Loi binomiale et échantillonnage

 I. Loi  binomiale  

 1. Loi  de  Bernoulli  

 a. Épreuve  de  Bernoulli    

 Définition  Une  épreuve  de  Bernoulli  est  une  expérience  aléatoire  à  deux  issues  :  l’une  est  appelée  SUCCÈS  (!),  l’autre  appelée  ÉCHEC  (!)  

   Exemple  On  lance  un  dé  équilibré  à  6  faces  numérotées  de  1  à  6  et  on  s’intéresse  à  la  réalisation  de  la  face  6.  L’issue  appelée  SUCCÈS  est  :  «  Le  dé  tombe  sur  la  face  6  »  L’issue  appelée  ÉCHEC  et  :  «    Le  dé  ne  tombe  pas  sur  la  face  6  »      

b. Loi  de  Bernoulli    Définition  La  loi  de  Bernoulli  de  paramètre  !  est  la  loi  de  probabilité  associée  à  une  épreuve  de  Bernoulli  dont  la  probabilité  du  SUCCÈS  est  !.    La  loi  de  Bernoulli  de  paramètre  !  est  donc  définie  par  le  tableau  ci-­‐dessous  :            

      Exemple     L’expérience  précédente  suit  une  loi  de  Bernoulli  de  paramètre  !

!  

! ! = ! "obtenir  un  6" =16  

! ! = 1 −16=56  

           

Issue   !   !  Probabilité   !   ! − !  

Jacques  Bernoulli    (1654  –  1705)  Suisse  

2. Loi  binomiale      

a. Loi  binomiale    Définition    On  réalise  !  épreuves  identiques  de  Bernoulli  de  paramètre  !.  Ces  !  épreuves  sont  indépendantes.  Soit  !  la  variable  aléatoire  qui  compte  le  nombre  de  succès  lors  de  ces  !  épreuves.  La  loi  de  probabilité  de  la  variable  aléatoire  !  est  appelée  loi  binomiale  de  paramètres  !  et  !.  On  la  note  ℬ !, !    Exemple  simple  Dans  une  urne  il  y  a  dix  boules  dont  trois  sont  rouges.  On  tire  une  boule  dans  l’urne,  on  note  sa  couleur  puis  on  la  remet  dans  l’urne.  On  appelle  SUCCÈS  l’issue  «  Tirer  une  boule  rouge  ».  Cette  expérience  est  une  épreuve  de  Bernoulli  de  paramètre   !

!"= !,!  

On  réalise  2  fois  cette  expérience.  On  note  !  la  variable  aléatoire  qui  prend  comme  valeurs  le  nombre  de  succès.    !  suit  la  loi  binomiale  de  paramètres  !  et  !,!.                                    L’arbre  ci-­‐dessus  représente  la  situation  étudiée.  Par  lecture  de  l’arbre  pondéré  :  !  prend  comme  valeurs  le  nombre  de  succès,  c’est  à  dire  :  0  ;  1  et  2.    

! ! = 0 = ! !! =710×710

=49100

= 0,49  

! ! = 1 = ! !! + ! !! =310×710

+710×310

=42100

= 0,42  

! ! = 2 = ! !! =310×310

=9100

= 0,09  Remarque  On  retrouve  bien,  d’après  la  définition  d’une  loi  de  probabilité,  que  :  

! ! = 0 + ! ! = 1 + ! ! = 2 = 0,49 + 0,42 + 0,09 = 1      Remarque  Il  est  impossible  de  construire  un  tel  arbre  dès  que  !  (correspondant  au  nombre  de  fois  où  l’on  répète  l’expérience  de  Bernoulli)  dépasse  une  certaine  valeur.        

