CONTRIBUTION A L’ETUDE DU PONT TRAVERSANT 602

UNIVERSITE D’ANTANANARIVO ECOLE SUPERIEURE POLYTECHNIQUE

E.S.P.A � �

DEPARTEMENT DE GENIE CIVILE FILIERE BATIMENT ET TRAVAUX PUBLICS

Mémoire de fin d’études en vue d’obtention du Diplôme d’Ingénieur

Présenté par:

TELOLAHY Christophe TOTO II Aimé Francis

Date de soutenance : 06 Février 1996

Année de promotion: 1995

CONTRIBUTION A L’ETUDE DU PONT

TRAVERSANT LA MANIA: C.I.P. 602

REMERCIEMENTS …………………………………………………………………………

RÉSUMÉ……………………………………………………………………………………..

GLOSSAIRE………………………………………………………………………………….

INTRODUCTION GENERALE …………………………………………………………… PREMIERE PARTIE:

ANALYSE DE LA SITUATION ACTUELLE

I. ASPECT SOCIO-ECONOMIQUE…………………………………………………………

I.1. INTRODUCTION………………………………………………………………… I.2. ZONE D’INFLUENCE…………………………………………………………… I.2.1. Définition………………………………………………………………... I.2.2. Impacte………………………………………………………………….. I.3. ACTIVITES SOCIALES………………………………………………………….. I.3.1. Démographie…………………………………………………………….. I.3.2. Enseignement et Santé…………………………………………………… I.3.2.1. Enseignement…………………………………………………... I.3.2.2. Santé…………………………………………………………… I.4. ACTIVITES ECONOMIQUES…………………………………………………… I.4.1. L’agriculture……………………………………………………………… I.4.2. Elevage……………………………………………………………………

II. ASPECT TECHNIQUE……………………………………………………………………..

II.1. ÉTUDE DU TRAFIC…………………………………………………………….. II.1.1. Trafic existant……………………………………………………………

II.1.2. Prévision d’évolution du trafic………………………………………….. II.1.2.1. Méthodologie………………………………………………….. II.1.2.2. Prévision……………………………………………………….. II.1.2.2.1. Flux de marchandises………………………………… II.1.2.2.2. Flux de passagers…………………………………….. II.1.2.2.3. Prévision de trafic

III. ANALYSE DE LA SITUATION ACTUELLE……………………………………………. DEUXIÈME PARTIE: ÉTUDE TECHNIQUE PRÉLIMINAIRE

ÉTUDE HYDROLOGIQUE………………………………………………………………….

I. INTRODUCTION…………………………………………………………………………..

I.1. Surface du bassin versant……………………………………………………………..

II. CARACTERISTIQUES GEOMORPHOLOGIQUES DU BASSIN VERSANT………….

II.1. Dénivelée………………………………………………………………………… II.2. Coefficient de forme……………………………………………………………… II.3. Longueur du rectangle équivalent……………………………………………….

TABLE DES MATIERES

II.4. Pente moyenne…………………………………………………………………… II.5. Autre caractéristique du bassin versant…………………………………………..

III. ESTIMATION DU DÉBIT DE CRUE DU PROJET…………………………………

III.1. Estimation de débit de pointe…………………………………………………… III.2. Débit de crue de pointe…………………………………………………………..

IV. COURBE DE TARAGE………………………………………………………………

V. FREQUENCE DE CRUE DU PROJET……………………………………………….

VI. CALAGE DE L’OUVRAGE…………………………………………………………

VI.1. Détermination du débouché linéaire……………………………………………. VI.2 Régularisation de cote…………………………………………………………… TROISIÈME PARTIE:

CONCEPTION ET ÉTUDE DU PROJET

I. CHOIX DU TYPE DE L’OUVRAGE………………………………………………….

II. PREDIMENSIONNEMENT…………………………………………………………..

II.1. HYPOTHÈSE ET PRINCIPE DES CALCULS DE DIMENSIONNEMENT…. II.2. HYPOTHÈSE DE CALCUL…………………………………………………… II.2.1. Béton…………………………………………………………………… II.2.2. Aciers de précontrainte………………………………………………… II.2.3. Armature passive……………………………………………………… II.2.4. Gaines de post tension………………………………………………… II.3. CHOIX DE LA SECTION……………………………………………………… II.4. CALCUL DE LA FORCE DE PRECONTRAINTE REQUISE A LA SECTION.…………………………………………………………………. II.5. SEGMENT DE PASSAGE ET FUSEAU DE PASSAGE………………………. II.6. LE TRACE DU CÂBLE MOYEN ET SCHEMAS DU CABLAGE……………. II.6.1. Généralités sur l’étude des systèmes hyperstatiques ou béton précontrainte hypothèse………………………………………………… II.6.2. Tracée du câble moyen…………………………………………………. II.6.2.1. L’introduction à l’équation de la tracé……………………….. II.6.2.2. Moment d’encastrement de précontrainte……………………. II.6.2.2.1. Travée d’extrémité…………………………………. II.6.2.2.2. Travée centrale……………………………………… II.6.2.2.3. Distribution des moments………………………….. II.6.3. Force de précontrainte et fuseau de passage…………………………… II.6.3.1 Evaluation des résultats obtenus……………………………… II.6.3.2. Force de précontrainte requise à la section critique………….. II.6.3.3. Force de précontrainte requise à la section centrale…………..

III. PREMIERS CALCULS DE VÉRIFICATION………………………………………..

III.1. GENERALITES…………………………………………………………………. III.2. PERTES DE PRECONTRAINTE……………………………………………….. III.2.1 Principe du calcul des pertes de précontrainte………………………….. III.2.2. Pertes de tension à la mise en tension et au moment de l’ancrage……... III.2.2.1. Pertes par frottement…………………………………………..

III.2.2.2. Pertes de tension à l’analyse………………………………….. III.2.3. Pertes élastique instantanée……………………………………………..

A-PREMIER PHASE DE VÉRIFICATION………………………………………………. III.2.4 Pertes de précontrainte différées………………………………………… III.2.4.1. Pertes dues au retrait………………………………………….. III.2.4.2. Pertes dues au fluage et au relaxation des aciers……………...

B- DEUXIÈME PHASE DE VÉRIFICATION DES CONTRAINTE CONFORMÉMENT A ELS-CALCULS DES ARMATURES PASSIVES………………………………………

IV. JUSTIFICATION DES PIECES SOUS SOLLICITATION NORMALES CALCULS DES ARMATURES PASSIVES (ELU)…………………………………..

IV.1. GENERALITES…………………………………………………………………. IV.2. CALCULS DES ARMATURES PASSIVES………………………………….. IV.2.1. Exposé de la méthode………………………………………………… IV.2.2. Comportement des matériaux et hypothèses de calcul……………….. IV.3. CALCUL DES ARMATURES………………………………………………… IV.3.1. Section So…………………………………………………………….. IV.3.2. Section S4…………………………………………………………….. IV.3.2.1 Résistance ultime en flexion…………………………………

V. JUSTIFICATION DES ELEMENTS D’UNE POUTRE VIS-A-VIS DES SOLLICITATION TANGENTES………………………………………………

V.1. GENERALITES………………………………………………………………… V.2. EFFORT TRANCHANT DE PRECONTRAINTE…………………………….. V.3. RÉSISTANCE ULTIME MINIMALE…………………………………………. V.4. ARMATURE TRANSVERSALE MINIMALE………………………………... V.5. VÉRIFICATION DE L’ÉPAISSEUR DE L’AME……………………………... V.5.1. Détermination de la section critique à considérer……………………… V.5.2. Calcul de contrainte de cisaillement admissible……………………….. V.6. CALCUL DES ARMATURES TRANSVERSALES……………………………

VI. CALCUL DE LA DALLE…………………………………………………………….

VI.1. COEFFICIENT DE MAJORATION DYNAMIQUE………………………….. VI.2. MOMENTS FLECHISSANTS…………………………………………………. VI.2.1. Moments fléchissant dus à la charge permanente…………………….. VI.2.2. Moments fléchissant dus aux surcharges Bpc………………………… VI.3. EFFORT TRANCHANT……………………………………………………….. VI.3.1. Efforts tranchants dus à la charge permanente………………………… VI.3.2. Efforts tranchants dus aux surcharges…………………………………. VI.3.3. Efforts tranchants résultants…………………………………………… VI.4. FERRAILLAGE DE LA DALLE……………………………………………….. VI.4.1. Caractéristiques des matériaux………………………………………… VI.4.1.1. Béton…………………………………………………………. VI.4.1.2. Aciers………………………………………………………… VI.4.2. Sollicitation à l’ELS…………………………………………………… VI.4.3. Dimensionnement de l’armature à l’ELS……………………………… VI.4.3.1. En travée……………………………………………………... VI.4.3.1.1. Moment résistant réduit……………………………. VI.4.3.1.2. Nécessité d’acier comprimés……………………….

VI.4.3.1.3. Calcul des aciers tendu…………………………….. VI.4.3.2. Aciers sur appuis…………………………………………….. VI.4.3.2.1. Moment résistant…………………………………… VI.4.3.2.2. Nécessité d’acier comprimé………………………… VI.4.3.3. Sections minimales d’armature………………………………. VI.4.3.4. Choix des aciers……………………………………………… VI.4.4. Effort tranchant………………………………………………………. VI.4.4.1 Sollicitation ultime…………………………………………… VI.4.4.2. Vérification…………………………………………………... VI.4.5. Arrêt des barres………………………………………………………… VI.4.6. Poinçonnement………………………………………………………… VI.5. VÉRIFICATION DE L’ENCORBELLEMENT DU TROTTOIR……………… VI.5.1. Calcul de moment d’encastrement sur AB……………………………. VI.5.1.1. Charge permanente………………………………………….. VI.5.1.2. Surcharge : roue de 3 tonnes………………………………… VI.5.2. Calcul des armatures supérieures………………………………………

VII. CALCUL DE L’ENTRETOISE

VII.1 CALCUL DES LIGNES D’INFLUENCE DES MOMENTS FLECHISSANTS ET EFFORTS TRANCHANTS DANS L’ENTRETOISE……………………… VII.1.1. Lignes d’influences des moments fléchissants aux appuis…………… VII.1.2 Lignes d’influence des moments fléchissants dans la section médiane.. VII.1.3. Calcul de moment maximum dans la travée………………………….. VII.1.4. Fonction d’influence à considérer…………………………………….. VII.1.5. Calcul de moment fléchissant dû à la roue isolée…………………….. VII.1.6. Moment fléchissant dû à la charge permanente uniforme unitaire…… VII.1.7. Comparaison d’effet de surcharge Bpc et Br sur diaphragme…………. VII.2. EFFORT TRANCHANT……………………………………………………….. VII.2.1. Fonction de l’influence de l’effort tranchant………………………….. VII.2.1.1. Cas de surcharge Bpc (valeur maximale)…………………….. VII.2.1.2. Valeur maximale de l’effort tranchant dû à la surcharge Bpc... VII.2.1.3. Effort tranchant dû à Br……………………………………… VII.2.1.4. Effort tranchant dû aux charges permanentes uniformes supposés unitaires…………………………………………… VII.3. CALCUL DE G………………………………………………………………… VII.4. FERRAILLAGE DE L’ENTRETOISE………………………………………… VII.4.1. Caractéristiques des matériaux………………………………………... VII.4.1.1. Béton………………………………………………………… VII.4.1.2. Acier…………………………………………………………. VII.4.2. Sollicitation à ELS…………………………………………………….. VII.4.3. Dimensionnement de l’entretoise longitudinale à l’ELU……………… VII.4.4. Calculs des armatures transversales…………………………………… VII.4.4.1. Effort tranchant……………………………………………… VII.4.1.2. Vérification du béton………………………………………… VII.4.1.3. Armature d’âme………………………………………………

VIII. CALCUL DE L’ANCRAGE…………………………………………………… …….

VIII.1. DIMENSIONNEMENT DE LA PLAQUE D’APPUI…………………………. VIII.2. CALCUL DU MOMENT D’ÉQUILIBRAGE MAXIMAL………… ………… VIII.3. DIFFUSION HORIZONTALE…………………………………………………

8.3.1 Explication du phénomène……………………………………………….. VIII.4. CALCUL DE LA LONGUEUR DU CÂBLE………………………………….

IX. CALCUL DE LA FONDATION………………………………………………………

IX.1. DESCENTE DES CHARGES…………………………………………………… IX.1.1. Calcul de l’enveloppe de réaction de chaque appui……………………. IX.1.1.1. Réaction due aux charges permanentes……………………… IX.1.1.2. Calcul de charge permanente par mètre linéaire…………….. IX.1.1.3. Enveloppe de réaction due à la surcharge…………………… IX.1.2. Ri due au piéton………………………………………………………... IX.1.2.1. Détermination de la valeur minimale et maximale de réaction due à la surcharge………………………………… IX.2. PREDIMENSIONNEMENT DE L’INFRASTRUCTURE……………………… IX.2.1. Prédimensionnement du chevêtre………………………………………. IX.2.2. Etude de pile…………………………………………………………….

X. MATÉRIAUX DE CONSTRUCTION - MODE D’EXÉCUTION DE L’OUVRAGE…………………………………………………………………………...

X.1 MATÉRIAUX DE CONSTRUCTION……………………………………………. X.1.1. Armature en acier pour béton armé…………………………………….. X.1.2. Armatures et procédés de précontrainte………………………………… X.1.3. Coulis d’infection………………………………………………………. X.1.3.1. Nature………………………………………………………… X.1.3.2. Composition………………………………………………….. X.1.4. Sables pour mortiers et béton…………………………………………… X.1.5. Gravillons pour béton………………………………………………….. X.1.6. Ciment pour mortiers et bétons………………………………………… X.1.7. Eau de gâchage………………………………………………………… X.1.8. Bois d’étaiement et de coffrage………………………………………… X.1.9. Gargouilles……………………………………………………………… X.1.10. Garde-corps…………………………………………………………… X.1.11. Joints de chaussée…………………………………………………….. X.1.12. Appareils d’appui…………………………………………………….. X.2. MODE D’EXÉCUTION………………………………………………………… X.2.1. Implantation de l’ouvrage……………………………………………… X.2.2. Etude de procédés de mise en tension après durcissement (post-tension)…………………………………………………………… X.3. INSTALLATION DES APPAREILS……………………………………………. X.4. CONSTRUCTION DES COFFRAGE, ECHAFFAUDAGES ET CINTRE…….. X.5. MISE EN ŒUVRE DES ARMATURES POUR BÉTON ARME………………. X.6. MISE EN ŒUVRE DES ARMATURES DE PRECONTRAINTE……………… X.7. MISE EN ŒUVRE DES BÉTON………………………………………………… X.8. MISE EN TENSION DES ARMATURES………………………………………. X.9. INJECTION DES GAINES DE PRECONTRAINTE…………………………… X.10. APPAREIL D’APPUI…………………………………………………………... X.11. GARGOUILLES………………………………………………………………… X.12. COUCHE D’USURE DU TABLIER X.13. COUCHE DE ROULEMENT DE L’OUVRAGE CONCLUSION GENERALE ……………………………………………………………..

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES ………………………………………………

ANNEXES

1. Campagne de comptages routiers………………………………………………….. 2. Plan de situation de carrières………………………………………………………. 3. Débit de crue et cartes pluviométriques…………………………………………… 4. Dosage approximatif en béton pour les superstructures, piliers culées…………… 5. Détermination des efforts dans les poutres principales…………………………… 6. Contraintes admissibles dans le béton…………………………………………….. 7. Valeurs approximatives du paramètre (m) utilisées pour les calculs

préliminaires……………………………………………………………………… 8. Contrainte maximale dans l’acier de précontrainte selon la référence[2]…………. 9. Fils et torons de précontrainte (adaptés de la référence [13])……………………… 10. Perte de précontrainte……………………………………………………………..

10.1. Valeurs des coefficients k et µ………………………………………….. 10.2. Perte de précontrainte - forces de précontrainte…………………………

11. Abaques pour les calculs rectangulaires articulés sur les contours………………. 12. Résistance ultime en flexion (principe de calculs)……………………………….. 12.1. Contraintes dans des précontraintes à la rupture de la poutre (méthode empirique)……………………………………………………. 12.2. Indice de l’armature……………………………………………………... 12.3. Calcul des contraintes dans la précontraintes à la rupture de la poutre

(méthode de la compatibilité)…………………………………………… 13. Valeurs des coefficients αE Φ…………………………………………………….. 14. Résistance à l’effort tranchant……………………………………………………..

Remerciements

Nous aimerons d’abord rendre grâce à notre Dieu, Jéhovah le Tout Puissant, pour la réalisation

de ce mémoire, comme il a été dit : « Je peux faire face à toutes ces situations, grâce au Christ qui me

fortifie » Phil 314

C’est avec infime reconnaissance et avec très grand plaisir que nous adressons nos plus vifs

remerciements à Monsieur José Denis RAKOTOVAO, Directeur de l’Ecole Supérieure Polytechnique

d’Antananarivo, qui a assumé sa responsabilité dans le bon fonctionnement des enseignants au sein de

l’Ecole.

Notre profonde gratitude s’adresse également à MONSIEUR Moïse RALAIARISON, Chef de

Département Génie Civil à l’Ecole Supérieure Polytechnique d’Antananarivo, qui a si bien orienté ce

Département dans la vie requise par notre pays.

Ce projet n’aurait pu être élaboré sans le bienveillant encadrement de Monsieur Solofo

RAJOELINANTENAINA, Professeur module Ponts à l’Ecole, et de tous les Enseignants de l’Ecole. Nous

tenons à leur exprimer notre respectueuse différence.

Nos remerciements s’adressent également :

• Aux membres de la commission d’examen qui ont bien voulu léser leur travail habituel pour juger

ce travail ;

• Au service des ouvrages d’Art, Ministère des travaux Publics, pour leur précieuse assistance ;

• A mes parents qui nous ont chaleureusement soutenues, moralement et financièrement, dans la

réalisation de ce mémoire ;

• A nos frères, sœurs et toutes nos familles, qui nous ont cordialement encouragés au fil de ces

années d’études ;

• A nos collègues, élèves ingénieurs adventistes qui ont toujours imploré le Seigneur en notre

faveur, pour la bonne finalité de Dieu.

Enfin, des remerciements spéciaux à tous ceux qui, de près ou de loin, ont contribué à la réalisation

de ce mémoire.

«Le commencement de la sagesse, c’est la crainte de l’Eternel, et la science des saints l’intelligence»

(Proverbes 9:10)

«Chercher premièrement le royaume et la justice de Dieu; et toutes ces choses vous seront données par-dessus»

(Matthieu 6:33)

«Recommande à l’Eternel tes oeuvres, et tes projets réussiront» (Proverbes 16:3)

RESUME

Le développement économique d’une région est tributaire de l’existence de voies de

communication. A Madagascar, les routes tiennent une grande place dans les communications

entre les villes et il ne faut pas sous-estimer la place que tiennent les différents ouvrages sur

elles dont l’inexistence engendre l’isolement d’une région par rapport à l’autre.

Le C.I.P 602 reliant SOAVINA à AMBATOMIFANONGOA n’échappe pas à cette

règle. En effet, l’inexistence du pont traversant la rivière MANIA et, à la suite de l’étude

préliminaire de Messieurs Fanilo ANDRIAMALALA et Jean Marcel RAKOTO, nous avons

pris le thème du présent mémoire sur la « Contribution à l’étude du projet du pont traversant

sur la MANIA : C.I.P. 602 »

Par la mise en évidence de la situation actuelle de la zone d’influence de la route, nous

avons pu remarquer les desservations suivantes:

- La population est à majorité rurale ;

- Le transport routier tient une grande place dans l’activité économique et sociale de la

population ;

- L’inexistence de l’ouvrage sur le lieu a causé des problèmes sur la vie sociale de la

population. Nous pouvons pas dissocier les aspects socio-économiques de ceux

purement techniques. Leurs imbrications et leurs impacts sont interdépendants et

profonds sur la réalisation du futur ouvrage. A ce propos, il est donc convenu que pour

le futur ouvrage, on doit tenir compte des réalités suivantes :

. bref délai d’exécution ;

. ce pont doit répondre aux exigences techniques du milieu ;

. il doit satisfaire aux besoins économiques de la région.

La proposition de plusieurs variantes nous a conduit à retenir comme solution le pont en

béton précontraint à trois (3) travées continues ayant une longueur totale de 125,65cm, soit

des travées de nive de 37,825m et une travée centrale de 50m et à simple voie.

Signalons que pour avoir des comparaisons d’étude, nous tenons compte de quelques

hypothèses que Messieurs ANDRIAMALALA et RAKOTO ont prises telles que les

surcharges possibles, Bpc, sur le tablier.

Malgré la non obtention des documents en normes euro - international qui sont limités à Madagascar, nous avons adopté la méthode de calcul suivant les états limités avec la norme exposée par le BUREAU DE NORMALISATION DU QUEBEC. Comme dans les systèmes hyperstatiques, le calcul des champs et de la précontrainte est

plus difficile. En plus, l’application des normes canadiennes est rarement utilisée à

Madagascar. Nous nous sommes efforcés à présenter l’étude des poutres principales avec

une grande clarté, n’hésitant pas à inclure des détails qui peuvent paraître superflus aux

praticiens qui connaissent bien ce matériau.

De plus, nous essayons de définir les qualités des matériaux utilisés et ses modes de

réalisation dans la superstructure.

Comme le temps qui nous a été imparti n’était pas assez large pour élaborer un projet

complet d’ouvrage d’art et, en plus, l’insuffisance des données géotechniques nous traitons

brièvement l’étude des infrastructures (plis, culées, fondations,…) nous a obligé à laisser à

part les qualités des matériaux utilisés. Il en est de même pour les remblais d’accès ainsi

que les modes de réalisation.

Pour pouvoir apporter une participation à sa réalisation nous avons établis les deux

dossiers de l’Avant-projet détaillé que vous voudriez bien trouver à la fin de cette étude : le

dossier de l’avant mettrai d’une part et celui du devis estimatif d’autre part.

A la fin de cet ouvrage, nous retrouvons une liste des principaux symboles utilisés de

même qu’une liste bibliographique.

Nous espérons qu’ à la fin de cette étude, cet ouvrage sera considéré comme un outil de

travail pour ceux qui s’intéressent au domaine d’application du béton précontraint.

1. LISTE DES PRINCIPAUX SYMBOLES-CARACTERS ROMAINS

Aa aire de la section transversale d’une pièce-hauteur du diagramme rectangulaire des

contraintes compression

A/P rapport entre l’aire et le périmètre d’une section

Ag aire de la section d’une gaine de diamètre (D)

Ah aire de la section homogène d’une pièce

An aire de la section nette d’une pièce

Aps aire de la section nette des contraintes de précontrainte

As aire de la section des armatures tendues

A' s aire de la section des armatures passives comprimées

At aire de la section d’un brin d’armature transversale

Av somme des aires des sections de chaque brin d’armature transversale

b largeur de l’aile supérieure d’une poutre

bn épaisseur nette d’une âme

bv épaisseur de l’âme comprise à l’intérieur d’une armature transversale

bw épaisseur brute d’une âme

c distance entre l’axe neutre et les fibres extrêmes comprimées

C'u force de compression dans l’armature ayant une aire de la section d’un brin lors de la

rupture en flexion d’une pièce

c/dp profondeur relative de l’axe neutre à la rupture

cf coefficient de fluage à un temps (t) quelconque après le début de fluage

Ci effort de compression en général

Cu force de compression dans le béton lors de la rupture en flexion d’une pièce

D diamètre d’une gaine

d hauteur utile de la section

d' distance entre le centre de gravité de l’acier de précontrainte et de la fibre extrême la

plus proche

d's distance entre le centre de gravité des armatures passives comprimées et des fibres

extrêmes comprimées

GLOSSAIRE

dp distance entre le centre de gravité des armatures précontrainte et des fibres extrêmes

comprimées

ds distance entre le centre de gravité des armatures passives comprimées tendues et des

fibres extrêmes comprimées

e excentricité réelle de la force de précontrainte à une section quelconque par rapport au

centre de gravité de cette section

E/C composition relative de l’eau par rapport au ciment

ec excentricité du centre de pression à une section quelconque par rapport au centre de

gravité de cette section

Ec module d’élasticité du béton correspondant à la résistance nominale des bétons à la

compression à 28 jours

Eco module d’élasticité du béton lors de la mise en précontrainte d’une pièce

correspondant à la résistance en compression du béton lors de la mise en précontrainte

de cette pièce

ee excentricité de la force de précontrainte aux extrémités d’une pièce

EI rigidité flexionnelle en général

elim excentricité limite de la force de précontrainte à la section critique

emax valeur maximale de l’excentricité réelle de la force de précontrainte (généralement à la

section où le moment fléchissant négatif est plus grand, en valeur absolue)

emin valeur minimale de l’excentricité réelle de la force de précontrainte (généralement près

de la section où le moment fléchissant positif est le plus grand)

Eps module d’élasticité de l’armature de précontrainte

Es module d’armature passive

F force concentrée équivalente à la précontrainte

f' c résistance nominale des bétons à la compression à 28 jours

f' co résistance en compression du béton lors de la mise en précontrainte d’une pièce

fcj résistance du béton à la compression à un temps (t) quelconque après la mise en place

fcs contrainte de compression dans l’armature ayant une aire de la section d’un brin lors

de la rupture en flexion d’une pièce

f(t) fonction temps pour le fluage

fpe contrainte dans l’armature de la précontrainte correspondant à la force de précontrainte

effective

fpt contrainte dans l’acier de précontrainte lors de la mise en tension des aciers, avant les

pertes élastiques

fpo contrainte dans l’acier de précontrainte lors de la mise en précontrainte du béton après

les pertes élastiques

fps contrainte dans l’acier de précontrainte lors de la rupture en flexion d’une pièce

fpu contrainte de rupture de l’acier de précontrainte

fpy limite élastique de l’armature de précontrainte

fr module de rupture du béton en traction

fr(t) fonction temps pour le retrait du béton

Ft force de traction totale dans le béton

fy limite élastique de l’armature passive longitudinale

fyt limite élastique de l’armature passive transversale

g rentrée ou glissement d’ancrage

h hauteur de la section

ho épaisseur de la dalle

I moment d’inertie de la section brute

I r indice d’une poutre ayant un comportement de poutre rectangulaire lors de la rupture

en flexion

I t indice d’armature d’une poutre ayant un comportement de poutre en T lors de la

rupture en flexion

j bras de levier interne

K' j distance entre le centre de gravité de la section et le sommet inférieur du noyau limite

