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Mathématiques, Cours de Mathématiques (Serie 1 - Serie 4), Première S, Trimestre 1 Année scolaire 2016 / 2017

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COURS

EXERCICES

DEVOIRS

1 e r T R I M E S T R E

Classe de

1ère S

Mathématiques

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SOMMAIRE 1ère S

MATHÉMATIQUES

1er TRIMESTRE

SÉRIE 1

Généralités sur les fonctions numériques

1ère leçon Rappel sur les fonctions

2ème leçon Opérations sur les fonctions

SÉRIE 2

Étude des polynômes

1ère leçon Généralités sur les polynômes 2ème leçon Polynômes du 2nd degré

SÉRIE 3

Dérivation

1ère leçon Limite. Nombre dérivé 2ème leçon Interprétation de la notion de dérivée

SÉRIE 4

Fonctions dérivées

1ère leçon Fonctions dérivées

2ème leçon Fonctions dérivées. Compléments

SÉRIE 5

Application de la notion de dérivation

1ère leçon Dérivée et sens de variation d’une fonction. Extremum

2ème leçon Résolution de manière approchée de l’équation f(x) = 0

SÉRIE 6

Comportement asymptotique des fonctions

1ère leçon Notion de limites de fonctions 2ème leçon Opérations sur les limites



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SÉRIE 7

Suites numériques

1ère leçon Généralités 2ème leçon Comportement d’une suite numérique

SÉRIE 8

Suites arithmétiques et suites géométriques

1ère leçon Suites arithmétiques

2ème leçon Suites géométriques



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1ère S – Mathématiques - 1er Trimestre 5 © 1S MA-0911-EAD

1ère Série

1ère S

Mathématiques

PREMIÈRE LEÇON

Rappels sur les fonctions

DEUXIÈME LEÇON

Opérations sur les fonctions



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1ère Série

PREMIÈRE LEÇON

Rappels sur les fonctions

I - Définition d’une fonction

1. Ensemble de définition

L’ensemble de définition d’une fonction numérique f de ℝ ⟶ ℝ est l’ensemble des réels qui admettent une image par 𝑓.

Fonction : Si 𝑓 est une fonction et Df son ensemble de définition, à chaque réel x de Df, la fonction associe un réel et un seul, noté f(x). On dit que f(x) est l’image de x par 𝑓.

𝑓 : 𝑥 ↦ 𝑓(𝑥)

2. Courbe représentative

La courbe représentative d’une fonction 𝑓 dans un repère du plan, est l’ensemble des points M de

coordonnées (x ; (𝑥)) décrivant l’ensemble de définition de 𝑓.

Si un point M(𝑥, 𝑦) appartient à la courbe représentative de 𝑓 alors la courbe obéit à l’équation

𝑦 = 𝑓(𝑥)

3. Sens de variation

Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle D inclus dans ℝ et (a ; b) tout couple de réels

appartenant à D.

- On dit que 𝑓 est constante sur D si : (𝑎) = (𝑏)

- On dit que 𝑓 est croissante sur D si : 𝑎 < 𝑏 => (𝑎) ≤ (𝑏)

- 𝑓 est dite strictement croissante sur D si : 𝑎 < 𝑏 => (𝑎) < (𝑏)

- De même, 𝑓 est décroissante sur D si : 𝑎 < 𝑏 => (𝑎) ≥ (𝑏)

- 𝑓 est strictement décroissante sur D si : 𝑎 < 𝑏 => (𝑎) > (𝑏)



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1ère Série

Remarque : Une fonction est dite monotone dans un intervalle si, sur tout cet intervalle, elle est soit

croissante, soit décroissante, soit constante.

Exemple : Considérons la fonction 𝑓 : x ↦ x²

Soient 2 réels a et 𝑏 tels que a < 𝑏 < 0

On a : 𝑓 (𝑏) – f(𝑎) = 𝑏 2 – a2 = (𝑏 – a) (𝑏 + a)

On a : 𝑏 - a >0 et 𝑏 + a 0

et 𝑓 (𝑏) > 𝑓 (a), d’où f est strictement croissante sur ]0 ;+

Comme 𝑓(0) = 0, on obtient le tableau de variation :

x - 0 +

𝑓(x) 0

Cas où 𝑓 est croissante sur D

Cas où 𝑓 est décroissante sur D



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1ère Série

4. Maximum, minimum, extremum local

Soient f une fonction définie sur un intervalle D et 𝑥0 un élément de D.

