cour de cristallographie 2013-2014.ppt

8/9/2019 cour de cristallographie 2013-2014.ppt

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Lacristallograp

hie

2013-2014Prépare par : ayourwazal touazi


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I ) INT !"#$TI!N :I ) INT !"#$TI!N :

LiquideSolide Gaz

Solides cristallins Solides Amorphes

La mati ère

Chapitre 1Cha

pitre 1


4/83

Pour distinguer entre les deuxcat égories de solides on

examine:1)Le changement d ’état (fusion).

2)Le comportement vis à vis despropri ét és vectorielles.

3)La di raction des rayons .


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!usion francheà " f solide

li#uide

!usion progressive:transition p$teuses ’étendant sur unintervalle t%c

Solide cristallin

NaCl ,KCl ,ZnS ,CaF2

Solide AmorpheVerre,plastique, caoutchouc

énéralement anisotropieanisotropie des propriétés !ectorielles"

a# Anisotropie continue$

énéralement isotropieisotropie despropriétés !ectorielles

Chan%ement d’état

&ropriétés !ectorielles


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&)anisotropie discontinueLa propri ét é varie d ’une

fa ' on discontinue avec ladirection.

'x: conducti&ilit é électri#ue thermi#ue.

oe*cient dedilatation.

Ex:a- vitesse de croissance descristaux.

Formes poly édriques

b -plan de cliva e


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di raction des rayons

S in θ / λ

Spectre de raies

S in θ / λ

(i))raction continue

II pic


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2# -e réseau cristallin

0l peut 1tre décrit comme la u.taposition deparallélépipèdes construits sur les !ecteurs a / et c "

-es sommets sont occupés par les moti)s" Fi%ure2" Fi%ure 2$

-e cristal par)ait peut donc se dé)inir comme la répétitiontri3périodique d’un moti) atomique"


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4# Le n oeud A chaque triple intersection dela !i ure " se trouve un pointappel é n 5 ud. #haque n 5 ud peut

se d éduire d ’un autre n 5 ud ou dun 5 ud ori ine $ par unetranslation

n % u a & v b & w cLe n 5 ud sera not é u v 'exemple : ((( )*( 66 .


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Fi%ure 4$

7*889

788*9 78*89

7**89

**8 2*8 4*8

28*

*88 288

88*

8*8

***

O


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3) La rang ée "oute droite passant par deux n 5 uds

est une rang ée r éticulaire . La rang ée est

caract éris ée par sa distance nodale oup ériode r . Le module du vecteur r repr ésente la distance entre deux n 5 udssuccessifs.

Les rang ées parall èles sont identi#ues et forment une famille elles sontd ésign ées par les m-mes u v /0 .

Pour attri&uer les indices u v / à unerang ée ne passant pas l ’origine on faitun changement d ’origine en choisissantune nouvelle origine ’ sur la rang ée à indexer et en gardant le m-me tri èdre der éf érence.


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Fi%ure 4$

[100]

[001] [010]

[110]

**8 2*8 4*8

28*

*88 288

88*

8*8

***

O


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) la maille n appelle maille le parall élépip ède

construit sur les 3 vecteurs unitaires a & etc.

Fi%ure 2$

La maille


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+ne maille est dite simple ou primitive quand ellecontient un seul n 5 ud , sa multiplicit é est é ale à (.

+ne maille est dite multiple quand sa multiplicit é estsup érieure à (. ’une mani ère én érale si une maille quelconque estd é!inie par les trois vecteurs de translation.

nn’

n’’

n % ua &vb &'c n ’% u’a & v ’b & ' ’c n ’’% u’’a & v ’’b & ' ’’c


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>) le plan r éticulaire

"rois n 5 uds non align és d é,nissent unplan r éticulaire. Les plans parall èlesconstituent une famille. La distance entredeux plans cons écutifs de la m-me familleest appel ée distance inter?r éticulaire.

ha#ue famille de plans est not ée à l’aide de 3 indices h @ l not és entreparenth èses appel és indices de 8iller.