K' s distance entre le centre de gravité de la section et le sommet supérieur du noyau limite

K1, K2, K3 paramètres adimensionnels utilisés pour le calcul du moment d’encastrement

de précontrainte

Ka coefficient correctif utilisé pour le fluage du béton en tenant compte de l’âge du béton

lors de sa mise en précontrainte

K f coefficient correctif utilisé pour le retrait et le fluage du béton en tenant compte de la

forme d’une pièce

K fh coefficient correctif utilisé pour le fluage du béton en tenant compte de l’humidité

K i distance entre le centre de gravité de la section et le sommet inférieur du noyau

K r coefficient correctif utilisé pour le retrait du béton en tenant compte des armatures

K s distance entre le centre de gravité de la section et le sommet supérieur du noyau

central

K sh coefficient correctif utilisé pour le retrait du béton en tenant compte de l’humidité

L longueur d’une poutre ou d’une travée mesurée par rapport au centre des appuis

L/h rapport d’élancement d’une travée (entre la portée et la hauteur de la section)

L g longueur sur laquelle s’étend l’effet de la rentrée de l’ancrage

m coefficient de l’efficacité de la précontrainte

M moment en général

M moment fléchissant en général

M cr moment de flexion qui cause la fissuration de la section

Mde moment de flexion qui cause la décompression des fibres extrêmes

M f moment fléchissant à une section quelconque, dû aux charges pondérées

Mh composante hyperstatique du moment total de précontrainte

Mp moment total de précontrainte

M s moment fléchissant à une section quelconque dû à la charge permanente

supplémentaire et à la surcharge (charge d’utilisation excluant le poids propre)

M t moment fléchissant total dû aux charges d’utilisation

Mu résistance ultime en flexion d’une section

Mumin résistance ultime minimale en flexion que doit avoir une section

Mup composante de la résistance ultime en flexion qui est due aux armatures de

précontrainte

Mus composante de la résistance ultime en flexion qui est due aux armatures passives

tendues

n coefficient d’équivalence acier-béton

N nombres de câbles mis en tension successivement

P force de précontrainte effective

P poids propre d’une pièce exprimé en kilo newton par mètre

Po force de précontrainte à la mise en précontrainte du béton après la perte élastique

instantanée

Pt force de précontrainte à un temps t quelconque après la mise en précontrainte du béton

r rapport d’armature utilisé pour le calcul du coefficient correctif pour le retrait du béton

en tenant compte des armatures

r rayon de courbure du tracé du câble

s espacement longitudinal des armatures transversales

Si module de section élastique relatif aux fibres inférieures

Ss module de section élastique relatif aux fibres supérieures

T force de traction interne agissant sur la section sous les charges du service

t temps en général

T1 force de traction appliquée à l’acier de précontrainte à la section de vérinage

to temps de référence pour le calcul des pertes de précontrainte différées (valeur positive

pour le retrait ; instant initial le fluage)

Tx force de traction appliquée à l’acier de précontrainte à une section quelconque située à

une distance de la section de vérinage

V effort tranchant en général

V flèche verticale à une section quelconque d’une poutre

V/S rapport entre le volume et la surface d’une pièce

Vc contribution du béton à la résistance à l’effort tranchant

Vf effort tranchant à une section quelconque de l’état limite ultime

Vn effort tranchant net

Vp effort tranchant de précontrainte correspondant au moment total de précontrainte

Vs contribution des armatures transversales à la résistance à l’effort tranchant

Vu résistance ultime à l’effort tranchant d’une section

Vumin résistance ultime à l’effort tranchant que doit avoir une section

w masse volumique du béton

wp charge uniforme équivalent à la précontrainte

x axe longitudinal d’une pièce (ou fibre moyenne)

y un des axes d’une section (axe vertical dont l’origine est le centre de gravité de la

section)

yi distance entre le centre de gravité d’une section et des fibres inférieures

ys distance entre le centre de gravité d’une section et des fibres supérieures

z un des axes d’une section (axe horizontal autour duquel la flexion est en général

repérée)

zb distance entre le centre de gravité d’une section dont l’aire nette est connue et l’aire

d’une autre dont l’aire des armatures de précontrainte est connue

2. LISTE DES PRINCIPAUX SYMBOLES- CARACTERES GRECS

α angle que fait la tangente ay câble avec l’axe longitudinal d’une pièce, à une section

quelconque

α coefficient de frottement pour le calcul des pertes de précontraintes dues à la courbure

du câble

αe coefficient d’expertise

µrb moment résistant

µser moment de service

β indice de sécurité

β périmètre adimensionnel utilisé pour définir le trace d’un câble moyen

β1, β2 même définition que ci-dessus

βL paramètre définissant la hauteur du diagramme rectangulaire des contraintes de

compression relativement à l’axe neutre

δ coefficient de majoration dynamique

∆ flèche en général

∆α déviation angulaire entre une section de vérinage et une section quelconque situé à une

certaine distance de la section de vérinage

∆pe perte de précontrainte due aux déformations élastiques instantanées du béton

∆pf perte de précontrainte due au fluage du béton

∆pra perte de précontrainte due à la relaxation de l’acier

∆prb perte de précontrainte due au retrait du béton

∆Ti perte de tension à la section de vérinage due à la rentrée d’ancrage

ε déformation unitaire (allongement ou raccourcissement unitaire)

εf raccourcissement unitaire dû au fluage du béton; valeur de référence ou fluage final

spécifique

εft raccourcissement unitaire dû au fluage du béton à un temps (t) quelconque

εpe déformation unitaire de l’armature de précontrainte correspondant à la contrainte dans

l’armature de la précontrainte correspondant à la force de précontrainte effective

εps déformation unitaire de l’armature de précontrainte à la rupture d’une pièce

correspondant à la contrainte dans l’acier de précontrainte lors de la rupture en flexion

d’une pièce

εpu déformation unitaire de l’armature de précontrainte correspondant à la contrainte de

rupture de l’acier précontrainte

εpy déformation unitaire de l’acier de précontrainte correspondant à la limite élastique de

l’armature de précontrainte

εr retrait final du béton (valeur de référence)

εrE déformation unitaire due au retrait du béton à un temps (t) quelconque après le début

du retrait

εs déformation unitaire de l’armature passive tendue

ε's déformation unitaire de l’armature passive comprimé

εy déformation unitaire de l’armature passive correspondant à la limite élastique

Φ coefficient de tenue

γ paramètre adimensionnel utilisé pour définir l’excentricité effective

γb coefficient de fiabilité pour le béton

γs coefficient de fiabilité pour l’acier

η coefficient de scellement

ν coefficient de poisson du béton

θ angle d’inclinaison des fissures ou des bielles comprimées

θ notation à une section quelconque d’une poutre

σ contrainte normale en général

σbu contrainte dans le béton au niveau du centre de gravité de l’acier de précontrainte

σc contrainte de compression admissible en service

σg contrainte de compression au centre de gravité d’une section sur une charge

d’utilisation

σi contrainte dans les fibres inférieures d’une section

σoc contrainte de compression admissible lors de la mise en précontrainte du béton

σog contrainte de compression au centre de gravité d’une section lors de la mise en

précontrainte

σot contrainte de la traction admissible lors de la mise en précontrainte du béton

σs contrainte dans les fibres supérieures d’une section

sσ contrainte admissible de l’acier ordinaire

σt contrainte de traction admissible en service

τ contrainte de cisaillement en général

τcl contrainte de cisaillement qui définit la contribution du béton à la résistance à l’effort

tranchant dans le cas où la rupture est due à une combinaison flexion-effort

τc2 contrainte de cisaillement qui définit la contribution du béton à la résistance à l’effort

tranchant dans le cas où la rupture est due principalement à l’effort tranchant

τo contrainte de cisaillement admissible

τor contrainte de cisaillement qui produit la fissuration oblique d’une pièce

ω pourcentage mécanique d’armature passive tendue

ω' pourcentage mécanique d’armature passive comprimée

ωr pourcentage mécanique d’armature passive de précontrainte

3. LISTE DES PRINCIPAUX SYMBOLES - CARACTERES SPÉCIAUX

≈ approximativement égal à

≠ différent de

⇔⇔⇔⇔ équivalent à

⇒⇒⇒⇒ implique

≤≤≤≤ inférieur ou égal

≥≥≥≥ supérieur ou égal

>>>><<<< comparé à

∼∼∼∼ approximativement égal à

valeur absolue

Argch argument cosinus hyperbolique

Argsh argument sinus hyperbolique

ch cosinus hyperbolique

cos cosinus

cotg cotangente

e exponentielle

Log logarithme népérien

sh sinus hyperbolique

sin sinus

tg tangente

Note : Les notations utilisées dans la partie relative au béton armé sont celles utilisées dans la

règle « Béton armé à l’état limite » 91

4. LISTE DES PRINCIPAUX SYMBOLES-UNITES DE MESURE

‰ pour mille

% pour cent

° degré

°C degré centigrade

cm centimètre

daN déca newton

h heure

jrs jours

Kg kilogramme

Km kilometre

KN kilo Newton

KPa kilopascal

m mètre

ml mètre linéaire

mm millimètre

MN méga newton

mn minute

MPa méga pascal

N Newton

Pa Pascal

rd radian

s seconde

t tonne

5. LISTE DES ABREVIATIONS

§ paragraphe

AFNOR Association Française de NORmalisation

BA béton armé

BAEL béton armé à l’état limite

BCEOM Bureau Central d’Etudes pour les équipements d’Ouest - Mer

BP béton précontraint

BPEL béton précontraint à l’état limite

CCTG cahier de clause technique générale

CEBTP Centre Expérimental de Recherche et d’Etude du Bâtiment et des Travaux

Publics

cf conférer

CMD coefficient de majoration dynamique

CPC cahier de prescription commune

CRT coefficient de répartition transversale

CSP côte sous poutre

Cste constante

CIP chemin d’intérêt provincial

ELS état limite de service

ELU état limite ultime

etc et la suite

fig. figure

ie c'est-à-dire

LA Los Angeles

LI ligne d’influence

LNTPB Laboratoire National des Travaux Publics et du Bâtiment

NB nota benne

NF norme française

OK vérifié

PHE plus hautes eaux

PHEC plus hautes eaux connues

tab tableau

Conception et étude du projet

1

Le présent mémoire concerne un projet infrastructurel dans le domaine des

Travaux Publics. Il s’intitule " CONTRIBUTION A L'ETUDE DU PROJET DU

PONT TRAVERSANT LA MANIA: C.I.P. 602"

C'est une étude de construction d'un pont joignant le village

d'AMBONDROMISAOTRA I.

Ce pont est destiné à remplacer le bac utilisé pour la traversée de la rivière.

La construction de ce pont facilitera les échanges régionaux en matières de commerce. Elle permet l'acheminement des matières ou des produits des zones d'extraction ou de production vers les zones de consommation.

En revenant à notre thème d'étude, nous voulons apporter comme contribution

une participation éventuelle à la réalisation de futur ouvrage sur la rivière de MANIA,

en fournissant les deux dossiers de l'avant–projet - détaillé, avant–projet et devis

estimatif. Ainsi, ce projet a deux objectifs principaux:

- en premier lieu, il essai de trouver une solution économique et le critère

social,

- puis, le recueil des notes de calcul est entamé afin d'établir les devis

qualitatifs et estimatifs du projet à réaliser.

Le travail se divise en trois (03) parties

1- Analyse de la situation actuelle

2- Etude technique préliminaire

3- Conception et étude du projet

INTRODUCTION GENERALE


2

I ASPECT SOCIO-ECONOMIQUE I.1. INTRODUCTION

Notre projet concerne l'étude de l'ouvrage de franchissement la rivière MANIA situé sur la partie extrême nord-est du Fivondronam-ponkotany d'AMBATOFINANDRAHANA dans le Faritany de FIANARANTSOA. La réalisation du pont est particulièrement importante du fait que celle-ci assure la liaison de deux Firaisam-ponkotany d'AMBONDROMISOTRA et d'AMBATOMIFANONGOA. Actuellement, un bac appartenant à la mission catholique assure la traversée de la rivière MANIA qui a une largeur de quatre vingt dix (90) mètres environ. La recherche et la conception du type de l'ouvrage qui serait techniquement et financièrement avantageux, nous ont conduits à exécuter en premier lieu une étude préliminaire permettant d'évaluer les paramètres socio-économiques qui intéressaient le projet. I.2. ZONE D'INFLUENCE

1.2.1. Définition

Nous définissons la zone d'influence comme étant l'ensemble des subdivisions administratives qui reçoivent directement ou indirectement des avantages économiques et sociales appréciables après la construction du pont. En effet, une région qui s'est trouvée en dehors de la zone peut se trouver incluse dans celle-ci après les travaux.

I.2.2. Impact

Chaque semaine, environ 1000 personnes empruntent le bac pour passer d'une rive à l'autre. Des véhicules de charge totale inférieure à trois tonnes (3t) sont également transportés. L'existence d'un pont instaurera une circulation permanente et totale de sécurité qui favorisera les échanges entre les deux Firaisam-ponkotany d'AMBONDROMISOTRA et d'AMBATOMIFANONGOA; De plus, il ouvre un nouvel accès pour les véhicules venant de la partie Nord-Ouest de FIANARANTSOA et qui se rendre à ANTSIRABE et ses environs sans passer par IVATO.

I.3. ACTIVITES SOCIALES

I.3.1. Démographie

La population actuelle des deux Firaisam-ponkotany composant la zone d'influence est de nombre de 35 859 âmes (source: bureaux des Firaisam-ponkotany d'AMBONDROMISOTRA et d'AMBATOMIFANONGOA). La réussite de la projection démographique en appliquant la formule du module de

croissance expotentionnelle définie par:

P(t) = Po (1+α)∆t

Avec α: un taux de croissance annuel Po: nombre de population de l'année de référence ∆t: T-To Le taux de croissance α doit être déterminé à partir des études statistiques des données passées concernant la région étudiée.


3

Cependant, à défaut de la disposition de ces données, nous avons adopté comme valeur de α le taux de croissance moyen à l'échelle nationale égale à 27‰. Les résultats de la prévision sont résumés dans le tableau ci-après en considérant l'année 1994 comme référence.

Tableau I.1: Projection de la population dans la zone d'influence

1994 1995 2000 2005 2010 2015 2020 Nombre d'habitants dans la zone d'influence 35 859 36 827 40 969 46 806 53 415 61 095 69 801

La population dans la zone d'influence du projet doublera dans 20 ans. L'importance de la population actuelle et pour les années à venir nécessite toujours une augmentation des échanges et des circulations de population et de marchandises, selon les besoins des habitants. Cela favorise en plus grand nombre de déplacement dans la zone d'influence et entraîne une élévation du tonnage empruntent l'ouvrage. Tout cela justifie donc la nécessité du projet pour le développement régional et même national.

I.3.2. Enseignement et Santé

I.3.2.1. Enseignement

La région du projet possède divers établissements d'enseignements qui se répartissent comme suit:

- Etablissement public: AMBOMDROMISOTRA 9 : AMBATOMIFANONGOA 14 - Etablissement privé : AMBOMDROMISOTRA 9 : AMBATOMIFANONGOA 5

I.3.2.2. Santé

En ce qui concerne la santé, les deux Firaisam-ponkotany sont dotés chacun d'un poste sanitaire assurant des soins ne nécessitant pas une hospitalisation ou une intervention chirurgicale. Pour ces deux derniers cas, il faut rejoindre l'hôpital médico- chirurgical d'AMBATOFINANDRAHANA. Quant aux médicaments, ils sont disponibles dans des dépôts agrées.

I.4. ACTIVITES ECONOMIQUES

L'agriculture et l'élevage constituent les principales activités économiques de la zone d'influence du projet à part l'artisanat, le commerce, la pêche et le transport. Ceci peut d'expliquer par la forte proportion paysanne de la population.

I.4.1. L'agriculture

La culture du riz demeure prépondérante. Il y a plusieurs technologies pour cette culture: culture d'irrigation, culture en marais, culture itinérante sur brûlis. Pour les cultures vivrières tel que le riz, le manioc, le haricot, l'arachide, le tomate, les choux et les légumes feuillés. Le tableau I.2 montre la surface cultivée et le rendement moyen.


4

Tableau I.2

Produit Surface Cultivée (ha) Rendement Moyen (t/ha) Riz 1 150 2,50 Mais 650 3,25 Manioc 410 2,50 Haricot 85 1,00 Arachide 165 1,00 Tomate 61,5 1,40 Choux 25,35 28 Légumes feuillés 12 15,00

Source: Opération de Développement rural de SOAVINA

I.4.2. Elevage

L'élevage est important dans la zone étudiée. Selon la référence[25], les principales espèces élevées par la population sont le zébu, le porc, la volaille et l'ovin. Comme la prévision de la situation future, nous adoptons le modèle démographique: P(t) = Po (1+α) ∆t L'année 1995 sera prise comme année de référence.

Le calcul du taux de croissance indique: A: le nombre total de tête à l'instant ta B: le nombre total de tête à l'instant tb L'accroissement est ∆ = B-A Or ∆α = B-A

D'où ΑΑ−Β=α

Tableau I.3

Espèce 1982 1994 ∆∆∆∆ αααα (%) (12 ans) αααα (%) (1 ans)

Bovine 9 800 12 000 22 000 22,45 1,87 Porcine 470 3 000 2 530 538,30 44,86 Volaille 13 000 26 000 13 000 100,00 8,33

Tableau I.4

Espèce 1994 1995 2000 2005 2010 2015 2020 Bovine 12 000 12 224 13 410 14 712 16 140 17 707 19 425 Porcine 3 000 4 320 18 575 115 013 712 129 4 409 315 27 301 314 Volaille 26 000 28 166 38 790 57 871 86 338 128 810 192 173

II. ASPECT TECHNIQUE

II.1. ETUDE DU TRAFIC L'étude du trafic s'avère indispensable. Elle se divise en deux parties:

- l'étude du trafic existant qui est composé du passé et du présent - la prévision du trafic futur jusqu'à l'horizon de projection.


5

II.1.1. Trafic existant

La campagne de comptage de juin -juillet 1994, effectuée par subdivision des Travaux Publics d'AMBOSITRA, nous a permis de recueillir les renseignements y afférents.

Environ une soixantaine de véhicules par jour, y compris les bicyclettes ainsi que les charrettes, empruntent cette route. Les détails sont donnés en annexe II.

II.1.2. Prévision d'évolution du trafic

Cette étude a pour but d'évaluer les avantages économiques apportés par le projet. Dans notre cas, l'évolution provient de l'accroissement normal et du trafic induit.

II.1.2.1. Méthodologie

Plusieurs méthodes de projection de trafic sont disponibles. On peut distinguer: - La méthode par prolongation de tendance simple ou corrigé. Elle consiste à extrapoler, au cours des années de production d'évolution du trafic passée. Le trafic Tn à l'année N est donné par:

Tn = To (1+α)n

Où To: trafic de l'année de référence n: taux d'accroissement (obtenu par ajustement sur les séries de trafic passées) - Le modèle de génération de trafic Les modèles les plus usités sont ceux du type gravitaire. Le flux observé entre une zone A et une zone B sera donné par:

nΒΑ

ΑΒ

CΡΡKΤ +=

Où PA: population dans la zone A PB: population dans la zone B C: coefficient dépendant de l'itinéraire joignant A et B K, n, m: coefficients fonctions des trafics existants - Modèle FRATAR Cette méthode consiste à appliquer des taux de croissance à des trafics présents. Le taux de croissance du trafic Tij entre deux zones i et j est donné par

jiij KKK ⋅=

Où Ki et Kj sont des facteurs de croissance relatifs respectivement à la zone i et j:

Ki = (1+Ipi).(1+ ).(1+Imi) - 1

Où Ipi, Iri, Imi sont respectivement des taux de croissance de la population, des parcours annuels des véhicules et taux de motorisation - Méthode qui transforme le flux de déplacement de personnes et de marchandises en trafics.

II.1.2.2. Prévision

Comme les données qui transforme le flux de déplacement de personnes et de marchandises en trafics.

II.1.2.2.1. Flux de marchandises

Le flux de marchandises provient de l'évacuation des surplus de la production. Moyennant certains hypothèses sur la quantité de la consommation locale les pourcentages des produits à acheminer seront comme suit:


6

Tableau I.5

Nature Riz Maïs Manioc Haricot Arachide Tomate Chou x Légumes % à acheminer 81 55 60 70 80 90 0 65

Nous admettons que le transport de riz, maïs, manioc et haricot sont assurés par les camions de charge utile cinq tonnes (5t), tandis que l'acheminement des arachides, tomates et choux sont pris en charge par les camionnettes de capacité une tonne et demie (1,5t) Tableau I.6: Flux de marchandises transportées par les camionnettes de charge utile 1,5t Année 1995 2000 2005 2010 2015 2020

Tonnage 634,97 696,53 764,05 838,12 919,37 1008,50

Tableau I.7: Flux de marchandises transportées par les camion de charge utile supérieure à 1,5t

Année 1995 2000 2005 2010 2015 2020

Tonnage 5181,38 5779,48 6446,61 7190,75 8020,79 8946,65

II.1.2.2.2. Flux de passagers

Pour le transport de personnes, les taxi-brousse sont constitués par des camionnettes de 14 places. Nous admettons que pour toutes les années de projection, quatre pour mille (4 ‰) da la population prennent chaque jour le taxi-brousse. Tableau I.8: Flux de passagers Année 1995 2000 2005 2010 2015 2020

Tonnage 54 007 61 485 69 998 79 690 90 723 103 285

II.1.2.2.3. Prévision de trafic

En divisant le tonnage de produits à évacuer par un véhicule type donné par la charge utile de celui-ci, nous obtenons le trafic correspondant à une année donnée. De même, en ce qui concerne les taxi-brousse, en divisant le flux de passagers par le nombre de places. Type 1995 2000 2005 2010 2015 2020

Taxi-brousse 3 858 4 392 5 000 5 692 6 480 7 378

Camionnette C.U. 1,5t 423 464 509 559 613 672 Camion C.U. 5t 1 036 1 156 1 289 1 438 1 604 1 789


7

III. ANALYSE DE LA SITUATION ACTUELLE Depuis des années, la production agricole constitue l'un des facteurs de base garantissant un développement économique durable, en plus de l'industrie et l'artisanat concernant les moyens de production, la région Ambondromisaotra-Ambatomifanongoa dispose d'un potentiel élevé: des surfaces cultivables milliers d'hectares; une population jeune ainsi que des milliers de têtes de bovines. L'observation des quatre dernières années nous permet de constater que cette région est très productive. Cependant, les résultats demeurent insuffisants. Des questions peuvent se poser comme l'existence de problèmes et dans le cas échéant, les raisons. Cependant, on constate une manque de motivation de la population, a part les causes liées directement à l'agriculture tels que les prix élevés des engrais, nous pouvons citer: - La difficulté d'acheminement de la production, qui se traduit par un frais de transport élevé. Ceci résulte du mauvais état de la route qui n'est praticable que durant la saison sèche. Dans ce cas, les collecteurs achètent les produits à des prix assez bas, ce qui n'incite guère les paysans à produire plus que ce qu'ils en ont besoin pour leur substance. - L'insécurité qui se trouve favorisée par le mauvais état des voies de desserte. En ce qui concerne l'élevage, celui-ci se pratique encore de façon traditionnelle, malgré l'assistance d'un vétérinaire du service élevage. En treize ans, nous constatons un taux de croissance moyen annuel de 1,87% pour les bovins, 44,86% pour les porcins et 8,33% pour les volailles Pour ce qui est du trafic, il demeure assez faible pour le moment à cause de l'état dégradé de la route qui est impraticable durant les saisons des pluies, empêchant ainsi le développement de la région. La réhabilitation et la construction d'un pont susciteront certainement un trafic induit élevé. Heureusement, l'étude de cette route est déjà entamée par Messieurs Fanilo ANDRIAMALALA et Jean Marcel RAKOTO en décembre 1994. En effet, la remise en état de la route fera diminuer le coût de fonctionnement des véhicules, ce qui signifie une réduction des frais de transport et une augmentation des flux de déplacement. En conclusion, le développement d'une région est lié à l'état de ses voies de desserte ainsi que de l'ouvrage de franchissement.


8

ÉTUDE HYDROLOGIQUE I. INTRODUCTION L'objectif de l'étude hydrologique est d'évaluer le débit de crue du projet et cela constitue l'élément fondamental dans le calage de l'ouvrage. Cette partie joue un rôle important car l'édification d'un ouvrage sans concevoir l'étude hydrologique entraîne soit la surdimensionnement de l'ouvrage, soit l'exposition de cela à la première ennemie de la construction. Il est donc très essentiel de justifier si la méthode utilisée est valable. Il y a la méthode rationnelle qui est spéciale pour la surface de bassin versant de faible dimension. Il t a aussi la méthode statistique provenant du résultat successif dans plusieurs années d'un centre météorologique, cette méthode est valable dans le cas ou le surface du bassin versant et la station sont sensiblement égales. Mais en plus il y a aussi des personnes, en particulier, Louis Duret qui étudie le cas de Madagascar en imposant la fourchette de validité de leur méthode dont: 10 Km² < surface des bassins versant ≤ 50 000 Km² C'est la surface qui donne alors notre itinéraire

I.1. SURFACE DU BASSIN VERSANT

La surface a été délimitée puis planimétrée sur une carte topographique à l'échelle 1/100 000 S = 4 850 Km² La station la plus proche du site du futur ouvrage est celle d'Antsirabe et cette surface n'est pas sensiblement égale à celle de la surface de station donc prenons ces méthodes de Louis Duret comme solution.

