Loi binomiale - Les leçons de mathématiques à l'oral du ......2016/06/12 · 14 Leçon n 4 Loi...

9Loi binomiale4

Leç

on

n°

Niveau Première S + SUP (Convergence)Prérequis Variable aléatoire, espérance, variance, théorème limite central, loi de Poisson

Références [11], [12], [13], [14]

4.1 Loi de BernoulliDéfinition 4.1 — Loi de Bernoulli. Soit E une épreuve comportant deux issues (succès et échec). Onnote p la probabilité de succès. Soit X la variable aléatoire qui est égal à 1 en cas de succès et 0sinon. Alors, on dit que X suit un loi de Bernoulli de paramètres p. On note alors X ∼ Bern(p).

R 4.2 Si X ∼ Bern(p), on notera :

P (X = 1) = p et P (X = 0) = 1− p = q.

Exemple 4.3 On lance un dé non pipé. On note X la variable aléatoire qui prend comme valeur 1 sila face 6 apparaît lors du lancer et 0 sinon.

La variable aléatoire X est une variable aléatoire qui suit la loi de Bernoulli de paramètres 1/6.Donc X ∼ Bern(1/6).

Lemme 4.4 Si X ∼ Bern(p) alors X2 ∼ Bern(p).

Dv

• Démonstration — On a X2(Ω) = 0, 1 et :

P (X2 = 1) = P (X = 1) = p

donc X2 ∼ Bern(p). •

Proposition 4.5 Si X ∼ Bern(p) alors :

1. E(X) = p

2. Var(X) = pq.

Dv

• Démonstration — On a :

E(X) = P (X = 0)× 0 + P (X = 1)× 1 = q × 0 + p× 1 = p,

et :Var(X) = E(X2)−E(X)2 = E(X2)− p2

10 Leçon n°4 • Loi binomiale

or X2 ∼ Bern(p), donc on a : E(X2) = E(X) = p.Ainsi, Var(X) = p− p2 = pq. •

4.2 Loi binomialeDéfinition 4.6 — Loi binomiale. Soit Ω l’univers associé à une expérience aléatoire. Soit X une va-riable aléatoire définie sur Ω. On dit que X suit une loi binomiale de paramètres n ∈ N∗ et p ∈ [0 , 1]lorsque :

1. X(Ω) = 0, 1, . . . , n ;

2. pour tout k ∈ 0, 1, . . . , n, P (X = k) =(n

k

)pk(1− p)n−k =

(nk

)pkqn−k.

Si X suit une loi binomiale de paramètres n et p alors on note X ∼ Bin(n, p).

R 4.7 Soit X ∼ Bin(n, p). On a bien défini une variable aléatoire car :n∑

k=0P (X = k) =

n∑

k=0

(n′kp

)k

qn−k = [p + (1− p)]n = 1.

Théorème 4.8 Soit E une épreuve comportant deux issues (succès et échec). On note p la probabi-lité de succès. On note n fois, de façons indépendantes, l’épreuve E . Soit X la variable aléatoirecorrespondant au nombre de succès. Alors : X suit une loi binomiale de paramètres n et p.

Dv

• Démonstration — La probabilité d’avoir k succès suivis de n − k succès suivis de n − kéchecs est : pk(1 − p)n−k. Mais les succès et les échecs n’apparaissent pas nécessairementdans cet ordre.On considère l’ensemble des « mots »de n lettres qui ne contiennent que des S (Succès) et desE (Échecs). On sait qu’il y en a exactement

(np

)qui contiennent exactement k fois la lettre S

(et donc n− k fois la lettre E).On en déduit m

P (X = k) =(

n

p

)pk(1− p)n−k

et ceci pour tout k ∈ 0, 1, . . . , n. •

R 4.9

1. La probabilité d’avoir n succès : P (X = n) = pn et d’avoir aucun succès P (X = 0) = qn. Parconséquent, la probabilité d’avoir au moins un succès est :

P (X ≥ 1) = 1− P (X = 0) = 1− qn.