Pour o&tenir les indices h @ l d’un

plan donn é on consid ère les troislongueurs num éri#ues d écoup ées par unplan sur les axes ox oy et oA on prendleur inverse et on les rend enti ères etpremi ères entre elles


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Fi%ure 4$

[100]

[001] [010]

[110]

**8 2*8 4*8

28*

*88 288

88*

8*8

***

:22*#:88*#


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Exemples : !i ure " /

0lan hachur é ox oy ozLon ueurs d écoup ées ( ( )inverses (1( (1( (1)

enti ères multiplier par ) / ) ) (h2l/ : le plan est donc not é ) ) (/

0lan 11 à xoy ox oy ozLon ueurs d écoup ées 3 3 (inverses (1 3 (1 3 (

h2l/ : le plan est donc not é * * (/

4emarque : Si le plan est parall èle à l’un des axes, l ’indice

correspondant est nul.


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'xemple'xem ple h @ l h @ i l

( 1 = = ) ( 1 = < 1 = ) ( = 1 = ) ( = 1 < 1 = ) (?1 1 = ) (?1 1 = = ) (?1 = = ) (?1 = 1 = ) (= < 1 = ) ( = ?1 1 = )

(1 < 1 = ) (1 < 1 = = )

cas particulier du s=stème he.a%onal &our éta/lir la s=métrie dans l’écriture des plansréticulaires, nous adoptons pour le s=stème he.a%onal la

notation à quatre indices :h > i l#a!ec i + 3 :h >#:3*88#

:83*8#

:*3*8#

:3**8#

:8*8#:*88#

u

.

=


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Un concept purement géométrique introduitpar EWALD en 1921.Il permet de considérer

de façon plus pratique les plans cristallins !"l#$leurs directions et les inter%alles réticulaires d!"l .

?a=ons @

C?0S A-C?0S A- &ac!es de diffraction

R R R D

Chapitre 2Cha pitre 2


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1'#Définition1' #Définition A partir du réseau réel direct# caractérisé

par les trois %ecteurs de (ase a $ ( et c$ on peutconstruire un réseau imaginaire réciproque# dontc!acun de ses points poss)de une relation deréciprocité a%ec le réseau direct.

* D * * a$ ( $ c a+$(+$c+

a+, ( Λc # - % (+, c Λa # - % c+, aΛ(# -% /0 %olume de la maille directe %,a. ( Λ c#


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De cette définition on peut déduire0a.a+,a ( Λ c# -% , %-%,1 de m me (.(+,1 et c.c+,1

Et comme a ⊥ ( et c produit %ectoriel#

( ⊥ a et c$

c ⊥ a et ($

on a0a+.( , a+.c , (+.a , (+.c, c+.a , c+.( , 3

5es neufs relations définissent sans am(igu6téles %ecteurs a+$ (+ et c+.


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E7emple0E7emple0 détermination du %ecteur a+0

8sa direction est perpendiculaire au plan ( etc. 8son sens est tel que le tri)dre a+ ( c soitdirect.

8sa grandeur est égale l in%erse de lapro:ection du %ecteur a sur le support du%ecteur a+.

0

a

aB

aaB+ aaBcos aaB+*(onc aB+* 1 a cos aa5


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5as particulier0 s;st)me ort!or!om(ique

cB+* 4

/B+* 2

aB+2 4

:c+4D #

:/+2 D #

:a+4 2 D #

c

a

/


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Le *D est caractérisépar l ensem(le despoints ou n %( > =c

Le ** est caractérisépar l ensem(le despoints ou n lc+


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a/4elation entre v et v5:a/4elation entre v et v5:

v = a (b Λ c)% *= a*(b* Λ c*)= (a* - % 2)(c Λ a) Λ(a Λ b)

= (a* - % 2 ).a.a.(c Λ b)