𝑓 présente un maximum f(𝑥0) en 𝑥0 si pour tout 𝑥 réel de D : 𝑓(𝑥) ≤ f(x0)

𝑓 présente un minimum f(𝑥0) en 𝑥0 sur D si pour tout 𝑥 réel de D : f(𝑥) ≥ f(𝑥0)

Soient f une fonction définie sur un intervalle D et c un réel de D.

Dire que 𝑓 admet un extremum local en c signifie que 𝑓(c) est un extremum de 𝑓 pour tout 𝑥 réel

d’un intervalle ouvert I contenant c et inclus dans D.

Exemple : Soit la fonction f définie sur D = [-3 ; 3] telle que : (𝑥) = 𝑥4 – 8𝑥² + 𝑥 + 7

Représentons son tableau de variation :

x -3 -2 0 2 3

(𝑥) 13 7 19

-11 -7

-11 est un minimum local de 𝑓, car c’est le minimum de f sur [-3 ;0]. Il est aussi le minimum de f sur [-3 ; 3].

De même –7 est un minimum local de f sur [0 ;3]. 7 est un maximum local sur [-2 ;2] 19 représente un maximum local sur [0 ;3] ; il est également le maximum de f sur [-3 ;3]

5.- Fonction majorée, minorée, bornée

Soit f une fonction définie sur un intervalle D, et M et m deux réels.

- 𝑓 est majorée par M sur D, lorsque, pour tout 𝑥 Є D, 𝑓(x) ≤ M - 𝑓 est minorée par m sur D, lorsque, pour tout 𝑥 Є D, 𝑓(x) ≥ m - 𝑓 est bornée sur D si 𝑓 est à la fois majorée et minorée.

Remarques :

- Si f est bornée par m et M sur D, alors la courbe représentative de f est située dans le domaine du plan limité par les deux droites d’équation respective y = m et y = M

- Pour une fonction minorée par 0 sur D, on dit que f est positive sur D. - Pour une fonction majorée par 0 sur D, alors f est négative sur D.



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1ère Série

Exemple :

𝑓 est une fonction définie sur ℝ par (𝑥) = 21

1

x et

C𝑓 est sa courbe représentative dans un repère );;( jiO

On a successivement :

x² 0 donc 1 + x² 1 0 donc 1 + x² > 0 et 21

1

x >0

d’où f (x) > 0

La fonction f est donc minorée par 0 et la courbe Cf est par conséquent située au-dessus de l’axe des

abscisses.

Pour tout réel x, 1 1 + x² ; comme 1 + x² > 0, on en déduit que 21

1

x 1

D’où f(x) 1 ; la fonction f est majorée par 1.

Quel que soit x ℝ, 0 < f (x) 1

la fonction f est donc bornée sur ℝ.

À noter que 𝑓 est minorée, mais ne possède

pas de minimum (inégalité stricte).

II - Parité - Périodicité

1. Fonction paire

Soit f une fonction définie sur un intervalle D et C sa courbe représentative. La fonction 𝑓 est paire si,

et seulement si, pour tout 𝑥 ∈ D.

-𝑥 ∈ D et (-𝑥) = (𝑥)



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1ère Série

La courbe C est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées dans un repère orthogonal.

Exemple : (𝑥) = 𝑥²

2. Fonction impaire

Soit 𝑓 une fonction définie sur D et C sa courbe représentative.

𝑓 est impaire si, et seulement si, pour tout x ∈ D.

- 𝑥 ∈ D et (-𝑥) = -(𝑥)

La courbe C est alors symétrique par rapport à l’origine du repère.

Exemple : (𝑥) = sin 𝑥



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1ère Série

3. Périodicité

Soit T un réel non nul strictement positif et 𝑓 une fonction définie sur un intervalle D. On dit que 𝑓 est

périodique de période T si, quelque soit 𝑥 ∈ D.

