Correction régulation de vitesse d'une mcc à courant dc

Correction sommaire régulation de vitesse d’un moteur à courant continu alimenté par hacheur 4 quadrants

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3.1/ En considérant le moteur avec la self de lissage et l’excitation constante, on obtient la fonction de transfert suivante :

Hm(p) = Ω(p)/Va(p) = f.R

Ka

e

)fJp1)(

RLp1(

1

a++ )

fJp1)(

RLp1(

fRK1

1

aa

2e +++

= f.R

Ka

e

fRK)

fJp1)(

RLp1(

1

a

2e

a+++

Hm(p) = f.R

Ka

e

pfR

LJ)fJ

RL(p)

fRK1(

12

aaa

2e ++++

= )KfR(

K2ea

e

+ pKfR

LJKfRRJLfp1

12

2ea

2ea

a

++

+++

L’écriture de la fonction de transfert est allégée en définissant les paramètres suivants et en faisant l’hypothèse RaJ >> Lf :

- Km (gain statique du moteur) = )KfR(

K2ea

e

+ = 0,904 rd/ sV ;

- ττ em (constante de temps mécanique) = KfR

RJ2ea

a

+ = 1,21 s ;

- ττ e (constante de temps électrique) = RL

a = 23,44 ms.

D’où la fonction de transfert recherchée : Hm(p) = ΩΩ (p)/Va(p) = Km/(1+ττ emp+ττ eττ em p2) 3.2/ Lors des petites variations du signal de commande du hacheur, il y a un certain temps de retard entre la variation du signal de commande et son influence sur la tension continue Va. Le modèle proposé introduit un retard pur ττ h qui est très petit (0,5 ms). Il est ainsi admissible de remplacer le temps mort par une petite constante de temps (développement limité au 1er ordre ; hypothèse de Padé), à savoir : Hh(p) = Khe-ττ h = Kh/(1+ττhp) 3.3/ On obtient le schéma bloc suivant :

Hh(p)

Kf

+ VitesseHm(p)

VdCv(p)

Va

-

Vc

3.4/ On obtient la fonction de transfert suivante : Hm(p) = ΩΩ (p)/Va(p) = Km/(1+ττ emp)



3.5/ On obtient la fonction de transfert en boucle ouverte suivante : Hbo(p) = [Kh/(1+ττhp)][Km/(1+ττ emp)]Kf = Ko/[(1+ττ emp)(1+ττhp)] Avec le gain statique Ko = Kh.Km.Kf = 1,98. On identifie les paramètres la fonction de transfert en boucle ouverte aux paramètres d’une fonction de transfert du deuxième ordre : Hbo(p) = Ko/[1 + (τh + τm)p + τhτmp2] = Ko/(1 + 2ξω n

-1p + p2ω n-2)

Par identification, on trouve : - ωn = 1/(τhτem)1/2 = 40,66 rd.s-1 ;

- ξ = 21 ωn(τh + τem) = 24,61.

Il est à noter que le facteur d’amortissement est supérieur à 1, signifiant une réponse à un échelon de consigne lente et sans dépassement. La réponse de la vitesse Ω(t) va croître lentement, donc le temps de réponse sera important et peut ne pas respecter le cahier des charges. Erreur statique pour un échelon de consigne :

- ε(p) = Vc(p) – Hbo(p).ε(p) ⇒ ε(p) = )p(H1

)p(Vbo

c+ ;

- εs = lim0p→pε(p)= lim

0p→[p

p5,9

pôôp)ôô(1K1

1

2emhemh

0

++++

] = K15,9

0+ = 3,2 volts.

- problème conversion fichier word à fichier pdf ; lire ττ et non ô ! 3.6/ A l’aide de matlab et de la toolbox control system, on trace le lieu de Black et Bode de la fonction de transfert en boucle ouverte. La fonction de transfert s’écrit en numérique de la façon suivante :

Hbo(p) = p) p)(1 (1

K

emh

0

ôô ++ =

11.2105.p.p100,605.1.98

3 2 ++−

Problème conversion fichier word à fichier pdf ; lire ττ et non ô ! Dans matlab, taper : - Hbo = tf([0 1.98],[0.605e-3 1.2105 1]) ; - Ltiview ; - File / Import Hbo ; - File / Print to Figure.



On obtient le diagramme de Bode suivant:

On dispose d’une marge de phase de 120° pour ω0 = 1,41 rd.s-1. On obtient le diagramme de Black suivant:



4.2/ Réponse à un échelon de consigne en boucle ouverte :

Application de la perturbation de couple

Consigne vitesse

Image de la vitesse

Réponse à un échelon de consigne en boucle fermé :

Consigne vitesse

Image de la vitesse


Intérêt de la boucle fermée La boucle fermée améliore la précision statique . En effet, on passe d’une erreur de 9,31 volts en boucle ouverte à une erreur de 3 volts en boucle fermée. La comparaison des temps de réponse en boucle ouverte (tr5% égal à 3,8 s) et en boucle fermée (tr5% égal à 1,2 s) permet de voir que cette dernière augmente la rapidité du système. Ce phénomène

se traduit dans le domaine spectral par l’élargissement de la bande passante : (ωn)bf = (ωn)bo K1 o+ . On observe aussi une diminution du gain statique :

- Kbo = Ko = 5,981,18 = 1,98 ;

- Kbf= K1

Ko

o+ =

5,931,6 = 0,665.



