CHAMPS DE SCALAIRES ET DE VECTEURS

1. LES SYSTÈMES DE COORDONNÉES

1.1 Coordonnées cartésiennes

y

x

z

M

m

Ox

y

z

dy

dz

dx

xe

yeze

M ′

Dans le repère orthonormé direct ),,,( zyx eeeO

rrr, le vecteur position s’écrit :

========→→→→

OMrr

zyx ezeyexrrr

++++++++ , où x (abscisse), y (ordonnée) et z (cote) sont les coordonnées

cartésiennes du point M.

Déplacement élémentaire du point passant de M à M′ infiniment voisin :

• si x varie de dx, le point matériel se déplace de dx selon le vecteur xer

;

• si y varie de dy, le point matériel se déplace de dy selon le vecteur yer

:

• si z varie de dz, le point matériel se déplace de dz selon le vecteur zer

.

Sous l’effet d’une variation infinitésimale dx, dy, dz de ses coordonnées x, y, z, le vecteur position varie de zyx ezeyexr

rrrrdddd ++++++++====

Le parallélépipède représenté sur la figure ci-dessus permet de calculer l’élément différentiel de

volume en coordonnées cartésiennes : zyx dddd3 ====VVVV . Le volume d’un domaine compact (D)

de l’espace est donc : ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∈∈∈∈∈∈∈∈

========)()(

3 ddddDPDP

zyxVV

On balaie l’espace entier en prenant 3R),,( ∈zyx

1.2 Coordonnées cylindriques

θ reθe

y

x

z

M

m

O

zdz

dr

ze

M ′θd

θdr

θdr

On projette les différents vecteurs dans une base mobile orthonormée directe ( rer

, θer

, zer

)

attachée au point M, définie de la manière suivante :

Si m est le projeté orthogonal de M sur le plan xOy, rer

(vecteur radial)r

Om→

= avec →

= Omr .

θ est l’angle orienté ( xer

, rer

) dans le plan xOy, θer

(vecteur orthoradial) se déduit alors de rer

d’une rotation de 2π+ autour de Oz. ze

r complète le trièdre direct.

r (rayon polaire), θ (angle polaire) et z (cote) sont les coordonnées dans la base ( rer

, θer

, zer

) du

point M.

Le vecteur position s’écrit donc zr ezerOMrrrr

++++========→→→→

(attention : r n’est pas ici la norme du

vecteur position).

Déplacement élémentaire du point passant de M à M′ infiniment voisin :

• si r varie de dr, le point matériel se déplace de dr selon le vecteur rer

;

• si θ varie de dθ, le point matériel se déplace de rdθ selon le vecteur θer

;

• si z varie de dz, le point matériel se déplace de dz selon le vecteur zer

.

remarque : dθ étant infiniment petit, l’arc de cercle de longueur rdθ se confond en fait avec un segment rectiligne.

Sous l’effet d’une variation infinitésimale dr, dθ, dz de ses coordonnées r, θ, z, le vecteur position varie de zr ezererr

rrrrddθdd ++++++++==== θθθθ

Le parallélépipède représenté sur la figure ci-dessus permet de calculer l’élément différentiel de

volume en coordonnées cylindriques : zrr dddd3 θθθθ====V . Le volume d’un domaine compact (D)

de l’espace est donc : ∫∫∫∫∫∫∈∈

==)()(

3 ddθddDPDP

zrrVV

On balaie l’espace entier en prenant [ [ [ ] R,2,0,,0 ∈π∈θ+∞∈ zr

1.3 Coordonnées sphériques

θ

er

eθ

eϕ

y

x

z

M

mO

r

H

r

eθ

re

eϕ

θ

m

MH

O

λ

z

méridien

parallèle

On projette les différents vecteurs dans une base mobile orthonormée directe ( rer

, θer

, ϕer

)

attachée au point M, définie de la manière suivante :

rer

(vecteur radial)r

OM→

= avec rOMrr

==→

.

θ est l’angle orienté ( zer

, rer

) dans le plan (O, zer

, rer

), θer

(vecteur orthoradial) est alors un

vecteur du plan vectoriel ( zer

, rer

) se déduisant de rer

d’une rotation de 2π+ .

ϕer

complète le trièdre direct. C’est un vecteur du plan vectoriel ( xer

, yer

) car il est orthogonal à

zer

.

r (rayon), θ (colatitude) et ϕ (azimut) sont les coordonnées dans la base ( rer

, θer

, zer

) du point

M.