II. CARACTERISTIQUES GEOMORPHOLOGIQUES DU BASSIN VERSANT

* Surface S = 4 850 Km² * Périmètre P = 351 Km

II.1. DENIVELEE D'après Louis Duret, la dénivelée d'un bassin versant est en fonction de l'altitude donnant la surface 5% de la surface totale dont leurs altitudes sont supérieures aux autres et des altitudes de 95% de la surface totale. D = 0,95 (H5 – H95) D = 0 95 (2142 - 1076) D = 1013 m


9

II.2. COEFFICIENT DE FORME CERCLE S = ΠR² surface P = 2ΠR² périmètre

2R

R2πR²π

PS ==

Alors Sπ2RS2

P ==

K est également appelé coefficient de Gravelius ou coefficient de compacité. Il est défini comme le rapport du périmètre du bassin versant au périmètre du cercle ayant la même surface que le bassin à étudier.

Sπ2

PK=

1,424850π2

351K =×

=

K est supérieur à 1, par conséquent, le bassin versant a une forme allongée.

II.3 LONGUEUR DU RECTANGLE EQUIVALENT

LSllLS =⇒×=

( )lL2P +=

)LS(L2P +=

( )LSL2Sπ2K +=

SLSπKL 2 +=

0SSπKLL² =+−

S4KπS∆ 2−=

2

4SSK²πSπKL

−+=

−+=

2

πK211

2πSKL

Avec 1,128π

2 =

141KmK

1,128111,128

SKL

2

=

−+≈

II.4 PENTE MOYENNE

C'est le rapport de dénivelée par la longueur du rectangle équivalent.


10

LDl=

Km/m7,199141

1013l ==

II.5. AUTRES CARACTERISTIQUES DU BASSIN VERSANT

D'autres caractéristiques du bassin versant peuvent également influencer la crue, notamment - la géologie: les volumes écoulés sont d'autant plus grand que le bassin versant est plus imperméable - le couvert végétal: la végétation joue un rôle atténuateur

III. ESTIMATION DU DÉBIT DE CRUE DU PROJET A part la détermination des caractéristiques géomorphologiques du bassin versant, la méthode comprend les étapes suivantes - Choix de l'averse journalière de référence H (24, P) à l'aide des cartes pluviomètres. F étant la fréquence du projet

III.1. ESTIMATION DE DEBIT DE POINTE DE CRUE QF = Q'F x F(I)

III.2. DEBIT DE CRUE DU PROJET Q50 = Q'50 x F(I) Q50 = 4650 x 0,96 Q50 = 4500 m3/s IV. COURBE DE TARAGE Q(H)

La courbe de tarage représente le débit Q en fonction d'une hauteur d'eau donnée. Elle nous permet de déterminer la côte de la plus haute eau connue correspondant au débit de crue du projet. En se servant de la formule de Manning-Strickler, le débit est donné par: Q = K x S x R2/3 x I1/2 Où K: coefficient de Manning Terrain naturel argileux K = 30 S: section mouillée correspondant à la hauteur d'eau H P: périmètre mouillé R: rayon hydraulique I: 2‰ pente longitudinale du lit de la rivière mesurée sur carte à 1/100 000 La forme de la section transversale au droit de l'axe de l'ouvrage est déterminée à partir des mesures sur terrain. En se donnant une valeur à la hauteur d'eau H, on calcule la surface et le périmètre mouillé correspondant. Ensuite, ce rayon hydraulique se déduit de la formule:

PSR=


11

. La fonction de pente F(I) correspondant à la pente moyenne I est déterminée à l'aide de l'abaque de F(I). . Calcul du dédit Q'(F) en fonction de la du bassin versant et de la hauteur de l'averse journalière H(24, F) à l'aide de l'abaque Q'(F). Q'(F) étant le débit correspondant à un coefficient de pente égal à l'unité. . Calcul de Q(F) V. FRÉQUENCE DE CRUE DU PROJET Pour les grandes ouvrages d'art, la fréquence minimale est de cinquante ans, c'est ce que nous allons prendre également: F = 50 ans

Choix de l'averse journalière A partir de la carte pluviométrique correspondant à une fréquence cinquantenale, nous avons après pondération: H(24, 50) = 175mm

Fonction de pente Pour une pente moyenne: I = 7,199m/Km, l'abaque nous donne: F(I) = 0,96 Débit Pour un bassin versant de surface S = 4850 Km² avec une averse journalière cinquantenale H(24, 50) = 175mm, on a sur l'abaque Q'50 = 4,65 103 m3/s Q'50 = 4650 m3/s H(m) P(m) S(m²) R(m) K I Q(m 3/s) 4 92,09 216,31 2,35 30 0,002 512,97 5 110,53 315,48 2,85 # # 850,82 10 202,75 1086,31 5,36 # # 4463,75 10,5 211,97 1188,61 5,61 # # 5034,82 10,1 204,59 1106,39 5,41 # # 4574,49 10,05 203,67 1096,34 5,,38 # # 4516,,16 H = 10,05m mesurée à partir du fond le plus bas du lit Côte PHEC = Côte du niveau le plus bas du lit + H

VI. CALAGE DE L'OUVRAGE

VI.1. DETERMINATION DU DEBOUCHE LINEAIRE Soit L le débouché linéaire en PHE et le PHE le niveau de la crue du projet correspondant à L. Le débouché linéaire doit être déterminé de telle sorte que la vitesse moyenne V au droit de l'ouvrage ne dépasse pas 4m/s (règle) Fixons la vitesse à 4m/s

m²11254

4500S ==

Surface occupée par les deux piles de 1,2m En supposant 1 ≤ 13,0m SO = 31,2m² S + SO = 1156,20m² L correspondant à cette surface mouillée est égale à 117,750m avec PHE = 1200m


12

. Calage de l'ouvrage

Pour que le tablier ne soit submergé et endommagé par des corps flottants, il faut réserver un tirant d'air "t" de 1,5m au dessus de la PHE 12 + 1,5 = 13,5m Prenons 0,25 la surélévation due à la retraichissement brusque lors de l'introduction de deux piliers intermédiaire Donc 13,5 + 0,25 = 13,75m

VI.2. REGULATION DE COTE Prenons la côte de référence de côte 13m Côte projet: + 20,9m Côte sous poutre: + 18,0m Niveau haute eau: + 16,5m Niveau eau normal: + 9,50m


13

I. CHOIX DU TYPE DE L'OUVRAGE

Le principal objectif est de déterminer le type de l'ouvrage le plus économique, durable pendant trente ans environ et capable de satisfaire l'ensemble des contraintes imposées: - la situation géographique de l'ouvrage, - la topographie d'utilisation du terrain où il sera implanté, - la condition d'utilisation de la rivière, - la composition et la capacité portante des sols, - les conditions d'accès au chantier, - la disponibilité des matériaux et de la main d'œuvre dans la région. Dans notre projet, par calcul hydraulique, le débouché linéaire est de 115m et l'étude du relief du lit de la rivière suggère un pont à trois (3) travées. Le débouché libre exigé (115m) détermine la longueur totale au niveau du tablier, soit 126,45m. Pour un pont à trois travées ayant une longueur de 126,45m, il est logique de considérer la construction sur échafaudages. Pour ce mode de construction, il est préférable que le rapport entre la portée de rive et la portée centrale soit compris entre 0,75 à 0,80[2], soit des travées de rive de 37,825m et une travée centrale de 50m. La rivière étant peu profonde avec possibilité d'installer des échafaudages sur toute la longueur du pont. On pourrait choisir de bétonner l'ouvrage par travée entière (poutre continue). La capacité portante des sols influe le choix du système porteur. Les piles en rivière devraient reposer sur un dépôt argileux. En effet, les appuis ne craignent pas des tassements différentiels. Par conséquent, nous portons notre choix sur un système hyperstatique. D'après l'analyse des caractéristiques du site de l'ouvrage telles que:

- l'accès au chantier est encore une route en terre, en mauvais état de surcroît, - beaucoup de jeunes gens sont disponibles, - le volume de carrière exploitable est de 8 000m3 (cf annexe III)

En d'autres termes, l'ouvrage est situé dans une région isolée, éloignée des centres urbains et plus ou moins inaccessibles. Il est alors logique de considérer le bétonnage en place. Aux culées, nous utiliserons des appareils d'appui qui permettront la rotation et les mouvements longitudinaux et transversaux de même type d'appui sur l'une des deux piles. Les déformations longitudinales du tablier sont absorbées par les joints de dilatation à chaque extrémité.

II. PREDIMENSIONNEMENT

II.1. HYPOTHÈSE ET PRINCIPE DES CALCULS DE DIMENSIO NNEMENT

Nous effectuerons les dimensionnements des poutres suivant une section au droit de l'appui intérieur dite section critique, celle soumise aux moments fléchissants minimum; nous déterminons pour cette section la forme et les dimensions de la section transversale de la pièce, de même que l'intensité et l'excentricité de la force de précontrainte requise. Nous choisirons ensuite le profil du câble moyen. Pour les calculs de dimensionnement, nous utiliserons les caractéristiques géométriques de la section brute. Le dimensionnement des pièces qui travaillent en flexion sera basé sur un état limite de service. Nous considérons les contraintes produites dans le béton sous deux chargements critiques respectivement à la mise en précontrainte du béton (ou transfert, 1ère phase) et sous les charges de service maximales (2ème phase). Il s'agit d'assurer que les contraintes produites


14

(traction et compression) ne dépassant pas les contraintes admissibles définies aux normes canadiennes CNA3-S6-M78 [2] (cf annexe VII). Comme il y a deux limites de contraintes pour chacun de deux chargements critiques, nous aurons donc quatre conditions à vérifier: - Condition TT, ou traction au transfert: Au transfert, la contrainte de traction maximale dans le béton à la section considérée prise en valeur absolue, doit être inférieure ou égale à la valeur absolue de la contrainte de traction admissible au transfert (σot);

- Condition CT ou compression au transfert: Au, la contrainte de compression maximale dans le béton à la section considérée doit être inférieure ou égale à la contrainte de compression admissible au transfert (σoc);

- Condition CS ou compression en service Sous les charges de service, la contrainte de traction maximale dans le béton à la section considérée doit être inférieure ou égale à la contrainte de compression admissible en service (σc); - Condition TS ou traction en service Sous les charges de services, la contrainte de traction maximale dans le béton à la section considérée prise en valeur absolue, doit être inférieure ou égale à la valeur absolue de la contrainte de traction admissible en service (σt); Dans tout le volume, on appliquera la convention de signes suivante:

- les contraintes de compression dans le béton sont positives, - la force de précontrainte est toujours positive, - les caractéristiques géométriques de la section sont toujours positives (A, I, Ss, Si,

Ks, Ki, Ys, Yi; ces symboles seront définis au fur et à mesure de leur utilisation), - les axes y et z sont les axes de la section et leur origine se situe au centre de gravité

de la section du béton, - le sens positif de l'axe y est compté vers le haut - le moment fléchissant (M) est positif lorsqu'il produit des contraintes de

compression dans les fibres dont l'ordonnée est positive, - l'excentricité de la force de précontrainte (e) est positive lorsque le centre de gravité

de l'acier de précontrainte (câble équivalent) est situé au dessus du centre de gravité de la section du béton seul.

Avec cette convention de signes, les valeurs des contraintes maximales et des paramètres y, M et e sont algébriques; Nous commencerons d'abord à effectuer le dimensionnement préliminaire de ce pont à trois travées continues. Comme le pont se trouve sur voie de desserte, la largeur de la chaussée sera alors de 3,00m et celle des trottoirs la valeur minimale (1m); d'où la largeur: b = 3,00 + 2 x 1,00 = 5,00m Compte tenu de la longueur de la travée principale (L) et désignant la longueur de la travée la plus longue L = 50m, le futur de l'ouvrage d'art sera classifié comme un pont à longue travée (40 < L < 200m) [3]; donc on a tendance à choisir une poutre à caisson. Mais en considérant la technique de construction de poutre qui correspond trois phases: - ferraillage et bétonnage du hourdis inférieur, - ferraillage et bétonnage des âmes, - ferraillage et bétonnage du hourdis supérieur, Elle exige beaucoup de coffrage. Nous préférons choisir ces poutres en T; Le nombre de poutres principales dépend de la largeur du tablier b. On voit que b < 6m; donc nous aurons deux (2) poutres principales [9]. Pour les tabliers de ponts poutres T ou en I, on doit utiliser une entretoise au centre de la travée lorsque la portée de la travée dépasse 15m [2]. Pour les travées moyennes (L < 40m), il


15

semble qu'une seule entretoise au centre de la travée soit suffisante [1]. Mais comme nous avons un pont à travée de 50m, nous proposons l'utilisation de deux (2) entretoises intermédiaires sur la travée de rive et trois (3) sur de la travée centrale. Il est également nécessaire de relier ces poutres principales par des entretoises sur appuis, au droit des piles et des culées.

II.2 HYPOTHESES DE CALCUL

II.2.1. Béton

En ce qui concerne la composition du béton, la classe du ciment, le dosage en ciment, la composition granulaire du béton et les caractéristiques mécaniques, les normes française reconnaissent qu'on se repostera aux règles en vigueur pour le béton armé [4][5][6][7]. En conséquence: - du point de vue résistance en compression [8], Selon les règles B.A.E.L, pour l'établissement des projets, nous choisirons les valeurs caractéristiques requises à 28 jours, f'c = 35 MPa, puisqu'elles présentent une bonne garantie de régularité; - lors de la mise en précontrainte, nous adopterons la résistance du béton (âge inférieur à 28 jours); f'co = 30MPa; - selon B.A.E.L art. 211 [7], l'évolution de la résistance à la compression du béton, représentée, pour j < 28 jours, par loi fcj = 0,685 f'c log (j + 1); en effet, nous pourrons faire la mise en précontrainte 17 jours après le coulage. D'où les spécifications des granules naturels (pour f'c > 30 MPa) Les spécifications sont celles de la norme NFP 18 – 301 pour les caractères autres que les suivantes pour lesquels elles sont remplacées par les valeurs ci-dessus: - tolérances sur le modalité de finesse (1) ± 0,3 (valeur absolue), - coefficient d'absorption d'eau (NFP18-554 et 555) Ab ≤ 2% - friabilité des sables (NFP18-576) F.S. ≤ 30 - Los Angeles (NFP18-573) L.A. ≤ 35 - micro - devel en présence d'eau (NFP18-572) M.D.E ≤ 30, - coefficient d'homogénéité (NFP18-571): H ≥ 97% pour α = 0,4, - propreté des sables (NFP18-598) E.S.V. ≥ 80; si E.S.V. ≤ 80, le sable est considéré comme conforme à la spécification si la valeur de bleu U.B. (NFP18-959) est inférieure ou égale à 1g pour 100g de fines, - fragments de coquillages dans les sables ≤ 15% La dimension maximale des granulites est donnée par les règles B.A.E.L. 83 art. A.7.2. et la norme NFP18-304. Le fascicule 65 du C.C.T.G. stipule comme dosage minimal en ciment:

( )3

5

5

ck

Kg/m

D

700D

10f250

sup

+

=c

avec fck la classe de résistance du béton (en MPa) et D la dimension maximale du tamis (granulats) en mm. Pour les constructions en béton précontraint, le ciment est choisi parmi les classes 45 et 45R ou supérieures, il est conforme aux critères indiqués par la COPLA (la COPLA délivre des listes d'agréments pour les bétons traités thermiquement, se reporter à l'annexe Technique T35-1 du fascicule 65).


16

Seule l'entreprise L.N.T.P.B. agrée par l'Etat malagasy qui est apte à donner les compositions du béton, et elle applique souvent la méthode dite " DREUX-GORISSE"[6].

II.2.2. Aciers de précontrainte Comme d'entreprises de construction à Madagascar utilisent des aciers de haute résistance à la relaxation normale, les caractéristiques physico - mécaniques de l'acier précontrainte sera présentée en annexe, la contrainte de rupture est notée par fpu, celle la limite élastique par fpy. La norme G279 recommande de choisir comme limite élastique la contrainte correspondant à une dilatation de 1% pour les fils et le toron et la valeur obtenue doit satisfaire l'équation: fpy ≥ 0,85fpu fpu = 1 860 MPa, correspondant aux aciers à la relaxation normale.

II.2.3. Armature passive

Nous employons l'acier Fe E400

II.2.4. Gaines de post tension

Nous appliquons les gaines faites de feuillards d'acier. Selon la référence [3], pour les câbles à plusieurs fils et torons, l'aire de la section intérieure de la gaine doit être au moins égale au double de l'aire de la section de l'acier de précontrainte dans cette gaine.

En effet, nous appliquons le procédé de FREYSSINET pour la méthode de précontrainte dont une câble contient 12 trous en fils, d'où pour la câble de 12 T 15, nous choisissons le diamètre de gaine ∅ = 75mm.

II.3. CHOIX DE LA SECTION

On note que le système est hyperstatique. Par conséquent l'excentricité effective de la force de précontrainte peut être différente de l'excentricité réelle (ceci est dû au système isostatique). Pour les calculs préliminaires, on ne tiendra compte de cette particularité des systèmes hyperstatiques.


17

Fig. III.1: Moment de flexion dans une poutre continue à trois travées de même rigidité soumise à une charge uniforme Une première estimation du poids est obtenue à l'aide de l'équation suivante, valide pour 30 ≤ L ≤ 50m (peut être en T) [3]

( )4,5n

Lw0,002L0,13ω0,01gppl

⋅−⋅=

où - gppl est la charge permanente uniformément repartie (poids de l'ossature résistante) - ω représente la masse volumique du béton en Kg/m3 - L est la portée maximale en mètre - w est la largeur totale du pont en mètre - n représente le nombre de poutres qui constitue la tablier.

D'où ( )[ ] mg ppl .84,2025,4

50550002,013,0250001,0 ΚΝ=

×××−××=

Pour faire le dimensionnement, on choisit comme section critique la section située au droit d'un appui intérieur (zone des moments négatifs où le moment est maximum en valeur absolue). Selon la figure III.1, le moment de flexion dû au poids propre à cette section est égal à:


18

[ ]

[ ] m.41353218,1324

3218,11825,3784,20 3

o ΚΝ−=×++×−

=Μ

Selon les figures III.2a et III.2b, on a: Ms = -3 845-1 162,43 = -5 007,43Nm, soit -5 000 Nm Les contraintes admissibles du tableau de l'annexe III

aΜ 2,96350,5σ

ΜΡa 14,0350,40σ

a 1,4300,25σ

aΜ 18,0300,60σ

t

c

ot

oc

Ρ−=×−=

=×=ΜΡ−=×−=

Ρ=×=

III.2.a: Enveloppe des moments de flexion dus à la surcharge (surcharges béton précontraint et surcharges trottoirs) affectant les coefficients CMD et CRT (cf annexe VI)


19

III.2.b: Enveloppe des moments de flexion dus à la surcharge (surcharges béton précontraint et surcharges trottoirs) affectant les coefficients CMD et CRT (cf annexe VI) Fig. III.2: Moment de flexion à l'état limite de service La section critique est dans une zone de moment de flexion négative; les quatre conditions de contraintes à vérifier conduisent aux équations suivantes: condition TT

oti

o

i

ooi σ

S

Μ

S

Ρe

Α

Ρσ ≥−

⋅−=

condition CT

ocs

ooos σ

S

ΜΡe

Α

Ρσ ≤

+⋅+=

condition CS

( )

si

ooi σ

S

Ρem

Α

Ρmσ ≤

Μ+Μ−

⋅⋅−

⋅=

i

so

S

condition TS

( )

ts

ooi σ

S

Ρem

Α

Ρmσ ≥

Μ+Μ+

⋅⋅+

⋅=

s

so

S

avec - Ss et Si sont les modules de section élastique relatifs aux fibres supérieures et

inférieures respectivement (Ss = I / Ys et Si = I / Yi sont les distances du centre de gravité et de la section de béton aux fibres supérieurs et inférieurs respectivement;

- A: aire de la section transversale d'une pièce;


20

- e: excentricité réelle de la force précontrainte par rapport au centre de gravité de la section;

- Mo: moment fléchissant dû au poids propre de la pièce; - Ms:moment fléchissant à une section quelconque dû à la charge permanente

supplémentaire et à la surcharge; - m: coefficient d'efficacité de la précontrainte1.

Selon le tableau de l'annexe IV, nous utilisons m = 0,80. Les équations ci-dessus donnent les modules de section minimum. Ss ≥ -316 108 mm3 Si ≥ -363 108 mm3 Les tracés sont assez balancés, nous choisissons un rapport d'élancement égal à 20, ce qui donne:

mm 250020

50000ht ==

valeur choisie ht = 2 500mm Tel qu'indiqué sur la figure III.3, les autres dimensions de la section sont choisies à partir des règles empiriques [3][10][11].

- Epaisseur de l'âme bo

On impose l'épaisseur de l'âme par les conditions d'exécution; on choisit bo = 270mm

- Espacement des poutres

On adopte l'espacement des poutres a = 3,00m

- Epaisseur du hourdis

ho = 0,02.a + 115 = 0,02 x 3 000 + 115 = 175mm Soit ho = 180mm Du tableau III.1 (cf page suivante), on tire:

Portion de courbe de gravité

===

==

1804mmyhy

1096mmΑ

Sy

sti

∆s

A déduire Io = I∆-S∆.Ys = 2,993 2419.109.1,670 021.109 1.109-1096 Io = 2,993 241 9.109.1,611 143 0.1012 Io = 1,382 098 8.109 La valeur du poids propre qu'il faut utiliser dans le calculs subséquents est donné par l'équation suivante où A est en m². gppa = 0,01 ωA = 0,01 x 2 500 x 1,341 = 33,53 KN/m 1 m est un paramètre important pour le dimensionnement des pièces que l'on appelle coefficient d'efficacité de la précontrainte définie par l'équation suivante:

o

sps

po

pe

o Ρ

∆fΑ1

f

f

Ρ

Ρm

⋅−===

∆fs représente les pertes de précontraintes différées

Aps l'aire de la section de l'acier précontraint

fpo la contrainte après la perte instantanée Pour le dimensionnement des pièces, il faut faire une estimation préliminaire des pertes de précontrainte différées, c'est-à-dire du paramètre m les valeurs de ce paramètre sont présentées en annexe IV.


21

Tableau III.1: Disposition des calculs: unité le millimètre

Désignation des parties

Dimensions A Z S∆∆∆∆ = A.Z Z' I∆∆∆∆ = S∆∆∆∆.Z

Ame

Table supérieure

Gousset sous table

Io Gousset

Talon rectangle

Io talon

Gousset sur talon

Io Gousset

783 000

401 400

51 900

70 000

33 000

1 135,35.106

36 126 000

10,380.106

196 106

92,165 106

2,195 01.109

4,335 12 109

2,076 109

10,36 106

3,488 1011

2,333 108

2,426 9941.1011

77,77.106

∆, S∆ et I∆ brute

2 900 x 270

(865 x 1365) x 180

865 x 60/2

2 x 865 x 603/36

2 x 175 x 200

2 x 175 x 2003/12

2 x 175 x 200/2

2 x 175 x 2003/36

1341,3.103

1 450

90

200

2 800

2633,3

1,470 021.109

2/3 x 2900

2/3 x 180

200

2 800

2 633,3

2,993 2419.1012

Notes A: représente la section I∆: moment d'inertie par rapport à A (voir figure 3) Z: distance du centre de gravité de la partie par rapport à A Io: moment d'inertie propre S∆: moment statistique par rapport à A


22

Le digramme des moments fléchissants dus au poids propre est présenté sur la figure III.4. En utilisant ce diagramme tel que présenté, on admet que la poutre en T est mise en précontrainte quand les trois travées ont été bétonnées (précontrainte appliquée à la fin de construction). Cette hypothèse n'est peut être pas vraie mais lors de calculs préliminaire, nous ignorons comment l'exécutant de la précontrainte réalisera la mise en précontrainte du pont. Lorsque nous devons approuver les plans d'exécution de la précontrainte, nous réviserons tous les calculs en tenant compte du schéma de câblage proposé et de l'ordre de mise en tension des câbles.


