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Cours d’Analyse Fonctionnelle

Professeur KANGNI Kinvi

Table des matières

1 Espaces linéaires à semi–norme 31.1 Parties remarquables d’un espace linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Sémi-normes sur un espace linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Espace linéaire à semi-norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4 Ouverts et fermés dans un espace linéaire à semi-normes . . . . . . . . . . 151.5 Suite, convergentes et suite de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.6 Densité et séparabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.7 Bornés ; précompacts et extractables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.8 Produit fini d’espaces linéaires à semi-normes . . . . . . . . . . . . . . . . 321.9 Applications aux opérateurs linéaires et aux fonctionnelles linéaires . . . . 34

1.9.1 Opérateurs linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.9.2 Théorème du graphe fermé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2 Espaces de Banach 412.1 Définitions – Applications linéaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.2 E. v. n de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.3 Théorème de Hahn - Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.3.1 Le Théorème de Hahn - Banach (Forme analytique) . . . . . . . . . 572.3.2 Le Théorème de Hahn - Banach (Forme géométrique) . . . . . . . 592.3.3 Théorèmes de l’application ouverte, du graphe fermé, de Banach . . 622.3.4 Le théorème de Banach - Steinhaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.4 Fonctions numériques semi-continues inférieurement (s.c.i.) . . . . . . . . . 672.5 Somme directe topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3 Topologies Faibles 753.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.2 Définition et propriétés élémentaires de la topologie faible σ (E,E ′) . . . . 763.3 La topologie faible ∗σ (E ′, E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.4 Espaces réflexifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4 Espaces de Hilbert 884.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.2 Le Théorème des bases hilbertiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

1

TABLE DES MATIÈRES 2

5 Opérateurs Linéaires 1095.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.2 Théorie spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Chap

itre

1 Espaces linéaires à semi–

norme

Sommaire1.1 Parties remarquables d’un espace linéaire . . . . . . . . . . . 3

1.2 Sémi-normes sur un espace linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Espace linéaire à semi-norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4 Ouverts et fermés dans un espace linéaire à semi-normes . . 15

1.5 Suite, convergentes et suite de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . 18

1.6 Densité et séparabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.7 Bornés ; précompacts et extractables . . . . . . . . . . . . . . 23

1.8 Produit fini d’espaces linéaires à semi-normes . . . . . . . . . 32

1.9 Applications aux opérateurs linéaires et aux fonctionnelleslinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.9.1 Opérateurs linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.9.2 Théorème du graphe fermé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.1 Parties remarquables d’un espace linéaire

On désigne par espace linéaire E, un espace vectoriel E sur C.Par conséquent un sous-espace linéaire de E est un sous-espace vectoriel de E.On désigne les éléments de E par les lettres f, g, h, u, v...,.

Si A1, A2, ..., An,⊂ E et si α1, α2, ..., αn ∈ C, on définit la combinaison linéaire.

n∑

i=1

αiA1 =

n∑

i=1

αi fi fi ∈ Ai ∀i

Si A ⊂ E, on appelle l’enveloppe linéaire de A l’ensemble

〉A〈 =

n∑

i=1

αi fi fi ∈ Ai αi ∈ C, n∈ N

On vérifie que 〉A〈 est un sous-espace linéaire de E ; c’est le plus petit sous-espace linéairede E contenant A ; c’est aussi l’intersection de tous les sous-espaces linéaire contenant A.〉A〈 est égale au sous-espace linéaire engendré par A.

3

CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI–NORME 4

A ⊂ E, on dit que A est convexe si :

∀f, g ∈ A; α, β ≥ 0 α+ β = 1 =⇒ αf + βg ∈ A

αf + βg : α+ β = 1, α ≥ 0, β ≥ 0est le segment d’extréminté f et g.

Théorème 1.1.1. : Si A est convexe et si ∀f1 f2... fn ∈ A α1...αn

α1, α2...αn ≥ 0 etn∑

i=1

αi = 1 alorsn∑

i=1

αifi ∈ A

Démonstration. Pour n = 1, et n = 2 ,le théorème est vrai par définition de la convexité.Supposons le théorème vrai pour n− 1 (jusqu’à l’ordre n− 1).

Distinguons deux cas• αn 6= 1, vu que :

n∑

i=1

αifi,= (1− αn)n−1∑

i=1

αi

1− αn

fi + αnfn,

par hypothèse de recurrencen−1∑i=1

αi

1−αnfi ∈ A et puisque (1− αn) + αn = 1 on en déduit

quen∑

i=1

αifi ∈ A.

• αn = 1 =⇒ α1 = α2 = ............ = αn−1 = 0

par suiten∑

i=1

αifi = αnfn ∈ A.

Une partie A de E est dite absolument convexe si :

∀ f, g ∈ A ∀α, β ∈ C ; |α|+ |β| ≤ 1 =⇒ αf + βg ∈ A.

-Il est évident que toute partie absolument convexe est convexe et que tout sous-espacelinéaire de E est absolument convexe.

Théorème 1.1.2. Si A est absolument convexe , il contient tout élément de la

formen∑

i=1

αifii∈ A , αi ∈ C et

n∑

i=1

|αi| = 1.

En particulier toute partie absolument convexe E non vide contient 0.

Démonstration. ⋆ Par récurrence sur n : (n = 1, n = 2 évident)Supposons la propriété jusqu’à l’ordre n− 1,- Si |αn| 6= 1 alors

n∑

i=1

αifi = (1− |αn|)n−1∑

i=1

αi

1− |αn|fi + αnfn ∈ A


par hypothèse de recurrence, vu que

n−1∑

i=1

αi

1− |αn|fi ∈ A et 1− |αn|+ |αn| = 1.

- Si |αn| = 1 alors

|α1| = |α2| = |αn−1| = 0 ce qui implique que α1 = α2 = .......... = αn−1 = 0.

soit doncn∑

i=1

αifi = αnfn ∈ A.

⋆ Vu que A est non vide, soit f ∈ A, alors : 0 = 0.f ∈ A, car |0| < 1.

Proposition 1.1.1. Supposons A est absolument convexe .a) -Si α, β ∈ C alors |α| ≤ |β| =⇒ αA ⊂ βA.

b) - ∀α1, ..., αn ∈ C =⇒n∑

i=1

αiA =

(n∑

i=1

|αi|)A.

c) - Toute intersection quelconque d’ensemble convexe (resp. absolument convexe)est convexe (resp. absolument convexe).

d) - Si A1, ..., An sont convexes (resp absolument convexes), α1, ..., αn ∈ C alors∑ni=1 αiAi est convexe (resp absolument convexe).

Démonstration. a) Si β = 0 =⇒ α = 0 c’est évident.Si β = 0 vu que :

∣∣∣∣α

β

∣∣∣∣ ≤ 1,α

βf ∈ A donc αf = β.

α

βf ∈ A ; ∀ f ∈ A.

b) Si∑n

i=1 |αi| = 0, c’est évident.Supposons

n∑

i=1

|αi| 6= 0, ∀ f1, ..... fn ∈ A.

n∑

i=1

αifi =

(n∑

i=1

|αi|)(

n∑

k=1

αk∑ni=1 |αi|

fk

)∈(

n∑

i=1

|αi|).A.

Car (n∑

k=1

|αk|∑ni=1 |αi|

= 1 c’est à diren∑

k=1

αk∑ni=1 |αi|

fk ∈ A).

InversementSi

f ∈(

n∑

i=1

|αi|)A =⇒ ∃ g ∈ A : f =

(n∑

i=1

|αi|)g =

(n∑

i=1

αi e−i arg αi

)g.

(|α| = α e−i arg α car α = |α| ei arg α

)


mais comme ∣∣e−i arg αi∣∣ = 1, e−i arg αig ∈ A ∀i

par suite

(n∑

i=1

|αi|)A ⊂

n∑

i=1

αiA car f =n∑

i=1

αi e−i arg αig ∈n∑

i=1

αiA.

Remarque 1.1.1. En générale si A n’est pas absolument convexe cette égalité n’est pasréalisée.

Soit A ⊂ E, on appelle enveloppe convexe de A , l’ensemble

〈A〉 =

n∑

i=1

αifi ; fi ∈ A αi ≥ 0 :n∑

i=1

|αi| = 1 , n ∈ N

〈A〉 est convexe, c’est le plus petit ensemble convexe contenant A. C’est aussi l’intersectionde tous les ensembles convexes contenant A. L’enveloppe absolument convexe de A est :

〈〈A〉〉 =

n∑

i=1

αifi ; fi ∈ A , αi ∈ Cn∑

i=1

|αi| ≤ 1 , n ∈ N

〈〈A〉〉 est absolument convexe et c’est le plus petit ensemble absolument convexe contenantA, c’est aussi l’intersection de tous les ensembles absoluments convexes contenant A. Soient A,B ⊂ E, on dit que A absorbe B si :

∃α > 0, λB ⊂ A ∀ |λ| ≤ α.

Si A est absolument convexe, A absorbe B ⇔ ∃α 6= 0 : αB ⊂ A.En effet

∀ |λ| ≤ |α| =⇒ λB =λ

ααB ⊂ λ

αA ⊂ A

(∣∣∣∣λ

α

∣∣∣∣ ≤ 1

).

La condition est évidement nécessaire.

∃α 6= 0. αB ⊂ A, |α| ≤ 1.

A est dite absobante , si A absorbe tout élément de E :

∀ f ∈ E il existe α > 0, λ f ⊂ A, ∀ |λ| < α.

Proposition 1.1.2. Si A est absorbant, A contient 0 et on a :

E =⋃

λ>0

λA =∞⋃

n=1

nA = 〉A〈 .


Démonstration. Soit f ∈ E, vu que A est Absorbante, on a

∃α > 0. λ′f ∈ A, ∀ |λ′| ≤ α,

en particulier α f ∈ A soit encore f ∈ 1αA, en posant λ =

1

α, on voit que f ∈ λA, ceci

étant vrai ∀ f ∈ E. On en déduit que E ⊂ ⋃λ>0

λA.

Soit

α, λ > 0, ∃n0 ∈ N∗ : ∀n ≥ n0 on aitλ

n≤ α.

Soit λ > 0 ; soitf ∈ A, ∃α > 0 : µf ∈ A, ∀ |µ| ≤ α,

en particulier

∃n0 ∈ N∗ :λ

nf ∈ A, ∀n ≥ n0

(Vu que

λ

n≤ α, n ≥ n0

)

finalement λ f ∈ nA, ∀n ≥ n0, donc

λ f ∈∞⋃

λ>1

nA, ∀ f ∈ A, ∀λ > 0

par suite∞⋃

λ>0

λA ⊂∞⋃

n>1

nA.

∀n ∈ N : n ≥ 1 nA =

n∑

i=1

. fi : fi ∈ A⊂ 〉A〈

donc∞⋃

n>1

nA ⊂ 〉A〈

il est évident que 〉A〈 ⊂ E d’où le théorème.

Toute intersection finie d’ensembles absorbants est absorbante.En éffet :∀ f ∈ E, ∃αi > 0 : λ f ∈ A : ∀ |λ| ≤ αi , soit

α = inf αi1≤i≤n

> 0 et ∀ |λ| ≤ α,=⇒ |λ| ≤ αi, ∀i =⇒ λf ∈ Ai, ∀i.

1.2 Sémi-normes sur un espace linéaire

Définition 1.2.1. Une semi-norme sur E est une fonction réelle

p : E −→ R telle que :

1) - p est en circulairement homogène

p (αf) = |α| p (f) ∀f ∈ E ∀α ∈ E.2) - p est sous-additive :

p (f + g) ≤ p (f) + p (g) ∀, fg ∈ E


Remarque 1.2.1. Une semi-norme telle que p (f) = 0 =⇒ f = 0 s’appelle une norme

sur E.

Proposition 1.2.1. a) -

p (0) = 0 et p (f) ≥ 0 ∀ f ∈ E

b) -

p

(n∑

i=1

αifi

)≤

n∑

i=1

|αi| p (fi) ∀α ∈ C

c) -|p (f)− β (g)| ≤ p (f − g) ∀ f, g ∈ E

Démonstration. a)

p (0) = p (α.0) = |α| p (0) , ∀α ∈ C =⇒ p (0) = 0

0 = p (0) = p (f − f) ≤ p (f) + p (−f) = 2p (f) =⇒ p (f) ≥ 0.

b) pour n = 1 la propriété est vraie par définition.Supposons la vraie pour tous les k ≤ n− 1 et αn 6= 0.

p

(n∑

i=1

αifi

)= p |αn| .

(n−1∑

n=1

αk

|αn|fk + αnfn

)≤ |αn|

n∑

i=1

|αk|αn

p (fk) + |αn| p (fn) .

c)

p (f) = p (f − g) ≤ p (f − g) + p (g) =⇒ p (f)− p (g) ≤ p (f − g)p (g) = p (g − f + f) ≤ p (g − f) + p (f) =⇒ p (g)− p (f) ≤ p (g − f) .

Vu que p (f) = p (−f) , ∀ f ∈ E on obtient le résultat demandé.

Exemples : Soient E un espace linéaire de dimension finie et soit e1...en unebase de E.∀ f ∈ E, f s’ecrit de manière unique comme

∑ni=1 αiei.

1) - On peu pk (β = |αk|) pour chaque k , k ∈ 1...n et les fonctions sont biendéfinies à cause de l’unité de αk, les pk sont des semi-normes sur E.

2) - Soient α1...α2 ≥ 0 p (f) =∑n |αk| est une semi-norme.

3) -

p (f) = sup1≤i≤n

|αi| , p (f) =n∑

i=1

|αk| , p (f) =

(n∑

i=1

|αi|2)1/2

sont des normes sur E, la dernière s’appelle la norme euclidienne associée à la basee1...en .Théorème 1.2.1. : Si p1, ...pn sont des semi-normes sur E ,les fonctions

sup1≤i≤n

pk,n∑

k=1

pk,

(n∑

k=1

p2i

)1/2

sont des semi-normes sur E.


Définition 1.2.2. : Soit p une semi-norme sur E, f ∈ E, r > 0.On appelle semi-boule fermée de centre f et de rayon r l’ensemble noté

Bp (f, 1) = g ∈ E, p (f − g) ≤ r

de même on appelle semi-boule ouverte de centre f et de rayon r l’ensemble :

Bp (f, r.) = g ∈ E : p (g − f) < r

Si f = 0 pour simplifier l’écriture, on pose par convention

Bp (0, r) = Bp (r)

Bp

(0, r0

)= Bp

(r0)

Propriété 1.2.1. a) -

Bp (f, r) = f +Bp (r)

Bp

(f, r0

)= f +Bp

(r0)

b) -

Bp (r) = r Bp (1)

Bp

(r0)

= r Bp

(10)

c) - Bp (r) et Bp (r0) sont absolument convexes et absorbantes

∀ f ∈ E :r

2p (f)f ∈ Bp

(r0), Si p (f) 6= 0.

Si p (f) = 0, c’est évident.

(p (λf) = 0 =⇒ λ f ∈ Bp(r

0) ⊂ Bp (r))

pour absolument convexe voir l’inégalité triangulaire.d) - Soit A une partie absolument convexe de E, alors

Bp (f, r) ⊂ A =⇒ Bp (r) ⊂ A

Bp

(f, r0

)⊂ A =⇒ Bp

(r0)⊂ A

Bp (f, r)A =⇒ f ± h ∈ A, ∀h ∈ Bp (r)

∀h ∈ Bp (r) ; h =1

2(f + h)− 1

2(f − h)

︸︷︷︸∈ A

Combinaison linéaire absolument convexe d’élément de A.

Remarque 1.2.2. : En générale une semi-boule de centre quelconque n’est pas abso-lument convexe, absorbante.


Théorème 1.2.2. Si p et p′ sont des semi-normes sur E et si r et r′ sont des nombresstrictement positifs, les assertions suivantes sont équivalentes.

1) - Bp (r0) ⊂ Bp′′ (r0′)

2) - Bp (r) ⊂ Bp′ (r′)

3) - p′ (f) ≤ rr′p (f) ∀ f ∈ E.

Démonstration. i) =⇒ ii)Soit

f ∈ Br (r) , p (f) ≤ r =⇒ ∀α ∈ ]0, 1[ , p (αj) < r =⇒ αf ∈ Bp

(r0)

Bp

(r0)⊂ Bp′ (r

′) =⇒ p′ (αf) < r′ =⇒ p′ (f) <r′

α,∀α ∈ ]0, 1[

en faisant tendre α vers 1 , on a p′ (f) ≤ r′.ii) =⇒ iii)Soit

f ∈ E, ∀ ε > 0 p

(r

p (f) + εf

)≤ r =⇒ p′

(r

p (f) + εf

)≤ r′

=⇒ p′ (f) ≤ r′

r[p (f) + ε]

en faisant tendre ε vers 0 on voit que p′ (f) ≤ r′

rp (f) .

iii) =⇒ i) évident, voir définition.

Définition 1.2.3. Soit A une partie absolument convexe de E, on appelle Jauge deA , la fonction pA définie sur 〉A〈 par

pA (f) = inf λ > 0 , f ∈ λA , f ∈ 〉A〈 .

La fonction pA est bien définie.En effet

f ∈ 〉A〈 =⇒ f =∑

(i)

αifi , fi ∈ A,αi ∈ C

(∑

(i) ≃ la sommation est sur un ensemble d’indice fini).

f ∈∑

(i)

αiA =

∑

(i)

|αi|

A ⊂ λA, ∀λ >∑

(i)

|αi|

d’où l’existence de λ.∀ r > pA (f) =⇒ f ∈ rA

par définition de la borne supérieure ; ∃λ : pA (f) < λ < r et f ∈ λA comme A estabsolument convexe :

λA ⊂ rA =⇒ f ∈ rA.

Remarque 1.2.3. En général pA n’est pas définie sur E sauf si A est absorbant et〉A〈 = E.


Théorème 1.2.3. Si A est absolument convexe, la jauge de A est une semi-norme sur〉A〈 et on a

BPA(1) ⊂ A ⊂ BpA

(1) .

Démonstration. a) -

pA (αf) = |α| pA (f) , ∀ f ∈ 〉A〈 , ∀α ∈ C.

deux cas sont à envisager :

⋆ α = 0 =⇒ αf = 0 ∈ λA, ∀λ > 0

pA (αf) = pA (0) ≤ λ, ∀λ > 0 =⇒ pA (αf) = 0 = |α| pA (f) .

⋆ α 6= 0 pA (αf) = inf µ > 0 : αf ∈ µA= inf |α|λ : λ > 0, αf ∈ |α|λA= inf |α|λ : λ > 0, αf ∈ |α|λA= |α| inf λ > 0 : f ∈ λA = |α| pA (f)

b) -pA (f + g) ≤ pA (f) + pA (g) , ∀ f, g ∈ 〉A〈

Il suffit de montrer que

pA (f + g) ≤ r + s, ∀ r > pA (f) , ∀ s > pA (g)

r > pA (f) =⇒ f ∈ rAs > pA (g) =⇒ g ∈ sA

=⇒ f + g ∈ rA+ sA = (r + s)A

DoncpA (f + g) ≤ r + s

par passage à la limite on a

pA (f + g) ≤ p (f) + p (g) .

c) - Sif ∈ BpA

(i) =⇒ pA (f) < 1 =⇒ f ∈ 1.A.

Sif ∈ A, f ∈ 1.A :=⇒ pA (f) ≤ 1 =⇒ f ∈ BpA

(1) .

1.3 Espace linéaire à semi-norme

Définition 1.3.1. : Soient P et Q deux familles de semi-normes sur E.On dit que P est plus fort que Q (en symbole P > Q ) ou que Q est plus faible que P

(Q < P ) si∀ q ∈ Q, ∃ p ∈ P et une constante c > 0 : q ≤ cp.


Dans la définition précédente quand q varie, p et c varient également. On dit que P est équivalent à Q et on écrit (P ≃ Q) si P est à la fois plus faible et

plus fort que Q.On vérifie que ≃ est une relation d’équivalence sur la famille des ensembles

de semi-normes sur E. Soit P un ensemble de semi-normes sur E. On dit que :

• P est filtrant si

∀ p1...pn ∈ P. ∃ p ∈ P et c > 0 sup1≤i≤n

pi ≤ cp

c’est dire :pi ≤ cp ∀i : 1 ≤ i ≤ n.

• P est séparant si :

(p (f) = 0 ∀ p ∈ P =⇒ f = 0)⇔ (∀ f 6= 0, ∃ p ∈ P : p (f) 6= 0) .

• P est un système de semi-normes sur E s’il est à la fois filtrant et séparant.

Remarque 1.3.1.i) Une norme toute seule constitue toujours un système de semi-normes sur E.ii) Si P est un système de semi-normes sur E et si P ≃ Q alors Q est un système desemi-norme sur E.

Théorème 1.3.1. Si P = (p1, ...pn) est un système fini de semi-norme il est équivalentà un de ces éléments qui est une norme sur E.

Démonstration. P est filtrant =⇒ ∃ pk ∈ P et c > 0 : sup1≤i≤n

pi ≤ cpk,

il suffit de prendre Q = pk on voit que P ≃ Q.

Si pk (f) = 0⇒ pi (f) = 0 ∀i : 1 ≤ i ≤ n,

comme P est séparant on a f = 0.

Théorème 1.3.2. Si P = Pn, n ∈ N est un système dénombrable de semi-norme surE, l’ensemble

Q =

qn = sup

1≤i≤npi, n ∈ N

est un système de semi-norme sur E équivalent à P .

Démonstration.Soit qn = sup

1≤i≤npi,∈ Q, pi ∈ P.

Vu que P est filtrant

∃ pk ∈ p1, ..., pn,... qn = sup1≤i≤n

pi ≤ cpk, pk ∈ P, et c > 0.

Soitpn ∈ P, pn ≤ sup

1≤i≤npi = qn ∈ Q.


Définition 1.3.2. Un espace linéaire à semi-normes, est un espace linéaire E munid’un système de semi-normes P sur E, noté (E,P ) où E s’il n’y a pas d’ambiguité.

(E,P ), un espace linéaire à semi-normes est dit normable si P est équivalent à unenorme sur E.

On voit que si P est fini, E est normable. (E,P ) est dit métrisable si P est équivalent à système dénombrable de semi-normes

sur E.

Remarque 1.3.2. Si P ≃ Q (sont deux système de semi-normes sur E).• Les notions topologiques introduites relativement à (E,P ) et à (E,Q) sont les mêmes.• Un système P de semi-normes sur E définit une topologie sur E, cette topologie

coincide avec celle engendrée par une norme si le système P est fini.• Et elle coincide avec celle engendrée par une métrique si P est dénombrable d’ou les

terminologie normable et métrisable.

Convention :• Si E est normable, on choisira pour P une norme ; si cette norme est fixée on dit

que E est normé.• Si E est métrisable, on choisira une suite de semi-normes telle que :

pn ≤ pn+1,foralln. Soit L un sous-espace linéaire de E, soit p une semi-norme sur E.

La restriction de p à L est une semi-norme.Si p est un système à L des éléments de P est un système de semi-norme sur L appelé

système induit par P sur L.Si L est un sous espace linéaire d’un espace linéaire à semi-norme (E,P ) ,on le munit

toujours du système de semi-norme induit par P .L devient un espace linéaire à semi-normes noté (L, P ) ou L si aucune ambiguité n’est

possible.

Théorème 1.3.3. Soit (E,P ) un espace linéaire à semi-norme.Soit L un sous espace linéaire de dimension finie de (E,P )Si (e1, ...en) est une base de L alors la système de semi-norme induit par P sur L est

équivalent à la norme enclidienne associée à la base (e1...en).

Démonstration.

f ∈ L, f =n∑

i=1

αiei, ‖f‖ =

(n∑

i=1

|αi|2)1/2

⋆ P est plus faible que la norme euclidienne sur L.

∀p ∈ P, p (f) = p

(n∑

i=1

αiei

)≤

n∑

i=1

|αi| p (ei) ≤(

n∑

i=1

p (ei)2

)1/2( n∑

i=1

p (ei)2

)1/2

(inégalité de Schwarz )∀p ∈ P, p (f) ≤ c. ‖f‖

⋆ ‖‖ < P sur L.


Soit f1 ∈ L, f1 6= 0, comme P est séparant, ∃ p1 ∈ P p1 (f1) 6= 0.Considérons :

L1 = f ∈ L : p1 (f) = 0 ,L1 est un sous espace linéaire propre de L (f1 /∈ L1) donc dimL1 ≤ n− 1.

Si L1 est réduit à 0 on s’arrête.Si L1 6= 0 ,

soit f2 ∈ L1 : f2 6= 0, ∃ p2 ∈ P p2 (f2) 6= 0.

Considérons :L2 = f ∈ L1 : p2 (f) = 0 ,

L2 est un sous espace propre, dimL2 ≤ n− 2.Après n opérations au plus on obtient des semi-normes p1, p2...pn ∈ P tels que :

Ln = f ∈ Ln−1 : pn (f) = 0 = 0 .

Soit f ∈ L :p1 (f) = p2 (f) = ... = pn (f) = 0 =⇒ f = 0.

Comme P est filtrant, a ces sémi-normes

p1...pn, ∃ p ∈ P : et c > 0 : sup1≤i≤n

pi ≤ cp.

p est une norme sur L plus fort que la norme euclidienne.Raisonnons par l’absurde, Suppose que p ne soit pas plus fort que ‖ ‖ sur L.

∃ fm ∈ L : 1 = ‖fm‖ ≥ mp (fm) , ∀m,

(on peut supposer ‖fm‖ = 1 sinon, on le remplace parfm

‖fm‖).

Ecrivons fm =∑n

i=1 αm,i ei.Soit

~αm = (αm,1 αm,2...αm,n) ∈ Cn.

‖~αm‖ =

(n∑

i=1

|αm,i|2)1/2

= ‖fm‖ = 1, ∀m.

~αm est une suite bornée de Cn.Par le théorème de Bolzano Weierstrass,(~αm) contient une sous suite (~αm′) qui converge.Soit

~α = lim ~αm′ = (α1, ..., αn) .

|~αm′ − ~α| =(

n∑

i=1

|αm′,i − αi|2)1/2

−→ 0, m′ −→∞.

Soit f ∈ L, f =n∑

i=1

αiei

‖f‖ = |~α| = limm′|~αm′ | = 1 (‖‖ est continu)


soit‖fm′‖ = |~αm′ | −→ ‖f‖ =⇒ ‖f‖ = 1 (‖fm′‖ = 1, ∀m)

Vu la première partie :

|p (fm′)− p (f)| ≤ C ‖fm′ − f‖ = C |~αm′ − ~α| −→ 0,m′ −→∞ p (fm′) −→ p (f) .

Vu que

p (f ′m) ≤ 1

m′=⇒ lim

m′, p (f ′

m) = 0 = p (f) .

Comme p est une norme =⇒ f = 0 =⇒ ~α = 0.Ce qui est en contradiction avec le fait que ‖f‖ = 1.

Corollaire 1.3.1. Dans un espaces linaire de dimension finie, tous les systèmes de semi-normes sont équivalentes en particulier toutes les normes sont équivalentes.

1.4 Ouverts et fermés dans un espace linéaire à semi-

normes

Soit (E,P ) un espace linéaire à semi-normes. U ⊂ E est dit ouvert si :

∀f ∈ U,∃ p ∈ P , r > 0 Bp (f, r) = f +Bp (r) ⊂ U

F ⊂ U, F est dit fermé si EF est ouvert.On montre que F est fermé ⇔ F contient tout

f ∈ E : F ∩Bp(f, r) 6= ∅ ∀ p ∈ P et

r>0. On va voir si on remplace P par un système équivalent de semi-normes, ces notionschangent, on a le résultat suivant.

Théorème 1.4.1. Deux systèmes équivalents du semi-normes définissent les mêmes ou-verts et fermés.

Démonstration. Soit U un ouvert pour P

∀f ∈ U,∃ p ∈ P ; r > 0 : f +Bp (r) ⊂ U

∃ q ∈ Q et c > 0 : p ≤ c q =⇒ Bq

(rc

)⊂ Bp (r) =⇒ f +Bq

(rc

)⊂ f +Bp (r) ⊂ U.

Théorème 1.4.2.

• Toute réunion d’ouverts est ouvert.• Toute intersection finie d’ouverts est ouvert.


Ce théorème montre que les ouverts ainsi définis déterminent une topologie sur E et(E,P ) devient un espace topologique.

Dans toute la suite, sauf mention explicite du contraire, tout espace linéaire à semi-normes est munie de la topologie déterminée par son système de semi-normes.

Exemples :a) -

∀ p ∈ P , ∀ r > 0 Bp

(f, r0

)et Bp (f, r)

sont respectivement ouverts et fermés.- Soit

Soit g ∈ Bp

(f, r0

)∀ r′ < r − p (g − f) Bp (g, r′) ⊂ Bp (f, r)

en effet

∀h ∈ Bp (g, r′) p (h− f) ≤ p (h− g) + p (g − f) ≤ r′ + p (g − f) < r.

- Soitg ∈ EBp (f, r) ∀ r′ < p (f − g)− r

Bp (g, r′) ∩Bp (f, r) = φ =⇒ Bp (g′, r′) ⊂ EBp (f, r) .

Les semi-boules Bp (f, r0) et Bp (f, r) constituent une base de voisinage de f .En conséquence toute semi-norme sur (E,P ) est continue sur E∀ p ∈ P, p est continue car

|p (g)− p (f)| ≤ p (f − g) ≤ ε si g ∈ Bp (f, ε) .

b) - Tout f ∈ E constitue un fermé, plus généralement

∀ f, g ∈ E avec f 6= g ∃ p ∈ P, r > 0 Bp (f, r) ∩Bp (g, r) = ∅.

g − f 6= 0 P étant séparant ∃ p ∈ P p (f − g) 6= 0

Soit r = 13p (g − f) .

∀h ∈ Bp (f, r) , p (h− g) ≥ p (h− f)− p (f − g) ≥ p (f − g)− r = 2r.

donc h /∈ Bp (g, r) .c) - Tout sous espace linéaire a dimension fine de E est fermé.

Plus généralement la somme de 2 sous espaces linéaires de E. L’un F fermé. L’autreL de dimension finie est fermé.

Supposons L = 〉e〈 (le reste se fera par recurrence sur n), e ∈ E.F + 〉e〈 est fermé.

⋆ e ∈ F, 〉e〈 ⊂ F =⇒ F + 〉e〈 = F fermé.

⋆ e /∈ F =⇒ ∃ p ∈ P , et r > 0 : Bp (e, r) ∩ F = ∅.∀ f ∈ F ∀α ∈ C p (f + αe) ≥ |α| r.

Si α = 0 évident car p0 (f) ≥ 0 ∀ f ∈ E.


Supposons α 6= 0.

p (f + αe) = p

(α

(f

α+ e

))= |α| p

(f

α+ e

)

= |α| p(−fα− e)≥ |α| r.

Si

g ∈ E : Bp (g.r) ∩ (F + 〉e〈) 6= ∅, ∀ p ∈ P et r > 0 =⇒ g ∈ (F + 〉e〈) .Il suffit de prouver que g − αe ∈ F pour un certain α ∈ C.

p ∈ P ∃ fm ∈ F, αn ∈ C : sup(p0; p

)(g − fm − αme) −→ 0 m −→∞

en effet P est filtrant∃ q ≤M > 0 sup

(p0, p

)≤M q.

D’autre part comme

Bp

(g,

1

m

)∩ (F + 〉e〈) 6= φ, ∃ fm + αm e ∈ Bp

(g,

1

m

)

par conséquent.

sup(p0, p

)(g − fm − αm e) ≤M q (g − fm − αm e) ≤

1

m−→ 0,m −→∞.