= a.a*v- % 2

= 1 - % car a+,1 -a

ou+

2# &ropriétés du réseau réciproque2# &ropriétés du réseau réciproque


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(# ** **#, *D %oir relations de définition a+#+, (+Λ c+- %+ , cΛa # aΛ(# - % 2 %+ , a a(c# - % 2 %

, a %- % 2 %+, a

car %%+,1c# &oute rangée ?! " l@+du ** est

perpendiculaire une famille de plans !"l# du *Dqui porte les m mes indices !"l et réciproquementtoute rangée ?u%=@du *D est perpendiculaire une famille de plans u%=#+du **.

d# Le module du %ecteur période de la rangée?!"l@ du ** et d !"l du *D sont reliés par

d!"l , 1 - r !"l ou r !"l , 1 - d !"l


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Bi r !"l d!"l

d!"l lorsque !"l diminuent les plansréticulaires fai(lesindices !"l sont les plusdistants et les plusdenses ils sont les plusimportants encristallograp!ie car lesfaces naturelles descristau7 les plans decli%age sont tou:oursparall)les ces plans.

?emarque$?emar que$

/a :*8#

:*4#

d!"l , 1 - r !"la%ec

r+ , !a+ > "(+ > lc+

:**#

Ta lea! r"s!m"#Ta lea! r"s!m"#


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?"( Relations R.R

Ease a / c

aB/+aBc+/Ba+/Bc+cBa+cB/+8 eta.a+,(.(+,c.c+,1

aB /B cB

&aramètres a / | c

en D

aB /B cB

en D


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?an%éer$!a%& % 'c

[!&']

rBh>l+ haB >/B lcB

7h>l9B

&lans :h>l#

:u!G#B

Hquidistance

dh>l

d!"l , 1 - r !"l

d u%=, 1 - r u%=

dBu!G

Volume

!

! !B + *

!B


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3)lc+

r !"l 2 , r+.r+, ! 2 a+2 >" 2 (+ 2 >l 2 c+2 >2 !" a+(+cos γ+ >2 "l (+c+ cos

α + >2 !l a+c+cos β+


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5as particuliers5as particuliers cu(ique $ quadratique$ ort!or!om(ique

α = β = γ , 93' l e7pression se simplifie car 0

a+ , 1-a (+, 1-( c+, 1-c

ort!or!om(ique d !"l , 1 - C ! 2- a 2 > " 2-( 2>l2-c 2

quadratique d !"l , a - C ! 2>"2> l2 a-c#2 car a,(

5u(ique d !"l , a - C ! 2>"2>l2 car a,(, c

cu(ique si !"l , 133 ! 2>"2>l2,1 d 133 , a

si !"l , 113 ! 2>"2>l2,2 d 113 , aC2 - 2

si !"l , 111 ! 2>"2>l2, d 113 , aC - 3


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Bne opCration de symCtrie fait passer le cristal dDuneposition initiale E une position ,nale indiscerna&le(identi#ue).

ette opCration peut -tre une rotation uneinversion une translation ou une com&inaison decelles?ci.LDopCrateur #ui permet cette opCration est appelCClCment de symCtrie.LDopCrateur est un axe un centre de symCtrie ou unplan .Fous Ctudierons successivement :

?la symCtrie des ,gures ,nies (groupes ponctuels desymCtrie dDorientation)

?la symCtrie des ,gures pCriodi#ues in,nies (groupedDespace de symCtrie de position).

I.Introduction:I.Introduction:


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n distingue les opCrations de symCtrie directeet inverse

1)


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S=stème ortho%onal$ -’a.e 2 est parallèle à oI"-’a.e 2 est rencontré dans less=stèmes cristallins3cu/ique3quadratique :tétra%onal#,3orthorhom/ique,3he.a%onal

3rhom/oédrique :tri%onal#, 3monoclinique"

3-’a.e d’ordre 2 trans)orme un point &: .=I# en &’:.=I#

&:. = I# &’:3. 3= I#

=

.A.e 2

I


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39/83

x’ -1 0 0 x y’ = 0 –1 0 y z’ 0 0 1 z

H.ercice $ rou!er lesmatrices pour l’a.ed’ordre 2 sui!ant o., o=et /issectrice de l’an%le.o=