23

Fig. III.4:Moments de flexion dus au poids proposé de la poutre

II.4. CALCUL DE LA FORCE DE PRECONTRAINTE REQUISE À LA SECTION CRITIQUE Avec les quatre condition de contrainte (§ II.3), nous déterminerons deux limites supérieures et deux limites inférieures à la force de précontrainte. Les conditions au transfert (TT et CT) fournissant les limites supérieures et les limites inférieures dépendent des conditions en service (CCS et TS) les conditions au transfert permettent de déterminer les limites supérieures de Po. Les équations donnent:

( )

( )2-II.4

S

eΑ1

S

ΜσΑ

1-II.4

S

eΑ1

S

ΜσΑ

s

s

ooc

o

i

i

oot

o

⋅+

−⋅

≤Ρ

⋅−

+⋅

≤Ρ

Les limites inférieures sont obtenues à l'aide des conditions en service:


24

( )

( )4-II.4

S

eΑ1m

S

ΜσΑ

3-II.4

S

eΑ1m

S

ΜσΑ

s

s

ot

o

i

i

oc

o

⋅+⋅

Μ+−⋅

≥Ρ

⋅−⋅

Μ++⋅

≥Ρ

s

s

Pour utiliser les équations (II.4-1 à II.4-4), il faut connaître l'excentricité à la section considérée (e). Pour les calculs préliminaires, la section critique choisie se situe à la section de moment fléchissant négatif minimum (en valeur algébrique). L'excentricité est donc maximum (e = emax). Nous pouvons faire une estimation de emax à l'aide de l'équation suivante: emax = Ys - d' (II.4-5) où d' représente la distance du centre de gravité de l'acier de précontrainte à la fibre supérieure (d' = 0,05h à 0,15h) Pour employer la précontrainte efficacement, il faut utiliser la plus grande excentricité possible à la section critique. Si la valeur de emax obtenue est plus grande que l'excentricité limite, les équations (II.4-1 à II.4-4) ne pourra plus être satisfaites. Tenant compte du faite que l'excentricité est algébrique, ou doit avoir emax < emax. En inversant les équations (II.4-1 à II.4-4), nous obtenons les quatre équations suivantes:

( )

( )

( )

( )9-II.4

S

ΜΜσΑ

S

eΑ1m

Ρ

1

8-II.4

S

ΜΜσΑ

S

eΑ1m

Ρ

1

7-II.4

S

ΜσΑ

S

eΑ1

Ρ

1

6-II.4

S

ΜσΑ

S

eΑ1

Ρ

1

s

sot

s

o

i

soc

i

o

s

ooc

s

o

i

oot

i

o

+−⋅

⋅+⋅≤

++⋅

⋅−⋅≤

−⋅

⋅+≥

+⋅

⋅−≥


25

En portant en graphique ces équations, on obtient le quadrilatère des solutions de MAGNEL. La solution hachurée sur la figure III.5 représente le domaine théorique des solutions possibles. Pour utiliser les équations (II.4-6) à (II.4-9), il est plus simple de calculer les termes suivants:

10,53MPa9,13)(1,4S

Μσ

9,13MPa766,13.10

6998.10

S

Μ

i

oot

6

6

i

o

−=−+−=+

−=−=

MPa 55,23)55,5(18S

Μσ

MPa 55,51261,04.10

6998.10

S

Μ

s

ooc

6

6

s

o

=−−=+

−=−=

MPa56,6)52,9(96,4S

MMσ

MPa52,91261,04.10

12005.10

S

MM

1,67MPa15,67)(14S

MMσ

15,67MPa766,13.10

12005.10

S

MM

i

so

t

6

6

s

so

i

so

c

6

6

i

io

=−−−=+

−

−=−=+

−=−+=+

+

−=−=+

36

3

s

36

3

i

10.064,110.04,1261

10.3,1341

S

A 10.751,1

10.13,766

10.3,1341

S

A −− ====

L'intersection de (II.4-6) et (II.4-9) donne le point A, l'excentricité en ce point est donc égale à

( )

5927mme

56,6

e10.064,118,0

53,10

e10.751,11

A

A3

A3

=

×+×=−

×− −−

L'intersection des droites (II.4-6) et (II.4-8) et des droites (II.4-8) et (II.4-9) donne respectivement les points D, B et C. Des calculs similaires au précédent donnent: eD = 1 134mm eB = 657mm eC = 847mm En reportant eA dans l'équation (II.4-6), eD dans (II.4-6), eB dans (II.4-7) et eC dans (II.4-8), on obtient:

16

Co

16

Bo

16

Do

16

Ao

KN172,54.10P

1 KN53,79.10

P

1

KN69,78.10P

1 KN663,99.10

P

1

−−−−

−−−−

=

=

=

=


26

La limite géométrique de l'excentricité à la solution est donnée par l'équation (II.4-5) emax = Ys-d' = Ys-o,1h emax = 1 096-290 = 806mm valeur choisie: emax = 800mm Le domaine des solutions est montré sur la fig III.5 Comme la valeur emax est inférieure à elim; c'est la géométrie de la solution qui limite l'excentricité

571A

Sh i

s == Sommet inférieur du noyau

Fig. III.5: Domaine des solutions à la section critique L'intersection de la droite verticale emax = 800mm avec la droite BC donne la limite inférieure de Po et c'est la compression en service qui donne cette limite (point C'). L'intersection de la même avec BD donne la limite supérieure de Po et c'est la compression au transfert qui donne cette limite (point D') De (II.4-2) et (II.4-3), on obtient:

( )

( ) 7N69859580010.451,11

)67,1(10.3,1341P

17066318N8001064.101

23,551341,3.10Ρ

3

3

O

3

3

O

=×−−×≤

=×+

×≤

−

−

L'intervalle des valeurs Po à la section critique est donc définie par: 6 986 ≤ Po ≤ 17 063 KN


27

II.5. SEGMENT DE PASSAGE ET FUSEAU DE PASSAGE On a déterminé précédemment l'intervalle des valeurs de Po à la section critique. Après avoir choisi une valeur de Po à l'intérieur de l'intervalle. Il s'agit maintenant de déterminer le fuseau de passage et de choisir le profil du centre de gravité de l'acier de précontrainte. En réalité, la valeur de Po varie le long de la pièce à cause des pertes par friction et des pertes élastiques, lesquelles ne sont connues qu'à la section critique. En effet, lors des calculs préliminaires, nous supposons que Po est constante le long de la pièce. On va alors déterminer le segment de passage aux sections suivantes: aux culées à 4,7281m; 9,456m; 18,912m; 23,36m; 33,097m des culées à la section critique c'est-à-dire aux appuis intérieurs et dans la travée centrale à 6,25m à 12,50m, à 18,75m et à 25m des appuis intérieurs. Les sections sont notées So, S4, S9, S14, S18, S23, S33, S37, S44, S50, S56, S62. L'intervalle des valeurs Po aux densités des appuis intérieurs est égal à 6 986 ≤ Po ≤ 17 063 KN La valeur minimale de Po est la plus économique. Cependant, à cause de l'imprécision de calcul des pertes de précontrainte, nous choisissons une valeur supérieure à la valeur minimale, soit: Po = 1,07 (Po)min = 7 475 KN Si on admet qu'à la section critique la contrainte maximale dans l'acier au transfert est fpo (cf annexe V), fpo = 0,65; fpu = 0,65 x 1 860 = 1 209MPa, nous obtenons la valeur de la section de l'acier de précontrainte Aps = 7 475.103/1 209 = 6 183 mm² Par procédé de FREYSSINET (STUP)2, chaque câble est continué par 12 fils ronds ou 12 torons parallèles soit quatre (4) câbles 12T15 (4 x 1 670 = 6 680mm²). La valeur de Po à la section critique est égale à Po = 0,65 x 1 860 x 6 680 = 8 076,12 KN Le centre de pression à une section quelconque est définie comme le point d'application de la résultante de contrainte normale de compression. Par conséquent, l'action de la force de précontrainte agissante au centre de pression est équivalente à l'action du moment fléchissant combinée à celle de la force de précontrainte agissant au centre de gravité de l'acier de précontrainte. Ainsi, la contrainte à n'importe quelle section de la poutre et à n'importe quel point de la section sous la charge de service est donnée par la relation suivante:

yec ⋅

⋅Ρ+

ΑΡ=

Sσ

D'où les quatre conditions à vérifier (TT, CT, CS et TS) s'écrivant: - 1er cas dans une zone de moment positif (zone M+)

c

ots

oos

oci

ooi

σ

σS

Ρ

Α

Pσ

σS

Ρ

Α

Pσ

σS

eΡm

Α

Pmσ

σS

eΡm

Α

Pm

e

e

s

coos

ti

cooi

c

c

≤⋅⋅

+⋅

=

≥⋅⋅

−⋅

=

≥⋅

+=

≤⋅

−=

2 Société Technique pour l'Utilisation de la Précontrainte, 66 route de la Reine; Boulogne-92 920 Billancourt France. Agrément du Ministère de l'Equipement: circulaire n°81 du 27/12/68 (fascicule spécial N°66-24 III).


28

- 2ème cas dans une zone de moment négatif (zone M-)

t

ocs

oos

oti

ooi

σ

σS

Ρ

Α

Pσ

σS

Ρ

Α

Pσ

σS

eΡm

Α

Pmσ

σS

eΡm

Α

Pm

s

coos

ci

cooi

≥⋅⋅

+⋅

=

≤⋅⋅

−⋅

=

≤+=

≥−=

En posantΑΡ⋅

=ΑΡ

= ΟΟ met σ yoy σ , ces conditions donnent le sommet supérieur ou

inférieur du noyau limite3

1er cas: Dans une zones M+

Les conditions TT et CT donnent le sommet inférieur du moyen limite et les conditions CS et TS donnent le sommet supérieur.

( )

( ) 2-II.5 1σ

σk-k'

1-II.5 1σ

σkk'

oy

ocis

oy

otii

−⋅=

−⋅=

( )

( ) 4-II.5 1σ

σkk'

3-II.5 1σ

σ kk'

y

tis

y

cii

−⋅−=

−⋅=

2ème cas: Dans une zone de M- Les conditions TT et CT donnent le sommet supérieur du moyen limite et les conditions CS et TS donnent le sommet inférieur:

( )

( )6-II.5 1'

5-II.5 1'

−⋅+=

−⋅−=

oy

ocis

oy

otss

kk

kk

σσ

σσ

3 Le moyen limite d'une section est la zone à l'intérieur de laquelle doit se situer le centre de pression pour que les contraintes normales du béton agissant sur la section soient toutes inférieures ou, à défaut, égales aux contraintes admissibles (σot, σoc, σc, σt).


29

( )

( ) 8-II.5 1σ

σkk'

7-II.5 1σ

σk-k'

y

tii

y

csi

−⋅+=

−⋅=

Avec ki et ks sont les sommets inférieurs et supérieurs du moyen central respectivement

( )ASket

ASk i

ss

i ==

Ces marges limites à une section quelconque permettent de déterminer le segment de passage à cette section et la détermination du segment de passage à diverses sections définit le fuseau de passage:

- 1er cas: zone M+

Le segment de passage est donné par:

( )9-II.5 Ρm

ΜΜk'e

Ρ

Μk'

Ο

sΟ

sΟ

Ο

i

⋅+

−≤≤

−−

- 2ème cas: zone M-

( )10-II.5 Ρ

Μk'e

Ρm

Μk'

Ο

Ο

sΟ

Ο

i

−≤≤

⋅Μ−

−− S

Pour les calculs préliminaires, supposons que Po est constante le long de la poutre et égale à 8076,12 KN

4,82MPaσ0,8σ

6,02MPa1341,3.10

8076,12.10σ

oyy

3

3

oy

=⋅=

==

2,99MPa6,02

18,00

σ

σ

0,23MPa6,02

1,40

M

Μ

oy

oc

oy

ot

==

−=−=

0,61MPa4,82

2,96

σ

σ

2,90MPa4,82

14,00

σ

σ

y

t

y

c

−=−=

==

Dans la zone M+, le sommet inférieur du moyen limite est égal à la plus petite valeur obtenue (II.5-1) et (II.5-2) K'i = |940 (-0,23-1)| =1156,40mm K'i = |-571 (2,99-1)| = 1136,29mm K'i = 1136mm (zone M+) Le sommet supérieur est égal à la plus petite valeur obtenue de (II.5-3) et (II.5-4) K's = 940 (2,90-1) = 1786mm K's = -571 (-0,61-1) = 919,31mm K's = 919mm (zone M+)


30

Dans une zone de moment négatif (zone M-), le sommet supérieur ou moyen limite est égal à la plus petite valeur obtenue de (II.5-5) et (II.5-6) K's = -572 (-0,23-1) = 702,33mm K's = 940 (2,99-1) = 1870,6mm K's = 102 mm (zone M-) Le sommet inférieur est égal à la plus petite valeur obtenue de (II.5-7) et (II.5-8) K'i = |-570 (+2,90-1)| = 1083,0mm K'i = |940 (-0,61-1)| = 1513,4mm K'i = 1083mm (zone M-) Connaissant le sommet du moyen limite, nous pouvons déterminer les segments de passage aux diverses sections.

- Section S0

Aux culées, le moment de flexion est nul et les équations (II.5-9) et (II.5-10) deviennent -K'i ≤ e ≤ K's Les valeurs minimales de K'i sont égales à 1083mm (zone M-)et celle de K's à 702mm (zone M-) On a donc -1083 < e < 702mm

- Section S4

Tel qu'est indiqué au tableau III.1, à cette section, le moment de flexion est toujours positif et le moment total minimum est inférieur à Mo. Dans ce cas, on calcul le côte gauche de l'équation (II.5-9) de deux manières différentes

1374,51mm8076,10.100,8

1541000.101136

Pm

)M(Mk'

1352,56mm8076,10.10

1749000.101136

Ρ

Μk'

3

3

o

minSoi

3

3

o

oi

−=×

−−=⋅

+=−

−=−−==−

On a donc:

mm 406e1352

mm 406,688076,12.100,8

3310000.10919e1352

3

3

≤≤−

=×

−≤≤−

- Section S9

De même, pour cette section le moment de flexion est toujours positif et le moment total minimum est inférieur à Mo. -1476 ≤ e ≤ 94mm

- Section S14

-1486 ≤ e ≤ 0mm

- Section S18

-1359 ≤ e ≤ 72mm

- Section S23

A cette section le moment total change de signe. Dans ce cas, on utilise les deux équations (II.5-9) et (II.5-10) pour déterminer la section de passage. Le moment au transfert est positif, nous utilisons donc (II.5-9) avec Mo = 1248 KN.m et (Mo + Ms) = 3664 KN.m Ce qui donne -1290 ≤ e ≤ 352mm


31

Le moment négatif minimum est égal à -161KNm et le moment négatif maximum est égal à 0; on obtient avec l'équation (II.5-10)

mm 702e1083

mm 702e8076,10.100,8

161.101083

3

6

≤≤−

≤≤×−=−

La combinaison des deux cas donne -1058 ≤ e ≤ 352mm

- Section S28

A cette section, le moment total change de signe. Dans ce cas, on utilise les deux équations (II.5-9) et (II.5-10) pour la section de passage le moment au transfert. Mo étant négatif, nous utilisons donc (II.5-10) avec Mo = -751KN.m et (Mo + Ms) =-2641KN.m Ce qui donne -674 ≤ e ≤ 795mm Le moment positif maximum est égal à 647KN.m et le moment positif maximum est égal à 0, nous obtenons avec l'équation (II.5-9) -1136 ≤ e ≤ 819mm La combinaison des deux cas donne -674 ≤ e ≤ 795mm

- Section S33

A cette section le moment de flexion reste toujours négatif mais le moment total minimum (-3052KNm) est supérieur à Mo (-3499KNm). Dans ce cas, on calcul le côte droit de l'équation (II.5-10) de deux manières différentes:

( )

mm 1135e928076,12.100,8

6403000.101083

mm 1135,2538076,12.10

3499000.10702

P

Mk'

mm 1174,388076,12.100,8

3052000.10702

P

MMk'

3

3

3

3

o

os

3

3

o

maxsoi

≤≤−=×

−−−

=−−=−

=×

−−=+

−=

- Section S37

Même procédure que la section S33 -775 ≤ e ≤ 1568mm Notons que e = emax = 800mm est bien à l'intérieur du segment de passage.

- Section S44

A cette section, nous utilisons la même procédure de la Section S33, on obtient -453 ≤ e ≤ 960mm

- Section S50

A cette section, le moment total change de signe. Dans ce cas, nous utilisons les deux équations (II.5-9) et (II.5-10) pour déterminer le segment de passage. Ce moment au transfert Mo est positif, on utilise donc (II.5-9) avec Mo = 861KN.m et (Mo + Ms) = 2910KN.m Ce qui donne -1029 ≤ e ≤ 468mm


32

Le moment négatif minimum est égal à -185KN.m et le moment négatif minimum est égal à 0, on obtient avec l'équation (II.5-10). -1054 ≤ e ≤ 702mm La combinaison des deux cas donne -1029 ≤ e ≤ 468mm

- Section S56

-1430 ≤ e ≤ -32mm

- Section S62

-1534 ≤ e ≤ -204mm Tableau III.2

Section M o (KNm) (M o + Ms)min (KNm)

(Mo + Ms)max (KNm) Segment de passage (mm)

S0 0 0 0 -1083 <e < 702 S4 1749 1541 3310 -1352 ≤ e ≤ 406 S9 2748 2295 5332 -1476 ≤ e ≤ 94 S14 2998 2263 5937 -1486 ≤ e ≤ 0 S18 2498 1444 5471 -1359 ≤ e ≤ 72 S23 1248 -161 3664 -1058 ≤ e ≤ 352 S28 -751 -2641 647 -674 ≤ e ≤ 795 S33 -3499 -6403 -3052 -92 ≤ e ≤ 1135 S37 -6998 -12005 -6618 -775 ≤ e ≤ 1568 S44 -2413 -4071 -1668 -453 ≤ e ≤ 960 S50 861 -185 2910 -1029 ≤ e ≤ 468 S56 2826 1899 6143 -1430 ≤ e ≤ -32 S62 3481 2574 7257 -1534 ≤ e ≤ -204

Fig. III.6: Estimation préliminaire du fuseau de passage


33

II.6. LE TRACE DU CÂBLE MOYEN ET SCHÉMA DU CÂBLAGE

II.6.1. Généralités sur l'étude des systèmes hyperstatique ou béton précontrainte – hypothèse

Dans les systèmes hyperstatiques, on utilise dans les calculs l'excentricité effective de la force de précontrainte, notée, γe, au lieu de l'excentricité réelle notée e. En conséquence, nous avons déjà noté qu'il faut corriger certaines équations des paragraphes II.4 et II.5. Dans ces calculs présentés aux paragraphes précédents, on a négligé les moments hyperstatiques de précontrainte. Par conséquent, l'intervalle des valeurs Po et le fuseau de passage calculés doivent être corrigés. Dans une structure isostatique; les pièces se déforment librement sous l'action de la précontrainte. Par conséquent, aucune réaction d'appui n'est produite par l'action de précontrainte. Par contre, dans le système hyperstatique les liaisons surabondantes s'opposent aux déformations libres de précontrainte. Le moment total dû à la précontrainte, noté Mp, comprend donc une composante hyperstatique (appelée moments hyperstatiques de la précontrainte) notée Mh est une composante isostatique. La composante isostatique est simplement égale au produit de la force de précontrainte par l'excentricité réelle (Pe). Dans les systèmes hyperstatiques, le moment total dû à la précontrainte est donc égal à la somme algébrique:

( )1-II.6 P

MePMPΜ h

hep

+⋅=+=

Dans cette équation, on remplace P par Po si on calcule le moment lors de la mise en tension. Le moment total de précontrainte est aussi égal à la force de précontrainte multipliée par l'excentricité effective. Mp = P (γe) (II.6-2) En comparant (II.6-1) et (II.6-2), on obtient:

( )3-II.6 P

Meγe h+=

En effet, l'obtention de Mh ou Mp en fonction de P ou (Po) permet de calculer l'excentricité effective. Il existe deux méthodes pour calculer les moments hyperstatiques de précontraintes (Mh): la méthode interne et la méthode directe. Nous choisissons de calculer Mh par méthode interne La méthode interne consiste d'abord à supprimer les liaisons surabondantes pour obtenir un système isostatique de base et à calculer les déformations du système correspond aux liaisons surabondantes supprimées. Pour calculer ces déformations, on utilise la méthode du travail virtuel 12. Ensuite, on calcule les réactions hyperstatiques que développent les liaisons surabondantes. Ces réactions permettent de calculer le moment hyperstatique de précontrainte. Comme les réactions surabondantes sont des efforts concentrés (couples de flexion ou force), le moment hyperstatique varie linéairement le long des pièces. Cette méthode de calcul est dite interne parce que les moments de flexion qui sollicitent la poutre isostatique (Pc) sont des moments internes. Avec cette méthode, on obtient directement les moments hyperstatiques de précontrainte (Mh). Le moment total et l'excentricité effective sont obtenus des équations (II.6-1) et (II.6-3) respectivement. Les hypothèses des méthodes pour calculer les moments de précontrainte sont les suivantes:


34

- Le béton se comporte comme un matériau homogène et élastique; le principe de superposition des effets élastiques est donc valable, ce qui permet d'additionner algébriquement les effets des divers chargements. Cette hypothèse est satisfaite lorsque les contraintes admissibles suggérées dans l'annexe III sont respectées; - La force de précontrainte est constante le long de la poutre .On néglige donc les pertes par frottement. Dans les calculs subséquents, on tient compte de ces pertes afin d'assurer que cette hypothèse ne cause que les erreurs mineures; -L'excentricité de la force de précontrainte est petite comparée à la longueur des travées. Par conséquent, le profil des câbles est aplati et on peut admettre que l'angle entre la tangente au câble et horizontale est petite à toutes les sections. La composante horizontale de la force de précontrainte est donc égale à la force de précontrainte. (P.cos α = P) - Les gaines métalliques dans lesquelles les câbles sont placés produisent une réduction de la section de béton qui est négligeable. On utilise donc dans les calculs les propriétés de la section brute; - Les appuis de la poutre ne subissent pas de déplacements verticaux lors de la mise en précontrainte. Des plus ces appuis ne restreignent pas les déformations axiales de la poutre. La convention de signes définie au paragraphe II. 4 est toujours valable.

II.6.2. Tracé du câble moyen

II.6.2.1. L'introduction à l'équation du tracé

On donne aux câbles un tracé convenable en les accrochant en leurs points hauts et en les laissant pendre sous leurs poids propres de manière à obtenir une forme régulière qui minimise les frottements. Pour réduire les pertes par frottement dues à la courbure, il semble que le câble devrait être la plus plat possible. En conséquence, il faut connaître l'équation de l'excentricité qui forme le tracé. Considérons un tronçon de câble courbe, de rayon de courbure γ qui est grand et que par conséquent, les courbures de câble de précontrainte sont faible (p = 1/r) La courbure de la parabole [42] est donnée par:

( )2

min2

2 21

L

ee

dx

ed

rp

−⋅=== (II.6-4)

Fig. III.7

L'intégration de la courbure permet de donner l'équation de la tracé.


35

II.6.2.2. Moments d'encastrement de précontrainte

Tel qu'explique précédemment, pour déterminer le moment total de précontrainte dans un système hyperstatique, on calcule d'abord les moments d'encastrements aux joints de la charpente dite retenue

a) Poutre continue soumise à l'action de la précontrainte

b) Moments d'encastrement de précontrainte Fig. III.8

Autrement dit, on suppose qu'il n'y a pas de rotation aux joints. Ensuite, on libère la charpente, c'est-à-dire qu'on distribue les moments pour obtenir aux joints des rotations compatibles (méthode de CROSS) [41]. Pour une poutre continue les joints sont les appuis.

II.6.2.2.1. Travée d'extrémité

a) méthode de calcul

Avec la méthode de CROSS, on va déterminer le moment total de précontrainte aux joints seulement. Toutefois, le moment total à n'importe quelle section d'une pièce s'obtient très facilement. A partir de l'estimation préliminaire du fuseau de passage montrée sur la figure III.6, on considère que l'excentricité réelle dans les travées d'excentricité est décrite par trois paraboles. Les équations de ces paraboles sont détruites de (II.6-4).


36

Fig. III.9: Calcul de la composante hyperstatique du moment d'encastrement (travée d'extrémité) D'où

L10 βχ ≤≤

( )( )

( ) min2212

1

min ⋅+⋅−⋅

⋅−

= LL

eee e βχ

β (II.6-6)

( ) LXL ⋅−≤≤⋅ 21 1 ββ

( )( )( )

( ) min211

212

211

min1 ⋅+⋅−⋅

−−−−

= Lxee

e ββββ

(II.6-7)

( ) Lx ≤≤− 21 β

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

12

11min1

2

min1212

12

1min 12

1e

eeLx

L

eeLx

L

eee +

−⋅−+⋅−⋅

⋅−

+⋅−⋅

⋅−⋅−

=β

βββ

βββ

Considérons maintenant la poutre montrée sur la figure III.9, la composante hyperstatique du moment d'encastrement de précontrainte est:


37

1b

bbhM

θθ−

= (II.6-8)

On note que le moment fléchissant à l'appui B dans la poutre isostatique soumise aux charges est nul. Le moment total à l'appui B dans la poutre hyperstatique, qui est égal à la somme algébrique du moment isostatique et du moment hyperstatique est donc égal au moment hyperstatique puisque le moment isostatique est nul. Par conséquent, Mb représente à la fois le moment hyperstatique et le moment total. Le moment d'encastrement total à l'appui B est donné par: 1peMM bhb += (II.6-9)

Dans cette équation, pe1 est le moment isostatique de précontrainte à la section considérée. Selon la méthode de travail virtuel ou la méthode de force:

dxEI

MLi

b ⋅= ∫02

1θ (II.6-10)

dxEI

Pedx

EI

MM LLLi

b ⋅=⋅⋅

= ∫∫ 001θ (II.6-11)

Dans ces équations Mi = x/L. D'après l'hypothèse mentionnée au § II.6-1, la force de précontrainte est constante, de même que EI. On obtient, en introduisant (II.6-10) et (II.6-11) dan (II.6-8):

∫∫

∫⋅−=

⋅

⋅

⋅⋅−=

L

L

L

bh dxexL

P

dxL

x

dxL

xeP

M02

0

2

0 3 (II.6-12)

En introduisant cette dernière équation dans (II.6-9), le moment d'encastrement total à l'appui B, dû à la précontrainte est donné par:

∫ ⋅−=L

b dxexL

PPeM

021

3 (II.6-13)

Avec les trois équations définissant le profil, l'équation (II.6-13), donne:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( )2121

222min12

2211 2331125,0 βββββββββ eb eeePM −−++−−−−−+= (II.6-14)

Pour bien comprendre la signification de l'équation (II.6-14), on modifie sa présentation. Définissons les paramètres adimensionnels suivants:

1

1 Pe

MK b= (II.6-15)

1

min2 e

ek = (II.6-16)

1

3 e

ek e= (II.6-17)

Avec ces trois paramètres, l'équation s'écrit:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]{ }21321

222212

2211 2331125,0 βββββββββ kkk −−++−−−−++= (II.6-18)

Pour étudier l'influence du profil longitudinal du câble moyen sur le moment d'encastrement à l'appui intérieur d'une travée extrémité, on a mis en graphique l'équation (II.6-18), on note sur les figures III.10 et III.11 que plus les valeurs de k2 et β1 sont grandes, plus la


38

valeur de k1 est grande. De plus, on remarque qu'une grande variation du paramètre k3 influe sur la valeur de k1, c'est-à-dire le moment d'encastrement. Les graphiques des figures II.10 et III.11 sont donc très utiles pour le choix préliminaire des cinq paramètres géométriques β1, β2, e1, emin, ee

b) Calculs

A partir de l'estimation préliminaire du fuseau de passage à la figure III.6, nous choisissons les paramètres suivants:

mmee 100−=

mme 1200min −=

4,01 =β

mL 13,15825,374,01 =×=β

mme 7801 = , nous choisissons la valeur la plus faible

de mmee 800max1 == pour avoir un meilleur recouvrement de béton au dessus des gaines.


