le vecteur unitaire NTB = est appel vecteur de la binormale. - Le repre ),,;( BNTM est le repre de Frenet-Serret. Hodographe du mouvement.

    Dfinition : Lhodographe dun mouvement (not (H)) est lensemble des point P tels que :

    A tout instant, )/( RMVOP = ; o O dsigne le ple de (H).

    Rc

    M(t+dt)

    d M(t)

    (H) P

    P

    V

    'V

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  • III) Composantes des vecteurs vitesse et acclration.

    a) Coordonnes cartsiennes (x,y,z)

    Soit un rfrentiel R(O,xyz) fixe muni dune base ),,( kji . Le vecteur position est :

    .kzjyixOM ++= Le vecteur vitesse scrit alors :

    kzjyixkdtdz

    jdtdy

    idtdx

    RMV...

    )/( ++=++=

    Les vecteurs unitaires i , j et k sont fixes dans le repre R, donc :

    .0===RRR

    dtkd

    dtjd

    dtid

    Et lacclration instantane du point M scrit :

    .)/(......

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    kzjyixkdt

    zdj

    dtyd

    idt

    xdRM ++=++=

    b) Coordonnes cylindriques ( , ,z) : Le vecteur position est

    .kzeOM += Le vecteur dplacement lmentaire scrit :

    .kdzededOMd ++= Le vecteur vitesse est alors :

    kdtdz

    edtd

    edtd

    dtOMd

    RMVR

    ++== )/( .

    Ou bien .)/(...

    kzeeRMV ++= Le vecteur acclration est:

    ,)/(

    )/(..........

    kzdted

    eedted

    edt

    RMVdRM

    RRR

    +++++==

    Qui peut encore s'crire:

    +

    =..

    ....

    .2

    ..

    ,,

    2)/(

    z

    RM

    kee

    Remarque: Dans le cas d'un mouvement plan, nous avons z = 0 et le vecteur acclration s'crit alors:

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  • +

    =.2

    .)/(

    ....

    .2

    ..

    ,leorthoradiacomposante

    radialecomposanteRM

    ee

    c) Coor