A7e2

F

;

7

;

7


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7 7 ,;

; ; ,

,7

7 3 1 3

; , 3 3 1;

1 3 3

;

7

5

GA

A7e

F

l’a.e 4 ⊥ :***#3-’a.e d’ordre 4$

111#

$


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H.ercice $ rou!er la matrice correspondant à 4 ⊥ :*


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2) entre de symCtrie K


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&) axe de symCtrie inverse : LDopCration consiste en une rotation de 2 π n

suivie dDune inversion par rapport E un centre

de symCtrie situC sur lDaxe de rotation.LDopCration rCsultante sDo&tient en e ectuantla multiplication matricielle des di CrentsopCrateurs.

?


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&. " = I

(

)

y

" &’ .’ I’

o

3* 8 8 3* 8 8 * 8 8

M + 8 3* 8 8 3* 8 + 8 * 8

8 8 * 8 8 3* 8 8 3*

(onc 32 trans)orme unpoint &:.=I# en &’:.’=’I’#a!ec

.’+. =’+ = et I’ +3 I

?emarque?emar que$$ -e m1me résultat peut1tre o/tenu par un miroir m ⊥ oI"

(onc 32 m≡


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Lrdre de l’a.e S=m/ole %raphiquede l’a.e ⊥au plandu dessin

erminolo%ie

3* 32

34

3J

3

a.e d Oin!ersion d’ordre *centre de s=métrie

a.e d’ in!ersion d’ordre 2: m#

a.e d’in!ersion d’ordre 4

a.e d’in!ersion d’ordre J

a.e d’in!ersion d’ordre

?emarque$?emar que$ ous les a.es in!erses d’ordre pair : 2n#contiennent un a.e direct d’ordre moitié :n# colinéaire"


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3) +CMexion rotatoire:L%opératio& co&siste e& u&e rotatio& 'e

2 π(& sui ie &écessaire*e&t '%u&e ré+e,io& 'a&s u& pla& perpe&'iculaire l%a,e. l%élé*e&t'e sy*étrie est appelé axe de rCMexion est&oté &% /

'#uivalence entre opCrations de symCtrie 1% -2 * 2% -1 c 3% - 3 (* 'ésig&e u& a,e 3 ⊥ u& *iroir

*)4% -4 % -3 3 -1 a,e 3 plus u& ce&tre )

≡

≡≡

≡≡

≡≡

≡

≡


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) Points C#uivalents K ProJectionstCrCographi#ue

Bn opCrateur de symCtrie peut -tre

reprCsentCe soit: ? E partir de la liste des coordonnCes despoints C#uivalents o&tenus E partir dDunpremier point.

'xemple : axe : x y A y ?x A ?x ?y A ?y x A

I I’ 3@

.’=

A.e J oI.

3P

3en présentant les points équi!alents qui se disposent à la


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&rincipe $-e point Q est le pRle stéréo%raphique du pRle sphérique & :decoordonnées ϑ et ϕ# il est à l’intersection du se%ment &S a!ec le plan de

l’équateur "

p p q q psur)ace d’une sphère $ c’est la pro ection stéréo%raphique"

3 -es pRles sphériques & de coordonnéesϑ et ϕ sont reliés par desdroites au pRles Sud ou Nord selon qu’ils sont dans l’hémisphère

N ou S" 3 -es intersections des droites de la liaison a!ec le plan de

l’é uateur sont les Rles stéréo ra hi ues "

ΦQ

J

+


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Nans le plan de proJection E lDintCrieur ducercle de lDC#uateur une croix (x) indi#ue lepOle stCrCographi#ue dDun point se trouvantdans lDhCmisphHre Ford et un rond (o) lepOle se trouvant dans lDhCmisphHre .