39

Fig.III.11: Représentation graphique de l'équation (II.6-18)-suite


40

En général, on désire que le moment d'encastrement total soit supérieur au moment

isostatique (k1>1). 15,02 =β

mL 67,5825,3715,02 =×=β Par conséquent, les paramètres adimensionnels ont les valeurs suivantes:

5385,1780

12002 −=−=k 1282,0

780

1003 −=−=k

Avec l'équation (II.6-18) on obtient:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] [ ]{ }221 4,01282,01,024,012,01,0335385,14,011,01,04,0125,0 +−++×−+−−−+=k

6923,11 =k

Selon (II.6-15), le moment d'encastrement à l'appui B pour la travée à gauche de l'appui est égal à: 16923,1 PeM bg =

II.6.2.2.2. Travée centrale

a) Méthode de calcul

Le tracé du câble équivalent de la travée est symétrique, l'excentricité réelle (e) est définie par trois paraboles. A partir de l'équation différentielle de (II.6-4), nous obtenons les équations suivantes (cf figure III.12):

Fig.III.12

( )( )( )

( )( )

20)-(II.6 25,02

5,05,0

19)-(II.6 5,0

2

5,00

1

2min1

min

2

min1

eLxL

x

L

eee

LxL

eL

xeee

Lx

+

+−⋅

−=

≤≤−

+

⋅−

−=

−≤≤

β

ββ

β

Selon la méthode de CROSS ou rotationnelle, la rigidité F1 et le tracé sont symétriques [40] .Les équations

1'22'1

22'

bbbb

bbibbbM

θθθθθθθθ

−+−

= (II.6-21)


41

b'1b2b'2b1

b'1bb1b'b' θθθθ

θθθθM −

+−= (II.6-22)

b) Système isostatique de base soumis à l'action interne de précontrainte

Fig. III.13 Méthode du travail virtuel

Se simplifiant puisque b'b θθ = et 2'1 bb θθ = et 1'2 bb θθ = , la composante hyperstatique du

moment d'encastrement est alors égal à:

21

'bb

bhbbh MM

θθθ+

−== (II.6-23)

EI est constante, les équations 1b21 5,0et 3 bb EI

L θθθ == donnent:

EI

Lbb 321 =+θθ (II.6-24)

Comme on choisit l'origine de l'axe x au centre de la travée, tel qu'indiqué sur la figure III.12, on a:

( )0,5Lx0,5L- 2

5,0 ≤≤

−= xM L (II.6-25)

dxM L

L

Lb ∫−=5,0

5,0 EI

Pe θ (II.6-26)

Si on introduit (II.6-24), (II.6-25) et (II.6-26) dans l'équation (II.6-23) et si on admet que la force de précontrainte est constante (hypothèse), on obtient:

( )dxxLL

PMM

L

Lhbbh ∫− =−==5,0

5,02' 5,022

(II.6-27)

Le moment d'encastrement total est donc égal à:

( )dx x0,5L 2LP2PeMM

0,5L

0,5L-21h'bbh ∫ =−== (II.6-28)

Avec les deux équations, définissant les profils, l'équation donne: ( ) ( )β-1 2 min1' eePMM bb −== (II.6-29)

Avec les équations (II.6-15) et (II.6-16), on peut écrire:

( ) ( )β-1 13

22

11 k

Pe

Mk b === (II.6-30)

L'équation (II.6-30) est mise en graphique sur la figure III.14. On note que, pour la même valeur de k2, β est inversement proportionnel à k1.


42

Fig.III.14: Représentation graphique de l'équation (II.6-30)

b) Calculs

Nous choisissons β = 0,15 βL = 0,1 x 50 = 7,5m e1 = 780mm emin = -1200mm

5385,1780

12002 −=−=k

Selon (II.6-30), on obtient:

( )( )15,015385,113

21 −+=k

4385,11 =k

14385,1 PeM bd =

II.6.2.2.3. Distribution des moments

Apres avoir calculé ces moments, on les distribue selon la rigidité des travées. Nous appliquerons la méthode de rotation [41] et la convention de signes de CROSS, les couples étant comptés positivement s'ils tendent à faire tourner les extrémités de la poutre dans le sens trigonométrique.


43

bBABABA RMM θ'' += (II.6-31)

'''''' bBBBBbBBBBBB RRMM θλθ ++= (II.6-32)

Avec - R'BA, RBB' et RB'B sont les facteurs de rigidité - λB'B est le facteur de transmission - MB'A et MBB' sont les moments d'encastrements parfait - MBA et MBB' sont les nombres totaux au droit de l'appui B - θb et θb' sont des angles de rotation des nœuds B et B'

L'équilibre du nœud B permet d'écrire 0' =+ BBBA MM

Comme la poutre B'B est chargée symétriquement donc bb θθ −= en appliquant le théorème de

MAXWELL BETTI on a BBBB RR '' =

D'où ( )[ ] 0 '1' b''' =+−++ θλ BABBBBBBBA RRMM

( ) BABBBB

BBBAb RR

MM

'1

'

''

'

+−+

=λ

θ (II.6-33)

Dans le cas des poutres d'inertie constante, on a:

- la rigidité de la travée d'extrémité R'BA est égal:

EIEI

L

EIR AB

3-' 10.31,79

825,37

33 ===

- la rigidité de travée centrale RBB' est égal à

EIEI

L

EIRBB

3' 10.80

50

44 −===

- et le facteur de transmission λBB' égal à 0,5

EI

Peb

11272,2−=θ avec la convention de signes de CROSS

EI

PeoùD

PeMM

PeMM

bgBA

bdBB

1b

1

1'

1272,2 :'

6923,1'

4383,1

−=

==−=−=

θ

En introduisant θb dans (II.6-31), nous obtenons


44

( ) EIPeEIPeM BA /1271,210.31,796923,1 19

1 −×+= −

15236,1 PeM BA = Le moment hyperstatique de précontrainte au droit de l'appui B est donné par:

( ) PPePePeMMM ibpbhb 4,4085236,05236,1 111 ==−=−=

La figure 15 montre le diagramme des moments hyperstatiques de précontrainte divisés par P. En additionnant ce diagramme à celui de l'extrémité réelle, nous obtenons l'excentricité effective (cf équation (II.6-6) et figure 15). Le tableau III.3 résume les calculs correspondants.

Fig.III.15


45

Tableau III.3: Calcul de l'excentricité effective

Section x (max) e (min) Mh/P (mm) γγγγe (mm) S0 0 -100 0 -100 S4 4,728 -679,6 51 -628,6 S9 9,456 -1045,1 102,1 -943,0 S14 14,184 -1195,7 153,1 -1042,6 S15 15,130 -1200,00 163,4 -1036,6 S18 18,913 -1126,6 204,2 -922,4 S23 23,641 -828,7 255,3 -573,4 S28 28,369 -301,6 306,3 4,7 S32 32,151 285,1 347,1 632,2 S33 33,097 436,2 357,4 793,6 S37 37,825

25,000 780,0 408,4 1188,4

S44 18,750 365,5 408,4 773,9 S45 17,500 186,1 408,4 594,5 S50 12,500 -492,8 408,4 -84,4 S56 6,250 -1023,2 408,4 -614,8 S62 0 -1200,0 408,4 -791,6 Note: le calcul de l'excentricité a été fait par les équations (II.6-5) à (II.6-7) et (II.6-19) à (II.6-20), en utilisant la valeur de x de la deuxième colonne.

Tableau III.4: Comparaison des résultats obtenus Section Segment de passage (mm)* γγγγe (mm)**

S0 -1083 <e < 702 -100,0 S4 -1352 ≤ e ≤ 406 -628,6 S9 -1476 ≤ e ≤ 94 -943,0 S14 -1486 ≤ e ≤ 0 -1042,6 S18 -1359 ≤ e ≤ 72 -922,4 S23 -1058 ≤ e ≤ 352 -573,4 S28 -674 ≤ e ≤ 795 4,7 S33 -92 ≤ e ≤ 1135 793,6 S37 -775 ≤ e ≤ 1568 1188,4 S44 -453 ≤ e ≤ 960 773,9 S50 -1029 ≤ e ≤ 468 -84,4 S56 -1430 ≤ e ≤ -32 -614,8 S62 -1534 ≤ e ≤ -204 -791,6

* cf Tableau III.2 ** cf Tableau III.3

II.6.3. Force de précontrainte et fuseau de passage

2.6.3.1 Evaluation des résultats obtenus

Au paragraphe 2.4, nous avons déterminé l'intervalle des valeurs de Po à la section critique (6989 ≤ Po ≤ 17063KN). En considérant cet intervalle, nous avons choisi Po = 8076,12KN, soit 4 câble filant 12 T 15. Avec cette valeur de Po, nous avons calculé le fuseau de passage montré sur la figure III.6 Ces calculs sont résumés dans le tableau III.2 Notons que les valeurs des segments de passage données dans le tableau III.2 restent valides si on ne change pas la valeur de Po. En effet, les noyaux limites calculées au paragraphe II.5 ne changent pas, Po reste égal à 8076,12KN. De plus, en utilisant l'équation (II.4-2) et (II.4-3) en remplaçant e par γe, les valeurs de l'excentricité effective données dans le tableau III.2 se situent à l'intérieur des segments de passage donnés. La solution qui consiste à utiliser 4 câbles


46

filants 12 T 15 est une solution possible. Le tracé équivalent de ces câbles est montré sur les figures III.9 et III.10. Nous pouvons certainement améliorer la solution obtenue car le fuseau de passade est plutôt large, même à la section critique Rappelons que l'excentricité effective est indépendante de la force de précontrainte. Elle ne dépend que du tracé du câble équivalent.

II.6.3.2 Force de précontrainte requise à la section critique (S37)

Les moments fléchissant à cette section sont Mo = -6998KN.m et Ms=-5007KN.m (cf figure III.2). Selon le tableau III.3, on a γe = 1188,4mm à cette section; les équations (II.4-1) et (II.4-4) en remplaçant (e) par (γe) nous donnent: Po ≤ 13067KN (TT) Po ≤ 13646KN (CT) Po ≥ 2590KN (CS) Po ≥ 4857KN (TS) Nous avons donc l'intervalle suivant à la section S37 4857 ≤ Po ≤ 13067KN Si on compare ce résultat à celui obtenu à la fin du paragraphe II.4, soit 6989 ≤ Po ≤ 17063KN, nous constatons que la force de précontrainte minimale a diminué (4857KN comparée à 6989KN obtenue avec e = emax = 800mm). Ce résultat était prévisible puisque l'excentricité effective est plus grande que l'excentricité réelle au droit des appuis intérieurs (γel = 1188,4mm > emax >e1 = 780mm) Donc nous pouvons réduire le nombre de câble. Mais avant de le réduire, il faut considérer la section centrale (S62) où l'excentricité en valeur absolue est plus petite que l'excentricité réelle. mmmme 1200e ;6,791 minmin −=−=γ

On remarque que dans la zone de moments de flexion positive minimum des travées de rive (aux environs de la section S14), l'excentricité prise en valeur absolue est beaucoup moins réduite que dans la travée centrale. De plus, le moment de flexion positif maximum est légèrement inférieur à celui qui se produit dans la travée centrale. Il est donc justifié de considérer la section S62.

II.6.3.3. Force de précontrainte requise à la section centrale (S62)

Les moments fléchissants à cette section sont Mo = 3481 KN.m et Ms = 3776KN.m (cf figure III.2) Selon le tableau III.4, on a γe = -791,6mm à cette section. Pour calculer l'intervalle des valeurs de Po, nous utilisons les équations dérivant des quatre conditions. Comme la section est dans la zone des moments positifs, en remplaçant (e) par γe, nous obtenons:


47

36)-(II.6

1

35)-(II.6

1

34)-(II.6

1

33)-(II.6

1

⋅+⋅

−

+⋅

−≥

⋅+⋅

−

+⋅

−≥

⋅+

−⋅

−≤

⋅+

−⋅

−≤

i

e

ti

so

o

s

e

cs

so

o

i

e

oci

o

o

s

e

ots

o

o

S

Am

S

MMA

P

S

Am

S

MMA

P

S

A

S

MA

P

S

A

S

MA

P

γ

σ

γ

σ

γ

σ

γ

σ

Considérons d'abord l'équation (II.6-33): comme le numérateur est toujours positif et le dénominateur est négatif, cette équation n'a plus de signification et n'a plus sa raison d'être. Rappelons qu'à la section S62 l'excentricité effective de la précontrainte ne descend pas plus bas que le sommet inférieur du noyau central (γe = -791,6mm > -ki = -940 mm) Il est donc impossible que la force Po, produise de traction au transfert dans les fibres supérieures. D'où l'inexistence de l'équation (II.6-33) pour le cas considéré. La limite supérieure de Po est donc donnée par la compression au transfert Po ≤ 12672KN (CT) Pour le cas considéré, l'équation (II.6-35) ne s'applique non plus parce que son numérateur est négatif. La contrainte de compression dans la fibre supérieure due à la charge ne dépasse la contrainte admissible.

MPaMPaS

MMc

s

sO 0,1475,5 ==+ σp

La condition CS est donc satisfaite sans la force de précontrainte. La limite inférieure de Po est donc donnée par la traction de service (cf équation (II.6-36)). Po ≥ 45,76KN Nous avons donc l'intervalle suivant à la section S62: 4576 ≤ Po ≤ 12672KN Notons que la force de précontrainte minimale requise à la section S62 est bien inférieure à celle requise à la section S37 (Po = 4576KN comparée à Po = 4857KN) En effet, tenant compte des pertes par frottement, la force de précontrainte Po à la section S37 est plus grande qu'à la section S62, si on utilise uniquement des câbles filants et si la précontrainte est appliquée aux deux extrémités du pont en fin de construction. Il est logique d'adopter que cette solution est une solution optimale. Donc nous avons bien choisi le traçage de câblage. Nous retenons Po à la section S37 égale à: 1,07 (Po)min = 1,07 x 4857 = 5197KN


48

III. PREMIERS CALCULS DE VÉRIFICATION

III.1. GENERALITES

Nous avons fait le calcul de pré dimensionnement sous les charges d'utilisation (E.L.S.), la forme de la section et ses caractéristiques, l'intensité de la force de précontrainte requise à la section critique et le tracé du câble équivalent sont connus. Il s'agit maintenant de vérifier à diverses sections de long de la poutre, les contraintes produites par la précontrainte (Po ou P) par les divers cas de changement (Mo, Mmax et Mmin à chaque section vérifiée). Pour ces vérifications, nous utilisons le premier principe de la précontrainte. - Zone M+ - Condition TT:

ots

o

s

eoos S

M

S

P

A

P σγσ ≥+⋅

+=

- Condition CT:

oci

o

i

eooi S

M

S

P

A

P σγσ ≤−⋅

−=

- Condition CS:

( )

cs

so

s

eOos S

MM

S

mP

A

mP σγσ ≤+

+⋅

+=

- Condition TS:

( )

ti

io

i

eooi S

MM

S

mP

A

mP σγσ ≥+

−⋅

−=

- Zone M- - Condition TT:

oti

o

i

eooi S

M

S

P

A

P σγσ ≥−⋅

−=

- Condition CT:

ocs

o

s

eoos S

M

S

P

A

P σγσ ≤+⋅

+=

- Condition CS:

( )

ci

so

i

eooi S

MM

S

mP

A

mP σγσ ≤+

−⋅

−=

- Condition TS:

( )

ts

io

s

eOos S

MM

S

mP

A

mP σγσ ≥+

+⋅

+=

Nous calculerons au sous chapitre suivant la variation de Po et de P le long de la poutre. La variation de Po tient compte de la traction de vérinage, des pertes par frottement et des pertes élastiques. La valeur de P à chaque section considérée dépend des pertes de précontrainte différées à cette section. Ensuite, puisque nous adoptons le procédé de précontrainte avec injection des gaines, nous calculerons les caractéristiques de la section homogénéisée. Les calculs de vérification des contraintes indiquent les sections pour lesquelles les contraintes admissibles ne sont pas satisfaites. Si les contraintes dans les fibres extrêmes à certaines sections dépassent les contraintes admissibles lors de la mise en précontrainte, il suffira dans ce cas de modifier légèrement le tracé du câble moyen (ou son équivalent) ou d'ajouter des armatures passives.


49

Nous notons déjà que: - les calculs de vérification des contraintes le long de la poutre ne sont pas nécessairement des calculs finaux ou définitifs puisque le tracé du câble moyen qui a été choisi pourra être modifié ultérieurement pour mieux contrôler les déformations de la poutre; - les vérifications des flèches, des états limites ultimes et des contraintes dans la zone d'about fond l'objet du chapitre IV.

III.2. PERTES DE PRECONTRAINTE

3.2.1. Principe du calcul des pertes de précontrainte

Plusieurs phénomènes inévitables tendent à réduire l'intensité de l'effort de traction dans l'acier. Ces phénomènes sont attribuables au comportement des matériaux, au mode de précontrainte et au procédé de mise en tension. En ce qui concerne les matériaux, les phénomènes qui produisent des pertes de tension sont le raccourcissement élastique, le retrait et le fluage du béton et la relaxation de l'acier. Quant au mode de précontrainte par post-tension, le frottement de l'armature de précontrainte sur sa gaine lors de la mise en tension induit une réduction de la force de traction dans l'acier le long du câble, en s'éloignant de l'extrémité active. Pour l'étude des pertes de tension, nous avons divisé les pertes en trois catégories selon l'ordre dans laquelle elles se produisent. Ces catégories sont - pertes de tension lors de la mise en tension de l'acier et au moment de l'encrage, - pertes de tension lors de la mise en précontrainte du béton dues au raccourcissement élastique instantané du béton, - pertes de tension différées dues à la relaxation de l'acier, un retrait et un fluage du béton.

III.2.2. Pertes de tension à la mise en tension et au moment de l'ancrage

III.2.2.1. Pertes par frottement

La tension (le mot tension désigne soit une contrainte, soit une force) dans l'armature devient d'autant plus fable qu'on s'éloigne du pont de mise en tension en lequel la tension est égale à Ti: ( )( )α∆+−−=∆ µKx

ii eTT 1

dx

detg == αα

Où


50

- x représente la longueur du tronçon de câble considéré (en mètre) - ∆α la déviation angulaire de ce tronçon (en radian) - Ti et Tx la traction dans l'acier au début et à la fin du tronçon respectivement - K et µ les coefficients dépendant entre autres de ka gaine et du soin apporté à

l'installation des gaines. A défaut de renseignements précis, les valeurs de µ et de K se trouvent en annexe VIII.

Nous avons déjà mentionné que les pertes par frottement sont plus importantes dans les systèmes hyperstatiques. Pour réduire ces pertes, nous proposons de faire la mise en tension d'un câble aux deux extrémités (points A et A' sur la figure III.18). Ensuite nous choisissons la gaine faite en feuillards d'acier nervuré dôme selon l'annexe VIII. µ = 0,35rd-1 et K = 0,003m-1. Dans les calculs, nous utilisons l'excentricité de la ligne de précontrainte (c'est l'excentricité effective γe pour les systèmes hyperstatiques).

Fig.III.18: Schémas de câblage

Déterminons d'abord les déviations angulaires entre les divers points: A et B, B et C; C et D; D et F;…;O et P, où A, B,…,P sont les points de ligne de précontrainte de So, S4,…,S62 respectivement:

dx

d eγα =

Equation de la ligne de précontrainte γe - Travée de rive

( )

( )

( ) (m) 10.120010.797,1013,1510.126,5

151,3213,15

10.797,1013,1510.620,9

)(10.1200.10.797,1013,1510.810,4

13,150

3323

33

3323

−−−

−−

−−−

−⋅+−=

+−=

−+−=

xx

mx

xdx

d

mxx

mx

e

e

e

γ

γγ

pp

pp

( ) 33 10.748,70813,1510.754,30 −− +−−= xdx

d eγ

m 32,825 x 32,151 ≤≤ γe=15,377.10-3 (x-15,13)2 + 697,951.10-3 (x – 15,13) –60,603.10-3 (m)


51

( ) 33e708,748.10 15,13 x 30,754.10

dxdγ −− +−−=

- Travée centrale

( )

( )[ ]

−−=

+++−=

−=

−

−

−

125

10.526dx

d

(m) 107804,40812,5x-50/ 526

cm 2517,5

(m) 106,791526,4

cm 5,170

3e

32

32e

x

x

x

x

x

e

γγ

γpp

pp

Les résultats des calculs des déviations angulaires et de la force de précontrainte dans les diverses sections sont résumés dans le tableau III.5 Prenons 6 câbles filants 12T15 pour supporter les forces Po = 10545KN. 2 10080140126 mmAps =××=

La contrainte au transfert est égale à:

MPaf

fMPaA

Pf

pu

pups

po

130218607,07,0

7,0104610080

10.10545 30

=×=

=== p

Tableau III.5: Calcul des déviations angulaires et de la force de précontrainte

Section Point x (m) ||||αααα||||(rd) ∆∆∆∆αααα(rd) ∑∑∑∑(∆∆∆∆αααα)(rd) x t (m) T-1 ouT-2* (KN)

S0 S4 S9 S14 S15 S18 S23 S28 S32 S33 S37 S44 S45 S50 S56 S62

A B C D E F G H I J K L M N O P

0 4,728 9,456 14,184 15,130 18,913 23,641 28,369 32,152 33,097 37,825 25,000 18,750 17,500 12,50 6,250 0,000

0,1348 0,0893 0,0438 0,0017 0,0108 0,0496 0,0980 0,1465 0,1853 0,1562 0 0,1315 0,1584 0,1132 0,0566 0,0000

0,2241 0,1331 0,0455 0,0125 0,0604 0,1477 0,2446 0,3318 0,3415 0,1562 0,1315 0,2899 0,2716 0,1698 0,0566

1,6973 1,4732 1,3401 1,2946 1,2821 1,2217 1,0740 0,8294 0,4976 0,1562 0 0,1315 0,4214 0,6930 0,8628 0,9194

37,825 33,097 28,369 23,641 22,695 18,913 14,184 9,456 5,674 4,728 0 6,250 7,500 12,500 18,750 25,000

TA = 10545 1 TB = 9612 1 TC = 9045 1 TD = 8777 1 TE = 8714 1 TF = 8435 1 TG = 7897 1 TH = 7147 1 TI = 6292 1 TJ = 5567 1 TK = 5197 1/2 TL = 4871 2 TM = 4385 2 TN = 3928 2 TO = 3632 2 TP = 3495 2


52

* ( )

( )[ ]αµαµ

∆⋅+−=−∆⋅+=−

1

1

exp:2

:1

KxTTT

KxTTT

K

K

Note: le calcul de la force de précontrainte a été fait par les équations T-1 ou T-2, en utilisant la valeur de x de la troisième colonne. Sur la dernière colonne 1 et 2 indique l'application de l'équation T-1 et T-2 respectivement.

III.2.2.2. Pertes de tension à l'analyse

Dans tous les procédés de mise en tension, lors du transfert de l'effort de traction du vérin à l'ancrage, le glissement dans l'ancrage, noté (g), produit une chute soudaine à la section de vérinage. Dans notre procédé STUP, la rentrée additionnelle du cône mâle varie entre 4 à 12mm lorsque le vérin relâche le câble. En conséquence, la perte de tension due à cette rentrée d'ancrage n'est pas négligeable. La longueur de glissement, Lg (longueur sur laquelle la perte de tension est nulle) est obtenue par les équations:

x

pspsg T

xEAgL

∆⋅⋅⋅

= (III.2-1)

Avec g

gixix

L

TT

x

TT

x

T −=

−=

∆ (III.2-2)

g

i

g

ig

L

T

L

TT ∆=

− 5,0

(III.2-3)

g

ix

LxT ∆Τ=∆ 5,0

Pour calculer la perte ∆Ti, il faut connaître l'une des valeurs Ti ou Tx. Or, la valeur inconnue Ti ou Tx est déjà calculée sur le tableau III.6.


53

Notons que la valeur Tp n'atteint pas la force requise à la section S62; En effet, il faut ajouter des armatures passives dans certaines sections qui ne vérifient pas la contrainte dans le béton. Mais pour économiser ces armatures passives, nous proposons d'exploiter les 6 câbles d'acier précontraint, à condition que la contrainte au vérinage fpi soit inférieure à la contrainte maximale au vérinage qui est égale à 0,80fpu pour l'acier à relaxation normale. Notons T la torection de vérinage.

