COURBES ET SURFACES DE L'ESPACE Plan tangent et normale à ...

Lycée Sainte GenevièvePT-PT*MATHÉMATIQUES

2020-2021Chap 20Fiche

COURBES ET SURFACES DE L'ESPACE

PLAN TANGENT ET NORMALE À UNE SURFACE EN UN POINT.TANGENTE À UNE COURBE EN UN POINT.

1. Plan tangent et normale à une surface en un point régulier

� Méthode 1 : la surface est donnée sous forme paramétrique (U; f)

? Si M0(x0; y0; z0) est donné par ses coordonnées, commnencer par déterminer (u0; v0) 2 U tel que M0 =f(u0; v0).

? En utilisant les 3 applications coordonnées, montrer que f est bien C1 sur U .

? Calculer@f

@u(u0; v0) ^

@f

@v(u0; v0).

? S'il est non nul, M0 est un point régulier. Sinon c'est un point stationnaire.

? Détermination d'une équation cartésienne du plan tangent au point M0 à la surface S :

,! Avec le produit mixte : M(x; y; z) 2 PM0 ()

��!M0M;

@f

@u(u0; v0);

@f

@v(u0; v0)

�= 0.

,! En connaissant un vecteur normal au plan :@f

@u(u0; v0) ^

@f

@v(u0; v0) =

0B@abc

1CA :

PM0 : a(x� x0) + b(y � y0) + c(z � z0) = 0

? Détermination d'une représentation paramétrique de la normale à S passant par M0 :

Elle passe par M0 et elle est dirigée par@f

@u(u0; v0) ^

@f

@v(u0; v0) :

� 2 R 7!M0 + �@f

@u(u0; v0) ^

@f

@v(u0; v0):

Exemples :

� Soit S la nappe paramétrée dé�nie par :

f : (u; v) 2 R2 7!(

x(u; v) = eu

y(u; v) = ev

z(u; v) = uv

Montrer que tout point de S est régulier et déterminer le plan tangent en tout point de S.? Montrer que f 2 C1(R2;R3) :

,! Régularité des fonctions coordonnées :On pose f1; f2 et f3 les trois applications coordonnées de f . Les fonctions (u; v) 2 R2 7! u, (u; v) 2 R2 7! v et(u; v) 2 R2 7! uv sont polynomiales sur R2 et ainsi elles sont de classe C1 sur l'ouvert R2. Ainsi, la fonction coordonnée f3est bien de classe C1 sur R2. De plus, par composition à gauche par la fonction numérique exponentielle qui est de classeC1 sur R, les fonctions coordonnées f1 et f2 sont bien de classe C1 sur R2.

,! Régularité de f :Par caractérisation de la régularité par les fonctions coordonnées, la fonction f est bien de classe C1 sur R2.

? Montrer que la surface est régulière :

,! Calcul des dérivées partielles :

Soit (u; v) 2 R2, on a :@f

@u(u; v) =

eu

0v

!et

@f

@v(u; v) =

0ev

u

!.

,! Véri�ons que la surface est bien régulière :


@u(u; v) ^ @f

@v(u; v) =

�vev�ueueu+v

!. Comme eu+v 6= 0 pour tout (u; v) 2 R2, tout point M(u; v) est

régulier et ainsi la surface S est bien une surface régulière.

Lycée Sainte Geneviève, PT-PT* /24 2020-2021

? Équation cartésienne du plan tangent à S en un point régulier :

Soit (u0; v0) 2 R2, le point M de paramètre (u0; v0) étant bien un point régulier, le plan tangent à S en ce point admet uneéquation cartésienne :

�v0ev0 (x� eu0 )� u0eu0 (y � ev0 ) + eu0+v0 (z � u0v0) = 0

() �v0ev0x� u0eu0y + eu0+v0z + eu0+v0 (u0 + v0 � u0v0) = 0

() v0e�u0x+ u0e�v0y � z � (u0 + v0 � u0v0) = 0:

� Déterminer l'équation du plan tangent et une représentation paramétrique de la normale au point de coordonnées (�1; 0; 1) de lanappe paramétrée dé�nie par :

(u; v) 2 R2 7!(

x(u; v) = u� vy(u; v) = uvz(u; v) = u2 � v2

? Calcul du paramétrage :

On cherche (u; v) 2 R2 tel que M(u; v) = (�1; 0; 1) ce qui équivaut à :(u� v = �1uv = 0u2 � v2 = 1

()(

u = 0v = 1�1 = 1

ou

(v = 0u = �11 = 1

Ainsi, l'unique solution est M(�1; 0).? Montrer que f 2 C1(R2;R3) :

,! Régularité des fonctions coordonnées :On pose f1; f2 et f3 les trois applications coordonnées de f . Elles sont toutes les trois polynomiales sur R2, et ainsi lesfonctions coordonnées f1, f2 et f3 sont bien de classe C1 sur R2.

,! Régularité de f :Par caractérisation de la régularité par les fonctions coordonnées, la fonction f est bien de classe C1 sur R2.

? Montrer que le point M est régulier :

,! Calcul des dérivées partielles :


@u(u; v) =

1v2u

!et

@f

@v(u; v) =

�1u�2v

!.

,! Véri�ons que le point M(�1; 0) est bien régulier :

On a :@f

@u(�1; 0) ^ @f

@v(�1; 0) =

�22�1

!6= 0R3 . Ainsi, le point M(�1; 0) est régulier.

? Équation cartésienne du plan tangent à S au point régulier M :Le plan tangent à S en ce point M(�1; 0) admet une équation cartésienne : �2(x+1)+ 2y� (z � 1) = 0, �2x+2y� z = 1.

? Représentation paramétrique de la normale à S au point régulier M :La normale à S au point régulier M de coordonnées (�1; 0; 1) admet pour représentation paramétrique :

� 2 R 7!M + �@f

@u(�1; 0) ^ @f

@v(�1; 0) =

��1� 2�2�1� �

� Méthode 2 : la surface est donnée à l'aide d'une équation cartésienne F (x; y; z) = 0

? Véri�er que M0(x0; y0; z0) est bien un point de S, c'est-à-dire que F (x0; y0; z0) = 0.

? Montrer que F est bien C1 sur un ouvert U � R3.

? Calculer rF (M0) =

0BBBBBBB@

@F

@x(x0; y0; z0)

@F

@y(x0; y0; z0)

@F

@z(x0; y0; z0)

1CCCCCCCA

? S'il est di�érent du vecteur nul, M0 est un point régulier. Sinon c'est un point stationnaire.

? Détermination d'une équation cartésienne du plan tangent au point régulier M0 à la surface S :

PM0 :@F

@x(x0; y0; z0) [x� x0] +

@F

@y(x0; y0; z0) [y � y0] +

@F

@z(x0; y0; z0) [z � z0] = 0

? Détermination d'une représentation paramétrique de la normale à S passant par M0 :Elle passe par M0 et elle est dirigée par rF (M0) :

� 2 R 7!M0 + �rF (M0):

Exemples :


� Former une équation cartésienne du plan tangent en A(1; 1; 1) à la surface S d'équation : x2yz + xy3z + xyz4 � 3 = 0:

? Montrer que A 2 S : Comme F (1; 1; 1) = 0, on a bien : A 2 S.? Montrer que F : (x; y; z) 2 R3 7! x2yz + xy3z + xyz4 � 3 est de classe C1 sur l'ouvert R3 : La fonction F étant une fonction

polynomiale, on a bien : F 2 C1(R3;R).? Montrer que A est un point régulier de S :

,! Calcul du gradient de F : pour tout (x; y; z) 2 R3, on a : rF (x; y; z) =

2xyz + zy3 + yz4

zx2 + 3xzy2 + xz4

x2y + xy3 + 4xyz3

!.

,! Véri�cation que A est bien régulier : on a ainsi rF (A) =

456

!6= 0R3 donc le point A est bien un point régulier de S.

? Équation cartésienne du plan tangent à S au point régulier A :

4[x� 1] + 5[y � 1] + 6[z � 1] = 0() 4x+ 5y + 6z = 15:

? Représentation paramétrique de la normale à S au point régulier A :La normale à S au point régulier A de coordonnées (1; 1; 1) admet pour représentation paramétrique :

� 2 R 7! A+ �rF (A) =

��1 + 4�1 + 5�1 + 6�

� Soit S la surface d'équation z3 = xy et D la droite dé�nie parn

x = 2y = 3z � 3:

Déterminer les plans tangents à la surface S et

contenant la droite D.On cherche ainsi les éléments (a; b; c) 2 R3 tels que :

(a) Le point M(a; b; c) appartienne à la surface S,(b) Le point M(a; b; c) soit un point régulier de la surface S,(c) Le plan tangent PM à S en M(a; b; c) contienne la doite D.Étudions chacun des points :

? Condition (a) : M(a; b; c) 2 S si et seulement si c3 = ab.

? Condition (b) : La surface S est dé�nie par l'équation cartésienne F (x; y; z) = 0 avec F : (x; y; z) 2 R3 7! z3 � xy. Cettefonction F est polynomiale sur R3 et ainsi elle est bien de classe C1 sur l'ouvert R3. De plus, pour tout (x; y; z) 2 R3, on a :

rF (x; y; z) =

�y�x3z2

!. Ainsi, le point M(a; b; c) 2 S est régulier si et seulement si rF (a; b; c) =

�b�a3c2

!6= 0R3 donc si et

seulement si (a; b; c) 6= (0; 0; 0).

? Condition (c) : soit (a; b; c) 6= (0; 0; 0).

