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MACHINE A EQUILIBRER : Eléments de correction à tra vailler et compléter.

Q 1-1-1 et 1-1-2

Liaison linéaire annulaire en A :

(((( ))))0000

00

0

z,y,x,AA

A

Z

X

rrr

Liaison rotule en O :

(((( ))))0000

0

0

z,y,x,OO

O

O

Z

Y

X

rrr

Q1-1-3 Déplacement des torseurs en O. Puis les liaisons étant en _ _ _ _ _ _ _ , on _ _ _ _ _ _ _ les torseurs d’actions mécaniques pour trouver le torseur de la pivot d’axe 0y, écrit ci-dessous Q 1-3-1.

Q 1-2 Expressions des grandeurs physiques cinétiques et dynamiques pour S1 et pour S2 :

Donnée : 00/20/1 y.r&

rrθθθθ====ΩΩΩΩ====ΩΩΩΩ avec pour toute l'étude : Cte====ωωωω====θθθθ&

A partir de la donnée 01 y.dOGr−−−−==== nous trouvons : 0V 0/1G1

rr====∈∈∈∈ donc 0011

rr====ΓΓΓΓ ∈∈∈∈ /G

A partir de la donnée 022 y).hb(x.OGrr ++++++++ρρρρ==== nous trouvons : ........./GV ====∈∈∈∈ 012

r

20/1G z..V2

rrωωωωρρρρ−−−−====∈∈∈∈ puis ......../G ====ΓΓΓΓ ∈∈∈∈ 022

r

- Résultante dynamique du solide S1 en mouvement par rapport à R0 :

masse du solide S1 x vecteur accélération du point G1 donc ici 01G1 1M ////.... ∈∈∈∈ΓΓΓΓ

r

comme 0V 0/1G1

rr====∈∈∈∈ alors 001G1

rr====ΓΓΓΓ ∈∈∈∈ ////

donc ici 0M 01G1 1

rr====ΓΓΓΓ ∈∈∈∈ ////

....

- Résultante dynamique du solide S2 en mouvement par rapport à R0 :

masse du solide S2 x vecteur accélération du point G2 donc ici 02G2 2M ////.... ∈∈∈∈ΓΓΓΓ

r

avec 201G zV2

rr........//// ωωωωρρρρ−−−−====∈∈∈∈ donc 2

202G x

2

rr........//// ωωωωρρρρ−−−−====ΓΓΓΓ ∈∈∈∈

alors 22

202G2 xMM2

rr................ //// ωωωωρρρρ−−−−====ΓΓΓΓ ∈∈∈∈ ( dans la base B2 )

alors 02

202

202G2 zMxMM2

rrr....))))sin(sin(sin(sin(................))))cos(cos(cos(cos(................ //// αααα++++θθθθωωωωρρρρ++++αααα++++θθθθωωωωρρρρ−−−−====ΓΓΓΓ ∈∈∈∈ ( dans la base B0 )

- Vecteur moment cinétique, au point G1 , du solide S1 en mouvement par rapport à R0 :

au centre d'inertie : (((( )))) 011101G SGI1 ////////,,,,

....,,,, ΩΩΩΩ====σσσσrr

0

0

0

0

00

00

00

ωωωω====

ωωωω

==== .I.

K

I

K

2B2B2B

au point O : en utilisant la propriété de changement de point du moment cinétique :

011G1101G01O VMOG1 ////////,,,,////,,,, .... ∈∈∈∈∧∧∧∧++++σσσσ====σσσσ

rrr mais comme ici 0V 0/1G1

rr====∈∈∈∈ alors 01G01O 1 ////,,,,////,,,, σσσσ====σσσσ rr

- Vecteur moment cinétique, au point B , du solide S2 en mouvement par rapport à R0 :

B est un point fixe : (((( )))) 02202B SBI ////////,,,,....,,,, ΩΩΩΩ====σσσσrr

ωωωω−−−−ωωωωωωωω−−−−

====

====.D

.B

.F

...