* 2 4 J

3* m 34 3J 3 :ou


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) y Lors#uDune ,gure possHde un ou plusieurs

ClCments de symCtrie les opCrations de symCtrieforment un groupe au sens mathCmati#ue du terme.

a? Le produit (c. E . d lD application successive )de deux ou plusieurs opCrations de symCtrie dugroupe est touJours une opCration de symCtrie dece groupe .

&? Le produit de plusieurs opCrations < estassociative< ( ) 5 (< )

c? LDopCration identitC existe cDest lDopCration 1 d? < toute opCration correspond une opCration

inverse telle #ue leur produit soit Cgale E 1

n . n ?1 5 1 n ?1 est une rotation dDangle 2 π ? 2 π n tout

simplement une rotation dans le sens inverseex : m 2 5 1 c 2 5 1 rCMexion et inversion sont

leurs propres inverses.


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1 2 2 2 2 2 + 2 2

c) i u&e gure poss 'e & a,es 9i&aires'a&s u& pla& . ces a,es ;o&t e&tre eu, 'esa&gles π ( & et il e,iste u& a,e '%or're & perpe&'iculaire au pla&/

'xemple:

d) Lors5u%u& a,e '%or're & est 'a&s u& pla&

'e sy*étrie il e,iste & pla&s 'e sy*étrie;or*a&t e&tre eu, 'es a&gles 'e π ( &/


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e) %il &%e,iste 5u%u&seul a,e '%or're supérieur 2 . tout a,e 2 'oit &écessaire*e&t lui 6treperpe&'iculaire/

f) La prése&ce 'e 'eu, a,es 5uater&aires a&gle 'roit i*pli5ue la prése&ce '%u& troisi *ea,e 5uater&aire perpe&'iculaire au, 2 autreset l%e,iste&ce 'e 5uatre a,es ter&aires situés'a&s les 'irectio&s 'es 'iago&ales pri&cipales'%u& cu9e/ (dCmonstration en "N)

1m 2 m m m + m m

Q) Rroupes ponctuels


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Q) Rroupes ponctuels a) dC,nition

Lors#uDune ,gure ,nie possHde plusieurs ClCments desymCtrie ces ClCments doivent se couper en un pointainsi on appelle groupe ponctuel lDensem&le desopCrations de symCtrie dDune ,gure ,nie puis#ue celles?ci forment un groupe au sens mathCmati#ue du terme.

&) dCnom&rement des groupes• Nans une premiHre colonne nous rangeons les

groupes constituCs par un seul axe de symCtrie directe.Fous o&tenons > groupes notCs 1 2 3 7.

• Nans une deuxiHme colonne nous rangeons lesgroupes constituCs par un seul axe de symCtrie inverse.

n o&tient donc > nouveaux groupes notCs K1 ?2 ?3 ??7. +appelons #ue ?2 m et ?7 3 m.

• Nans la troisiHme colonne associons aux axesdirects un miroir perpendiculaire (n m). n o&tient 3nouveaux groupes . 2 m m et 7 m deux groupes ontCtC dCJE rencontrCs 1 m m 3 m ?7 donc on lesrCpHte pas.

• Nans la #uatriHme colonne associons aux axesdirects un miroir passant par ces axes (n m) . n gCnHrealors nouveaux groupes2m m 3m m m 7m m car 1m m.

≡ ≡

≡

≡

≡

• Nans la cin#uiHme colonne associons aux axes inverses


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a s a c u e co o e assoc o s au a es ve sesun miroir passant par lD axe ( ?nm ) . n o&tient 3 nouveauxgroupes #ui sont?3m ou K3 2m ? m ou K 2m et ?7m ou K7 2m ces

C#uivalences entre notations peuvent -tre dCmontrCes parproJections stCrCographi#ues ). deux groupes ont CtC dCJErencontrCs ?1m 52 m et ?2m52mm.

• Nans la sixiHme colonne recherchons les groupes o&tenusen associant des axes &inaires E un axe principal (n nD nS). no&tient

groupes nouveaux 222 32 22 722 le groupe 12 52 dCJE dCcrit.