2. La loi de Bernoulli est un cas particulier de la loi binomiale où l’épreuve E n’est réalisée qu’une seulefois.

3. Toute variable aléatoire X suivant une loi binomiale de paramètres n ∈ N∗ et p ∈ [0 , 1] peut s’écrirecomme somme X = X1 + · · · + Xn où, pour tout k ∈ 0, 1, . . . , n, Xk est une variable aléatoiresuivant une loi de Bernoulli de paramètre p (Xk vaut 1 en cas de succès à la ke réalisation de E et 0sinon).

Exemples 4.10 La probabilité qu’un tireur atteigne sa cible est p = 34 . On suppose qu’il fait deux

tirs et on note X la variable aléatoire associant à cette épreuve le nombre de succès obtenus (X = 0,1 ou 2).

4.3 Propriétés sur les coefficients binomiaux 11

1. Calculer la probabilité des événements X = 0, X = 1 et X = 2.2. Calculer

∑2k=0 P (X = k).

3. On suppose qu’il fait sept tirs et on note Y la variable aléaoire associant à cette épreuve lenombre de succès obtenus. Calculer P (X = 1) et P (X = 2).

Théorème 4.11 — Espérance et variance d’une loi binomiale. Si X ∼ Bin(n, p) avec n ∈ N∗ etp ∈ [0 , 1] alors :

E(X) = np et Var(X) = npq.

Dv

• Démonstration — Puisque X ∼ Bin(n, p), il existe des variables aléatoires (réelles) X1, X2, . . . , Xn

définies sur Ω indépendantes, de loi de Bernoulli de même paramètre p telles que X =∑ni=1 Xi.

Par linéarité de l’espérance :

E(X) = E(

n∑

i=1Xi

)=

n∑

i=1E(Xi)

et d’après ce qui précède :

E(X) =n∑

i=1p = np.

De même pour la variance :

Var(X) = Var(

n∑

i=1Xi

)=

n∑

i=1Var(Xi) =

n∑

i=1pq = npq.

•

Exemple 4.12 La probabilité qu’un tireur atteigne sa cible est p = 34 . On suppose qu’il tire n =

7 fois. On note X la variable aléatoire associant à cette expérience aléatoire le nombre de succèsobtenus. Calculer son espérance et sa variance.

4.3 Propriétés sur les coefficients binomiaux

4.3.1 Définitions et propriétésDéfinition 4.13 — Combinaisons. Soient n et p deux entiers naturels et E un ensemble contenant néléments. Un sous-ensemble de E contenant p éléments est appelé une combinaison de p élémentsde E.

Le nombre de p-combinaisons d’un ensemble contenant n éléments est noté(n

p

)ou(n

p

).

Exemple 4.14 Pour gagner au Loto, il faut trouver 3 numéros parmi 5. On veut savoir combien il y ade grilles possibles. Considérons une grille quelconque (c’est-à-dire une 3-combinaison de l’ensembledes 5 numéros) : par exemple 1, 3, 4. Il y a 3! façons possibles d’ordonner ces nombres. Or, il y a


(53)× 3! suites de 3 nombres ordonnées. Mais, on compte 5× 4× 3 de ces dernières suites. Donc :

(53

)= 5× 4× 3

3! .

On peut maintenant généraliser la formule :

Proposition 4.15 Le nombre de p-combinaisons d’un ensemble contenant n éléments est noté(

n

p

)= n(n− 1)(n− 2) · (n− (p− 1))

p! (4.1)

= n!p!(n− p)! (4.2)

Dv

• Démonstration de la proposition 4.15 — On part de la formule (4.1) pour arriver à laformule (4.2) :

(n

p

)= n(n− 1)(n− 2) · · · (n− p + 1)

p!

= n(n− 1)(n− 2) · · · (n− p + 1)p!

(n− p)(n− p− 1) · · · 2× 1(n− p)(n− p− 1) · · · 2× 1

= n!p!(n− p)!

Une autre façon de voir la formule (4.2). Il y a Apn manières de tirer p objets parmi n en les

ordonnant soitAp

n = n!(n− p)! .

Une fois les p objets tirés, il y a p! manières de les ordonner. Il y a donc Apn

p! manières de tirerp objets parmi sans les ordonner. D’où

(n

p

)= Ap

n

p! = 1p!

n!(n− p)! .