,! Équation du plan tangent à S en M(a; b; c) : il admet pour équation cartésienne : �b(x� a)� a(y � b) + 3c2(z � c) = 0,�bx� ay + 3c2z � c3 = 0 en utilisant pour simpli�er que : c3 = ab.

,! Représentation paramétrique de D : la droite D admet le paramétrage cartésien suivant :

� 2 R 7!��2�3 + 3��

,! Condition (c) : la droite D est contenue dans le plan PM si et seulement si :

8� 2 R; �2b� a(�3 + 3�) + 3c2�� c3 = 0, 8� 2 R; 3�(c2 � a) + (3a� 2b� c3) = 0 ,identi�cation

nc2 � a = 03a� 2b� c3 = 0

On cherche donc les triplets (a; b; c) 6= (0; 0; 0) véri�ant

(c3 = abc2 = a3a� 2b� c3 = 0

La résolution de ce système non linéaire donne :

(c2 = ac3 = ab3a� 2b� c3 = 0

,(

c2 = aa(b� c) = 0 L2 ! L2 � cL13a� 2b� c3 = 0

,(

c2 = ab = cc(c2 � 3c+ 2) = 0

car le cas a = 0 amène (a; b; c) = (0; 0; 0) ce qui est exclu. De même c = 0 est exclu car amenant (a; b; c) = (0; 0; 0) et on obtientainsi c = 1 ou c = 2. Ainsi, on obtient les points M(1; 1; 1) et M(4; 2; 2).Il existe donc deux plans tangents à S contenant la droite D, il s'agit des plans admettant pour équation cartésienne : �x�y+3z = 1et �x� 2y + 6z = 4.

� Soit S la surface d'équation x2 + y2 + 2z2 = 1 et D la droite dé�nie parn

y = 3xz = �2x: Déterminer les plans tangents à la surface

S et orthogonaux à la droite D.On cherche ainsi les éléments (a; b; c) 2 R3 tels que :

(a) Le point M(a; b; c) appartienne à la surface S,(b) Le point M(a; b; c) soit un point régulier de la surface S,(c) Le plan tangent PM à S en M(a; b; c) est orthogonale à la doite D.Étudions chacun des points :


? Condition (a) : M(a; b; c) 2 S si et seulement si a2 + b2 + 2c2 = 1.

? Condition (b) : La surface S est dé�nie par l'équation cartésienne F (x; y; z) = 0 avec F : (x; y; z) 2 R3 7! x2 + y2 + 2z2 � 1.Cette fonction F est polynomiale sur R3 et ainsi elle est bien de classe C1 sur l'ouvert R3. De plus, pour tout (x; y; z) 2 R3,

on a : rF (x; y; z) =

2x2y4z

!. Ainsi, le point M(a; b; c) 2 S est régulier si et seulement si rF (a; b; c) =

2a2b4c

!6= 0R3 donc si et

seulement si (a; b; c) 6= (0; 0; 0). Or ce point n'appartient pas à la surface et ainsi tous les points de S sont réguliers.

? Condition (c) :

,! Équation du plan tangent à S en M(a; b; c) : il admet pour équation cartésienne : a(x � a) + b(y � b) + 2c(z � c) = 0 ,

ax+ by + 2cz = 1 en utilisant pour simpli�er que : a2 + b2 + 2c2 = 1 et �!n =

ab2c

!est un vecteur normal à PM .

,! Un vecteur directeur de D : la droite D admet le paramétrage cartésien suivant :

� 2 R 7!��3��2�

et elle est dirigée par �!u =

13�2

!.

,! Condition (c) : Le plan tangent à S en M(a; b; c) est normal à D si et seulement si les vecteurs �!n et �!u sont colinéaires

c'est-à-dire si et seulement si �!n ^ �!u = 0R3 . Or on a : �!n ^ �!u =

�2b+ 6c2(c+ a)3a� b

!: On obtient ainsi :

�!n ^ �!u = 0R3 ,(

a+ c = 03a� b = 0b+ 3c = 0

,n

a = �cb = �3c

On cherche donc les triplets (a; b; c) 2 R3 véri�ant(a = �cb = �3ca2 + b2 + 2c2 = 1

,(

a = �cb = �3c12c2 = 1:

Ainsi, on obtient les points M

��12p3;�p3

2;

1

2p3

�et M

�1

2p3;

p3

2;�12p3

�.

Il existe donc deux plans tangents à S et orthogonaux à D, il s'agit des plans admettant pour équation cartésienne :�x+

1

2p3

�+ 3

�y +

p3

2

�� 2

�z � 1

2p3

�= 0 et

�x� 1

2p3

�+ 3

�y �

p3

2

�� 2

�z +

1

2p3

�= 0.

� Méthode 3 : la surface est donnée à l'aide d'une paramétrisation cartésienne z = '(x; y)


Étape une : déterminer d'une équation cartésienne du plan tangent à S surface régulière :

? Véri�er que M0(x0; y0; z0) est bien un point de S, c'est-à-dire que z0 = '(x0; y0).

? Montrer que ' est bien de classe C1 sur un ouvert U � R2.

? La surface S étant donnée par une paramétrisation cartésienne, c'est bien une surface régulière.

? Calculer@'

@x(x0; y0) et

@'

@y(x0; y0).

? Détermination d'une équation cartésienne du plan tangent au point régulier M0 à la surface S :

PM0 : z = z0 +@'

@x(x0; y0) [x� x0] +

@'

@y(x0; y0) [y � y0]

Étape deux : Position locale de S par rapport à son plan tangent en M0 :

? Expression de zS � zP localement au voisinage de M0(x0;y0; z0) 2 S avec z0 = '(x0; y0) :

zS � zP = '(x; y)�

�'(x0; y0) +

@'

@x(x0; y0) [x� x0] +

@'

@y(x0; y0) [y � y0]

�

=(h;k)!(0;0)

'(x0 + h; y0 + k)�

�'(x0; y0) + h

@'

@x(x0; y0) + k

@'

@y(x0; y0)

�

On cherche alors à étudier le signe localement de l'expression ci-dessus.

? Méthode une : avec la Hessienne en M0 :

� Utilisation de la formule de Taylor-Young à l'ordre deux :Justi�er que la fonction ' est de classe C2 sur l'ouvert U de R2.La fonction ' étant de classe C2 sur l'ouvert U , la formule de Taylor-Young appliquée à ' en (x0; y0) 2 U ,assure :

zS � zP =(k;k)!(0;0)

1

2

"h2@2'

@x2(x0; y0) + 2hk

@2'

@x@y(x0; y0) + k2

@2'

@y2(x0; y0)

#+ �(h2 + k2)

=(k;k)!(0;0)

1

2tXHX + �(h2 + k2)

en posant X =

h

k

!et H la hessienne de ' au point (x0; y0).

� Réduction de la Hessienne H en M0 à l'aide d'une matrice orthogonale :,! La fonction ' étant de classe C2 sur l'ouvert U avec (x0; y0) 2 U , le théorème de Schwarz assure que lahessienne de ' en (x0; y0) est une matrice symétrique réelle.,! D'après le théorème spectral, H est ainsi diagonalisable à l'aide d'une matrice orthogonale et ainsi onpeut trouver P 2 O2(R) et D = Diag(�; �) telles que : H = PDtP .,! On obtient alors :

tXHX = tXPDtPX =t

(tPX)D(tPX) = tY DY = �h02 + �k02

en posant Y = tPX et (�; �) 2 R2 valeurs propres réelles de H.

� Nouvelle expression du signe local de zS � zP :

L'étude des valeurs propres de H donne le signe local de zS�zP puisqu'il est localement égal à �h02+�k02 .

� Calcul de det (H) et Tr(H) et conclusion :Calcul de det (H) = �� :,! S'il est nul : on ne peut pas conclure et on utilise la méthode 2 qui suit.

,! S'il est négatif strictement : les valeurs propres étant alors de signes opposés, zS � zP change de signeet ainsi le plan tangent en M0 traverse la surface S au voisinage de M0.


,! S'il est positif strictement :Calcul de Tr(H) = �+ � :� Si Tr(H) > 0 alors les valeurs propres sont toutes les deux strictement positives et localement : zS � zP � 0 :le plan tangent en M0 ne traverse pas la surface au voisinage de M0 et la surface reste localement au voisinagede M0 au-dessus de son plan tangent en M0.� Si Tr(H) < 0 alors les valeurs propres sont toutes les deux strictement négatives et localement : zS � zP � 0 :le plan tangent en M0 ne traverse pas la surface au voisinage de M0 et la surface reste localement au voisinagede M0 en-dessous de son plan tangent en M0.

? Méthode deux : par la dé�nition, par une étude locale de signe :On étudie localement le signe de zS � zP .

Exemples : On considère les surfaces d'équations cartésiennes respectivement z = x2� y2 et z = x3+ y3� 3xy. Pour chacune d'entreselles, déterminer une équation cartésienne du plan tangent respectivement en O et en A(1; 1;�1) puis étudier la position de la surfacepar rapport à ce plan.

� Étude de la surface S d'équation cartésienne z = x2 � y2 :

? Étape une : équation cartésienne du plan tangent à S en O :

,! Le point O véri�e bien z = '(x; y) en posant la fonction ' : (x; y) 2 R2 7! x2 � y2.

,! Cette fonction, en tant que fonction polynomiale est bien de classe C1 sur l'ouvert R2 et S est une surface régulière cardonnée par une paramétrisation cartésienne.