En  utilisant  l’exemple  suivant,  nous  allons  essayer  de  dégager  un  cas  général    Soit  une  expérience  de  Bernoulli  de  paramètre  !.  On  répète  cette  expérience  4  fois.  La  variable  aléatoire  !  comptant  le  nombre  de  succès  suit  la  loi  binomiale  de  paramètres  4  et  !.  La  situation  est  représentée  par  l’arbre  pondéré  ci-­‐dessous  :                                              Citer  les  valeurs  que  peut  prendre  la  variable  !  ?  ………………………………………………………………………….    Dans  le  cas  général,  c’est  à  dire  !  suit  la  loi  binomiale  de  paramètres  !  et  !,  quelles  valeurs  peut  prendre  la  variable  aléatoire  !  ?    ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………    On  s’intéresse  à  déterminer  !(! = 2)  Numéroter  sur  l’arbre  les  chemins  conduisant  à  deux  succès.    Probabilité  du  chemin  n°1  :  …………………………………………………………………………………………………………..    Probabilité  du  chemin  n°2  :  …………………………………………………………………………………………………………..    Probabilité  du  chemin  n°3  :  …………………………………………………………………………………………………………..    Probabilité  du  chemin  n°4  :  …………………………………………………………………………………………………………..    Probabilité  du  chemin  n°5  :  …………………………………………………………………………………………………………..    Probabilité  du  chemin  n°6  :  …………………………………………………………………………………………………………..    Quelle  remarque  peut-­‐on  faire  ?    ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………    ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………    Déterminer  la  probabilité  de  !(! = 2)  :  ………………………………………………………………………………………  

   Refaire  le  même  travail  pour  !(! = 1)    ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………    ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………    ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………    ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………    ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………    ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………    Dans  le  cas  général,  c’est  à  dire  !  suit  la  loi  binomiale  de  paramètres  !  et  !,  proposer  la  probabilité  d’un  chemin  menant  à  !  succès  (!  compris  entre  !  et  !)    ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………    Que  manque-­‐t-­‐il  alors  pour  calculer  la  probabilité  de  !(! = !)  ?    ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………      Théorème  !  est  une  variable  aléatoire  qui  suit  la  loi  binomiale  de  paramètres  !  et  !  ℬ !, ! .  Pour  tout  entier  naturel  !  tel  que  0 ≤ ! ≤ !,    

! ! = ! =!!×!!× ! − ! !!!  

Le  nombre  entier   !!  est  appelé  coefficient  binomial  Ce  nombre  représente  le  nombre  de  chemins  conduisant  à  !  succès  parmi  !  sur  l’arbre  représentant  l’expérience.      Quelques  valeurs  simples  à  retenir    

!0

=!!

= 1          !"            !1

=!

! − 1  = !          ! ≥ 1      

 Dans  un  cas  quelconque,  on  utilisera  la  calculatrice  Exemple    Calculer   !"!  avec  la  calculatrice                      Le  résultat  est  :   !"! = 120          

Avec  la  CASIO    

• Taper  !"  • Sélectionner  OPTN  • En  bas  de  l’écran  sélectionner  PROB  • Puis  sélectionner  nCr  • Taper  !,  puis  EXE  

Avec  la  TI    

• Taper  !"  • Sélectionner  Math  • Sélectionner  PROB  • Puis  sélectionner  Combinaison  • Taper  !,  puis  EXE  

Application  Un  constructeur  de  composants  produit  des  résistances.  La  probabilité  qu’une  résistance  soit  défectueuse  est  égale  à  5×10!!.    1. Dans  un  lot  de  1000  résistances,  quelle  est  la  probabilité  d’avoir  :  

a. Exactement  2  résistances  défectueuses  ?  On  peut  analyser  la  situation  de  la  façon  suivante    On  choisit  au  hasard  un  composant  électronique,  sa  probabilité  d’être  défectueux  est  de  0,005.  On  a  donc  bien  une  épreuve  de  Bernoulli  de  paramètre  0,005.  On  répète  cette  expérience  1000  fois  afin  d’obtenir  un  lot  de  1000  composants.  On  admet  qu’à  chaque  tirage  la  probabilité  qu’une  résistance  soit  défectueuse  est  toujours  la  même  et  donc  que  les  tirages  sont  indépendants.  On  note  !  la  variable  aléatoire  égale  au  nombre  de  résistances  défectueuses  dans  le  lot  de  1000.  !  suit  la  loi  binomiale  de  paramètres  1000  et  0,005            

! ! = 2 =10002

×0,005!× 1 − 0,005 !"""!!  

! ! = 2 = 499500×0,005!×0,995!!" ≈ 0,08    La  probabilité  qu’il  y  ait  exactement  2  composants  défectueux  parmi  les  1000  est  environ  de  8  %    

b. Au  plus  deux  résistances  défectueuses  ?    On  va  calculer  :  !(! ≤ 2) =  ! ! = 0 + ! ! = 1 + !(! = 2)    

c. Au  moins  deux  résistances  défectueuses  ?  ! ! ≥ 2 = 1 − ! ! < 2 =  1 − ! ! = 0 + !(! = 1)  

   

   

b. Espérance    Théorème  (admis)  Soit  !  une  variable  aléatoire  qui  suit  la  loi  binomiale  de  paramètres  !  et  !     ℬ !, !  L’espérance  de  !  est  :  

! ! = !×!    Application  On  reprend  l’énoncé  de  l’exercice  précédent  :  Dans  un  lot  de  1000  résistances,  quel  nombre  de  résistances  défectueuses  peut-­‐on  craindre  en  moyenne  ?  

