Courbes planes paramétrées.

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I.Généralités.

Le plan est muni du repère R=(O, jirr

, ) .

1. Définition d’une courbe paramétrée

Soit D une partie de ℝ et f et g 2 fonctions numériques d’ensemble de définition D..

Pour tout t de D, soit M(t)le point du plan défini par )(tOM =f(t) ir

+g(t) jr

, pour tout t de D.

La notation M associe à tout réel t de D un seul point du plan noté M(t) ; on dit que M est une

fonction ponctuelle, définie sur D.

(C), l’ensemble de tous les points M(t), où t est dans D, muni de la fonction ponctuelle M, est

appelé courbe paramétrée.

On dit qu’une représentation paramétrique de (C), dans le repère R=(O, jirr

, ) du plan, est

donnée par l’écriture suivante : x=f(t)

y=g(t) où t∈D.

(C)

j

O i f(t)

g(t)

M(t)

2. Propriétés éventuelles de M.

M est considérée comme une fonction de la variable réelle t.

∗ Parler de continuité ou de limite au sujet de M, revient à parler des continuités de f et g, ou

des limites de f et g.

Si D est un intervalle sur lequel f, g, et M sont continues, la courbe (C) est continue.

∗ Dériver la fonction ponctuelle M revient à dériver f et g :

Si f et g sont dérivables en t0,

f,g et M sont continues en t0 et on écrit : dt

Md(t0)= f’(t0) i

r+g’(t0) j

r ; c’est le vecteur-dérivé

de M en t0

4. Tangente à (C) au point M0 .

a) Définition.

Soit t0 dans D tel que f et g soient dérivables en t0 avec (f’(t0) ; g’(t0))≠(0 ;0) .

dt

Md(t0) = f’(t0) i

r+ g’(t0) j

r est un vecteur non nul .

Soit M0=M(t0), le point de (C) muni de la valeur t0. On dit que la droite (T), passant par

M0, de vecteur directeur dt

Md(t0) est la tangente à (C) ,en M0, pour la valeur t0.

b) Interprétation géométrique.

∗ Soit D* l’ensemble des réels t de D tels que M(t)≠M(t0). La propriété « f’(t0)≠0 ou

g’(t0)≠0 » permet de prouver que D* contient les réels de D, distincts de t0, qui sont assez

proches de t0(Autrement dit : D* contient les réels t de D, distincts de t0, qui se trouvent dans

un intervalle ]t0–α ; t+α[ où α est un réel strictement positif ).

∗∗ Pour t dans D*,

① La droite (M0M(t)) passe par M0 et a pour vecteur directeur :

)(0 tMM =(f(t)–f(t0) ir

+(g(t)–g(t0)) jr

ou vr

(t)= 0

1

tt −)(0 tMM = j

tt

tgtgi

tt

tftf rr

0

0

0

0 )()()()(

−

−+

−

−.

② Par définition des nombres dérivés :

0

0 )()(lim

0 tt

tftf

tt −

−

→= f’(t0) et

0

0 )()(lim

0 tt

tgtg

tt −

−

→=g’(t0) où

dt

Md(t0) = f’(t0) i

r+ g’(t0) j

r.

Alors on peut écrire 0

limtt→

vr

(t)=dt

Md(t0) et on dit que :

(T), la tangente à (C) en M0, pour la valeur t0, est la position-limite de la sécante (M0 M(t)) à

(C), lorsque t tend vers t0.

Bien sûr, M étant continue en t0, lorsque t tend vers t0, le point M(t) tend vers M0.

dt

Md (t0)

g(t0) M0

jr

vr

(t)

O ir

f(t0) f(t)

g(t) M(t)

(C)

II. Etude d’exemples.

① 1er énoncé :

R=(O, jirr

, ) est un repère orthonormal du plan (unité graphique : 2 cm).

A chaque valeur du réel t de [-1 ;3] on associe le point M(t) de coordonnées :

(C) est la courbe décrite par le point M.

1°) Etudier, sur l’intervalle [-1 ;3], le sens de variation des fonctions x et y.

On regroupera tous les résultats dans un même tableau, en y mettant les valeurs de x’(t),y’(t),

x(t),y(t) pour t dans {-1 ; 0 ; 3/2 ; 3}.