La suite numérique αm est de Cauchy dans C donc converge : vu que

|αm − αn| ≤1

r0p0 (fm + αm e− fn − αne)

≤ 1

r0p0 (fm + αm − g) +

1

r0p0 (g − fn − αne) −→ 0, n,m −→∞.

Soit α = limmαm, alors α ne dépend pas p et de la suite fm + αme.

En effet si p′ et f ′m + α′

me sont telles que

sup(p0, p′

)(g − f ′

m − α′ne) −→ 0,m −→∞

on a

|α′m − αm| ≤

1

r0p0 (f ′

m + α′me− fm − αme)

≤ 1

r0p0 (−g + f ′

m + α′me) +

1

r0p0 (g − fm − αm − αme) −→ 0,m −→∞.

∀p ∈ P , on peut donc écrire :

p (g − αe− fm) ≤ p (g − αme− fm) + p ((αm − α) e)

≤ p (g − fm − αme) + |αm − α| p (e) −→ 0,m −→∞donc toute boule de centre g − αe rencontre F , donc g − αe ∈ F car F est fermé.

Définition 1.4.1. L’adhérence A de A ⊂ E est l’intersection des fermés contenant A.

f ∈ A⇔ ∀ p ∈ P ∀ r > 0 Bp (f, r) ∩ A 6= φ.

L’intérieur

A de A ⊂ E est la réunion des ouverts contenus dans A.

f ∈0

A⇔ ∃ p ∈ P, r > 0 : Bp (f, r) ⊂ A.


1.5 Suite, convergentes et suite de Cauchy

Soit (E,P ) un espace linéaire à semi-normesfn ∈ E converge vers f ∈ E ou tend vers f ∈ E si :

∀V (f) ,∃ r / ∀n > r fn ∈ V

⇔ ∀ p ∈ P ∀ε > 0 ∃N. ∀n ≥ N , p (fn − f) ≤ ε⇔ ∀ p ∈ P, p (fn − f) −→ 0, n −→∞.

Propriété 1.5.1. a) - La limite d’une suite convergente est unique.En effet, soient fm → f, fm → g.

∀ p ∈ P, p (f − g) ≤ p (f − fm) + p (g − fm) −→ 0,m −→∞

=⇒ p (f − g) = 0, ∀ p ∈ P donc f = g car P est séparant.

b) - Toute sous suite d’une suite convergente converge vers la même limite.c) - Toute combinaison linéaire de suites convergentes converge vers la combinai-

son linéaire correspondante de ses limites.

Théorème 1.5.1. Si E est métrisable ,l’adhérence d’une partie A de E est l’ensembledes limites des suites convergentes.

Démonstration. Soit B l’ensemble de l’énoncé.Si

f ∈ B, ∃ fm ∈ A : fm −→ f.

∀m tout voisinage de f rencontre A donc f ∈ A.* E étant métrisable donc P est équivalent à un système dénombrable de semi-normes.

On peut donc supposer que

P = pn : n ∈ N , avec pրn .

Soit f ∈ A ,∀m Bpm

(f ; 1

m

)∩ A 6= ∅

∃ fm ∈ Bpm

(f ;

1

m

)∩ A

fixonspn ∈ P , ∀m ≥ n

pn (fm − f) ≤ pm (fm − f) ≤ 1

m−→ 0,m −→∞

fm ∈ E est de Cauchy dans E si

∀ V (0) , ∃N : ∀ r, s ≥ N fr−fs ∈ V ⇔ ∀ p ∈ P ∀s > 0; ∃N ; ∀ r, s ≥ N p (fs − fr) ≤ ε.

⇔ ∀ p ∈ P, p (fr − fs) −→ 0, i nf (r, s) −→∞.

Théorème 1.5.2. Toute suite convergente dans E est de Cauchy.Si fm est de Cauchy et si une des sous-suites de fm est convergente, la suite fm

converge vers la même limite.


Démonstration.

∀ ε > 0, ∀ p ∈ P ∃N : ∀ r, s ≥ N p (fr − fs) ≤ ε.

Sifnk−→ f,∃M : ∀ r ≥M p (fmk

− f) ≤ ε

2

∀m ≥ sup (M,N) p (fm − f) ≤ p (fm − fmk) + p (fmk

− f) ≤ ε.

Définition 1.5.1. :Une partie A de E est complète si toute suite de Cauchy d’éléments de A converge

vers un élément de A.

Exemples :a) - Si A est complet, tout sous-ensemble fermé de A est complet.b) - Tout compact de E est complet.Soit (fm) une suite de Cauchy dans K, K étant un compact.

∃F ∈ k : ∀ p, r;Bp (f, r)

contient une infimité de fm. ( i.e il existe une infimité de m : fm ∈ Bp (f, r)).Supposons que toute semi-boule Bp (f, r) ne contienne qu’un nombre fini de fm.K étant compact,

∃Bp1(f1, r1) ...., Bpn

(fn, rn) : K ⊂N⋃

i=1

Bpi(fi, ri) .

Cela entrainerait que les termes de la suite sont finis, et cela pour toute suite de Cauchydans E, ce qui est absurde.

∀ ε > 0, ∀ p ∈ P, ∃N ∀ r, s ≥ N p (fr − fs) ≤ ε/2

∃n ≥ N : p (fn − f) ≤ ε

2

p (fm − f) ≤ p (fm − fn) + p (fn − f) ≤ ε.

Définition 1.5.2. : Un espace linéaire à semi-normes est un :- espace de Banach s’il est normable et complet.- espace de Frechet s’il est métrisable et complet.

Tout espace linéaire à semi-norme de dimension finie est un espace deBanach :

Soit n = dimE;P est équivalent à la norme encludienne associée à une base donnéede E, car tous les systèmes de semi-normes sont équivalentes donc équivalentes à la normeencludienne que constitue à elle seule une système de semi-normes, par conséquent E estnormables.

E est complet :


En effet, soit fm de Cauchy dans E, si (e1, ...en) est une base de E

fm =n∑

i=1

αmiei; ‖fm − fn‖ =

(n∑

i=1

|αmi − αni|2) 1

2

−→ 0,m −→∞.

pour chaque i fixé. La suite numérique αmi est de Cauchy dans C donc converge versαi ∈ C.

soit

f =n∑

i=1

αi ei ∈ E

‖fm − f‖ =

(n∑

i=1

|αmi − αi|2) 1

2

−→ 0,m −→∞.

Théorème 1.5.3. : Tout sous espace linéaire de E de Frechet pour le système desemi-norme induit est fermé dans E.

Démonstration. Soit L le sous-espace en question

P ≃ Q = qn : n ∈ N sur L

Vu que (E,P ) est métrisable.

∀n, ∃ pn ∈ P ; c > 0 : qn ≤ c pn, sur L =⇒ pn;n ∈ N ≃ P sur L.

Si

f ∈ L, ∃ fm : fm ∈m⋂

i=1

Bpi

(f,

1

n

)∩ L, vu que

n⋂

i=1

Bpi

(f,

1

m

)

contient une intersection fini d’ouverts,n⋂

i=1

Bpi

(f, 1

m

)6= φ.

fm est de Cauchy dans Len effet

∀n ; ∀ r, s ≥ n

pn (fr − fs) ≤ pn (fr − f) + pn (f − fn) ≤ 1

r+

1

s→ 0, r, s −→∞.

L étant complet, la suite fm −→ f0 ∈ L.Prouvons que f = f0, cela revient à montrer que fm −→ f dans E.Soit

p ∈ P, ∃n ∈ N et c > 0 : p (h) ≤ cpn (h) ; ∀h ∈ L∀h ∈ L, ∃hn ∈ L : sup (p, pn) (hn − h) −→ 0, n −→∞

par continuté la majoration est valable sur l’adhérence de L.

p (h) ≤ cpn(h) ∀h ∈ L

p (fm − f) ≤ c pn (fm − f) ≤ c

m−→ 0,m −→∞.


1.6 Densité et séparabilité

Soient A ⊂ E, D ⊂ E.On dit que D est dense dans A si :

∀ f ∈ A, ∀ p ∈ P ∀r > 0 Bp (f, r) ∩D 6= φ⇔ A ⊂ D.

D n’est pas nécessairement contenu dansA, par exemple Q et RQ. Q est dense dans RQ,

Q ⊂ R = RQ.

Théorème 1.6.1 (Théorème de BAIRE). Dans un espace de Frechet, toute intersection dénombrable d’ouverts(dans E).

U1, U2, ..... denses dans E, U =∞⋂i=1

Ui est dense dans E.

Théorème 1.6.2 (Variante du Théorème de BAIRE). : (obtenu par passage au com-plémentaire).

Dans un espace de Frechet, toute réunion dénombrable de fermés d’intérieurs vides estd’intérieur vide.

Démonstration. U est dense dans E si B semi-boule dans E, B rencontre U .Soit B une semi-boule dans E.U1 ∩ B est non vide, soit f ∈ U1 ∩ B.

∃ p1 ∈ P, r1 > 0, (on peut supposer r1 ≤ 1) : Bp1(f1, r1) ⊂ U1 ∩ B

f2 ∈ U2 ∩Bp1(f1, r1) , non vide.

∃ p2 ∈ P, r2 > 0, (on peut supposer p2 ≥ p1, r2 <1

2) : Bp2

(f2, r2) ⊂ U2 ∩ Bp1 (f1, r1) .

De proche en proche, on détermine une suite fm ∈ E, pm ∈ E, rm > 0.

pm ≥ pm−1, rm <1

m; Bpm

(fm, rm) ⊂ Um ∩ Bpn−1 (fm−1, rm−1) .

La suite fm ainsi construite est de Cauchy.

∀p ∈ P, ∃n : p ≤ pn

(pրn)

et on a :

dès que :

r1 ≥ s ≥ n p (fr − fs) ≤ pn (fr − fs) ≤1

s−→ 0, s −→∞.

E étant complet, ∃f : fm −→ f.∀m, les termes de la suite (fn) appartiennent à Bpm (fm, rm) ∀m.Comme

Bpm (fm, rm) est fermé =⇒ f ∈ Bpm (fm, rm) ∀mdonc

f ∈ Um∀m =⇒ f ∈ B ∩(

∞⋂

i=1

Ui

), f ∈ B ∩ U , B ∩ U 6= φ.


Définition 1.6.1. A ⊂ E, est dite séparable si A contient un sous ensemble dénom-brable dense.

A ⊂ E, est totale dans E si 〉A〈 est dense dans E.

Propriété 1.6.1. a) Si A est séparable =⇒ A, 〉A〈 , 〈A〉 , 〈〈A〉〉 sont séparables.Soit D un sous-ensemble dénombrable dense dans A :

A ⊂ D =⇒ A ⊂ D, d’où A est séparable..

Si D est dense dans A alors 〉D〈 est dense dans 〉A〈Soit

B =

∑

(j)

αjfj ; f, ∈ D, αj ∈ Q + iQ

; B est dénombrable.

Soitf ∈ 〉D〈 =⇒ f =

∑

(i)

αi fi.

Soitg =

∑

(i)

βi fi ; βi ∈ Q + iQ.

∀ p ∈ P p (g − f) ≤∑

(i)

|αiβi| p (fi) ≤ ε,

si on choisit les βi assez proche de αi.Ce qui est possible car Q + iQ est dense dans C.Toutes boules de centre un élément de 〉D〈 rencontre B, par suite B est dense dans

〉D〈, donc B est dense dans 〉A〈.b) S’il existe une partie dénombrable et totale dans E alors E est séparable.En particulier tout espace linéaire de dimension finie est séparable.Si D est dénombrable :

⟩D⟨

= E.Vu que l’ensemble des combinaisons linéaires rationnelles de 〉D〈 est dense dans E,

on déduit que E contient une partie dénombrable dense, donc séparable.c) Si E est métrisable, toute partie d’un ensemble séparable est séparable (le ré-

sultat est en général faux si E n’est pas métrisable).Si A séparable, B ⊂ A est séparable.E métrisable, soit P = pm : m ∈ N .Soit D = fn : n ∈ N , D dense dans A :

Considérons les ensembles non-vides de la forme D ∩Bpm

(fn,

1

k

)..

Soit fm,n,k ∈ D ∩Bpm

(fn,

1

k

)

fm,n,k : m,n, k ∈ N est dénombrable et dense dans B, contenu dans B.En effet, soit

f ∈ B ⊂ A, ∀k,m, ∃ fn ∈ D : fm ∈ Bpm

(fn,

1

k

)=⇒ f ∈ Bpm

(fn,

1

k

)

pm (f − fm,n,k) ≤ pm (f − fn) + pm (fn − fm,n,k) ≤1

k+

1

k=

2

k−→ 0k −→∞

toute semi-boule de centre f rencontre D.


1.7 Bornés ; précompacts et extractables

Définition 1.7.1. A ⊂ E, est bornée si A est absorbée par tout voisinage de 0autrement dit :

∀p ∈ P, ∀ r > 0 , A est absorbé par Bp (r)

⇔ ∀ p ∈ P, ∀r > 0⇔ ∃ ε > 0 : A ⊂ εBp (r)⇔ ∀ p ∈ P supf∈A

p (f) < +∞.

Propriété 1.7.1. a) Si A1...An sont bornés =⇒n⋃

i=1

Ai est borné

b) Si A1...An sont bornés αi...αn ∈ C =⇒∑ni=1 αiAi est borné

c) A borné =⇒ A, 〈〈A〉〉 , 〈A〉 bornés.

Théorème 1.7.1. Soit q une semi-norme sur E (n’appartient pas nécessairement à P ).Si une semi-boule Bq (f, r) est bornée alors q est une norme sur E plus forte que P .En particulier si une des semi-boules Bp (f, r) , p ∈ P est bornée alors E est normable.

Démonstration.Bq (f, r) borné =⇒ Bq (r) est borné

∀ p ∈ P, sup p (f)f∈Bq(P )

≤ c < +∞, q (f) ≤ r =⇒ p (f) ≤ c

donc p ≤ c

rq, P étant plus faible que q on ne déduite que q est une norme.

Théorème 1.7.2. Si A est un borné absolument convexe de E, la jauge pA de A est unenorme sur 〉A〈 plus fort que le système de semi-norme induit par P sur 〉A〈. Si de plusA est complet alors 〉A〈 est un espace de Banach pour pA et sur BpA

(s) = A.

Démonstration. A borné ∀p ∈ P supf∈A

p (f) ≤ c < +∞

∀ f ∈ 〉A〈 , pA (f) < 1 =⇒ f ∈ A =⇒ p (f) ≤ c =⇒ p ≤ cpA sur 〉A〈 .

Donc pA est une norme sur 〉A〈 plus forte que P .Si A est complet

∀ f ∈ 〉A〈 , pA (f) = 1 =⇒ pA (αf) < 1, ∀α ∈ ]0, 1[ =⇒ αf ∈ A ∀α

donc

f = limn

1

1 + 1n

f ∈ A.

Soit fm une suite de Cauchy dans 〉A〈 pour pA.La suite numérique pA (fm) est bornée

∃ c : pA (fm) ≤ c, ∀m.

Soit

gm =fm

c

pA (gm) ≤ 1 =⇒ gm ∈ A, ∀m


gm est de Cauchy pour pA

∀ ε > 0, ∃N : ∀n,m ≥ N pA (gn − gm) ≤ ε =⇒ gm − gn ∈ εA

gn est ainsi de Cauchy pour P (P étant plus faible que pA).Comme A est complet, ∃ g ∈ A : gm −→ g pour P .∀n ≥ N fixé

g − gn = limm

(gm − gn) ∈ εA.

pA (g − gn) ≤ ε −→ gn −→ g pour pA.

=⇒ fn −→ f = cg ∈ 〉A〈 pour pA.

Définition 1.7.2. A ⊂ E, est précompact si

∀ p ∈ P ∀ r > 0 ∃ f1...fn ∈ E : A ⊂n⋃

i=1

Bp (fi, r) = f1, ...fn+Bp (r) .

Remarque 1.7.1. (i) On peut exiger que les fi ∈ A.En effet si A ⊂ f1, ...fn+Bp

(r2

), il suffit de choisir gi ∈ A ∩

fi +Bp

(r2

)pour

avoirA ⊂ g1, ...gn+Bp (r) .

(ii) On peut exiger que les fi ∈ D où D est dense dans A.Si

A ⊂ f1, ...fn+Bp

(r2

), fi ∈ A

il suffit prendre

gi ∈ D ∩fi +Bp

(r2

)

pour obtenirA ⊂ g1, ...gn+Bp (r) .

Théorème 1.7.3. Une partie A de E est précompact si et seulement si ∀p ∈ P et pourtoute suite fm ∈ A, il existe une sous suite fnk

p (fmr− fms

) −→ 0 (r, s) −→∞.

Démonstration. - La condition est suffisante.En effet si A n’est pas précompact

∃ p ∈ P, r > 0 : A ⊂ f1, ... fn+Bp (r) .

Soitf1 ∈ E : A ⊂ f1 +Bp (r) ,∃ f2 ∈ A : p. (f2 − f1) > r

A ⊂ f1, f2+Bp (r) , ∃ f3 ∈ A : p. (f3 − f1) , (f3 − f2) p > r

ainsi de suite ,on construit une suite fn d’éléments de A telle que

p (fm − fn) > r, ∀m 6= n.


On ne peut donc par en extraire une sous-suite de Cauchy.- La condition est nécessaire

Soit p ∈ P et fn ∈ A.Comme A est précompact

A ⊂g

(1)1 ...g

(1)n1

+Bp (1) .

Une des semi-boules g

(1)i +Bp (1)

, soit g1 +Bp (1)

contient une infinité de fm.Soit fm1

∈ g1 +Bp (1) ..Considérons A ∩ (g1 +Bp (1)) ,un sous ensemble de A donc précompact.

Alors

A ∩ (g1 +Bp (1)) ⊂g

(2)1 ...g

(2)n2

+Bp

(1

2

).

Une des semi-boules g(2)i +Bp

(1

2

), soit g2+Bp

(1

2

),contient une infinité de fm, ∃ fn2

∈

g1 +Bp

(1

2

)avec m2 > m1de proche en proche.

Si les g1...gn−1 et fm1, . . . , fmk−1

sont choisis :

A∩[

k−1⋂

j=1

gj +Bp

(1

j

)]⊂g(k)

m1...g(k)

n1

+Bp

(1

k

)avec g

(k)i ∈ A∩

[k−1⋂

j=1

gi +Bp

(1

j

)].

Une des semi-boules

g(k)i +Bp

(1

k

), soit gk +Bp

(1

k

)

contient une infinité de fm ;

∃ fmk∈ gk +Bp

(1

k

)avec mk > mk−1.

Si s > r :

p (fmr− fms

) ≤ p (fmr− gr) + p (gr − gs) + p (gs − fms

) ≤ 1

r+

1

r+

1

s−→ 0, r s −→∞

la sous-suite fmkde fm est de Cauchy dans E pour p.

Théorème 1.7.4. Si E est métrisable, une partie A et E est précompact si et seulementsi de toute suite fm ∈ A ,on peut extraire une sous-suite de Cauchy.

Démonstration. La condition est suffisante d’après le théorème précédent.La condition est nécessaire.Supposons A précompact.Soit P = pn : n ∈ N un système dénombrable de semi-normes sur E.Soit fm ∈ A.à p1 : ∃ f (1)

m une sous-suite de fm de Cauchy pour p1


à p2 : ∃ f (2)m une sous-suite de f

(1)m de Cauchy pour p2

à p3 : ∃ f (3)m une sous-suite de f

(2)m de Cauchy pour p3.

p1 : f(1)1 , f

(1)2 , f

(1)3 , ..............

p2 : f(2)1 , f

(2)2 , f

(2)3 , f

(2)4 , ..............

p3 : f(3)1 , f

(3)2 , f

(3)3 , f

(3)4 , f

(3)5 , ..............

pk : f(k)1 , f

(k)2 , f

(k)3 , f

(k)k , f

(k)k+1, ..............

on pose fmk= f

(k)k , c’est une extraction diagonale de f

(k)m .

fm1= f

(1)1 , fm2

= f(k)2 , fm2

= f(3)3

∀i, (fmk)k≥i est une sous-suite de la suite f

(i)m .

f(i)m étant de Cauchy pour chaque pi =⇒ (fmk

)k≥i est une suite de Cauchy pour dansE.

Exemples :a) Toute suite de Cauchy dans E est précompact.En effet

∀p ∈ P, ∀ r > 0 ∃M : m,n ≥ N =⇒ p (fm − fn) ≤ r

en particulierp (fm − fN) ≤ r, ∀m ≥ N

∀m ≥ N fm ∈ fn +Bp (r) .

fn ⊂ f1, f2..., fN+Bp (r) .

b) Tout borné de dimension finie de E est précompact.A ⊂ E de dimension < +∞⇔ 〉A〈 est de dimension < +∞.Soit A, un borné de E.

A ⊂ 〉e1, ... en〈 = L, e1... en

linéairement independant.Le système de semi-normes sur L est équivalent à la norme eucludienne sur L.Soit fm une suite dans A., A borné.‖fm‖ est bornée car

∀p, ∃ c : p (f) ≤ c, ∀ f ∈ Aposons

fm =n∑

i=1

αmiei

‖fm‖ =

(n∑

i=1

|αmi|2) 1

2

.

~αm = (αm1, αm2

. αmn) ∈ Cn

‖~αm‖ = ‖fm‖ , ~αm


est une suite bornée de Cn, vu le théorème de Bolzano-weierstrass ~αm contient une sous-suite ~αm′ qui converge dans Cn, donc de Cauchy dans Cn.

fm′ est correspondante à ~αm est de Cauchy pour ‖‖ dans L donc de Cauchy dans E,d’ou A est précompact.

c) Tout compact est précompact :

K ⊂⋃

h∈k

f +Bp (ri) =⇒ K ⊂n⋃

i=1

fi +Bp (r′i) ⊂ f1....fn+Bp.

Propriété 1.7.2.

a) - Toute union finie de précompacts est précompacte.Si

Ai ⊂f

(i)1 , f

(i)2 , f (i)

ni

+Bp

(ε∑n

i=1 |αi|

)

alorsn∑

i=1

αi Ai ⊂n∑

i=1

ei

f

(i)1 , f (i)

ni

+Bp (ε) .

c) - A précompact =⇒ A, 〈〈A〉〉 , 〈A〉 sont précompact ; pour A c’est évidentcar

A ⊂n⋃

i=1

Bp (fi, r)

qui est fermé réunion finie de fermésdonc

A ⊂n⋃

i=1

Bp (fi, r) ,

car il est le plus petit fermé contenant : 〈〈A〉〉 est précompact ?

∀ p ∈ f, ∀ r > 0, ∃ f1...fn : A ⊂ f1, fn+Bp

(r2

)

〈〈f1, fn〉〉 est un borné de dimension finie donc précompact.En effet :

f ∈ 〈〈f1.... fn〉〉 .

f =n∑

i=1

αi fi

n∑

i=1

|αi | ≤ 1.

p (f) ≤n∑

i=1

|αi| p (fi) ≤n∑

i=1

|αi| supi≤i≤n

p ( fi) ≤ supi≤i≤n

p ( fi) = C.

∃ g1 gn tel que

〈〈f1, fn〉〉 ⊂ g1, gn+Bp

(r2

)=⇒ 〈〈fA〉〉 ⊂ g1, gn+Bp (r) .

c) - Tout précompact est borné


(La réciproque n’est en général pas vraie sauf si A est de dimension finie)

∀ p ∈ P, ∃ f1, ...fn : A ⊂ f1, ..., fn+Bp (1)

∀ f ∈ A, ∃ fi : f ∈ fi +Bp (1) =⇒ p (f) ≤ p (fi)+ 1 (p (f)− p (fi) ≤ p (f − fi) ≤ 1)

∀ f ∈ A, p (f) ≤ supi≤i≤n

p ( fi) + 1 = C.

d) - Si E est métrisable, A compact =⇒ A séparable.(Si E n’est pas métrisable, c’est en général faux).Soit

P = pn : n ∈ N

∀m,n, ∃Fm,n ⊂ A : A ⊂ Fm,n +Bpn

(1

m

)

posons D =⋃m,n

Fm,n, D est dénombrable et D ⊂ A.

D est dense dans A.En effet :

∀ pn, ∀ r > 0 ∃m :1

m≤ r.

Si

f ∈ A, ∃ g ∈ Fm,n : f ∈ g +Bpn

(1

m

)=⇒ g ∈ f +Bpn

(1

m

).

Théorème 1.7.5. Si une des semi-boule Bp (f, r) avec p ∈ P est précompact, alorsl’espace E est de dimension finie.

Le théorème dit que les espaces de dimension finie sont les seuls espaces à avoir dessystème de voisinages précompacts.

Démonstration. Il suffit de montrer que

∃ f1 fn ∈ E : E ⊂ 〉f1...fn〈 .

Bp (f, r) précompact =⇒ Bp (1) =1

r[f −Bp (f, r)] est précompact

donc borné, Vu un théorème antérieur pest une norme ≃ à P.Soit

ε ∈ ]0, 1[ , ∃ f1 fn ∈ E : Bp (1) ⊂ f1 fn+ εBp (1)

∀ f ∈ Bp (1) f = fi1 + εgi, fi1 ∈ f1 fn , g1 ∈ Bp (1)

g1 ∈ Bp (1) , ∃ fi2 , g2 : g1 = fi2 + εg2avec fi2 ∈ f1 fn , g2 ∈ Bp (1)

donc f = fi1 + ε fi2 + ε2g2.On obtient ainsi une suite

fik : ik ∈ 1, 2...n , gk ∈ Bp (1)

finalementf = fi1 + ε fi2 + ε2fi3 + ...+ εm−1fim + εmgm, ∀m.

f −m∑

k=1

εk−1fik = 2mgm


p

(f −

m∑

k=1

εk−1fik

)= εmp (gm) ≤ εm −→ 0,m −→∞

doncm∑

k=1

εk−1fik −→ f dans E.

m∑

k=1

εk−1fik ∈ 〉f1...fn〈 ,∀m

=⇒ limm

m∑

k=1

εk−1fik = f ∈ 〉f1, ...fn〈 = fermé (Vu un théorème antérieur).

Comme :〉Bp (1)〈 = E =⇒ E ⊂ 〉f1...fn〈 soit E = 〉f1...fn〈 .

Définition 1.7.3. Soit A ⊂ E, on dit que A est extractable si de toute suite fm ∈ A,onpeut extraire une sous-suite fmk

qui converge vers un élément de A.

Propriété 1.7.3.

a) - Toute réunion finie d’extractables est extractable (ce n’est pas vraisi la réunion n’est pas finie ).

Soit fm ∈n⋃

i=1

Ai, les Ai sont en nombre fini donc il existe i0 tel que Ai0 contient les

fm pour une infinité de m, donc une sous-suite fm′ de fm :, Ai0 étant extractable on peut

extraire une sous-suite fm′′ de f ′m : qui converge vers un élément de Ai0 donc de

n⋃i=1

Ai.

b) - Ai, i ∈ I extractable ⇒ ∩Ai est extractable.

Soit fm ∈n⋃

i∈I

Ai alors ∀i0 fixé dans Ifm ∈ Ai0 .

Commr Ai0 est exctractable, il contient une sous-suite fmkqui converge vers f ∈ Ai0 .

∀i, fmk∈ Ai =⇒ ∃ fmkj

de fmk−→ dans Ai =⇒ fmkj

−→ f =⇒ f ∈ Ai0 .

c) - Si Ai...An sont exctractable, α1...αn ∈ C alors∑n

i αiAi est extractable.,il suffit de prouver que si

A,B extractables =⇒ αA+B est extractable, ∀α ∈ C.

Soitfm ∈ αA+B =⇒ fm = αgm

+ hm, gm ∈ A, hm ∈ Bde gm, on peut extraire une sous-suite g′m −→ g ∈ A.

Considérons la sous-suite h′m correspondant à g′m, on peut extraire une sous-suite h′′mqui converge vers h ∈ B, à h′′m on considère la sous-suite gm′′ correspondante, g′′m −→ g.

Considéronsf ′′

m = αgm′′ + hm′′ −→ α g + h ∈ αA+B.


d) - A extractable ≃ A précompact et complet.

fm ∈ A; fmk contient fmk

−→ f ∈ A

en particulier fmk est de Cauchy donc, A est précompact.

Si fm est de Cauchy,

∃ fmk−→ f ∈ A =⇒ fm −→ f ∈ A.

Théorème 1.7.6. Si E est métrisable, on aA compact ⇔ A extractable ⇔ A pécompact complet.

Démonstration. On sait que A compact =⇒ A précompact completA extractable =⇒ A précompact complet.

Il reste à prouver que : A précompact =⇒ A extractable et complet.· A précompact complet =⇒ A extractable ?fm ∈ A,=⇒ ∃ fmk

de Cauchy donc converge vers f ∈ A.· A précompact complet =⇒ A complet ?Raisonnons par l’absurde, supposons A non compact : =⇒ ∃ un recouvrement ouvert

Ωii∈I de A dont on ne peut extraire aucun recouvrement fini.

∀ J fini, J ⊂ I A−⋃

i∈J

Ωi 6= φ.

SoitP = pn : n ∈ N pn ≤ pn+1

le système de sémi-normes sur E.A étant précompact,

∃ f (1)1 , f (1)

n1∈ A :

A ⊂f

(1)1 , f (1)

n1

+Bp1

(1

2

)

ne peut être recouvert par un nombre fini de Ωi.C’est à dire

[A ∩ f1 +Bp1

(1

2

)]⋃

i∈J

Ωi 6= φ, ∀ J fini ⊂ I.

A ∩ f1 +Bp1

(1

2

)étant précompact

par le même raisonnement

∃ f2 ∈ A ∩[f1 +Bp1

(1

2

)]:

A ∩[f1 +Bp1

(1

2

)]∩[f2 +Bp2

(1

22

)]⋃

i∈J

Ωi 6= φ, ∀ J fini ⊂ I.


De proche en proche, on détermine une suite fm ∈ A :

fm+1 ∈ fm +Bpm

1

2et A∩

[f1 +Bp1

(1

2

)]∩[f2 +Bp2

(1

2

)]∩ ...∩

[fm +Bpm

(1

2m

)]

ne peut être recouvert par un nombre fini de Ωi,en particulier,

[fm +Bpm

(1

2m

)]⋃

i∈J

Ωi 6= 0, ∀ J fini ⊂ I.

La suite fm ainsi construite est de Cauchy :En effet :

∀m, ∀ r ≥ s ≥ m.

pm (fr − fs) ≤ pm (fr − fr−1) + ..........................+ pm (fs−1 − fs)

≤ pr (fr − fr−1) + ...........................+ ps−1 (fs−1 − fs)

≤ 1

2r+ ..............................+

1

2s−1−→ 0, r, s −→∞.

A étant complet,∃ f ∈ A : fm −→ f.

f ∈ A =⇒ ∃ i0 ∈ I : f ∈ Ωi0 .

Ωi0 étant ouvert,∃ pn0

, r0 > 0 : f +Bpn0(r0) ⊂ Ωi0 .

∀m assez grand on a :

fm ∈ f +Bpn0

(r02

)(fm −→ f)

et

Bpm

(1

2m

)⊂ Bpn0

(r02

),

c’est à dire dès que1

2m≤ r0

2et on a :

fm︸︷︷︸+Bpm

(1

2m

)⊂ f +Bpn0

(r02

)

︸︷︷︸︸︷︷︸∈

= f +Bpn0(r0) ⊂ Ωi0 .

Ce qui contredit le fait les fm +Bpm

(1

2m

)ne peuvent pas être reconverts par un nombre

fini des Ωi.Donc A est compact.