Pour visualiser les directions de θer

et ϕer

, on peut tracer la sphère de centre O et de rayon r.

θer

est alors porté par un méridien et reϕ par un parallèle. Ces références au repérage d’un

point à la surface de la Terre sont précisément à l’origine du nom colatitude porté par l’angle θ

(la latitude λ est l’angle (→

Om , rer

), on a donc λ+π=θ2

, comme on peut le voir sur la figure

représentant le plan méridien.

Le vecteur position s’écrit donc rerOMrrr

========→→→→

(r est bien ici la norme du vecteur position).

Déplacement élémentaire du point passant de M à M′ infiniment voisin :

θ

re

θe

z

m

O

r

y

x

M ′Mϕd

θdr

ϕθdsinr

θd

θsinr

dr

ϕe

ϕe

• si r varie de dr, le point matériel se déplace de dr selon le vecteur rer

;

• si θ varie de dθ, le point matériel se déplace de rdθ selon le vecteur θer

;

• si ϕ varie de ϕd , le point matériel se déplace de rsinθdϕ selon le vecteur ϕer

.

Sous l’effet d’une variation infinitésimale dr, dθ, dϕ de ses coordonnées r, θ, ϕ, le vecteur position varie de ϕϕϕϕθθθθ ϕϕϕϕ++++++++==== erererr r

rrrrdθsindθdd

Le parallélépipède représenté sur la figure ci-dessus permet de calculer l’élément différentiel de

volume en coordonnées sphériques : ϕϕϕϕθθθθθθθθ==== dddsind 23 rrV . Le volume d’un domaine

compact (D) de l’espace est donc : ∫∫∫∫∫∫∈∈

ϕθ==)(

2

)(

3 ddθdsindDPDP

rrVV

V3d étant positif, on balaie l’espace entier en prenant [ [ [ ] [ ]π∈ϕπ∈θ+∞∈ 2,0,,0,,0r

2. DÉFINITIONS DES CHAMPS ET OPÉRATIONS

2.1 Définitions

Un champ de scalaires (par exemple un champ de températures) est défini en un point M et à un instant donné t par :

),(),(

RR4

tMVtM

V

a

→ , soit, en coordonnées cartésiennes : ),,,(),,,(

RR4

tzyxVtzyx

V

a

→

Un champ de vecteurs (par exemple un champ de forces) est défini par :

),(),(

RR 34

tMAtM

A

ra

r

→ , soit, en coordonnées cartésiennes : ),,,(),,,(

RR 34

tzyxAtzyx

A

ra

r

→

Ces champs peuvent n’être définis que dans un domaine restreint de l’espace.

Un champ est uniforme s’il est indépendant du point M, ce que l’on peut noter selon le type de

champs 0=∂∂MV

ou 0r

r

=∂∂MA

. Par exemple en coordonnées cartésiennes, on a pour un champ

uniforme 0=∂∂=

∂∂=

∂∂

zV

yV

xV

ou 0r

rrr

=∂∂=

∂∂=

∂∂

zA

yA

xA

avec

∂∂∂

∂∂

∂

=∂∂

xAx

Ax

A

xA

z

y

x

r

On peut représenter en quelques points un champ vectoriel uniforme à deux instants différents :

1t 2t

Un champ est stationnaire (ou permanent ) s’il garde la même valeur en un point M donné au

cours du temps, soit 0====∂∂∂∂∂∂∂∂

tV

ou 0r

r

====∂∂∂∂∂∂∂∂

tA

avec en coordonnées cartésiennes

∂∂∂

∂∂

∂

=∂∂

tAt

At

A

tA

z

y

x

r

On peut représenter en quelques points un champ vectoriel stationnaire à deux instants différents :

1t 2t

2.2 Lignes, tubes et cartes de champ pour un champ de vecteurs

À un instant t fixé, une ligne de champ relie les points M tels que le champ ),( tMAr

soit

tangent à la ligne. On l’oriente dans le sens du champ.

ligne de champà t),( 1 tMA

),( 2 tMA

1M

2M

Si on note →

OMd un déplacement élémentaire le long d’une ligne de champ, →

OMd est

colinéaire au M à ),( tMAr

, soit 0),(drr

====∧∧∧∧→→→→

tMAOM , ce qui fournit un système d’équations différentielles permettant de trouver l’équation d’une ligne de champ.