𝑥 + T ∈ D et (𝑥 + T) = (𝑥)

Dans ce cas, on étudiera le graphe dans une seule période (par exemple dans l’intervalle [0 ;T]) et on

complétera le graphe grâce à la périodicité.

La période de la fonction sera le plus petit réel positif réalisant la condition .

4. Remarque

La parité et la périodicité permettent de faire l’étude d’une fonction sur un intervalle D’ plus restreint

que l’ensemble de définition de départ D.

Pour compléter la courbe sur l’intervalle D, il suffira d’utiliser les transformations, résultant des

propriétés obtenues pour la fonction, que l’on appliquera sur la portion de courbe obtenue sur

l’intervalle réduit D’.

III - Fonctions de référence (rappels)

1. Fonction affine

𝑎 et 𝑏 étant deux réels, la fonction 𝑓 : 𝑥 ↦ 𝑎𝑥 + 𝑏, avec 𝑥 ∈ ℝ est une fonction affine de coefficient 𝑎.

Sa courbe représentative est la droite d’équation 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏.

- Si 𝑎 > 0 alors f est croissante sur ℝ - Si 𝑎 = 0 alors f est constante sur ℝ - Si 𝑎 < 0 alors f est décroissante sur ℝ

Cas où 𝑎 > 0



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1ère Série

cas où 𝑎 < 0

2. Fonction carré

La fonction carré est définie sur ℝ par (𝑥) = 𝑥². Celle-ci est strictement décroissante sur ]- ;0] et

strictement croissante sur [0 ; +[.

Elle est paire et sa courbe représentative est une parabole de sommet l’origine du repère.

cas où 𝑎 = 0



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1ère Série

3. Fonction inverse

La fonction inverse est définie sur ℝ - 0 (ou ℝ*) par : (𝑥) = x

1

Elle est strictement décroissante sur ]- ; 0[ et sur ] 0 ; +[.

La fonction inverse est impaire. Sa courbe représentative est une hyperbole.

4. Fonction racine carré

Celle-ci est définie sur ℝ+ par : (𝑥) = x

Elle est strictement croissante sur [0 ; + [.

5. Fonction cube

La fonction cube est définie sur ℝ par : (𝑥) = 𝑥3

Elle est strictement croissante sur ℝ. C’est une fonction impaire.



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1ère Série

6. Fonction valeur absolue

La fonction valeur absolue est définie sur ℝ par (𝑥) = 𝑥

𝑥 = 𝑥 si 𝑥 ≥ 0

𝑥= -𝑥 si 𝑥 < 0

C’est une fonction paire. Elle est strictement décroissante sur ]- ; 0] et strictement croissante sur

[0 ;+[

7. Fonctions cosinus et sinus

Celles-ci sont définies sur ℝ. La fonction cosinus est paire car cos(-𝑥) = cos 𝑥 et la fonction sinus est

impaire car sin (-𝑥) = -sin 𝑥 pour tout 𝑥 de ℝ.

Elles sont périodiques de périodes 2π, ce qui signifie que pour tout 𝑥 réel :

cos (𝑥 + 2π) = cos 𝑥

sin (𝑥 + 2 π) = sin 𝑥

Les courbes représentatives sont des sinusoïdes.

o Courbe claire : fonction cosinus o Courbe foncée : fonction sinus



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1ère Série

Exercice 1

Déterminer l’ensemble de définition D des fonctions suivantes :

1. (𝑥) = 1

522

x

x

2. (𝑥) = 2 𝑥² - 3𝑥 + 5

3. (𝑥) = 16

822

x

x

4. (𝑥) = )4)(1(

432

2

xx

xx

5. (𝑥) = 2x

6. (𝑥) = 9² x

7. (𝑥) = 12² xx

8. (𝑥) = 34

29

x

x

Exercice 2

Soit 𝑓 une fonction majorée sur un ensemble D et nulle en aucun point ; à quelle condition peut-on

dire que f

1 est minorée sur cet ensemble ?

Exercice 3

Soit (𝑥) =- 𝑥² + 1 tel que : - 𝑥² + 1 ≤ 1

Établir que f

1n’est pas bornée sur ℝ.