• Nans la derniHre colonne cherchons les groupesengendrCs par lDassociation dDun axe principal dDun miroirpassant par lDaxe et dDun miroir perpendiculaire E lDaxe (n m2 m 2 m). n o&tient 3 autres groupes 2 m 2 m 2 m ou m m

m m m m et 7 m m m les groupes 1 m m et 3 m m sontC#uivalents respectivement E 2 m m et ?72m dCJE citCs.Fous avons dCcrit Jus#uDE prCsent 2Q groupes ponctuels ilen reste > #ui sont formCs avec plusieurs axes de symCtriedDordre supCrieur E 2. es > groupes sont compati&les avec lasymCtrie cu&i#ue ces groupes correspondent E la prCsence

simultanCe de axes ternaires 23 m3 ? 3m 32 et m3m.


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c) notations des groupes


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) g pT Fotation de U'+8


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4Cri,er pour le systHme cu&i#ue #ue le groupeponctuelR P est m 3 2 m ou m 3 m et en notationdescriptive :

3< 38 < 3 7


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; ) NegrC de symCtrie dDune classe cristalline Dest le nom&re de points C#uivalents o&tenus par

application de toutes les opCrations de symCtrie du groupe. Le moyen le plus prati#ue pour dCterminer le degrC de

symCtrie dDune classe cristalline est dDexaminer la proJection

stCrCographi#ue rCsultant de la rCpCtition dD un point placC endehors de tout ClCment de symCtrie de la classe. e degrC de symCtrie peut Cgalement se calculer E lDaidede la relation suivante

5 1 9n 2 92n 3 9 3n 9 >n 7n 2 n3 n et n 7 reprCsentent respectivement le nom&re dDaxes

&inaires ternaires #uaternaires et sCnaires prCsents dans laclasse de symCtrie.

i la classe possHde un centre de symCtrie le degrC desymCtrie devient D 5 2

Nans les 32 classes cristallines le degrC varie de 1 pour laclasse 1 (triclini#ue) E ; pour la classe m3 m (cu&i#ue)

'xemples :

- 7 m m : notation descriptive 9 3 9 3 5 12 dans ce cas on

tient compte des miroirs.? 722 ou < 7 3 5 ;


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-es s=stèmes cristallins


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-es *J réseau. de /ra!ais


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ystHme triclini#ue rCseau de ravais P ?1

La maille ClCmentaire est dC,nie par 7 #uantitCs a & c W α β [ Y=

systHme monoclini#ue rCseau de ravais P et ( ou


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La maille ClCmentaire est un prisme droit E&ase losange de hauteur c dont sesparamHtres sont

a 5 & c α 5 β 5 Y=% [ 5 12=%< 7 E c


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?'lCments de symCtrie dDorientation1 2 3 7 ?1 ?2(m) ?3 ? ?7interviennent seuls pour Cta&lir les 32 classes

de symCtrie. es ClCments laissent au moinsun point ,xe dans la ,gure.? as des ,gures pCriodi#ues in,nies (cristal E

lDCchelle atomi#ue) nous aurons E considCreren plus de ces ClCments des ClCments faisantintervenir:

^ La translation pure ^ La translation associCe E la rotation: axes

hClicoIdaux^ La translation associCe E la rCMexion: plansde glissement.

es nouveaux ClCments dits de position neramHnent pas un point en coIncidence avec luim-me mais avec un point correspondant #uilui est associC par une relation simple.

1) Les axes hClicoIdaux


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O1/ %

O1/ %O%

O%O% O% O%O2/ %

O2/ %4 4* 42

1) Les axes hClicoIdauxLDopCration de symCtrie correspond E une rotation

de 2 π n autour dDun axe dDordre n suivienCcessairement dDune translation parallHlement E cet

axe .l existe onAe axes hClicoIdaux2 1 3 1 3 2 1 2 3 7 1 7 2 7 3 7 7 >

'xemple: axe dDordre 3

?emarque -es a.es 4 * et 42 sont dits énantiomorphes, c à d l’un estl’ima%e de l’autre par rapport à un miroir passant par l’a.e "M1me remarque pour les a.es J * et J4 , * et W , 2 et J-’un des a.es se trans)orme en l’autre si on in!erse le sens dela rotation


