1

LIMITES Soient P et Q deux fonctions polynôme de degré n et m et du monôme de plus haut degré anxn et bnxm

respectivement alors

=+∞→

)x(Plimx

nn

xxalim

+∞→ ; =

−∞→)x(Plim

x n

nx

xalim−∞→

=+∞→ )x(Q

)x(Plim

x mm

nn

x xb

xalim

+∞→ ; =

−∞→ )x(Q

)x(Plim

x mm

nn

x xb

xalim

−∞→

Exemple : 1x5x

1xx2x2lim

2

43

x −+−+−

−∞→ =

2

4

x x

x2lim

−−∞→

= 2

xx2lim −

−∞→ = −∞

Limites trigonométries

1x

)xsin(lim

0x=

→ ; 1

x

)xtan(lim

0x=

→ ;

2

1

x

)xcos(1lim

20x=−

→ ; 0

x

)xcos(1lim

0x=−

→

ax

)axsin(lim

0x=

→ ; 1

x

)axtan(lim

0x=

→ ;

2

a

x

)axcos(1lim

2

20x=−

→ ; 0

x

)axcos(1lim

0x=−

→

Exemple : )xsin(.x

)xcos(1lim

0x

−→

=

²x

)xsin(.x²x

)xcos(1

lim0x

−

→ =

x

)xsin(²x

)xcos(1

lim0x

−

→ =

2

1

1

2

1

=

Théorème d’encadrement Soit f , g et h trois fonctions telles que :

Si

∈==≤≤

)Rl(lglimflim

xdesinvoixpour)x(g)x(h)x(f

00 xx

0 alors lhlim

0x= ( x0 fini on infini )

Exemple :

+→ x

1sinxlim

0x

On a : 1x

1sin1 ≤

≤− alors pour tout 0x > : xx

1sinxx ≤

≤−

Alors on a :

==−

≤

≤−

++0xlim)x(lim

0desinvoixpourxx

1sin.xx

00

alors

+→ x

1sinxlim

0x=0

Théorème de comparaison Soit f et g deux fonctions telles que :

Si

+∞=≥

glim

xdesinvoixpour)x(g)x(f

0x

0 alors +∞=flim

0x

Si

−∞=≤

glim

xdesinvoixpour)x(g)x(f

0x

0 alors −∞=flim

0x( x0 fini on infini )

Exemple : Soit f(x) = x².(2+cos(x) ). Calculer )x(flimx +∞→

On a : 2 + cosx ≥ 2 + -1 alors 2 + cosx ≥ 1 ainsi f(x) ≥ x²

On a alors

+∞=≥

∞+²xlim

xdesinvoixpourx)x(f 02

alors )x(flimx +∞→

= +∞

Théorème ; fonction composé Soit f et g deux fonctions telles que :

yflim0x

= et zglimy

= alors zfglim0x

=� ( x0 , y et z finis ou infinis )

Exemple :

++∞→ x2

x1sinlim

x

π

On peut écrire h = fg � avec f : xx2

x1 π+֏ et g )xsin(֏ et h(x)

+=x2

x1sin

π

Fiche de cours 4ème Maths

Continuite et limitesContinuite et limitesContinuite et limitesContinuite et limites

Maths au lycee Maths au lycee Maths au lycee Maths au lycee *** Ali AKIRAli AKIRAli AKIRAli AKIR

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2

On a : =+∞→

)x(flimx x2

x1lim

x

π++∞→

= x2

xlim

x

π

+∞→ =

22lim

x

ππ =+∞→

et 1)x(glim

2x

=→ π

alors =+∞→

)x(hlimx

1

ASYMPTOTE

?)x(flimx

=∞→

b)x(flimx

=∞→

∞=∞→

)x(flimx

by:∆ = est un

asymptote

horizontale

?x

)x(flimx

=∞→

a

x

)x(flimx

=∞→

∞=∞→ x

)x(flimx

0x

)x(flimx

=∞→

( ) ?ax)x(flimx

=−∞→

Branche

parabolique

de directeur

(y’y)

Branche

parabolique

de directeur

(x’x)

( ) bax)x(flimx

=−∞→

( ) ∞=−∞→

ax)x(flimx

baxy:∆ += est

un asymptote

oblique

Branche

parabolique de

cœfficient

directeur a.