On constate également que la boucle fermée a diminué l’effet de la perturbation de couple sur la vitesse du moteur à courant continu. Enfin, la boucle fermée conserve l’ordre du système. Analyse du tracé en boucle fermée On est en présence d’un système stable. L’analyse du tracé en boucle fermée permet de voir que l’on ne répond pas au cahier des charges du point de vue de l’erreur statique(εs ≅ 3 volts), du temps de réponse (tr ≥ 1s) et enfin du rejet de la perturbation de couple. Une première analyse succincte du tracé en boucle fermée conduit à doter le système d’un régulateur à action proportionnelle afin d’augmenter la rapidité et le rejet de perturbation, et enfin d’une action intégrale pour diminuer l’erreur. 6.2/ Réponse à un échelon de consigne en boucle fermé pour Kp = 2 :

Consigne vitesse

Image de la vitesse

Erreur

Instant de la perturbation

Réponse à un échelon de consigne en boucle fermé pour Kp = 8 :

Consigne vitesse

Image de la vitesse

Erreur




Réponse à un échelon de consigne en boucle fermé pour Kp = 16 :

Consigne vitesse

Image de la vitesse

Erreur


Analyse des différentes réponses : Les tracés confirment un résultat bien connu théoriquement ; l’augmentation du gain proportionnel Kp accélère la réponse du système et provoque une diminution de l’erreur statique, mais le système peut osciller voir devenir instable (Kp =16). On constate que la régulation proportionnelle a diminué l’effet de la perturbation de couple sur la vitesse. En effet lors d’une perturbation de couple, la mesure de la vitesse tend à s’écarter de la consigne ; la régulation proportionnelle tend à la ramener.

De plus, pour diminuer l’effet de la perturbation, il faut augmenter le gain proportionnel Kp. A la limite pour un gain Kp infini, l’effet de la perturbation est nul mais malheureusement l’augmentation

du gain Kp se traduit par une diminution du coefficient d’amortissement ; ξbf = ξboKK1

1P o+

et la

réponse de la mesure de la vitesse devient oscillatoire ainsi que du signal d’erreur. Enfin, une action proportionnelle trop forte conduit à une saturation du circuit de commande analogique du hacheur car la tension de sortie d’un amplificateur opérationnel est limitée par sa tension d’alimentation. 6.4/ Une valeur élevée du gain proportionnel rend la correction énergique mais provoque des oscillations et du dépassement qui peuvent être dommageables pour le moteur et la charge entraînée. Au contraire une valeur faible du gain proportionnel rend la correction molle et lente mais sans danger. Le réglage de l’action proportionnelle sera donc un compromis entre la rapidité, le rejet de perturbation et la stabilité. De plus, l’action proportionnelle ne permet pas de supprimer l’erreur statique. Il faudra donc introduire une action intégrale.



7.2/ Réponse à un échelon de consigne en boucle fermé pour Ti = 12,1 s :

Consigne vitesse

Image de la vitesse

Erreur

Le rôle de l’action intégrale est d’annuler l’écart entre la mesure de la vitesse et la consigne pour une entrée échelon. On observe pour Ti = 12,1 s que la mesure de la vitesse manque de rapidité et que par conséquent le temps de réponse est important (tr5% = 15 s).

Réponse à un échelon de consigne en boucle fermé pour Ti = 1,21 s :

Consigne vitesse

Image de la vitesse

Erreur

L’augmentation de l’action intégrale, obtenue par diminution de Ti, conduit à une réponse plus énergique mais présentant un dépassement de 30 %.



Réponse à un échelon de consigne en boucle fermé pour Ti = 0,06 s :

Consigne vitesse

Image de la vitesse

Erreur

Comme dans l’action proportionnelle, une augmentation excessive de l’action intégrale (diminution de Ti) peut être source d’instabilité. 7.3/ Les tracés mettent en évidence la persévérance de l’action intégrale qui agit jusqu’à l’annulation de l’erreur statique du 1er ordre (entrée échelon).

Si l’action intégrale est trop forte, diminution de Ti, le système aura tendance à rentrer en pompage. Au contraire si l’action intégrale est trop faible, augmentation de Ti, on augmente l’inertie du système et il en résulte un démarrage trop mou. L’action intégrale modifie l’ordre du système et a pour effet immédiat d’une perte de phase de 90 ° à toutes les fréquences. On ne pourra donc pas utiliser l’action intégrale seule mais il faudra lui associer aussi l’action proportionnelle pour pouvoir répondre au cahier des charges.