1.8 Produit fini d’espaces linéaires à semi-normes

Soient(E1, P1) , (E2, P2) , . . . , (En, Pn)

espaces linéaires à semi-normes.

On appelle produit des espaces linéaires (Ei, Pi) à sémi-norme, l’espace linéairen∏

i=1

Ei

muni du système de semi-normes défini par :

f = (fi, . . . , fn) ∈n∏

i=1

Ei ; p ∈ P.

p (f) = sup1≤i≤n

pi (fi) , pi ∈ Pi

on vérifie aisément que l’on a un système de semi-normes.

p (αf) sup1≤i≤n

pi (αfi) = |α| = sup1≤i≤n

pi (fi) = |α| p (f)

Vu quepi (fi) ≤ sup

1≤i≤npj (fj)

on a :

p (f + g) = sup1≤i≤n

pi (fi + gi) ≤ sup1≤i≤n

pi (fi) + sup1≤i≤n

pi (gi) = p (f) + p (g) .

Soitp1, ...........pr ∈ P

pj (f) = sup1≤i≤n

pji (fi) , pj

i ∈ Pi, ∀j = 1, 2...r.

∀i, ∃ ci ; ∃ qi : sup1≤i≤r

pji ≤ ciqi.

SoitC = sup

1≤i≤nci , q = sup

1≤i≤nqi

sup1≤i≤r

pj ≤ c q,

donc P est filtrant.Si

p (f) = 0 ∀ p ∈ P =⇒ sup1≤i≤n

pi (fi) = 0, ∀ pi ∈ Pi pi (fi) = 0 =⇒ fi = 0,∀i,

soit f = 0, le système est séparant.Notons aussi que ce système de semi-normes est équivalent aux systèmes.

P ′ : p′ (f) =n∑

i=1

pi (fi) , pi ∈ Pi, p′ ∈ P ′

P ′′ : p′′ (f) =

(n∑p2

i (fi)

) 1

2

, pi ∈ Pi, p′′ ∈ P ′′.


Théorème 1.8.1. Une partie U de∏i=1

Ei est ouvert pour la topologie définie par son

système de semi-normes P si et seulement si elle est réunion de partie de la forme∏i=1

Ui,

où U , est ouvert dans E.

Démonstration. La condition est nécessaire :

En effet, soit U un ouvert den∏

i=1

Ei

∀ f = (f1, ..., fn) ∈ U, ∃ p = sup1≤i≤n

pi (abus de notation), pi ∈ Pi, r > 0 : f +Bp (r) ⊂ U

d’autre partBp (r) = Bp1

(r)×Bp2(r)× ...×Bpn

(r)

donc [f1 +Bp1

(r0)]×[f2 +Bp2

(r0)]× ...×

([fn +Bpn

(r0)])⊂ U

soit U = la réunion des éléments de cette forme (ci-dessus)

U =⋃

f=(f1,...,fn)∈U

[f1 +Bp1

(r0)]×[f2 +Bp2

(r0)]× ...×

[fn +Bpn

(r0)].

La condition est suffisante.De fait, soit Ui un ouvert dans Ei.Soit

f = U = f1, ..., fn ∈n∏

i=1

Ui

∀i, fi ∈ Ui −→ ∃ pi, ri > 0 : fi +Bpi(ri) ⊂ Ui.

Si on poser = inf

1≤i≤nri, p = sup

1≤i≤npi

on voit que

f1+Bp (r) = [f1 +Bp1(r)]×...×[fn +Bpn

(r)] ⊂ U = [f1 +Bp1(r1)]×...×[fn +Bpn

(rn)] ⊂n∏

i=1

Er.

Propriété 1.8.1.

a) - Une suite d’élément den∏

i=1

Er est convergente (rep de Cauchy si et

seulement si ∀ rsn projection sur Ei est convergente (rep de Cauchy).Il suffit de voir que :si on pose

p = sup1≤i≤n

pi, pi (fi) ≤ p (f) = p = sup1≤i≤n

pi (fi) .

Sip (f) −→ 0 =⇒ pi (fi) −→ 0, ∀i =⇒ p (f) −→ 0.


b) - Tout produit fini d’espace nombrable (rep métrisable de Banach deFrechet) est nombrable, (rep métrisable de Banach, de Frechet.

L’espacen∏

i=1

Ei est séparable =⇒ ∀i, Ei est séparable.

Une partie A den∏

i=1

ci est bornée (rep précompact)⇔ ∀i, sa projection sur Ei est

bornée (rep précompact).Si A précompact, ∀i fixé soit pj ∈ P.Compétitions pj pour obtenir une semi-norme p = sup

1≤i≤npi

∀r > 0, ∃ f (m) =(f

(m)1 , f

(n)2 , f (n)

n

)∈

n∏

i=1

Ei, mm ≤ k (un nombre fini) :

A ⊂k⋃

n=1

[f (m) +Bp (r)

]=⇒ Aj ⊂

k⋃

n=1

[f (m) +Bpi

(r)].

Réciproquement :Supposons Ai précompact ∀i.Soit

p = sup1≤i≤n

pi, r > 0 :

∀i, ∃ f (1)i , ......f

(ki)i ∈ Ei : Ai ⊂

k⋃

n=1

(f (m) +Bp (r)

)

=⇒ A ⊂ A1 × A2 × ...× An ⊂k1⋃

m1=1

k2⋃

m2=1

k3⋃

m3=1

.......kn⋃

mn=1

(fm1

1 , fm2

2 , ....fmnn ) +Bp (r) .

Remarque 1.8.1. Si on remplace précompact par compact ; la propriété d) n’est pasvalable. on prend par exemple A le disque ouvert plus 4 points bien disposés.A n’est pascompact pourtant la projection de A sur chaque axe est compact.

1.9 Applications aux opérateurs linéaires et aux fonc-

tionnelles linéaires

1.9.1 Opérateurs linéaires

Soient E,F deux espaces linéairesUn opérateur linéaire de E dans F est une application F,E −→ F telle que :

T (αf + βg) = αT (f) + βT (g) ∀ f, g ∈ E ; ∀α, β ∈ C.

On appelle image par T de A ⊂ El’ensemble :

TA = Tf f ∈ Aen particulier l’image de T est T E notée R (T )


l’image inverse par T de B ⊂ F est :

T−1B = f ∈ E : Tf ∈ B

le noyau de T est T−1 0 noté N (T )R (T ) et N (T ) sont des sous-espaces linéaires de F respectivement de E.Soit T un opérateur linéaire de E dans F., q une sémi-norme sur Fl’application

E −→ R : f −→ q (Tf)

est une semi-norme sur E.En effet :

q (T (αf)) = |α| q (Tf) : ∀α ∈ C, ∀f ∈ Eq (T (f + g)) = q (Tf + Tg) ≤ q (Tf) + q (Tg) , ∀f, g ∈ E.

Soient (E,P ) et (F,Q) des espaces linéaires à semi-normes.Un opérateur linéaire T de E dans F est continue s’il est continue en tout par f ∈ E

∀ f ∈ E ∀n voisinage de T (f) , ∃V voisinage de f : g ∈ V =⇒ T (g) ∈ W

∀ f ∈ E, ∀qi ∈ Q ∀ ε > 0 p ∈ P r > 0 : p (g − f) ≤ r =⇒ q (Tg − Tf) ≤ ε

∀ f ∈ E ∀ q ∈ Q ∀ ε > 0 T−1Bq (Tf, ε) et un voisinage de f.

Théorème 1.9.1. Si T est un opérateur linéaire de E dans F les assertion suivantes sontéquivalentes :

(i) T est continue(ii) T est continue en 0(iii) ∀q ∈ Q ∃ ε > 0, T−1Bq (ε) est un voisinage de 0(iv) ∀q ∈ Q ∃p ∈ P c > 0 q (Tf) = cp (f) , ∀ f ∈ E.

Démonstration. (i) =⇒ (ii) ; (ii) =⇒ (iii) (évident).

T−1Bq (ε) voisinage de 0 =⇒ ∃p ∈ P., r > 0.(Bp (r) ⊂ T−1Bq (ε)⇔ p (f) ≤ r,=⇒ q (Tf) ε

)

=⇒ q (Tf) ≤ ε

rp (f) . ∀f ∈ E.

(ii) =⇒ (i) ∀f ∈ E, ∀q ∈ Q.ε > 0, ∃p ∈ P, c > 0

g ∈ Bp

(f,ε

c

)=⇒ p (g − f) ≤ ε

c=⇒ q (Tg − Tf ) = q (T (g − f)) ≤ ε.

Exemple :Si E est de dimension finie tout opérateur linéaire de E dans F est continu.Si (ℓi...ℓn) est une base de E

∀ f =n∑

i=1

αifi ∈ E ∀ q ∈ Q


on peut écrire

q (Tf) = q

(n∑

i=1

|αi|T (ℓi)

)≤

n∑

i=1

|αi| q (Tℓi) ≤(

n∑

i=1

|αi|1) 1

2(

n∑

i=1

q(T (ℓi)

2)) 1

2

≤ c ‖f‖ .

T est continue.

Théorème 1.9.2. Si T est un opérateur linéaire continu de E dans F , alors l’image parT de E.

- Toute suite convergente (resp de Cauchy) est une suite convergente (resp de Cauchy).- Tout borné (resp compact, précompact extractable) est borné (resp compact, précom-

pact, extractable).

Démonstration. - Soitfm −→ f, ∀q ∈ Q, ∃p ∈ P, c > 0

q (Tfm − Tf) ≤ c p (fm − f) −→ 0, m −→∞q (Tfs − Tfr) ≤ c p (fr − fs) −→ 0, r, s −→∞.

- Soit A ⊂ E.Si A est borné

∀p ∈ P, supf∈A

p (f) < +∞

∀q ∈ Q, ∃p ∈ P : q (Tf) ≤ c p (f) , ∀f ∈ Adonc

supf∈A

q (Tf) ≤ csupf∈A

p (f) < +∞.

Si A est compact :Soit (Vi)i∈I un recouvrement ouvert de TA, (T−1 (Vi))i∈I et un recouvrement ouvert

de A :

=⇒ ∃n : A ⊂n⋃

i=1

T−1 (Vi)

par suiten⋃

i=1

Vi ⊃ TA.

Si A est précompact.Soit

q ∈ Q, r > 0 : ∃ p ∈ P, c > 0 q (Tf) ≤ c p (f) .

∃f1, ...fn ∈ A : A ⊂ f1, ...fn+Bp

(rc

)=⇒ TA ⊂ Tf1, ...T fn+Bq (r) .

Si A est extractable.Soit gm une suite d’éléments de

TA, ..., ∃fm ∈ A. Tfm = gm.

A étant extractable, ∃ fmk, une sous-suite de fm −→ f ∈ A, mais Tfm est une sous-suite

de gm −→ g ∈ T A, vu ce qui précède.


Théorème 1.9.3. Si E est métrisable, un opérateur linéaire de E dans F est continu siet seulement si transforme toute suite tendance vers 0 en une suite bornée.

Démonstration. La condition est suffisante.En effet supposons T non continu

=⇒ ∃ q ∈ Q, fm ∈ E : 1 = q (Tfm) > m2pm (fm)

posons

gm = mfm −→ 0,m −→∞, pm (gm) = mpm (fm) ≤ 1

m−→ 0,m −→∞

q (Tgm) = mq (Tfm) = m,∀m,ce qui est absurde. (Tgm) . La condition est évidemment nécéssaire.

Théorème 1.9.4. Si E est de Frechet, un opérateur linéaire T : E −→ F est continu siet seulement si

∀q ∈ Q,∃ε > 0T−1Bq (ε)

est fermé dans E.

Démonstration. La condition est trivialement nécéssaire.La condition est suffisante, soit q ∈ Q, soit ε > 0 : T−1Bq (ε) soit fermé dans E.T−1Bq (ε) es absolument convexe et aborbant.Donc

E =∞⋃

m=1

T−1Bq (ε)

(réunion de fermer, dénombrable).E =E 6= φ, Vu le théorème de Baire

∃m :

0

mT−1Bq (ε) 6= φ

donc0

T−1Bq (ε) 6= φ, T−1Bq (ε)

est un voisinage de 0 donc T est continu.

1.9.2 Théorème du graphe fermé

:Soit T un opérateur linéaire de E −→ F .Le graphe de T est l’ensemble

G (T ) = (f, Tf ) f ∈ E .

Le graphe de T est un sous-espace linéaire de E × F .Si T est continu =⇒ G (T ) est fermé dans E × F .


En effet si

(f, g) /∈ G (T ) =⇒ g 6= Tf =⇒ ∃ q ∈ Q, r > 0 : Bq (g, ε) ∩Bq (Tf, ε) = ∅.

T continu=⇒ ∃ p ∈ P, r > 0 : T Bp (f, r) ⊂ Bq (Tf, ε)

mais alorsT Bp (f, r) ∩Bq (g, ε) = φ

=⇒ [Bp (f, r)×Bq (g, ε)] ∩G (T ) = φ.

· Si E et F sont métrisables, E × F est aussi métrisable.Dans ce cas G (T ) est fermé dans

E × F ⇐⇒ ((fm, T fm) −→ (f, g) =⇒ Tf = g)

⇐⇒ (fm −→ f dans ETfm −→ g dans F

=⇒ g = Tf).

Théorème 1.9.5 (du graphe fermé). Si E etF sont de l’espace de Frechet. Un opérateurlinéaire T de E dans F est continu si et seulement si il vérifie l’assertion

(fm −→ f dans E, Tfm −→ g dans F ) =⇒ g = Tf.

Démonstration. La condition est éidemment nécessaire.La condition est nécessaire suffisante.Il suffit de prouver que ∀q ∈ Q, T−1Bq (1) est un voisinage de 0.Posons B = Bq (1) , T−1B est absolument convexe et absorbant.

E =∞⋃

m=1

mT−1B =∞⋃

m=1

mT−1B.

Vu le théorème de Baire

∃m : m

0

T−1B 6= φ =⇒0

T−1B 6= φ.

Donc T−1B est un voisinage de 0.Par conséquent

∃ p ∈ P, r > 0 : Bp (r) ⊂ T−1B.

Soit q1 ≤ q2 ≤ . . . lessémi-normes qui majorent q (de Q) .Considérons

B1 = Bq1

(1

2

), B2 = Bq2

(1

22

), ...Bm = Bqm

(1

2m

)...

par le même raisonnement que précédemment

∃ p1 ∈ P, r1 > 0 : Bp1 (r1) ⊂ T−1B1, p1 ≥ p, r1 <1

2

∃ p2 ∈ P, r2 > 0 : Bp2 (r2) ⊂ T−1B2, p2 ≥ p1, r2 <1

22

∃ pm ∈ P, rm > 0 : Bpm (rm) ⊂ T−1Bm, pm ≥ pm−1, rm <1

2m.


Montrons que

T−1B ⊂ 2T−1B.

Soit f ∈ T−1B, ∃ successivement

f0 ∈ T−1B : f − f0 ∈ Bp1(r1) ⊂ T−1B1

f2 ∈ T−1B1 : f − f0 − f1 ∈ Bp1(r1) ⊂ T−1B1.

fm ∈ T−1Bm : f − f0 − f1...fm ∈ Bpm(rm) ⊂ T−1Bm.

La suite

m∑

k=0

fk −→ f, m −→∞ car pm

(f −

m∑

k=0

fk

)−→ 0, m −→∞.

Considérons∑m

k=0 Tfk, est telle que

∀n, ∀r, s ≥ n

qn

(s∑

k=r

Tfk

)≤

s∑

k=r

qn (Tfk) ≤s∑

k=r

qk (Tfk) ≤s∑

k=r

1

2k−→ 0, r, s −→∞

par conséquent∑m

k=0 Tfk est une suite de Cauchy dans F de Frechet donc :

∃ g ∈ F :m∑

k=0

Tfk −→ g

on note que :

Tf0 ∈ B, Tfk ∈ Bk ⊂ 2−kB, ∀ k ≥ 1 Vu que Bk = 2−kBqm (1)

et queB = Bq (1) avec q ≤ qk Bqm (1) ⊂ Bq (1)

on a alors :m∑

k=0

Tfk ∈ B +m∑

k=1

2−kB =

(1 +

s∑

k=1

2−k

)B ⊂ 2B, ∀m.

car

1 +m∑

k=1

2−k < 2

et B est absolument convexedonc g ∈ 2B.Vu l’hypothèse du théorème :

m∑

k=0

fk −→ f dans E, T

(m∑

k=0

fk

)−→ g dans F =⇒ g = Tf

g = Tf ∈ 2B =⇒ f ∈ 2T−1B.

on conclut que 2T−1B est un voisinage de 0 donc T−1Bq (1) est un voisinage de 0 et parsuite T est continu.


Corollaire 1.9.1. Si E et F sont de Frechet et si T est un opérateur linéaire continubijectif de E sur F alors T−1 est un opérateur linéaire continu de F sur E.

Démonstration. Il suffit de prouver que T−1 est continu, pour cela on applique le théorèmedu graphe fermé.

gm −→ g dans FT−1gm −→ g dans E

=⇒ f = T−1g.

En effet :

gm −→ g dans F, T(T−1gm

)−→ T (f) =⇒ T (f)

=⇒ gm −→ ggm −→ Tf

=⇒ g = Tf =⇒ f = T−1g.

Chap

itre

2 Espaces de Banach

Sommaire2.1 Définitions – Applications linéaires continues . . . . . . . . . . 41

2.2 E. v. n de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.3 Théorème de Hahn - Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.3.1 Le Théorème de Hahn - Banach (Forme analytique) . . . . . . 57

2.3.2 Le Théorème de Hahn - Banach (Forme géométrique) . . . . . 59

2.3.3 Théorèmes de l’application ouverte, du graphe fermé, de Banach 62

2.3.4 Le théorème de Banach - Steinhaus . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.4 Fonctions numériques semi-continues inférieurement (s.c.i.) 67

2.5 Somme directe topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.1 Définitions – Applications linéaires continues

Dans toute la suite, il s’agira d’un espace vectoriel E de dimension finie ou infinie,sur le corps K (R ou C). Lorsque différents e.v. interviendront, dans le même énoncé, ilsauront (sauf mention du contraire) même corps de scalaires. Si E est un e.v. complexe, nepas oublier qu’il possède une structure d’e.v. réel sous-jacent en restreignant les scalaresà R. on supposera connue la notion d’e.v.

Définition 2.1.1. On appelle norme, sur un e.v. E, toute application de E dans R+,notée x −→ ‖x‖, telle que :

i) ‖x‖ = 0⇐⇒ x = 0ii) ‖αx‖ = |α| ‖x‖ ∀x ∈ E, α ∈ Kiii) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ ∀ x ∈ EE est alors appelé un espace vectoriel normé (e.v.n.)

On définit la distance entre deux points x, y de E par d (x, y) = ‖x− y‖.Donc E est un espace métrique et possède une structure topologique.Si (E, d) est complet, il est appelé un espace de Banach ou, plus simplement un

Banach.

Remarque 2.1.1. 1) Si E est un e.v. et si d est une distance sur E, il n’existe pasforcément de norme sur E, qui induise d ; une distance induite par une norme vérifie :

d (αx, αy) = |α| d (x, y) ,∀ x, y ∈ E α ∈ K

41

CHAPITRE 2. ESPACES DE BANACH 42

d (x+ z, y + z) = d (x, y) ∀ x, y, z ∈ Ed (x, 0) = ‖x‖ ∀ x,∈ E.Or, si on considère l’e.v.C∞ sur C muni de la distance d définie par :

d (x, y) =∞∑

i=1

1

2i

|xi − yi|1 + |xi − yi|

ou

x = (x1, x2, ..., xn, ...)y = (y1, y2, ..., yn, ...)

on vérifie qued (αx, αy) 6= |α| d (x, y) .

2) Soit

E = E1 × E2 × ...× En où Ei est un e.v.n. Notation ‖.‖i ≡ ‖.‖

on obtient des normes (usuelles) sur E, en posant :

‖x‖1 =∑n

i=1 ‖xi‖‖x‖2 =

(∑ni=1 ‖xi‖2

)1/2 ∀ x = (x1, x2, ..., xn) ∈ E‖x‖3 = sup

i=1,2,...,n‖xi‖

on montre facilement que

‖x‖3 ≤ ‖x‖2 ≤ ‖x‖1 ≤√n ‖x‖2 ≤ n ‖x‖3 , ∀x ∈ E

et que les distances induites sont uniformément équivalentes.

Définition 2.1.2. Deux normes sont (uniformément) équivalentes s’il existe des réelsa, b > 0 tels que

a ‖x‖1 ≤ ‖x‖2 ≤ b ‖x‖1 .

Théorème 2.1.1. La topologie induite par la norme est compatible avec la structure d’e.v.i.e : pour les normes usuelles sur E × E.

i) l’application (α, x) −→ αx de K×E dans E est continueii) l’application (x, y) −→ x+ y de E × E dans E est (uniformément) continueDe + : l’application x −→ ‖x‖ de E dans R+ est (uniformément) continue.

Démonstration. Munissons −− E × E de la norme ‖(x, y)‖ = ‖x‖+ ‖y‖− − K× E de la norme ‖(α, x)‖ = ‖α‖+ ‖x‖

Où ‖‖ = norme de Ei) Si z = (α, x) et z0 = (α0, x0) sont deux vecteurs de K×E vérifiant

‖z − z0‖ ≤ δ, i.e. ‖z − z0‖ = |α− α0|+ ‖x− x0‖ ≤ δ,

on a

|α− α0| ≤ δ, ‖x− x0‖ ≤ δ et enfin ‖x‖ ≤ ‖x0‖+ δ ≤ ‖x0‖+ 1 si δ ≤ 1.

Alors

‖αx− α0x0‖ = ‖α0 (x− x0) + (α− α0)x‖ ≤ |α0| ‖x− x0‖+ |α− α0| ‖x‖


≤ |α0| δ + δ (‖x0‖+ 1) = δ (|α0|+ ‖x0‖+ 1) < ε si δ <ε

|α0|+ ‖x0‖+ 1.

Supposons l’application uniformément continue, i.e. :

∀ε ≥ 0, ∃ δ (ε) ≥ 0 tel que ‖z − z0‖ = |α− α0|+ ‖x− x0‖ ≤ δ =⇒ ‖αx− α0‖ ≤ ε.

Si, en particulier,

x = x0, on a |α− α0| ≤ δ =⇒ |α− α0| ‖x‖ ≤ ε

et ceci est faux pour ‖x‖ > ε

δ.

ii) Si z = (x, y) et z0 = (x0, y0) sont deux vecteurs de E×E vérifiant ‖z − z0‖ ≤ δ,i.e.

‖z − z0‖ = ‖x− x0‖+‖y − y0‖ ≤ δ, on a ‖(x+ y)− (x0 + y0)‖ ≤ ‖x− x0‖+‖y − y0‖ ≤ δ

ce qui montre que l’application x, yx+ y est uniformément continue.De +, l’inégalité |‖x‖ − ‖x0‖| ≤ ‖x− x0‖ montre que x −→ ‖x‖ est uniformément

continue.

Définition 2.1.3. Soit E un e.v.n. et soit un une suite de E. Soit Un = u1 + ...+ un

∀n = 1, 2, ... . Si Un est convergente dans E, de limite U , on dit que la série determe général un est convergente dans E et que U est sa somme :

U =∑∞

n=1 un. La série est dite normalement, |absolument convergente| si la série desnormes

∑∞n=1 ‖un‖ est convergente

Remarque 2.1.2. Le théorème 2.1.1 permet d’affirmer que

m∑

k=1

α(n)k x

(n)k −→

m∑

k=1

αk xk

siα

(n)k −→ αk et si x

(n)k −→ xk.

Théorème 2.1.2. Soit M un sous-espace vectoriel fermé d’un e.v.n. E. on définit l’espacequotient E/M par la relation d’équivalence

xRy ⇐⇒ x− y ∈M

et on pose, pour une classe

x+M = x, ‖x+M‖ = ‖x‖ = inf ‖x+m‖ ; m ∈M .

Alors E/M est un e.v.n. Si, de +, E est un Banach, E/M est un Banach.


Démonstration. Remarquons d’abord l’indépendance du représentant de la classe : Si

y ∈ x et si ‖x‖ = inf ‖y +m‖ ;m ∈M

alors, commey − x ∈M, i.e. y = x+m

on a

‖x‖ = inf

∥∥∥∥∥∥x+m′ +m︸︷︷︸

=m′′∈M

∥∥∥∥∥∥; m′′ ∈M

.

i)

‖x‖ = inf ‖x+m‖ ; m ∈M = 0⇐⇒ ∀ε ≥ 0, ∃mk ∈M tel que ‖x+mk‖ ≤ ε

ou encore‖x− (−mk)‖ ≤ ε⇐⇒ x ∈ M = M

ii)∥∥∥∥

·

αx

∥∥∥∥ = inf ‖αx+m‖ ; m ∈M = |α| inf∥∥∥x+

m

α

∥∥∥ ; m ∈M

si α 6= 0

= |α| inf∥∥∥x+

m

α

∥∥∥ ; m ∈M

= |α| ‖x‖

Car M est un s.e.v. (Le cas α = 0 est trivialement vérifié).iii)

‖x+ y‖ =

∥∥∥∥·

x+ y

∥∥∥∥ = inf ‖x+ y +m‖ ; m ∈M ≤ inf∥∥∥x+

m

2

∥∥∥+∥∥∥y +

m

2

∥∥∥ ; m ∈M

=

inf ‖x+m‖+ ‖x+m‖ ; m ∈M = inf ‖x+m‖ ; m ∈M+ inf ‖x+m‖ ; m ∈M= ‖x‖+ ‖x+m‖ ; m ∈M

· On suppose à présent, que E est complet. Soit xn +M une suite de Cauchy dansE/M .

Remarquant qu’une suite de Cauchy converge si et seulement si elle a une sous-suiteconvergente, il suffit d’extraire de la suite xn +M une sous-suite convergente xn +Métant suite de Cauchy, il existe une sous-suite

xn1

+M, x(n1+1) +M, ...

telle que∥∥x (n1+k) +M − x(n1+p) +M

∥∥ ≤ 1

2, ∀k, p ∈ N.

De cette sous-suite (de Cauchy), on peut extraire une sous-suite

xn2+M, x(n2+1) +M, . . .

telle que∥∥x(n2+k) +M − x(n2+p) +M

∥∥ ≤ 1

22, ∀k, p ∈ N.


De cette sous-suite (de Cauchy), on peut extraire une sous-suite

xn3

+M, x(n3+1) +M, ...

telle que∥∥x(n3+k) +M − x(n3+p) +M

∥∥ 1

23, ∀k, p ∈ N,

etc...,Considérons maintenant la ”diagonale” yi +M de ces sous-suites, où

yi = x(ni+i) − 1,

on observe que

‖(yi+1 +M)− yi +M‖ = ‖(yi+1 − yi) +M‖ ≤ 1

2i

et, par définition de la norme sur

E/M , ∃ui ∈ (yi+1 − yi) +M t.q. ‖ui‖ ≤1

2i.

Choisissonszi ∈ yi +M tel que zi+1 − zi = ui, ∀i.

Montrons que zn est une suite de Cauchy dans E : si m < n

. ‖zm − zn‖ ≤ ‖zm − zm+1‖+...+‖zn−1 − zn‖ ≤1

2m+...+

1

2n−1=

1

2m

[1 +

1

2+ ...+

1

2n−m

]<

1

2m−n

E étant complet,zn −→ z–Montrons que

yi +M −→ z +M.

Commeyi +M = zi +M,

‖(z +M)− (yi +M)‖ = ‖(z +M)− (zi +M)‖ = ‖z − zi +M‖ ≤ ‖z − zi‖ −→ 0.

Remarque 2.1.3. Si M n’est pas fermé, soit

y ∈ M, y /∈M.

Alors y 6= 0.Mais

‖y‖ = infx∈M‖y − x‖ = 0.


Exemples d’espaces de Banach :1) K, Kn, K∞ munis des normes usuelles (Rappel ; Le produit d’espaces métriques

complets et complet et réciproquement).2) C (X,K) muni de

‖f‖ = supx∈X|f (x)| ,

car K est complet3) Soient X un ensemble quelconque, A une σ−algèbre de sous-ensembles de X et

µ une mesure sur A. Considérant un ensemble E ∈ A, on définit l’espace vectoriel

Lp (E, µ) , 1 ≤ p <∞,

des classes d’équivalence de fonctions réelles mesurables dont la puissance pieme est inté-grable sur E.· L’inégalité de Minkowski, pour intégrale, permet de vérifier que

‖f‖p =

(∫

E

|f |P dµ

)1/p

, f ∈ Lp (E, µ)

safisfait l’inégalité triangulaire.La relation ‖f‖p = 0 n’implique pas f = 0, mais seulement f = 0 presque partout on

doit donc identifier les fonctions égales p.p., par une relation d’équivalence. Alors ‖f‖p estune norme.· Lp (E, µ) est complet pour cette norme : Soit fn une suite de Cauchy dans Lp (E, µ) i.e. :

∀ε > 0, ∃N (ε) t.q. n,m > N (ε) =⇒ ‖fn − fm‖p =

(∫

E

fn − fm/pdµ

)1/p

< ε.

Ceci implique que fn est une suite de Cauchy en mesure et donc (revoir la Théorie de lamesure) qu’il existe une sous-suite fni

convergente presque partout, i.e. : ∃f mesurabletelle que lim

ifni

= f p.p. Pour un j fixé, on a donc

limi|fnj− fni

|p = |fnj− f |p.

En vertu du lemme de Fatou :∫

E

lim

i∣∣fnj− fni

∣∣p dµ =

∫

E

∣∣fnj− f

∣∣p dµ ≤lim

i

∫

E

∣∣fnj− fni

∣∣p dµ.

Soit ε0 > 0. fn étant de Cauchy,

∃N (ε0) tel que nj, ni > N (ε0) =⇒∫

E

∣∣fnj− fni

∣∣p dµ ≤(ε0

2

)p

et donclim

i

∫

E

∣∣fnj− fni

∣∣p dµ ≤(ε0

2

)p

si nj > N (ε0)

d’où∫

E

∣∣fnj− f

∣∣p dµ ≤(ε0

2

)p

si nj > N (ε0) et donc(fnj− f

)∈ Lp (E, µ) .


Commefnj∈ Lp (E, µ) , on obtient f ∈ Lp (E, µ).

Appliquant l’inégalité de Minkowski pour les intégrales,

‖fn − f‖ =

(∫

E

|fn − f |P dµ

)1/p

≤(∫

E

∣∣fn − fnj

∣∣P dµ

)1/p

+

(∫

E

∣∣fnj− f

∣∣P dµ

)1/p

≤ ε0

2+ε0

2= ε

et donc lim fn = f.

4) Soit 1 ≤ p <∞. On appelle lnp l’espace Kn muni de

‖x‖P =

(n∑

i=1

∣∣xi/P∣∣)1/P

.

On appelle lp l’espace de toutes les suites t.q.

∞∑

i=1

|xi|P <∞ muni de |x|P =

(∞∑

i=1

|xi|P)1/P

où xi ∈ K, ∀i.

L’inégalité de Minkowski

(∞∑

i=1

|xi + yi|P) 1

P

≤(

∞∑

i=1

|xi|P) 1

P

+

(∞∑

i=1

|yi|P) 1

P

permet de montrer qu’il s’agit de normes.Montrons que lnp et lp sont complets. Par exemple pour lp, en utilisant ce qui précède :

SiX = 1, 2, ..., n, ... = Z+,

la famille P (Z+) de tous les sous-ensembles de Z+ est une σ−algèbre. Soit E ∈ P (Z+).