2°) Placer les points M(t) pour t dans {-1 ; 0 ; 3/2 ; 3} ; tracer en chacun de ces points les

tangentes à (C) , en expliquant les constructions.

3°) Tracer (C).

Résolution : 1°) x et y sont définies, dérivables et continues sur [-1 ;3] avec x’(t)=2t et

y’(t)=2t–3 ; on a sans problème les signes de x’(t) et y’(t) en fonction de t et les valeurs de x, y,

x’ et y’en –1, 0, 3/2 et 3 ; par exemple y(3/2)= 9/4–3(3/2)=9/4–18/4= -9/4. D’où le tableau :

t -1 0 3/2 3

x’(t) -2 – 0 + 3 + 6

y’(t) -5 – -3 – 0 + 3

x(t)

1 0 9/4 9

--

y(t)

4 0 -9/4 0

2°) D’après les valeurs du tableau, M(-1), M(0), M(3/2), M(3) sont les points de coordonnées

(1 ;4), (0 ; 0), (9/4 ;-9/4), (9 ; 0), ainsi O=M(0).

Comment tracer les différentes tangentes :

∗ Pour t= -1, la tangente à (C), passe par M(-1) et a pour vecteur directeur

dt

Md(-1)= -2 i

r–5 j

r . On place le point A tel que AM )1(− = (1/2)

dt

Mdr

(-1)= - ir

-2,5 jr

, la

tangente est la droite (M(-1)A).

∗ Pour t= 0, la tangente à (C), passe par M(0)=O et a pour vecteur directeur

dt

Md(0)= -3 j

rou j

r ; c’est l’axe des ordonnées.

∗ Pour t= 3/2, la tangente à (C), passe par M(3/2) et a pour vecteur directeur

dt

Md(3/2)= 3 i

r ; elle est horizontale.

∗ Pour t= 3, la tangente à (C), passe par M(3) et a pour vecteur directeur

dt

Md(3)=6 i

r+3 j

r. On place le point B tel que BM )3( = -

dt

Md(3)= -6 i

r–3 j

r,

la tangente est cette droite (M(3)B).

x(t)=t2

y(t)=t2–3t

Courbe du 1er

énoncé.

M(-1)

A

M(3)

(C)

M(3/2)

B

2ème

énoncé :

On considère dans le repère orthonormal R=(O, jirr

, ) du plan, d’unité graphique 2 cm, la

courbe (C), ensemble des points M(t)(x,y) tels que :

1) Etudier les variations des fonctions f et g ; préciser les limites de f et g en +∞ ;

rassembler les résultats dans le même tableau.

2) Déterminer le coefficient directeur de la tangente au point O. On le calculera à partir

du vecteur 0V =dt

Md(0).

3) Dans un même tableau, donner les valeurs de x=f(t) et y=g(t) pour t dans

{ 0,1 ; 0,2 ; 0,4 ; 0,6 ; 1 ; 1,5 ; 2 ; 2,5 ; 3}. On donnera des valeurs décimales arrondies

à 10-2

.

4) Placer, pour t=ln2/2, le point M(t) et tracer la tangente à (C) en ce point.

Tracer la tangente à (C) en O et la droite d’équation x=5 3 /2.

5) Tracer l’arc de courbe (C) pour 0≤t≤3.

Résolution :

1) f et g sont définies, dérivables et continues sur [0 ;+∞[.

∗ Etude des limites en +∞ : On utilise −∞→u

lim eu=0 et

+∞→tlim -2t= -∞ d’où

+∞→tlim e

-2t=0,

+∞→tlim -5t= -∞, par construction de f et g on obtient :

∗∗ Etude des dérivées et de leur signe : On a, pour 0≤t,

f’(t)=(5/2) 3 (0–(-2)e-2t

)= 5 3 e-2t

et g’(t)=5(0–(-2)e-2t

)–5=10e-2t

–5.

0< e-2t

d’où 0<f’(t).

Les propriétés suivantes sont équivalentes:(0<g’(t)) ; (5<10 e-2t

) . Après multiplication par le

réel strictement positif (1/5)e2t

=1/(5e-2t

),on obtient des propriétés équivalentes aux

précédentes : (e2t

<2) ; (2t< ln2) ; (t<ln2 /2 ).