ligne de champà t

M),( tMA→

OMd

Par exemple pour un champ à deux dimensions en coordonnées cartésiennes :

),,(d

),,(d

0

0

0

0

),,(

),,(

0

d

d

tyxAy

tyxAx

tyxA

tyxA

y

x

yxy

x

=⇔

=

∧

Un ensemble de lignes de champ passant par un réseau de points donnés constitue une carte de champ .

carte de champ à t

L’ensemble des lignes de champ qui s’appuient sur un contour fermé γ constitue un tube de champ (c’est donc une surface).

tube de champ à t

2.3 Opérations sur les vecteurs

Produit scalaire dans une base orthonormée ),,( 321 eeerrr

:

332211),cos( BABABABABABAV ++++++++========⋅⋅⋅⋅====rrrrrr

Produit vectoriel dans une base orthonormée directe ),,( 321 eeerrr

, où 3er

est orientée dans le

sens de déplacement d’un tire-bouchon quand on tourne de 1er

vers 2er

:

−−−−−−−−−−−−

====

∧∧∧∧

====∧∧∧∧====

1221

3113

2332

3

2

1

3

2

1

BABA

BABA

BABA

B

B

B

A

A

A

BACrrr

Cr

est orthogonal à Ar

et à Br

, tel que ( Ar

,Br

,Cr

) soit direct et

θ⋅⋅=⋅⋅= sin),sin( BABABACrrrrrrr

θ+

+

A

B

C θ

A

B h S

S

Or l’aire S du parallélogramme formé par Ar

et Br

vaut hA ⋅=r

S (base × hauteur), soit :

θ⋅⋅= sinBArr

S , donc la norme du produit vectoriel BArr

∧∧∧∧ est l’aire du parallélogramme

formé par Ar

et Br

.

Double produit vectoriel : )( CBArrr

∧∧ est orthogonal à CBrr

∧ . Il est donc dans le plan

vectoriel généré par Br

et Cr

, soit CBCBArrrrr

γ+β=∧∧ )( . On retient alors facilement la formule :

)()()( BACCABCBArrrrrrrrr

⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅====∧∧∧∧∧∧∧∧

Un produit mixte CBACBArrrrrr

⋅⋅⋅⋅∧∧∧∧==== )(),,(déf

est invariant par permutation circulaire :

ACBBACCBACBArrrrrrrrrrrr

⋅∧=⋅∧=⋅∧= )()()(),,(

2.4 Circulation d’un champ de vecteurs

On définit la circulation d’un champ de vecteur à un instant t si le champ n’est pas stationnaire. On omettra le temps t dans ),( tMA

r pour ne pas alourdir les notations.

Considérons un déplacement élémentaire →

OMd à partir du point M. Par définition, la circulation élémentaire du champ de vecteurs )(MA

r le long de

ce déplacement élémentaire est →→→→

⋅⋅⋅⋅====δδδδ OMMA d)(r

CCCC

Attention ! ce n’est pas a priori une différentielle, c’est-à-dire la variation élémentaire d’une

fonction de l’espace f(M) : )()(d MfMff −′=≠δC avec →→

=′ OMMM d

Exemple : le travail élémentaire d’une force )(MFr

s’exerçant sur un point matériel qui se

déplace de →

OMd est une circulation : →

⋅=δ OMMFW d)(r

.

Circulation d’un champ de vecteurs le long d’un con tour orienté γγγγ :

∫∫∫∫→→→→γγγγ

→→→→ ⋅⋅⋅⋅====2

1

21d)(

M

MMM OMMA

rCCCC , qui dépend a priori du chemin γ choisi pour aller de 1M à 2M .

M

→OMd

)(MA

1M2M

On a en conséquence γ→

γ→ −=

1221 MMMM CC

Si le contour γ est fermé, on note ∫γ

→γ ⋅= OMMA d)(

rC , circulation a priori 0≠

M

→OMd

)(MA

M′

2.5 Flux d’un champ de vecteurs

On définit le flux d’un champ de vecteur à un instant t si le champ n’est pas stationnaire. On omettra le temps t dans ),( tMA

r pour ne pas alourdir les notations.

Considérons une surface élémentaire S2d autour d’un point M.