Exercice 4

1. Soient 𝑎 et 𝑏 ∈ ℝ avec 𝑎 ≠ 0

Soit la fonction (𝑥) = sin (𝑎𝑥 + 𝑏)

Établir que 𝑓 est périodique de période a

2

2. On démontre de même que la fonction (𝑥) = cos (𝑎𝑥 + 𝑏) est périodique de période a

2

En déduire une période des fonctions suivantes :

𝑓 : 𝑥 ↦ cos

32

x ; g : 𝑥 ↦ sin

63

x

Exercice 5

Déterminer la parité des fonctions suivantes :

1. (𝑥) = 2𝑥² + 1

2. (𝑥) = 2

52

x

xx

3. h(𝑥) = 𝑥3 + 1



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1ère Série

DEUXIÈME LEÇON

Opérations sur les fonctions

I – Propriétés des fonctions

1. Égalité de deux fonctions

Soient 𝑓 et 𝑔 deux fonctions définies respectivement sur les ensembles, de définition D𝑓 et D𝑔.

Les fonctions 𝑓 et 𝑔 sont égales si, et seulement si :

D𝑓 = D𝑔= D et pour tout 𝑥 ∈ D, (𝑥) = (𝑥)

2. Opérations sur les fonctions

Soient 𝑓 et 𝑔 deux fonctions définies sur un ensemble D.

- On définit sur D la fonction somme 𝑓 + 𝑔 par (𝑓+ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)

- On définit sur D la fonction produit 𝑓. 𝑔 par (𝑓. 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) . 𝑔(𝑥)

- On définit sur D la fonction produit par un réel 𝑘, soit . 𝑓 par (. f)(𝑥) = 𝑘 . 𝑓(𝑥)

- On définit sur D la fonction quotient g

f par

)(

)(

xg

xfx

g

f

avec (𝑥) ≠ 0

Exemples :

- Soient 𝑓 définie sur ℝ par (𝑥) = 2 𝑥 + 3 et g définie sur ℝ par (𝑥) = 𝑥 + 7

On peut définir sur ℝ la fonction produit 𝑓. 𝑔 par :

𝑥 ↦ (2 𝑥 + 3) (𝑥 + 7)

- Si 𝑓 est une fonction définie sur ℝ par (𝑥) = 𝑥 + 4 et 𝑔 définie sur ℝ+ par (𝑥) = x alors la fonction

quotient g

f est définie sur ;0 par

x

x

xg

xfx

g

f 4

)(

)(

3. Sens de variation

- Si 𝑓 et 𝑔 sont deux fonctions croissantes sur un intervalle D, alors la fonction somme 𝑓 + 𝑔 est une

fonction croissante sur D.

- Si 𝑓 et 𝑔 sont deux fonctions décroissantes sur un intervalle D alors 𝑓 + 𝑔 est une fonction

décroissante sur D.



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1ère Série

- Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle D et 𝑘 un réel non nul :

Si k est positif, les fonctions 𝑓 et . 𝑓 ont le même sens de variation sur D Si k est négatif, les fonctions 𝑓 et . 𝑓, ont des sens de variations contraires sur D.

Remarque : La connaissance du sens de variation de deux fonctions 𝑓 et 𝑔 ne permet pas de

conclure sur le sens de variation des fonctions produit . 𝑔 et quotient g

f.

Exemple :

Soient 𝑓 et 𝑔 définies sur ]0 ; +∞[ par :

(𝑥) = 𝑥² et (𝑥) = -x

1

La fonction produit . 𝑔 est telle que ((. 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) . 𝑔(𝑥))

= 𝑥² .

x

1 = -x

Alors que 𝑓 et 𝑔 sont strictement croissantes sur ]0 ; +∞[, la fonction 𝑓 . 𝑔 : 𝑥 ↦ -𝑥 est strictement

décroissante sur cet intervalle.

II - Fonction composée

1. Composition de fonctions

Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle D𝑓 et 𝑔 une fonction définie sur un intervalle D𝑔.