Désormais on prend γ= ln2 /2 ; on a prouvé que 0<g’(t) pour t<γ ; de la même façon, 0=g’(t)

pour t=γ et g’(t)<0 pour γ<t.

∗∗∗ Finalement on obtient le tableau des variations de f et g :

t 0 γ +∞

f’(t) 5 3 + f’(γ) +

g’(t) 5 + 0 –

f(t)

0 f(γ) 5. 3 /2

g(t)

0 g(γ) -∞

x=f(t)=(5/2) 3 (1–e-2t

)

y=g(t)=5(1–e-2t

) – 5t pour 0≤t.

+∞→tlim f(t)=(5/2) 3 et

+∞→tlim g(t)= -∞ .

2) Le point O a pour coordonnées 0=f(0) et 0=g(0), soit M(0)=O ; la tangente à (C) en O

( pour la valeur t=0), est la droite passant par O et de vecteur directeur dt

Md(0)=5 3 i

r+5 j

r.

Soit donc le point A tel que jidt

MdOA

rr+== 3)0(

5

1 ; la droite (OA) est la tangente à (C)

pour t=0.

y

1 A

O 1 3 x

3) Le tableau de valeurs décimales approchées, à 10-2

près est le suivant :

t 0,1 0,2 0,4 0,6 1 1,5 2 2,5 3

f(t) 0,78 1,43 2,38 3,03 3,74 4,11 4,25 4,30 4,32

g(t) 0,41 0,65 0,75 0,49 -0,68 -2,75 -5,09 -7,53 -10,01

4) M(γ) a pour coordonnées f(γ)≈2,17 et g(γ)≈0,77 ; la tangente à (C), pour t=γ, a pour vecteur

directeur ifjifdt

Md rrr)('0)(')( γγγ =+= ; c’est une droite horizontale qui a pour équation :

y=f(γ).

Courbe du 2ème

énoncé :

g(γ) M(γ)

M(0) f(γ)

(C)

3ème

énoncé

Le plan étant rapporté au repère orthonormal R= ),,( jiOrr

(unité graphique 5cm), on appelle

(C) la courbe définie par les équations paramétriques :

x=f(t)=(2+cos2t) sin t

y=g(t)=cos t avec t réel.

1) Montrer que f et g sont périodiques de période 2π. On limitera l’étude à l’intervalle [-π, π].

2) Etudier la parité de chacune des fonctions f et g, en déduire un élément de la symétrie de la

courbe (C).

3) Calculer f(π–t) et g(π–t), en déduire un autre élément de symétrie de (C).

4a) Montrer que f’(t)=3 cost.cos2t .

b) Etudier les variations des fonctions f et g sur l’intervalle [0, π/2].

Préciser les tangentes parallèles aux axes, pour t dans cet intervalle ; tracer avec soin la

partie de la courbe (C) correspondant à cet intervalle.

c) A l’aide des questions 2) et 3) tracer (C).

5) On démontre que l’aire, exprimée en unités d’aires, du domaine limité par la courbe (C) est

donnée par la formule : A= 4 ∫2/

0)(')(

π

dttgtf (On ne demande pas d’établir cette formule).

a) Préciser le signe de f(t) et g’(t) pour t dans [0, π/2] et montrer que A est l’intégrale sur

l’intervalle [0, π/2] de la fonction h telle que h(t)= 8sin2t+4 sin

2t.cos2t .

b) Linéariser la fonction h.

c) En déduire l’aire A.

Extrait de formulaire

Relations fonctionnelles :

cos (a+b)=cosa.cosb – sina.sinb

sin(a+b)= sina.cosb +cosa.sinb

cos(2t)=2.cos2t–1=1–2sin

2t

sin2t=2 sint.cost

Dérivées et primitives :

Fonctions usuelles

Opérations:

(sin u(t))’= u’(t)cos u(t)

(cos u(t))’= -u’(t)sin u(t) f(t) f’(t)

cos t -sin t

sin t cos t

Corrigé du 3ème

sujet

On prend les notations suivantes : Pour tout t de ℝ, M(t) désigne le point de coordonnées f(t)

et g(t). (C) est la courbe paramétrée associée à la fonction ponctuelle M. f et g sont définies,

dérivables et continues sur ℝ.