,! Ainsi une équation cartésienne du plan tangent à S en O est :

z = z0 +@'

@x(x0; y0) [x� x0] +

@'

@y(x0; y0) [y � y0]() z = 0:

? Étape deux : position locale, au voisinage de O, de S par rapport à son plan tangent :Au voisinage de O, on a :

zS � zP = zS = x2 � y2 = '(x; y):

Ici, les deux méthodes fonctionnent. Par exemple, avec la méthode deux, on obtient que :

8x 2 R; '(x; 0) � 0 et '(0; x) � 0:

Ainsi, au voisinage de O, le plan tangent z = 0 traverse la surface S.� Étude de la surface S d'équation cartésienne z = x3 + y3 � 3xy :

? Étape une : équation cartésienne du plan tangent à S en A(1; 1;�1) :,! Le point A véri�e bien z = '(x; y) en posant la fonction ' : (x; y) 2 R2 7! x3 + y3 � 3xy.

,! Cette fonction, en tant que fonction polynomiale est bien de classe C1 sur l'ouvert R2 et S est une surface régulière cardonnée par une paramétrisation cartésienne.

,! Ainsi une équation cartésienne du plan tangent à S en A(1; 1;�1) est :

z = z0 +@'

@x(x0; y0) [x� x0] +

@'

@y(x0; y0) [y � y0]() z = �1:

? Étape deux : Position locale, au voisinage de A, de S par rapport à son plan tangent :Au voisinage de A, on a :

zS � zP = zS + 1 = x3 + y3 � 3xy + 1 = '(x; y)� '(1; 1)

et on cherche donc le signe de zS � zP localement.

,! Utilisation de la formule de Taylor-Young :La fonction ', en tant que fonction polynomiale est de classe C2 sur l'ouvert R2 et ainsi, la formule de Taylor-Young àl'ordre deux assure :

zS � zP = '(x; y)� ['(1; 1) + 0]

=(h;k)!(0;0)

'(1 + h; 1 + k)� ['(1; 1) + 0]

=(h;k)!(0;0)

tXHX + �(h2 + k2)

en posant X =

�hk

�et H = H(1; 1) =

�6 �3�3 6

�la hessienne de ' en (1; 1).

,! Réduction de la Hessienne H en M0 à l'aide d'une matrice orthogonale :La Hessienne H de ' en (1; 1) est une matrice symétrique réelle. D'après le théorème spectral, H est ainsi diagonalisable àl'aide d'une matrice orthogonale et ainsi on peut trouver P 2 O2(R) et D = Diag(�; �) telles que : H = PDtP . On obtientalors :

tXHX = tXPDtPX =t(tPX)D(tPX) = tY DY = �h02 + �k0

2

en posant Y = tPX et (�; �) 2 R2 valeurs propres réelles de H.

,! Nouvelle expression du signe local de zS � zP :L'étude des valeurs propres de H donne le signe local de zS � zP puisqu'il est localement égal à �h02 + �k0

2

.


,! Calcul de det (H) et Tr(H) et conclusion :Comme det (H) = 27 > 0 et Tr(H) = 12 > 0, les deux valeurs propres de H sont strictement positives et ainsi, localementau voisinage de A : zS � zP � 0. Le plan tangent en A ne traverse donc pas la surface au voisinage de A et la surface restelocalement au voisinage de A au-dessus de son plan tangent en A.

2. Tangente à une courbe en un point régulier

� Méthode 1 : la courbe est donnée sous forme paramétrique (I; f)

Méthode pour déterminer l'équation de la tangente à une courbe paramétrée en un point régulierM(t0) :

? On justi�e que f est bien de classe C1 sur I en utilisant la régularité des trois applications coordonnées.

? On montre que le point est régulier ou stationnaire :

,! On calcule f 0(t0).

,! Si f 0(t0) 6= 0R3 , le point M(t0) de paramètre t0 est régulier.

,! Sinon, il est stationnaire.

? Si le point est régulier : La tangente à � en M0 = f(t0) passe par M0 et elle est dirigée par f 0(t0), d'où lareprésentation paramétrique suivante :

� 2 R 7! f(t0) + �f 0(t0):

Exemple : Soit � la courbe de R3 paramétrée par :

t 2 R 7!(

x(t) = ty(t) = t2

z(t) = t3:

Donner un paramétrage de la tangente à � en un point courant Mt = f(t), t 2 R.� La fonction vectorielle de la variable réelle f est bien de classe C1 sur R car ses trois applications coordonnées f1 : t 2 R 7! t,

f2 : t 2 R 7! t2 et f3 : t 2 R 7! t3 sont polynomiales donc de classe C1 sur R.� Soit t 2 R, on a : f 0(t) = (1; 2t; 3t2). Ainsi, pour tout t 2 R : f 0(t) 6= 0R3 et donc tous les points de � sont réguliers, l'arc paramétré

� est régulier.

� La tangente à en M(t) passe par ce point et elle est dirigée par f 0(t). Ainsi une représentation paramétrique de cette tangenteest :

� 2 R 7!��t+ �t2 + 2�tt3 + 3�t2:

� Méthode 2 : la courbe est donnée comme intersection de deux surfaces

(F (x; y; z) = 0G(x; y; z) = 0

? Méthode 1 pour obtenir la tangente en un point à une courbe � dé�nie comme intersection dedeux surfaces :Représentation cartésienne : la tangente comme intersection des deux plans tangents :

� On véri�e que le point M est bien régulier pour S1 et S2.

� On détermine P1 et P2 les deux plans tangents en M respectivement à S1 et S2.

� On véri�e que P1 6= P2 en véri�ant que OF (M) ^rG(M) 6= 0 : Ainsi M est un point régulier de �.

� On utilise alors que la tangente en M à � est l'intersection de P1 et P2 : d'où un système de deux équationscartésiennes de plan dé�nissant la tangente.

? Méthode 2 pour obtenir la tangente en un point à une courbe � dé�nie comme intersection dedeux surfaces :Représentation paramétrique : la tangente passe par M et elle est dirigée par rF (M) ^rG(M) :

� On véri�e que le point M est bien régulier pour S1 et S2.

� On véri�e que P1 6= P2 en véri�ant que rF (M) ^rG(M) 6= 0 : Ainsi M est un point régulier de �.

� On utilise alors que la tangente en M à � passe par M et elle est dirigée par rF (M)^rG(M) : d'où unereprésentation paramétrique de la tangente : t 2 R 7!M + trF (M) ^rG(M).


Exemples :

� Soient S1 et S2 les surfaces d'équations respectivement : x2 + xz + z2 = 1 et y2 + yz + z2 = 1 et � = S1 \ S2. Déterminer la

direction de la tangente au point M0

�1p3;

1p3;

1p3

�de �.

? On véri�e que M0 2 � ce qui est bien le cas.

? On pose F : (x; y; z) 2 R3 7! x2 + xz + z2 � 1 et G : (x; y; z) 2 R3 7! y2 + yz + z2 � 1. Ces deux fonctions sont des fonctionsde classe C1 sur R3 comme fonctions polynomiales et

rF (x; y; z) =

2x+ z

0x+ 2z

!et rG(x; y; z) =

0

2x+ zy + 2z

!:

Ainsi, on a : rF (M0) =p3

101

!et rG(M0) =

p3

011

!et M0 est bien un point régulier de S1 et de S2.

? De plus, on a : rF (M0) ^rG(M0) = 3

�1�11

!6= 0R3 . Et ainsi M0 est bien un point régulier de la courbe �.

? La tangente à � au point régulier M0 est dirigée par rF (M0) ^rG(M0), elle est donc dirigée par le vecteur�!u =

�1�11

!.

� Soit � la courbe de R3 d'équationsn

x2 + y2 � 2z = 0x2 + z2 � 2y = 0

. Déterminer les points réguliers de � puis déterminer la tangente à

� en un point régulier M0 (système d'équations cartésiennes et représentation paramétrique).

? On pose F : (x; y; z) 2 R3 7! x2 + y2 � 2z et G : (x; y; z) 2 R3 7! x2 + z2 � 2y. Ces deux fonctions sont des fonctions de classeC1 sur R3 comme fonctions polynomiales et

rF (x; y; z) =

2x2y�2

!6= 0R3 et rG(x; y; z) =

2x�22z

!6= 0R3 :

Ainsi les surfaces S1 et S2 d'équation cartésienne respectivement F (x; y; z) = 0 et G(x; y; z) = 0 sont régulières.

? SoitM0(x0; y0; z0) 2 S1\S2, les plans tangents enM0 respectivement à S1 et S2 ont pour équation cartésienne respectivement :

P1 : x0(x� x0) + y0(y � y0)� (z � z0) = 0() x0x+ y0y � z � z0 = 0

P2 : x0(x� x0)� (y � y0) + z0(z � z0) = 0() x0x+ z0z � y � y0 = 0:

? On étudie là où ces deux plans tangents qui passent tous les deux par M0 sont bien distincts en calculantrF (x; y; z) ^rG(x; y; z) :

rF (x; y; z) ^rG(x; y; z) =

4(xz � 1)�4x(1 + z)�4x(1 + y)

!:

A�n de savoir quels points de sont réguliers ou stationnaires, on résout le système :(xz � 1 = 0x(1 + z) = 0x(1 + y) = 0

,(

z = �1y = �1 = 0�x = 1

oun

x = 0�1 = 0

, (x; y; z) = (�1;�1;�1):

Or M(�1;�1;�1) =2 � et ainsi tout point de � est régulier.