La fonction composée de 𝑓 par 𝑔, notée 𝑔 o 𝑓 (lire « 𝑔 rond 𝑓 ») est définie sur Df par :

(𝑔 o 𝑓)(𝑥) = 𝑔 [(𝑥)] avec fDx et (𝑥) ∈ D𝑔

𝑓 𝑔

𝑥 ↦ 𝑓(𝑥) ↦ 𝑔[𝑓(𝑥)]

𝑔 o 𝑓

Remarques :

* L’ensemble de définition de 𝑔 o 𝑓 est constitué des réels x tels que 𝑥 ∈ D𝑓 et (𝑥) ∈ D𝑔.

* Attention à l’ordre d’application des fonctions : (𝑥) est d’abord déterminé en premier puis 𝑔

s’applique à (𝑥) ; 𝑔 o 𝑓 est donc la composée de 𝑓 suivie de 𝑔.

* en général, les fonctions 𝑔 o 𝑓 et 𝑓 o 𝑔 sont différentes.

Exemple : composons la fonction affine : 𝑓 : 𝑥 ↦ 3 𝑥 - 2

par la fonction racine : 𝑔 : 𝑥 ↦ x



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1ère Série

On a D𝑓 = ℝ, mais D𝑔 = [0 ; +∞ [, donc pour pouvoir calculer [(𝑥)] il faut s’assurer que (𝑥) ≥ 0

3𝑥 – 2 ≥ 0 ⇔ 𝑥 ≥3

2

Donc la composée de 𝑓 par 𝑔 est la fonction h définie sur Dh =

,

3

2 par :

h (𝑥) = [(𝑥)] = 23 x

Si nous voulons effectuer 𝑓 o 𝑔 alors la fonction obtenue est : i(𝑥)=(𝑓 o 𝑔)(𝑥) = 𝑓 [𝑔(𝑥)] = 3x - 2

avec Di = [0 ; +∞[

On constate que i(𝑥) ≠ h(𝑥)

2. Sens de variation d’une fonction composée

Soit 𝑓 une fonction définie sur l’ensemble I inclus dans D𝑓 et 𝑔 une fonction définie sur l’ensemble J

inclus dans D𝑔 telles que pour tout réel 𝑥 de I, (𝑥) appartient à J. Les fonctions 𝑓 et 𝑔 étant

strictement monotones, si elles ont le même sens de variation, alors 𝑔 o 𝑓 est croissante sur I.

Si 𝑓 et 𝑔 ont des sens de variation différents, alors 𝑔 o 𝑓 est décroissante sur I.

Démonstration

- Considérons 𝑓 et 𝑔 ayant le même sens de variation.

Supposons, par exemple, que 𝑓 et 𝑔 soient strictement décroissantes sur leur domaine de définition

respectif.

Soient a et 𝑏 ∈ I tels que a < 𝑏.

𝑓 strictement décroissante sur I signifie que a < b implique𝑓(a) > (𝑏)

Comme g est strictement décroissante sur J, alors [𝑓(a)] < [(𝑏)]

Donc a < 𝑏 ⟹ [𝑓(a)] < [(𝑏)]

Ainsi 𝑔 o 𝑓 est strictement croissante sur I.

- Considérons, à présent, 𝑓 et 𝑔 avec des sens de variation différents.

On suppose que 𝑓 est strictement croissante sur I et 𝑔 strictement décroissante sur J.

Soient a et b I tels que 𝑎 < b

𝑓 est strictement croissante sur I donc (𝑎) < 𝑓(b)

(𝑎) et 𝑓(b) sont inclus dans J où 𝑔 est strictement décroissante,

d’où : [(𝑎)] > [𝑓(b)] soit (𝑔 o 𝑓)( 𝑎) > (𝑔 o 𝑓)(b)

Donc 𝑎 < b ⟹ (𝑔 o 𝑓)(𝑎) > (𝑔 o 𝑓)(b) et 𝑔 o 𝑓 est strictement décroissante sur I.

III. Fonctions associées et transformations de courbes

L’utilisation des fonctions associées permet de construire la courbe représentative d’une fonction 𝑓 à

partir de celle d’une fonction de référence.