1) Les fonctions sin et cos sont périodiques de période 2π ; en particulier g est périodique de

période 2π.

D’autre part f(t+2π)= (2 + cos2(t+2π)).sin(t+2π) où sin(t+2π)= sin t. On a aussi :

cos2(t+2π)=cos (2t+2×2π) = cos2t puisque 2×2π est aussi une période de cosinus. Alors

f(t+2π)= (2+cos2t).sin t soit : f(t+2π)= f(t) pour tout réel t.

On a prouvé que f et g sont 2 fonctions périodiques de période 2π .

Les égalités f(t+2π)= f(t) et g(t+2π)= g(t) signifient que les 2 points M(t+2π) et M(t) ont les

mêmes coordonnées soit : M(t+2π)=M(t) pour tout réel t . La fonction ponctuelle t � M(t) est

ainsi périodique de période 2π et (C) est aussi l’ensemble de touts les points M(t) où t se

trouve dans [-π, π], un intervalle fermé borné de longueur 2π.

2) La fonction cos, autrement dit g, est paire. La fonction sinus est impaire, on a l’égalité :

f(-t)=(2+cos[2(-t)]).sin(-t) où sin(-t) = -sin t et cos[2(-t)]= cos[-2t] = cos2t . Alors :

f(-t)= -(2+cos2t).sin t soit f(-t)= -f(t) pour tout réel t.

Finalement f est impaire et g est paire.

Application :

y

M(t) g(t)=g(-t) M(-t)

O x

f(t) -f(t)= f(-t)

f(-t)=-f(t) et g(-t)=g(t) signifient les points M(-t) et M(t) ont la même ordonnée et des

abscisses opposées. Ainsi :

Pour tout réel t, le point M(t) de (C) a pour symétrique, par rapport à l’axe des ordonnées le

point M(-t) de (C).

On a prouvé que (C) est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

3) g(π–t)=cos(π–t)= cosπ.cost+sinπ.sint où cosπ = -1 et sinπ = 0, d’où g(π–t)= - cos t.

f(π–t)=(2+cos[2(π–t)]).sin (π–t) où sin(π–t)= sinπ.cost–cosπ.sint=0×cost – (-1)×sint= sint et

cos[2(π–t)]= cos [2π–2t]=cos [-2t]=cos2t, d’où f(π–t)=(2+cos2t)×(-sin t)= (2+cos2t).sin t.

On a obtenu les égalités : f(π–t)= f(t) et g(π–t) = -g(t) pour tout réel t.

Application : y

g(π–t) = -g(t) M(π–t)

O f(π–t)=f(t) x

g(t) M(t)

Les deux points M(t) et M(π–t) ont la même abscisse et des ordonnées opposées. Ainsi :

Pour tout réel t, le point M(t) de (C) a pour symétrique, par rapport à l’axe des abscisses le

point M(π–t) de (C).

On a prouvé que (C) est symétrique par rapport à l’axe des abscisses.

4 a) f’(t)=(-2sin2t).sint+(2+cos2t).cost où sin2t=2 cost.sint ainsi f’(t)= cost.( -4sin2t+2+cos2t)

soit f’(t)=cost.[2(1–2sin2t)+cos2t]=cost.[2.cos2t+cos2t]. Finalement :f’(t)=3 cost . cos2t .

4 b) g’(t)= -sin t.

Avec u dans [0, π] les signes de cos u et sin u sont connus. On remplace ici u par t ou 2t et on

a le tableau de signe suivant :

t 0 π/4 π/2

2t 0 π/2 π

cos 2t 1 + 0 – -1

cos t 1 + 1/ 2 + 0

sin t 0 + 1/ 2 + 1

Ce tableau permet d’obtenir en fonction de t dans [0, π/2], les signes de f’(t) et g’(t), puis les

variations de f et g sur [0, π/2].

Valeurs à préciser : Celles de g=cos en 0, π/4 et π/2 et celles de f en 0, π/4 et π/2 :

sin 0 = 0 donne f(0)=0, f(π/4) = (2+cos [π/2]).sin(π/4)=2× 2 /2 = 2 ,

f(π/2)= (2+cosπ).sinπ/2 = (2–1)×1=1.