Cette surface est limitée par un contour élémentaire fermé γ dont l’orientation détermine grâce à la règle du tire-bouchon celle du

vecteur surface Sr

2d (de norme S2d , orthogonal à l’élément de

surface).

Le flux élémentaire du champ )(MAr

à travers S2d est la

grandeur orientée SSSS

rr22 d)(d ⋅⋅⋅⋅====ΦΦΦΦ MA

Flux d’un champ de vecteurs à travers une surface f inie.

• Si la surface s’appuie sur un contour fermé γ orienté, on a par définition :

∫∫∫∫∫∫∫∫γγγγ

⋅⋅⋅⋅====ΦΦΦΦ)(

2d)(SSSS

SSSS SSSS

rrMA , qui dépend a priori de la surface S choisie s’appuyant sur γ. Comme la

figure ci-dessous le montre, les vecteurs surface élémentaires sont orientés dès que le contour γ l’est.

S2d

)(γS

+

+M

+)(MA

• Si la surface S est fermée, tous les vecteurs surface élémentaires sont orientés par

convention de l’intérieur vers l’extérieur , et on note ∫∫∫∫∫∫∫∫ ⋅⋅⋅⋅====ΦΦΦΦSSSS

SSSS SSSS

rr2d)(MA .

S

S2d+

+

S2d

fermée

M

S2d

S2d

)(MA

3. LES OPÉRATEURS LINÉAIRES

3.1 Gradient

Cet opérateur linéaire s’applique à un champ de scalaires V(M). Donnons d’abord son expression en coordonnées cartésiennes :

VV→

→

→

grad

RR 3grad

a

avec

∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂

====→→→→

zV

yVxV

Vgrad sur la base ),,( zyx eeerrr

.

Remarque : on introduit parfois l’opérateur « nabla » noté ∇∇∇∇r

dont l’expression en coordonnées

cartésiennes est

∂∂∂∂∂∂∂∂

∂∂∂∂∂∂∂∂

∂∂∂∂∂∂∂∂

====∇∇∇∇

z

y

xr

si bien que VV ∇=→ r

grad .

Lorsque l’on passe du point M(x,y,z) au point )d,d,d( zzyyxxM +++′ infiniment voisin, la

fonction V varie de →→

⋅=∂∂+

∂∂+

∂∂= OMVz

zV

yyV

xxV

V dgraddddd .

Cette relation fournit la définition intrinsèque (indépendante du système de coordonnées

choisi) de l’opérateur V→

grad : lors d’un déplacement élémentaire →

OMd , V varie de dV, avec :

→→→→→→→→⋅⋅⋅⋅==== OMVV dgradd

Expression dans un système de coordonnées cylindriq ues :

puisque zr ezererrrr

ddθdOMd ++= θ

→, on a :

→→⋅=

∂∂+θ

θ∂∂+

∂∂=

∂∂+θ

θ∂∂+

∂∂= OMVz

zV

rV

rr

rV

zzVV

rrV

V dgraddd1

ddddd , d’où :

∂∂∂∂∂∂∂∂

θθθθ∂∂∂∂∂∂∂∂

∂∂∂∂∂∂∂∂

====→→→→

zV

Vr

rV

V1

grad sur la base ),,( zr eeerrr

θ .

Expression dans un système de coordonnées sphérique s :

puisque =→

OMd ϕθ ϕ++ ererer rrrr

dθsindθd , on a :

→→⋅=ϕθ

ϕ∂∂

θ+θ

θ∂∂+

∂∂=ϕ

ϕ∂∂+θ

θ∂∂+

∂∂= OMVr

Vr

rV

rr

rVVV

rrV

V dgraddsinsin1

d1

ddddd , d’où :

ϕϕϕϕ∂∂∂∂∂∂∂∂

θθθθ

θθθθ∂∂∂∂∂∂∂∂

∂∂∂∂∂∂∂∂

====→→→→

Vr

Vr

rV

V

sin1

1grad sur la base ),,( ϕθ eeer

rrr.

Interprétation physique de l’opérateur →→→→

grad :

V→

grad « mesure » les variations spatiales locales de V : plus V varie fortement au voisinage

de M, plus V→

grad est grand.

Le vecteur V→

grad indique dans quelles direction et sens varie localement V.

