Controle Continu Final Automne 2010 Math i Analyse Correction
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7/24/2019 Controle Continu Final Automne 2010 Math i Analyse Correction
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Universit Claude Bernard Lyon 1
Licence STS
Anne 2010-2011
Math I Analyse
Interrogation crite, le 21 janvier 2011, de 8heures 10 heures
Question de coursEnoncer le thorme des accroissements finis (Thorme de Lagrange).
Correction
Soit une fonction [ ] , avec . On suppose queest continue sur [ ]et drivable sur] [. Alors il existe ] [tel que
Exercice
Trouver lunique fonction
drivable telle que
et telle que
Pour tout .
Correction exercice
Il faut dabord rsoudre lquation homogne
||
La solution gnrale de lquation homogne est:
Ensuite on cherche une solution particulire de lquation avec second membre de la forme
On drive
Ce que lon remplace dans
Comme prvu, les termes en sliminent
Puis on simplifie par
Comme on cherche une solution particulire
Ce que lon remplace dans
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7/24/2019 Controle Continu Final Automne 2010 Math i Analyse Correction
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La solution gnrale de lquation avec second membre est la somme de la solution gnrale de
lquation homogne et dune solution particulire:
Il reste dterminer la constante laide de la condition initiale
La solution recherche est
Problme
Soit un entier naturel suprieur ou gal .On dfinit la fonction [[ par En particulier on a , et .
1. Etudier les variations de
sur
[].
2.
(Question indpendante de la suite de lexercice) Montrer que est une bijection de []dans[ ]et montrer que [ ] []est drivable.3. Dmontrer quil existe un unique rel ][tel que .4.
Calculer et .5. Dmontrer que, pour tout et pour tout ][, on a
6. En dduire que et que la suite est strictement dcroissante.7. Montrer que est convergente.8. Notons
la limite de la suite
. Montrer que
.
Dans la suite du problme on va calculer la valeur de la limite . On dfinit la fonction [[ par : 9. Montrer que 10.Montrer que et en dduire que, pour tout [[, on a :
11.Sachant que , pour tout , calculer
12.Dmontrer que est racine de lquation .13.Calculer la valeur de .
Correction du problme
1. est dfinie, continue et drivable sur [], pour tout Doncest strictement croissante sur []
2. est strictement croissante donc elle est injective, son ensemble darrive est [ ]donc elleest surjective, par consquentest une bijection de []dans [ ].Comme
est strictement positif, la bijection rciproque de
est drivable.
3. et En fait peu importe la valeur de , lessentiel est de sapercevoir que , commeest une
bijection de ][dans ] [et que ] [, admet un unique antcdant ][cest--dire tel que : .
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7/24/2019 Controle Continu Final Automne 2010 Math i Analyse Correction
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4.
Admet comme racine et donc
5.
Donc
[] 6.
Daprs 5. Comme ][: On en dduit que
Car Pour tout ,est strictement croissante donc, pour tout : On en dduit que est strictement dcroissante.
7. est strictement dcroissante et minore par , converge.8.
La suite est dcroissante donc pour tout , , on en dduit que . Dautre part donc .9. Pour tout , ce qui est le cas puisque [[.
10.Pour tout [[
On en dduit que
11. Il sagit, chaque fois, de forme indtermine, mais cest la fonction puissance qui lemporte sur (et . On rappelle aussi que entraine que
12.Ce qui montre que : vrifie 13.
pour discriminant
()Les solutions sont
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Et
Comme , , on vrifie facilement que , donc