? Conclusion une : la tangente à � en un point M0(x0; y0; z0) est d'équations cartésiennes :nx0x+ y0y � z � z0 = 0x0x+ z0z � y � y0 = 0

? Conclusion deux : la tangente à � en un point M0(x0; y0; z0) passe par ce point et elle est dirigée par

rF (x0; y0; z0) ^ rG(x0; y0; z0) =

4(x0z0 � 1)�4x0(1 + z0)�4x0(1 + y0)

!donc par �!u =

x0z0 � 1

�x0(1 + z0)�x0(1 + y0)

!. Ainsi elle admet une représentation

paramétrique donnée par :

� 2 R 7!��x0 + �(x0z0 � 1)y0 � �x0(1 + z0)z0 � �x0(1 + y0)


REPRÉSENTATION :ON TRACE, ON PROJETTE, ON COUPE

1. Courbe tracée sur une surface

� Méthode 1 : la surface est donnée sous forme paramétrique (U; f)

Soient (I; g) un arc paramétré et (U; f) une nappe paramétrique de supports respectivement � et S.

? Soit t 2 I. Réussir à mettre g(t) sous la forme f( 1(t); 2(t)).

? Conclure : On a ainsi trouvé

: I ! U

t 7! ( 1(t); 2(t))véri�ant 8t 2 I : g(t) = f( 1(t); 2(t)):

Exemple : Soit la sphère dont une représentation paramétrique est (R2; f) avec f : (u; v) 2 R2 7! (cos (u) cos (v); cos (u) sin (v); sin (u)).� support d'un arc (I; g) donné va être tracé sur S support de la nappe si g se met sous la forme

g : t 2 I 7! g(t) = f( 1(t); 2(t)) =

��cos ( 1(t)) cos ( 2(t))cos ( 1(t)) sin ( 2(t))sin ( 1(t))

=

��cos (�) cos (?)cos (�) sin (?)sin (�)

Véri�er que l'arc (R; g) dé�ni par g : t 2 R 7! (2 cos3 (t)� cos (t); sin (t)� 2 sin3 (t); 2 cos (t) sin (t)) est bien tracé sur cette nappe.Soit t 2 R.

g(t) =

��cos (t)

�2 cos2 (t)� 1

�sin (t)

�1� 2 sin2 (t)

�sin (2t)

=

��cos (t) cos (2t)sin (t) cos (2t)sin (2t)

=

��cos (2t) cos (t)cos (2t) sin (t)sin (2t)

Ainsi, on a bien trouvé : : R ! R2

t 7! (2t; t)véri�ant 8t 2 I : g(t) = f( 1(t); 2(t)):

Et le support � de l'arc paramétré (R; g) est bien tracée sur la surface S de représentation paramétrique (R2; f).

� Méthode 2 : la surface est donnée à l'aide d'une équation cartésienne F (x; y; z) = 0

Méthode pour montrer que le support � d'un arc paramétré (I; f) est tracé sur une surface d'équation cartésienneF (x; y; z) = 0 :Véri�er que pour tout t 2 I : F (x(t); y(t); z(t)) = 0.

Exemple : On considère la surface S d'équation cartésienne z2 = xy. Montrer que �1 et �2 sont tracées sur S avec

f1 : t 2 R? 7!

8>><>>:

x(t) = t

y(t) =1

t

z(t) = 1

et f2 : � 2 R 7!(

x(t) = 1 + cos (�)y(t) = 1� cos (�)z(t) = sin (�)

On pose F : (x; y; z) 2 R3 7! z2 � xy et S est la surface d'équation cartésienne F (x; y; z) = 0.

� Montrons que �1 est tracée sur S : Soit t 2 R?, on a :

F (x(t); y(t); z(t)) = z2(t)� x(t)y(t) = 1� t� 1

t= 0:

Ainsi �1 est bien tracée sur S.� Montrons que �2 est tracée sur S : soit � 2 R, on a :

F (x(�); y(�); z(�)) = z2(�)� x(�)y(�) = sin2 (�)� (1 + cos (�))(1� cos (�)) = sin2 (�)� (1� cos2 (�)) = cos2 (�) + sin2 (�)� 1 = 0:

Ainsi �2 est bien tracée sur S.


� Cas particulier 1 : Courbes planes lorsque la surface est un plan

Méthode pour montrer qu'une courbe � paramétrée par (I; f) est plane :

? On cherche (a; b; c; d) 2 R4 tel que

� (a; b; c) 6= (0; 0; 0)

� 8t 2 I : ax(t) + by(t) + cz(t) + d = 0.

? Si on obtient de telles constantes (a; b; c; d), alors la courbe est plane et elle est contenue dans le plan d'équation

ax+ by + cz + d = 0:

Exemple : Montrer que la courbe C de représentation paramétrique

t 2 R n f0; 1g 7!

8>>>><>>>>:

x(t) =t� 1

t

y(t) =t+ 1

t� 1

z(t) =1

t2 � t

est plane et déterminer une équation cartésienne de ce plan.On cherche ainsi s'il existe (a; b; c; d) 2 R4 tel que (a; b; c) 6= (0; 0; 0) et pour tout t 2 R n f0; 1g : ax(t) + by(t) + cz(t) + d = 0.Soit ainsi (a; b; c; d) 2 R4 tel que (a; b; c) 6= (0; 0; 0) et P le plan d'équation cartésienne : ax+ by + cz + d = 0. On a :

C � P , 8t 2 R n f0; 1g : at� 1

t+ b

t+ 1

t� 1+ c

1

t2 � 1+ d = 0

, 8t 2 R n f0; 1g : a(t� 1)2 + bt(t+ 1) + c+ dt(t� 1) = 0

, 8t 2 R n f0; 1g : (a+ b+ d)t2 + (�2a+ b� d)t+ a+ c = 0

,(

a+ b+ d = 0�2a+ b� d = 0a+ c = 0

,(

a = 2bc = �2bd = �3b

On en déduit ainsi que la courbe � est bien plane incluse dans le plan dont une équation cartésienne est : 2x+ y � 2z � 3 = 0.


� Cas particulier 2 : Droites tracées sur une surface

Méthode a�n d'obtenir toutes les droites tracées sur une surface S donnée d'équation F (x; y; z) = 0 :Soit D une droite de l'espace.

On cherche D à l'aide d'une représentation paramétrique cartésienne.

? Cas 1 : si D n'est pas horizontale, elle admet alors une représentation paramétrique à l'aide de z sous laforme :

z 2 R 7!

8><>:

x = az + b

y = cz + d

z = z

où (a; b; c; d) 2 R4.

� On reporte la paramétrisation dans l'équation cartésienne de S :

D � S () 8z 2 R : F (az + b; cz + d; z) = 0

On obtient un système d'équations d'inconnue (a; b; c; d) 2 R4.

� On résout.

? Cas 2 : si D est horizontale et non parallèle à (Oy), elle admet alors une représentation paramétrique à l'aidede x sous la forme :

x 2 R 7!

8><>:

x = x

y = ax+ b

z = z0

où (a; b; z0) 2 R3.


D � S () 8x 2 R : F (x; ax+ b; z0) = 0

On obtient un système d'équations d'inconnue (a; b; z0) 2 R3.

� On résout.

? Cas 3 : si D est parallèle à (Oy), elle admet alors une représentation paramétrique à l'aide de y sous la forme :

y 2 R 7!

8><>:

x = x0y = y

z = z0

où (x0; z0) 2 R3.


D � S () 8y 2 R : F (x0; y; z0) = 0

On obtient un système d'équations d'inconnue (x0; z0) 2 R3.

� On résout.

? Conclusion.

Exemple : On note S la surface d'équation cartésienne : x3 + y3 + z3 = 1. Déterminer les droites tracées sur S.Soit D une droite de R3.

� Cas 1 : si D n'est pas horizontale : elle admet donc un système d'équations cartésiennes (ou une représentation paramétrique car-tésienne) de la forme n

x = az + by = cz + d

avec (a; b; c; d) 2 R4:


On a alors :

D � S () 8z 2 R; (az + b)3 + (cz + d)3 + z3 = 1

() 8z 2 R; z3(a3 + c3 + 1) + 3z2(a2b+ c2d) + 3z(ab2 + cd2) + b3 + d3 � 1 = 0

()identi�cation

8<:

a3 + c3 + 1 = 0a2b+ c2d = 0ab2 + cd2 = 0b3 + d3 � 1 = 0

()

8>>>><>>>>:

d =�a2bc2

avec c 6= 0

ab2 +a4b2

c3= 0

a3 + c3 = �1b3 + d3 = 1

ou

8<:

c = 0a = �1b = 0d = 1

()

8>><>>:

d =�a2bc2

avec c 6= 0

ab2c3(a3 + c3) = 0a3 + c3 = �1b3 + d3 = 1

ou

8<:

c = 0a = �1b = 0d = 1

()

8<:

a = 0c = �1d = 0b = 1

ou

(b = 0d = 00 = 1

ou

8<:

c = 0a = �1b = 0d = 1

On obtient ainsi deux droites correspondantes aux quadruplets (a; b; c; d) = (0; 1;�1; 0) et (a; b; c; d) = (�1; 0; 0; 1) :

D1

nx = �zy = 1

et D2

nx = 1y = �z

� Cas 2 : si D est horizontale : par symétrie du problème, la surface S étant invariante par toute permutation de (x; y; z), on obtient

une troisième droite d'équation D3

nx = �yz = 1

On conclut ainsi qu'il y a trois droites exactement tracées sur S; lesdroites :

D1

nx = �zy = 1

et D2

nx = 1y = �z et D3

nx = �yz = 1

2. Projections orthogonales d'une courbe sur les plans de coordonnées

� Méthode 1 : la courbe est donnée sous forme paramétrique (I; f)

Méthode a�n de déterminer la projection orthogonale �z de � sur le plan d'équation z = 0 :

La projection orthogonale �z de � sur le plan d'équation z = 0 est de représentation paramétrique

f : t 2 I 7! (x(t); y(t); 0):

? Écrire la représentation paramétrique de �z.