Définissons µ (E) =

nombre d’éléments dans E si E est fini

+∞ si E est infini.

Prenant E = Z+, considérons LP (Z+, µ). Tous les souys-ensembles de Z+ étant dansla σ−algèbre, toutes les fonctions définies sur E sont mensurables. (Remarquons que cesfonctions sont, en fait, des suites). Alors

∫

Z+

|f |P dµ =

∫ ⋃

n⊂Z+

n |f |P dµ =∑

n∈Z+

∫

n

|f |P dµ =∞∑

n=1

|f (n)|Pµ (n) =∞∑

n=1

|f (n)|P .

i.e.f ∈ LP (Z+, )⇐⇒ f (n) ∈ lp.

lp apparaît comme un cas particulier de LP et donc est complet.5) On appelle ln∞ l’espace Kn muni de

‖x‖∞ = sup |x1| , ..., |xn| .

On appelle l∞ l’espace de toutes les suites bornées muni de

‖x‖ = sup |xi| , xi ∈ K, ∀ i.


Considérant les n−uples comme des fonctions définies sur

X = 1, 2, ..., n

et les suites comme des fonctions définies sur Z+, on a

ln∞ = C (X,K) , l∞ = C(Z+,K)

et ils sont donc complets. (X et Z+ munis de la topologie discrète).6) L’espace C de toutes les suites convergentes étant un sous-espace fermé de l∞, ilest complet et donc un Banach.

Se restreignant aux suites converentes vers 0, on obtient un Banach noté C0.7) L∞ = (classes d’équivalence de fonctions mesurables, réelles, bornées p.p.,définiessur un ensemble X, A étant σ−algèbre de sous-ensembles de X).

On pose :

S (N) = sup |f (x)| ;x /∈ N où f ∈ L∞, N ∈ A avec µ (N) = 0‖f‖∞ = inf S (N) ; N ∈ A, µ (N) = 0 .

8) Etc...

Théorème 2.1.3. Soient E et F deux e.v.n., u une application linéaire de E dans F .Les assertions suivantes sont équivalentes :(1) u est continue en tout point de E(2) u est continue à l’origine 0(3) ‖u (x)‖ est borné sur la boule unité B1 [0] = x; ‖x‖ ≤ 1.(4) ∃M ≥ 0 tel.que. ‖u (x)‖ ≤M ‖x‖ , ∀x ∈ E (u est dite bornée)(5) u est uniformément continue sur E.

Démonstration. On note de la même façon : ‖.‖ les 2 normes de E et de F .(1) =⇒(2) évident.(2) =⇒(3) Par définition de la continuité en 0 : ∃δ ≥ 0 t.q. ‖x‖ ≤ δ =⇒ ‖u (x)‖ ≤

1

Alors ‖x‖ ≤ 1 =⇒ ‖δx‖ ≤ δ =⇒ ‖u (δx)‖ ≤ 1 =⇒ ‖u (x)‖ ≤ 1

δ(3) =⇒(4) Si x = 0, u (x) = 0, c’est évident

Si x 6= 0, x‖x‖∈ B1 [0] et donc

∥∥∥u(

x‖x‖

)∥∥∥ ≤M i.e ‖u (x)‖ ≤M ‖x‖ .(4) =⇒(5) ‖u (x1)− u (x2)‖ = ‖u (x1 − x2)‖ ≤ M ‖x1 − x2‖ et u est lipschit-

zienne.(5) =⇒(1) évident.

Définition 2.1.4. L’ensemble des applications linéaires continues de E dans F est une.v. qu’on note L (E,F ) et qu’on norme par :

A = ‖u‖ = sup‖x‖≤1

‖u (x)‖

B = ‖u‖ = sup‖x‖=1

‖u(x)‖


Autres normes équivalenles :

C = ‖u‖ = supx 6=0

‖u(x)‖‖x‖

B = ‖u‖ = inf ‖u(x)‖ ≤M ‖(x)‖ , ∀x ∈ E

(D’ après le théorème 2.1.3, u est bornée sur B1[0]. ) Quand E 6= 0, on peutaussi écrire

B = ‖u‖ = sup‖x‖=1

‖u (x)‖

Notation : ‖u‖ au lieu de ‖u‖L(E,F ).Montrons que

C ≤ B ≤ A ≤ D ≤ C

C ≤ B : ∀x ∈ E, x 6= 0, u

(x

‖x‖

)=u (x)

‖x‖ donc C = sup‖u (x)‖‖x‖ = supu

(x

‖x‖

)≤ B

B ≤ A : évident

A ≤ D : ∀M t.q. ‖u (x)‖ ≤M ‖x‖ on a ‖x‖ ≤ 1 =⇒ ‖u (x)‖ ≤M

donc A = sup‖x‖≤1

‖u (x)‖ ≤M et donc A ≤ inf M = D

D ≤ C : ∀x 6= 0

∥∥∥∥u(x)

‖x‖

∥∥∥∥ ≤ C

Donc ∀x 6= 0 ‖u (x)‖ ≤ C ‖x‖· Remarquons que cette inégalité est encore vraie pour x = 0· Donc C ∈ M ; ‖u (x)‖ ≤M ‖x‖ et donc D ≤ C.

Remarque 2.1.4. Soient E,F,G trois e.v.n. et u : E −→ F, v : F −→ G deuxapplications linéaires continues. Alors v u : E −→ G est linéaire, continue et

∀x ∈ E, ‖v u (x)‖ = ‖v [u (x)]‖ ≤ ‖v‖ ‖u (x)‖ ≤ ‖v‖ ‖u‖ ‖x‖

Alors‖v u‖ ≤ ‖v‖ ‖u‖ ,

en vertu de la définition D de la norme.En général ‖v u‖ 6= ‖v‖ ‖u‖ . Par exemples soit E = R2 et u ((respt.v) la projection surle 1er (

(respt.le 2eme

)axe de coordonnées.

On a v u = 0 et pourtant ‖u‖ = ‖v‖ = 1.

Théorème 2.1.4. Si F est un Banach, L (E,F ) est un Banach.


Démonstration. Soient un une suite de Cauchy de L (E,F ) i.e.

∀ε ≥ 0, ∃N ≥ 0 tel que n,m ≥ N =⇒ ‖un − um‖ ≤ ε.

Alors

∀ε ≥ 0, N ≥ 0 tel que n,m ≥ N =⇒ ‖un (x)− um (x)‖= ‖un − um (x)‖ ≤ ‖un − um‖ ‖x‖ ≤ ε ‖x‖ ∀x ∈ E

i.e. un (x) est suite de Cauchy de F et donc converge.Posons

u (x) = limn−→∞

un (x)

· u est linéaire :

· u (x+ y) = limn−→∞

un (x+ y) = limn−→∞

un (x) + limn−→∞

un (y) = u (x) + u (y)

· u (αx) = αu (x) de la même manière.· u est continue :

pour ‖x‖ ≤ 1, on a ‖un (x)− um (x)‖ ≤ ε, ∀n,m ≥ N.

Donc la convergence est uniforme sur B1 [0]. Or on sait que la limite d’une suiteuniformément convergente d’applications continues. Donc u est continue en 0. Donc u estcontinue sur E (Théorème C).· un −→ u au sens de la norme sur L (E,F ).Comme

‖un (x)− um (x)‖ ≤ ε ‖x‖et que la norme ‖.‖ est continue*, on a

limn−→∞

‖un (x)− um (x)‖ = ‖un (x)− u (x)‖ ≤ ε ‖x‖ ≤ ε, ∀n ≥ N, ∀ ‖x‖ ≤ 1.

D’où

‖(un − u) (x)‖ ≤ ε. Alors ‖un − u‖ =sup

‖x‖ ≤ 1‖(un − u) (x)‖ ≤ ε.

∗ |‖x‖ − ‖y‖| ≤ (x− y) ∀x, y ∈ E

Corollaire 2.1.1 (Définition). Soit E un e.v.n. L (E,K) est un Banach ; on l’appellele dual topologique de E. Ses éléments sont appelés

formes linéaires continues de E sur K - On note E∗ = L (E,K) ou encore E ′ =L (E,K).

Définition 2.1.5. Une algèbre de Banach A est une algèbre normée complète telle que

‖xy‖ ≤ ‖x‖ ‖y‖ ∀x, y ∈ A.


Définition 2.1.6. Si E = F on notera L (E,E) = L (E) et tout élément de L (E) estdit opérateur sur E − L (E) est donc une algèbre de Banach.

Remarque 2.1.5. 1) On a vu, dans le théorème A, que l’addition et la multiplicationpar un scalaire sont continues. La multiplication est aussi continue :

i.e. un −→ u, vn −→ v =⇒ unvn −→ uv.

En effet :

‖unvn − uv‖ = ‖un (vn − v) + (un − u) v‖ ≤ ‖un‖ ‖vn − v‖+ ‖un − u‖ ‖v‖

2) Cette algèbre est associative, unitaire et :Si

E 6= 0 , ‖i‖ = sup ‖i (x)‖ ; ‖x‖ ≤ 1 = sup ‖x‖ ; ‖x‖ ≤ 1 = 1.

Définition :Une application u sera dite un isomorphisme de E sur F si elle est linéaire et bijective(i.e. isomorphisme algèbrique) et, en même temps, un homéomorphisme. L’ensemble desisomorphismes de E sur F sera noté Isom (E,F ).

Théorème 2.1.5. SoientE1, E2, ..., En, F

des e.v.n. etu : E1 × E2 × ...× En −→ F

une application multilinéaire. Les assertions suivantes sont équivalentes =(1) u est continue en tout point de E1 × E2 × ...× En.(2) u est continue à l’origine (0, 0, ..., 0) .(3) ‖u(x1, x2, ..., xn)‖ est bornée sur (x1, x2, ..., xn) ; ‖xi‖ ≤ 1, ∀i .(4)

∃M ≥ 0 t.q. ‖u (x1, x2, ..., xn)‖ ≤M ‖x1‖ ‖x2‖ ‖...‖ ‖xn‖ .

Démonstration. (1) =⇒ (2) évident(2) =⇒ (3) Soit

B1 (0) = y ∈ F ; ‖y‖ < 1la boule unité ouverte de F .u étant continue à l’origine

(0, 0, ...0) , u−1 [B1 (0)] ∈ V ((0, 0, ..., 0))

Alors∃r > 0 t.q. ‖xi‖ ≤ r, ∀i =⇒ u ‖(x1, x2, ..., xn)‖ ≤ 1

u étant multilinéaire,

u (α1x1, ..., αnxn) = (α1...αn)u (x1, ..., xn)

et alors, si ‖xi‖ ≤ 1, posant

yi = rxi, on a ‖yi‖ ≤ r, ∀i =⇒ ‖u (y1, ..., yn)‖ ≤ 1.


D’où

‖u (x1, x2, ..., xn)‖ ≤ 1

rn.

(3) =⇒ (4) Comme u vérifie (3), soit

M ≥ 0 t.q. M = sup‖xi‖≤1

‖u (x1, x2, ..., xn)‖ .

On a alors, quels que soient les xi :

‖u (x1, x2, ..., xn)‖ ≤M ‖x1‖ ‖x2‖ ... ‖xn‖ .(Si l’un des xi = 0, l’inégalité est vérifiée ; si xi 6= 0, ∀i, on considère

xi

‖xi‖)

(4) =⇒ (1) Montrons que u est continue en un point arbitraire

a1, a2, ..., an.

Comme

u (x1, x2, ..., xn)− u (a1, a2, ..., an) = u (x1 − a1, x2, ..., xn) +

+u (a1, x2 − a2, x3, ..., xn) + ...+ u (a1, ..., an−1, xn − an) ,

on obtient, en appliquant (4).

‖u (x1, x2, ..., xn)− u (a1, a2, ..., an)‖ ≤M ‖x1 − a1‖ ‖a2‖ ... ‖xn‖+

+M ‖a1‖ ‖x2 − a2‖ ... ‖xn‖+ ...+M ‖a1‖ ‖a2‖ ... ‖an−1‖ ‖xn − an‖Si ‖xi − ai‖ ≤ ε, ∀ i, on a ‖xi‖ ≤ ‖ai‖+ 1, ∀ i.

Posons A = Supi‖ai‖+ 1.

Alors ‖xi‖ ≤ A, ∀ i, et

‖u (x1, x2, ..., xn)− u (a1, a2, ..., an)‖ ≤M An−1

n∑

i=1

‖x1 − a1‖ ≤M An−1nε ≤ ε0

· A peut être choisi indépendamment de ε, mais pas des ai. Donc continuité nonuniformité.· Si n > 1 et u non identiquement nulles u n’est jamais uniformement continue.

Posons ϕ (λ) = λa, ϕ : K −→ E1 × E2 × ...× En

et posonsθ = u ϕ

ϕ est uniformement et si u était uniformement continue, θ le serait aussi.Or θ (λ) = λnu (a) . Soient ε et η donnés. Si λ et λ′ sont assez grands, on peut avoir,

à la fois,

|λ− λ′| ≤ η et |λn − λ′n| ≥ ε donc ‖θ (λ)− θ (λ′)‖ ≥ ε ‖u (a1, ..., an)‖Par hypothèse u 6= 0 donc ∃ a tel que ‖u (a)‖ 6= 0.

Posant ε′ = ε ‖u (a)‖ on a donc nié la condition de continuité uniforme :

∃ ε′,∀ η > 0 ,∃λ, λ′ tel que |λ− λ′| ≤ η et ‖θ (λ)− θ (λ′)‖ ≥ ε′.


Définition 2.1.7.L (E1, E2, ..., En, F )

désigne l’ensemble des applications multilinéaires continues

u : L (E1 × E2 × ...× En −→ F )

on pose‖u‖ = sup

‖x1‖≤1,...‖xn‖≤1

‖u (x1, x2, ..., xn)‖ .

D’après (4) du Théorème E, on a

‖u‖ = inf M ≥ 0 tel que ‖u (x1, ..., xn)‖ ≤M ‖x1‖ ... ‖xn‖ .

De façon analogue au théorème D, si F est un Banach, L (E1, E2, ..., F ) est un Banach.

2.2 E. v. n de dimension finie

Théorème 2.2.1. Sur un e.v.n .E de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.

Démonstration. e1, e2, ..., en sera une base de E et tout vecteur x de E s’écrira

x =n∑

i=1

xiei, xiK.

Nous montrerons que toutes les normes sont équivalentes à une norme, par exemple

‖x‖0 = supi

∣∣xi∣∣ .

Soit ‖·‖ une norme sur E. Il faut prouver l’existence de réels

a, b > 0 tel que a ‖x‖0 ≤ ‖x‖ ≤ b ‖x‖0(a)

‖x‖ =

∥∥∥∥∥

n∑

i=1

xiei

∥∥∥∥∥ ≤n∑

i=1

∣∣xi∣∣ ‖ei‖ ≤ ‖x‖0

n∑

i=1

‖ei‖

et la base étant fixée, on peut choisir

b =n∑

i=1

‖ei‖ .

Donc‖x‖ ≤ b ‖x‖0 .

(b) Nous prouverons la 1ere inégalité par récurrence.· Si dimE = 1, soit e1 une base. Alors,

∀x ∈ E, x = x1e1, x1 ∈ K


‖x‖ =∣∣x1∣∣ ‖e1‖ = ‖x‖0 ‖e1‖

et on peut choisir a = ‖e1‖.· Supposons le théorème vrai pour les e.v. de dimension ≤ n− 1.· Si dimE = n, considérons l’espace M engendré par les n − 1 premiers vecteurs

de la base :M = [e1, e2, ..., en−1] .

De par la récurrences ‖·‖ ∼ ‖.‖0 sur y et si yn est une suite de Cauchy vis à vis de ‖·‖,elle est de Cauchy vis à vis de ‖·‖0. Considérons le i− eme terme

yi = x1i e1 + ...+ xn−1

i en−1

‖ym − ym′‖0 = supj

∣∣xjm − xj

m′

∣∣ −→ 0

=⇒∣∣xj

m − xjm′

∣∣ −→ 0 qd m,m′ −→∞, ∀ j = 1, ...,

et donc xjm est une suite de Cauchy sur K complet, donc converge :

∃x1, x2, ..., xn−1 ∈ K tel que xjm −→ xj ∀ j = 1, 2, ..., n− 1.

D’après la remarque suivant le théorème 21. A. On a

ym

‖·‖−→ y=n−1∑

j=1

xjej.

D’autre part, d’après (a),

ym

‖·‖−→ y=⇒ ym‖·‖−→ y.

Donc, sous l’hypothèse de récurrence nous venons de montrer que M est complet (vis àvis de n’importe quelle norme) et donc M est fermé.

En vertu d’un exercice 1.2. l’ensemble en+M est fermé. Il ne contient pas le vecteurnul (car si 0 ∈ en+M , on pourrait écrire

0 = en + α1e1 + ...+ αn−1en−1,

ce qui est faux). Cela implique que la distance entre 0 et un point x quelconque de en +nest strictement positive. i.e.

∃Cn > 0 tel que ‖x‖ ≥ Cn,

ou, en décomposantx :∥∥en + x1e1 + ...+ xn−1en−1

∥∥ ≥ Cn.

D’où ∥∥xnen + x1e1 + ...+ xn−1en−1

∥∥ ≥ |xn|Cn ∀ xn ∈ K

(car on peut écrire, pour

xn 6= 0,

∥∥∥∥en +x1

xne1 + ...+

xn−1

xn

en−1

∥∥∥∥ ≥ Cn


et pour xn = 0, l’inégalité est évidente).Si, au lieu de considérer M = [e1, e2, ..., en−1] , on avait considéré

M = [e1, e2, ...ei−1, ei+1, ..., en] ,

on serait arrivés à

∃ ci > 0 tel que∥∥x1e1 + ...+ xnen

∥∥ ≥∣∣xi∣∣ ci.

Cette inégalité est donc vraie pour tout i = 1, 2, ..., n. Donc elle est vraie si on remplace|xi| par sup

i|xi| .Alors si

x =n∑

i=1

xiei ∈ E,

on a‖x‖ =

∥∥x1e1 + ...+ xnen

∥∥ ≥ supi

∣∣xi∣∣ ci ≥ sup

i

∣∣xi∣∣ .inf

iCi.

Posanta = inf

iCi,

on obtient‖x‖ ≥ ‖x‖0 · a a > 0.

Corollaire 2.2.1. Tout e.v.n. de dimension finie est complet, i.e. est un Banach.

Corollaire 2.2.2. Si E est un e.v.n. et si M est un s.e.v. de dimension finie, alors Mest fermé.

Corollaire 2.2.3. Toute application linéaire définie sur un e.v.n. de dimension finie estcontinue (donc uniformement continue).

Démonstration.

‖u (x)‖ =

∥∥∥∥∥

n∑

i=1

xiu (ei)

∥∥∥∥∥ ≤ supi

∣∣xi∣∣(

n∑

i=1

‖u (ei)‖)

= ‖x‖0M

donc u est continue pour ‖·‖0 et donc pour toute norme.

Corollaire 2.2.4. Si E est un e.v.n. de dimension finie n et si e1, ..., en est une basede E, l’isomorphisme vectoriel

(x1, ..., xn

)−→ x1e1 + ...+ xnen de Kn

sur E est un homéomorphisme ”uniformément continu”.

Théorème 2.2.2. de F. Riez - Mathématicien Hongrois - 1880− 1956.Soit E un e.v.n. Alors dimE <∞⇐⇒ E est localement compact.


Démonstration. ” =⇒ ”Rn étant localement compact, E l’est aussi.” ⇐= ”E étant localement compact, l’origine 0 a un voisinage dont la fermeture est

compacte. Par homothétie, la boule unité fermée B1(0) est donc compacte B1 [0] est donc

compacte(B1 (0) = B1 [0] .exo1.1

).

S’agissant d’espaces métriques, il existe* une suite fini de points ai (1 ≤ i ≤ n) tel que

B1 [0] ⊂n⋃

i=1

B1/2 (ai) .

Soit M le s.e.v. de dimension finie engendré par les ai. Montrons, par contradiction, queM = E.

Supposons que ∃ y ∈ E, y /∈M . Comme M est fermé (Corollaire 2) , on a d (y,M) =d > 0. Par définition de

d (y,M) , ∃m0 ∈M tel que d ≤ ‖y −M0‖ ≤3

2d.

soit

z =y −m0

‖y −m0‖.

Alors z ∈ B1 [0] et donc ∃i tel que ‖z − ai‖ ≤ 12

or

y = m0 + z ‖y −m0‖ = m0 + ai ‖y −m0‖+ (z − ai) ‖y −m0‖

avecm0 + ai ‖y −m0‖ = m ∈M.

Alors

y −m = (z − ai) ‖y −m0‖ et d = d (y,M) = inf d (y,m) ; m ∈M

impliqued ≤ ‖z − ai‖ ‖y −m0‖ .

D’où

d ≤ 1

2‖y −m0‖ i.e. 2d ≤ ‖y −m0‖

ce qui contedit le choix de m0, puisque d 6= 0.

Théorème 2.2.3. (X, d) est compact il ⇐⇒ est complet et précompact (i.e. ∀ ε > 0, ∃un recouvrement fini de X par des boules ouvertes de diamètre < ε.

2.3 Théorème de Hahn - Banach

Une des astuces pour étudier un système mathématique abstrait est d’examiner l’en-semble de toutes les applications (préservant la structure) de ce système dans un systèmeplus simple du même type. Cela s’est révélé fructueux, par exemples lors de la théorie desreprésentations de groupes.

Pour ce qui est des e.v.n., R et C étant les plus simples, si E est un e.v.n., nousconsidérons E ′ = L (E,K).


Le Théorème de Hahn - Banch nous garantit l’existence de nombreuses formes linéairescontinues définies sur un e.v.n.

Sa démonstration fait appel au Lemme de Zorn.Rappels :· Soit P un ensemble muni d’une relation d’ordre (partiel) notée ≤. On dit qu’un

sous-ensemble Q ⊂ P est totalement ordonné si, pour tout couple a, b de Q on a (au moinsl’une des relations a ≤ b ou b ≤ a.· Soit Q ⊂ P un sous-ensemble de P . On dit que C ∈ P est un majorant de Q si,

pour tout a ∈ Q, on a a ≤ c.· On dit que m ∈ P est un élément maximal de P si, pour tout x ∈ P tel que

m ≤ x, on a nécessairement x = m.· On dit que P est inductif si tout sous-ensemble totalement ordonné de P admet

un majorant.· Lemme (Zorn) :

Tout ensemble ordonné, inductif, non vides admet un élément maximal.

Remarque 2.3.1. Il n’est pas indispensable pour un analyste de connaître la démons-tration du lemme de Zorn (à partir de l’axiome du choix). Mais il est essentiel de biencomprendre l’énoncé et de savoir l’utiliser pour établir certains résultats d’existence.

2.3.1 Le Théorème de Hahn - Banach (Forme analytique)

E désigne un e.v. sur R.

Théorème 2.3.1. Soit p : E −→ R une application vérifiant(1)

p (λx) = λp (x) ∀ x ∈ E, ∀ λ > 0

(2)p (x+ y) ≤ p (x) + p (y) ∀x, y ∈ E

p est dite semi-normeSoit G ⊂ E un s.e.v. et soit g : G −→ R une application linéaire telle que(3)

g (x) ≤ p (x) ∀ x ∈ G.Alors il existe une forme linéaire f définie sur E, qui prolonge g i.e. f (x) =

g (x) ∀x ∈ G et telle que(4)

f (x) ≤ p (x) ∀ x ∈ E.

Démonstration. Soit l’ensemble

P =

h | h : D (h) ⊂ E −→ R avec D (h) s.ev. de E, h linéaire

G ⊂ D (h) , h prolonge g et h (x) ≤ p (x) ∀x ∈ D (h)

P est muni de la relation d’ordre

h1 ≤ h2 ⇐⇒ D (h1) ⊂ D (h2)

et h2 prolonge h1.


P 6= φ car g ∈ P . D’autre part P est inductif. En effet, soit Q ⊂P un sous ensembletotalement ordonné ; on note Q = (hi)i∈I . On définit

D (h) =⋃

i∈I

D (hi) et h (x) = hi (x) si x ∈ D (hi) .

On vérifie que cette définition a bien un sens, que h ∈ P et que h est un majorant de Q.D’après le lemme de Zorn, P admet un élément maximal noté f . Prouvons que D (f) = E.

Supposons que D (f) 6= E. Soit x0 /∈ D (f). Posons

D (h) = D (f) + Rx0

et, pourx ∈ D (f) , h (x+ tx0) = f (x) + tα (t ∈ R)

où α est une constante qui sera fixée utlérieurement de manière à ce que h ∈ P .On doit donc s’assurer que

f (x) + tα ≤ p (x+ tx0) ∀x ∈ D (f) , ∀ t ∈ R

grâce à 1 il suffit de vérifier quef (x) + α ≤ p (x+ x0) ∀ x ∈ D (f)f (x)− α ≤ p (x− x0) ∀ x ∈ D (f)

Autrement dit, choisir α tel que

supy∈D(f)

f (y)− p (y − x0) ≤ α ≤ infx∈D(f)

p (x+ x0)− f (x)

un tel choix est possible puisque

f (y)− p (y − x0) ≤ p (x+ x0)− f (x) ∀ xy∈ D (f)

en effetf (x) + f (y) = f (x+ y) ≤ p (x+ y) ≤ p (x+ x0) + p (y − x0)

grâce à (2).On conclut que f est majorée par h et que f 6= h ; ceci contredit la maximalité de f .

Corollaire 2.3.1. Soit G un e.s.v. de E et soit g : G −→ R une application linéairecontinue, de norme

‖g‖G′ = supx∈G‖x‖≤1

|g (x)| = supx∈G‖x‖≤1

g(x).

Alors ∃ f ∈ E ′ qui prolonge g et tel que

‖f‖E′ = ‖g‖G′

Démonstration. On applique le théorème 2.3.1 avec

p (x) = ‖g‖G′ ‖x‖ .


Corollaire 2.3.2.

∀x0 ∈ E, ∃ f0 ∈ E ′ tel que ‖f0‖ = ‖x0‖ et f0 (x0) = ‖x0‖2

Démonstration. On applique le Corollaire 2.3.1 avec

G = Rx0 et g (tx0) = t ‖x0‖2

de sorte que ‖g‖G′ = ‖x0‖.

2.3.2 Le Théorème de Hahn - Banach (Forme géométrique)

E désigne un e.v.n.

Définition 2.3.1. Un hyperplan (affaire) est un ensemble de la forme

H = x ∈ E ; f (x) = αoù f est une forme linéaire (pas nécessairement continue sur E), non identiquement nulle,et α ∈ R.

On dit que H est un hyperplan d’équation [f = α].

Proposition 2.3.1. L’hyperplan d’équation [f = α] est fermé ⇐⇒ f est continue.

Démonstration. ⇐= évident=⇒ Hc est ouvert et non vide (puisque f 6= 0). Soit x0 ∈ Hc et supposons que

f (x0) < α (on peut supposer f (x0) > α. Ce serait pareil)Soit r > 0 tel que

Br (x0) ⊂ Hc où Br (x0) = x ∈ E; ‖x− x0‖ < r .Alors (∗)

f (x) < α ∀x ∈ Br (x0)

En effet, supposons que f (x1) > α pour un certain

x1 ∈ Br (x0) .

Le segmentxt = (1− t)x1 + tx0 ; t ∈ [0, 1]

est contenu dans Br (x0) et donc

f (xt) 6= α ∀ t ∈ [0, 1] .

Par ailleurs f (xt) = α pour

t =f (x1)− α

f (x1)− f (x0),

ce qui est absurde.Il résulte de (∗) que

f(x0 + rz) < α ∀ z ∈ B1 (0) .

Par conséquent f est continue et

‖f‖ ≤ 1

r(α− f (x0)) .


Définition 2.3.2. Soit A ⊂ E,B ⊂ E. On dit que l’hyperplan H d’équation [f = α]sépare A et B au sens large si

f (x) ≤ α ∀ x ∈ A et f (x) ≥ α ∀ x ∈ B.

On dit que H sépare A et B au sens strict s’il existe ε > 0 tel que

f (x) ≤ α− ε ∀ x ∈ A et f (x) ≥ α+ ε ∀ x ∈ B.

Théorème 2.3.2. (1ère forme géométrique)Soient A ⊂ E et B ⊂ E deux ensembles convexes, non vides et disjoints. On suppose

que A est ouvert. Alors il existe un hyperplan fermé qui sépare A et B au sens large.

La démonstration est basée sur les 2 lemmes suivants :

Lemme 2.3.1. Jauge d’un convexeSoit C ⊂ E un convexe ouvert avec O ∈ C.Pour tout x ∈ E on pose

p (x) = infα > 0;α−1x ∈ C

.

(On dit que P est la jauge de C).Alors P vérifie (1) et (2) du Théorème 2.3.1.De plus (i) ∃ M tel que 0 ≤ p (x) ≤M ‖x‖ ∀ x ∈ E(ii)

C = x ∈ E ; p (x) < 1 .Démonstration. i Soit r < 0 tel que Br (0) ⊂ C. Par définition de P :

x

p (x)∈ C et r ≤ ‖x‖

p (x)∀x ∈ E

ou encore

p (x) ≤ 1

r‖x‖ ∀ x ∈ E.

(i) C’est évident(ii) Supposons que x ∈ C ; comme C est ouvert, (1 + ε)x ∈ C pour ε assez petit

donc

p (x) ≤ 1

1 + ε< 1

Inversement, sip (x) < 1, ∃ 0 < α < 1

tel que α−1x ∈ C. Doncx = α

(αx−1

)+ (1− α) 0

(2) Soit ε > 0. D’après (1) et (ii) on sait que

x

p (x) + ε∈ C et

y

p (y) + ε∈ C.

Donctx

p (x) + ε+

(1− t) yp (y) + ε

∈ C ∀ t ∈ [0, 1]


En particulier pour

t =p (x) + ε

p (x) + p (y) + 2εon obtient

x+ y

p (x) + p (y) + 2ε∈ C

grâce à (1) et (ii) on déduit

p (x+ y) < p (x) + p (y) + 2ε, ∀ ε.

D’où le résultat.

Lemme 2.3.2. Soit C ⊂ E un convexe ouvert non vide et soit x0 ∈ E avec x0 /∈ C.Alors

∃ f ∈ E ′ tel que f (x) < f (x0) ∀x ∈ C.En particulier l’hyperplan d’équation [f = f (x0)] sépare x0 et C au sens large.

Démonstration. Par translation on peut toujours supposer que 0 ∈ C et introduire lajauge de C notée p. On considère G = Rx0 et la forme linéaire g définie sur G par

g (tx0) = t, t ∈ R.

Il est clair queg (x) ≤ p (x) ∀x ∈ G

(prendre x = tx0 et distinguer les cas t > 0 et t ≤ 0)Grâce au théorème 3.A, il existe une forme linéaire f sur E, qui prolonge g, et telle

quef (x) ≤ p (x) ∀x ∈ E.

· En particulier, on af (x0) = g (1x0) = 1.

On déduit de (ii) que f (x) < 1 pour x∈ C donc f(x)f(x0) x ∈ C.· f est continue grâce à (i).

Démonstration du théorème 2.2.1. :On pose C = A−B de sorte que C est convexe.C est ouvert (noter que C =

⋃y∈B

(A− y) et 0 /∈ C (puisque A ∩B = φ).

D’après le lemme 2, ∃ f ∈ E ′ tel que f (z) < 0 ∀ z ∈ Ci.e.

f (x) < f (y) ∀x ∈ A, ∀ y ∈ B.On fixe α ∈ R avec

supx∈A

f (x) ≤ α ≤ infy∈B

f (y) .