6)-(III.2 Let

5)-(III.2 2

TOr

4)-(III.2

TTor

8,0

2g

i

A

x

psps

g

psps

Apspii

pips

iA

i

pipups

T

xeAg

L

EAg

TAfT

fA

TT

T

ffA

T

∆⋅⋅⋅

=

⋅⋅=∆

−⋅≤∆⇒

≤∆+

∆+=

=≤

En introduisant (III.2-6) dans (III.2-5), (III.2-4) devient:

( )24Apspix

psps TAfTx

EAg−⋅∆⋅

⋅⋅p

Avec ( )( )α∆−−−=−=∆ µkxAx eTT 1TT A

Alors (III.2-4) devient une équation du second degré:

( )( ) ( ) 012

2 22fpspiA

µkxpspipsA AfTe

x

EgfAT ⋅+

−

⋅+− ∆−− α (III.2-5)

Avec: - Aps = 10080mm² - Eps = 190 000MPa - k = 0,003m-1 - µ = 0,35rd-1 - fpi = 0,8 x 1 860 = 1 488MPa - g = 7mm Mais choisissons le point B comme point de référence. Alors, Tx = TB x= 4728mm et ∆α = 0,2241rd La résolution de (III.2-5) donne: KNTA 11588≤ Prenons TA = 11580KN; ce qui donne: TB = 10556KN

( )

mm 68,786758,216

190000100807L

N/mm 58,2164728

10.1055611580

g

3

=××=

=−=−

=∆

x

TT

x

T BAx

L'équation suivante donne la chute de tension à l'ouvrage:


54

KN 3408Tsoit

10.97,340768,7867

19000010080722

i

3

=∆

=×××=⋅⋅

=∆g

pspsi L

EAgT

La surtension nécessaire pour atteindre TA = 11580KN doit être une traction de vérinage de 14988KN. La contrainte de vérinage fpi dans l'acier de précontrainte est alors égale à

MPaf

fKNf

pu

pupi

1860

8,01488148710080

10.14988 3

=

=== p


55

Tableau III.6: Solution optimale de la force de précontrainte Section x (m) ||||αααα||||(rd) ∆∆∆∆αααα(rd) ∑∑∑∑(∆∆∆∆αααα)(rd) x t (m) T-1 ouT-2* (KN) S0 S4 S9 S14 S15 S18 S23 S28 S32 S33 S37 S44 S45 S50 S56 S62

0 4,728 9,456 14,184 15,130 18,913 23,641 28,369 32,152 33,097 37,825 25,000 18,750 17,500 12,50 6,250 0,000

0,1348 0,0893 0,0438 0,0017 0,0108 0,0496 0,0980 0,1465 0,1853 0,1562 0 0,1315 0,1584 0,1132 0,0566 0,0000

0,2241 0,1331 0,0455 0,0125 0,0604 0,1477 0,2446 0,3318 0,3415 0,1562 0,1315 0,2899 0,2716 0,1698 0,0566

1,6973 1,4732 1,3401 1,2946 1,2821 1,2217 1,0740 0,8294 0,4976 0,1562 0 0,1315 0,4214 0,6930 0,8628 0,9194

37,825 33,097 28,369 23,641 22,695 18,913 14,184 9,456 5,674 4,728 0 6,250 7,500 12,500 18,750 25,000

TA = 11580 1 TB = 10556 1 TC = 9933 1 TD = 9639 1 TE = 9569 1 TF = 9264 1 TG = 8673 1 TH = 7849 1 TI = 6919 1 TJ = 6114 1 TK = 5707 1/2 TL = 5349 2 TM = 4815 2 TN = 4313 2 TO = 3989 2 TP = 3838 2

* ( )

( )[ ]αµαµ

∆⋅+−=−∆⋅+=−

1

1

exp:2

:1

KxTTT

KxTTT

K

K

III.2.3. Pertes élastiques instantanée

Lors da la mise en précontrainte du béton, celui-ci subit une déformation élastique instantanée par compression. Nous avons proposé que les câbles de post-tension seront tendus successivement. Cette non simultanéité de la mise en tension engendre une perte instantanée dans les autres câbles. On peut interpréter ce phénomène à l'aide de la force de rappel à l'intérieur du câble provenant de la mise en tension et celle de la déformation du béton au fur et à mesure qu'on effectue la mise en tension. Avant d'interpréter la perte instantanée, il est nécessaire de préciser le moment où cette perte a lieu. Celle-ci présente au moment de mise en tension. Prenons par exemple qu'on fait successivement une à une la mise en tension. On débute par le câble n°1; il n'y a pas de perte instantanée au niveau de ce câble. On effectue ensuite la mise en tension du câble n°2 puisque celui-ci s'appuie sur le bout de la poutre à l'aide des ancrages, par principe de l'action et de la réaction. Une nouvelle position d'équilibre a lieu par raccourcissement du béton dû à l'effort dans le câble n°2; il y a diminution de déformation au niveau du câble n°1 due au raccourcissement du béton. La linéarité entre contrainte et


56

déformation montre qu'il y a diminution de contrainte car le câble est dans le domaine élastique, alors la chute de tension est provoquée par la perte de déformation. Pour la mise en tension dans le câble n°3, les câbles n°1 et n°2 perdent leur déformation mais cette chute n'est pas la même, ce qui se traduit par une chute de tension pour les câbles n°1 et n°2. Pour la perte instantanée, si on fait simultanément la mise en tension de tous les câbles, elle est moindre, mais dans le cas où la mise en tension est successive, le dernier groupe où l'on effectue la mise en tension n'est pas concerné par cette perte. Nous avons déjà déterminé que la pièce est précontrainte par 6 câbles ayant tous la même section et ceux-ci transmettent tous la même une force de précontrainte, soit Po / 6. Nous admettons que les câbles seront mis en tension par groupe de deux (mise en tension simultanée de deux câbles, en trois séries). Le premier groupe de câbles tendus subit une perte élastique causée par la mise en tension des deux autres groupes. La force de précontrainte causée par ces six câbles est égal à (Po / 6) x 4. Le second groupe de câbles subit une perte élastique; produite par une force de précontrainte égale à (Po / 6) x 2), et ainsi de suite: le dernier groupe de câbles ne subit aucune chute de tension due à al perte élastique. Le coefficient permettant de calculer les pertes élastiques produites par une force de précontrainte, dite "force de précontrainte moyenne", est donné par la sommation suivante:

- 1er groupe…………………………….(Po / 6) x 4 - 2ème groupe…………………………...(Po / 6) x 2 - 3ème groupe…………………………...(Po / 6) x 0

Total………………………………………………Po

D'où le coefficient en moyenne est égal à oP3

1

Donc la perte élastique totale résultant de la mise en tension de 6 câbles est donnée par la formule suivante:

pspsco

bo EAE

P ⋅⋅

=∆

σ3

1

Avec σba: la contrainte à une section quelconque, calculée par la formule:

( )

I

M

I

p

A

P eoEOoba

γγσ ++

⋅+=

2

Où Mo: représente le moment fléchissant de la pièce au transfert de la force de précontrainte Po: la force de précontrainte au transfert à la section considérée après la perte élastique. Après avoir calculée les pertes élastiques en utilisant la force Po, on peut calculer Pi avec l'équation: oii PPP ∆+=

Par conséquent, nous adaptons la recommandation de Jacques FAUCHART et André PICARD, qui consiste à prendre la perte élastique comme étant égale au quart de al perte différée due au fluage pour la post-tension.


57

PREMIÈRE PHASE DE VÉRIFICATION

Nous vérifions les contraintes produites par la précontrainte Tx (valeurs conformes au tableau III-2-2). Ces vérifications ont pour but de diminuer l'erreur due aux calculs des pertes différées qui dépendent beaucoup de la quantité d'armature. Il ne faut pas oublier que le calcul des pertes instantanées dépend aussi des résultats des calculs des pertes dus au fluage. Par conséquent, nous utilisons les caractéristiques géométriques de la section homogénéisée. Bien que plus complexe, cette solution est plus exacte. En effet, dans ces équations de vérifications mentionnées au paragraphe 3.1:

- A représente l'aire de section homogénéisée, dénoté Ah - ( ) psh A1-nAA +=

Avec c

ps

E

En = :

Coefficient d'équivalent de cette armature Eps: module d'élasticité d'armature de précontrainte 190000MPa Ec: module d'élasticité du béton donné par l'équation:

( )23

h

2ps

c

ps

c

3

c

c1,5

C

mm 1391498501981341,3.10A

mm 50198100804,98A1n

5,9831799

190000

E

Enoù d'

31799MPaE

2500Kg/m :bétondu volumiquemasse w

35MPaf'où

f'0,043wE

=+=

=×=−

===

==

==

N.B: Pour le calcul on remplace e par γe Soit y la distance entre les deux centres de gravité (béton brut et homogénéisé).

On donc:

( )

eγ 03607:0y

A

γeA1ny

h

ps

=

⋅−=

A = 1341,3.103 mm² I = 1,3821.1012 mm4 Ss = 1261,04.108 mm3 Si = 766,13.106 mm3 Si = 766,13.106 mm3 Y i = 1804 mm Ys = 1096 mm Cgb: centre de gravité du béton Cga: centre de gravité d'acier précontrainte


58

L'excentricité de la force de précontrainte par rapport au centre de gravité de Ah est donnée par: yeeh −= γ

Le moment d'inertie de la section homogénéisée est approximativement égal à:

( ) ( ) ( )

ihsh

ih

hihiih

hpsh

yht

IS

y

ISyyy

eAnyAII

−=⇒

=⇒+=

−++= 22 1

Les tableaux III.7 et III.8 représentent les résultats des calculs des caractéristiques de la section homogénéisée et la première phase de vérification.

Tableau III.7: Caractéristiques de la section homogénéisée utilisées dans les calculs Section eh

(mm) Ih (1012mm 4)

Ssh (106mm 3)

Sib (106mm)

Mo (KNm)

(Mo+Ms)min (KNm)

(Mo+Ms)max (KNm)

Po (KN)

S0 -96 1,3826 1257,39 767,93 0 0 0 11580 S4 -606 1,4012 1252,49 786,63 1749 1541 3310 10556 S9 -909 1,4252 1261,23 805,20 2748 2295 5332 9933 S14 -1005 1,4348 1265,735 812,26 2998 2263 5937 9639 S18 -889 1,4233 1260,33 803,81 2498 1444 5471 9264 S23 -553 1,3980 1251,88 783,95 1248 -161 3664 8673 S28 5 1,3821 1261,23 766,06 -751 -2641 647 7849 S33 765 1,4126 1323,395 770,82 -3499 -6403 -3052 6114 S37 1146 1,4505 1377,24 785,41 -6998 -12005 -6618 5707 S44 746 1,4111 1321,11 770,30 -2413 -4072 -1668 5349 S50 -81 1,3824 1257,75 767,62 861 -185 2910 4313 S56 -593 1,4004 1252,36 785,95 2826 1899 6143 3989 S62 -763 1,4125 1256,09 795,56 3481 2574 7257 3838 Tableau III.8: Calcul des contraintes (en MPa)

Au transfert En service Sections Condition TT

(MPa) Condition CT

(MPa) Condition TS

(MPa) Condition CS

(MPa) S0 7,74 9,77 7,82 5,95 S4 3,88 13,49 8,37 4,63 S9 2,16 14,94 8,06 4,21 S14 1,64 15,16 7,77 4,11 S18 2,11 13,80 6,72 4,44 S23 3,40 10,76 5,21 4,85 S28 6,57 5,05 2,44 7,92 S33 2,87 5,28 1,50 6,97 S37 4,68 3,77 -1,64 +11,90 S44 1,80 5,04 2,41 4,22 S50 3,51 2,43 -0,95 4,57 S56 3,23 2,28 -3,11 5,69 S62 3,20 2,06 -3,97 6,72

σoc = 18 MPa σc = -14MPa σot = -1,4MPa σc = -2,96MPa

Nous constatons que les contraintes dans les fibres extrêmes à certaines sections dépassent les contraintes maximales du béton comme la section:


59

tMPaMPai

S

tMPaMPa

iS

σσ

σσ

=−−=

=−−=

96,297,3:62

96,211,3:56

f

f

En effet, la fibre inférieure des sections S56, S62 est sur tendu. Donc, il s'agit de calculer l'armature passive résister à la traction. Nous utilisons la méthode du B.A.E.L. 1991. Les barres d'armature doivent résister à l'effort de traction total dans le béton calculé à partir de l'hypothèse de la section no fissurée. La contrainte limite d'aciers tendus est égale à la plus petite des deux valeurs suivantes:

=y

f3

2

tjηf110

Min σs

Où - fy: la limite d'élasticité d'armature passive; prenons fy = 400MPa - ftj: la contrainte du béton à la traction à un temps t quelconque (t: âge du béton après le coulage).

ct0,06f'0,6

tjf +=

- f'ct: la résistance du béton à la compression à un temps t quelconque après coulage; soit f'ct: 30MPa lors de la mise en précontrainte; f'ct: 35MPa en service. Comme la contrainte en service de la fibre inférieure des sections S56, S62 n'est pas vérifiée, nous prenons donc f'ct = 35MPa D'où ftj = 0,6 + 0,06 x 35 = 2,7MPa η = 1,6 pour l'acier haute adhérence de diamètre supérieur à 6mm D'où

=×

=×

MPa

MPa

2287,26,1110

2674003

2

choisir la plus petite valeur

Soit 228MPa Pour simplifier le calcul, nous allons remplacer le talon de la poutre par un talon équivalent à épaisseur constante.


60

b) Contrainte de traction

Figure III.19

La distance séparant l'axe neutre de la fibre inférieure de la poutre est donnée par:

1075mm29006,723,96

3,96h

σσ

σd t

si

ian =×

+=⋅

+=

La force de traction totale dans le béton est donnée par:

7312

69,2270344

2

69,296,3620 ××+×

+×=tF

974619NFt =

L'aire de l'armature passive requise est égale à:

2

s

ts 4275mm

228

974619

σ

FA ==≥

Soit 14 T 20 = 43,98cm² Nous admettons que cette armature passive de section S62 est requise à partir des extrémités de la pièce jusqu'à la section où la contrainte de traction à la fibre inférieure devient égale à la contrainte admissible. Nous recalculons alors les contraintes produites par la précontrainte Po pour la section S56 et S62. La section homogénéisée de la poutre devient: ( )( )spsh AA1nAA +−+=

Supposons que le coefficient d'équivalence (n) est le même pour l'armature de précontrainte (Aps) et l'armature passive (As): ( )( ) ( ) 72100mm²4398100804,98AA1n sps =+=+−


61

D'où 141340mm²72101031341,3A 0h =+×=

- Calcul des valeurs limites des positions de l'armature passive nécessaire pour empêcher l'excès de contrainte de traction.

D'après la structure de calcul utilisée pour le calcul de l'armature passive, nous supposons qu'elle est envisagée pour équilibrer toutes les parties tendues du béton. Donc l'équilibre statique nous dicte de positionner cette armature au centre de gravité de l'effort à équilibrer. Or, notre pièce est destinée pour résister à la flexion, la hauteur utile joue alors un rôle important sur l'équilibrage des moments fléchissants. Par ailleurs, elle participe à la limitation de l'ouverture sur la fibre la plus tendue, c'est-à-dire l'ouverture due à la contrainte principale de traction. Il ne faut pas non plus oublier l'enrobage en tant que protecteur des armatures.

eg: position du centre de gravité par rapport à la fibre la plus tendue. Schéma de l'effort à équilibrer Tableau III.9

N° d'élément Surface (mm²)

Centre de gravité (mm) Moment statique (mm 3)

1 739 949 163 120 285 687 2 292 108 587 171 467 369

Somme 1 030 057 291 753 093

283mm1030057

291753093eg ==

Enrobage: 283mme07 ≤p Le centre de pression appliqué à la poutre est donné par la formule:

( )( )( )

yee

A

eAA1nyoù d'

AA

AγeAe

oh

h

osps

sps

spso

−=

+−=

+−⋅

=

III.2.3. Pertes de précontrainte différées

Les pertes calculées précédemment sont celles qui se produisent avant d'atteindre Po; les pertes différées se produisent après avoir atteint Po. Ces phénomènes différées qui causent des pertes de précontrainte sont le retrait et le fluage du béton et la relaxation de l'acier. Le fluage ne se produit pas sous une force de compression permanente égale à Po, mais sous une variable dans le temps. De même la relaxation de l'acier ne se produit pas sous un


62

allongement constant correspondant à la traction Po. Donc la division du temps est essentielle. C'est pour cela que nous avons recherché quelques renseignements concernant le déroulement des travaux des ponts en béton précontraint au sein des Entreprises CAMBOGI CONSTRUZIONI, STPI, COLAS et LNTPB. Donc dans notre projet, nous estimons que: - la poutre est mise en précontrainte 15 jours après la mise en place du béton et 8 jours après la fin de la cure (cure normale de 7 jours). - les gaines seront injectées peu de temps après la mise en précontrainte; - l'addition des charges permanentes produites par le trottoir, les revêtements et les garde-corps, sera fait trois semaines après la mise en précontraintes; - trois mois après la mise en précontrainte, une augmentation de surcharge donne les moments totaux. Pour les calculs, nous choisissons les trois intervalles de temps suivants: - de la mise en précontrainte jusqu'à 3 semaines (21 jours) - de 21 jours à 90 jours, - et de 90 jours jusqu'au moment où la force de précontrainte finale sera atteinte.

III.2.3.1. Pertes dues au retrait

Le retrait est la diminution de volume du béton produit par le séchage. Le béton contient plus d'eau qu'il n'en est nécessaire pour l'hydratation du ciment (traitement de mûrissement du béton: c'est la cure du béton). Lorsque la cure est terminée, l'eau qui ne sert pas à l'hydratation du ciment s'évapore, c'est-à-dire le béton sèche et se contracte. A noter que le retrait ne débute qu'après la cure. Le retrait final de référence est donné par l'équation: ( ) 6

cr 100,0180E1130δ −−=

Valide pour le béton à densité normale et 40500MPaEc p

Où Ec est le module d'élasticité instantané à 28 j (en MPa) de béton, et donné par l'équation:

c1,5

c f'0,043wE =

avec f'c = 35MPa w = 2500kg / m3, masse volumique du béton

d'où ( )6

r

6r

c

558.10δ

.10317990,01801130δ

31799MPaE

−

−

=

×−=

=

les coefficients correctifs sont données par les équations: - Kth: coefficient tenant compte du pourcentage d'humidité (pH)

70pH si 0,0287pH2,87K

70pH si 0,007pH1,35K

r

rh

≥−=≤−=

Pour le calcul, nous utilisons un pourcentage d'humidité équivalent à l'humidité moyenne annuelle (1957-1984) sur la station d'Antsirabe (station la plus proche du site de l'ouvrage), soit pH = 77. [Source, Service Météorologique réf STATION ANTSIRABE: humidité relatif de l'aire (1957-1984)] D'où 66,0K rh = - Kf est le coefficient correctif tenant compte de la forme de la pièce


63

====

≥=

≤−=

surface

volume

S

V 122mm

10986

1341,3.10

P

A

S

V

150mmS

Vsi 0,61K

150mmS

Vsi

S

V0,00351,13K

3

f

f

Où P: périmètre de la section A: aire de la section D'où Kf = 0,70 - Kr est le coefficient correctif tenant compte de la présence d'armature Kr = 1-17r Où r est le rapport d'armature

10080A avec A

AAr

ansversalesection tr la de aire

alelongitudin armature toutedesection la de airer

pssps =

+=

=

As = 4396 mm² pour les sections S56 à S62 As = 0 pour autre section

Tableau III.10

Section S 56-S62 Autre section r 0,011 0,0075 Kr 0 ,82 0,87

Le retrait débute 8 jours avant la mise en précontrainte (to = 8j) c'est-à-dire 8 jours avant le début des pertes de précontraintes, en tenant compte dans le calcul que le temps pour retrait est différent du temps considérés dans le calcul des pertes. Il faut calculer le fonction du temps pour le retrait à 8 jours, à 29 jours à 98 jours et à long terme.

1)(f

0,7373598

98(98)f

0,4533529

29(29)f

0,186358

8(t)f

normale) (cure 35t

t(t)f

r

r

r

r

r

→∞

=+

=

=+

=

=+

=

+=

Le raccourcissement unitaire à considérer pour le calcul des pertes dues au retrait est donné par:

[ ][ ]

[ ])(tf(t)f224,28.10

)(tf(t)f 0,870,700,66558106ε

)(tf(t)fKKKεε

orr6

orrrt

orrrfrhrrt

−=

−×××=−⋅⋅⋅=

−

Les pertes de précontrainte dues au retrait sont données par l'équation


64

[ ]

[ ]236,68KN

190000100800,1160,737224,28.10jrs) 29 à (8∆P

114,69KN

190000100800,1860,453224,28.10jrs) 29 à (8∆P

EAε∆P

6-rb

6-rb

pspsrtrb

=××−=

=××−=

⋅⋅=

[ ]

249,65KN

190000100800,1861,000224,28.10(total)∆P 6rb

=××−= −

Notons l'intervalle I1 = 0 à 21 jours I2 = 21 à 90 jours I3 = 90 à l'infini

112,97KN236,68349,65)(I∆P

121,99KN114,69236,68)(I∆P

114,69KN)(I∆P

1rb

2rb

1rb

=−==−=

=

Tableau III.11

Section S 56-S62 Autre section ∆Prb (I1) 108,10KN 114,69KN ∆Prb (I2) 114,98KN 121,99KN ∆Prb (I3) 106,48KN 112,97KN

III.2.3.2. Pertes dues au fluage et à la relaxation des aciers

Le fluage final de référence est donné par l'équation: ( ) 28000MPaEpour valideMPa25.10.10317990,005235ε c

166f f

−−− =×−=

Cure normale et béton à densité normale Puisque Ec = 31 799MPa On a ( ) 166

f MPa76.10.10317990,005235ε −−− =×−= Les coefficients correctifs sont donnés par les équations suivantes Kf = 0,70 (même valeur pour le retrait) Krh = 1,5-0,01 pH (si pH ≥ 50) Pour PH = 77 on a Krh = 0,73 Le coefficient Ka est donné par

0,91)(t 1,26K

jours) 7(t 0,037t1,26K0,12

aa

uuu

==

≤−=−

Où ta représente l'âge du béton au moment de la mise en précontrainte du béton, donc ta = 15 jours d'où 0,91(15) 1,26K 0,12

a == −

- La fonction temps par le fluage est donnée par l'équation


65

0,4020,598-1,000) à (90f

1,000)(f

0,2150,383-0,59890) à (21f

0,598(90)f

0,383(21)ft10

tf

f

f

f

f

f

0,6

0,6

f

==∞=∞

====+

=

Le raccourcissement unitaire dû au fluage pour une contrainte de 1MPa est donné par l'équation:

(t)f35,34.10ε

(t)0,91f0,700,7376.10

(t)fKKKεε

f6

ft

f6-

fafffft th

−=

×××=

⋅⋅⋅⋅=

La perte de précontrainte due est donnée par pspsbaftf EAσε∆P ⋅⋅⋅=

Où σba Représente la contrainte dans le béton au niveau du centre de l'acier de précontrainte, causée par les charges permanentes à une section quelconque.

fm I

γeM

I

(γγeP

A

Pσ t

2tt

ba

⋅++=

avec Pt est la force de précontrainte à un temps t quelconque (P < P < P) Mt: est le moment fléchissant à un temps t quelconque dû à la charge permanente. La principale difficulté consiste à évaluer δa pour chaque intervalle. Nous utilisions la valeur de moyenne δba durant l'intervalle puisque la force de précontrainte Pt varie continuellement à cause du retrait, du fluage et de la relaxation. Or la force Pt à la fin de l'intervalle n'est pas connue. Notons que avec calcul sur l'ordinateur cette difficulté n'existe pas. En effet, comme nous choisissons des intervalles de temps courts. Nous pouvons utiliser, pour le calcul de σba la valeur de Pt au début de chaque intervalle, en commençant par le premier. Nous espérons que pour le court intervalle de temps, l'erreur est négligeable. Comme les phénomènes différés augmentent à un taux décroissant avec le temps à longueur variable, courts au début et plus long vers la fin. Nous calculons les pertes différées à toutes les sections étudiées. Le procédé de calcul est montré à l'étude de la section S4. Les résultats des autres sections seront trouver dans l'annexe XI.

- Etude de la section S4

Evaluons les pertes dues au fluage et à la relaxation pour le premier intervalle en considérant que Po = Pt = 10 556KN, durant cette intervalle. La contrainte σba est égale à:

9,60MPaσ

1,4012.10

606)(1749.10

1,4012.10

606)(10556.10

1391498

10556.10σ

ba

12

6

12

33

ba

=

−×+−×+=

Nous obtenons:

148,73KN)∆f(I

190000100809,60,38335,34.10)∆f(I

1

61

=××××= −

La perte de contrainte par relaxation est donnée par l'équation:


66

−

−=−= 0,55

f

σ

10

log24tlog24tσσσ∆σ

pu

iniiinfninn

Cela est valide pour l'acier à relaxation normale. Où σin = la contrainte initiale dans l'acier σfn = la contrainte finale dans l'acier L'indice n = indique le numéros de l'intervalle ti = le temps au début de l'intervalle (en jours) tj = le temps à la fin de l'intervalle (en jours)

Si pour un intervalle quelconque le rapport 0,55f

σ

py

in =

La perte de tension est nulle et la relaxation est terminée.

Dans le premier intervalle on a jours 21et t jours 24

1t ji == , la contrainte dans l'acier

est égal à:

1047,22MPa10080

10556.10σi

3

1 ==

La limite d'élasticité 1581MPa18600,85f py =×= (acier de relaxation normale)

−

−×= 0,551581

1047,22

10

log121log241047,22∆σ2

31,80MPa∆σ1 = D'où la perte de précontrainte due à la relaxation de l'acier est égale à

320,58KN)(I∆P

30,8010080∆σA)(I∆P

1ra

1ps1ra

=

×=⋅=

La Perte totale pour le premier intervalle est donc égale à:

684,00KN320,58248,73114,69

)(Ι∆Ρ)(Ι∆Ρ)(I∆P)(I∆P 1ra1f1rb1ra

=++=++=

La force de précontrainte à la fin de l'intervalle est égal à: 9872KN68410556∆ΡΡ 101 =−==−Ρ

La perte de précontrainte ∆P1 est surévaluée et la force P1est sous évalué, puisque la force Pt n'est pas égale à Po durant tout l'intervalle. La perte due à la relaxation est celle qui est la plus surévaluée parce que le phénomène le plus rapide, surtout pour l'acier à la relaxation normale.

Nous recommençons alors le calcul avec 2

Ρ 1t

Ρ+Ρ= o

1013,29MPa10080

10214.10σiet 10214,00KN

2

987210556Ρ

3

1t ===+=

Notons que ces deux valeurs sont inférieures à la valeur moyenne réelle durant l'intervalle puisque P1 est sous évaluée. A la fin de la première itération, les pertes seront donc sous évalués; nous obtenons alors:

9950,31KNΡ 605,69KN∆Ρ 250,96KN)(Ι∆Ρ

24,90MPa∆σ 240,04KN)∆Ρf(I 9,26MPaσ

111x

11ba

======

Une deuxième itération


67

MPa

t

18,101710080

10.13,10253et

10253,15KN 2

)31,995010556(

2

3

1

10

==

=

+=Ρ+Ρ

=Ρ

σ

donne 9941,54Κ9Ρ 614,46KN∆Ρ 258,73KN)(Ι∆Ρ

25,67MPa∆σ 241,04KN)(Ι∆Ρ 9,30MPaσ

111ra

21fba

===+==

Une troisième itération

( )

( )9942,53KNΡ 613,47KN∆Ρ 257,86Κ5)(Ι∆Ρ

25,58MPa∆σ 240,92Κ4Ι∆Ρ 9,29MPaσ

1016,74Μ0110080

010248,77.1σ

10248,77Κ0 2

9941,5410556

2

)Ρ(ΡΡ

111ra

11fba

3

il

1ot

======

==

=

+=+

=

La valeur obtenue après la troisième itération (9942,53KN) est suffisamment près de celle obtenue après la deuxième itération (9941,54). Pour arrêter les calculs, la force de précontrainte à la fin du premier intervalle à la section étudiée est égale à:

ΚΝ=+=Ρ 04,99422

54,994153,99421

Deuxième intervalle I2:

Pertes dues au fluage et à la relaxation. On commence les calculs avec Pt = P1 = 9942,04KN et

ai ΜΡ== 36,98610080

10.04,9942 3

2σ . Le moment fléchissant à la section étudiée, dû à la charge

permanente [poids propre de la partie et charge additionnelle (trottoir, revêtement, grade de corps)] est égal à 2040KN.m durant l'intervalle I2 d'où δba = 8,87MPa 1900001008087,8215.,10.34,35)( 6

2 ××××=Ι∆Ρ −f

ΚΝ=Ι∆Ρ 04,129)( 2f

( ) ( )

−

×−×=∆ 55,01581

36,986

10

2124log9024log36,9862σ

a 16,42 ΜΡ=∆σ

ΚΝ=×=Ι∆Ρ 43,461008016,4)( 2ra

Une estimation de la perte pour la deuxième intervalle donne: 48,29743,4604,12999,1212 =++=∆Ρ

La force de précontrainte est alors égale à P1-∆P2 ΚΝ=−=Ρ 56,964448,29704,99422

Une première itération avec


68

ΚΝ=ΡΚΝ=∆ΡΚΝ=Ι∆ΡΜΡ=∆ΚΝ=Ι∆ΡΜΡ=

ΜΡ==

ΚΝ=Ρ

+=Ρ+Ρ

=Ρ

42,9653 11,289 14,40)(

98,3 98,126)( a 73,8

03,97210080

10.10,9798

79,97932

56,964404,9942

2

222

22f

3

2

1

ra

ba

i

t

t

a

a

σσ

σ

La force de précontrainte à la deuxième intervalle à la section étudiée est égale à:

ΚΝ=+=Ρ 54,96532

66,965342,96532

Troisième intervalle I3

Nous commençons les calculs avec Pt = P2 = 9653,54 KN et

a, 68,95710080

10.54,9653 3

3 ΜΡ==iσ le moment fléchissant à la section étudiée dû à la charge

permanent est encore égal à 2040 KN.m durant le troisième intervalle.