? Reconnaître et/ou étudier la courbe paramétrée t 2 I 7! (x(t); y(t)) :

,! Parfois on reconnaît directement une courbe paramétrée,

,! Parfois on cherche une équation cartésienne en éliminant t,

,! Parfois, on fait une étude complète de l'arc paramétré obtenu dans le plan z = 0 (cf chapitre 7).

On adapte la méthode pour les deux autres plans de coordonnées (xOz) et (yOz).

Exemple : Fenêtre de Viviani : Soit � la courbe de R3 de représentation paramétrique

f : t 2 R 7! (cos (2t) + 1; sin (2t); 2 sin (t)):

Déterminer les projections orthognales de � sur les trois plans de coordonnées.

� Projection orthogonale �x sur le plan (yOz) d'équation x = 0 : La projection orthogonale �x de � sur le plan d'équation x = 0

est de représentation paramétrique

t 2 I 7! (0; y(t); z(t)) =

��0sin (2t)2 sin (t)

Une étude classique de la courbe paramétrée t 2 R 7! (sin (2t); 2 sin (t)) (chapitre 7 page 11 et suivantes) permet de reconnaîtreque la projection orthogonale �x de � sur le plan (yOz) est le Lemniscate de Bernoulli.


� Projection orthogonale �y sur le plan (xOz) d'équation y = 0 : La projection orthogonale �y de � sur le plan d'équation y = 0 estde représentation paramétrique

t 2 I 7! (x(t); 0; z(t)) =

��1 + cos (2t)02 sin (t)

=

��2 cos2 (t)02 sin (t)

Ici, on va chercher à éliminer t a�n d'obtenir une équation cartésienne entre x et z.

M(x; 0; z) 2 �y , on peut trouver t 2 R;�� x = 2 cos2 (t)z = 2 sin (t)

Soit M(x; 0; z) 2 �y . En éliminant t des équations, on obtient que : z 2 [�2; 2] et que :

x = 2

�1��z

2

�2�= 2� z2

2() x� 2 = �1

2z:

Ainsi �y � P où P est une portion de parabole de sommet (2; 0; 0) et d'axe (Ox). Réciproquement si M(x; 0; z) 2 P, alors, commez

22 [�1; 1], on peut trouver t 2 R tel que :

z

2= sin (t). Puis, en remontant les calculs, on obtient bien que : x = 2 cos2 (t) et ainsi

M(x; 0; z) 2 �y .Ainsi, la projection orthogonale �y de � sur le plan (xOz) est P, une portion de parabole de sommet (2; 0; 0) et d'axe (Ox).

� Projection orthogonale �z sur le plan (xOy) d'équation z = 0 : La projection orthogonale �z de � sur le plan d'équation z = 0 estde représentation paramétrique

t 2 I 7! (x(t); y(t); 0) =

��1 + cos (2t)sin (2t)0

On reconnaît alors dans le plan (xOy) une paramétrisation du cercle de centre de coordonnées (1; 0; 0) et de rayon 1. Ainsi, laprojection orthogonale �z de � sur le plan (xOy) est le cercle de centre de coordonnées (1; 0; 0) et de rayon 1.

� Méthode 2 : la courbe est donnée comme intersection de deux surfaces

(F (x; y; z) = 0G(x; y; z) = 0

Méthode a�n de déterminer la projection orthogonale �z de � sur le plan (xOy) d'équation z = 0 :

? Écrire ce que cela signi�e :

M(x; y; 0) 2 �z () M est le projeté orthogonal sur le plan z = 0 d'un point de �

() 9z0 2 R; M0(x; y; z0) 2 �

() 9z0 2 R;(

F (x; y; z0) = 0G(x; y; z0) = 0

? On cherche alors à éliminer z0 entre les deux équa-tions a�n d'obtenir une relation de type H(x; y) = 0.

Ne pas oublier d'éventuelles conditions d'exis-tence de z0 qui restreignent alors le domaine U de(x; y).

? La projection orthogonale �z de la courbe � sur le

plan (xOy) a alors pour équations

8><>:

H(x; y) = 0z = 0(x; y) 2 U

On adapte la méthode pour les deux autres plans de co-ordonnées (xOz) et (yOz).

y

z

x

M(x; y; 0) 2 �z

y

M0(x; y; z0) 2 �z0

�z

�

x �

�

Exemple : Soit � la courbe dé�nie par le système : nx2 + y2 + z2 = 1z + y = 1

Déterminer les projections orthogonales de � sur les plans de coordonnées.� Projection orthogonale �x sur le plan (yOz) d'équation x = 0 :

M(0; y; z) 2 �x () M est le projeté orthogonal sur le plan x = 0 d'un point de �

() on peut trouver x0 2 R; M(x0; y; z) 2 �

() on peut trouver x0 2 R;n

x20 + y2 + z2 = 1z + y = 1

() on peut trouver x0 2 R;n

x20 = 1� (y2 + z2) (1)z + y = 1


(1) donne la condition d'existence de x0, à savoir y2 + z2 � 1. En utilisant le fait que z = 1� y, on obtient alors :

2y2 � 2y � 0() y 2]0; 1[:

Ainsi, la projection orthogonale �x de la courbe � sur le plan (yOz) a pour équation :(z = 1� yy 2 [0; 1]x = 0

Dans le plan (yOz) d'équation x = 0, on reconnaît un segment.

� Projection orthogonale sur le plan (xOz) d'équation y = 0 :

M(x; 0; z) 2 �y () M est le projeté orthogonal sur le plan y = 0 d'un point de �

() on peut trouver y0 2 R; M(x; y0; z) 2 �

() on peut trouver y0 2 R;n

x2 + y20 + z2 = 1z + y0 = 1


x2 + y20 + z2 = 1y0 = 1� z (1)


x2 + 2z2 � 2z = 0y0 = 1� z (1)

(1) donne la condition d'existence de y0 qui est toujours véri�ée. En utilisant une mise sous forme canonique, on obtient :

x2 + 2z2 � 2z = 0, x2 + 2

�z � 1

2

�2=

1

2, 2x2 + 4

�z � 1

2

�2= 1:

Ainsi, la projection orthogonale �y de la courbe � sur le plan (xOz) a pour équation :(2x2 + 4

�z � 1

2

�2= 1

y = 0

Dans le plan (xOz) d'équation y = 0, on reconnaît une ellipse de centre �0; 0;

1

2

�, de grand axe +R

�!i et de petit axe +R

�!k .

� Projection orthogonale sur le plan (xOy) d'équation z = 0 :Par symétrie entre y et z, le système d'équations cartésiennes dé�nissant � étant invariant en échangeant les rôles de y et z, onobtient que la projection orthogonale �z de la courbe � sur le plan (xOy) a pour équation :(

2x2 + 4

�y � 1

2

�2= 1

z = 0

Dans le plan (xOy) d'équation z = 0, on reconnaît une ellipse de centre �0;

1

2; 0

�, de grand axe +R

�!i et de petit axe +R

�!j .

3. Sections planes d'une surface

Pour étudier les sections planes d'une surface, il est souvent plus facile d'utiliser une équation cartésienne.Soient par exemple

,! S une surface d'équation cartésienne F (x; y; z) = 0

,! et P un plan non vertical d'équation cartésienne z = ax+ by + c (on adapte la méthode si P est vertical).

On note C = S \ P la section plane ainsi obtenue.

? Écrire ce que cela signi�e :

M(x; y; z) 2 C ()

(z = ax+ by + c car M 2 P

F (x; y; z) = 0 car M 2 S

()

(z = ax+ by + c

F (x; y; ax+ by + cz) = 0

? Dans le plan P, on cherche alors à reconnaître la courbe d'équation F (x; y; ax+ by + cz) = 0.


Exemples :

� Section de l'hyperboloïde à une nappe par des plans parallèles aux plans de coordonnées :

Soit S une hyperboloïde à une nappe d'équationx2

a2+

y2

b2� z2

c2= 1 avec (a; b; c) 2 (R+?)3. On considère la section C de cette

hyperboloïde à une nappe avec les plans d'équation x = x0, y = y0 puis z = z0. Étudier ces di�érentes sections.

? Section par des plans d'équation x = x0 : Soit P un plan d'équation x = x0 avec x0 2 R. On a :

M(x; y; z) 2 C = S \ P ()(

x2

a2+

y2

b2� z2

c2= 1

x = x0()

(y2

b2� z2

c2= 1� x20

a2x = x0

Ainsi, la section C = S \ P est, dans le plan x = x0, de type hyperbole avec :

,! Une hyperbole propre si jx0j 6= a,

,! Deux droites si jx0j = a.

? Section par des plans d'équation y = y0 : Par symétrie, on retrouve le même résultat et ainsi la section C = S \P est, dans le plany = y0, de type hyperbole avec :

,! Une hyperbole propre si jy0j 6= b,

,! Deux droites si jy0j = b.

? Section par des plans d'équation z = z0 : Soit P un plan d'équation z = z0 avec z0 2 R. On a :

M(x; y; z) 2 C = S \ P ()(

x2

a2+

y2

b2� z2

c2= 1

z = z0()

(x2

a2+

y2

b2= 1 +

z20c2

z = z0

Ainsi, la section C = S \ P est, dans le plan z = z0 toujours une ellipse propre (car 1 +z20c2

> 0 comme somme de deux nombres

positifs dont l'un est strictement positif).

� Soit S une surface d'équation cartésienne : x2 + y2 = e2z . Représenter l'allure de S en étudiant ses sections par des plans contenant(Oz) ou orthogonaux à cet axe.