On en déduit le tableau des variations de f et g sur [0, π/2] :

t 0 π/4 π/2

f’(t) =3 cost . cos2t 3 + 0 – 0

g’(t)=-sin t 0 – (-1/ 2 ) – -1

f(t)

0 2 1

g(t)

1 2 /2 0

On remarque que pour tout t de [0, π/2], (f’(t), g’(t)) ≠ (0, 0) alors jtgitftdt

Md rrr

)(')(')( +=

est bien un vecteur non nul, directeur de la tangente à (C) en M(t).

� idt

Md rr

3)0( = : La tangente en M(0) à (C) est horizontale.

� jdt

Md rr

2

1)

4( −=π

: La tangente en M(π/4) à (C) est verticale.

� jdt

Md rr

−=)2

(π

: La tangente en M(π/2) à (C) est verticale.

On commence par placer les 3 points M(0), M(π/4) et M(π/2) et les tangentes à (C) en ces 3

points. Ensuite, à partir des variations de f et g sur [0, π/2] on trace (C1), l’ensemble des points

M(t) correspondant à 0≤ t ≤ π/2.

4c) Le symétrique de (C1) par rapport à l’axe des abscisses est (C2), l’ensemble des points

M(π–t) où 0≤ t ≤ π/2.

π–t = π/2 pour t=π/2 et π–t = π pour t = 0 ; π–t prend toutes les valeurs possibles de π/2 à

π lorsque t varie de 0 à π/2. (C2) est ainsi l’ensemble de tous les points M(t) correspondant à

π/2≤ t ≤ π.

La réunion de (C1) et (C2) est alors (C3) l’ensemble des points M(t) correspondant à

0≤ t ≤ π.

Le symétrique de (C3) par rapport à l’axe des ordonnées est (C4), l’ensemble des

points M(–t) où 0≤ t ≤ π.

–t = –π pour t=π et –t = 0 pour t = 0 ;–t prend toutes les valeurs possibles de � π à 0 lorsque t

varie de 0 à π. (C4) est ainsi l’ensemble de tous les points M(t) correspondant à –π ≤ t ≤ 0.

La réunion de (C3) et (C4) est alors (C) l’ensemble des points M(t) correspondant à

– π ≤ t ≤ π.

2 /2

M(0)

2 /2 M(π/4)

2

M(π/2)

2

- 2 /2

1ère

étape : Tracé de (C1)

2ème

étape : Tracé de (C3)

3ème

étape : Le tracé de (C)

Y

2 /2

- 2 2 X

- 2 /2

5a) D’après le tableau de variation de f et g, on sait que pour tout t de [0, π/2],

0≤ f(t) et g’(t) ≤ 0 d’où f(t).g’(t)≤ 0 et |f(t).g’(t)|= -f(t).g’(t)= (2+cos2t) sin2t .

On obtient alors A= ∫2/

0)(

π

dtth où h(t)=4|f(t).g’(t)|= 4(2+cos2t)sin2t= 8.sin

2t+4.sin

2t.cos2t .

5b) h(t)= 4(2sin2t)+2(2sin

2t)cos2t = 4(1–cos2t)+2(1–cos2t).cos2t=4–4cos2t+2cos2t –2cos

22t

d’où h(t)=4 – 2.cos2t – ( 1+cos2(2t)) soit h(t)= 3 – 2cos2t – cos4t .

5c) On a aussi h(t)=3 – 2cos2t – (1/4)(4.cos4t) et par définition du calcul des intégrales :

A= ∫2/

0)(

π

dtth = [3t–sin2t –(1/4)sin4t2/

0]π où sin π =0, sin 2π =0 et sin 0 = 0. Alors

A=(3π/2 – 0–(1/4)×0) – 0 soit A= 3π/2 .

Enoncé n° 4 :

Les 2 parties peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A .

On considère les deux équations différentielles :

(E1) : x’’+ x = 2 cost et (E2): y’’ + y = 2 sint.

(x et y fonctions de la variable réelle t, deux fois dérivables sur ℝ).

1- Résoudre dans ℝ l’équation différentielle (E) : z’’ + z = 0.

(z est une fonction de la variable réelle t, deux fois dérivables sur ℝ).

2- Montrer que la fonction f1, définie par f1(t) = t sint , est solution particulière de (E1) et que

la fonction f2, définie par f2(t) = -t cost , est solution particulière de (E2).