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1ère Série

Propriétés

- Si e est définie par e(x) = (𝑥), où est un réel, alors 𝐶e s’obtient à partir de 𝐶𝑓 par la transformation :

(𝑥, y) → (𝑥, y).

- Si 𝑔 est une fonction définie par (𝑥) = (𝑥 – 𝑘), alors 𝐶𝑔 s’obtient à partir de 𝐶𝑓 par une translation de

vecteur 𝑘 i

- Si une fonction h est définie par h(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑘, alors 𝐶h s’obtient à partir de 𝐶𝑓 par une translation

du vecteur 𝑘 j

- Si 𝑙 est une fonction définie par (𝑥) = (𝑥 –α) + β, alors 𝐶𝑖 est obtenue à partir de 𝐶𝑓 par une

translation du vecteur α i

+ β j

- Si la fonction 𝑚 est définie pour (𝑥) = -(𝑥), alors 𝐶𝑚 est obtenue à partir de 𝐶𝑓 par une symétrie

d’axe des abscisses.

Exemple :

Soit 𝑓 définie sur [-3 ; 4] par (𝑥) = 𝑥²

Représentons les courbes des fonctions 𝑔, h et 𝑙 telles que :

𝑔 : 𝑥 ↦ 𝑓 (𝑥 – 3) ; h ↦ (𝑥) + 4 ; 𝑙 : 𝑥 ↦ (𝑥 - 3) + 4

- La courbe 𝐶𝑔 est obtenue à partir de 𝐶𝑓 par la translation de vecteur 3 i

𝑔 est définie sur [0 ; 7] par : (𝑥) = (𝑥 - 3) = (𝑥 – 3)² = 𝑥 ² - 6 𝑥 + 9



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1ère Série

- On obtient la courbe 𝐶h à partir de 𝐶𝑓 par la translation de vecteur j

4

h est définie sur [-3 ; 4] par : h(x) = (𝑥) + 4 = 𝑥² + 4

- 𝐶𝓁 est obtenue à partir de 𝐶𝑓 par une translation de vecteur ji

43

𝓁 est définie sur [0 ; 7] par :

(𝑥) = (𝑥 – 3)² + 4 = 𝑥² - 6𝑥 + 13

IV - Eléments de symétrie d’une courbe

1. Axe de symétrie d’une courbe

Soit 𝐶 la courbe représentative dans un repère orthogonal d’une fonction 𝑓 définie sur son domaine D𝑓.

La droite 𝑑 d’équation 𝑥 = 𝑎, est axe de symétrie de 𝐶 si, et seulement si, pour tout réel h ≠ 0 tel que

𝑎 + h ∈ D𝑓 et 𝑎 - h ∈ D𝑓, on a : (𝑎 + h) = (𝑎 - h)



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1ère Série

2. Centre de symétrie d’une courbe

La courbe représentative 𝐶 d’une fonction f admet pour centre de symétrie le point Ω(a, 𝑏) si, et

seulement si, pour tout réel 𝑘 ≠ 0 avec 𝑎 + h ∈ D𝑓 et 𝑎 - h ∈ D𝑓, on a :

bhafhaf

2

)()(

Exemple :

Soit f la fonction définie sur ℝ - {1} par (𝑥) = 1

32 2

x

x

Établir que la courbe représentative de f admet le point Ω(-1 ; -4) comme centre de symétrie.

Pour tout réel h ≠ 0, -1 - h et -1 + h sont dans l’ensemble de définition de f.

Calculons f(-1 - h) et f(-1 + h) :

h

hh

h

hh

h

hh

h

hhf

1421423)21(2

11

3)1(2)1(

2222

j i



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1ère Série

h

hh

h

hh

h

hhf

1423)12(2

11

3)1(2)1(

222

42

8

2

)1()1(

h

hhfhf

La courbe représentative de 𝑓 admet donc le point Ω (-1 ; -4) comme centre de symétrie.

3. Changement de repère

Soit );;( jiO

un repère du plan et Ω(a ; 𝑏) un point quelconque.

C est la courbe d’équation 𝑦 = f(𝑥) dans ce repère.