? Section par des plans orthogonaux à (Oz) : Soit P un plan orthogonal à (Oz). Il admet donc une équation de la forme z = a, a 2 R.On obtient ainsi :

M(x; y; z) 2 S \ P ()n

x2 + y2 = e2a

z = a

Ainsi, la section S \ P est, dans le plan z = a, le cercle de ce plan de centre (0; 0; a) et de rayon ea. Cela montre d'ailleurs que Sest une surface de révolution d'axe (Oz) puisque S est ainsi une réunion de cercles d'axe (Oz).

? Section par des plans contenant (Oz) : Soit P un plan contenant (Oz), à savoir un plan vertical passant par O. Il admet donc uneéquation de la forme x = a ou y = �x, � 2 R.,! Cas un : si y = �x. On obtient ainsi :

M(x; y; z) 2 S \ P ()n

(1 + �2)x2 = e2z

y = �x,(

x2 =e2z

1 + �2y = �x

,(

x =�ezp1 + �2

y = �x

Ainsi, dans le plan vertical P, la section S \ P est la courbe d'équation x = kez avec k 2 R?.,! Cas deux : si x = 0. On obtient ainsi :

M(x; y; z) 2 S \ P ()n

y2 = e2z

x = 0,n

y = �ezx = 0

Ainsi, dans le plan vertical (yOz), la section S \ P est la courbe d'équation y = �ez .Ainsi, la surface a un aspect d'entonnoir.


PASSAGE D'UN MODE DE REPRÉSENTATION À UN AUTRE

? Passage d'une représentation paramétrique (U; f) de support S à une équation cartésienne F (x; y; z) = 0 desupport S 0 :

� Soit M(u; v) 2 S un point de coordonnées (x; y; z).

,! On écrit alors le système véri�é par les coordonnées de M .

,! Condition d'élimination : on essaye d'éliminer u puis v (ou l'inverse) à l'aide des trois équations a�nd'obtenir une relation entre x, y et z uniquement.

,! On obtient ainsi l'équation cartésienne d'une surface S 0 ainsi que : S � S 0.

On a S � S 0 mais rarement l'égaité.

� Réciproquement, soit M(x; y; z) 2 S 0.On cherche alors à poser u = . . . . . . . et v = . . . . . . . assurant que M = M(u; v), lorsque cela est possible.

� Conclusion :

,! S = S 0 si dans tous les cas, on a pu poser u et v.

,! Sinon on a uniquement une inclusion stricte S � S 0.

? Passage d'une équation cartésienne à une représentation paramétrique :Problème plus délicat sauf lorsqu'un paramétrage cartésien est possible, c'est-à-dire lorsque l'on sait� résoudre �l'équation, à savoir exprimer l'une des coordonnées x; y ou z en fonction des autres.

Exemples :

� Le parapluie de Whitney : On considère la surface S paramétrée par

(u; v) 2 R2 7!(

x = uy = uvz = v2

On cherche une équation cartésienne de S.

,! Soit M(u; v) 2 S un point de coordonnées (x; y; z). On a ainsi :

(x = uy = uvz = v2

On élimine facilement u ici car u = x. A�n d'éliminer v,

on fait deux cas :

? Si x 6= 0, on a alors : v =y

x. Puis, en reportant dans la troisième équation, on obtient : y2 = x2z.

? Si x = 0, cette équation cartésienne est aussi véri�ée car si x = u = 0, alors y = uv est aussi nul et l'équation cartésienne ci-dessus estbien véri�ée.

Finalement, on obtient ainsi : S � S0 avec S0 surface d'équation cartésienne x2z � y2 = 0.

,! Réciproquement soit M(x; y; z) 2 S0.? Si x 6= 0, alors M = M(u; v) en posant u = x et v =

y

xet ainsi M 2 S.

? Si x = 0, alors y = 0 car x2z = y2 et z est quelconque. Ainsi, M est alors un point quelconque de l'axe (Oz). Le point M n'appartientpas forcément à S car la condition z2 = v2 assure que les points du demi-axe [Oz) négatif ne sont pas dans S.

,! On a S � S0 et cette inclusion est stricte, la surface S0 correspond à l'union de la surface S avec le demi-axe [Oz) négatif.

� L'entonnoir ou surface de la tour à pression constante : Soient S la surface paramétrée par :

(u; v) 2 R2 7!

8><>:

x(u; v) = eu cos

�v +

�

4

�y(u; v) = eu cos

�v � �

4

�z(u; v) = u

Trouver une équation cartésienne de S.

,! Soit M(u; v) 2 S un point de coordonnées (x; y; z). On a ainsi :

8><>:

x = eu cos

�v +

�

4

�y = eu cos

�v � �

4

�z = u

On élimine facilement u ici car u = z. On

cherche ensuite à éliminer v. On peut pour cela remarquer que :

8<:

x = ez cos

�v +

�

4

�y = ez sin

�v +

�

4

� . Ainsi, on a : x2 + y2 = e2z .

Finalement, on obtient ainsi : S � S0 avec S0 surface d'équation cartésienne x2 + y2 = e2z .


,! Réciproquement soit M(x; y; z) 2 S0. On pose alors u = z. De plus, on remarque que :

�x

ez

�2+

�y

ez

�2= 1:

Ainsi, on peut trouver � 2 R tel que : 8<:

x

ez= cos (�)

y

ez= sin (�)

,n

x = eu cos (�)z = eu sin (�):

On pose alors v = � � �

4et en remarquant que :

sin (�) = sin

�v +

�

4

�= cos

�v � �

4

�;

on obtient bien que : M = M(u; v) et ainsi M 2 S. Donc S0 � S.,! On a ainsi : S = S0.

EXEMPLES DE SURFACES USUELLES

1. Surfaces réglées

� Montrer qu'une surface est réglée

? Méthode 1 si S est donnée sous forme paramétrique : en reconnaissant la forme paramétrique caractéristiqued'une surface réglée.

,! On cherche à mettre la représentation paramétrique de S sous la forme :

f : I � R ! R3

(t; �) 7! f(t; �) = A(t) + ��!u (t):

avec I un intervalle de R et A, �!u deux applications dé�nies sur I à valeurs dans R3 et de classe C1 sur I.

,! On conclut que : S est ainsi une surface réglée, surface engendrée par les droites (Dt)t2I , chaque droiteDt passant par A(t) et dirigée par

�!u (t).

� Méthode 2 si S est donnée par une équation cartésienne : par la dé�nition, en montrant qu'en tout point dela surface, ce point appartient à une droite qui est totalement incluse dans la surface.Soit M0(x0; y0; z0) 2 S.On cherche s'il existe (a; b; c) 2 R3 véri�ant :

,! (a; b; c) 6= (0; 0; 0)

,! D � S avec D : � 7!M0 + ��!u , �!u (a; b; c).

Exemples :

� Surface donnée sous forme paramétrique :Soit S la surface admettant la paramétrisation suivante :

f : (u; v) 2 R2 7!(

x(u; v) = cos (u)� v sin (u)y(u; v) = sin (u) + v cos (u)z(u; v) = u(u+ 2v)

Véri�er que la surface est une surface réglée. Chercher l'ensemble des points réguliers de S et déterminer pour ces points réguliersune équation du plan tangent à la surface. Montrer que tous les points réguliers d'une même génératrice ont le même plan tangent(on dit alors que la surface est développable).

? Montrons que S est une surface réglée : On a :

M(u; v) 2 S ,(

x(u; v) = cos (u) + v(� sin (u))y(u; v) = sin (u) + v cos (u)z(u; v) = u2 + v(2u)

,M(u; v) = A(u) + v�!G(u)

avec A : u 2 R 7! cos (u)sin (u)u2

!et�!G : u 2 R 7!

� sin (u)cos (u)2u

!. Ainsi, on reconnaît bien la forme paramétrique caractéristique

d'une surface réglée. La surface S est donc une sruface réglée, surface engendrée par les droites (Du)u2R =�A(u);

�!G(u)

�u2R

.


? Étude des points réguliers et des points stationnaires : La fonction f est bien de classe C1 sur R2 car ses trois fonctions coor-

données le sont d'après les théorèmes généraux. De plus, pour tout (u; v) 2 R2, on a :

@f

@u(u; v) =

� sin (u)� v cos (u)cos (u)� v sin (u)

2u+ 2v

!et

@f

@v(u; v) =

� sin (u)cos (u)2u

!:

Ainsi, on obtient que pour tout (u; v) 2 R2 :

@f

@u(u; v) ^ @f

@v(u; v) = �2v

0@u sin (u) + cos (u)

sin (u)� u cos (u)1

2

1A :

Un point de S est régulier si et seulement si@f

@u(u; v) ^ @f

@v(u; v) 6= 0R3 , c'est-à-dire ici si et seulement si v 6= 0. Les points

stationnaires sont ainsi les points de la courbe paramétrée :

u 2 R 7! A(u) = (cos (u); sin (u); u2):

? Équation du plan tangent à S en un point régulier : SoitM0(u0; v0) = (x0; y0; z0) 2 S avec v0 6= 0. Ainsi M0 est bien un point

régulier de S et comme@f

@u(u0; v0) ^ @f

@v(u0; v0) est un vecteur normal au plan tangent PM0

à S en M0, on obtient :

PM0: (u0 sin (u0) + cos (u0)) [x� x0] + (sin (u0)� u0 cos (u0)) [y � y0] +

1

2[z � z0] = 0

? Notion de surface réglée dévelopable : On remarque alors que cette équation est indépendante de v. Ainsi, pour tous les pointsréguliers d'une même génératrice, c'est-à-dire à u �xé et v 6= 0 variable, le plan tangent est le même.