3.2 Rotationnel

Cet opérateur linéaire s’applique à un champ de vecteurs )(MAr

. Donnons d’abord son

expression en coordonnées cartésiennes :

AAr

ar →

→

→

rot

RR 3rot

3 avec

∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−

∂∂∂∂∂∂∂∂

∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−

∂∂∂∂∂∂∂∂

∂∂∂∂∂∂∂∂

−−−−∂∂∂∂

∂∂∂∂

====

∧∧∧∧

∂∂∂∂∂∂∂∂

∂∂∂∂∂∂∂∂

∂∂∂∂∂∂∂∂

====→→→→

yA

x

AxA

zA

z

A

yA

A

A

A

z

y

x

A

xy

zx

yz

z

y

x

rrot sur la base ),,( zyx eee

rrr.

Remarque : AArrr

∧∇=→rot

Pour donner une définition intrinsèque de Ar→

rot , on calcule la circulation élémentaire de Ar

le long d’un contour fermé. Ce contour étant élémentaire, peu importe sa forme : on choisit un rectangle de côtés dx et dy.

y

x

z

M

m

Ox

y

z

dydx

xe

yeze

2M1M

3M

zeyxddd2 =S

→→→→⋅+⋅+⋅+⋅=δ MMMAMMMAMMMAMMMA 333222111

2 )()()()(rrrr

C or →→

⋅=⋅ 111 )()( MMMAMMMArr

puisque xexMMr

d1 =→

est déjà d’ordre 1 en dx. De même →→

⋅=⋅ 212211 )()( MMMAMMMArr

. On a

donc [ ] [ ] yx eyMAMAexMAMArrrrrr

d)()(d)()( 32212 ⋅−+⋅−=δ C

yxyA

x

Ayx

x

Axy

yA xyyx dddddd2

∂∂−

∂∂

=

∂∂

+

∂∂−=δ C

Finalement SCrrrrrr

22 drotddrotddrot ⋅=⋅=

⋅

=δ

→→→AeyxAyxeA zz

Cette relation fournit la définition intrinsèque de l’opérateur →→→→rot : soit le champ vectoriel A

r

quelconque : )(

RR 33

MAM

A

ra

r

→ . On considère un contour élémentaire orienté γ , au

voisinage du point M, et Sr

2d le vecteur surface élémentaire d’une surface

quelconque s’appuyant sur le contour. Soit C2δ la circulation de A

r sur ce

contour. On a alors : SSSSCCCC

rr22 drot ⋅⋅⋅⋅====δδδδ

→→→→A .

Théorème de Stokes

On obtient la forme intégrale de cette relation, appelée théorème de Stokes, en découpant une surface quelconque S s’appuyant sur un contour fermé γ en surfaces élémentaires. On considère deux de ces surfaces élémentaires voisines (elles possèdent un bout de contour commun) autour de 1M et 2M .

M

S2d

S2d

)(γS

1M 2M

C2δ

12Cδ

22Cδ

circulation totale nulle

surfaceque l’on découpe en surfaces élémentaires

Les contours élémentaires sur lesquels elles s’appuient sont orientés dans le même sens que γ, si bien que la circulation sur le segment commun est comptée avec des signes opposés dans

le calcul des circulations élémentaires 1 2Cδ et 2

2Cδ . La circulation C

2δ sur le contour qui

entoure les deux surfaces élémentaires vaut donc :

2 2

21 2

12 2

1 22 d))(rot(d))(rot( SSCCC

rrrrMAMA

→→+=δ+δ=δ .

En sommant les circulations sur tous les contours élémentaires, on obtient le théorème de Stokes :

∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫γγγγ

→→→→

γγγγ

→→→→⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅

)(

2drotdSSSS

Srrr

AOMA

la circulation du champ Ar

sur un contour fermé γ est

égale au flux de Ar→

rot sur une surface quelconque )(γS s’appuyant sur γ.

Grâce à la définition intrinsèque de l’opérateur rotationnel, on trouve après calculs les

expressions de Ar→

rot dans d’autres systèmes de coordonnées.

Expression dans un système de coordonnées cylindriq ues :

[[[[ ]]]]

θθθθ∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−

∂∂∂∂∂∂∂∂

∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−

∂∂∂∂∂∂∂∂

∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−

θθθθ∂∂∂∂∂∂∂∂

====

θθθθ

θθθθ

→→→→

r

zr

z

ArA

rr

rA

zA

zAA

r

A

1

1

rotr

sur la base ),,( zr eeerrr

θ .