Théorème 2.3.3 (2ème forme géométrique). Soient A ⊂ E et B ⊂ E deux en-sembles convexes, non vides, disjoints. On suppose A fermé, B compact. Alors il existeun hyperplan fermé qui sépare A et B au sens strict.


Démonstration. Pour ε > 0, on pose

Aε = A+Bε (0) , Bε = B +Bε (0) .

Alors Aε et Bε sont convexes, ouverts et non vides. De plus, pour ε > 0 assez petit, Aε etBε sont disjoints. (Sinon on pourrait trouver des suites

εn −→ 0, xn ∈ A, yn ∈ B telles que ‖xn − yn‖ < 2εn ;

on pourrait ensuite extraire une sous-suite

yn −→ y ∈ A ∩B.

D’après le théorème 2.3.1, il existe un hyperplan fermé d’équation [f = α] qui sépare Aε

et Bε au sens large. On a donc

f (x+ εz) ≤ α ≤ f (y + εz) ∀ x ∈ A, ∀ y ∈ B, ∀ z ∈ B1 (0) .

Il en résulte que

f (x) + ε ‖f‖ ≤ α ≤ f (y)− ε ‖f‖ ∀ x ∈ A, ∀ y ∈ B.

On conclut que A et B sont séparés au sens strict par l’hyperplan [f = α], puisquef 6≡ 0

Corollaire 2.3.3. Soit F un s.e.v. tel que F 6= E. Alors ∃ f ∈ E ′, f 6= 0, tel quef (x) = 0 ∀ x ∈ F .

Démonstration. Soitx0 ∈ E, x0 /∈ F .

On applique le théorème avecA = F , B = x0 .

Donc∃ f ∈ E ′, f 6= 0,

tel que l’hyperplan d’équation [f = α] séparé, au sens strict,

F et x0 : f (x) < α < f (x0) ∀ x ∈ F.

D’où f (x) = 0 ∀ x ∈ F puisque λf (x) < α pour tout λ ∈ R.

2.3.3 Théorèmes de l’application ouverte, du graphe fermé, deBanach

Lemme 2.3.3. Soient E,F deux Banach, u ∈ L (E,F ), surjective.Alors

∀ r > 0, ∃ δ > 0 tel que BFδ (0) ⊂ u (BE

r (0)).


Démonstration. Soit r > 0, considérons les boules homothétiques

BEr (0) , BE

nr (0) = nBEr (0) .

PosonsFn = u (nBE

r (0)) = nu (BEr (0)), n ∈ N

u étant surjective,∞⋃

n=1

Fn = F et alors, F étant complet, en vertu du théorème de Baire,

∃n0 tel que Fn0= n0

0

u (BEr (0)) 6= φ.

Par homothétie on peut supprimer n0

0

u (BEr (0)) 6= ∅, i.e. ∃BF

a (y0) telle que BFa (y0) ⊂ u (BE

r (0)).

u(BE

r (0))

est convexe, symétrique, ainsi que sa fermeture et donc y0 ∈ u (BEr (0)).

Or si un ensemble M est convexe, on a M +M ⊂ 2M . Appliquant ce résultat,

BFa (0) = BF

a (y0)− y0 ⊂ 2u (BEr (0))

ou encore1/2B

Fa (0) = BF

a2

(0) ⊂ u (BEr (0)).

Rappel : Théorème de BaireSoit (X, d) complet. Soit Xnn≥1 une suite de fermés tel que

∞⋃

1

Xn = X.

Alors ∃ n0 tel que Xn06= φ.

Lemme 2.3.4. Soient E,F deux Banach, u ∈ L (E,F ) vérifiant

∀ r > 0, 0 tel que BFδ (0) ⊂ u (BE

r (0))− Alors BFδ2

(0) ⊂ u(BE

r (0)).

Démonstration. Par hypothèse et par homothétie, on a

BFδ

2n(0) ⊂ u

(BE

r2n

(0)).

Posant

δn =δ

2n, rn =

r

2n, BE

δn(0) ⊂ u

(BE

rn(0)).

Soit y ∈ BFδ1

(0), alors

y ∈ u(BE

21(0))

et donc∀ δ2 ≥ 0, ∃ x1 ∈ BE

r1(0) tel que ‖y − u (x1)‖ ≤ δ2.


Alorsy − u (x1) ≤ BF

δ2(0) ⊂ u

(BE

r2(0))

et donc∀δ3 ≥ 0, ∃x2 ∈ BE

r2(0) tel que ‖[y − u (x1)]− u (x2)‖ ≤ δ3

etc... on construit ainsi une suite xn tel que

xn ∈ BErn

(0) et ‖[y − u (x1)]− u (x2) ...− u (xn)‖ ≤ δn+1. (∗)

Posons sn =∑n

i=1 xi. Alors sn est une suite de Cauchy car ‖xn‖ <r

2n.

E étant complet, elle converge vers un point x ∈ E. Mais

‖sn‖ ≤n∑

i=1

‖xi‖ ≤n∑

i=1

r

2i≤ r.

Donc‖x‖ = ‖lim sn‖ = lim ‖sn‖ ≤ r et x ∈ BE

r (0) .

u étant linéaire et continue, en prenant la limite dans (∗), on obtient :

‖y − u (x)‖ ≤ 0 =⇒ y = u (x) =⇒ BFδ1

(0) . = BFδ2

⊂ u(BE

r (0)).

Théorème 2.3.4 (de l’application ouverte). Soient E,F deux Banach, u ∈ L (E,F )surjective.

Alors u est une application ouverte.

Démonstration. Soit 0 un ouvert de E.· 0 = φ - Comme u (φ) = φ, u (φ) est un ouvert.· 0 6= φ alors u (0) 6= φ. Par hypothèse tout y ∈ u (0) est l’image u (x) d’un point

x ∈ 0. 0 étant ouvert,

∃BEr (x) donc u

(BE

r (x))⊂ u (0) .

Oru (x) +BF

δ/2 (0) ⊂ u (x) + u(BE

r (0))

ou encore BFδ2

⊂ u(BE

r (x)).

Alors∀ y ∈ u (0) , ∃BF

δ/2 (y) ⊂ u (0) i.e. u (0)

est ouvert.

Corollaire 2.3.4 (Théorème de Banach). Soient E,F deux Banach, toute applicationlinéaire continue bijective u : E −→ F est un homéomorphisme.

Théorème 2.3.5 (du graphe fermé). Une application linéaire u du dans le BanachF est continue ⇐⇒ son graphe est fermé dans E × F .


Démonstration. GrapheG de u = le sous-ensmble de E×F fermé par les couples (x, u (x)).⇐= Soit E l′e.v.E ”renormé” par ‖x‖′ = ‖x‖ + ‖u (x)‖ (on utilise le même ‖·‖

pour E et F .Comme

‖u (x)‖ ≤ ‖x‖+ ‖u (x)‖ = ‖x‖′ , u : E −→ F

est continue. Donc il suffit de montre que E et E ont la même topologie. L’applicationidentité i : E −→ E est continue car

‖i (x)‖ = ‖x‖ ≤ ‖x‖+ ‖u (x)‖ = ‖x‖′ .

Si nous parvenons à montrer que E est complet, le corollaire précédent nous garantiraque i est un homéomorphisme.

Soit donc xn une suite de Cauchy dans E :

∀ ε > 0, ∃n ∈ N tel que p, q ≥ n =⇒ ‖xp − xq‖′ = ‖xp − xq‖+ ‖u (xp)− u (xq)‖ ≤ ε

Alors xn et u (xn) sont aussi des suites de Cauchy dans E et F , donc convergent et

∃x ∈ E, y ∈ F tel que limn→∞

‖xn − x‖ = 0, limn→∞

‖u (xn)− y‖ = 0.

Le graphe G de u étant fermé, on a

(x, y) ∈ G i.e. y = u (x) .

Le fait que E est complet, résulte de :

‖xn − x‖′ = ‖xn − x‖+ ‖u (xn − x)‖ = ‖xn − x‖+ ‖u (xn)− y‖ −→ 0

=⇒ Montrons que tout point d’accumulation (x0, y0) de G appartient à G. Il existeune suite de points (xn, u (xn)) de G qui converge vers (x0, y0) , i.e.

‖(xn, u (xn))− (x0, y0)‖ = ‖(xn − x0, u (xn)− y0)‖ −→ 0

ou encore

‖xn − x0‖+ ‖u (xn)− y0‖ ‖·‖1−→ 0.

(Rappel : ‖·‖1 = Définition §1) norme définie sur E × F .Ce qui implique

limn→∞

xn = x0, limn→∞

u (xn) = y0.

Mais u est continue et donc

limn→∞

u (xn) = u( limn→∞

(xn)) = u (x0) = y0 et donc (x0, y0) ∈ G.

Lemme 2.3.5. Soit E un Banach, soit u ∈ L (E) tel que ‖u‖ < 1. Alors i − u a uninverse dans l’algèbre de Banach L (E) ,

(i− u)−1 = i+ u+ u2 + ...+ un + ...


Démonstration. La série∑∞

n=0 un est absolument convergente car∑∞

n=0 ‖un‖ ≤∑∞

n=0 ‖u‖n

avec ‖u‖ < 1.Soit v =

∑∞n=0 un. Comme u commute avec chaque un, il commute avec v.

On note v u = vu. D’où

vu = uv = u∞∑

n=0

un =∞∑

n=0

un+1 =∞∑

n=1

un = v − i.

Doncv (i− u) = (i− u) v = i

et doncv = (i− u)−1 .

Théorème 2.3.6. Soient E,F deux Banacha) Isom (E,F ) est un ouvert de L (E,F )b) L’application u −→ u−1 de Isom (E,F ) dans L (E,F ) est continue.

Démonstration. a) · Isom (E,F ) = φ, c’est un ouvert.· Isom (E,F ) 6= φ, soit u0 ∈ Isom (E,F ) . Pour tout u ∈ L (E,F ), posons

u−10 u = 1− v : E −→ E.

Alors

v = 1− u−10 u = u−1

0 u0 − u−10 u = u−1

0 (u0 − u) et ‖v‖ ≤ u−10 ‖u0 − u‖ .

Choissonsu ∈ B 1

‖u−10 ‖

(u0)(∥∥u−1

0

∥∥ 6= 0).

Alors‖u− u0‖ ≤ 1

‖u−1

0 ‖ . Donc ‖v‖ < 1 et donc ∃ (1− v)−1 en vertu du lemme 2.3.5

or u = u0 (1− v) - on obtient

∃ u−1 = (1− v)−1 u−10 et u ∈ Isom (E,F )

on a bienB 1

‖u−10 ‖

(u0) ⊂ Isom (E,F ) ,

d’où le résultat.b)

u−1 − u−10 = (i− v)−1 u−1

0 − u−10 =

[(i− v)−1 − i

]u−1

0 =

(∞∑

n=1

vn

)u−1

0

∥∥u−1 − u−10

∥∥ ≤∥∥∥∥∥

∞∑

n=1

vn

∥∥∥∥∥∥∥u−1

0

∥∥ ≤[

∞∑

n=1

‖vn‖]∥∥u−1

0

∥∥ ≤ ‖v‖1− ‖v‖u

−10 car ‖v‖ < 1

orv − i− u−1

0 u −→ 0 si u −→ u0.

Doncu−1 −→ u−1

0 si u −→ u0.


2.3.4 Le théorème de Banach - Steinhaus

Théorème 2.3.7. Soient E,F deux Banach,

ui ∈ L (E,F ) , i ∈ I (non nécessairement dénombrable), tels que

supi∈I‖ui (x)‖ <∞ ∀x ∈ E. (1)

Alorssupi∈I‖ui‖ <∞ (2)

autrement dit, ∃ C constante telle que

‖ui (x)‖ ≤ C ‖x‖ ∀x ∈ E, ∀ i ∈ I.

Démonstration. · Remarquons d’abord le contenu du théorème : ”A partir d’estima-tions ponctuelles, on déduit une estimation uniforme”.· Pour chaque n ≥ 1, posons

Xn = x ∈ E; ∀ ∈ iI, ‖ui (x)‖ ≤ n

de sorte que Xn est fermé - grâce à (1) on a

∞⋃

n=1

Xn = E.

Il résulte du théorème de Baire que ∃ n0 tel que Xn06= φ.

Soient doncx0 ∈ E, r > 0 tel que Br (x0) ⊂ Xn0

.

Alors‖ui (x0 + rz)‖ ≤ n0 ∀ i ∈ I, ∀ z ∈ B1 (0) .

Par conséquentr ‖ui‖ ≤ n0 + ‖uix0‖ .

D’où (2) ..

2.4 Fonctions numériques semi-continues inférieure-

ment (s.c.i.)

Définition 2.4.1. On appelle fonction numérique définie sur un ensemble E toute appli-

cation de E dans R

Notation : F(E,R

)

Si E est un espace topologique et VE une base de voisinages sur E on définit l’adhérencede f suivant VE par

f (V) =⋂

V ∈VE

f (V ) .

Comme la famille des f (V ) possède la propriété de l’∩ finie et comme R est compact,f (VE) n’est pas vide dans R et donc on peut définir.


Définition 2.4.2. On appelle limite supérieure (inférieure) de f suivant la base de voi-sianges V, la borne supérieure (inférieure) de l’ensemble f (VE) .

Notation,limVE

f ou lim supVE

f, limVE

f ou lim infVE

f.

Rappel :· Une famille Ai d’ensembles possède la propriété de l’intersection finie si toute

sous famille finie a une ∩ non vide.· X compact ⇐⇒ toute famille Fi de fermés de X qui possède la propriété de

l’∩ finie a, elle même, une ∩ non vide.· f (Ai) ⊆ ∩f (Ai).

Lemme 2.4.1. Soit f une application d’un espace topologique E dans un compact X.Soit V une base de voisinages sur E et soit f (V). Alors pour tout ouvert ω de X tel que

f (V) ⊆ ω,∃V ∈ V

tel que f (V ) ⊂ ω.

Les traces des fermés f (V ) sur le compact ωC ont pour intersection f (V) ∩ ωC = ∅.Donc ∃ une sous famille finie f (Vi)i,=1−,n donc l’intersection ne rencontre par ωC .Or

∃V ∈ V tel que V ⊂n⋂

i=1

Vi.

C’est le V cherché.Rappel :

Soit E un espace topologique, f ∈ F(E,R

)

f est continue en α ∈ E ⇐⇒∣∣∣∣∀λ < f (a) ,∃V ∈ VE (a) tel que λ < f (V )∀λ > f (a) ,∃V ′ ∈ VE (a) tel que λ > f (V ′)

quand on ne retient que l’une de ces conditions, on est conduit à la notion de semi-continuité.

Définition 2.4.3. · Soit E un espace topologique et soit f ∈ F(E,R

). On dit que f

est s.c.i. en a ∈ Esi, pour tout

λ < f (a) ,∃V ∈ VE (a) tel que λ < f (V )

ou enoref (V ) ⊂ ]λ,+∞]

· Lorsque cette condition est réalisée pour tout a ∈ E, f est dite s.c.i. dans E.Il est équivalent de dire que pour tout

λ < f (a) , f−1 (]λ,+∞])

est un voisinage de a.


Remarque 2.4.1. On dit que f : E −→ R admet un minimum relatif en a s’il existeV ∈ V (a) tel que f (x) ≥ f (a) pour tout x ∈ V .

Une telle fonction est s.c.i. en a vu que

f (V ) ⊂ [f (a) ,+∞] .

Cette remarque montre : dans des problèmes de minimisation, des hypos de semi-continuitésont naturelles.

Proposition 2.4.1. f est s.c.i. en

a ⇐⇒ f (a) = limx→α

f (x)

Démonstration. =⇒ Soit λ < f (a). Alors ∃V ∈ V (a) tel que λ < f (V ). Alors λ ≤ f (V ).D’où λ ≤ lim

x→af (x).

Comme cette inégalité a lieu pour tout f .Mais

f (a) ∈ f (V ) ,∀V, donc f (a) ≥ limx→a

f (x) .

⇐= Pour tout λ < f (a), il existe, d’après le lemme,

V ∈ V (a) tel que λ < f (V ) .

Proposition 2.4.2. f est s.c.i. en

a⇐⇒ ∀λ ∈ R, x, f (x) ≤ λ

est fermé.f s.c.i. en a⇐⇒ ∀λ < f (a), l’ensemble x : λ < f (x) est un voisinage de a.

Exemple :Soit A une partie d’un espace topologique et soit χA la fonction caractéristique de A.On a

χ−1A (]λ,+∞[) =

∣∣∣∣∣∣

X si α < 0A si 0 ≤ α ≤ 1φ si 1 ≤ α

Donc χA est s.c.i.⇐⇒ A est ouvert.

Définition 2.4.4.epi (f) =

(x, y) ∈ E × R ; y ≥ f (x)

=

les points de E × R situés au dessus du graphe de f .

epi (sup fi) =⋂

i

epi (fi) ∀i

epi (inf fi) =⋃

i

epi (fi) quand I est fini

(≥) quand I infini.


Proposition 2.4.3. f : E −→ R est s.c.i.⇐⇒ epi (f) est fermé dans E × R

Démonstration. ⇐= epi (f) fermé ⇐⇒ C (epi (f)) est ouvert i.e. voisinage de chacun deses points.

=⇒ f s.c.i.⇐⇒ pour tout couple (a, λ) tel que λ < f (a) (i.e. (a, λ) ∈ C epi (f)) etpour tout µ vérifiant λ < µ < f (a) on a µ < f (x) pour tout x ∈ V ∈ V (a).

Autrement dit⇐⇒ ∃ un voisinage de (a, λ) [qui est V × [−∞, µ[] contenu dans C epi (f).

Proposition 2.4.4. L’enveloppe supérieure f = supi∈I

fi de toute famille (fi) de fonction

s.c.i. est s.c.i.L’enveloppe inférieure g = inf

i∈Ifi de toute famille finie (fi).

Conséquence immédiate de 0.2.4 et des formules qui la précèdent L’enveloppe supérieure de toute famille de fonction contenues est s.c.i.

Proposition 2.4.5. Si E est compact et si f est s.c.i. alors f atteint sa borne inférieuresur E.

i.e.∃a ∈ E tel que f (a) = inf

i∈Ef (x) .

Démonstration. · Posons m = infi∈Ef (x). Pour tout

λ > m, Eλ = x; f (x) ≤ λ

est fermé (0.2.3.) et non vide (λ > m). La famille des Eλ est totalement ordonnée parinclusion car Eλ est fonction ր de λ. Donc (propriété de l’∩ finie pour un compact l’∩des Eλ n’est pas vide.

En tout point a de cette ∩ on a f (a) ≤ λ pour tout λ > m d’où f (a) ≤ m.· Comme f ≥ m par definition de m, on a f (a) = m.

Corollaire 2.4.1. Toute fonction s.c.i. d’un compact E dans ]−∞,+∞] est minorée dansE.

On am = f (a) > −∞ donc f ≥ f (a)−∞.

On suppose dans la suite que E. est un e.v.n. et on considère

ϕ : E −→ ]−∞,+∞] et D (ϕ) = x ∈ E; ϕ (x) < +∞ .

Définition 2.4.5. · Si ϕ ne prend jamais la valeur −∞ et si elle n’est pas identiqueà +∞, elle est dite stricte.· On définit

ϕ∗ : E ′ −→ ]−∞,+∞] par ϕ∗ (f) = supx∈E

f (x)− ϕ(x)

, f ∈ E ′

ϕ∗ est dite conjuguée ou duale de ϕ au sens de Moreau.


· La théorie de ces fonctions duales est fondamentale en Mécanique, en Economie.· ϕ∗ est convexe, s.c.i. sur E ′ : pour chaque x ∈ E fixé, l’application f f (x)−

ϕ(x) est convexe et continue. Donc l’enveloppe supérieure de ces fonctions (quand x par-court l’ensemble l’indices E est convexe et s.c.i. (voir ).· ϕ ≥ f − c ⇐⇒ ϕ∗ (f) ≤ c où c ∈ R donc la plus petit constante c tel que

f − c ≤ ϕ est c = ϕ∗ (f).ou encore : la plus grande fonction affine continue ”parallèle à f ”, i.e. ”de la forme

f − c”, qui soit ≤ ϕ estf − ϕ (∗f) : x f (x)− ϕ∗ (f) .

· ϕ∗ n’est jamais égale à −∞⇐⇒ ϕ 6≡ +∞.Fonctions duales au sens de Moreau

Proposition 2.4.6. Soit E un e.v.n., ϕ : E −→ ]−∞,+∞] tel que ϕ 6≡ +∞. Alorsϕ∗ 6≡ +∞ convexe s.c.i.

Démonstration. Soit x0 ∈ D (ϕ) et soit λ0 < ϕ (x0). On applique le théorème de Hahn-Banach (2e forme géométrique) dans l’espace E×R avec A = epi (ϕ) et B = (x0, λ0). Ilexiste donc un hyperplan fermé H dans E ×R d’équation [φ = α] qui sépare strictementA et B.

Noter que l’application x ∈ E φ ((x, 0)) est une forme linéaire continue sur E etdonc φ ((x, 0)) = f (x) pour un certain f ∈ E ′.

Posant k = φ ((0, 1)), on a φ ((x, λ)) = f (x) + kλ ∀ (x, λ) ∈ E × R.Ecrivant φ > α sur A et φ < α sur B, on obtient

et

∣∣∣∣f (x) + kλ > α ∀ (x, λ) ∈ Af (x0) + kλ0 < α

En particulierf (x) + kϕ (x) > α ∀x ∈ D (ϕ)

et doncf (x0) + kϕ (x0) > α > f (x0) + kλ0

d’où k > 0. On déduit

−1

kf (x)− ϕ (x) < −α

k∀x ∈ D (ϕ) .

D’où

ϕ∗

(−1

kf

)< +∞.

Définition 2.4.6. Lorsque ϕ∗ 6≡ +∞, on définit

ϕ∗∗ : E −→ ]−∞,+∞] par ϕ∗∗(x) = sup

f∈E′

f (x)− ϕ∗ (f) .

Proposition 2.4.7 (Théo. de Fenchel - Moreau). On suppose convexe, s.c.i., ϕ 6≡ +∞.Alors ϕ∗∗ = ϕ.


Démonstration. 1ere étape : On suppose ϕ ≥ 0. D’abord il est clair que ϕ∗∗ ≤ ϕ : eneffet ; d’après la définition de ϕ∗ on a

f (x) ≤ ϕ (x) + ϕ∗ (f) ∀x ∈ E, ∀f ∈ E ′.

Pour prouver que ϕ∗∗ = ϕ on raisonne par l’absurde et on suppose que ∃x0 ∈ E tel que

ϕ∗∗ (x0) < ϕ (x0) .

Eventuellement on a ϕ (x0) = +∞. Mais on a toujours ϕ∗∗ (x0) < +∞.On applique le théorème de Hahn Banach, 2eme forme géométrique, dans E × R avec

A = epi (ϕ) et B = (x0, ϕ∗∗ (x0)) .

Il existe donc, comme dans 1.5.1.,

f ∈ E ′, k ∈ R, α ∈ R

tel que(1) f (x) + kλ > α ∀ (x, λ) ∈ epi (ϕ)(2) f (x0) + kϕ∗∗ (x0) < α.Il en résulte que k ≥ 0 (choisir dans (1) , x ∈ D (ϕ) et λ = n −→ ∞. Ici, on ne

peut conclure que k > 0. On pourrait avoir k = 0, ce qui correspondrait à un hyperplan”Vertical” dans E × R.

Soit ε > 0. Comme ϕ ≥ 0, on a grâce à (1) :

f (x) + (k + ε)ϕ (x) ≥ α ∀x ∈ D (ϕ) .

D’où

ϕ∗

(− f

k + ε

)≤ − α

k + ε.

D’après la définition de ϕ∗∗(x0), il vient

ϕ∗∗(x0) ≥ −

f (x0)

k + ε− ϕ∗

(− f

k + ε

)≥ −f (x0)

k + ε+

α

k + ε.

Par suitef (x0) + (k + ε)ϕ∗∗ (x0) ≥ α ∀ε > 0,

ce qui contredit 2.2eme étape : Soit f0 ∈ D (ϕ∗) (d’après la proposition 1.5.1., D (ϕ∗) 6= φ).¨Pour

se ramener à la 1ere étape, on introduit

ϕ (x) = ϕ (x)− f0 (x) + ϕ (∗f0) ,

de sorte que ϕ est convexe, s.c.i., ∞+ et ϕ ≥ 0grâce à la 1ere étape on sait que (ϕ)∗∗ = ϕ

(ϕ)∗ (f) = supx∈Ef (x)− ϕ(x) = sup

f∈E(f (x)− ϕ(x)) + f0 (x)− ϕ∗ (f0) = ϕ∗ (f + f0)−ϕ∗ (f0)

(ϕ)∗∗ (x) = supf∈E′

f (x)− (ϕ)∗ (f) = supf∈E′

f (x)− ϕ∗ (f + f0) + ϕ∗ (f0)


2.5 Somme directe topologique

Définition 2.5.1. Etant donné un e.v. E et deux s.e.v. E1 et E2 de E, on dit que E estsomme directe algébrique de E1 et E2, et on écrit E = E1⊕E2 si tout x ∈ E s’écrit d’unemanière et d’une seule sous la forme

x = x1 + x2 où x ∈ Ei.

· On notera que cette définition est équivalente à la suivante E1 ∩ E2 = 0 etE1 ∪ E2 engendre E.· L’unicité de la décomposition permet de définir des applications pi : E −→ Ei

telles que p(x)i = xi, dites projecteurs de E sur Ei, linéaires surjectives.

Définition 2.5.2. Un e.v.n. E est la somme directe topologique de deux sous-espacesE1 et E2 si E est la somme directe algébrique de E1 et E2 et si les projections pi sontcontinue.

· Etant donné que p1 +p2 = iE, la continuité de l’un des projecteurs implique cellede l’autre.· E1 et E2 sont nécessairement fermés

(E1 = Ker p2, E2 = Ker p1) .

↑ Dans le cas général d’e.v.t. on se gardera de croire que des supplémentaires algébriquesfermés sont nécessairement des supplémentaires topologiques.

Mais cela est vrai quand E est un Banach (en fait un Frêchet) (T.D. ex 9).

Proposition 2.5.1. Soit E un e.v.n. somme directe algébrique de deux sous-espaces E1

et E2.Alors sont équivalents :(i) La somme directe est topologique(ii) L’application

p : x (p1(x), p2(x))

est un isomorphisme topologique de E sur E1 × E2.(iii) Si π désigne la surjection canonique de E sur EE1, l’application π|E2

estun isomorphisme topologique de E2 sur EE1.

Démonstration. (i)⇐⇒(ii) p est une bijection linéaire dont la bijection réciproque

(x1, x2) ∈ E1 × E2 x1 + x2 ∈ E

est continue en tant que restriction à E1 × E2 de l’addition

(x, y) ∈ E × E x+ y ∈ E.

La continuité des applications pi est équivalente à celle de p = p1, p2, qui est alors unisomorphisme de

E1 ⊕ E2 sur E1 × E2.

(i)⇐⇒(iii) La surjection π : E −→ EE1 étant continue, l’application πE2 estcontinue.


On observe ensuite que

π = (π|E2) p2 : soit x = x1 + x2, on a π (x) = π (x2) et p2(x) = x2.

Notons q la bijection réciproque de la bijection π|E2.

On a alors p2 = q π. La continuité de q équivaut à la continuité de p2 (évident) cequi prouve le résultat voulu.

Corollaire 2.5.1. Dans EE1 est séparé de dimension finie (Si π est la surjection cano-nique de E sur E1E1, alors l’application πE2 est un isomophisme de E2 sur E1E1).

L’application linéaireq = (π|E2

)−1 : EE1 −→ E2

est donc continue et on conclut grâce à la proposition 1.6.1.

Remarque 2.5.1. Si H est un hyperplan fermé (hyperplanDef⇐⇒ sous-espace de

co-dimension 1).On en déduit que, pour tout

a ∈ E −H, E = H ⊕Ka

où la somme directe est topologique.On montre facilement queTout sous-espace G de dimension finie admet un supplémentaire topologique.Soit e1, . . . , en une base de G. Tout x ∈ G s’écrit

x =n∑

i=1

xiei.

On pose ϕi (x) = xi et on utilise le corollaire précédent.

Chap

itre

3 Topologies Faibles

Sommaire3.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.2 Définition et propriétés élémentaires de la topologie faibleσ (E, E′) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.3 La topologie faible ∗σ (E′, E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.4 Espaces réflexifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.1 Rappels

Soit X un ensemble, soit (Yi)i∈I une famille d’espaces topologiques. Pour chaque i ∈ I,on se donne une application ϕi : X −→ Yi.

Problème 1 :Munir X d’une topologie qui rende continues toutes les (ϕi)i∈I . Si possible la topologie

τ la moins fine (la ”plus économique”).Soit ωi ⊂ Yi un ouvert. Alors ϕ−1

i (ωi) est nécessairement un ouvert ∈ τ .Quand ωi décrit la famille des ouverts de Yi et que i décrit I, les ϕ−1

i (ωi) constituentune famille de sous-ensembles de X qui sont nécessairement des ouverts de τ .

Désignons cette famille par Uλλ∈Λ. On est ramené au problème suivant :Problème 2 :Construire la famille F de sous-ensembles de X, la plus économique possible, qui soit

stable par⋂finie

et⋃

quelconque

et telle que Uλ ∈ F pour tout λ ∈ Λ.

Réponse : On considère d’abord les intersections finies i.e.⋂

λ∈Γ

Uλ, Γ ⊂ Λ,Γ fini

on obtient ainsi une famille φ de sous-ensembles de X, stable par⋂finie

. On considère ensuite

la famille F des⋃

quelconques

d’éléments de φ.

=⇒ Etant donné x ∈ X, on obtient une base de voisinages de x pour τ en considérantles ensembles de la forme

⋂

finie

ϕ−1i (Vi) où Vi ∈ VYi

(ϕi (x)) .

Rappelons quelques propriétés de cette topologie :

75

CHAPITRE 3. TOPOLOGIES FAIBLES 76

Proposition 3.1.1. Soit (xn) une suite de X. Alors

xn −→ x⇐⇒ ϕi (xn) −→ ϕi (x) ∀i ∈ I..

Démonstration. =⇒ Si xn −→ x alors

ϕi (xn) −→ ϕi (x) ∀i ∈ I

puisque chaque ϕi est continue.⇐= Soit U ∈ V (x). D’après ce qui précède, on peut toujours supposer que U est de

la formeU =

⋂

i∈I

ϕ−1i (Vi) , J ⊂ I, J fini.

Pour chaque i ∈ J, ∃Ni tel que ϕi (xn) ∈ Vi pour n ≥ Ni. Soit N = Maxi∈J

Ni on a donc

xn ∈ U pour n ≥ N .

Proposition 3.1.2. Soit Z un espace topologique et soit ψ : Z −→ X.Alors ψ est continue ⇐⇒ ϕi ψ est continue de Z dans Yi pour chaque i ∈ I.

Démonstration. =⇒ Evident⇐= Soit U un ouvert de X. Montrons que ψ−1 (U) est un ouvert de Z.On sait que U est de la forme U =

⋃quelconques

⋂finie

ϕ−1i (ωi) avec ωi ouvert de Yi.

Par conséquent

ψ−1 (U) = ∪ ∩ ψ−1[ϕ−1

i (ωi)]

= ∪ ∩ (ϕi ψ)−1 (ωi)

et c’est un ouvert de Z puisque chaque ϕi ψ est continue.