Le point Ω ayant pour coordonnées (𝑎 ; 𝑏) dans );;( jiO

, on peut écrire : OΩ jbia

Soit M un point ayant pour coordonnées (𝑥 ; 𝑦) dans );;( jiO

et (X ;Y) dans ( );; ji

. On peut donc

écrire :

yixOM

j

et jYiXM

.

En appliquant la relation de Chasles on a : MOOM , alors on obtient la formule de

changement de repère :

𝑥 = 𝑎 + X

𝑦 = 𝑏 + Y

Dans le repère ji

;; la courbe C a pour équation :

Y = g(X)

- Si g est paire, alors l’axe j

; est axe de symétrie de C.

- Si g est impaire, alors Ω est centre de symétrie de C.



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1ère Série

Exemple :

Soit (𝑥) = 1

32

x

x. Montrons que Ω(1 ; 2) est centre de symétrie de la courbe représentative 𝐶 de 𝑓

dans un repère );;( jiO

.

a. Expression des coordonnées (𝑥 ; 𝑦) d’un point M dans );;( jiO

en fonction des coordonnées (X ;Y)

dans );;( ji

.

Appliquons Chasles : MOOM se traduit sur les coordonnées par le système :

𝑥 = 1 + X

𝑦 = 2 + Y

b. Traduction de l’équation 𝑦 = (𝑥) par une équation Y = 𝑔 (X)

X

XX

X

XXfYxfy

42

11

3)1()1(2)(

22

X

X

X

XXX

X

XXXfY

42422

422)1(

222

Donc 𝑔(X)X

X 42

c. Étude de la parité de 𝑔(X).

(-X) = X

X

X

X 44)( 22

= -𝑔(X)

donc 𝑔 est impaire et Ω origine du repère );;( ji

est centre de symétrie de C.

Exercice 6

Soit 𝑓 : 𝑥 ↦ 1x et 𝑔 : 𝑥 ↦ 𝑥² - 1

1. Donner les ensembles de définition de 𝑓 et 𝑔.

2. Donner les expressions et les ensembles de définition des fonctions suivantes :

𝑔o𝑓, 𝑓o𝑔, 𝑓o𝑓 et 𝑔o𝑔.



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Exercice 7

Soit la fonction f définie sur ℝ par : 𝑓 (𝑥) = (𝑥 - 1)² + 2

1. Prouver que f est décroissante sur ]-∞ ; 1] et croissante sur [1 ;+ ∞ [.

Dresser le tableau de variation de 𝑓.

2. La représentation graphique C de f est l’image par une translation t de la parabole P d’équation

𝑦 = 𝑥²

Que vaut le vecteur u

de cette translation t ?

Tracer C et P en représentant u

.

Exercice 8

1. Sans tracer les graphiques, expliquer comment, à partir du graphe de la fonction f : 𝑥 ↦ (𝑥) = 𝑥, on

peut construire les graphes correspondant à :

a) 𝑓1(𝑥) = x

b) 𝑓2(𝑥) = -3𝑥 + 1

2. De même, justifier la construction du graphe de 𝑓3(𝑥) = 3𝑥² -1 à partir de la fonction de référence

𝑓 : 𝑥 ↦ 𝑓(𝑥) = 𝑥²

Exercice 9

Soient f définie par (𝑥)xx 6

12

et h un réel différent de zéro.

1. Établir le domaine de définition de f.

2. Calculer f(3+ h) et f(3 - h). Conclusion ?

Exercice 10

Soit Ω un point dans un repère );;( jiO

de coordonnées (1 ; 0).

Soit M un point de coordonnées (𝑥, 𝑦) dans ce repère et de coordonnées (X, Y) dans le repère

),;( ji

.

1. Donner les relations entre (𝑥, 𝑦) et (X, Y).

2. Soit f la fonction définie sur ℝ - {1} par : f(𝑥) = 2

2

)1(

12

x

xx

C est la courbe représentative de f dans ),;( jiO

.

Établir la fonction g telle que Y = g(X), équation de la courbe C dans le repère ),;( ji

.

3. Étudier la parité de g.

4. En déduire l’existence d’un axe de symétrie dont on donnera l’équation.



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