Expression dans un système de coordonnées sphérique s :

[[[[ ]]]]

[[[[ ]]]]

[[[[ ]]]]

θθθθ∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−

∂∂∂∂∂∂∂∂

∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−

ϕϕϕϕ∂∂∂∂∂∂∂∂

θθθθ

ϕϕϕϕ∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−θθθθ

θθθθ∂∂∂∂∂∂∂∂

θθθθ

====

θθθθ

ϕϕϕϕ

θθθθϕϕϕϕ

→→→→

r

r

ArA

rr

rArr

Ar

AA

r

A

1

1sin1

sinsin1

rotr

sur la base ),,( ϕθ eeerrrr

.

M

S2d

)(γS

Interprétation physique de l’opérateur →→→→rot :

De SCrr

22 drot ⋅=δ→

A , on déduit que Ar→

rot permet de quantifier le caractère tourbillonnaire d’un champ au voisinage d’un point M.

Prenons l’exemple d’un champ localement radial,

0rot02rr

=⇒=δ→

AC , alors que pour un champ

orthoradial 0rotrr

≠→

A

3.3 Divergence

Cet opérateur linéaire s’applique à un champ de vecteurs )(MAr

. Donnons d’abord son

expression en coordonnées cartésiennes :

AAr

ar

div

RRdiv

3 → avec z

Ay

A

xA

A

A

A

z

y

x

A zyx

z

y

x

∂∂∂∂∂∂∂∂++++

∂∂∂∂∂∂∂∂

++++∂∂∂∂

∂∂∂∂====

⋅⋅⋅⋅

∂∂∂∂∂∂∂∂

∂∂∂∂∂∂∂∂

∂∂∂∂∂∂∂∂

====r

div

Remarque : AArrr

⋅∇=div

Pour donner une définition intrinsèque de Ar

div , on calcule le flux de Ar

à travers une surface

fermée élémentaire entourant un volume V3d . Ce volume étant élémentaire, peu importe sa

forme : on choisit un parallélépipède de côtés dx, dy et dz. On a donc zyx dddd3 =V

y

x

z

Ox

dy

dz

dx

xeye

ze

zeyxdd

zeyxdd−

yezxdd− yezxdd

xezydd

xezydd−

[ ] [ ] [ ] zyx eyxzAzzAezxyAyyAezyxAxxArrrrrrrrr

dd)()d(dd)()d(dd)()d(d3 ⋅−++⋅−++⋅−+=Φ soit :

zyxz

Ay

A

xA

yxzz

Azxy

y

Azyx

xA zyxzyx ddddddddddddd3

∂∂+

∂∂

+∂

∂=⋅

∂∂+⋅

∂∂

+⋅

∂∂=Φ

MM

0)(rotrr

=

→MA 0)(rot

rr≠

→MA

Finalement V33 ddivd A

r=Φ

Cette relation fournit la définition intrinsèque de l’opérateur div : soit le champ vectoriel Ar

quelconque : )(

RR 33

MAM

A

ra

r

→ . On considère une surface élémentaire fermée entourant le point M.

On note V3d le volume élémentaire à l’intérieur de cette surface. Soit Φ3d la flux de A

r à

travers cette surface. On a alors : VVVV33 ddivd A

r====ΦΦΦΦ .

Théorème de Green-Ostrogradski

On obtient la forme intégrale de cette relation, appelée théorème de Green-Ostrogradski, en découpant un volume V à l’intérieur d’une surface fermée S en volumes élémentaires.

)(SV

S

flux total nul

volumeque l’on découpe en volumes élémentaires

1M 2M+ +

13d Φ

23d Φ

Φ3d

On considère deux de ces volumes élémentaires voisins (ils possèdent une surface commune) autour de 1M et 2M . Les surfaces élémentaires entourant ces volumes sont orientées de

l’intérieur vers l’extérieur, si bien que le flux à travers la surface commune est compté avec des

signes opposés dans le calcul des flux élémentaires 13d Φ et 2

3d Φ . Le flux Φ3d à travers la

surface qui entoure les deux volumes élémentaires vaut donc :

2 3

21 3

123

133 )d)((div)d)((divddd VV MAMA

rr+=Φ+Φ=Φ

En sommant les flux à travers toutes les surfaces élémentaires, on obtient le théorème de Green-Ostrogradski :

∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ====⋅⋅⋅⋅)(

32 ddivdSSSSVVVVSSSS

VVVVSSSS AArrr

le flux du champ Ar

à travers une surface fermée S est égal à l’intégrale de A

rdiv sur le volume )(SV à l’intérieur

de S .

