Cours 4: La lumiere: experience de Young 1

Cours 4. La lumiere . . .

– Transport d’energie par une onde (§2.2 dans les notes de cours de

Jacques Langnois).

– L’experience de Young (§2.3 dans les notes de cours de Jacques

Langnois).

– Ondes electromagnetiques (§2.4 dans les notes de cours de

Jacques Langnois).

Cours 4: La lumiere: experience de Young 2

Resume du cours 3. La lumiere

– Notions modernes de la lumiere

– La lumiere est une onde electromagnetique tres particulier :

(i) elle a un comportement corpusular dans quelques situations

(notament a l’echelle atomique ou la mecanique quantique

intervient)

(ii) Il n’y a pas de materiel qui assure la propagation des ondes

lumineuses ; il n’y a pas d’ether. Au lieu de l’ether comme

reference pour c, c’est un referentiel inertiel. La lumiere, et tous

ondes electromagnetiques, se propage avec vitesse c par rapport a

un referentiel inertiel.

– Pendant le 17eme siecle Rømer a mesure la vitesse de la lumiere

utilisant l’effet doppler pour interpreter les observations

astronomiques.

Cours 4: La lumiere: experience de Young 3

– La periode avec laquelle le satellite Io disparaıt derriere Jupiter

puis reapparaıt l’autre cote, environ 42h, change avec la saison.

Quand la terre se rapproche (s’eloigne) de Jupiter la periode

etait 15 s inferieur (superieur). Il en deduit la vitesse de la

lumiere utilisant l’effet doppler.

Cours 4: La lumiere: experience de Young 4

Resume du cours 3 : Puissance moyenne :

– Dans le cas de la lumiere on appelle eclairement ε la puissance

moyenne par unite de surface :

ε = 〈ψ2(x, t)〉 = A2〈cos2(kx− ωt)〉.

– La valeur moyenne d’une fonction sur une duree T est,

〈f〉 =1

T

∫ T

0

f(t) dt.

– Remarque : la valeur moyenne est un operateur lineaire a cause

Cours 4: La lumiere: experience de Young 5

des proprietes des integrals :

〈a f + b g〉 =1

T

∫ T

0

a f(t) + b g(t) dt

=a

T

∫ T

0

f(t) dt+b

T

∫ T

0

g(t) dt

= a〈f〉+ b〈g〉. (1)

– Si on prend T une periode T = 2π/ω nous avons trouve pour la

valeur moyenne d’un produit de deux cosinus dephases :

〈cosωt cos(ωt+ ϕ)〉 =1

2cosϕ. (2)

Dans les cas particuliers ϕ = 0 et ϕ = −π/2 on retrouve les

Cours 4: La lumiere: experience de Young 6

resultats :

ϕ = 0 〈cos2 ωt〉 =1

2,

ϕ = −π2

〈cos(ωt) sin(ωt)〉 = 0.

(3)

On en deduit egalement :

〈sin2 ωt〉 =1

2,

parce que sin(ωt) a la meme forme que cos(ωt) sauf qu’il est

decale par π/2.

Cours 4: La lumiere: experience de Young 7

La puissance transportee par une onde

spherique

– Une source ponctuelle produit une onde spherique (a trois

dimensions). La forme de la fonction d’onde est,

ψ(r, t) =A

rcos(kr − ωt),

ou r est la distance de la source. La phase est constante a un

instant donne si r = constante. La surface d’onde est donc une

sphere. L’onde est sortante car pour suivre une crete il faut que r

augmente avec le temps.

– La puissance transportee par unite de surface est :

〈ψ2(r, t)〉 =

⟨(A

rcos(kr − ωt)

)2⟩

=1

2

A2

r2.

Cours 4: La lumiere: experience de Young 8

– La surface d’une sphere etant 4πr2 la puissance transportee est

independante de la distance a la source. Elle se repand sur une

surface de plus en plus grande.

– L’eclairement est inversement proportionnel au carre de la

distance. Cette loi traduit la conservation de l’energie.

Cours 4: La lumiere: experience de Young 9

L’experience de Young

Cours 4: La lumiere: experience de Young 10

– L’experience de Young en 1802 [Thomas Young 1773 – 1829] a

mis en evidence le caractere ondulatoire de la lumiere

– Cette experience a mise en evidence l’interference de la lumiere

provenant de deux sources synchrones.

– Une caracteristique essentielle des phenomenes ondulatoires

reside dans le principe de superposition. Lorsque deux sources

produisent des perturbations, la vibration totale recue en un

point est la somme des vibrations produites par les sources a des

instants anterieurs.

– La frequence de la lumiere dans le spectre visible est de l’ordre

de 1015 Hz. Aucun detecteur ne peut suivre un mouvement aussi

rapide. Par ailleurs la puissance recue en un point est

proportionnelle au carre de l’amplitude. C’est donc la valeur

moyenne du carre de la vibration recue qui est enregistree.

– A cause de la frequence tres elevee de la lumiere visible il est tres

Cours 4: La lumiere: experience de Young 11

difficile de realiser deux sources synchrones (c’est a dire en phase

et de meme frequence). Young y a apporte une solution

imaginieuse a ce probleme.

– La lumiere produite par une source S [monochrome] rencontre un

ecran perce de deux fentes separees d’une distance d. D’apres le

principe de Huyghens les parties de la surface d’onde qui arrivent

au niveau des fentes peuvent etre considerees comme des sources

d’ondelettes qui vont se propager jusqu’au detecteur en P .