•

Définition 4.16 — Coefficients binomiaux. Soit p un entier naturel non nul. Les nombres(n

p

)sont

appelés les coefficients binomiaux.

Proposition 4.17 — Formule de Pascal. Soit n, p ∈ N tel que p < n. On a :(

n

p

)=(

n− 1p

)+(

n− 1p− 1

).


Dv

• Démonstration de la formule de Pascal — Soit un ensemble E à n éléments. On supposeque l’on a « extrait » une partie à p éléments. Si l’on retire un élément a à E, c’est soitun élément de la combinaison, soit non. Dans le premier cas, les p − 1 restants forment unepartie de l’ensemble E \ a de cardinal n − 1, et dans le second, ce sont les p élémentsqui forment une partie de E \ a. Cette union étant disjointe, les cardinaux s’ajoutent pouraboutir à l’égalité demandée. •

n\p 0 1 2 3 · · ·0 11 1 12 1 2 13 1 3 3 1...

......

......

. . .

FIGURE 4.1 – Triangle de Pascal

Proposition 4.18 — Formule itérée de Pascal. Soit p ≤ n deux entiers naturels. Alors

n∑

k=p

(k

p

)=(

n + 1p + 1

).

Dv

• Démonstration de la formule itérée de Pascal — On effectue une récurrence sur l’entiern.

Initialisation Lorsque n = p, les deux membres valent 1.

Hérédité On suppose que la formule est vraie au rang n et on montre qu’elle est encore vraieau rang n + 1 :

n+1∑

k=p

(k

p

)=

n∑

k=p

(k

p

)+(

n + 1p

)

et d’après l’hypothèse de récurrence,

n+1∑

k=p

(k

p

)=(

p + 1n + 1

)+(

n + 1p

)=(

n + 2p + 1

).

La dernière égalité est justifiée par l’emploi de la formule de Pascal.

•

On note A = C (ou R ou Q ou Z).


Théorème 4.19 — Formule du binôme. Soient deux éléments a, b de A qui commutent. Alors :

∀n ∈ N, (a + b)n =n∑

k=0

(n

k

)akbn−k.

Dv

• Démonstration de la formule du binôme de Newton — Pour n = 1, nous avons :

1∑

k=0

(1k

)akb1−k =

(10

)b +

(a

=

)a + b.

La formule du binôme est vraie pour n = 1.Supposons que la formule du binôme soit vraie au rang n ≥ 1. Alors,

(a + b)n+1 = (a + b) · (a + b)n = (a + b)n∑

k=0

(n

k

)akbn−k.

En distribuant le produit, nous obtenons

(a + b)n+1 =n∑

k=0

(n

k

)ak+1bn−k +

n∑

k=0

(n

k

)akbn+1−k.

Nous effectuons alors la translation d’indices l = k + 1 dans la première somme :

(a + b)n+1 =n+1∑

l=1

(n

l − 1

)albn+1−l +

n∑

k=0

(n

k

)akbn+1−k.

L’indice de sommation étant muet, nous pouvons regrouper les deux sommes :

(a + b)n+1 =(

n

n

)an+1 +

n∑

k=1

[(n

k − 1

)+(

n

k

)]akbn+1−k +

(n

0

)bn+1.

On utilise ensuite la formule du triangle de Pascal :

(a + b)n+1 =(

n

n

)an+1 +

n∑

k=1

(n + 1

k

)akbn+1−k +

(n

0

)bn+1.

On remarque que :(

n0)

= 1 =(

n+10)

et que(

nn

)= 1 =

(n+1n+1)

pour faire entrer les deuxtermes isolés dans la somme.

(a + b)n+1 =n+1∑

k=0

(n + 1

k

)akbn+1−k.

•

Corollaire 4.20 On a les égalités suivantes :

1.∑n

k=0(n

k

)= 2n,


2.∑n

k=0(−1)k(n

k

)= 0.

Dv

• Démonstration du corollaire 4.20 —

1. On utilise le binôme de Newton avec a = 1 et b = 1.

2. On utilise le binôme de Newton avec a = −1 et b = 1.

•

R 4.21 On remarque que l’égalité 1 du corollaire 4.20 traduit le fait que le nombre de parties d’un ensemble à néléments est 2n. En effet, ce nombre est la somme des nombres de parties ayant respectivement 0, 1, . . .éléments (le cardinal d’une union disjointe est la somme des cardinaux), ce qui correspond bien à la sommeindiquée.