ΚΝ=Ι∆Ρ××××=Ι∆Ρ

ΜΡ=−

60,233)(

1900001008059,8402,010.34,35)(

a 59,8

3f

63f

baσ

Pour utiliser l'équation ∆σ3, supposons tj = 30 ans = 10950 jours (ti =90 jours).

ΚΝ=×=Ι∆ΡΜΡ=∆

−

−=∆

21,1121008013,11)(

a 13,11

55,01581

68,957

10

2160log262800log68,957

3ra

3

3

σ

σ

Une première itération avec

a 68,95710080

10.15,9424et 15,9424

2

76,919454,9653

23

i3

32

ΜΡ==ΚΝ=Ρ

+=Ρ+Ρ

=Ρ

σt

t

Une deuxième itération avec

a 76,93610080

10.57,9443et 57,9443

2

72,923154,9653

3

i3 ΜΡ==ΚΝ=Ρ

+=Ρ

σt

t

Donne ΚΝ=Ρ=∆Ρ 76,9226 66,424 33

Nous admettons que la force de précontrainte finale ou à long terme, dénotée P est égale à

ΚΝ=+=Ρ=Ρ 92292

72,923176,92263

En réalité la valeur Po = 10556KN n'est pas la force de précontrainte au transfert. Comme nous avons exploité au maximum les six câbles, donc il faut soustraire la valeur 10556 par le quart de la perte due au fluage.

D'où ΚΝ=×−=Ρ 1040784,5954

110556o


69

Donc le coefficient d'efficacité de la précontrainte est donnée par

89,010407

9229m

o

==ΡΡ=

DEUXIÈME PHASE DE VÉRIFICATION DES CONTRAINTES CONFORMÉMENT A E.L.S.

CALCULS DES ARMATURES PASSIVES

Nous avons les résultats finaux force de précontrainte présentés à l'annexe XI-B et la force de précontrainte au transfert Po. En effet, nous vérifions la contrainte produite par (P ou Po) et par les diverses du changement conformément à l'état limite de service. Pour ces vérifications, nous utilisons le premier principe de la précontrainte en utilisant les caractéristiques géométriques de la section homogénéisée. Ensuite, nous calculerons les armatures passives. Les procédés de calcul est la même qu'à la première phase de vérification. D'où les résultats de calculs se trouve dans le tableau III.12. Tableau III.12: Résumés des calculs de contrainte

Au transfert En service Sections Condition TT

σσσσ (MPa) Condition CT

δδδδ (en MPa) Condition TS

δδδδ (en MPa) Condition CS

δδδδ (en MPa) S0 7,354 9,659 8,413 6,405 S4 3,840 13,251 9,523 4,810 S9 2,159 14,627 9,486 4,210 S14 1,656 15,815 9,260 4,052 S18 2,103 13,506 8,217 4,450 S23 3,365 10,585 6,487 5,097 S28 6,505 5,011 3,062 8,529 S33 2,886 5,186 2,245 6,811 S37 4,719 3,697 -0,694 11,454 S44 1,814 4,947 2,971 4,107 S50 3,475 2,393 -0,684 4,780 S56 3,411 1,797 -3,016 5,871 S62 -1,898 10,122 -4,008 6,350

Notes: Zone M+

(T.S) σS

Μ

S

Ρ

Α

Ρσ

(C.S) σS

)Μ(Μ

S

Ρ

Α

Ρσ

(C.T) σS

Μ

S

eΡ

Α

Ρσ

(T.T) σS

Μ

S

eΡ

Α

Ρσ

tsh

o

sh

eh

hi

csh

so

sh

eh

hs

otsh

o

sh

ho

h

oi

otsh

o

sh

ho

h

os

≥−−=

≤+

++=

≤−⋅

−=

≥+⋅

+=

Zone M-


70

(C.S) σS

Μ

S

Ρ

Α

Ρσ

(T.S) σS

)Μ(Μ

S

Ρ

Α

Ρσ

(T.T) σS

Μ

S

eΡ

Α

Ρσ

(C.T) σS

Μ

S

eΡ

Α

Ρσ

tsh

o

sh

eh

hi

csh

so

sh

eh

hs

otsh

o

sh

ho

h

oi

otsh

o

sh

ho

h

os

≥−−=

≤+

++=

≤−⋅

−=

≥+⋅

+=

Contraintes limites admissibles

σot = 18MPa σoc = -1;4MPa σc = 14MPa σt = -2,96MPa Nous constatons que les contraintes dans les fibres extrêmes (fibres supérieures) de la section S56, S62 dépassent les contraintes maximales du béton. Même procédé de calcul à la première phase de vérification à l'état limite de service. Nous obtenons As ≥ 4736mm² Soit 6T32 = 4825mm² Nous admettons que cette armature passive de section S62 est requise à partir des extrémités de la pièce jusqu'à la section où la contrainte de traction à la fibre inférieure devient égale à la contrainte admissible.


71

Tableau III.13: Caractéristiques de la section homogénéisée utilisée dans les calculs

Section Ah eh (mm) I h (1012mm 4)

Ssh (106mm 3)

Sib (106mm)

Mo (KNm) (M o+Ms)min (KNm)

(Mo+Ms)max (KNm)

Po (KN) P (KN)

S0 1391498 -96 1,3826 1257,39 767,93 0 0 0 11449 9971,45

S4 1391498 -606 1,4012 1252,49 786,63 1749 1541 3310 10407 9229

S9 1391498 -909 1,4252 1261,23 805,20 2748 2295 5332 9763,97 3718,72

S14 1391498 -1005 1,4348 1265,735 812,26 2998 2263 5937 9461,26 3471,4

S18 1391498 -889 1,4233 1260,33 803,81 2498 1444 5471 9105 8233,72

S23 1391498 -553 1,3980 1251,88 783,95 1248 -161 3664 8551 7837,15

S28 1391498 5 1,3821 1261,23 766,06 -751 -2641 647 7758,02 7135,43

S33 1391498 765 1,4126 1323,395 770,82 -3499 -6403 -3052 6038,56 5473,70

S37 1391498 1146 1,4505 1377,24 785,41 -6998 -12005 -6618 5660,59 5173,70

S44 1391498 746 1,4111 1321,11 770,30 -2413 -4072 -1668 5278,21 4716,17

S50 1391498 -81 1,3824 1257,75 767,62 861 -185 2910 4264,55 3769,54

S56 1391498 -516 1,4003 1278,67 787,71 2826 1899 6143 3951,57 3509,72

S62 1391498 -639 1,4100 1287,91 795,99 3481 2574 7257 3806,63 3383,04


72

IV. JUSTIFICATION DES PIÈCES SOUS SOLLICITATION NORMALES CALCULS DES ARMATURES PASSIVES (ELU)

IV.1 GENERALITES

Jusqu'à maintenant nous nous sommes surtout intéressés aux problèmes de dimensionnement des pièces fléchies précontraintes. Pour réaliser le dimensionnement de ces pièces nous avons considéré les contraintes produites dans le béton les deux chargements les plus critiques en service normal, soit à la mise en précontrainte du béton et sous la charge d'utilisation maximale. Toutefois, le fait de satisfaire les contraintes admissibles sous ces deux charges critiques ne garantit pas une sécurité suffisante vis-à-vis à la rupture. En effet, il se pourrait qu'un faible dépassement des charges d'utilisation prévues entraîne la ruine de la pièce ou de l'ouvrage. Pour contrecarrer une telle éventualité, il est essentiel de vérifier les états limites ultimes. En effet, nous vérifions si le règle de sécurité est satisfaire en comparant la résistance ultime de la pièce à la résistance ultime minimale exigée. Par conséquent, nous vérifions si l'équation:

2)-(IV.1 Φ

VαV

1)-(IV.1 Φ

ΜαΜ

fΕu

fΕu

≥

≥

sont satisfaite à plusieurs section de la poutre. Avec Φ : le coefficient de tenue αE : le coefficient d'expertise défini au annexe XIV et Mf,Vf : moment fléchissant, effort tranchant respectivement obtenu par combinaison d'action à l'état limite ultime. Il s'agit de calculer alors la résistance ultime minimale en flexion qui doit avoir au poutre aux divers sections (termes à droite dans les équations IV.1-1 et IV.1-2). Les moments de flexion due à la charge d'utilisation sont donnés dans le tableau III.14. Les valeurs de ce tableau sont tirées dans les diagrammes des moments de flexion présentés dans l'annexe IV. Nous allons d'abord déterminer les divers coefficients nécessaires aux calculs. Nous admettons que la rupture en flexion est ductile ce qui sera vérifié ultérieurement. L'indice β est donc égal à 3 (cf annexe XIV). Selon le tableau III.14, on a pour β = 3,0 αE = 1,18 Φ = 0,79 Notons qu'aux sections S23, S28, S50, ou Mf change de signe, il est essentiel de calculer deux valeurs de Mu: l'une pour résister à un moment positif et l'autre pour résister à un moment négatif

IV.2. CALCUL DES ARMATURES PASSIVES

IV.2.1. Exposé de la méthode

Plusieurs paramètres du dimensionnement sont connus: la forme et les dimensions de la section transversale, le tracé du câble moyen et l'aire de la section de l'acier précontrainte même l'aire de l'armature passive étant calculé après la première vérification au E.L.S. Toutefois, le dimensionnement n'est pas complété car la quantité nécessaire pour obtenir la résistance ultime en flexion et une ductilité suffisante n'est pas connue. Pourtant, pour répondre aux règles de bonne construction, la plus part des pièces en béton précontraint contiennent une quantité minimale d'armature passive. Cette armature assure


73

le monolithisme de la pièce en équilibrant le volume du béton en traction (contrainte due au retrait du béton et aux gradients thermiques). Une partie de cette armature, l'armature longitudinale, contribue à la résistance ultime en flexion dans le sens longitudinal. L'armature située dans la zone en compression de la section augmente la ductilité de la pièce en retardant l'écrasement du béton puisque cette armature aide le béton à résister à l'effort de compression. L'armature passive dans la zone en traction travaille avec l'acier de précontrainte, augmentant ainsi l'effort de traction disponible lors de l'usure de la pièce. Toutefois, la capacité en traction d'aciers tendus ne doit pas être trop considérable car le béton risque d'éclater prématurément en compression (rupture fragile). Pour obtenir une rupture ductile, c'est-à-dire pour une rupture par éclatement du béton précédée de grandes déformations plastiques des aciers tendus et de la pièce fléchie, nous allons déterminer soigneusement le dosage des quantités ordinaires à placer dans la zone tendue et la zone comprimée de la section. Compte tenu de la distribution de l'armature passive à la résistance en flexion, le moment ultime comprend deux composantes et peut s'écrire: usupu ΜΜΜ += (IV.1-3)

Mup : représente la contribution de l'armature de précontrainte (Aps) à la résistance ultime en flexion; Mus : la contrainte de l'armature tendue (As) Selon l'article 1.3 du B.A.E.L 1991: "pour la justification des seules contraintes normales vis-à-vis à l'état limite de service, les constructions, éléments de constructions et sections sont rattachés à l'une des trois classes de vérification". Généralement, les pièces fléchies des ponts appartiennent à la classe II crtdc ΜΜΜ pp (IV.1-4)

où Mt: moment fléchissant total causé par charge d'utilisation Mdc: moment de flexion qui produite la décompression de la section Mcr: moment qui produit la fissuration. Le moment de décompression est celui pour lequel la contrainte dans les fibres extrêmes tendues précompressées est nulle, alors que le moment de fissuration est celui pour lequel la contrainte dans les mêmes fibres est égale au module de rupture de béton en traction, noté (fr). Selon les observations expérimentales, exposées dans la référence [17] (cf annexe VIII), nous pouvons utiliser

cf'0,65f r −= pour du béton à densité normale Notons que, jusqu'à l'obtention du moment de fissuration Mcr, l'homogénéité, l'élasticité de la pièce sont conservées. Par conséquent, le premier principe de la précontrainte

Ι

Μ

Ι

Ρ

Α

Ρσ

yey ++=

est valide, et nous pouvons déterminer facilement Mdc et Mcr. En utilisant les caractéristiques géométriques de la section homogénéisée; les résultats de calculs de Mcr et Mdc seront résumés dans le tableau III.14. Les sections d'acier de précontraintes (Aps) de ces pièces ont été déterminées au paragraphe précédent; la valeur de Aps est connue dès qu'on a choisi Po à l'intérieur de l'intervalle calculé.


74

Tableau III.14

Moments dus aux charges pondérées M n

(KN.m)

Section A h eh (mm)

Ih (1012mm 4)

Ssh (106mm3)

Sib (106mm)

Valeur minimale

Valeur maximale

Résistance ultime minimale (KN.m)

Mdc (KN.m)

Mcr (KN.m)

Eps

fpeEpc =

M+ P (KN)

S0 1391498 -96 1,3826 1257,39 767,93 0 0 0 6460 9413 0,0052 0 9971,45

S4 1391498 -606 1,4012 1252,49 786,63 1598 4658 6958 10810 13835 0,0048 3310 9229

S9 1391498 -909 1,4252 1261,23 805,20 2321 7367 11004 12970 16066 0,0046 5332 8718,72

S14 1391498 -1005 1,4348 1265,735 812,26 2171 8381 12518 13459 16583 0,0044 5937 8471,4

S18 1391498 -889 1,4233 1260,33 803,81 1147 7769 11604 12076 1514 0,0043 5471 8233,72

S23 1391498 -553 1,3980 1251,88 783,95 -751 5279 7885(Mu+) 1216(Mu-)

1116 -2717

11768 -7537 0,0041

3664 -161 7837,15

S28 1391498 5 1,3821 1261,23 766,06 -3830 1278 1909(Mu+) 5721(Mu-)

3892 -6503

6842 -11359 0,0037

647 -2641 7135,43

S33 1391498 765 1,4126 1323,395 770,82 -8994 -3151 13434 -9374 -14463 0,0028 -6403 5462,61

S37 1391498 1146 1,4505 1377,24 785,41 -16784 -7071 25070 -11050 -16346 0,0027 -12005 5173,70

S44 1391498 746 1,4111 1321,11 770,30 -5685 -1516 8498 -7996 -13076 0,0025 -4071 4716,17

S50 1391498 -81 1,3824 1257,75 767,62 -630 3765 5624(Mu+) 941(Mu-)

2385 -3102

5340 -7944 0,0020

2910 -185 3769,54

S56 1391498 -516 1,4003 1278,67 787,71 1666 3720 13025 3767 6796 0,0018 6143 3509,72

S62 1391498 -639 1,4100 1287,91 795,99 2440 10276 1549 4067 7128 0,0018 7257 3383,04

iSrfdcΜcoΜ )Μ (zone he

hA

ihSΡdcΜ ⋅−=+−=

sSrfdcΜceΜ )Μ (zone he

hΑ

shSΡdcΜ ⋅−=−+=

ΜΡa 3,85350,65rf −=−=

Annexes

LXXV

Même si les poutres de pont appartiennent à la classe II, ce qui requiert plus de précontrainte que la classe III, l'armature de précontrainte est déterminée en considérant les conditions en service (TT, CT, CS, TS) mais s'avère insuffisante pour que l'équation (IV.1-1) soit satisfaite à toutes les sections avec Mu = Mup, c'est-à-dire sans armature passive. En général, il n'est pas économique de satisfaire l'équation (IV.1-1) en tout point en utilisant uniquement de l'armature précontrainte, même s'il est possible d'augmenter Aps tout en gardant Po à l'intérieur de l'intervalle calculé lors du dimensionnement. Une augmentation de Po peut causer des contre flèches excessives et produira une augmentation des déformations différées dues au fluage du béton. A noter qu'on peut augmenter Aps sans pour autant augmenter Po si on fait travailler l'acier de précontrainte à un taux moins élevé. Ce n'est pas une solution intéressante du point de vue économique, surtout s'il faut augmenter Aps sur toute la longueur de la pièce. La solution plus économique et avantageuse consiste à ajouter de l'armature passive localement, c'est-à-dire aux sections ou Mu = Mpu ne satisfait pas l'équation (IV.1-1). Avec la valeur de Aps qui a été déterminée en considérant les charges d'utilisation, nous pouvons calculer Mup. Ensuite, nous calculons la quantité d'armature ordinaire nécessaire dans la zone où l'armature de précontrainte est insuffisante. Nous déterminons As de manière à satisfaire l'équation suivante, obtenue de 'IV.1-1) et (IV.1-3).

4)-(IV.1 ΜΦ

ΜαΜ up

fEus −≥

IV.2.2 Comportement des matériaux et hypothèses de calcul

Nous appliquons la méthode du béton précontrainte à l'état limite ultime dont l'hypothèse est comme suit: 1. Le béton tendu est négligeable

2. Les normes nord-américaines[2][15] recommandent d'utiliser la limite de raccourcissement relatif du béton εu = 3% en flexion simple. Cette hypothèse est sécuritaire, car il s'agit de valeur minimale de εu = 3% n'y est pas suffisante du fait que beaucoup d'usagers ne respectent pas les lois et règlementations promulguées par le Ministère des Travaux Publics.

3. Le diagramme des contraintes de calculs est rectangulaire et la contrainte de compression est constante (σ = 0,85f'c) sur une profondeur (a) qui est inférieure à celle de l'axe neutre (a = β1 où β1< 1,0). Selon les références [14][15], pour

c1

c

0,00727f'1,05β

55Μ5Μf'27,5

−=≤≤

f'c : résistance normale du béton en compression c : profondeur de l'axe neutre Valeur de β1 selon [14][15]

c1c

1c

0,00727f'1,05β 55f'27,5

0,85β 27,5Μ7,f'

−=≤≤=≤

Annexes

LXXVI

Fig. III.20: Hypothèse de calcul: diagramme rectangulaire des compression dans le béton.

4. Les sections planes restent planes jusqu'à la rupture. Cette hypothèse permet d'établir une relation entre la déformation unitaire du béton et celle de l'acier à n'importe quelle section le long de la poutre. Pour bien illustrer les notations qui vont suivre, il est nécessaire de présenter sur la figure III.20 la relation entre les déformations unitaires.

Fig III.21: Relation entre les déformations unitaires à l'état limite ultime

(armature adhérentes)

5. Pour l'armature en traction (As), on suppose qu'à la rupture de la poutre, la contrainte dans cette armature est égale à la limite élastique (σ = fy). Nous négligeons donc l'écrouissage de l'acier. Il est entendu que la valeur εs est supérieure ou égale à la limite élastique de l'acier (εs ≥ εy, σ = fy).

Annexes

LXXVII

Fig. III.22: Courbe théorique de contrainte - déformation de barre d'armature ordinaire

6. Pour l'armature dans la zone de compression (A's), les contraintes de compression de l'armature passive (A's) est limitées: les valeurs fcs:

sscssys

ycssys

ε'εf3

cd' si 0,02εε'

ff3

cd' si 0,002εε'

⋅=⇒≤=

=⇒≤=≥

p

7. Pour l'armature précontrainte (A'ps), pour déterminer la contrainte dans l'acier de précontrainte à la rupture de la poutre (fps), nous utilisons une équation empirique ou la méthode de comptabilité. La méthode de calcul est présentée dans l'annexe XIII.

8. Les déformations ou contraintes de traction dans les armatures ou les câbles de précontrainte sont déterminées en fonction de la hauteur de la zone comprimée du béton (ou en

fonction de pd

c) en considérant leur déformation due à la force de précontrainte. Pour que la

rupture soit ductile, André PICARD [3] propose l'équation suivante:

( ) 0,003ε

0,003

d

c avec

4)-(IV1 d

c0,75

d

c

minpmaxp

maxpp

+=

≤

0,003εε

0,003

pcpy +−=

Annexes

LXXVIII

Où εpy = 0,01 (selon la norme G 279[13], nous aurons choisi comme limite élastique de l'acier de précontrainte la contrainte correspondant à une dilatation de 1% pour les fils et les torons)

pspsps

pepe

εΑ

P

ε

fε

⋅==

Tableau III.15: Résumé des calculs de dimensionnement

section x e (mm) γγγγ (mm) fpo / fpu fpe / fpu S0 0 -100 -100 0,611 0,532 S4 4,728 -679,6 -628,6 0,555 0,492 S9 9,456 -1045,1 -943,0 0,520 0,465 S14 14,184 -1195,7 -1042,6 0,505 0,452 S18 18,913 -1126,6 -922,4 0,486 0,439 S23 23,641 -828,7 -573,4 0,456 0,418 S28 28,369 -301,6 4,7 0,414 0,381 S33 33,097 436 793,6 0,322 0,291

S37 33,825

25 780 1188,4 0,302 0,276

S44 18,75 365,5 773,9 0,282 0,252 S50 12,50 -492,8 -54,4 0,227 0,201 S56 6,25 -1023 -614,8 0,211 0,187 S62 0,00 -1200 791,6 0,203 0,180

Notes: - les valeurs de x permettent de calculer l'excentricité réelle. - la valeur de fpo à la section S0 ne tient pas compte de perte de tension - fpu = 1860MPa

IV.3. CALCUL DES ARMATURES

IV.3.1. Section S0

Cette section est située dans la zone d'ancrage qu'on étudiera ultérieurement.

IV.3.2. Section S4

4.3.2.1. Résistance ultime en flexion

A cette section, le moment de flexion dû aux charges pondérées (Mf) est toujours positif. C'est donc les hourdis supérieure qui est comprimé, ho = 180 mm, b = 1500mm (figure III.23). Calculons d'abord Mu en ne tenant compte que Aps. Pour déterminer la contrainte dans l'acier de précontrainte fps, nous utilisons une équation empirique exposée à l'annexe X (formule 1). Les paramètres connus de l'équation sont:

1775,6mm679,6)(1096eyd

normale) relaxation la à (torons 0,40γ

3) (hypothèse 0,7955350,0721,05β

sp

p

1

=−−=−=

==×−=

Remarques:

- On démontre[16] que la valeur de la charge ultime qu'on peut appliquer sur un système hyperstatique n'est pas modifiée par la présence d'un état auto - contraintes dans le système.

Annexes

LXXIX

Autrement dit, les moments hyperstatiques de précontrainte n'ont aucune influence sur la charge ultime d'une poutre hyperstatique. - On peut alors calculer la résistance ultime de chaque section (Mu) en ne tenant compte que de la position réelle du centre de gravité de l'acier précontraint. L'équation donne:

pupyps

pu

pups

0,85fff

1747Μ740,9393f

35

1860

1775,62500

10080

0,7955

10,401ff

=

==

×

−=

f

La profondeur du diagramme rectangulaire des contraintes de compression dans le béton (a) (cf figure III.23)

236,79mm2500350,85

174710080

bf'0,85

fΑa

c

psps =××

×=⋅⋅

⋅=

Puisque a < ho, l'axe neutre tombe dans la nervure

Figure III.23

- Hypothèse du diagramme rectangulaire

Cuf = (0,85f'c) (b-bw) ho: force de compression dans les parties d'aile comprimée en dehors de l'âme Cuw = (0,85f'c) (abw)

- Equilibre des forces internes

Cuf + Cuw = Aps.fps

D'où bwf'0,85

CufΑa

c

fpsps

⋅⋅−⋅

=

En effet, nous recalculons a avec Cuf: 11941650N180 0,70)(2500350,85Cuf =−××=

Nous obtenons 707,65mm270350,85

11941650174710080a =

××−×=

D'où 5668110Ν707,65270350,85Cuw =×××=

La somme des moments par rapport à la ligne d'action de la force en traction (Aps.fps) donne

Annexes

LXXX

( ) ( )

28188Κ818

N.mm102,818801

707,650,51775,6 56681101800,5-1775,6 11941650

a)0,5(dCu)0,5h(d CuΜΜ

10

pwopfupu

=⋅⋅=

×−+×=

⋅−+−==

ΚΝ.m 6958Φ

ΜαΜ fΕ

u =⋅f (voir tableau dans l'annexe XIII).

Pour résister au moment de flexion positif, il n'est donc pas nécessaire d'ajouter de l'armature ordinaire en traction. L'indice d'armature d'une poutre ayant un comportement de poutre en T, IT est définie par l'équation suivante (cf annexe XIII).

( )

p

oRΤ dbw

hbwb0,85Ι

bw

bΙ

⋅−

−

=

Avec IR: indice d'armature d'une poutre ayant un comportement de poutre rectangulaire (cf annexe XIII )

( )

1747270

1802702500 0,850,1133

270

2500Ι

0,113,335

1747

1775,62500

10080ω

Τ

pR

××−−×=

=

×+=Ι

maxp1Τ

maxp

d

Cβ0,640,18620,18620,3226Ι

0,18630,36590,640,7955

0,36590,0030,00480,01

0,003

d

e

⋅===

=××

=+−

=

f

Donc l'hypothèse 8 n'est pas satisfaite.