FONCTION CONTINUE Définition 1 :

Une fonction f est continue en un point a si )a(f)x(flimax

=→

Définition 2 :

Une fonction f est continue sur un intervalle I, si elle est définie sur cet intervalle et si : pour tout réel a de I

)a(f)x(flimax

=→

La fonction partie entière

*) La fonction Partie entière qui à tout réel x associe le plus grand entier relatif

inférieur à x , noté E(x) , est représentée ci-dessous.

Pour tout réel x , on a 1)x(Ex)x(E +<≤

par exemple : 2)2,2(E = et 3)2,2(E −=−

E est-elle continue en 2 ?

Pour [ [2,1x ∈ , E(x) = 1donc 1)x(Elim2x

=−→

Pour [ [3,2x ∈ , E(x)=2 donc 2)x(Elim2x

=+→

Ces limites étant différentes, la fonction E n’admet pas de limite en 2.

Donc E n’est pas continue en 2.

*) la fonction Partie entière n’est pas continue sur R. Elle est continue sur

tout intervalle du type [ [1n,n + , où n est un entier relatif quelconque.

3

Théorème

*)L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

*)les fonctions polynômes sont continues sur R .

*)les fonctions rationnelles sont continues sur leur domaine de définition c’est à dire en tout point où le

dénominateur ne s’annule pas.

*)Si f est continue en x0 et g est continue en f(x0), alors fg � est continue en x0

Théorème :

*) Soit f une fonction f définie sur un intervalle de type [ [b,a ( b finie ou infini)

Si la fonction f est croissante et majorée alors f possède une limite finie en b.

Si la fonction f est croissante et non majorée alors f tend vers +∞ en b.

*) Soit f une fonction f définie sur un intervalle de type ] ]b,a (a finie ou infini)

Si la fonction f est décroissante et minorée alors f possède une limite finie en a.

Si la fonction f est décroissante et non minorée alors f tend vers −∞ en a .

Théorème de la valeur intermédiaire

Si f est une fonction continue sur un intervalle [a,b], alors pour tout réel c compris entre f (a) et f (b) , l’équation

f (x) = c admet aux moins une solution α∈ [a,b].

Corollaire 1 de TVI

Si f est continue sur I = [a,b] et telle que f(a) × f(b) < 0 alors il existe au moins un réel x0∈ ]a,b[ tel que f(x0) = 0 .

Et si de plus f est strictement monotone sur I alors il existe un unique réel x0∈ ]a,b[ tel que f(x0) = 0 .

Corollaire 2 de TVI

Si f est continue sur I = [a,b] et ne s’annule pas alors elle garde un signe constante sur I

Exemple : I=[1,2] et f(x) = x3 + x – 3

f est dérivable sur I et on a : f’(x) = 3x² +1 0>

f(1)=-1 et f(2)=7

Alors on a : f est continue sur I , f(1) × f(2) < 0 et f est strictement croissante sur I

Alors il existe un unique réel x0∈]1,2[ tel que f(x0) = 0 .

Illustrations graphiques

f est continue et strictement croissante sur

l’intervalle [ a ; b ].

L’équation f (x) = c admet une solution unique.

f est continue et strictement décroissante sur

l’intervalle [ a ; b ] .

L’équation f (x) = c admet une solution unique .

f est continue mais n’est pas monotone sur

l’intervalle [ a ; b ] .

L’équation f (x) = c peut avoir plusieurs solutions

f n’est pas continue sur l’intervalle [ a ; b ] .

L’équation f (x) = c peut ne pas avoir de solutions.

a b

f ( a)

f ( b)

c y = c

O a α 1 b

f ( a)

f ( b)

c y = c

α 2 α 3 O

a α b

f ( a)

f ( b)

c y = c

O a α b

f ( a)

f ( b)

c y = c

O