! ! = 1000×0,005 = 5    En  moyenne,  on  peut  craindre  5  résistances  défectueuses  dans  un  lot  de  1000  résistances.  

 

         

 II. Échantillonnage  

 Problématique  Dans  une  population  on  étudie  un  caractère  dont  on  connaît  à  priori  la  proportion  !.    Exemple  Dans  la  population  française  il  y  a  environ  43%  des  individus  qui  possèdent  un  groupe  sanguin  de  type  O    Pour  juger  de  cette  affirmation  (ou  hypothèse),  on  prélève  au  hasard  !  individus  dans  la  population  et  on  calcule  la  fréquence  !  observée  du  caractère  étudié.    On  cherche  alors  à  déterminer  si  la  fréquence  observée  !  est  suffisamment  éloignée  de  !,  ou  pas,  pour  rejeter,  ou  non,  l’hypothèse  initiale.    

1. Échantillonnage    

a. Échantillon    Définition  Un  sous-­‐ensemble  de  !  individus  dans  une  population  constitue  un  échantillon  de  taille  !.    

b. Échantillonnage    Définition  On  appelle  échantillonnage,  le  prélèvement  d’un  échantillon  dans  une  population.    Propriété  Soit  une  population  dans  laquelle  la  proportion  d’un  caractère  étudié  est  égale  à  !.  Si  l’échantillon  de  taille  !  est  réalisé  par  prélèvement  des  individus  un  par  un  au  hasard,  avec  remise,  alors  la  variable  aléatoire  !  qui  compte  le  nombre  d’individus  possédant  le  caractère  étudié  suit  la  loi  binomiale  de  paramètres  !  et  !.    Remarque  Si  la  taille  de  l’échantillon  est  «  petite  »  devant  la  taille  de  la  population,  un  prélèvement  sans  remise  sera  assimilé  à  un  prélèvement  avec  remise.  En  effet,  si  la  population  est  grande,  ce  n’est  pas  le  prélèvement  de  quelques  individus  qui  change  fondamentalement  la  proportion  du  caractère  étudié.    

   

2. Intervalle  de  fluctuation  au  seuil  de  95  %    

a. Définition    Définition  La  variable  aléatoire  !  compte  le  nombre  d’individus  de  l’échantillon  qui  présentent  le  caractère  étudié.  Elle  suit  la  loi  binomiale  de  paramètres  !  et  !.  L’intervalle  de  fluctuation  au  seuil  de  !"%  de  la  fréquence  !    est  l’intervalle  :  

!!   ;!!

 

     

!  est  le  plus  petit  entier  tel  que    !(! ≤ !) ≥ !",!%  

 

!  est  le  plus  petit  entier  tel  que    !(! ≤ !) > !,!%  

   Un  schéma  pour  comprendre  Pour  un  échantillon  de  taille  !,  !  peut  prendre  toutes  les  valeurs  entre  0  et  !          

       

   

 Si  ! ! ≤ ! ≤ ! ≥ 95%  alors,  dans  au  moins  95  %  des  cas  la  fréquence  observée  !

!  appartient  à  

l’intervalle   !!   ; !!.  

   

b. Prise  de  décision    

On  retiendra  la  règle  suivante  :    Si  !   ∉   !

!   ; !!,  alors  on  rejette  l’hypothèse  selon  laquelle  la  proportion  du  caractère  dans  la  

population  est  !,  avec  un  risque  d’erreur  de  !%.    Si  !   ∈   !

!   ; !!,  alors  on  ne  peut  pas  rejeter  cette  hypothèse.  

 Application  (Voir  énoncé  à  compléter  page  suivante)    

c. Cas  des  grands  échantillons    

Propriété  (admise)  Pour  un  échantillon  de  grande  taille   ! ≥ !"  et    une  proportion  du  caractère  !  comprise  entre  !,!  et  !,!,  l’intervalle  :  

! −!!   ;! +

!!    

est  une  bonne  approximation  de  l’intervalle  de  fluctuation  au  seuil  de  95  %  de  la  fréquence  observée  !  du  caractère,  déterminé  à  l’aide  de  la  loi  binomiale.  