� Surface donnée par une équation cartésienne : Montrer que la surface S d'équation z3�3zy+2x = 0 est réglée. Chercher l'ensembledes points réguliers de S et déterminer pour ces points réguliers une équation du plan tangent à la surface.

? Montrons que S est une surface réglée : Par la dé�nition, on cherche à montrer qu'en tout point M0(x0; y0; z0) 2 S, ce pointappartient à une droite incluse dans S.Soit M0(x0; y0; z0) 2 S.On cherche s'il existe

�!G(a; b; c) 2 R3 véri�ant :

,! (a; b; c) 6= (0; 0; 0)

,! D � S avec D : � 7!M0 + ��!G

On a :

D � S () 8� 2 R; (z0 + �c)3 � 3(z0 + �c)(y0 + �b) + 2(x0 + �a) = 0

() 8� 2 R; z30 + 3z20�c+ 3z0�2c2 + �3c3 � 3(z0y0 + �z0b+ �cy0 + �2cb) + 2x0 + 2�a = 0

()identi�cation

(c = 0�3z0b+ 2a = 0z30 � 3z0y0 + 2x0 = 0

()M02S

�c = 0

a =3

2z0b:

Ainsi, la droite passant par M0 et dirigée par le vecteur�!G =

3z020

!passe bien par M0 et est inclue dans S. Ainsi la surface

S est bien une surface réglée.

? Étude des points réguliers et des points stationnaires : On pose F : (x; y; z) 2 R3 7! z3 � 3zy + 2x et ainsi la surface S admet

pour équation cartésienne F (x; y; z) = 0. Cette fonction F est de classe C1 sur R3 comme fonction polynomiale et on a pour tout

(x; y; z) 2 R3 : rF (x; y; z) =

2�3z

3z2 � 3y

!. Ainsi pour tout (x; y; z) 2 R3, rF (x; y; z) 6= 0R3 et donc la surface est régulière.

? Équation du plan tangent à S en un point régulier : SoitM0(x0; y0; z0) 2 S,M est bien un point régulier d'après ce qui précèdeet le plan tangent à S en M0 admet pour équation cartésienne :

2(x� x0)� 3z0(y � y0) + 3(z20 � y0)(z � z0) = 0:


� Obtenir une représentation paramétrique d'une surface réglée

Méthode pour obtenir une paramétrisation d'une surface réglée S engendrée par la famille de droites(�t)t2I? Étape 1 : Recherche d'un point et d'un vecteur directeur de chaque droite �t :Pour tout t 2 I, on détermine un point A(t) et un vecteur directeur �!u (t) de la droite �t.

? Étape 2 : Utilisation de la dé�nition d'une surface réglée :

M 2 S () M appartient à une des génératrices de S() on peut trouver t 2 I; M 2 �t

() on peut trouver t 2 I et � 2 R; M(t; �) = A(t) + ��!u (t):

? Étape 3 : Conclure pour la paramétrisation : la surface S admet le paramétrage

f : I � R ! R3

(t; �) 7! f(t; �) = A(t) + ��!u (t):

Exemple : Déterminer une représentation paramétrique de la surface réglée engendrée par les droites parallèles au plan P d'équation :

y + z = 0 qui rencontrent les droites D1 :

nx+ y = 1z = 0

et D2 :

nz = 1x = 0

� Représentation paramétrique des génératrices : Soit D une génératrice. On traduit avec les outils chacune des contraintes :

,! La droite D rencontre D1 si et seulement si on peut trouver un point A de D dont les coordonnées (x0; y0; z0) véri�ent :nx0 + y0 = 1z0 = 0

,n

y0 = 1� x0z0 = 0

,! La droite D rencontre D2 si et seulement si on peut trouver un point B de D dont les coordonnées (x1; y1; z1) véri�ent :nx1 = 0z1 = 1

,! La droite D est parallèle au plan P si et seulement si�!AB ? �!n en notant �!n = (0; 1; 1) un vecteur normal au plan P, c'est-à-dire

si et seulement si�!AB:�!n = 0.

Or, on a :�!AB =

�x0

y1 � y01

!=

�x0

y1 + x0 � 11

!. Ainsi, on a :

�!AB:�!n = 0, x0 + y1 = 0, y1 = �x0:

Ainsi, la droite D passe par le point B(0;�x0; 1) et elle est dirigée par le vecteur�!AB = (�x0;�1; 1). On obtient ainsi une

représentation paramétrique de D :

� 2 R 7!(

x = ��x0y = �x0 � �z = 1 + �:

En�n, lorsque x0 varie, on obtient la surface réglée engendrée par les droites véri�ant les conditions requises.

� Représentation paramétrique de la surface réglée :

M 2 S () M appartient à une des génératrices de S() on peut trouver x0 2 R; M 2 Dx0

() on peut trouver x0 2 R et � 2 R; M(x0; �) = B(x0) + ��!AB(x0):

Ainsi, une représentation paramétrique de la surface réglée est :

(x0; �) 2 R2 7!(

x = ��x0y = �x0 � �z = 1 + �:


� Obtenir une équation cartésienne d'une surface réglée

Méthode pour obtenir une équation cartésienne d'une surface réglée S engendrée par la famille dedroite (�t)t2I? Étape 1 : Recherche d'un point et d'un vecteur directeur de chaque droite �t :Pour tout t 2 I, on détermine un point A(t) et un vecteur directeur �!u (t) de la droite �t.

? Étape 2 : Utilisation de la dé�nition d'une surface réglée :

M 2 S () M appartient à une des génératrices de S() on peut trouver t 2 I; M 2 �t

() on peut trouver t 2 I et � 2 R; M(t; �) = A(t) + ��!u (t):

? Étape 3 : Conclure pour la paramétrisation : la surface S admet le paramétrage

f : I � R ! R3

(t; �) 7! f(t; �) = A(t) + ��!u (t):

? Étape 4 : Obtenir une équation cartésienne de S

� Véri�er (ou trouver) que pour tout (t; �) 2 I � R : (x(t; �); y(t; �); z(t�)) véri�e une certaine équationcartésienne donnée ou à trouver.On obtient ainsi que S � S 0 avec S 0 surface dé�nie par l'équation cartésienne obtenue.S'il faut la trouver, il s'agit d'un problème d'élimination : On essaie d'éliminer � et t entre les relations dela paramétrisation a�n de n'obtenir qu'une relation entre x, y et z.

Très souvent, lors des problèmes d'élimination, les systèmes ne sont pas du tout linéaires et ainsi onperd l'équivalence. On n'obtient ainsi qu'une inclusion de notre surface dans une autre surface. Il faut alorsétudier l'autre inclusion.

� Étude de l'autre inclusion.

� Conclusion.

Exemple : Soient � une courbe de l'espace et �!u un vecteur non nul.On appelle cylindre de direction �!u et de directrice � la surface réglée engendrée par toutes les droites dirigées par �!u et passant parun point de �. Donner une équation cartésienne du cylindre de directrice � paramétrée par : f : t 2 R 7! (t; t2; t3) avec R > 0 et de

direction�!k .

� Représentation paramétrique des génératrices : Pour tout t 2 R, la droite Dt passe par le point A(t) = f(t) appartenant à la

directrice et est dirigée par le vecteur�!k .

� Représentation paramétrique de la surface réglée S : On obtient ainsi comme représentation paramétrique de la surface :

(t; �) 2 R2 7!(

x = ty = t2

z = t3 + �:

� Représentation cartésienne de la surface réglée S :

,! Soit M(t; �) 2 S un point de coordonnées (x; y; z). On a ainsi :

(x = ty = t2

z = t3 + �:On élimine facilement t ici car t = x puis

on élimine aussi facilement � car � = z�x3. En utilisant alors la dernière équation non utilisée, on obtient que : y = x2. Ainsi,on obtient que S � S0 avec S0 surface d'équation cartésienne x2 � y = 0.

,! Réciproquement soit M(x; y; z) 2 S0. On pose t = x et � = z � x3. Et ainsi, on a bien que M = M(t; �) puisque y = x2 = t2.Donc M 2 S et ainsi S � S0.

,! Conclusion : S = S0 et ainsi une équation cartésienne de S est x2 � y = 0.


2. Surface de révolution

� Montrer qu'une surface est de révolution

Trouver un axe (souvent (Oz)) tel que S reste stable par toute rotation autour de cet axe.

? Méthode une : Si S est donnée sous forme paramétrique :En trouvant un axe et une courbe � tel que la surface reste invariante par rotation de � autour cet axe � :Reconnaître la forme paramétrique d'une surface de révolution : essayer de mettre M(t; �) sous la forme

0B@x(t; �)y(t; �)z(t; �)

1CA =

0B@cos (�) � sin (�) 0sin (�) cos (�) 0

0 0 1

1CA0B@f(t)g(t)h(t)

1CA :

La courbe � est alors donnée par la représentation paramétrique t 7! (f(t); g(t); h(t)) et l'axe de la rotation

est �(A;�!K ) si on s'est placé dans le repère (A;

�!I ;�!J ;�!K ).

? Méthode deux : Si S est donnée sous forme cartésienne :Par lé dé�nition, en montrant que l'image de tout point de S par une rotation d'axe � (le plus souvent (Oz))est encore un point de S.Soit M(x; y; z) un point de S. Soit M 0 l'image de M par une rotation d'axe �. En utilisant les matrices derotation, véri�er que M 0 est bien un point de S.