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74/83

Hléments de s=métriede position2* , 4* , 42 , J* , J2 6 W

a , / , c , n ,d

Hlément de s=métried’orientation*, 2 , 4 , J ,

3* , 32:m#,34,3J,3

?éseau de translation

& , 0 , F ,A ,E

4# roupes d’espace $

S=métrie complète à l’échelle atomique$ cristal

248 Sroupes d’espace ou %roupes de recou!rement

a ) reprCsentation des groupes dDespace


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) p g p pn reprCsente les groupes dDespace E lDaide

dDune lettre maJuscule (P !`) indi#uant lemode de rCseau suivie du sym&ole du groupeponctuel (modi,C pour introduire les axeshClicoIdaux et les plans de glissement)

&lan à =oI

:m, /, c, n# ouà dé)aut lesa.es à o.

&lan à .oI

:m, a, c, n# ouà dé)aut lesa.es à o=

&lan à .o=

:m, a, /, n# ouà dé)aut lesa.es à oI

A.e principa l

Nature deséléments sui!ant

o . et o =

Nature deséléments situés àJW :tetra%onal#

48 :he.a%onal#

H.emple# S contenant que les a.es 2"

& 0 F C

& 0 F C

H.emple# nma!tres classes!tres classes

[100] [010] [001]


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'xemple: P mm P7 3 mc Nans les groupes dDespace on

reprCsente les positions C#uivalentespour cela on fait la proJection cotCe de lamaille. hacun des paramHtres est priscomme unitC : Les coordonnCes sont ditesrelatives elles sDexpriment en fraction deparamHtre. es coordonnCes repHrent lespositions dans la maille ainsi #ue lesClCments de symCtrie. n reprCsentealors la proJection de la maille par le#uadrilatHre de cOtCs a et &(parallClogramme : rectangle carrC ou

losange selon le systHme) la proJectionse fait parallHlement au 3Hme axe c. LescoordonnCes A (suivant la position) sontportCes sur la position.


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&) Positions C#uivalentes

La connaissance du groupe spatial permet de construire larCpartition des atomes C#uivalents E lDintCrieur dDune mailleClCmentaire.

i un atome est situC au point x y A dans la maille lesopCrations de symCtrie du groupe spatial lui ferontcorrespondre des atomes identi#ues E lDintCrieur de la maille.LDensem&le de ces points constitue les positions C#uivalentesou positions de b !!

Positions gCnCrales de b !! : PRPositions gCnCrales de b !! : PR Positions gCnCrales:Bn atome est dit en position gCnCrale si son centre de gravitC

est en dehors de tout ClCment de symCtrie sans glissement.? maille P : nom&re de positions C#uivalentes gCnCrales5 ? maille < et : nom&re de positions C#uivalentes

gCnCrales 5 2? maille ! : nom&re de positions C#uivalentes gCnCrales 5

? 'xemple P m m m m m m m m m ! m m mes groupes appartiennent E la classe holoHdre delDorthorhom&i#ue m m m ( 5;)

P m m m (;) W m m m (17) m m m (17) ! m m m (32)


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O% O%O%

O% O% O%O%

O%O% O%

O%O% %O

%OO %

O %

3 3

))Apparition d’unautre miroir

ositions 4"n"rales# ) 3 ( 5 ) 63 (

ositions partic!li7res# ) 8o 8( 5 ) 8 8(

m#m#9ro!pe ponct!el# m 8 :S$ 1 % 1 $ 2

c#c#9ro!pe ponct!el# m 8 :S$ 2

;)emple#;)em ple# 9ro!pes 3 8 12%( 9

?"ant

m m m c c c


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%L

L X

O%

O%

O%O%

O%

O%O%

O%

O%O%

O%O%

O%

O%O%

O%

L XL X

9ro!pes =!a


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