3- Déduire des questions précédentes les solutions générales de (E1) sur ℝ et les solutions

générales de (E2) sur ℝ.

4- Déterminer une solution x de (E1) et une solution y de (E2) vérifiant :

x(0) = 1, x’(0) = 0, y(0) = 0 et y’(0) = 0.

Partie B.

On considère les fonctions f et g définies sur ℝ par f(t) = cost + t sint et g(t) = sint – t cost.

On nomme (Γ) la courbe dont un système d’équations paramétriques est :

x= f(t)

pour t∈[-π , π]

y= g(t)

dans un repère orthonormé (O, ir

, jr

) ; unité graphique 3 cm.

1- Etudier les parités des fonctions f et g.

En déduire que la courbe (Γ) possède un axe de symétrie que l’on précisera.

2- Etudier les variations simultanées des fonctions f et g sur l’intervalle [0, π] et rassembler

les résultats dans un tableau.

3- Pour t différent de 0, donner les coordonnées d’un vecteur directeur ur

de la tangente à (Γ)

au point M ( f(t) ; g(t)) .

Justifier alors qu’une mesure de l’angle orienté ( ir

; ur

) est t.

On admettra que cette propriété reste vraie au point M(1 ; 0) de (Γ) obtenu pour t = 0.

4- Tracer (Γ) ainsi que ses tangentes aux points correspondant à :

t = 0, t=4

π, t =

2

π, t =

4

3π, t = π.

Corrigé du problème.

Partie A. 1- L’équation caractéristique, d’inconnue r, associée à (E), s’écrit : r2 + 1 = 0.

r2+1=0 ⇔ r

2 = -1 ⇔ r

2 = i

2 ⇔ ( r = i ou r = -i). Ainsi i= 0+1.i et –i = 0+(-1)i sont les deux

racines de l’équation caractéristique, d’inconnue r, associée à (E).

Les fonctions numériques, solutions de (E), sont toutes les fonctions t�e0.t

(λ.cost+µ.sint) où

λ et µ sont 2 réels constants.

2- f1 et f2 sont 2 fonctions numériques dérivables sur ℝ avec :

f1’(t) = t.cos t +1.sin t =t.cost + sint et f2’(t)= -t.(-sint)+(-1).cost= t.sint–cost .

f1’ et f2’ sont encore dérivables sur ℝ avec :

f1”(t)=t.(-sint)+1.cost + cost= -t.sint+2.cost et f2”(t)=t.cost+1.sint–(-sint)= t.cost+2sint d’où :

f1”(t) +t.sint= 2.cost et f2”(t)–t.sint=2 sin t , c’est-à-dire :

Pour tout réel t, f1”(t)+f1(t)=2.cost et f2”(t)+f2(t)= 2sint

C’est la preuve que f1 est une solution particulière de (E1) sur ℝ et que f2 est une solution

particulière de (E2) sur ℝ.

3- (E) est l’équation homogène associée à la fois à (E1) et (E2). A la solution particulière f1 de

(E1) on ajoute toutes les solutions de (E) pour avoir toutes les solutions de (E1). A la solution

particulière f2 de (E2) on ajoute toutes les solutions de (E) pour avoir toutes les solutions de

(E2). Ainsi :

Les solutions de (E1) sont toutes les fonctions t�t.sint+λ.cost+µ.sint où λ et µ sont 2 réels

constants.

Les solutions de (E2) sont toutes les fonctions t�-t.cost+λ.cost+µ.sint où λ et µ sont 2 réels

constants.

4- ∗ On écrit x(t)=t.sint + λ.cost+µ.sint avec λ, µ réels constants et on a :

x’(t)=1.sint+t.cost–λsint+µ.cost ; comme cos0 = 1 et sin0 = 0, on a x(0)=λ et x’(0)=µ .

Ainsi x(0)=1 et x’(0)= 0 pour λ=1 et µ=0 .

∗∗ On écrit y(t)= -t.cost+λ.cost+µ.sint où λ et µ sont 2 réels constants. On a :

y’(t)= - cost + t.sint – λ.sint+µ.cost; on a ainsi y(0)=λ et y’(0)= -1+ µ . De cette manière :

y(0)=0 et y’(0)=0 pour λ=0 et µ=1 .