Exemples :

� Si S est donnée sous forme paramétrique : Soit � 2 R véri�ant 0 < � <�

2. On considère la surface paramétrée par

(t; �) 2 [0; �]� R 7!(

x(t; �) = cos (t)� � sin (�) sin (t)y(t; �) = sin (t) + � sin (�) cos (t)z(t; �) = � cos (�)

Montrer que cette surface est une surface réglée (préciser les génératrices et une directrice), puis que c'est aussi une surface derévolution.

? Montrons que cette surface est une surface réglée : On remarque que le paramétrage se met sous la forme :

(t; �) 2 [0; �]� R 7!(

cos (t) +� (� sin (�) sin (t))sin (t) +� sin (�) cos (t)

+� cos (�)= A(t) + ��!u (t)

avec A : t 2 [0; �] 7!��cos (t)sin (t)0

et �!u : t 2 [0; �] 7!�� sin (�) sin (t)sin (�) cos (t)cos (�)

Ainsi, en reconnaissant le paramétrage caractéristique

d'une surface réglée, S est bien une surface réglée dont les génératrices sont les droites passant par A(t) et dirigée par �!u (t).Une directrice est, par exemple pour � = 0, le cercle de centre (0; 0; 0), de rayon 1 dans le plan (xOy) de représentation

paramétrique : t 2 [0; �] 7!��cos (t)sin (t)0

.

? Montrons que cette surface est une surface de révolution : On remarque que le paramétrage se met aussi sous la forme : x(t; �)y(t; �)z(t; �)

!=

cos (t) � sin (t) 0sin (t) cos (t) 0

0 0 1

! 1

� sin (�)� cos (�)

!:

Ainsi, en reconnaissant le paramétrage caractéristique d'une surface de révolution, S est une surface de révolution, elle estobtenue par rotation autour de (Oz) de la courbe de représentation paramétrique :

� 2 R 7!(

1� sin (�)� cos (�)

On reconnaît d'ailleurs ici une représentation paramétrique d'une droite.

� Si S est donnée sous forme cartésienne : Montrer que la surface d'équation (x2 + y2 + z2)2 = a2(x2 � y2 � z2) est de révolution(a 2 R).On cherche à véri�er ici que S est stable par toute rotation d'axe (Ox).Soit ainsi M(x; y; z) 2 S et M 0(x0; y0; z0) l'image de M par une rotation d'axe (Ox) et d'angle � 2 R.On cherche alors à montrer que M 0 appartient à S.Or, on a :

x0

y0

z0

!=

1 0 00 cos (�) � sin (�)0 sin (�) cos (�)

! xyz

!:


Ainsi, on a :(x0)2 + (y0)2 + (z0)2 = x2 + (cos (�)y � sin (�)z)2 + (sin (�)y + cos (�)z)2

= x2 + y2 + z2

et(x0)2 � (y0)2 � (z0)2 = x2 �

�(y0)2 + (z0)2

�= x2 � (y2 + z2)

= x2 � y2 � z2:

Comme M(x; y; z) 2 S, il véri�e l'équation cartésienne et ainsi M 0 aussi et donc M 0 2 S. Donc la surface S est bien une surfacede révolution d'axe (Ox).

� Obtenir une représentation paramétrique d'une surface de révolution

Utiliser une matrice de rotation et l'invariance d'une surface de révolution par rotation de � autour de sonaxe.Soit la surface de révolution S obtenue par rotation d'une courbe � autour d'un axe � :

? Étape 1 : Détermination d'un point A (si possible O) sur l'axe � et d'un vecteur directeur�!K .

? Étape 2 : Se placer dans un repère adapté : (A;�!I ;�!J ;�!K ) (le plus souvent, on reste dans (O;

�!i ;�!j ;�!k )

car l'axe est (Oz)).

? Étape 3 : si besoin, obtenir une représentation paramétrique de � : t 2 I 7!

0B@f(t)g(t)h(t)

1CA.

? Étape 4 : Utiliser l'invariance de S par rotation de � autour de son axe � :

M 2 S () on peut trouver M0(t0) 2 �; M est l'image de M0 par une rotation autour de �

() on peut trouver M0(t0) 2 � et � 2 R; M = f�(M0) avec f� rotation d'axe � et d'angle �

() on peut trouver t 2 I et � 2 R;

0B@XYZ

1CA =

0B@cos (�) � sin (�) 0sin (�) cos (�) 0

0 0 1

1CA0B@f(t)g(t)h(t)

1CA :

On obtient ainsi une représentation paramétrique de S dans le repère (A;�!I ;�!J ;�!K ).

? Étape 5 : À l'aide d'un changement de repère, on retrouve une représentation paramétrique de S dans(O;

�!i ;�!j ;�!k ).

Exemple : Déterminer un paramétrage de la surface de révolution S engendrée par la rotation de la courbe � d'équationsn

x = 0(y � a)2 + z2 = R2

autour de l'axe (Oz) avec a et R deux réels tels que 0 < R < a.

� Axe : L'axe est (Oz).

� Représentation paramétrique de � : Dans le plan (yOz) d'équation x = 0, on reconnaît un cercle de centre (0; a; 0) et de rayonR > 0 et ainsi une représentation paramétrique de � est :

t 2 [0; 2�] 7!(

0a+R cos (t)R sin (t)

� Représentation paramétrique de S : Par dé�nition, on sait que S est invariante par rotation de � autour de son axe (Oz) :

M 2 S () on peut trouver M0(t0) 2 �; M est l'image de M0 par une rotation autour de (Oz)

() on peut trouver M0(t0) 2 � et � 2 R; M = f�(M0) avec f� rotation d'axe (Oz) et d'angle �

() on peut trouver t 2 [0; 2�] et � 2 R;

xyz

!=

cos (�) � sin (�) 0sin (�) cos (�) 0

0 0 1

! 0

a+R cos (t)R sin (t)

!:

Ainsi, la surface S admet pour paramétrage :

(t; �) 2 [0; 2�]� R 7!

8><>:

�(a+R cos (t)) sin (�)

(a+R cos (t)) cos (�)

R sin (t)


� Obtenir une équation cartésienne d'une surface de révolution

Soit S la surface de révolution obtenue par rotation d'une courbe � autour d'un axe � :

? Étape 1 : Détermination d'un point A (si possible O) sur l'axe et d'un vecteur directeur �!u = (a; b; c) de l'axe.

? Étape 2 : Écrire ce que cela veut dire :

M(x; y; z) 2 S () 9M0 2 �;

(M appartient au plan passant par M0 et dont un vecteur normal est �!ud(M;�) = d(M0;�)

() on peut trouver M0 2 �;

(ax+ by + cz = ax0 + by0 + cz0kAMk2 = kAM0k

2

()

8><>:

M0 2 �ax+ by + cz = ax0 + by0 + cz0(x� xA)

2 + (y � yA)2 + (z � zA)

2 = (x0 � xA)2 + (y0 � yA)

2 + (z0 � zA)2

? Étape 3 : Condition d'élimination :Déterminer une équation de S en éliminant les coordonnées x0; y0 et z0 du point M0 des équations si � estdonné sous forme cartésienne ou t0 si � est donné sous forme paramétrique.Astuce : a�n d'alléger les calculs, on pose souvent d'abord P = ax + by + cz et S = x2 + y2 + z2 (lorsqueA = O). On cherche d'abord une équation entre P et S avant de les remplacer par leur valeur.

? Étape 4 : Inclusion réciproque :Comme souvent dans les problèmes d'élimination, on a seulement une inclusion S � S 0 avec S 0 dé�nie par uneéquation cartésienne et il faut ensuite étudier l'autre inclusion.

Exemple : Donner une équation cartésienne de la surface de révolution S engendrée par la rotation du cercle � dé�nie parn

x2 + y2 � 2x = 0z = 0

autour de la droite � d'équationsn

x = 0z = y

� Axe � : L'axe � passe par l'origine O et elle est dirigée par �!u = �!n 1 ^ �!n 2 =

100

!^

01�1

!=

011

!.

� Utilisation de la dé�nition d'une surface de révolution :

M(x; y; z) 2 S () 9M0 2 �;

nM appartient au plan passant par M0 et dont un vecteur normal est �!ud(M;�) = d(M0;�)

() on peut trouver M0 2 �;

ny + z = y0 + z0kOMk2 = kOM0k2

()(

M0 2 �y + z = y0 + z0x2 + y2 + z2 = x20 + y20 + z20

()

8<:

z0 = 0x20 + y20 � 2x0 = 0y + z = y0 + z0x2 + y2 + z2 = x20 + y20 + z20

()

8<:

z0 = 0x20 + y20 = 2x0P = y0S = 2x0

en posant P = y + z et S = x2 + y2 + z2.

� Condition d'élimination : En utilisant les trois dernières équations, on obtient la relation :

�S

2

�2+ P 2 = S , S2 + 4P 2 � 4S = 0:

Comme P = y + z et S = x2 + y2 + z2, on en déduit que S est incluse dans la surface S0 d'équation cartésienne :

(x2 + y2 + z2)2 � 4(x2 + y2 + z2) + 4(y + z) = 0:

� Inclusion réciproque : Soit M(x; y; z) 2 S0. On pose alors : x0 =S

2=

x2 + y2 + z2

2, y0 = P = y + z et z0 = 0. En remontant les

calculs, on obtient bien que :

,! M0 2 �,


,! M 2 P avec P le plan passant par M0 et orthogonal à l'axe �,

,! d(M;�) = d(M0;�).

Donc M 2 S et ainsi S0 � S.� Conclusion : S = S0 et ainsi S admet pour équation cartésienne :

(x2 + y2 + z2)2 � 4(x2 + y2 + z2) + 4(y + z) = 0:


COURBES ET SURFACES DE L'ESPACE Plan tangent et normale à ...

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