M)(SV

S

V3d

Grâce à la définition intrinsèque de l’opérateur divergence, on trouve après calculs les expressions de A

rdiv dans d’autres systèmes de coordonnées.

Expression dans un système de coordonnées cylindriq ues :

[[[[ ]]]]z

AAr

rArr

A zr ∂∂∂∂

∂∂∂∂++++θθθθ∂∂∂∂

∂∂∂∂++++∂∂∂∂∂∂∂∂==== θθθθ11

divr

Expression dans un système de coordonnées sphérique s :

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]ϕϕϕϕ∂∂∂∂

∂∂∂∂θθθθ

++++θθθθθθθθ∂∂∂∂

∂∂∂∂θθθθ

++++∂∂∂∂∂∂∂∂==== ϕϕϕϕ

θθθθA

rA

rAr

rrA r sin

1sin

sin11

div 22

r

Interprétation physique de l’opérateur div :

De V33 ddivd A

r=Φ , on déduit que A

rdiv permet de quantifier le caractère divergent d’un

champ au voisinage d’un point M.

Prenons l’exemple d’un champ localement radial et divergent, 0div0d3 >⇒>Φ Ar

, alors que

pour un champ localement radial et convergent 0div <Ar

et que pour un champ localement

uniforme 0div =Ar

M

S

M

S

0))((div >MA 0))((div <MA 0))((div =MA

M

S

3.4 Laplacien

Cet opérateur linéaire s’applique à un champ de scalaires V(M) ou à un champ de vecteurs )(MA

r.

• Appliqué à un champ scalaire : VV ∆∆∆∆

→→→→∆∆∆∆

a

RR

Donnons d’abord son expression en coordonnées cartésiennes : 2

2

2

2

2

2

z

V

y

V

x

VV

∂∂∂∂∂∂∂∂++++

∂∂∂∂∂∂∂∂++++

∂∂∂∂∂∂∂∂====∆∆∆∆

Remarque : )( VV ∇⋅∇=∆rr

On a donc

====∆∆∆∆

→→→→VV graddiv , ce qui constitue la définition intrinsèque du laplacien de V.

Grâce à la définition intrinsèque de l’opérateur laplacien scalaire, on trouve les expressions de V∆ dans d’autres systèmes de coordonnées.

Expression dans un système de coordonnées cylindriq ues :

2

2

2

2

211

z

VV

rrV

rrr

V∂∂∂∂∂∂∂∂++++

θθθθ∂∂∂∂∂∂∂∂++++

∂∂∂∂∂∂∂∂

∂∂∂∂∂∂∂∂====∆∆∆∆ ou 2

2

2

2

22

2 11

z

VV

rr

VrV

rV

∂∂∂∂∂∂∂∂++++

θθθθ∂∂∂∂∂∂∂∂++++

∂∂∂∂∂∂∂∂++++

∂∂∂∂∂∂∂∂====∆∆∆∆

Expression dans un système de coordonnées sphérique s :

2

2

2222

2 sin

1sin

sin

11

ϕϕϕϕ∂∂∂∂∂∂∂∂

θθθθ++++

θθθθ∂∂∂∂∂∂∂∂θθθθ

θθθθ∂∂∂∂∂∂∂∂

θθθθ++++

∂∂∂∂∂∂∂∂

∂∂∂∂∂∂∂∂====∆∆∆∆ V

r

V

rrV

rrr

V .

On peut utiliser [[[[ ]]]]rVrrr

VrV

rrV

rrr 2

2

2

22

2121

∂∂∂∂∂∂∂∂====

∂∂∂∂∂∂∂∂++++

∂∂∂∂∂∂∂∂====

∂∂∂∂∂∂∂∂

∂∂∂∂∂∂∂∂

• Appliqué à un champ vectoriel : AAr

ar

∆∆∆∆

→→→→∆∆∆∆

33 RR

Donnons d’abord son expression en coordonnées cartésiennes :

∆∆∆∆

∆∆∆∆∆∆∆∆

====∆∆∆∆

z

y

x

A

A

A

Ar

∂∂∂∂∂∂∂∂++++

∂∂∂∂∂∂∂∂++++

∂∂∂∂∂∂∂∂

∂∂∂∂

∂∂∂∂++++

∂∂∂∂

∂∂∂∂++++

∂∂∂∂

∂∂∂∂

∂∂∂∂∂∂∂∂++++

∂∂∂∂∂∂∂∂++++

∂∂∂∂∂∂∂∂

====

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

z

A

y

A

x

A

z

A

y

A

x

A

z

A

y

A

x

A

zzz

yyy

xxx

sur la base ),,( zyx eeerrr

.