Finalement les fonctions x et y cherchées sont définies par les égalités :

x(t)=t.sint+cost et y(t)= -t.cost+sint.

Partie B. Les fonctions f et g sont définies, dérivables et continues sur ℝ, donc sur [-π ; π].

Pourt tout t de [-π ; π], soit M(t) le point de coordonnées f(t) et g(t).

(Γ) est la courbe paramétrée associée à la fonction ponctuelle M.

1- Pour tout t de [-π ; π], -t se trouve dans [-π ; π] et

f(-t)=cos(-t)+(-t)sin(-t) et g(-t)= -(-t).cos(-t)+sin(-t) où cos(-t)=cost et sin(-t)= -sin(t) , alors

f(-t)= cos t + t.sint et g(-t)=tcost–sint, soit f(-t)=f(t) et g(-t)= -g(t).

f est ainsi paire sur [-π ; π] et g impaire sur [-π ; π].

- On vient de voir qu’avec les notations précédentes, les 2 points M(t) et M(-t) ont la même

abscisse et des ordonnées opposées. C’est-à-dire :

Pour tout t de [-π ; π], le point M(t) de (Γ) a pour symétrique par rapport à l’axe (O, ir

) le

point M(-t) de (Γ).

L’axe (O, ir

) est axe de symétrie de (Γ).

2- f’(t)= -sint+1.sint+t.cost et g’(t)=cost – (1.cost+t.(-sint)) soit : f’(t)=t.cost et g’(t)=t.sint.

f’(0)=0 et g’(0)=0 ; pour 0<t, f’(t) est du signe de cost et g’(t) est du signe de sint.

D’où le tableau :

t 0 π/2 π f’(t) 0 + 0 – (-π) g’(t) 0 + π/2 + 0 f(t) 1 π/2 (-1)

g(t) 0 1 π

3- Pour t dans ]0 ; π], f’(t) ou g’(t) ne sont pas nuls et un vecteur directeur de la tangente à

(Γ), en M(t), est dt

Md(t)=f’(t) i

r+g’(t) j

rou u

r(t)=(1/t)

dt

Md(t)= cost. i

r+sint. j

r

Automatiquement : Une mesure de l’angle orienté ( ir

, ur

(t)) est t, la norme de ur

(t) est 1.

4- Avec t dans {0 ;π/4;π/2;3π/4;π}, on place le point M(t) de coordonnées f(t) et g(t) et le

vecteur normé ur

(t) tel que t soit une mesure de l’angle orienté ( ir

, ur

(t)) ; la droite

(M(t), ur

(t)) est la tangente à (Γ) pour la valeur t. De cette manière la tangente à (Γ), pour la

valeur t, se construit facilement :

∗ En M(0), la tangente est horizontale. ∗ En M(π/4), la tangente a pour pente1.

∗ En M(π/2), la tangente est verticale. ∗ En M(3π/4), la tangente a pour pente –1.

∗ En M(π), la tangente est horizontale.

Pour placer les cinq points précédents on peut utiliser le tableau donnant des valeurs,

approchées au centième près, des coordonnées de ces points :

t 0 π/4 π/2 3π/4 π

f(t) 1 1,26 1,57 0,96 -1

g(t) 0 0,15 1 2,37 3,14

En tenant compte des variations de f et g sur [0; π] et des tangentes déjà placées on joint les

points M(0), M(π/4), M(π/2), M(3π/4) et M(π) pour obtenir (Γ1) l’ensemble de tous les points

M(t) où 0≤ t≤ π.

Le symétrique de (Γ1) par rapport à l’axe (O, ir

) est (Γ2), l’ensemble des points M(-t) où

0≤ t≤π ; -t prend toutes les valeurs possibles de [-π ; 0] lorsque t varie dans [0; π], alors

(Γ2) est l’ensemble des points M(t) où t se trouve dans [-π ; 0].

(Γ1) et (Γ2) ont pour réunion (Γ).

M(π)

M(3π/4) (Γ1) Μ(π/2)

M(π/4) Μ(0)

(Γ2)

Représentation graphique de (Γ): (Γ)=(Γ1)∪(Γ2) .

Les tangentes à (Γ) pour t dans {0 ; π/4 ; π/2 ; 3π/4 ; π} ont été indiquées en vert.