3.2 Définition et propriétés élémentaires de la topologie

faible σ (E,E ′)

Il est regrettable que la boule unité d’un Banach E de dimension infinie ne soit pascompacte (Théorème de F. Riesz). On introduit une topologie affaiblie, notée σ (E,E ′) etpour laquelle la boule unité de E (quand E est réflexif et c’est le cas des Hilbert) devient”faiblement” compacte (Théorème de Kakutani).

Définition 3.2.1. Soit E un Banach, f ∈ E ′. On désigne par ϕf : E −→ R l’applicationϕf (x) = 〈f, x〉. Lorsque f décrit E ′ on obtient une famille (ϕf )f∈E d’application de Edans R.

Théorème 3.2.1. σ (E,E ′) est séparée.

Démonstration. Soientx1, x2 ∈ E, x1 6= x2.

D’après H −B, 2eme forme géométrique, ∃ un hyperplan fermé séparant x1 et x2 ausens strict, i.e.

∃f ∈ E ′ et α ∈ R tel que f (x1) < α < f (x2)


On pose01 = x ∈ E ; f (x) < α = ϕ−1

f (]−∞, α[)

02 = x ∈ E ; f (x) > α = ϕ−1f (]α,+∞[)

Alors

01, 02 ∈ σ (E,E ′) et

∣∣∣∣∣∣

x1 ∈ 01

x2 ∈ 02

O1 ∩ 02 = ∅

Théorème 3.2.2. Soit x0 ∈ E. On obtient une base de voisinages de x0 pour σ (E,E ′)en considérant tous les ensembles de la forme

V = x ∈ E ; |fi (x− x0)| < ε ∀i ∈ I où I est fini, fi ∈ E ′, ε > 0.

Démonstration. · Il est clair que

V =⋂

i∈I

ϕ−1fi

(]ai − ε, ai + ε[) avec ai = fi (x0)

est une ouvert de σ (E,E ′) et que x0 ∈ V .

· Inversement, soit U ∈ V(x0)σ(E,E′). D’après nos rappels, on sait que un voisiange W

de x0,W ⊂U , de la forme W =⋂i∈I

ϕ−1fi

(ωi) où I est fini et ωi est un voisiange, dans R, de

fi (x0) = ai donc∃ ε > 0 tel que ]ai − ε, ai + ε[ ⊂ ωi

pour chaque i ∈ I. Par suitex0 ∈ V ⊂ W ⊂ U.

Notation On désigne par xn −→ x la convergence de la suite xn vers x pourσ (E,E ′) xn −→ x la convergence forte (usuelle) i.e. ‖xn − x‖ −→ 0.

Théorème 3.2.3. Soit xn une suite de E. Alors

(i)

[xn

σ(E,E′) x

]=⇒ [f (xn) −→ f (x) , ∀f ∈ E ′]

(ii) [xn −→ x] =⇒[xn

σ(E,E′) x

]

(iii)

[xn

σ(E,E′) x

]=⇒ ‖xn‖ est borné et ‖x‖ ≤ lim ‖xn‖

(iv) et

[∣∣∣∣∣xn

σ(E,E′)

fnE′

−→ f(i.e. ‖fn − f‖E′ −→ 0

]=⇒ fn (xn) −→ f (x)

Démonstration. (i) Résulte de la proposition 2.1.1. et de la définition de σ (E,E ′)(ii) Résulte de (i) puisque

|f (xn)− f (x)| ≤ ‖f‖ ‖xn − x‖


(iii) On applique l’exercice qui est une conséquence de Banach - Steinhaus. Il suffitdonc de vérifier que, sous chaque f ∈ E ′ l’ensemble f (xn) est borné. Or la suite f (xn)converge vers f (x) (en particulier elle est bornée.

Soit f ∈ E ′, on a|f (xn)| ≤ ‖f‖ ‖xn‖

et, à la limite,|f (x)| ≤ ‖f‖ lim ‖xn‖ .

Par conséquent‖x‖ = sup

‖f‖≤1

|f (x)| ≤ lim ‖xn‖ .

(iv)

|fn (xn)− f (x)| ≤ |(fn − f) (xn)|+ |f (xn − x)| ≤ ‖fn − f‖ ‖xn‖+ |f (xn − x)|

et on conclut grâce à (i) et (iii).

Théorème 3.2.4. Lorsque E est de dimension finie, la topologie faible σ (E,E ′) et latopologie forte coïncident. En particulier

[xn −→ x]⇐⇒ [xn −→ x]

Démonstration. .· La topologie faible a toujours moins d’ouverts que la topologie forte.· Inversement, vérifions qu’un ouvert fort est un ouvert faible :Soit x0 ∈ E, U un voisinage fort de x0. I faut construire un voisiange faible V de x0

tel que V ⊂ U , i.e. il faut trouver une partie finie (fi)i∈I de E ′ et ε > 0. tel que

V = x ∈ E ; fi (x− x0) < ε, ∀i ∈ I ⊂ U.

Posons que Br (x0) ⊂ U . On choisit une base

e1, ..., en de E avec ‖ei‖ = 1, ∀i.

Alors tout x ∈ E s’écrit x∑n

i=1 = xiei. Les applications x xi définissent n formeslinéaires, notées fi, continues sur E. Alors

‖x− x0‖ ≤n∑

i=1

fi (x− x0) < nε

pour x ∈ V choisissant ε =r

n, on obtient V ⊂ U .

Théorème 3.2.5. Soit E un Banach, C ⊂ E un convexe. Alors C est faiblement fermepour σ (E,E ′)⇐⇒ il est fortement fermé.

La démonstration est laissée à titre d’exercice.


3.3 La topologie faible ∗σ (E ′, E)

Soit E un Banach, soit E ′ son dual muni de la norme duale

‖f‖ = sup‖x‖≤1

|f (x)| , x ∈ E.

Soit E ′′ son bidual, i.e. le dual de E ′, muni de la norme

‖ξ‖ = sup‖f‖≤1

|ξ (f)‖ , f ∈ E ′.

On définit une injection canonique J : E −→ E ′′ :Soit x ∈ E fixé. L’application f f (x) de E ′ dans R constitue une forme linéaire

continue sur E ′ i.e. un élément de E ′′, noté Jx.On a donc

Jx (f) = f (x) ∀x ∈ E, ∀f ∈ E ′

Jx : E ′ −→ Rf f (x)

∣∣∣∣J : E −→ E ′′

x Jx

· J est linéaire :

J (α1x1 + α2x2) = Jα1x1 + α2x2 =

↑α1Jx1

+ α2Jx2= α1J (x1) + α2J (x2)

Jα1x1 + α2x2 (f) = f (α1x1 + α2x2) = α1f (x1) + α2f (x2) .

· J est une isométrie : i.e

‖Jx‖E′′ = ‖x‖E ∀x ∈ E

en effetJx = sup

‖f‖≤1

|Jx (f)| = sup‖f‖≤1

|f (x)| =↑

1.1.4

‖x‖ .

· J est donc injective, mais pas forcément surjective.Quand J est surjective, E est dit réflexif.· E réflexif =⇒ E complet

(E ′′ = L (E ′,K))

· E complet 6=⇒ E réflexif

l1 = c′0 et l′1 = c′′0 = l∞

Sur l’espace E ′ sont déjà définies 2 topologies 1 · La topologie forte (associée à lanorme de E ′) τb 2 · L a topologie faible σ (E ′, E ′′).

On définit une troisième topologie, la topologie faible ∗, notée σ (E ′, E).

Définition 3.3.1. Pour chaque x ∈ E on considère l’application

ϕx : E ′ −→ Rf ϕx (f) = f (x)

Quand x parcourt E, on obtient une famille (ϕx)x∈E.σ (E ′, E) est la topologie la moins fine sur E ′ rendant continues toutes les ϕx.


Comme E E ′′, il est clair que

σ (E ′, E) σ (E ′, E ′′) .

Proposition 3.3.1. On obtient une base de voir d’un point f ∈ E ′ pour la topologieσ (E ′, E) en considérant tous les ensembles de la ferme

V = f ∈ E ′, |〈f − f0, xi〉| < ε ∀i ∈ I

où I est fini, xi ∈ E et ε > 0.

Remarque 3.3.1. Pourquoi cet acharnement à vouloir appauvrir les topologies ? Si unetopologie possède mons d’ouverts, elle possède, par contre, plus de compacts. Or les com-pacts jouent un rôle fondamental quand on cherche à établir des théorèmes d’existences.

Théorème 3.3.1. σ (E ′, E) est séparée.

Démonstration. Soientf1, f2 ∈ E ′ , f1 6= f2.

Il existe donc x ∈ E tel quef1 (x) 6= f2 (x)

(par définition de f1 6= f2).Supposons, pour fixer les idées, que

f1 (x) < f2 (x) .

On introduit α tel quef1 (x) < α < f2 (x)

On pose ∣∣∣∣01 = f ∈ E ′ ; f (x) < α = ϕ−1

x (]−∞, α[)02 = f ∈ E ′ ; f (x) > α = ϕ−1

x (]α,+∞[)

01

02∈ σ (E ′E) f1 ∈ 01 f2 ∈ 02 et 01 ∩ 02 = φ.

La démonstration est exactement la même que pour le théorème 2.2.2.

Notation : On désigne par fn∗−→ f la convergence de la suite fn vers f pour

la topologie ∗σ (E ′, E).

Théorème 3.3.2. Soit fn une suite de E ′. Alors

(i)[fn

∗ f

]⇐⇒ [fn (x) −→ f (x)] ∀x ∈ E

(ii) [fn −→ f ] =⇒[fn

σ(E′,E′′) f

]

[fn

σ(E′,E′′) f

]=⇒

[fn

∗ f

]

(iii)[fn

∗ f

]=⇒ ‖fn‖ est borné et ‖f‖ ≤ lim ‖fn‖

(iv)[fn

∗ f

]=⇒ [fn (x) −→ f (x)]

et [xn −→ x]


Démonstration. récopier la démonstration du théorème 2.2.3.

Remarque 3.3.2. Lorsque E est de dimension finie, les 3 topologies (forte,

σ (E ′, E ′′) , σ (E ′, E)

coïncident. En effet J est alors surjective de E sur E ′′, puisque

dimE = dimE ′ = dimE ′′.

Théorème 3.3.3 (Banach, Alaoglu, Boubaki). La boule

BE′

= f ∈ E ′ ; ‖f‖ ≤ 1

est compacte pour la topologie ∗σ (E ′, E).

On considère l’espace produit Y = RE ; on désigne les éléments de Y par ω = (ωx)x∈E

avec ωx ∈ R. L’espace Y est muni de la topologie produit, i.e. la topologie la moins fine

sur Y renant continues toutes les applications ωpr ωx

· Dans la suite, on munit E ′ de la topologie σ (E ′, E).· On considère l’application

φ :

∣∣∣∣E ′ −→ Y

f (f (x))x∈E

, φ (f) = (f (x))x∈E

· Il est clair que φ est continue (noter que, pour chaque x ∈ E fixé, l’application

g : f (φ (f))x = f (x) est continue, )

Eφ−→ Y

pr−→︸︷︷︸g

R.

· Montrons que est un homéomorphisme de E ′ sur φ (E ′)Il est clair que φ est injectiveVérifions que φ−1 est continue.Il suffit (grâce à 2.1.2.) de prouver que, pour tout x ∈ E

fixé, l’applicationω

(φ−1 (ω)

)(x)

est continue sur φ (E ′).Ce qui est évident puisque (

φ−1 (ω))(x) = ωx

φ (E ′)φ−1

−→ E ′ −→ Rω f ︸︷︷︸

pr

f (x) = ωx.

· D’autre part il est clair que φ(BE′)

= Koù

K = ω ∈ Y ; |ωx| ≤ ‖x‖ , ωx+y = ωx + ωy, ωλx = λωx, ∀λ ∈ R, ∀x, y ∈ E .


· Il suffit alors de montrer que K est un compact de Y .Or

K = K1 ∩K2 avec

∣∣∣∣∣K1 = ω ∈ Y ; ωx ≤ x, ∀x ∈ E =

∏x∈E

[−‖x‖ , ‖x‖]K2 = ω ∈ Y ; ωx+y = ωx + ωy, ωλx = λωx, ∀λ ∈ R, ∀x, y ∈ E

· K1 est compact (Théorème de Tychonov).· K2 est fermé : en effet, pour chaque λ ∈ R, x, y ∈ E fixés, les ensembles

Ax,y = ω ∈ Y ;ωx+y − ωx − ωy = 0Bλ,n = ω ∈ Y ;ωλn − λωr = 0

sont fermés (puisque les applications

ω −→ ωx+y − ωn − ωy et ω 7−→ ωλx − λωx

sont continues) et

K2 =

(⋂

x,y∈E

Ax,y

)∩

⋂

x∈Eλ∈R

Bλ,x

.

Remarque 3.3.3. Les topologies

σ (E,E ′) , σ(E ′, E

′′), σ (E ′, E)

sont localement convexes séparées donc elles jouissent des propriétés des e.v.t.l.c.s.

Entre autres, les théorèmes de Hahn -Banach (formes géométriques) s’appliquent.

3.4 Espaces réflexifs

Soit E un Banach, soient

f1, f2, ..., fn ∈ E ′, α1, α2, ..., αn ∈ R

fixés.

Propriété 3.4.1 (Lemme de HELLY). Les propriétés suivantes sont équivalentes :(i)

∀ε > 0 ∃xε ∈ E tel que ‖xε‖ ≤ 1 et |fi (xε)− αi| < ε ∀i = 1, 2, ..., n.

(ii) ∣∣∣∣∣

n∑

i=1

βiαi

∣∣∣∣∣ ≤∥∥∥∥∥

n∑

i=1

βifi

∥∥∥∥∥ ∀β1, β2, ..., βn ∈ R.


Démonstration. (i)=⇒(ii) Fixons β1, β2, ..., βn et posons S =∑n

i=1 |βi|.Il résulte de (i) que ∣∣∣∣∣

n∑

i=1

βifi (xε)−n∑

i=1

βiαi

∣∣∣∣∣ < S

et donc∣∣∣∣∣

n∑

i=1

βiαi

∣∣∣∣∣ ≤∥∥∥∥∥

n∑

i=1

βifi

∥∥∥∥∥ ‖xε‖+ εS ≤∥∥∥∥∥

n∑

i=1

βifi

∥∥∥∥∥+ εS ∀ε > 0, d’où (ii)

(ii) =⇒ (i) Posons~α = (α1, α2, ..., αn) ∈ Rn

et considérons ~ϕ : E −→ Rn définie par

~ϕ (x) = (f1 (x) , ..., fn (x)) .

La propriété (i) exprime que

~α ∈ ϕ (BE1 [0]).

Supposons le contraire, i.e.~α /∈ ϕ (BE

1 [0]).

On peut alors séparer strictement dans Rn

~α et ϕ (BE1 [0])

i.e.∃ ~β = (β1, β2, ..., βn) ∈ Rn

et ∃ γ ∈ R tel que~ϕ (x) · ~β < γ < ~α · ~β

Par conséquent∣∣∣(∑

βifi

)(x)∣∣∣ < γ <

n∑

i=1

αiβi ∀x ∈ BE1 [0]

i.e. ∥∥∥∥∥

n∑

i=1

βifi

∥∥∥∥∥ < γ <

n∑

i=1

αiβi,

ce n’est pas.

Lemme 3.4.1. Soit E un Banach. Alors J(BE

1 [0])

est dense dans BE′′

1 [0] par σ (E ′′, E ′).

Démonstration. NotonsBE′′

= BE′′

1 [0] .

Soit ξ ∈ BE′′et soit

V ∈ Vσ(E′′,E′) (ξ) .

Prouvons queJ(BE)∩ V 6= φ


V est de la forme

V = η ∈ E ′′; |(η − ξ) (fi)| < ε, ∀i = 1, 2, ..., n .

Il s’agit donc de trouver x ∈ BE tel que

|fi (x)− ξ (fi)| < ε ∀i = 1, 2, ..., n.

Posons αi = ξ (fi) et notons que

∀β1, β2, ..., βn ∈ R,

on a

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

βiαi

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣ξ(

n∑

i=1

βifi

)∣∣∣∣∣ ≤∥∥∥∥∥

n∑

i=1

βifi

∥∥∥∥∥

puisque ‖ξ‖ ≤ 1.D’après le lemme 2.4.1. ∃xε ∈ BE tel que

|fi (xε)− αi| < ε ∀i = 1, 2, ..., n

i.e.J (xε) ∈ J

(BE)∩ V.

Théorème 3.4.1 (de Kakutani). Soit E un Banach. Alors E est réflexif =⇒ BE1 [0] est

σ (E,E ′) - compact.

Démonstration. =⇒ Si E est réflexif alors J(BE)

= BE′′. D’après Alaoglu (2.3.4.),est

σ (E ′′, E ′)- compact.Il suffit donc de vérifier que J−1 est continue de (E ′′, σ (E ′′, E ′)) dans (E, σ (E,E ′))..D’après (2.1.2.) il reste à prouver que, pour tout f ∈ E ′ fixé, l’application ξ f

(J−1

ξ

)

est continue sur (E ′′, σ (E ′′, E ′)).Or

f(J−1ξ

)= ξ (f)

ξ ξ ( f) est bien continue sur (E ′′, σ (E ′′, E ′)) .⇐= Notons d’abord que J : E −→ E ′′ est continue pour les topologies fortes et donc ellel’est pour les topologies faibles

σ (E,E ′) −→ σ(E ′′, E

′′)

et a forciori elle l’est .

Proposition 3.4.1. Soit E un Banach réflexif et soit M ⊂ E un s.e.v. fermé. Alors Mmuni de la norme induite par E est réflexif.

Démonstration laissée aux soins du lecteur.


Corollaire 3.4.1. Soit E un Banach. Alors E est réflexif ⇐⇒ E est réflexif.Démonstration laissée aux soins du lecteur.

Corollaire 3.4.2. Soit E un Banach réflexif. Soit K ⊂ E un sous ensemble convexefermé et borné. Alors K est compact pour σ (E,E ′).


Corollaire 3.4.3. Soit E un Banach réflexif, soit A ⊂ E un convexe fermé, non vide etsoit

ϕ : A −→ ]−∞,+∞]

une fonction convexe s.c.i., ϕ 6≡ +∞ telle que

limx∈A

‖x‖−→+∞

ϕ (x) = +∞

(aucune hypothèse si A est borné).Alors atteint son minimum sur A, i.e.

∃x0 ∈ A tel que ϕ (x0) = MinAϕ.

· Démonstration laissée aux soins du lecteur.· Ce corollaire explique le rôle essentiel joué par les espaces réflexifs et les fonctions

convexes en calcul des variations, contrôle optimal,...

Théorème 3.4.2. Soit E un Banach. Alors E est séparable ⇐⇒ BE′est métrisable pour

σ (E ′, E).

Remarquons d’abord que l’espace entier E ′ n’est jamais métrisable pour σ (E ′, E) saufen dimension finie.

Démonstration. =⇒ Soit xnn≥1 un sous-ensemble dénombrable dense dans BE (prendre

D dénombrable dense dans E et considérer BE ∩D). Pour f, g ∈ BE′on définit

d (f, g) =∞∑

n=1

1

2n|(f − g) (xn)| .

Il est clair que d est une métrique.Montrons que la topologie associée à d coïncide sur BE′

avec σ (E ′, E).a) Soit f

0∈ BE′

et soitV ∈ Vσ(E′,E) (f0) .

Montrons ∃ r > 0 tel que

U =f ∈ BE′

; d (f, f0) < r⊂ V.

On peut supposer V de la forme

V =f ∈ BE′

; |(f − f0) (yi)| < ε, ∀i = 1, ..., k


avec, sans restreindre la généralité

‖yi‖ ≤ 1 ∀i = 1, ..., k.

Puisque la suite xnn≥1 est dense dans BE, pour chaque i on peut trouver un entier ni

tel que

‖yi − xni‖ < ε

4.

Fixons r > 0 tel que

2nir <ε

2, ∀i = 1, ..., k

et montrons que U ⊂ V :en effet si d (f, f0) < r, on a

1

2ni|f − f0 (xni

)| < r ∀i = 1, ..., k

et donc

|(f − f0) (yi)| = |(f − f0) (yi − xni) + (f − f0)xni

| < ε

2+ε

2∀i = 1, ..., k

d’où f ∈ V .b) Soit f0 ∈ BE′

. Fixons r > 0 et montrons

∃V ∈ Vσ(E′,E) (f0)

dans BE′tel que V ⊂ U

U =f ∈ BE′

; d (f, f0) < r.

On prendV = f ∈ BE′

; |(f − f0) (xi)| < ε, ∀i = 1, ..., k.

On détermine maintenant k et ε pour que V ⊂ U .Si f ∈ V , on a

d (f, f0) =k∑ 1

2n|f (−f0) (xn)|+

∞∑

k+1

1

2n|(f − f0) (xn)| < ε+ 2

∞∑

n=k+1

1

2n= ε+

1

2k−1.

On choisit alors ε < r2

et k assez grand pour que 12k+1 <

r

2.

⇐= Soit

Un =

f ∈ BE′

; d (f, 0) <1

n

et soitVn ∈ Vσ(E′,E) (0)

tel que Vn ⊂ Un on peut supposer que Vn est de la forme

Vn =f ∈ BE′

; |f (x)|< εn, ∀x ∈ φn où φn ⊂ E

est un sous ensemble fini.


Notons que D =∞⋃

n=1

φn est dénombrable.

D’autre part∞⋂

n=1

Vn = 0 et donc

[f (x) = 0 ∀x ∈ D] =⇒ [f = 0] .

Donc, l’e.v. engendré par D est dense dans E. D’où E est séparable.

Symétriquement, on a le :

Théorème 3.4.3. Soit E un Banach. E ′ est séparable ⇐⇒ BE est métrisable pourσ (E,E ′).

Démonstration. =⇒ même démonstration⇐= beaucoup plus délicat. (Voir Dunford N - J.T. Schwartz - Lienear operators -

Interscience 1958).

Corollaire 3.4.4. Soit E un Banach réflexif et soit fn une suite bornée dans E ′.Alors il existe une sous suite extraite fnk

qui converge pour σ (E ′, E).


Théorème 3.4.4. Soit E un Banach réflexif et soit xn une suite bornée dans E.Alors il existe une sous suite extraite xnk

qui converge pour σ (E,E ′).

Remarque 3.4.1. La réciproque de 3.4.4. est vraie. Mais délicate (Théo de Eberlein -Smulian).

Dans un espace métrique, compact ⇐⇒ séquentiellement compact.

Définition 3.4.1. On dit qu’un espace métrique est séparable s’il existe un sous ensembleD ⊂ E dénombrable et dense.

Chap

itre

4 Espaces de Hilbert

Sommaire4.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.2 Le Théorème des bases hilbertiennes . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.1 Généralités

Soit E un e.v. sur un corps K (R ou C). On appelle forme hermitienne sur E, touteapplication

ϕ : E × E −→ K

tel que(1) ∀y ∈ E, l’application x ϕ (x, y) est linéaire sur E.(2) ∀x, y ∈ E, on a

ϕ (x, y) = ϕ (y, x)

symétrie hermitienne.Conséquences :

ϕ (x, x) ∈ R

ϕ (x, y1 + y2) = ϕ (y1 + y2, x) = ϕ (y1, x) + ϕ (y2, x) = ϕ (x, y1) + ϕ (x, y2)

ϕ (x, λy) = ϕ (λy, x) = λϕ (y, x) = λϕ (x, y) .

Définition 4.1.1. ϕ est positive si

ϕ (x, x) ≥ 0 ∀x ∈ E.

ϕ est définie positive si, en

+, ϕ (x, x) > 0 ∀x 6= 0.

Notations :

ϕ (x, y) = 〈x | y〉 = 〈x, y〉 = (x, y) = xy.

88

CHAPITRE 4. ESPACES DE HILBERT 89

Théorème 4.1.1. Soit ϕ une forme hermitienne positive sur E. Alors(1)

|ϕx, y|2 ≤ ϕ (x, x)ϕ (y, y)

Inégalité de Cauchy - Schwarz.Si ϕ est définie positive, l’égalité est vraie seulement si x et y sont linéairement dé-

pendants.2 L’application

x [ϕ (x, x)]1/2

est une semi-norme sur E. C’est une norme quand ϕ est définie positive.

Démonstration. (1) · Si ϕ (x, y) = 0, l’inégalité est évidente puisque ϕ est positive.· Si

ϕ (x, y) 6= 0 ,soit δ =ϕ (x, y)

|ϕ (x, y)|

ϕ(δx+ λy, δx+ λy

)= λ2ϕ (y, y) + δλϕ (x, y) + δϕ (y, x) + δδϕ (x, x) , ∀λ ∈ R.

Maisδδ = 1, δλϕ (x, y) = δλϕ (y, x) = λ |ϕ (x, y)| .

Alorsϕ(δx+ λy, δx+ λy

)= λ2ϕ (y, y) + 2λ |ϕ (x, y)|+ ϕ (x, x) .

Puisque ϕ est positive, ce trinôme en λ n’est jamais négatif donc son discriminant esttoujours négatif ou nul, ce que donne bien l’inégalité cherchée.

L’égalité s’obtient ⇐⇒ le trinôme possède une racine double, i.e. ∃λ tel que

ϕ(δx+ λy, δx+ λy

)= 0

et si ϕ est définie positive alors δx+ λy = 0. Donc x et y sont linéairement dépendants.(2) Posons

p (x) = [ϕ (x, x)]1/2

et montrons que px est une semi-norme.· Il est évident que [ϕ (x, x)]1/2 ≥ 0 et que

[ϕ (λx, λx)]1/2 = |λ| [ϕ (x, x)] 1/2.

· Il reste à montrer que

p (x+ y) ≤ p (x) + p (y)

ou, en prenant le carré, que

ϕ (x+ y, x+ y) ≤ ϕ (x, x) + ϕ (y, y) + 2 [ϕ (x, x)ϕ (y, y)]1/2 .

Mais

ϕ (x+ y, x+ y) = ϕ (x, x)+ϕ (y, y)+ϕ (y, x)+ϕ (x, y) = ϕ (x, x)+ϕ (y, y)+ϕ (x, y) + ϕ (x, y)︸︷︷︸=2Re(ϕ(x,y))


Donc on a à montrer que

Re (ϕ (x, y)) ≤ [ϕ (x, x)ϕ (y, y)]1/2

- si Re (ϕ (x, y)) = 0, c’est évident- si Re (ϕ (x, y)) > 0, on a

[Re (ϕ (x, y))]2 ≤ (ϕ (x, y))2 ≤ ϕ (x, x)ϕ (y, y) .

Remarque 4.1.1. 1) p est une norme si, en plus, p2 (x) = ϕ (x, x) s’nnulle seulementpour x = 0 i.e. ϕ est définie positive.

2) Avec des normes, l’inégalité de C-S s’écrit

|〈x, y〉| ≤ ‖x‖ ‖y‖ .

Définition 4.1.2. Un espace préhilbertien (ou un préhilbert) est un e.v. E muni d’uneforme hermitienne ϕ définie positive et de la norme associée à ϕ par la relation ‖x‖2 =ϕ (x, x).

On dit que E est un espace de Hilbert si cet e.v.n. est complet.

Remarque 4.1.2. Les e.v.n. dont la norme dérive d’un produit scalaire sont les espaces euclidiens.Les espaces préhilbertiens sont alors pour les formes hermitiennes ce que les espaces

euclidiens sont pour les produits scalaires

Rappel : Produit scalaire

(u, v) 〈u,, v〉 tel que

∣∣∣∣∣∣∣∣

(i) 〈u, v〉 = 〈v, u〉(ii) 〈u, v + w〉 = 〈u, v〉+ 〈u, w〉(iii) 〈αu, v〉 = α 〈u, v〉(iv) 〈u, u〉 > 0 si u 6= 0

Exemples :1) -

E = C ([0, 1] ,R) , (x, y) =

∫ 1

0

|x (t) y (t)| dt

est un espace préhilbertien réel. Montrons qu’il n’est pas complet.Soit

xn (t) = infn, t−

1

3

.

La suite xn est de Cauchy. En effet.

‖xn − xn+p‖2 =

∫ 1

0

[xn (t)− xn+p (t)]2 dt.

Mais

|xn (t)− xn+p (t)| = 0 si t >1

n3

(car

t−1

3 < n et xn (t) = t−1

3 ;


a fortiorit− 1

3 < n+ p et xn+p (t) = t−1

3 )

‖xn − xn+p‖2 =

∫ 1

n3

0

[n− (n+ p)]2 dt = p2 1

n3−→ 0

quand n −→∞.Cette suite ne converte pas dans E. En effet. ∀x ∈ E, ∀n

‖x− xn‖2∫ 1

1

n3

[x (t)− xn (t)]2 dt =

∫ 1

1

n3

[x (t)− t− 1

3

]2dt

Il en résulte que

limn−→∞

‖x− xn‖ ≥∫ 1

0

[x (t)− t− 1

3

]2dt.

Comme t−1

3 n’est pas borné sur ]0, 1], il existe un compact dans lequel[x (t)− t− 1

3

]2>

0 et alors l’∫

de cette fonction est > 0, xn 6−→ x.

(Plus précisément, la limite de xn serait la fonction t−1

3 qui n’appartient pas à Emais à l’espace de Hilbert des fonctions de carré intégrable sur [0, 1]).

2) - L’espace ln2 muni de

(x, y) =n∑

i=1

xi yi où

∣∣∣∣x = (x1, ..., xn)y = (y1, ..., yn)

3) - L’espace l2 muni de

(x, y) =∞∑

i=1

xi yi où

∣∣∣∣x = (x1, ..., xn, ...)y = (y1, ..., yn, ...)

4) - L’espace L2 (X,µ) muni de

(f, g) =

∫

X

f (x) g (x) dµ (x) .

Identités utiles :1) - Il résulte de l’inégalité de C.S. qur le produit (la forme hermitienne) dans un

Hilbert est ”doublement” continu(e), i.e.

xn −→ xyn −→ y

)=⇒ (xn, yn) −→ (x, y)

En effet

|(xn, yn)− (x, y)| ≤ |(xn, yn)− (xn, y)|+ |(xn, y)− (x, y)| = |(xn, yn − y)|+ |(xn − x, y)|≤ ‖xn‖ ‖yn − y‖+ ‖xn − x‖ ‖y‖ ≤ ‖xn − x‖ ‖yn − y‖+ ‖x‖ ‖yn − y‖+ ‖xn − x‖ ‖y‖ .

2) - L’inégalité de C. S. peut s’écrire

|x, y| ≤ ‖x‖ ‖y‖


ou encore|xy|2 ≤ x2y2.

Si on remarque que, a et b étant des réels,

2ab ≤ a2 + b2,

il résulte que2 |(x, y)| ≤ 2 ‖x‖ ‖y‖ ≤ ‖x‖2 + ‖y‖2

ou encore (1)2 |(x, y)| ≤ (x, x) + (y, y)

D’autre part, nous avons

(x+ y, x+ y) = (x, x) + (y, y) + (x, y) + (y, x)

(x− y, x− y) = (x, x) + (y, y)− (x, y)− (y, x)

Sommons membre à membre : (2)

‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2 ‖x‖2 + 2 ‖y‖2

qui est la ”loi de parallélogramme”.Soustreyons membre à membre (3)

‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2 = 2 [(x, y) + (y, x)]

· Si K = R (x, y) = (y, x)

‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2 = 4 (x, y)

· Si K = C Remplaçons y par iy dans (3) et multiplions par i

i ‖x+ iy‖2 − i ‖x− iy‖2 = 2 [(x, y)− (y, x)]

et sommons avec (3)(4)

4 (x, y) = ‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2 + i ‖x+ iy‖2 − i ‖x− iy‖2

(identité de polarisation)=⇒ La forme hermitienne sur un espace préhilbertien est déterminée par sa norme.