8.2/ Réponse à un échelon de consigne en boucle fermé pour Kp = 1 et Ti = 2 s :

Consigne vitesse

Image de la vitesse

Erreur


On note que la mesure de vitesse obtenue manque de rapidité et que le temps de réponse est très important (tr5% = 4s). On constate que la perturbation provoque un ralentissement momentané qui est effacé en moins de 7 s. Réponse à un échelon de consigne en boucle fermé pour Kp = 2 et Ti = 2 s :

Consigne vitesse

Image de la vitesse

Erreur


La présence de l’action proportionnelle améliore le temps de réponse (tr5% = 2s) et efface la perturbation en moins de 5 s. Le correcteur PI est plus efficace que le correcteur P ou que le correcteur I.



Réponse à un échelon de consigne en boucle fermé pour Kp = 1 et Ti = 1,21 s :

Consigne vitesse

Image de la vitesse

Erreur


Pour que l’action intégrale soit efficace, il faut que le correcteur PI puisse compenser la constante de temps dominante (donc la plus lente) du système à régler. On peut alors déterminer le paramètre Ti = τem = 1,21 s. On constate que le correcteur PI est plus efficace et qu’il faut modifier l’action proportionnelle pour augmenter la rapidité et rejeter plus efficacement la perturbation. Réponse à un échelon de consigne en boucle fermé pour Kp = 2 et Ti = 1,21 s :

Consigne vitesse

Image de la vitesse

Erreur


On respecte le cahier des charges en terme de temps de réponse (tr5% = 0,85 s), l’erreur statique est nulle et le rejet de la perturbation se fait en moins de 2,5 s.



8.3/ On doit respecter le cahier des charges suivant : - une erreur statique nulle pour une entrée de référence en échelon ; - un dépassement inférieur à 10 % ; - un temps de réponse de 1s pour une entrée de référence en échelon ; - tension d’induit ≤ 220 volts ; - courant maximum dans l’induit ≤ 1,2.Ian.

Dimensionnement du correcteur : - on compense la constante dominante (constante la plus lente) :Ti = τem = 1,21 s ; - l’abaque D% = f(ξ) impose ξ ≥ 0,6 et mϕ ≥ 60°; - l’abaque ω0tr = f(ξ) impose ω0tr ≥ 5 soit ω0 ≥ 5 car tr = 1s ;

- on prend la pulsation corrigée à 0 dB ωc0 = 10 rd.s-1 et une marge de phase mϕ = 90 °; - on constate que le gain est au-dessous de 0 dB, il faut remonter la courbe de gain de 15,6 dB pour la pulsation corrigée ωc0 ;

- on calcule de manière exacte le gain Kp : )ùj(HùjTùjT1

K 0cbo0ci

0cip

+ = 1, soit Kp = 6,2.

8.4/ On obtient les diagrammes de Bode suivants:

Hbo et Hboc

- il suffit alors de relancer une simulation avec le correcteur déterminé ci-dessus et de vérifier les performances du système par rapport au cahier des charges et aux contraintes matérielles (circuit de commande hacheur, tension moteur et courant moteur).



Réponse à un échelon de consigne en boucle fermé pour Kp = 6,2 et Ti = 1,21 s :

Consigne vitesse

Image de la vitesse

Erreur


On respecte le cahier des charges en terme de temps de réponse (tr5% = 0,3 s), l’erreur statique est nulle et le rejet de la perturbation se fait en moins de 2 s. Il reste à vérifier le respect de la tension aux bornes de l’induit et du courant d’induit. Réponse de la tension aux bornes de l’induit et du courant d’induit à un échelon de consigne en boucle fermé pour Kp = 6,2 et Ti = 1,21 s:

Courant induit

Tension aux bornes de l’induit


Le courant et la tension dans le moteur sont très importants et on aura forcément une limitation du circuit de commande et du circuit puissance (on ne peut pas délivrer une tension de 1200 volts avec un hacheur pour une source d’entrée de 220 volts).

Il faut modifier d’une part le modèle et d’autre part introduire une limitation du circuit de commande en sortie du régulateur (± 10 volts)



8.6/ On introduit une limitation du circuit de commande en sortie du régulateur (± 10 volts) et on doit modifier le gain proportionnel pour avoir un dépassement conforme au cahier des charges. Réponse à un échelon de consigne en boucle fermé pour Kp = 2 et Ti = 1.21 s avec limitation du correcteur vitesse :

Consigne vitesse

Image de la vitesse

Erreur


Réponse de la tension aux bornes de l’induit et du courant d’induit à un échelon de consigne en boucle fermé pour Kp = 2 et Ti = 1.21 avec limitation du correcteur vitesse :

Courant induit

Tension aux bornes de l’induit


Le cahier des charges est respecté sauf pour le courant d’induit. Une première solution consiste à introduire une limitation sur le courant au risque de perdre en rapidité et une deuxième solution consiste à introduire une boucle courant afin de contrôler ce dernier et de respecter ainsi le cahier des charges. La boucle courant introduit des constantes de temps plus rapides, une régulation de type cascade conviendra.

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