Proposition 4.22 — Formule de Van der Monde. Pour tous entiers m, n et p tels que p ≤ m + n, on al’égalité : (

m + n

p

)=

p∑

k=0

(m

k

)(n

p− k

).

Dv

• Démonstration de la formule de Van der Monde — Soit x un réel. Alors :

(1 + x)m(1 + x)n = (1 + x)m+n =m+n∑

p=0

(m + n

p

)xp.

Or

(1 + x)m(1 + x)n =(

m∑

i=0

(m

i

)xi

)

n∑

j=0

(n

j

)xj

=

m∑

i=0

n∑

j=0

(m

i

)(n

j

)xi+j

=((

m

0

)(n

0

))+(

((

m

0

)(n

1

)+(

m

1

)(n

0

))x)

+(

((

m

0

)(n

2

)+(

m

1

)(n

1

)+(

m

2

)(n

0

))x2)

+ · · ·

=m+n∑

p=0

(( ∑

i,j>0i+j=p

(m

i

)(n

j

))xp)

.

Par identification des coefficients de ce polynôme de degré p, on obtient finalement que, pourtout entier 0 ≤ p ≤ m + n,

(m + n

p

)=∑

i,j>0i+j=p

(m

i

)(n

j

)=

p∑

i=0

(m

i

)(n

p− i

).

•


4.4 Stabilité additive de la loi binomialeThéorème 4.23 — Stabilité additive de la loi binomiale. Si X ∼ Bin(m, p) et Y ∼ Bin(n, p) avec Xet Y indépendantes, alors X + Y = Bin(m + n, p).

Soit (Ai)1≤i≤n une suite d’événements. On note :∐n

i=0 Ai si les événements sont disjoints.

Dv

• Démonstration — On pose S = X + Y . On a clairement S(Ω) = 0, . . . , m + n.Calculons P (S−1(k)) pour tout 1 ≤ k ≤ m + n :

S−1(k) =k∐

i=0X−1(i) ∩ Y −1(k − i).

D’où :

P (S−1(k)) =k∑

i=0P (X−1(i) ∩ Y −1(k − i)).

Et comme X et Y sont indépendantes :

P (S−1(k)) =k∑

i=0P (X−1(i))P (Y −1(k − i)).

Comme X ∼ Bin(m, p) et Y ∼ Bin(n, p) :

P (S−1(k)) =k∑

i=0

(m

i

)pi(1− p)m−i

(n

k − i

)pk−i(1− p)n−(k−i)

=(

k∑

i=0

(m

i

)(n

k − i

))pk(1− p)m+n−k.

Et comme∑k

i=0(

mi

)(n

k−i

)=(

m+nk

).

P (S−1(k)) =(

m + n

k

)pk(1− p)m+n−k.

Donc S ∼ Bin(m + n, p). •

4.5 Convergence4.5.1 Vers la loi de Poisson

Théorème 4.24 Lorsque n tend vers l’infini et que simultanément pn → 0 de sorte que limn npn =a > 0, la loi binomiale de paramètres n et pn converge vers la loi de Poisson de paramètre a. Enpratique, on remplace la loi binomiale par une loi de Poisson dès que n > 30 et np < 5 ou dès quen > 50 et p < 0.1.

4.6 Échantillonnage 17

Dv

• Démonstration — On décompose P (X = k) :(

n

k

)pk

n(1− pn)n−k = n(n− 1) · · · (n− k + 1)k! pk

n(1− pn)n−k

= (npn)k

k!

(1− 1

n

)(1− 2

n

)· · ·(

1− k − 1n

)(1− pn)n−k.

On se place dans la situation où pn est équivalent à an en l’infini.