Théorème 4.1.2. Un sous-ensemble convexe fermé C d’un Hilbert E contient un vecteurunique de plus petite norme : ∃x0 ∈ C tel que

‖x0‖ = inf ‖x‖ ;x ∈ C.

Remarque 4.1.3. Certains auteurs prennent un s.e.v. fermé, hypothèse plus forte.


Démonstration. · Soitd = inf ‖x‖ ;x ∈ C.

D’après la définition de la borne inférieure, il existe une suite xn de vecteurs dans C telque ‖xn‖ −→ d (suite dite minimisante).

De par la convexité de C,xm + xn

2∈ C et donc

xm + xn

2≥ d ou ‖xm + xn‖ 2d.

Utilisant la loi du parallélogramme, on obtient

‖xm − xn‖2 = 2 ‖xm‖2 + 2 ‖xn‖2 − ‖xm + xn‖2 ≤ 2 ‖xm‖2 + 2 ‖xn‖2 − 4d2 −→ 0

et donc xn est une suite de Cauchy dans C (complet car fermé dans E) : ∃x0 ∈ C telque xn −→ x0.

De plus‖x0‖ = ‖lim xn‖ = lim ‖xn‖ = d.

· Supposons que ∃x′x0 tel que ‖x′‖ = d. Alors x0+x′

2∈ C et une nouvelle application

de la loi du parallélogramme donne :

d2 ≤ x0 + x′

2

2

=‖x0‖

2

2

+‖y‖2

2

− x0 + x′

2

2

<‖x0‖

2

2

+‖x′‖2

2

= d2

d’où une contradiction.

Théorème 4.1.3. Un Banach est un Hilbert ⇐⇒ la loi du parallélogramme est vérifiée.

Démonstration. =⇒ Evident⇐= Soit l’application

(x, y) a (x, y) =1

4‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2 .

On a

a (x, z) + a (y1z) =1

4

(‖x+ z‖2 − ‖x− z‖2 + ‖y + z‖2 − ‖y − z‖2

).

D’après la loi du parallélogramme

=1

2

(∥∥∥∥x+ y

2+ z

∥∥∥∥2

−∥∥∥∥x+ y

2− z∥∥∥∥

2)

= 2a

(x+ y

2, z

).

Si on prend y = 0, on obtient

a (x, z) = 2a(x

2, z).

Donca (x, z) + a (y, z) = a (x+ y, z) .

Par suite, si α =m

2n,m ∈ N, on a

a(m

2nx, y)

=m

2na (x, y)


et si α =∑

pmp

2p (somme finie), on a

a (αx, y) = αa (x, y) .

L’application α a (αx, y) est continue de R dans RL’ensemble des α de la forme ci-dessus est dense dans R.

=⇒ α (ax, y) = αa (x, y)

∀α ∈ R, ∀xy∈ E

Commea (x, y) = a (y, x) , a : E × E −→ R

est une forme R - bilinéaire, symétrique qui satisfait

a (x, x) = ‖x‖2 .

Ceci montre le théo si K = R.Si K = C, on pose

h (x, y) = a (x, y) + ia (x, iy) ;h : E × E −→ C

est R - bilinéaire et ‖x‖ = h (x, x). De plus

h (x, y) = h (y, x) et h (ix, y) = ih (x, y) .

Donc h est C - linéaire par rapport à x.

Définition 4.1.3. Deux vecteurs x, y d’un préhilbertien (ou d’un Hilbert) sont orthogonaux(Notation : x ⊥ y) si (x, y) = 0.

Soit E un préhilbertien (ou un Hilbert et soit M ⊂ E. On appelle orthogonal de M dans E,l’ensemble

M⊥ = x ∈ E; (x, y) = 0 pour tout y ∈M .On a M⊥ =

⋂

x∈M

x⊥. C’est donc un sous-ensemble fermé de E (∩ d’hyperplans

fermés : x⊥ = Kerf où f : y 〈y, x〉 est continue).

Théorème 4.1.4 (de projection). Soit E un Hilbert et soit M un s.e.v. fermé de E. Ilexiste deux applications linéaires continues uniques P et Q : E −→ E tel que

(a)P (E) ⊂M, Q (E) ⊂M⊥ et x = Px+Qx ∀x ∈ E

(b) si

x ∈M, Px = x, Qx = 0 ; si x ∈M⊥, Px = 0, Qx = x

i.e. E = M ⊕ P

(c)‖x− Px‖ = inf ‖x− y‖ ; y ∈M , ∀x ∈ E

(d)‖x‖2 = ‖Px‖2 + ‖Qx‖2 .

Définition 4.1.4. P et Q sont appelées, respectivement, projections orthogonales sur Met M⊥.


Démonstration du théorème4.1.4. (a) · Si x ∈ E, l’ensemble x+M est convexeet fermé (somme d’un compact et d’un fermé)

D’après le théorème B, ∃ un élément unique z = Qx dans x + M dont la norme soitminimale.

Posons Px = x− z (i.e. x = Px+Qx). Puisque z ∈ x + M , on a Px ∈ M doncP (E) ⊂M .

Montrons que z ∈M⊥. Soit y ∈M, ‖y‖ = 1.On a

(z, z) = ‖z‖2 ≤ ‖z − αy‖2 = (z − αy, z − αy) ∀α ∈ K.

Donc0 ≤ −α (y, z)− α (z, y) + |α|2 .

Prenant α = (z, y) on obtient (z, y) = 0 i.e. z ∈M⊥..· Maintenant si

x = x0 + x1, x0 ∈M, x1 ∈M⊥,

on ax0 − Px = Qx− x1.

Commex0 − Px ∈M et Qx− x ∈M⊥

et commeM ∩M⊥ = 0 ,

on a

x0 = Px et Qx = x1

ce qui montre l’unicité de P et Q.· On a

P (αx+ βy)− (αPx+ βPy) = αQx+ βQy −Q (αx+ βy) = 0

(car le 1er membre M , le 2ème ∈M⊥) donc P et Q sont linéaires.(b) Résulte de (a)(c) Résulte de la définition de P(d) Résulte de 〈Px,Qx〉 = 0.De (d) on déduit

‖Px‖ ≤ ‖x‖ , ‖Qx‖ ≤ ‖x‖i.e. P et Q sont continues.

Corollaire 4.1.1. · Soit E un Hilbert, soit M un s.e.v. fermé de E, M $ E.Alors ∃y ∈ E − 0 tel que y ∈M⊥.

· Si M est un s.e.v. de E on a(M⊥

)⊥= M.

Démonstration. · Soit x ∈ E −M on pose y = Qx. Comme x 6= Px, on a y 6= 0.

· D’abord(M⊥

)⊥ ⊃ M car M est le plus petit fermé contenant M .

Si x ∈(M⊥

)⊥ − M alors

∃y0 6= 0, y0 ∈(M)⊥ ⊂M⊥⊥ − M


(d’après premier · : x ∈ E −M −→ ∃y 6=0 ∈M⊥ ⊂ E −M).D’où

∃y 6=0 ∈(M⊥⊥ − M

)∩(M)

= M⊥⊥∩MC∩M⊥ =↑

M0≥M⊥

M⊥⊥∩M⊥ ⊂↑

M⊂M

M⊥⊃M⊥

M⊥⊥∩M⊥ = 1.

Ce qui est absurde.

Théorème 4.1.5 (de Riesz - Fréchet). Soit E un Hilbert, soit E ′ son dual.Si u ∈ E ′, ∃y ∈ E unique tel que

u (x) = (x, y) ∀x ∈ E.

De plus ‖u‖ = ‖y‖.

Démonstration. · Existence :· Si u = 0, on prend y = 0· Si u 6= 0, on pose M = Ker u. M est un s.e.v. fermé de E. D’après le corollaire,

∃z ∈M⊥ − 0.Nous allons prouver que ∃α ∈ K tel que y = αz satisfait le théorème.Considérons différents types de vecteurs.(a) Ceux qui sont dans M : x ∈M . Alors

u (x) = 0 = (x, αz) = α (x, z) = 0

donc pour tous les vecteurs de M , tout multiple de z convient, i.e. reste libre.(b) Ceux qui sont multiples de z : x = βz (β 6= 0 sinon on serait dans M).Considérons

u (βz) = βu (z)(βz, y) = (βz, αz) = βα (z, z)

Alors

u (βz) = (βz, y)⇐⇒ βu (z) = βα (z, z) i.e . α =u (z)

‖z‖2

(c) Les autres : Soit x ∈ E et considérons x− βz où

β =u (x)

u (z)←−6= 0car z /∈M.

Alorsx (x− βz) = u (x)− βu (z) = 0 donc x− βz ∈M

Ecrivantx = x− βz + βz,

on au (x) = u (x− βz) + u (βz) .

Le 1er terme est dans le cas (a) :

u (x− βz) = (x− βz, αz) .


Le 2ème terme est dans le cas (b) :

u (βz) = (βz, αz) .

Remplaçant :u (x) = (x− βz, y) + (βz, y) = (x, y) .

· Unicité . Siu (x) = (x, y′) , ∀x,

alors(x, y) = (x, y′) ∀x

donc(x, y − y′) = 0 ∀x,

et donc y = y′.

· On a ‖u‖ = sup‖x‖=1

|(x, y)| ≤ ‖y‖ d’après l’inégalité de C.S.

D’autre part ‖y‖ =(

y‖y‖, y)≤ sup

‖x‖=1

|(x, y)| = ‖u‖

=⇒ ‖u‖ ‖y‖

Remarque 4.1.4. Le résultat montre que l’application∣∣∣∣E −→ E ′

y uyavec uy (x) = (x, y)

est surjective : ∀v ∈ E ′, ∃y unique E tel que

v (x) = (x, y) , ∀x ∈ E.

Il serait agréable qu’elle soit linéaire. Mais on a seulement

uy1+ y2 = uy1

+ uy2

uαy= αuy (antilinéarité).

Théorème 4.1.6. E ′ est un Hilbert. (Son produit scalaire est transporté par celui de E).

Démonstration. On munit E ′ de

(ux, uy) = (y, x) .

Il est évident qu’on obtient un Hilbert(La complétion est conséquence de

∥∥uxp− uyq

∥∥ =∥∥uxp

− yq

∥∥ = ‖xp − yq‖ ).

Théorème 4.1.7. Un Hilbert E est réflexif.


Démonstration. Considérons les 2 applications : E −→ E ′′

1. L’immersion naturelle d’espaces de Banach x Ux avec Ux (u) = u (x) .2. L’application composée x ux Uux

où∣∣∣∣ux (y) = (y, x)Uux

(u) = (u, ux) .

· On remarque que la 2ème est surjective car composée de 2 applications surjectives(voir la remarque).· Montrons qu’elles sont égales :E étant un Hilbert, si u ∈ E ′ alors u = uy pour un certain y ∈ E (Théo. E)Calculons

Ux (u) = Ux (uy) = uy (x) = (x, y)

Uux(u) = Uux

(uy) = (uy, ux) = (x, y)

Donc Ux = Uux

et la 1ère application est donc surjective. Comme c’est l’immersion naturelle d’espacesde Banach, alors E = E ′′.

Remarque 4.1.5.(Ux, Uy) = (x, y)

en effet

Ux = Uux6=⇒ (Ux, Uy) =

(Uux

, Uuy

)= (uy, ux) = (x, y)

Uy = Uuy.

Définition 4.1.5. Une forme sesquilinéaire sur l’ e.v. E est une application f : E×E −→K tel que

(a) f (λx+ µy, z) = λf (x, z) + µf (y, z)

(b) f (x, λy + µz) = λ f (x, y) + µ f (x, z) ∀xyz∈ E, ∀λ

µ∈ K.

Remarque 4.1.6. Une forme sesquilinéaire est hermitienne si f (x, y) = f (y, x).On généralise facilement les résultats connus pour une forme linéaire su un e.v.n. à

une forme sesquilinéaire :

Théorème 4.1.8. Si E est un Hilbert et f une fonctionnelle sesquilinéaire de E×E dansK, les 3 assertions suivantes sont équivalentes :

(1) f est continue(2) f est bornée sur toute partie bornée de E × E(3) ∃ une constante M ≥ 0 tel que ∀x

y ∈ E on ait

|f (x, y)| ≤M ‖x‖ ‖y‖ .

Les fonctionnelles sesquilinéaires f continues forment un e.v. normé par

‖f‖ = sup‖x‖≤1‖y‖≤1

|f (x, y)| = inf M ; |f (x, y)| ≤ ‖x‖ ‖y‖ = supx 6=0|f (x, y)|

‖x‖‖y‖

.


Théorème 4.1.9. 2ème théorème de RiezToute forme sesquilinéaire bornée f s’écrit

f (x, y) = (A (x) , y)

où A est un opérateur linéaire borné défini partout dans l’espace de Hilbert E, de manièreunique, et tel que ‖A‖ = ‖f‖.

Démonstration. Bloquons x. f (x, y) est alors linéaire en y, bornée, définie sur E. D’aprèsle 1er théorème de Riez, ∃ un élément h unique défini par f , tel que

f (x, y) = (y, h) i.e. f (x, y) = (h, y) , ∀

A chaque x ∈ E correspond donc un h ∈ H. Posons h = A (x).A borné :

‖f‖ = sup|f (x, y)|‖x‖ ‖y‖ = sup

|(Ax, y)|‖x‖ ‖y‖ ≤ sup

‖Ax‖ ‖y‖‖x‖ ‖y‖

d’après C.S. D’où

‖f‖ ≤ sup‖Ax‖‖x‖ = A

‖f‖ = sup|(fx, y)|

‖x‖ ‖y‖ (y = Ax)≥ sup

|(Ax,Ax)|‖x‖ ‖y‖ = sup

‖Ax‖‖x‖ = ‖A‖

A unique :

(Ax− A4x, y) = 0 ∀y =⇒ Ax = A′x ∀x =⇒ A = A.

A linéaire : évident.

4.2 Le Théorème des bases hilbertiennes

Soit E un préhilbertien. Une famille

xα;α ∈ I

est dite orthonorméesi (xα, xβ) = 0 si α 6= β et (xα, xα) = 1.Si x ∈ E, on définit une application

x : I −→ K par x (α) = (x, xα) .

Les scalaires x s’appellent les coefficients de Fourier de x dans le système orthonormé

xα;α ∈ I .

On dit que la famille orthonormée

S = xα;α ∈ I

est complète ou que c’est une base orthonormée si S⊥ = 0.


Théorème 4.2.1. Soit E un Hilbert et soit

S = xα;α ∈ I

une famille orthonormée de E.Alors il existe une base orthonormée qui contient S.

Démonstration. Soit S l’ensemble des familles orthonormées de E qui contiennent S.

S 6= φ car S ∈ S. SiSi; i ∈ J

est une famille totalement ordonnée de S pour

l’inclusion, alors Ui∈JSiS. on peut donc appliquer le lemme de Zorn : ∃T ∈ S qui est

maximal. Si T⊥ 6= 0, soitx ∈ T⊥ − 0 , ‖x‖ = 1.

Alors T ∪ x ∈ S ce qui contredit la maximalité de T .

Corollaire 4.2.1. Si E est un Hilbert ayant un vecteur non nul, il existe dans E unebase orthonormée. (Théo des Bases Hilbertiennes).

Théorème 4.2.2. Soit E un Hilbert et soit

S = xα;α ∈ I

une famille orthonormée de E.Pour tout x ∈ E on a ∑

α∈I

|x (α)|2 ≤ ‖x‖2

(inégalité de Bessel).

Démonstration. Soient α1, ..., αn ∈ I

∥∥∥∥∥x−n∑

i=1

x (αi)xαi

∥∥∥∥∥

2

=

(x−

n∑

i=1

x (αi)xαi, x−

n∑

i=1

x (αi)xαi

)= ‖x‖2 −

n∑

i=1

|x (αi)|2 .

Donc

‖x‖2 ≥n∑

i=1

|x (αi)|2 .

Commen∑

α=I

|x (αi)|2 = sup

n∑

i=1

|x (αi)|2 ;n ∈ N, α1, ..., αn ∈ I

on a‖x‖2 ≥

∑

α∈I

|x (αi)|2 .


Théorème 4.2.3. Soit E un Hilbert et soit xα;α ∈ I une base orthonormée de E. Alors(a)

‖x‖2 =∑

α∈I

|x (α)|2

(b)

(x, y) =∑

α∈I

x (α) y (α)

(égalité de Parseval)(c) La famille

x (α) xα;α ∈ Iest sommable dans E et ∑

α∈I

x (α) xα = x

(série de Fourier de x)(d) Le s.e.v. engendré par la famille xα;α ∈ I est dense dans E.

Démonstration. (d) Soit M l’adhérence du s.e.v. engendré par xα;α ∈ I. Si M 6= E,il existe, d’après le Corollaire du Théo D,

y ∈M⊥ − 0

ce qui contredit le fait que xα;α ∈ I est une base orthonormé (relire la Définition).(c) Si

x ∈ E et ε > 0, ∃λ1, ..., λn ∈ K et α1, ..., αn ∈ Itel que ∥∥∥∥∥x−

n∑

i=1

λixαi

∥∥∥∥∥ < ε.

Or∥∥∥∥∥x−

n∑

α∈I

λixαi

∥∥∥∥∥

2

=

(x−

n∑

i=1

λixαi, x−

n∑

i=1

λixαi

)

= ‖x‖2 −n∑

i=1

λix (αi)−

n∑

i=1

λix(αi) +n∑

i=1

|λi|2

= ‖x‖2 −n∑

i=1

|x (αi)|2 +

n∑

i=1

∣∣λi − x(αi)

∣∣2

=

∥∥∥∥∥x−n∑

i=1

x (αi) xαi

∥∥∥∥∥

2

+n∑

i=1

∣∣λi − x(αi)

∣∣2

Donc ∥∥∥∥∥x−n∑

i=1

x (αi)xαi

∥∥∥∥∥ ≤∥∥∥∥∥x−

n∑

i=1

λixαi

∥∥∥∥∥ ≤ ε.

Soit maintenant J fini ⊂ I tel que α1, ..., αn ∈ J . L’inégalité précédente implique


∥∥∥∥∥x−∑

α∈J

x (αi) xα

∥∥∥∥∥ ≤∥∥∥∥∥x−

n∑

i=1

x (αi)xαi

∥∥∥∥∥ ≤ ε.

Donc la famille x (α) xα; α ∈ I est sommable et x =∑

α∈I x (α) xα.(a) De plus

‖x‖2 −∑

α∈J

|x (α)|2 =

∥∥∥∥∥x−∑

α∈J

x (α) xα

∥∥∥∥∥ ≤ ε donc ‖x‖2 −∑

α∈I

|x (α)|2 .

(b) On a

(x, y) =

(∑

α∈I

x (α) ,∑

β∈I

y (β)xβ

).

D’après l’inégalité de C-S,

|(x− x′, y − y′)| ≤ ‖x− x′‖ ‖y − y′‖

et donc l’application x, y (x, y) est continue de E × E dans E et donc

(x, y) ‖x‖2 −∑

α∈I

∑

β∈I

x (α) y (β) = (xα, xβ) =∑

α∈I

x (α) y (α).

Théorème 4.2.4. Soit I un ensemble. Pour tout α ∈ I, soit Hα un Hilbert sur K dontle produit scalaire est noté (, )α et la norme ‖·‖α

Soit

⊕α∈I

Hα =

x = (xα)α∈I ∈

∏

α∈I

Hα;∑

α∈I

‖xα‖2α < +∞

(a) L’ensemble ⊕α∈I

Hα est un s.e.v. de∏

α∈I Hα

(b) Si x, y ∈ ⊕α∈I

Hα, la famille (xα, yα)α ;α ∈ I est absolument sommable.

(c) L’application

(x, y) (x, y) =∑

α∈I

(xα, yα)α

est un produit scalaire défini positif sur ⊕α∈I

Hα, pour lequel c’est un Hilbert sur K.

Définition 4.2.1. · L’espace ⊕α∈I

Hα est appelé somme directe hilbertienne de la fa-

mille (Hα)α∈I .· Si I = 1, 2, ..., n on écrit H1 ⊕ ...⊕Hn.. Si Hα = K, pour tout α ∈ I, on note l2

K(I) = ⊕

α∈IHα.


Démonstation du théorème 4.2.4. (a) Soit H = ⊕α∈I

Hα et soient x, y ∈ H. on a

∑

α∈I

‖xα + yα‖2α ≤∑

α∈I

(‖xα‖α + ‖yα‖α)2 ≤ 2∑

α∈I

(‖xα‖2α + ‖yα‖2α

)

= 2∑

α∈I

‖xα‖2α + 2∑

α∈I

‖yα‖2α < +∞∑

α∈I

‖λxα‖2α = |λ|2∑

α∈I

‖xα‖2α < +∞, ∀λ ∈ K

Donc H est un s.e.v.(b) En appliquant l’inégalité de Cauchy-Shwartz, on a

∑

α∈I

|(xα, y)α| ≤∑

α∈I

‖xα‖α ‖yα‖2α ≤1

2

∑

α∈I

‖xα‖2α + ‖yα‖2α < +∞

(c) · Il est clair que (, ) est un produit scalaire· Si (x, x) = 0 alors (xα, xα)α = 0 pour tout α ∈ I donc xα = 0 i.e. x = 0

· On pose ‖x‖ = (x, x)1/2. Il reste à montrer que H est complet.Soit xn.une suite de Cauchy dans H.

Pour tout ε2 > 0, ∃m0 tel que

p, q ≥ m0 =⇒∑

α∈I

‖xp,α − xq,α‖2α ≤ ε2.

Donc, pour tout α ∈ I, on a‖xp,α − xq,α‖2α ≤ ε2.

La suite xn,α ; n ≥ 0 est donc suite de Cauchy dans Hα.Elle a une limite yα ∈ Hα.D’après l’inégalité ∗ on a, pour tout sous-ensemble fini

J ⊂ I,∑

α∈J

‖xp,α − yq,α‖2α ≤ ε2.

D’après la continuité de la norme ‖.‖α dans Hα, on a donc

∑

α∈J

‖xp,α − yq‖2α ≤ ε2

tout p ≥ m0. Comme ceci est vrai pour toute partie finie J ⊂ I, on a.

∑

α∈I

‖xp,α − yα‖2α ≤ ε2

Ce qui montre que (xp,α − yα)α∈I est un élément de H.Par suite y = (yα)α∈I est un élément de H et

‖xp − y‖2 ≤ ε2 si p ≥ m0.


Définition 4.2.2. Soient E,F deux Hilbert sur K, on appelle isomorphisme d’espacesde Hilbert de E sur F , une application linéaire bijective u : E −→ F tel que, pour toutx ∈ E, on a ‖u (x)‖ = ‖x‖.

Comme

4 (x, y) = ‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2 si K = R4 (x, y) = ‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2 + i ‖x+ iy‖2 − i ‖x− iy‖2 si K = C

On a(u (x) , u (y)) = (x, y) .

Théorème 4.2.5. Soit E un Hilbert sur K, non réduit à 0. Alors ∃ un ensemble I telque ∃ un ismorphisme d’espaces de Hilbert de E sur l2

K(I).

Démonstration. Soit xαα∈I une base orthonormée de E.Alors, d’après le théo. C, l’application x (x (α))α∈I est un isomorphisme d’espaces

de Hilbert de E sur l2K

(I).

Théorème 4.2.6. Soit E un Hilbert non réduit à 0 et soient

xα;α ∈ I , yβ; β ∈ J

deux bases orthonormées de E. Alors

card I = Card J

Définition 4.2.3. On appelle dimension hilbertienne de E le cardinal d’une base ortho-normée de E si E 6= 0, le cardinal 0 si E = 0.Démonstration du théorème 4.2.6. Soit β ∈ J . On pose

Iβ = α ∈ I; yβ (α) 6= 0 .

On a I =⋃

β∈J

Iβ en effet, supposons ∃α ∈ I tel que α /∈ ⋃β∈J Iβ. Alors yβ (α) = 0 pour

tout β ∈ J , i.e. que xα est orthogonal à tous les vecteurs yβ, β ∈ J , ce qui est impossible.· Supposons que card I et card J ne soient pas finis.

Puisque∑

α∈I |yβ (α)|2 < +∞, on a

card Iβ ≤ cardN

Puisque I =⋃

β∈J Iβ, on a card I ≤ (cardN) (card J) = card J

En échangeant les rôles de I et J on a card J ≤ card I

=⇒ card I = card J

· Supposons que l’un des ensembles I ou J soit fini ; par exemple card I < +∞Alors E est de dimension finie - Les vecteurs yβ; β ∈ J forment une famille libre de

E donccard J ≤ card I.

A fortiori card J < +∞ et de la même façon, on aura

card I ≤ card J.

D’où l’égalité.


Théorème 4.2.7. Soit E un Hilbert. Alors E est séparable⇐⇒ sa dimension hilbertienneest finie ou égale à cardN.

Rappel. Définition :Un espace topologique E est séparable s’il contient un sous-ensemble dénombrable,

partout dense.

Démonstration du théorème 4.2.7. =⇒ Soit xn;n ∈ N une suite partout dense dansE. Soit yα;α ∈ I une base orthonormée de E. Pour tout

α ∈ I, ∃n (α) ∈ N tel que∥∥xn(α) − yα

∥∥ ≤ 1

2.

Soientα, β ∈ I, α 6= β.

Supposons quexn(α) = xn(β).

Alors ‖yα − yβ‖ ≤∥∥yα − xn(α)

∥∥+∥∥xn(β) − yβ

∥∥ ≤ 12

+ 12

= 1

or ‖yα − yβ‖ =√

2 (base orthonormée)

=⇒ contradiction

Donc l’application

∣∣∣∣I −→ Nα n (α)

est injective et donc card I cardN

⇐= Supposons card I ≤ cardN. Définissons L ⊂ K par(L = ξ rationnels de Gauss ξ)

∣∣∣∣L = Q si K = R

L = Q + Q si K = C

Alors l’ensemble des combinaisons linéaires

a1yα1+ ...+ anyαn

, n ∈ N, ai ∈ L

est un sous ensemble dénombrable dense de E.D’après (c) du Théo C, tout x ∈ E s’écrit

x =∑

α∈I

(x, yα) yα =∑

α∈I

x (α) yα.

Alors

∀ε > 0, ∃n ∈ N tel que

∥∥∥∥∥x−n∑

i=1

x (αi) yαi

∥∥∥∥∥ < ε

donc

∀ ε′ > 0, ∃n ∈ N tel que

∥∥∥∥∥x−n∑

i=1

aiyαi

∥∥∥∥∥ ≤ ‖x−∑n

i=1 x (αi) yαi‖+ ‖∑n

i=1 (x (αi)− ai) yαi‖

≤ ε+∑n

i=1 |x (αi)− ai|

∥∥∥∥∥∥yαi︸︷︷︸=1

∥∥∥∥∥∥= ε+ ε1 + ·+ εn


4.3 Exemples

1) Soit L2 l’espace de Hilbert associé à l’espace mesuré [0, 2π], la mesure étant celle deLebesgue et les intégrales étant de Lebesgue, constitué des fonctions complexes définiessur [0, 2π] qui sont Lebesgue -mesurables et de carré intégrable.

On définit

‖f‖ =

(∫ 2π

0

|f (x)|2 dx)1/2

et (f, g) =

∫ 2π

0

f (x) g (x) dx.

· Un calcul simple montre que les fonctions ein x, n ∈ Z, sont mutuellement orthogonalesdans L2 : ∫ 2π

0

eim xe−in xdx =

0m 6= n2πm = n

.

Donc les fonctions

en (x) =ein x

√2π

forment un système orthonormal dans L2.· ∀ f ∈ L2, les nombres

cn = (f, en) =1√2π

∫ 2π

0

f (x) e−in xdx

sont les coefficients de Janvier de f et

+∞∑

n=−∞

|cn|2 ≤∫ 2π

0

|f (x)|2 dx

est l’inégalité de Bessel.· en est complet dans L2 (voir théorie des séries de Fourier).· Cette affirmation est éqsuivalente (voir le théorème C) à l’égalité de Parseval :

‖f‖2 =

∫ 2π

0

|f (x)|2 dx =+∞∑

n=−∞

|cn|2 .

· Le théorème C affirme aussi que en est complet ⇐⇒ f est développable en sériede Fourier :

(∗) f (x) =1√2π

+∞∑

n=−∞

cn ein x

↑ Ce développement ne doit pas être interprêté en disant que la série convergesimplement (ou ponctuellement) vers la fonction f . Le sens de (∗) est que les sommespartielles de la série, i.e. les vecteurs fn ∈ L2 définis par

fn (x) =1√2π

+n

k=−n

ckeik x,

convergent vers f au sens de L2 :

‖fn − f‖ −→ 0


(on dit que f est limite en moyenne quadratique des fn).· Si f ∈ L2, avec des coefficients de Fourier cn = (f, en), alors l’inégalité de Bessel

nous dit que la série∑+∞

n=−∞ |cn|2 converge.

Le théorème de Tiesz - Fischer affirme la réciproque : ”Si cn, n ∈ Z, sont des nombrescomplexes tel que

∑+∞n=−∞ |cn|

2 converges alors ∃ f ∈ L2 dont les coefficients de Fouriersont les cn”.

(ou encore = on définit

fn (x) =1√2π

n∑

|k|=n+1

ckeik x.

Leseik x

√2π

formant un système orthonormal, autre méthodes (en sanchant que L2 est

complet). On a

(pour m > n) : ‖fm − fn‖2 =n∑

|k|=n+1

|ck|2 < ε

(en vertu de la convergence de∑+∞

n=−∞ |cn|2 pour m et n suffisamment grands). Donc fn

est s. de C. dans L2 donc∃f ∈ L2, fn −→ f.

f est donnée par ∗ et les cn sont évidemment ses coefficients de Fourier.2) - Procédé d’orthonormalisation de Gram - Schmidt.Supposons que

x1, x2, ..., xn, ...est un système linéairement indépendant dans un Hilbert E.

Question :Déduire un ensemble orthonormé

e1, e2, ..., en, ...

tel que, pour tout n, le s.e.v. de E engendré par

e1, e2, ...en

soit le même que celui engendré par

x1, x2, ..., xn

e1 =x1

‖x1‖, e2 =

x2 − (x2, e1) e1‖x2 − (x2 − e1) e1‖ ←−6= 0 car x2 6= λx1

(on retire à x2 sa composante dans la direction de e1 donc on obtient un vecteur ⊥ à e1).

e3 =x3 − x3, e1 − x3, e2e2

‖x3 − (x3, e1) e1 − (x3, e2) e2‖,

etc...=⇒ De nombreux ensembles orthonormés de grande importance, peuvent être obtenus

en appliquant le procédé de Gram - Schmidt à des suites de fonctions simples :


a) Dans L2 [−1, 1], les fonctions xn (n = 0, 1, 2, ...) sont linéairement indépendantes.Par G S, on leur associez les en appelés polynômes de Legendre (normalisés).b) Dans L2 (R), si on choisit les xn définis par

xne−x3

2 (n = 0, 1, 2, ...) ,

alors les en correspondants sont les fonctions de Hermite (normalisées).c) Dans L2 [0,∞], si les xn sont les fonctions

xne−x (n = 0, 1, 2, ...) ,

alors les en sont les fonctions de Laguerre (normalisées).