Fig. 24

– Les fentes peuvent donc etre considerees comme des sources

pontuelles synchrones. La vibration recue au point P a l’instant t

est la somme des vibrations produites au niveau de la fente au

Cours 4: La lumiere: experience de Young 12

temps t− r1/c et au niveau de la fente 2 au temps t− r2/c :

ψp(t) =A1

r1cos(ω(t− r1

c))

+A2

r2cos(ω(t− r2

c))

– Par symetrie on peut supposer que les deux sources ont la meme

intensite ce qui permet d’ecrire A1 = A2.

– Elles ne se trouvent pas a la meme distance mais on peut dire les

amplitudes provenant des deux sources sont egales a une bonne

approximation :A1

r1=A2

r2=A

r

ou r est la distance mesuree a partir du point situe a mi-chemin

entre les deux fentes. Pourquoi ? La difference entre r1 et r2 ne

peut pas depasser d :

|r1 − r2| ≤ d.

La difference de marche (r2 − r1) depend de la direction

d’observation. Nous supposerons que le point P est loin des

Cours 4: La lumiere: experience de Young 13

fentes, c’est a dire :

r1 � d, et r2 � d.

Dans ce cas les amplitudes provenant des deux sources sont

egales a une bonne approximation et on peut ecrire :

A1

r1≈ A2

r2.

– La vibration recue en P peut donc s’ecrire :

ψp(t) =A

r

(cos(ω(t− r1

c))

+ cos(ω(t− r2

c)))

.

– La difference de marche (r2 − r1) joue un role important

car elle est responsable de la difference de phase entre

les deux vibrations recues en un point.

Cours 4: La lumiere: experience de Young 14

– La puissance recue en un point P est proportionnelle a :

〈ψ2p(t)〉 =

(A

r

)2⟨[cos(ω(t− r1

c))

+ cos(ω(t− r2

c))]2⟩

(4)

=

(A

r

)2 ⟨cos2 ω(t− r1/c) + cos2 ω(t− r2/c)

+2 cosω(t− r1/c) cosω(t− r2/c)〉 (5)

=

(A

r

)2

(1 + cos[(r1 − r2)ω/c]) (6)

car le dephasage entre les deux cosinus est ϕ = [(r1 − r2)ω/c].

Regarder Fig. 1 ; image tire de

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fentes_d’Young.

Cours 4: La lumiere: experience de Young 15

Figure 1 – Experience de Young.

Cours 4: La lumiere: experience de Young 16

On peut reecrire ce resultat en fonction de la longueur d’onde :

〈ψ2p(t)〉 =

(A

r

)2 [1 + cos

(2π(r1 − r2)

λ

)]L’expression entre crochets peut varier de 0 a 2 selon la valeur du

cosinus. Si la difference de marche est un multiple entier de la

longeur d’onde :

r2 − r1 = nλ (n = 0,±1,±2,±3 . . .)

on a :

cos

(2π(r2 − r2)

λ

)= cos (2πn) = 1

et la puissance recue est maximale. L’interference est

constructive et les positions correspondantes correspondent a des

franges brillantes. Les vibrations provenant des deux fentes

arrivent en phase.

Lorsque la difference de marche correspond a un nombre impair

Cours 4: La lumiere: experience de Young 17

de demi-longueurs d’onde on a :

r2 − r1 = (2n+ 1)λ/2 (n = 0,±1,±2,±3 . . .)

on a :

cos

(2π(2n+ 1)

2

)= −1

La puissance recue en ces points est nulle et l’interference est

destructive. Cette condition determine les position des franges

sombres.

Les observations de Young ont apporte un appui tres solide au

modele ondulatoire de la lumiere.

Cours 4: La lumiere: experience de Young 18

Ondes electromagnetiques

– L’experience de Young a mis en evidence le caractere ondulatoire

de la lumiere mais la nature de cette onde n’etait pas connue.

Dans les decennies qui ont suivi les connaissances en electricite et

en magnetisme ont beaucoup progresse. Les experiences de

Faraday [Michael Faraday (1791–1867) ] ont montre que ces deux

domaines etaient lies.

– Vers 1865 J. C. Maxwell a realise une remarquable synthese des

lois de l’electricite et du magnetisme. Il a montre qu’une solution

possible des equations de l’electromagnetisme correspondait a une

onde transversale. Un champ electrique et un champ magnetique

mutuellement perpendiculaires oscillent dans des directions

perpendiculaires a la direction de propagation de l’onde.

Cours 4: La lumiere: experience de Young 19

– Il a obtenue pour la vitesse de phase l’expression

c =1

√ε0µ0

(7)

ou ε0 est la permittivite du vide et µ0 est la permeabilite du vide.

– Ce resultat etait tres proche de la vitesse de la lumiere dans le

vide et Maxwell a emis l’hypothese que la lumiere est une onde

electromagnetique.

Il etait generalement admis qu’une onde avait besoin d’un milieu

materiel pour se propages. Ce milieu materiel etait appele ether

et la vitesse de la lumiere devait etre constante par rapport a

l’ether.

Cours 4: La lumiere: experience de Young 20

Spectre electromagnetique

Figure 2 – Le spectre electromagnetique.

Cours 4: La lumiere: experience de Young 21

Figure 3 – Le spectre electromagnetique.