...

...

.

.........

.........

.........

222 BBB

au point O, en utilisant la propriété de changement de point du moment cinétique : .........../,B/,O ∧∧∧∧++++σσσσ====σσσσ 0202

rr

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donc

ωωωω−−−−ωωωω

ωωωωρρρρ−−−−ωωωω−−−−====∧∧∧∧++++

ωωωω−−−−ωωωωωωωω−−−−

====σσσσ.D

.B

..b.M.F

...

...

...

.M

...

...

...

.D

.B

.F

/,O

2

202

2B2B2B2B

r

- Moment dynamique du solide S1 : [[[[ ]]]]0

01O01O Rdtd

////,,,,////,,,, σσσσ====δδδδ rr car O est un point fixe dans R0

donc ici : 001O

rr====δδδδ ////,,,, (car ω = cte et 02 yy

rr ==== )

- Moment dynamique du solide S2 : [[[[ ]]]]0

02O02O Rdtd

////,,,,////,,,, σσσσ====δδδδ rr car O est un point fixe dans R0

donc ici, comme ω = cte et 02 yyrr ==== : alors :

22

222

02O zbMFxDrrr....).).).).........((((........////,,,, ωωωωρρρρ++++++++ωωωω−−−−====δδδδ ( dans la base B2 )

02

22

02O xbMFDrr

)].)].)].)].sin(sin(sin(sin(....).).).).........(((())))cos(cos(cos(cos(........[[[[////,,,, αααα++++θθθθωωωωρρρρ++++++++αααα++++θθθθωωωω−−−−====δδδδ

02

22 zbMFD

r)].)].)].)].cos(cos(cos(cos(....).).).).........(((())))sin(sin(sin(sin(........[[[[ αααα++++θθθθωωωωρρρρ++++++++αααα++++θθθθωωωω++++ ( dans la base B0 )

1.3 - Application du Principe Fondamental de la Dynamique à l'ensemble des deux solides S1∪∪∪∪S2 en mouvement par rapport au repère (galiléen) RRRR0 :

Q1-3-0 voir cours polycop.

T(Pivot équiv 0→1)+ T(Courroie→1)+ T(pes→1)+ T(pes→2) = D(S1∪S2 / R0)

Avec, le torseur dynamique :

D(S1∪S2 / R0)

∪∪∪∪

∪∪∪∪

δδδδ

ΓΓΓΓ

/R02S1SO,

0R2S1SG M.

O

= r

r

////,,,,

résultante dynamique moment dynamique au point O

M est la masse de l'ensemble S1∪S2 et G est le centre d'inertie résultant de l'ensemble S1∪S2 Ici G1 et G2 étant connu séparément, nous préférons utiliser la propriété :

0R2S2G0R1S1G0R2S1SG 21 MMM. ////,,,,////,,,,////,,,,

........ ΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓ ++++====∪∪∪∪

rrr

et nous avons aussi : /R02SO,/R01SO,/R02S1SO, δδδδ++++δδδδ====δδδδ ∪∪∪∪

rrr

Sous forme d'équations vectorielles, le PFD s'énonce ici :

0R2S2G0R1S1G 21 MM 2S1SextorcesF////,,,,////,,,,

........))))(((( ΓΓΓΓΓΓΓΓ∑∑∑∑ ∪∪∪∪→→→→ ++++====rrr

/R02SO,/R01SO,/O 2S1SextactionsomentsM δδδδ++++δδδδ====∑∑∑∑ ∪∪∪∪→→→→rrr

))))((((

Q 1-3-1 Résultats de l'inventaire des actions mécaniques extérieures sur l'ensemble S1∪∪∪∪S2 :

Nous trouvons 4 torseurs d'actions mécaniques extérieures agissant sur S1∪∪∪∪S2. - chaque torseur a été écrit au point où l'écriture est la plus simple :