    Pour  s’en  convaincre  

En  reprenant  l’exercice  précédent,  calculer  l’intervalle  de  fluctuation  avec  la  formule  ci-­‐dessus  (utilisée  en  seconde)  et  comparer  avec  celui  déterminé  dans  l’exercice  précédent.    Dans  l’exercice  précédent  :  ! = 80  et  ! = 0,7    

! −1!   ; ! +

1!   = 0,7 −

180;  0,7 +

180

= 0,58  ; 0,82  

On  peut  donc  constater  qu’il  est  proche  de  l’intervalle   0,6  ; 0,8    Remarque  Cette  formule  est  plus  pratique  ;  il  suffit  de  connaître  la  proportion  du  caractère  !  et  la  taille  de  l’échantillon  !  pour  déterminer  l’intervalle  de  fluctuation.  Cette  approximation  est  d’autant  meilleure  que  !  est  grand  et  !  proche  de  !,!.  

La  probabilité  que  !  appartienne  à  [!  ; !]  est  supérieure  ou  égale  à  95  %  

La  probabilité  que  !  appartienne  à  l’intervalle  [! + 1  ; !]  est  proche  de  2,5%  mais  reste  inférieure  ou  égale  à  2,5%  

La  probabilité  que  !  appartienne  à  l’intervalle  [0  ; ! − 1]  est  proche  de  2,5%  mais  reste  inférieure  ou  égale  à  2,5%  

Énoncé  de  l’exercice  à  compléter  Selon  le  ministre  de  la  Santé,  fin  2010,  70  %  des  français  sont  non-­‐fumeurs.  Le  proviseurs  de  deux  lycées  différents  prélèvent  chacun  un  échantillon  aléatoire  de  80  lycéens  de  leur  établissement.  On  assimile  ce  prélèvement  à  un  tirage  avec  remise.  !  est  la  variable  aléatoire  qui  compte  le  nombre  de  lycéens  non-­‐fumeurs  parmi  les  80.    

1. Préciser  les  paramètres  de  la  loi  binomiale  suivie  par  !.    ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………    

2. A  l’aide  d’un  tableur,  on  obtient  la  feuille  de  calcul  ci-­‐dessous.    Déterminer  à  l’aide  de  cette  feuille  de  calcul  l’intervalle  de  fluctuation  au  seuil  de  95  %.    Pour  obtenir  cette  feuille  on  a  utilisé  dans  la  cellule  B2  la  formule  :  =  LOI.BINOMIALE  («  nombre  de  succès  »  ;  «  taille  de  l’échantillon  »  ;  «  proportion  »  ;  VRAI)  Ce  qui  donne  :  =  LOI.BINOMIALE  (  ………..  ;  …………..  ;  ………….  ;  VRAI)    VRAI  :  permet  de  cumuler  tous  les  résultats  précédents  pour  obtenir  non  pas  !(! = !)  mais  !(! ≤ !)    FAUX  :  permet  d’obtenir  uniquement  !(! = !)    Intervalle  de  fluctuation  au  seuil  de  95  %      ……………………………………………………………………………………………………………………  

               

           

3. Le  proviseur  de  l’établissement  !  a  compté  49  élèves  non-­‐fumeurs  et  le  proviseur  de  l’établissement  !  en  a  compté  46.  Peut-­‐on  dire  si  les  campagnes  d’information  sur  les  risques  liés  au  tabac  ont  eu  un  impact  sur  les  élèves  de  ces  deux  établissements  ?      Fréquence  observée  dans  l’établissement  !  :  ……………………………………………………………………………………………….    Conclusion  :  ………………………………………………………………………………………………………………..………………………………..    ……………………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………    Fréquence  observée  dans  l’établissement  !  :  ……………………………………………………………..……………………………….    Conclusion  :  ……………………………………………………………………………………………………………….………………………………..    ……………………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………  

En  analysant  les  résultats  précédents,  que  pensez-­‐vous  de  l’impact  des  campagnes  d’information  sur  les  risques  liés  au  tabac  dans  ces  deux  établissements  ?    ……………………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………    ……………………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………    ……………………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………    ……………………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………