— Lorsque n tend vers l’infini, les facteurs(1− 1

n

),(1− 2

n

), . . .,

(1− k−1

n

)tendent vers

1. Le produit de ces termes tend également vers 1 puisqu’ils sont en nombre fini fixé k.— On a :

(1− pn)n−k = (1− pn)n(1− pn)−k,

or, limp→0(1− p)−k = 1 et de plus, (1− pn)n ' (1− an )n et ce dernier terme tend vers

e−a quand n tend vers l’infini.On trouve donc :

limn→+∞

(n

k

)pk

n(1− pn)n−k = ak

k! e−a,

qui est la probabilité de k pour la loi de Poisson de paramètre a. •

4.5.2 Vers la loi normaleThéorème 4.25 Soit (Xn)n une suite de variable aléatoires indépendnates de même loi de BernoulliBern(p) et Sn = X1 + · · ·+ Xn suit la loi binomiale Bin(n, p).

D’après le théorème central limite, la loi de Sn peut re approximée par la loi normale N(E(Sn), Var(Sn)),c’est-à-dire par la loi N(np, npq).

R 4.26 En pratique, lorsque n ≥ 30, np ≥ 15 et npq > 5, la loi binomiale Bin(n, p) peut être approximée par laloi normale N(np, npq).

4.6 Échantillonnage4.6.1 Premier problème : proportion de boules dans une urne

Dans une urne contenant une dizaine de boules, il y a 2 boules noires et 8 boules blanches. Laproportion de boules noires est donc de 1/5.

On pioche dans l’urne avec ordre et remise une vingtaine de boules et on s’intéresse à la proportionde boules noires obtenues.

Cette expérience a été recommencée 100 fois à l’aide d’un tableur et voici les proportions obte-nues.

Proportion 0 0, 05 0, 1 0, 15 0, 2 0, 25 0, 3 0, 35 0, 4 0, 45 0, 5 TotalNb d’échantillons 0 9 13 20 27 16 9 5 0 1 0 100

1. Quel est le nombre d’échantillons qui ont une proportion de boules noires de 0, 3 ?

2. Quel est le nomb re d’échantillons qui ont une proportion de boules noires de 0, 6 ?


3. Quel est le nombre d’échantillons qui ont une proportion de boules noires entre 0, 1 et 0, 4 ?

4. Le but de cette partie est de retrouver par le calcul ce dernier nombre. On considère la variablealéatoire X qui lors de l’expérience compte le nombre boules noires obtenues.

(a) Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

(b) Calculer P (2 ≤ X ≤ 8).

(c) En déduire la probabilité que la proportion de boules noires soit comprise entre 0 et 0, 4.

• Solution —

Proportion 0 0, 05 0, 1 0, 15 0, 2 0, 25 0, 3 0, 35 0, 4 0, 45 0, 5 TotalNb d’échantillons 0 9 13 20 27 16 9 5 0 1 0 100

1. Le nombre d’échantillons qui ont une proportion de boules noires de 0, 3 est 9.

2. Le nombre d’échantillons qui ont une proportion de boules noires de 0, 6 est 0. En effet, tousles échantillons sont déjà dans le tableau.

3. Le nombre d’échantillons qui ont une proportion de boules noires comprise entre 0, 1 et 0, 4est 13 + 20 + 27 + 16 + 9 + 5 = 90. Soit 90%.

4. (a) On recommence 20 fois de manière indépendante une expérience ayant deux issues pos-sibles, succès ou échec. La variable aléatoire qui compte le nombre de succès suit une loibinomiale de paramètres 20 et 1/5.

(b) P (2 ≤ X ≤ 8) = 0, 92.

(c) On cherche la probabilité que la proportion de boules noires dans un échantillon soitcomprise entre 0, 1 et 0, 4 ; c’est-à-dire la probabilité qu’il y ait entre 10% et 40% deboules noires. Or chaque échantillonnage contient 20 boules. Ainsi 10% de boules noirespari ces 20 boules représente exactement 2 boules noires. De même 40% représente 8boules noires. Finalement, chercher la probabilité que la proportion de boules noires dansles échantillonnages soit comprise entre 0, 1 et 0, 4 revient à chercher la probabilité depiocher entre 2 et 8 boules noires parmi les 20 boules. C’est exactement la probabilitéque l’on a calculé à la question 4b, soit 0, 92. Ce qui correspond à peu près au 90% trouvégrâce au tableau.