Remarque, on peut trouver également la notation Arr

∆

On en déduit après calcul la définition intrinsèque : [ ]

−=∆

→→→AAArrr

rotrotdivgrad , qui permet

de trouver l’expression de Ar

∆ dans d’autres systèmes de coordonnées.

Expression dans un système de coordonnées cylindriques et sphériques :

Attention !

∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆

≠≠≠≠∆∆∆∆ θθθθ

z

r

A

A

A

Ar

sur la base ),,( zr eeerrr

θ et

∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆

≠≠≠≠∆∆∆∆

ϕϕϕϕ

θθθθ

A

A

A

Arr

sur la base ),,( ϕθ eeerrrr

.

L’expression la plus générale est lourde et très rarement utilisée. En revanche on calcule plus facilement A

r∆ dans des cas particuliers. Par exemple en coordonnées sphériques, si

ϕϕ θ= erAArr

),( :

[ ]

−=∆

→→→AAArrr

rotrotdivgrad avec 0div =Ar

et

[ ][ ]

=θθ

==

∂∂−

θθ∂

∂θ

=

ϕ

θϕ

ϕ

→

0

),(

),(

0

1

sinsin1

rot

a

ra

ra

arArr

Ar

Ar

rr.

Alors

[ ] [ ] [ ]

θθ∂

∂θθ∂

∂−∂∂−

=

θ∂∂−

∂∂

ϕ∂∂

θ

ϕ∂∂−

θ

=

ϕϕθ

θ

→

sinsin111

0

0

1

sin1

sin1

rot

2

2A

rrrA

rr

ara

rr

ar

ar

a

r

rr.

Finalement, dans ce cas, on a [ ] [ ] ϕϕϕ

θθ∂

∂θθ∂

∂+∂∂=∆ eA

rrA

rrA

rrsin

sin111

22

2

3.5 Formules utiles

Les formules intrinsèques suivantes peuvent être par exemple démontrées en coordonnées cartésiennes.

• 0gradrotr

====

→→→→→→→→V

• 0rotdiv ====

→→→→Ar

• AVAVAVrrr

⋅⋅⋅⋅++++====→→→→

graddiv)div(

• AVAVAVrrr

∧∧∧∧++++====→→→→→→→→→→→→

gradrot)(rot

• BAABBArrrrrr →→→→→→→→

⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅====∧∧∧∧ rotrot)(div

• [[[[ ]]]] AAArrr

∆∆∆∆−−−−====

→→→→→→→→→→→→divgradrotrot (définition intrinsèque du Laplacien vectoriel)

Deux théorèmes intégraux dérivés respectivement des théorèmes de Stokes et de Green-Ostrogradski peuvent être démontrés en utilisant les formules ci-dessus :

• ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫γγγγ

→→→→

γγγγ

→→→→∧∧∧∧====⋅⋅⋅⋅

)(

2 gradddSSSS

SSSS VOMVr

• ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫→→→→

====⋅⋅⋅⋅)(

32 dgraddSSSSVVVVSSSS

VVVVSSSS VVr

3.6 Théorème de Helmholtz

Ce théorème assure l’unicité d’un champ de vecteurs dont on connaît le rotationnel et la divergence en tout point M d’un volume V contenu dans une surface fermée S , à condition que l’on connaisse les conditions aux limites : NPA

rr⋅)( en tout point de S , où N

r est la

normale extérieure à S en P.

Pour un champ scalaire , le théorème de Helmholtz assure l’unicité de V(M) dont on connaît le laplacien en tout point M de V à condition que l’on connaisse les conditions aux limites V(P)

ou NVr

⋅→

grad en tout point de S .

Ces théorèmes d’unicité fonctionnent également quand le volume V est infini, à condition de connaître les conditions aux limites en l’infini.

En revanche, il n’y pas unicité quand les conditions aux limites portent sur un domaine doublement connexe (comme un tore, ou un cylindre infini).

M

)(SV

S

PN

)(PA