Chap

itre

5 Opérateurs Linéaires

Sommaire5.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.2 Théorie spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.1 Définitions

La formulation mathématique de la Mécanique Quantique rend indispensable l’étudedes opérateurs linéaires définis dans un espace de Hilbert. Lorsque ces opérateurs sontcontinues, (bornés) leur manipulation n’offre pas de difficulté majeure, mais dans le cascontraire, il faut être d’une extrême prudence, car le domaine de définition de l’opérateurjoue alors un rôle très important. Ce fait n’ayant pas d’analogue en algèbre linéaire, lesopérateurs linéaires définis sur un espace de dimension finie étant nécessairement continus,il faut se garder de toute généralisation hâtive.

Définition 5.1.1. Soient E,F deux Banach. On appelle opérateur linéaire de E dans F ,toute application linéaire

A : DA ⊂ E −→ F

définie sur un s.e.v. DA ⊂ E, à valeur dans F .

· A est dit borné si ∃c ≥ 0 tel que

‖Ax‖ ≤ c ‖x‖ , ∀x ∈ DA.

· Notations : DA = domaine de AGA =

⋃

x∈DA

(x,Ax) ⊂ E × F = Graphe de A

RA =⋃

x∈DA

Ax ⊂ F = Image de A

NA = x ∈ DA;Ax = 0 ⊂ E = Noyau de A = Ker A· A est dit fermé si GA est fermé dans E × F . (Alors, NA est formé).Définition de l’adjoint A’ (ou A*) :Soit

A : DA ⊂ E −→ F

un opérateur à domaine dense (dans E).

109

CHAPITRE 5. OPÉRATEURS LINÉAIRES 110

On va définir un opérateur

A∗ : DA∗ ⊂ F ′ −→ E ′

comme suit :On pose

DA∗ = y ∈ F ′; ∃c ≥ 0 tel que |y (Ax)| ≤ c ‖x‖ ∀x ∈ DA .

Il est clair que DA∗ est un s.e.v de F ′. On va définir A∗y pour y ∈ DA∗ :Etant donné y ∈ DA∗ on considère l’application g : DA −→ R définie par

g (x) = y (Ax) x ∈ DA

grâce au théorème de Hahn - Banach (forme analytique) on sait que g peut être prolongéeen une application linéaire f : E −→ R tel que

|f (x)| ≤ c ‖x‖ ∀x ∈ E.

Par suite f ∈ E ′. On remarquera que le prolongement de g est unique puisque f estcontinue sur E et que DA est dense.

On poseA∗y = f.

Il est clair que A∗ est linéaire. L’opérateur

A∗ : D (A∗) ⊂ F ′ −→ E ′

est appelé l’adjoint de A.On a, pour conséquent, la relation fondamentale qui lie A et A∗ :

y (Ax) = (A∗y) (x) ∀x ∈ DA, ∀y ∈ DA∗

Reprenant la notation du §6, on peut écrire

〈y,Ax〉F ′,F = 〈A∗y, x〉F ′,E ∀x ∈ DA, ∀y ∈ DA∗

Remarque 5.1.1. Il n’est pas nécessaire de faire appel au théorème de H-B pour prolongerg. Il suffit d’utiliser le prolongement ”par continuité” de g puisque DA est dense. (g estuniformément continue et K est complet)

Rappel :Soient E,F deux espaces métriques, A un sous-ensemble dense de X,F complet, et

f : A −→ F uniformement continue sur A. Alors f se prolonge de façon unique en uneapplication continue f : E −→ F uniformément continue sur X (A muni de la métriqueinduite).

Théorème 5.1.1. Soit A : DA ⊂ E −→ F un opérateur à domaine dense.Alors A∗ est fermé (i.e. GA∗ est fermé dans F ′ × E ′.


Démonstration. Soit yn ∈ DA∗ tel que yn −→ y dans F ′ et A∗yn −→ f dans E ′.Il s’agit de prouver que

y ∈ DA∗ et A∗y = f.

Or, on a〈yn, Ax〉 = 〈A∗yn, x〉 ∀x ∈ DA.

D’où, à la limite〈yn, Ax〉 = 〈f, x〉 ∀x ∈ DA.

Par conséquent y ∈ DA∗ (d’après la définition de DA∗) et A∗y = f.

Remarque 5.1.2. Les graphes de A et A∗ sont liés par une relation d’orthogonalité trèssimple.

Considérons l’application.

J : F ′ × E ′ −→ E ′ × F ′ définie par J ((y, f)) = (−f, y).

SoitA : DA ⊂ E −→ F avec DA = E, alors J (GA∗) = GA

⊥.

En effet : Soit (y, f) ∈ F ′ × E ′. Alors

(y, f) ∈ GA∗ ⇐⇒ 〈f, x〉 = 〈y,Ax〉 ∀x ∈ DA ⇐⇒ −〈f, x〉+ 〈y,Ax〉 = 0

∀x ∈ DA ⇐⇒ (−f, y) ∈ G⊥A.

Dans le cas des Hilbert, le théorème de Riesz - Fréchet permet une définition aisée de A∗.Soit E un Hilbert sur K et soit A : DA ∈ E −→ E tel que DA = E. Soit DA∗ le s.e.v.

des y ∈ E tel x 〈Ax, y〉de DA dans K soit continue.Soit u l’unique élément de E ′ prolongeant cette application (voir la remarque - page

antérieure).On note A∗y l’unique élément de E tel que

u (x) = 〈x,A∗y〉 ∀x ∈ E

(Théo §9.E).L’application y A∗y de DA∗ dans E est linéaire.L’opérateur A∗ de DA∗ dans E ainsi défini est dit opérateur adjoint de A.Pour les physiciens (et les mathématiciens qui ont tout oublié !)

Le fait que, pour chaque opérateur linéaire, il faille préciser à chaque fois son do-maine, est une source de complications qu’il est possible d’éviter dans le cas des opérateurslinéaires bornés.

En effet, nous allons montrer qu’il est toujours possible de supposer que le domainecoïncide avec l’espace tout entier.

Théorème 5.1.2. Si A est un opérateur linéaire borné dans un Hilbert E, de domaineDA, il existe un opérateur linéaire borné A dont le domaine est E tout entier et qui esttel que

Ax = Ax, ∀x ∈ DA et∥∥∥A∥∥∥ = ‖A‖ .


Démonstration. · Commençons par étendre A de DA à DA: ∀xDA, ∃ xn dansDA tel que lim

n→∞xn = x.

A étant borné, on a‖Axp − Axq‖ ≤ ‖A‖ ‖xp − xq‖

et donc Axn est s de C.Définissons l’extension A′ de A en posant A′x = lim

n→∞Axn (on vérifie facilement que A′

ne dépend pas dela suite xn choisie pour approcher x).La linéarité de A est conséquence de celle de A.

‖A′x‖ = ‖limAxn‖ = ‖A lim xn‖ ≤ ‖A‖ ‖x‖ et donc ‖A′‖ ≤ ‖A‖Mais A′ étant extension de A, on a ‖A′‖ ≥ A

=⇒ ‖A‖ = ‖A′‖

· L’extension de A′ de DA à E tout entier se fait aisément : En effet, E étant un

Hilbert, il en est de même de DA (fermé ⊂ complet) et on peut écrire E = DA + DA⊥

(Théo §9.D).On pose

A x =

∣∣∣∣∣A′x si x ∈ DA

0 si x ∈ DA⊥ .Tout xE s’écrit x = x1 + x2 où

x1 ∈ DA

x2 ∈ DA⊥

et en vertu de la linarité de A′ on a

Ax = A′x1 ∀x ∈ E.· De plus

sup‖x‖=1

∥∥∥Ax∥∥∥ = sup

‖x‖=1

‖A′x1‖ i.e.∥∥∥A∥∥∥ = ‖A′‖ = ‖A‖ .

Théorème 5.1.3. Etant donné un opérateur linéaire borné A sur un Hilbert E, il existeun opérateur linéaire borné A∗ et un seul, appelé adjoint de A, tel que

〈y,Ax〉 = 〈A∗y, x〉 ∀x, y ∈ E.A et A∗ ont même norme.

Démonstration. L’existence de A∗ résulte de la sesquilinéarité de la forme 〈y,Ax〉 :En vertu du 2ème théorème de Riesz (§9.I) on a

〈y,Ax〉 = 〈A∗y, x〉 ∀xy∈ E.

En vertu de l’inégalité de C-Sch, et du fait que A est borné, on a :

|〈y,Ax〉| ≤ ‖A‖ ‖x‖ ‖y‖ce qui entraîne

|〈A∗y, x〉| ≤ ‖A‖ ‖x‖ ‖y‖et donc A∗ est borné. Sa norme est égale à celle de A, c’est presque évident. L’unicité deA∗ est évidente (revoir théorème §9.I).


Remarque 5.1.3. Si A n’est pas borné, on a donc défini A∗ par

〈y,Ax〉 = 〈A∗y, x〉 ∀x ∈ DA et y ∈ DA∗ .

L’application x 〈A∗y, x〉 étant continue dès que A∗y est défini, le domaine DA∗ de A∗

sera donc l’ensemble des vecteurs y de E tel que l’application x 〈y,Ax〉 soit continue.Toutefois, si DA est quelconque, A∗y n’est pas défini de façon unique par la formule

précédente car, si x0 est orthogonal à DA, on a :

〈A∗y + x0, x〉 = 〈A∗y, x〉 ∀x ∈ DA.

Afin d’éviter cet inconvénient il faut, pour pouvoir définir A∗, que le seul vecteur ortho-gonal à DA soit 0 ; ou encore, que DA = E.

On commet souvent l’abus d’identifier un Hilbert E avec son dual E ′. On peut alorsconsidérer que A∗ est défini dans E.

Définition 5.1.2. Soit E un Hilbert. Un opérateur A : DA ⊂ E −→ E, linéaire non bornéavec DA = E est dit· Symétrique si

〈Ax, y〉 = 〈x,Ay〉 ∀xy∈ DA

· Autoadjoint (= hermitien) si A = A∗ (ce qui sous-entend DA = DA∗)

Remarque 5.1.4. · Quand A ∈ L (E) il n’y a pas lieu de distinguer entre symétriqueet autoadjoint.· Quand A est non borné, il est clair que : autoadjoint =⇒ symétrique. La réci-

proque n’est pas vraie : Si A est symétrique on a A < A∗ (ce qui sous entend (il peutarriver que A A∗) DA ⊂ DA∗ et A∗ = A sur DA)

Définition 5.1.3. Soit E un Hilbert. Un opérateur A : DA ⊂ E −→ E linéaire non bornéavec DA = E est dit· Normal si A∗A = AA∗ et si A est fermé· Unitaire si A∗A = AA∗ = I et si A est fermé.

5.2 Théorie spectrale

Etant donné un opérateur linéaire A défini dans un Hilbert E, nous allons étudierles propriétés de l’opérateur A − λI où λ ∈ C et I est l’opérateur identité. ∀λ, on aDA−λI = DA.

L’inverse de A−λI, quand il existe, est appelé opérateur résolvant ou résolvante de A.On le note

Rλ (A) = (A− λI)−1.

L’étude de Rλ (A) simplifie considérablement celle de A.L’objet de la théorie spectrale est l’étude des propriétés de Rλ (A) en tant que fonction

de λ définie dans C et à valeurs dans l’ensemble des opérateurs linéaires dans E.

Définition 5.2.1. On appelle ensemble résolvant ρ (A) de l’opérateur linéaire A, l’en-semble des valeurs de λ telles que Rλ (A) existe, soit borné et à domaine dense. On appellespectre σ(A) de A, le complémentaire de ρ (A) .


Définition 5.2.2. · L’ensemble des valeurs de λ pour lesquelles Rλ (A) n’existe pasest appélé le spectre ponctuel (ou discret). On le note σp (A)· L’ensemble des valeurs de λ pour lesquelles Rλ (A) existe, est à domaine dense

mais n’est pas borné est appelé le spectre continu de A. On le note σc (A).· L’ensemble des valeurs de λ pour lesquelles Rλ (A) existe, mais n’est pas à

domaine dense est appelé le spectre résiduel de A. On le note σr (A).· Les éléments du spectre ponctuel sont appelés les valeurs propres de A.· Il est clair que certains des spectres que nous venons de définir peuvent être

vides. Par exemple, lorsque l’opérateur A est défini sur un Hilbert de dimension finie, ila, uniquement, un spectre ponctuel. La terminologie n’est pas parfaite. Le spectre ponctueln’est pas nécessairement dénombrable. Quant au spectre continu, il peut être dénombrableet même fini.· Si λ est valeur propre de A, le noyau de A−λI n’est pas 0 ; ou encore l’équation

Ax = λx a une solution x 6= 0. Une telle solution est appelée vecteur propre de A associéà λ.· Si x1 est un vecteur propre associé à λ1 et x2 un vecteur propre associé à λ2, x1

et x2 sont linéairement indépendants si λ1 6= λ2. Ce résultat s’étend à tout ensembledénombrable de vecteurs propres associés à un ensemble dénombrable de valeurs propres.

Il peut arriver qu’à 1 valeur propre soient associés plusieurs vecteurs propres linéaire-ment indépendants. On dit alors que la valeur propre est dégnérée. Dans le cas contraire,elle est dite non dégnénérée ou simple.

Exemple :Soit P un opérateur de projection défini sur un Hilbert E. Nous allons montrer que le

spectre de P est discret et qu’il ne comporte que 2 valeurs propres : 0 et 1.Si x ∈ E, on l’écrit

x = x1 + x2 où x1 ∈ RP et x2 ∈ R⊥P .

L’oprérateur P −λI a un inverse si l’équation (P − λI)x = 0 n’admet que la solutionx = 0.

Or(P − λI)x = x1 − λx1 − λx2.

Ce qui montre que, si x 6= 0 est solution de l’équation précédente, on doit avoir.- Soit λ = 0 et alors x1 = 0 et donc x ∈ R⊥

P

- Soit λ = 1 et alors x2 = 0 et donc x ∈ RP .0 et 1 sont donc les seules valeurs propres de P et si, comme c’est souvent le cas,

dimRP et dimRP

sont différentes de 1, elles sont toutes deux dégnérées.Pour montrer que le spectre continu et le spectre résiduel de P sont vides, il faut

montrer que si λ est différent de 0 ou 1, l’opérateur (P − λI)−1 est borné et à domainedense.

Or - le domaine de (P − λI)−1 est E tout entier- si x ∈ E, on a

(P − λI)−1 x =x1

1− λ −x2

λoù

∣∣∣∣x1 ∈ RP

x2 ∈ R⊥P


D’où∥∥(P − λI)−1 x

∥∥‖x‖ ≤

‖x1‖|1− λ| +

‖x2‖λ

(‖x1‖2 , ‖x.‖2

)1/2.

Théorème 5.2.1. Soit A un opérateur linéaire défini dans un Hilbert E. Alors(1) σ (A) est ouvert.(2) La fonction λ Rλ (A) est analytique pour tout λ ∈ ρ(A)(3) σ (A) fermé et non vide.

Démonstration. (1) Si λ0 ∈ P (A), l’opérateur résolvant Rλ0(A) existe, est borné et à

domaine dense.Montrons que il existe une boule ouverte de rayon r centrée en λ0 et telle que,pour tout λ appartenant à cette boule, l’opérateur Rλ (A) existe, est borné età domaine dense.

En effet, si la série∞∑

n=0

(λ− λ0)nRn+1

λ0(A)

converge, elle définit, en vertu du lemme §5.3, un opérateur borné dont le domaine coïncideavec celui de Rλ0

(A) et qui, par conséquent, est dense. Or cette série converge si

|λ− λ0| < ‖Rλ0(A)‖−1 = r

et, dans ce cas, sa somme est égale à

Rλ0(A)

I − (λ− λ0)Rλ0(A)

qui n’est autre que Rλ (A) car

[Rλ (A)]−1 = A− λI = (A− λ0I)− (λ− λ0) I

= [I − (λ− λ0)Rλ0(A)] (A− λ0I) = [I − (λ− λ0)Rλ0

(A)] [Rλ0(A)]−1 .

(2) La formule

Rλ (A) =∞∑

n=0

(λ− λ0)nRn+1

λ0(A)

montre que la fonction λ Rλ (A), définie pour tout λ ∈ ρ (A) et à valeurs dans L (E),est analytique et que, en particulier, la dérivée de cette fonction au point λ0 est égale àR2

λ0(A).

Remarque 5.2.1. Ce résultat aurait pu, aussi, être obtenu comme conséquence de larelation de Hilbert

Rλ (A)−Rµ (A) = (λ− µ)Rλ (A)Rµ (A) , ∀λ, µ ∈ P (A).

Car cette relation implique, en effet, que la limite

limλ−→0

Rλ0+λ (A)−Rλ0(A)

λ


qui est, par définition, la dérivée de Rλ (A) en λ0 est égale à R2λ0

(A).La relation de HIlbert qui s’établit facilement, en remarquant que :

Rλ (A)−Rµ (A) = Rλ (A) [A− µI]Rµ (A)−Rλ (A) [A− λI]Rµ (A)

montre, en outre, que Rλ (A) et Rµ (A) commutent.(3) σ (A) est fermé puisque c’est par définition le complémentaire de P (A).σ (A) n’est pas vide car alors λ Rλ (A) serait analytique dans tout le plan complexe

et donc, en vertu du théorème de Liouville* serait constante, ce qui n’est pas.

Théorème 5.2.2. Soit A un opérateur autoadjoint défini dans un Hilbert E. Alors(1) Ses valeurs propres sont réelles.(2) Les vecteurs propres associés à des valeurs propres 6= sont orthogonaux.(3) Son spectre résiduel est vide.(4) Son spectre continu est réels.

Démonstration. (1) Résulte de

〈x,Ax〉 = 〈Ax, x〉 = 〈x,Ax〉.

(2) Si x1 est un vecteur propre associés à 1λ, x2 vecteur propre associé à λ2, on a :

(λ1 − λ2) 〈x1, x2〉 = 〈Ax1, x2〉 − 〈x1, Ax2〉 = 0.

D’où〈x1, x2〉 = 0

(3) Si λ ∈ C, l’équation Ax− λx = y a pour solution x = Rλ (A) y〈x,Ax〉 étant réel, la relation

〈x,Ax〉 − λ ‖x‖2 = 〈x, y〉

(obtenue en multipliant par x les 2 membres de l’équation) implique

|Imλ| ‖x‖2 = |Im 〈x, y〉| ≤ |〈x, y〉| ≤ ‖x‖ ‖y‖ .

Théorème 5.2.3 (de Liouville). Une fonction f (z) analytique dans C (i.e. entière) etbornée dans C est constante.

Démonstration.

f (z) =∑

n≥0

anzn =

∑

n≥0

anrneinθ =⇒ anr

n−1

2π

∫ 2π

0

e−inθf (reiθ)dθ =⇒ |an| <M

qdrn

n→∞ −→ 0.

et donc f (z) = a0.ou encore

‖x‖ = ‖Rλ (A) y‖ ≤ ‖y‖|Imλ‖ ,

ce qui montre que Rλ (A) est borné.Si donc Imλ 6= 0, λ appartient soit à p (A), soit à σr (A).


Il appartient en réalité à p (A) car la relation⊕

DRλ(A) = RA−λI =

[Ker

(A− λI

)]⊥

montre que DRλ(A) = E car λ n’étant pas, par hypothèse, valeur propre de A, on a

Ker(A− λI

)= 0 .

⊕ La relation〈y,Ax〉 = 〈A∗y, x〉

qui définit A∗ montre que si

x ∈ Ker A, 〈A∗y, x〉 = 0

et doncKer A = (RA∗)⊥−

De même siy ∈ Ker A∗, 〈y,Ax〉 = 0

et donc y ∈ R⊥A.

D’où RA = [Ker A∗]⊥. Pour obtenir ⊕, il suffit de remplacer A∗ par A− λI.(4) La démonstration précédente a permis d’établir que si Imλ 6= 0, alors λ ∈

P (A).On en déduit donc que le spectre de A nécessairement réel.

· Ce théorème est important en Mécanique Quantique où toute observable (i.e.toute grandeur physique mesurable comme, par exemple, l’impulsion ou l’énergie d’uneparticule) est représentée par un opérateur linéaire autoadjoint.

Théorème 5.2.4. Soit A un opérateur linéaire borné défini sur un Hilbert E. Alors(1) Son spectre σ (A) est inclus dans un disque de rayon ‖A‖, centré en 0.(2) Son ensemble résolvant p (A) n’est pas vide.

Démonstration. (1) La série de Laurent

Rλ (A) = −∞∑

n=0

An

λn+1

étant convergente pour tout λ tel que |λ| > ‖A‖, on en déduit que le complémentaire dudisque de rayon ‖A‖ centré en 0 est inclus dans p (A) :

[B‖A‖ (0)

]cp (A)

et doncB‖A‖ (0) ⊃ σ (A) = [p (A)]c .

(2) p (A) 6= φ

Définition 5.2.3. On appelle rayon spectral d’un opérateur linéaire borné A, le nombrepositif r (A) déini par

r (A) = supλ∈σ(A)

|λ|


· Bien évidemment r (A) ≤ ‖A‖ .· Si A = A∗,on a r (A) = ‖A‖ - en effet,

∥∥A2∥∥ = sup

‖x‖≤1

∣∣⟨A2x, x⟩∣∣ = sup

‖x‖≤1

|〈Ax,Ax〉| = ‖A‖

et, en appliquant la règle de Cauchy,

r (A) = limn−→∞

A2n 1

2n= ‖A‖ .

Théorème 5.2.5. Soit A un opérateur linéaire autoadjoint borné défini sur un HilbertE. On suppose que l’application

x |〈Ax, x〉|atteint son maximum, sur x; ‖x‖ = 1 pour x = x1. Alors x1 est un vecteur propre de Aassocié à la valeur propre λ1 de plus grand module.

Démonstration. Soity ∈ E, y ⊥ x1.

Soit

x =x1 + εy√

1 + |ε|2 ‖y‖2,

où ε ∈ C

〈Ax, x〉 =1

1 + |ε|2 ‖y‖2[〈Ax1, x1〉+ ε 〈Ax1, y〉+ ε 〈Ay, x1〉+ |ε|2 〈Ay, y〉

].

Si ε, que l’on peut choisir de module arbitrairement petit, est tel que ε 〈Ax1, y〉 soitréel, on en déduit que

ε 〈Ay, x1〉 = ε 〈y,Ax1〉 = ε 〈Ax1, y〉est aussi réel et, au premier ordre en ε, on a

〈Ax, x〉 = 〈Ax1, x1〉+ 2ε 〈Ax1, y〉 .ce qui montre qu’on pourrait choisir ε tel que

|〈Ax, x〉| > 〈Ax1, x1〉 ,

contrairement à l’hypothèse. Par conséquent, pour tout y ∈ E, orthogonal à x1, on a

〈Ax1, y〉 = 0. i.e. Ax1 = λ1x1 où λ1 ∈ R.

En outre, comme〈Ax1, x1〉 = |λ1| ‖x1‖2 ,

la valeur propre λ1 est celle du plus grand module.=⇒ Dans la pratique, ce théorème donne une méthode permettant de déterminer, de

proche en proche, les valeurs propres λ1, λ2, ..., λk, ... ordonnées par valeurs ↓ du module.


On détermine successivement les e.v.

E1, E2, ..., Ek, ...

en maximisant |〈Ax, x〉| où x est un vecteur normé qui appartient successivement à

E,E⊥1 , E

⊥2 , ..., E

⊥k où E⊥

k

est le supplémentaire orthogonal de

E1 ⊕ E2 ⊕ ...⊕ Ek.

La valeur du maximum de |〈Ax, x〉| lorsque x ∈ E⊥k−1, est égale à |λk|.

La valeur propre λk associée à l’ensemble des vecteurs propres engendrant Ek, estensuite précisée en écrivant 〈Ax, x〉 = λk où x est un vecteur normé ∈ Ek.

Définition 5.2.4. Soient E,F deux Hilbert (ou deux Banach). On dit qu’un opérateurA ∈ L (E,F ) est compact si A

(BE

1 [0])

est relativement compact pour la topologie forte.On désigne par K (E,F ) l’ensemble des opérateurs compacts et on pose

K (E) = K (E,E) .

Définition 5.2.5. On dit qu’un opérateur A ∈ L (E,F ) est de rang fini si dimRA <∞.Il est clair qu’un opérateur de rang fini compact.

Théorème 5.2.6. Si A est un opérateur linéaire compact sur un Hilbert E et λ une valeurpropre non nulle de A, l’espace vectoriel

Eλ = Ker (A− λI)

est de dimension finie.

Démonstration. Désignons par (xn)n∈Nune suite de vecteurs propres indépendants asso-

ciés à la valeur propre λ et par En le s.e.v. de Eλ engendré par les vecteurs

x1, x2, ..., xn.

Puisquexn /∈ En−1, α = d (xn, En−1) 6= 0.

Considérons x ∈ En−1 tel que ‖xn − x‖ < 2α, on a

d (xn, En−1) = d (xn − x,En−1) .

Par conséquent, la suite (yn)n∈Ndéfinie par

In =xn − x‖xn − x‖

vérifie :

‖yn‖ = 1, yn ∈ En et d (yn, En−1)> 1

2.


Par ailleurs, on a 1λAyn = yn et donc∥∥∥∥

1

λAyp −

1

λAyq

∥∥∥∥ = ‖yp − yq‖ >1

2∀p 6= q.

Ce qui montre que si la suite bornée⊕(yn

λ

)était finie, il en serait de même de la

suite image

(1

λAyn

)mais qu’il sderait impossible d’extraire de cette suite une sous-suite

convergente. Or A est compact ; d’où une contradiction, et donc la suite (yn) contientnécessairement un nombre fini de termes.

Ce nombre est égal à la dimension de Eλ.⊕ bornée car λ 6= 0.

On déduit immédiatement de ce théorème :

Corollaire 5.2.1. ∀ε > 0 l’e.v. ⊕|λ|>ε

Eλ est de dimension finie.

Corollaire 5.2.2. ∀ε > 0 le nombre des valeurs propres de module > ε est fini.

Théorème 5.2.7. Théorème spectral pour les opérateurs compacts autoadjointsSoit A un opérateur linéaire compact autoadjoint défini dans un Hilbert E et soit (λn)

la suite, finie ou infinie, de ses valeurs propres. Alors(1)

A =∑

n

λnPEλnoù PEλn

est l’opéraeur de projection orthogonale sur l’espace de dimension finie

Eλn= Ker (A− λnI)

(2)E = E0 ⊕

nEλn

où E0 = Ker A

Définition 5.2.6. (1) est la représentation spectrale de A(2) est la décomposition spectrale de E.

Démonstration du théorème 5.2.7. Ce théorème est une conséquence des précédents.· On détermine la suite (λn) des valeurs propres de A, de proche en proche, en

appliquant théo D.A la valeur propre λn est associé l’e.v. Eλn

des vecteurs propres correspondants. Envertu du théorème E, cet espace est de dimension finie.· Notons qui si A 6= 0, il possède au moins une valeur propre non nulle. Sinon, quel

que soit le vecteur normé x de E, |〈Ax, x〉| serait nul, en contradiction avec l’hypo A 6= 0.· Toutes les valeurs propres non nulles de A étant déterminées, considérons l’e.v.

E0 supplémentaire orthogonal de⊕

n

Eλn.

· Si E0 = 0, la duite (λn) est nécessairement infinie lorsque E est de dimensioninfinie et, en vertu du corollaire 2 du théo. E, on a lim

n−→∞λn = 0.

· Si E 6= 0, 0 est valeur propre et, lorsque la suite (λn) est infinie, 0 est pointd’accumulation de cette suite. Si (λn) est finie, E0 est nécessairement de dimension infinielorsque E est de dimension infinie.


En résumé, dans tous les cas, on a E = E0nEλnou encore

x = x0 +∑

n

xn, ∀x ∈ E ou

x0 ∈ E0, xn ∈ Eλn(n = 1, 2, ....) . x0 +

∑

n

xn

est la décomposition canonique de x. Cette décomposition est unique.

Ax =∑

n

λn xn i.e. A =∑

n

λnPEλn.

- Ce théorème caractérise les opérateurs autoadjoints compacts. Leur spectre dis-cret est dénombrable.

Si la suite (λn) est finie, 0 est nécessairement valeur propre.Dans le cas contraire, 0 fait partie soit du spectre discret, soit du spectre continu.On sait par ailleurs que le spectre résiduel d’un opérateur autoadjoint est vide (théo

B).L’ensemble des vecteurs propres est total dans l’espace final de A. Si ce système est

complété par un système orthogonal total dans Ker A on obtient un système orthogonaltotal dans E.

- Si A et B sont deux opérateurs compacts autoadjoints tel que AB = BA, ils ont même décompositionspectrale. En effet, si xn ∈ Eλn

on a

Axn = λnxn et ABxn = BAxn = λnBxn

ce qui montre que Bxn ∈ Eλn.

Théorème 5.2.8. Soit y un vecteur de E dont on connaît la décomposition canoniquey0 +

∑n yn.

(1) Si λ n’est pas valeur propre de A, la solution unique de l’équation Ax−λx = yest donnée par sa décomposition canonique.

x = −1

λy0 +

∑

n

1

λn − λyn

(2) Si λ est égal à une des valeurs propres λk de A, l’équation Ax−λx = y n’a desolution que si yk = 0 et, dans ce cas, les solutions sont données par

x = − 1

λk

y0 +∑

n6=k

1

λn − λk

yn + xk où xk ∈ Eλk.

(3) Pour que l’équation Ax = y ait une solution, il faut et il suffit que y0 = 0 et

que la série∑

n

1

λ2n

‖yn‖2 soit convergente ; dans ce cas, les solutions sont données par

x = x0 +∑

n

1

λn

yn où x0 ∈ E0.


Démonstration. Immédiate. Elle repose sur l’unicité de la décomposition canonique d’unvecteur de E.

Les résultats (1) et (2) constituent l’alternative de Fredholm qu’on peut énoncer defaçon + concise en disant : ”Soit A− λI a un inverse, soit Ax = λx a une solution x 6= 0.

La grande majorité des opérateurs autoadjoints non bornés, qu’on rencontre en phy-sique, sont des opérateurs différentiels.Aussi nous ne chercherons pas à établir un théorème spectral plus général que le théorèmeF , s’appliquant à tout opérateur autoadjoint.

En effet on détermine le spectre d’un opérateur différentiel par des méthodes plusintéressantes (disributions tempérées et transformation de Fourier permettant de passerà un autre opérateur ayant le même spectre).

Nous énoncerons quand même ce théorème.

Théorème 5.2.9. Théorème de décomposition spectrale d’un opérateur autoadjoint A dedomaine D dans un Hilbert E :

Il existe une unique famille de projecteurs orthogonaux (θλ)λ∈I dans E tels que :(1)

θλ θµ = θµ θλ si λ ≤ µ

(2)∀λ ∈ R, ∀x ∈ E le vecteur lim

µ−→λµ>λ

θµ x existe

(3)∀x ∈ E, lim

λ−→+∞θλ x = 0 et lim

λ−→+∞θλ x = x

(4)

∀x ∈ D, ∀y ∈ E, 〈Ax, y〉 =

∫

R

λd (θλ x, y)

où∫

est de Stieltjes.(5)

x ∈ D ⇐⇒∫

R

λ2d (θλ x, x) existe

(6)∀x ∈ D, on a θλx ∈ D et Aθλx = θλAx

(7)∀x ∈ E, ∀λ, µ ∈ R on a θλ x− θµ x ∈ D.

Idée de la démonstration.

. Si nous définissons θλ0= 0 ←− introduit pour les notations - (pas de signification)

θλ1= PEλ1

θλ2= PEλ1

+ PEλ2

...........................θλm

= PEλ1+ PEλ2

+ ...+ PEλm

..............................

Alors A =∑

i λi

(θλi− θλi−1

)=∑

i λi Eλice qui suggère A =

∫λdEλ.

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