•

4.6.2 Second problème : proportion de camions sur une autorouteSur une autoroute, la proportion des camions par rapport à l’ensemble des véhicules est 0, 07.

1. Soit X le nombre de camions parmi 100 véhicules choisis au hasard. Calculer P (X ≥ 5).

2. Soit Y le nombre de camions parmi 1000 véhicules choisis au hasard. Calculer P (65 ≤ Y ≤75).

3. On choisit n véhicules au hasard. Pour quelles valeurs de n peut-on affirmer que la proportionde camions est entre 0, 06 et 0, 08 avec un risque d’erreur inférieur à 5% ?

• Solution —

1. Soit X une variable aléatoire de loi binomiale Bin(100, 0.07). 100 ≥ 30, 100× 0, 07 = 7 <15, 0, 07 ≤ 0, 1 donc l’approximation à utiliser est celle par la loi de Poisson Pois(7) et :

P (X ≥ 5) ≈ 1− e−74∑

k=0

7k

k! ≈ 0, 827.

4.7 Loi multinomiale 19

2. Y suit la loi binomiale Bin(1000, 0.07). 1000 ≥ 30, 1000 × 0, 07 = 70 ≥ 15, 70 × 0, 93 =64, 1 > 4 donc l’approximation à utiliser est celle par la loi normale N(70, 65.1) et si Fdésigne la fonction de répartition de la loi N(70, 65.1),

P (65 ≤ Y ≤ 75) ≈ F (75.5)− F (64.5) = Φ(

5.5√65.1

)− Φ

(− 5.5√

65.1

)

= 2Φ(

5.5√65.1

)− 1 ≈ 2Φ(0.68) ≈ 0.5

3. On choisit n véhicules au hasard. Le nombre Sn des camions parmi ces n véhicules suit la loibinomiale Bin(n, 0.07) et la proportion des camions est Sn

n .On cherche n tel que

P(∣∣Sn

n − 0.07∣∣ ≥ 0.01

)= 0.05.

Si n ≥ 30, 0.07n ≥ 15 et 0.07×0.93×n > 5, c’est-à-dire n ≥ 215, on peut approximer la loide Sn

n par la loi normale N(0.07, 0.0651n ) et la loi de Sn

n −0.07 par la loi normale N(0, 0.065n ).

On a alors :

P

(∣∣∣∣Sn

n− 0.07

∣∣∣∣ ≥ 0.01)

= P

(∣∣∣∣√

n√0.0651

(Sn

n− 0.07

)∣∣∣∣ ≥√

n√0.0651

1100

)

≈ 2(

1− Φ( √

n√651

))≈ 0.05

On a donc Φ( √

n√651

)≈ 0.975 ≈ Φ(1.96) et n ≈ 1.962 × 651 ≈ 2501. 2501 ≥ 90, ce qui

légitime l’approximation.

•

4.7 Loi multinomialeDéfinition 4.27 — Loi multinomiale. Le vecteur aléatoire N suit la loi multinomiale de paramètresn et (p1, . . . , pd) où n ∈ N∗ et les pi sont strictement positifs et de somme 1 si pour tout d-uple(j1, j2, . . . , jd) d’entiers tels que j1 + j2 + · · ·+ jd = n,

P [N = (j1, j2, . . . , jd)] = n!j1!j2! · · · jd!p

j11 pj2

2 · · · pjdd .

Exemple 4.28 On considère 20 tirages d’une boule avec remise dans une urne contenant 1 boulebleue, 3 jaunes, 4 rouges et 2 vertes. Notons N = (N1, N2, N3, N4) où Ni est le nombre de boules dela couleur i en numérotant les couleurs par ordre alphabétique (b,j,r,v). On a (p1, p2, p3, p4) =( 1

10 , 310 , 4

10 , 210). La probabilité d’obtenir en 20 tirages 3 bleues, 5 jaunes, 10 rouges et 2 vertes est :

P (N = (3, 5, 10, 2)) = 20!3!5!10!2!

( 110

)3 ( 310

)5 ( 410

)10 ( 210

)2' 0, 004745.

Bibliographie

[1] Problème des sept ponts de Königsberg, Wikipédia, l’encyclopédie libre.

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