TTTT(Pivot équiv 0→→→→1) =

(((( ))))000 z,y,x,OAOA

O

AOA

X.aZZ

0Y

Z.aXX

rrr

++++

−−−−++++ TTTT(Courroie →→→→1) =

(((( ))))0001 z,y,x,G

m

0T

C0

00

rrr

−−−−

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TTTT(pes→→→→1) =

(((( ))))0001 z,y,x,G1 0g.M

00

00

rrr

-

TTTT(pes→→→→2) =

(((( ))))0002 z,y,x,G2 0g.M

00

00

rrr

-

puis nous écrivons (réduisons) chaque torseur au point O. (en appliquant la propriété de changement de point du moment d'un torseur.) : ……………………………………………………………………………………………..

Nous obtenons les 4 torseurs d'actions mécaniques extérieures sur S1∪∪∪∪S2, au pt O, dans BBBB0

TTTT(Pivot équiv 0→→→→1) =

(((( ))))000 z,y,x,OAOA

O

AOA

X.aZZ

0Y

Z.aXX

rrr

++++

−−−−++++ TTTT(Courroie →→→→1) =

(((( ))))000 z,y,x,O

m

0T

C0

T.d0

rrr

−−−−

TTTT(pes→→→→1) =

(((( ))))000 z,y,x,O1

1

0g.M

00

d.g.M0

rrr

-

TTTT(pes→→→→2) =

(((( ))))000 z,y,x,O2

2

2

0g.M

)cos(..g.M0

)hb.(g.M0

rrr

αααα++++θθθθρρρρ++++−−−−

-

- Utiliser les résultats de l'inventaire des actions mécaniques extérieures appliquées à S1∪S2 et les résultats de 1.2 pour : écrire les six équations de la dynamique galiléenne en projection sur la base )z,y,x( 000

rrr:

Somme des composantes de forces selon l'axe x0 : XA + XO = - M2.ρρρρ.ωωωω2.cos(θθθθ+αααα) Somme des composantes de forces selon l'axe y0 : YO = 0 Somme des composantes de forces selon l'axe z0 : ZA + ZO -T -M 1.g - M2.g = M2.ρρρρ.ωωωω2.sin(θθθθ+αααα) Somme des composantes de moments selon l'axe x0 -a.ZA +d.T+M1.g.d -M2.g.(b+h) =

(F+M2.ρρρρ.b).ωωωω2.sin(θθθθ+αααα) - D.ωωωω2.cos(θθθθ+αααα) Somme des composantes de moments selon l'axe y0 Cm + M2.g.ρρρρ.cos(θθθθ+αααα) = 0 Somme des composantes de moments selon l'axe z0 a.XA = (F+M2.ρρρρ.b).ωωωω2.cos(θθθθ+αααα) + D.ωωωω2.sin(θθθθ+αααα)

1.4 - Justifier l'emploi de deux capteurs, l'un en A, l'autre en O, situés dans un plan horizontal, couplés à un capteur angulaire pour la détermination des inconnues D, F, ρ et α. En n’utilisant que les 2 équations 1 et 6 et si on mesure par des capteurs les valeurs de XA et XO en fonction de θθθθ, ainsi que ωωωω alors il n’y a que 4 inconnues ρρρρ, αααα, F et D.

Somme des composantes de forces selon l'axe x0 : XA + XO = - M2.ρρρρ.ωωωω2.cos(θθθθ+αααα) Somme des composantes de moments selon l'axe z0 a.XA = (F+M2.ρρρρ.b).ωωωω2.cos(θθθθ+αααα) + D.ωωωω2.sin(θθθθ+αααα)

En utilisant 2 fois ce système de 2 équations à 2 valeurs de θθθθ indépendantes : 0 et 90° étant par ailleurs 2 valeurs plus simples à utiliser, on obtient alors un système de 4 équations à 4 inconnues. On peut résoudre et exprimer : ρρρρ, αααα, F et D puis faire l’A.N. … …

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