Avec cette valeur de IT, la poutre est sous -armée et elle a une très grande ductilité. Nous pourrions donc tenir compte de la redistribution des moments de flexion. Calculons avec la formule (18) de l'annexe XIII la valeur de IR qui va donner IT ≤ 0,1863.

0982,0

1863,07233,0 270

2500

R

R

≤Ι

≤−Ι

=ΙΤ

Le paramètre d, pour calculer ω', est donné par formule (7) de l'annexe XIII. Comme As = 0 on a d = dp = 1775,6mm Nous calculons ω' avec l'équation (12) de l'annexe XIII.

0,01506ω'

0,0982ω0,1133ΙR

≥≤−=

En admettant que fcs = fy, l'équation (6) de l'annexe XIII donne:

mm² 5851'

01506,035

400

6,17752500

'

≥Α

≥

×Α

s

s

Annexes

LXXXI

Le diamètre maximal de l'armature dans l'hourdis est10

ho , soit 18mm, nous utilisons de barres

TOR 16 [As (1barre) = 2,01cm²], nous devrons placer 24 barres sur deux rangs l'aile comprimé. A' = 30 x 201 = 6030mm² ω' = 0 0155 Le centre de gravité de A's situe au centre du hourdis, nous avons donc: d's = 0,5ho = 0,5 x 180 = 90mm la position de l'axe neutre est donnée par

889,6mm0,7955

707,65

β

ac

1

===

Avec figure III.23, nous vérifions que A's atteint sa limite élastique

0,0022000000

400

ε

fε

0,00269880,6

90-889,60,003

c

d'cεε'

s

yy

sus

===

=

=

−=

Puisque ε's > εy, l'hypothèse fcs = fy est vérifiée; A cette étape des calculs, nous recalculons fps en tenant compte de l'armature ordinaire en compression (A's) qui fait augmenter fps. Avec l'équation (3) de l'annexe XIII, nous avons:

MPa 1762f 0,9447f

0,015535

1860

1775,62500

10080

0,7955

0,401ff

paps

pyps

==

−

×−=

Cette valeur est plus grande que celle obtenue précédemment (1747 MPa); nous pourrions donc refaire tous les calculs précédents, puisqu'il s'agit de calculs de vérification. Il est préférable d'utiliser la méthode de comptabilité simplifiée, présentée à l'annexe XIII . Le dimensionnement des armatures ordinaires à la section S4 a donné les résultats suivants: As = 0 A's = 6030mm² (d's = 90mm) Une première estimation de fps est obtenue par la formule 3 de l'annexe XIII fps = 0,9447fpu = 1762 MPa Comme il s'agit de torons à relation normale et que fps > 0,90fpu, nous pouvons utiliser l'équation :

4,7619

0,8333f

f

pu

ps

ps

−

=ε (zone III sur la figure D de l'annexe XIII)

940,0234,7619

0,83331860

1762

ε ps =

−=

L'étape suivante consiste à calculer ∆εp Selon le tableau εpe = 0,0048

Annexes

LXXXII

d'où ∆εp = 0,02394 - 0 0048 = 0,01914 (équation 20 de l'annexe XIII) εp ≈ ∆εp = 0,01914 L'équation suivante c

240,6mm1775,60,0030,01914

0,003c

21)-III (Figure

εε

dεc

up

pu

=×

+=

+⋅

=

Selon l'hypothèse 3 a = β1c = 0,7955 x 240,6 = 191,4mm > ho = 180mm

Fig.III.24

Remarque: pour établir la relation des forces internes, nous supposons que:

As ≠ 0 (cas général) La force de traction totale Tt = Aps.fps + As.fy La force de compression totale Ct = Cu + C'u C'u représente la force de compression dans l'armature A's, cette force est calculée avec C'u = fcs.A's

Calcul de la force de traction totale (As = 0)

Ν017760,96.1176210080Τ 3t =×=

Puisque a > 0 scwcaowc

uuwuft

A'fb0,85f'h )h(h0,85f'

C'CCC

⋅+⋅+−=++=

Nous devons calculer d'abord fcs D'après la figure III.24:

0,002200000

400

ε

fε

0,00187240,6

90-240,60,003

c

d'cεε'

s

yy

sus

===

=

=

−=

Annexes

LXXXIII

Puisque E's < Ey, on a fcs = 200000 x 0,00187 = 375,6MPa Nous obtenons alors

( )

15743939NC

6030375,6270191,4350,85180 2702500 350,85C

t

t

=×+×××+×−×=

Comme la valeur de Tt n'est pas égale à Ct (It = 17 MN > Ct = 15MN), il faut recommencer les calculs. En réduisant fps puisque Tt > Ct, supposons fps = 0,90fpu = 1674MPa (limite entre zones II et III sur la figure de l'annexe XIII) Nous obtenons: Etape 1 : fps = 1674MPa Etape 2 : Eps = 0,01401 Etape 3 : ∆εp =0,00921 Etape 4 :εp ≈ ∆εp = 0,00921 : c = 436,3m Etape 5 : a = β1c =347,0 > ho = 180mm Etape 6 : Tt = 16873920M Etape 7 :ε's = 0,00222 : ε's > εy : fcs = fy 400MPa Etape 8 : Tt = 16873,920KN et 17140,92 KN Nous admettons que la valeur de Tt est suffisamment près de la valeur de Ct pour arrêter les itérations. La somme des moments par rapport à la ligne d'action de Cuf donne

( ) ( ) ( ) ( )osscsouwopysoppspsu 0,5hd'Α'fha0,5C0,5hdfΑ0,5hdfΑΜ −⋅−−−−⋅+−⋅=

Avec As = 0; nous calculons d'abord Cuw

( ) ( ) ( )

28210KN.mΜ

Μmm28210.10Μ

1800,590168844001803472787277,50,5901775,6167410080Μ

2787277,4Ν270347350,85C

u

6u

u

uw

==

×−×−−×−−×==×××=

Nous utilisons la "vraie valeur de (c) c'est-à-dire celle obtenue par la méthode de comptabilité c = 436,3mm Nous vérifions si l'équation Mu > 1,2Mcr est satisfaite puisque les normes[2][14] spécifient que le moment de flexion ultime doit être au moins 20% supérieur au moment de fissuration: Mcr = 13835KN.m (tableau III.14) 1,2 Mcr = 16602KN.m Mu = 28210KN.m > 1,2Mcr

V. JUSTIFICATION DES ELEMENTS D'UNE POUTRE VIS A VIS DES SOLLICITATIONS TANGENTES

V.1 GENERALITES

Nous avons complété les calculs concernant la flexion en déterminant les armatures passives longitudinales nécessaires pour obtenir une résistance ultime en flexion supérieure à la résistance minimale requise. Il s'agit maintenant de déterminer les armatures transversales nécessaires pour que le cisaillement dû à l'effort tranchant ne cause pas la rupture de la poutre avant que la résistance ultime en flexion soit atteinte.

Annexes

LXXXIV

En raison de la plus grande imprécision des modèles théoriques, nous allons dimensionner les armatures transversales de manière que la poutre présente une résistance minimale que la poutre présente une résistance surabondante à l'effort tranchant. Nous utilisons donc un indice de sécurité plus élevé pour le cisaillement, lorsque nous vérifions les états limites ultimes, soit β = 3,5. Le principe des calculs est similaire à celui traité dans le cas de flexion pour laquelle nous avons considéré les états limites de service et les états limites ultimes. Les contraintes normales de flexion sous les charges d'utilisation ont été limitées aux contraintes admissibles au transfert et en service, ce qui permet de déterminer la caractéristique géométrique minimale de al section transversale de al pièce, la force de précontrainte longitudinale requise et le profil du câble moyen. Si à une section quelconque, la contrainte de cisaillement sous les charges à l'état limite de service dépasse la contrainte admissible, l'épaisseur de l'âme à cette section est insuffisante. Concernant la fissuration due au cisaillement, la précontrainte présente le même avantage fondamental que pour la flexion, à savoir une plus grande résistance des pièces précontraintes à la fissuration. Du point de vue résistance au cisaillement, la précontrainte présente les avantages suivantes: lorsque la force de précontrainte est inclinée par rapport à l'axe longitudinal de la pièce, cette force a une projection verticale qui réduit l'effort tranchant causé par les charges. Nous utilisons donc dans les calculs un effort tranchant réduit appelé effort tranchant net.

V.2. EFFORT TRANCHANT DE PRECONTRAINTE

Le but de la précontrainte est de s'opposer aux charges appliquées. Elle est donc équivalente à un certain chargement qui compense partiellement les charges d'utilisation. Il s'agit du troisième principe de la précontrainte, celui des charges équivalentes. En considérant l'action simultanée des charges réelles et des charges équivalents, le moment fléchissant net et l'effort tranchant net à une section quelconque sont donnés par:

2)-(V.2 VVV

1)-(V.2 ΜΜΜ

n

pn

p+=

+=

Dans ces équations M et V sont respectivement le moment fléchissant et l'effort tranchant causés par les charges d'utilisation Mp et Vp représente le moment fléchissant et l'effort tranchant de précontrainte. Comme nous avons un système hyperstatique, le moment de précontrainte comprend une composante isostatique (Pc) et une composante hyperstatique Mh. Nous pouvons donc écrire:

4)-(V.2

dx

dM

dx

deP

dx

dMV

3)-(V.2 MPΜ

hpp

hcp

+==

+=

Nous avons admis que P est constante. Pour calculer l'effort de précontrainte, nous utilisons l'équation (V.2-4) puisque le moment hyperstatique de précontrainte est préalablement déterminé. Nous déterminons d'abord les équations qui permettent de calculer l'effort de précontrainte à une section quelconque. Ensuite, nous calculons l'effort tranchant net à quelques sections; les efforts tranchants sous les charges d'utilisation sont donnés en l'annexe VI. Les équations des paraboles définissant le profil optimal du câble moyen sont celles du §2.6.

Annexes

LXXXV

Avec l'équation (V.2-3), conformément aux résultats obtenus lors du dimensionnement (cf § 3.2.2.1), nous avons obtenu: - Travées d'extrémité (trois paraboles)

332323e1

3323e1

3323e1

10.714010.797,10)13,15(10.951,697)13,15(10.377,15 825,370

10.120010.797,10)13,15(10.126,5 151,320

10.120010.797,10)13,15(10.810,4 13,150

−−−−

−−−

−−−

−+−+−−=≤≤

−+−=≤≤

−+−=≤≤

xxxxx

xxx

xxx

γγγ

- Travée centrale (deux paraboles)

( )3

2

e

-32e

107804,4085,1250

528 25x17,5

10 6,791526,4 15,170

−

++

×−=≤≤

−=≤≤

x

xx

γ

γ

Selon l'équation (V.2-4) et l'équation du tracé du câble moyen, nous pouvons écrire l'effort tranchant sous forme:

dx

dγPV e

p =

D'où le diagramme de l'effort tranchant de précontrainte est montré sur la figure III.25.

Annexes

LXXXVI

Fig. III.25: Effort tranchant de précontrainte

Pour le calcul de l'effort tranchant net à diverses sections sous les charges à l'état limite de service. Il suffit d'utiliser l'équation (V.2-1); les résultats seront présentés sur le tableau III.16. Tableau III.16: Effort tranchant

V(KN) Vn (KN) Section x(mm) P(KN)

min max Vn(10-3 PKN)

min max S0 0 9971,45 401 1040 -134,75 -939,00 -303,65 S4 4,728 9229 176 649 -89,27 -647,87 -174,8 S9 9,456 8718,40 -12 375 -43,79 -393,79 -6,79 S14 14,184 8471,40 -202 173 1,70 -187,60 187,40 S15 15,13 10,797 S18 18,913 8233,72 -456 -50 50,63 -39,13 367 S23 23,641 7837,15 -723 -277 100,40 63,85 509,85 S28 28,369 7135,43 -1009 -460 150,18 62,56 611,56 S32 32,151 190,0 S33 33,097 5462,61 -1297 -640 160,12 -422 235

S37- 37,825

25 5173,70 -1611 -813 10,79 -1555 -757,18

S37+ 37,825

25 5173,70 826 1721 10,79 881,82 1776,82

S44 18,75 4716,17 597 1332 133,81 1228 1963,07 S45 17,50 158,41 S50 12,50 3769,54 349 944 113,15 775,52 1370,50 S56 6,50 3509,72 77 573 58,84 283,51 779,51 S62 0,00 3383,04 -217 232 0,00 -217 231

Annexes

LXXXVII

V.3. RÉSISTANCE ULTIME MINIMALE

Tel qu'expliqué au § 4.1, pour déterminer la résistance ultime minimale que doit avoir la pièce, l'effort maximum produit par la combinaison d'action relatif à l'état limite (cf annexe VI) sera divisé par le coefficient de tenue Φ et multiplié un coefficient d'expertise (αE) (cf annexe XIV)

5)-(V.3 Φ

Vα)(V fΕ

mino

⋅=

Les valeurs de (Vu)min obtenus de (V.3-1) sont toujours positives puisqu'on utilise les valeurs absolues maximales de Vf. Le signe de l'effort tranchant, positif ou négatif n'a pas une signification physique aussi évidente que dans le cas de al flexion. Il convient de noter que dans l'équation (V.3-1), l'effet de précontrainte n'est pas considéré. Cet effet est pris en compte dans les équations qui permettent de calculer la résistance ultime de la section à l'effort tranchant. Cette résistance doit être plus grande ou égale à (Vu)min. Nous avons donc calculé les valeurs de (Vu)min en ne considérant que les charges réelles. Les résultats sont donnés dans le tableau III.17. Tableau III.17: Résumé des calculs des efforts tranchants

Section Vn (KN) Vf (KN) (Vu)min (KN)

S0 -939,00 1476 2381 S4 -647,87 918 1481 S9 -393,79 534 862 S14 -187,60 187,40 305 492 S18 367 666 1074 S23 509,85 1030 1662 S28 611,56 1430 2307 S33 -422 235 1835 2960

S37 -1555

1776,82 2279 2435

3677 3928

S44 1963,07 1889 3048 S50 1370,52 1343 2167 S56 779,51 824 1329 S62 -217 231 347 560

Remarque:

Selon l'annexe XIV, avec β = 3,5; nous avons: αE = 1,21 et Φ = 0,75

V.4. ARMATURE TRANSVERSALE MINIMALE

Pour les pièces en béton précontraintes, en béton armé, la quantité minimale d'armature transversale dans l'âme est donnée par l'équation suivante [19][20]:

MPa 0,35fb

Αyt

ws

v ≥⋅ (V.4-1)

Où fyt représente la limite élastique de l'armature transversale en MPa. Nous prenons le type d'acier FeE 400MPa, pour l'armature transversale d'où

Annexes

LXXXVIII

fyt = 400 MPa. L'équation (V.4-1) donne %09,0b

A

ws

v ≥

. Cette valeur est inférieure à celle

recommandée dans les normes européennes où le pourcentage minimal est égal à 0,12% ou plus[21][23]; 0,10% dans le B.A.E.L 1991 ou B.P.E.L.1991. Pour obtenir un pourcentage minimal de 0,10% ou 0,12% avec (V.4-1). Il faut remplacer la constante 0,35 par 0,4 ou 0,5. L'écartement maximal des armatures transversales dans les poutres en béton précontraint est donné par l'équation suivante: s ≤ 600mm (V.4-2). Cette équation valide pour les poutres ayant une hauteur supérieure à 800mm (h > 800mm). A noter que l'écartement ne s'applique qu'à l'armature transversale minimale. Remarque:

Au § 4.2 lorsque nous avons présenté les équations de calcul de l'effort tranchant de la précontrainte (Vp) et de l'effort tranchant net (Vn), nous avons considéré uniquement le comportement de la pièce en service (2ème phase). En effet, nous avons admis que la pièce était soumise à la charge d'utilisation maximale et que la force de précontrainte atteignait sa valeur effective (P). L'effort tranchant net ainsi obtenu permet de calculer na contrainte de cisaillement sous la charge d'utilisation totale et de comparer cette contrainte à la valeur admissible. A la mise en précontrainte de la pièce, l'effort tranchant de précontrainte est plus claire (Vpo > Vp) parce que la force de précontrainte est plus grande P > Po. Par contre, l'effort tranchant dû aux charges est plus faible (Vo: effort tranchant dû au poids propre de la pièce seulement). Il est donc possible que l'effort tranchant net à une section quelconque (Vno) agisse du même sens que l'effort tranchant de précontrainte (Vpo). Toutefois, aux sections critiques pour le cisaillement, la contrainte de cisaillement due à Vno est généralement bien inférieure à Vn. En conséquence, nous ne vérifions que les contraintes de cisaillement en service.

V.5. VÉRIFICATION DE L'ÉPAISSEUR DE L'AME

Pour le choix des dimensions de la section transversale, nous avons établi quelques règles empiriques à la suite de la considération pratique, telles que facilité du bétonnage et qualité d'exécution (cf § 2-2). L'épaisseur choisie lors de prédimensionnement peut être insuffisante pour résister à l'effort tranchant. En effet, le calcul des contraintes de cisaillement sous les charges d'utilisation (ELS) permet de vérifier si l'épaisseur de l'âme est suffisante, en particulier l'épaisseur nette de l'âme.

V.5.1. Détermination de la section critique à considérer

La section la plus critique (la première section à vérifier) se situe en dehors de l'entretoise (lc < la +h)

Annexes

LXXXIX

h: hauteur de la poutre la: longueur de l'appareil d'appui, prenons la = 0,70m = 700mm d: 0,5 (la + h) = 0,5 (700 + 2900) = 1800mm d: 1,,8m

D'où l'effort tranchant de précontrainte à cette section Vp (37,825+1,8) = -29,82.10-3 P Effort tranchant dû à la combinaison de la charge permanente et de la surcharge (ELS):

1613,28KN6,5

1,813,32

6,5

1,811721VVV EG =+

−++=

L'effort tranchant net est alors: 1462,77KN150,5081631,28Vn =−=

La poutre est précontrainte avec 6 câbles de 12T15. Les gaines ont un diamètre de 75 mm. Aux endroits de la section critique, le fuseau de passage est étroit, les câbles doivent être groupées au maximum (regroupement en paquet). Le paquet de câbles du béton est satisfaisant (deux colonnes verticales). En effet, chaque colonne comprend trois câbles. Dans le cas de précontrainte par post-tension, l'épaisseur nette d'une âme quelconque est donnée par l'équation suivante puisque les gaines seront injectées avec un coulis de ciment: D Σ 0,5bb wn −=

Où ΣD représente la somme des diamètres des gaines situés au même niveau dans l'âme: bw: épaisseur brute de l'âme d'où bx: 270-75 = 195 mm Le moment élastique de l'aire partielle situé au dessus de centre de gravité de la section est donné par: Q = 926,05 106 mm3 I = 1,44.1012 mm4 La contrainte de cisaillement due à l'effort tranchant est donnée par l'équation suivante[21] bw: épaisseur brute de l'âme d'où bn = 270-75 = 195 mm Le moment statique de l'aire partielle située au dessus de centre de gravité de la section est donnée par:

Annexes

XC

Q = 926,05 106 mm3 I = 1,44.1012 mm4 La contrainte de cisaillement due à l'effort tranchant est donnée par l'équation suivante[23]

aΜΡ=×

×=⋅

= 84,419510.44,1

10.05,92910.14627720

bΙ

QVτ

12

63

o

nu

Elément Surface A i (mm²) x G 1 2 3

2500 x 180 =450000 2 x ½ x865 x60 =519000 270 x (1096-180) =247320

1005 896 458

452700000 465024000 11327256

α = 929051256mm3

V.5.2. Calcul de contrainte de cisaillement admissible

- Paramètre à considérer

1,77MPaf'0,30σ

14,00MPa350,400,40f'σ

3,63MPa1391498

5047,22.10

Α

Ρσ

c't

cc

3

g

−=−=

=×==

===

L'équation (7.35) donne [Limitation de contrainte de cisaillement dans la Norme Canadienne]:

( )( )

+−−

+−−=

ygytt

ygycc

aσ0,95σσ0,958σσ

σ1,05σσ1,058σσMinτ

Puisqu'il n'y a pas de précontrainte verticale Alors σy = 0

( )

( )

=×−−−

=×−=

3,04MPa3,630,951,771,77

71,94MPa3,631,051414Minτa

D'où τa = 3,04MPa

Annexes

XCI

La contrainte de cisaillement due aux charges (τv = 4,84MPa) dépasse la contrainte admissible, la largeur nette de l'âme n'est pas suffisante, on doit calculer la largeur nette requise en posant τv = τa = 3,04MPa

385,4475b

310,44mm3,041,44.10

929,05.101462,77.10b

GΙ

QVb

a

12

103

n

V

nn

=+=

=×

×=

⋅=

Prenons b = 300mm Vérification de la section d'abscisse x = 37,825 x 3,6 vis-à-vis de l'effort tranchant

Ν=

+

−=Ρ

3

33

04920,633.1

5,6

6,310.70,4716

5,6

6,3110.79,5173

Ν=

+

−=

3

33

01505,533.1

5,6

6,310.1331

5,6

6,3110.1721V

Ν−=Ρ=

−

−Ρ= −

33-

3p

10.186,408-82,95.10

5,6

6,347,158

5,6

6,3179,1010V

3,54MPa1391498

04920,633.1

Α

Ρσ

1097,37KN408,1861505,553V

408,186KNV

3

g

nette

p

===

=−=

−=

1,77MPaσ

,00MPa14,σ

t

c

−==

( )

( )

=×−−−

=×−=

3,01MPa,543,0,951,771,77

12,00MPa3,541,051414Minτa

3,01MPa 3,66MPa

3,011,4287.10

929,05.101097,37.10C

12

63

u ≥=×

×=

- Calcul de bn

312,07mm75b

237mm3,011,4287.10

929,05.101097,37.10b

n

12

63

n

=+

=×

×=

Le calcul approximatif de la longueur ou de la contrainte de cisaillement ne dépasse pas la valeur admissible pour une épaisseur de l'âme égale à 270mm.

V.6. CALCUL DES ARMATURES TRANSVERSALES

La vérification de l'état limite ultime consiste essentiellement à déterminer la quantité d'armature qui est suffisante pour éviter que la dislocation de l'âme ne survienne avant une

Annexes

XCII

rupture ductile par flexion (due à l'écrasement du béton des fibres extrêmes comprimées, précédé de grandes déformations inélastiques). Les hypothèses de calcul sont basées sur le modèle du treillis et sur les deux hypothèses suivantes: - l'inclinaison des bielles comprimées est égale à θ = 45°; - la membrane comprimée du treillis contribue à la résistance à l'effort tranchant (membrane supérieure du treillis dans une zone de moments fléchissants positifs). L'exposé de la méthode est présenté à l'annexe XV. La méthode de calcul pour déterminer l'armature transversale d'effort tranchant peut se résumer de la façon suivante. On vérifie d'abord si la compression dans la bielle la plus sollicitée est inférieure à la limite permise. [Équation (S)]. Ensuite, on calcule la contribution du béton à l'effort tranchant [équation (H)]. On détermine la contribution de l'armature transversale avec (L) et on vérifie si cette contribution dépasse la limite prescrite [équation (Mo)]. Dans l'affirmative, il faut épaissir l'âme. Si les calculs montrent que l'épaisseur est insuffisante dans une zone restreinte de la pièce (zone critique, il suffit d'épaissir l'âme, il faut recalculer la contribution du béton (Vc). Enfin, on détermine la quantité d'armature transversale. Nous allons calculer l'armature transversale requise aux sections S39, S28 de la poutre du pont. Comme exemples de calcul. La section S39 est la plus critique et elle se situe à 1,8m du centre de cet appui, tel que traité auparavant. A la section S39, nous avons calculé:

233KNV

10939KN.m 5042KN

(ELU) 2278KNV

(ELU) 13588KN.mΜ

p

dc

f

f

=−=Μ=Ρ

=−=

Les autres données sont les suivantes:

400MPaf 0;Α 10800mm²;Α

1581MPaf 0,85;f 1860MPa;f

ytsps

pupypu

===

===

A = 1391498 mm² D'après les résultats obtenus lors du calcul des moments fléchissants, la section S39, nous avons As = 0 (comme la section S37; comme As = 0, la valeur du d = dp = 2475 mm (avec x = 32,2m), équation du câble moyen donne e = 671 mm; dp = yi + e = 1804 + 671 = 2475 mm Selon le tableau III.17, à la face de l'appui, nous avons: Vum = 3928 KN Selon la figure 2 de l'annexe XV, si j = 0,9d et θ = 45°, l'extrémité de la bielle la plus comprimée se situe à une distance 0,9d de l'appui (d ≈ dp = 2584 mm à la section S37). Selon les données de calcul de vérification de l'âme, l'entretoise déborde la face d'appui. Donc une partie de la bielle la plus comprimée se situe en dehors de l'entretoise. Le calcul de vérification de l'âme donne l'épaisseur nette de l'âme à la section S39 doit être au moins égal à 311mm. Nous pouvons utiliser cette valeur dans l'équation (S), de même que la valeur d à la section S39. Nous avons donc:

Annexes

XCIII

3675KN0,75

22781,21)(V 2278KNV avec

19,25MPa0,55f' 11,34MPa24753110,9

3928.102

Α

d

minuf

c

3

s

u

=×==

==××

×=

Avec les équations (E) à (K), nous obtenons:

2577KN965,2502,67V

3,10MPa965250

233.10

1391498

5042.100,3350,3τ

2,67MPa13588

109391 3510,25τ

965250mm²2475390

c

33

2

1

c

=×=

=+

+=

=

−−+×=

=×=Α

Avec (L) et (N), nous obtenons:

1,11mm²/mm4002475

1098.10

S

Α

3712KN965,250350,671098KNV

1098KN25773675V

3v

s

s

=×

=

=⋅=

=−=

p

Armature transversale minimale

0,34mm²/mm1,11mm²/mS

Α

0,34mm²/mm400

3900,35

f

0,35b

S

Α

v

yt

wv

f

f

=

=×=

Avec étrier TOR 12 à deux branches, nous avons Av = 2 x 113 = 226 mm² L'espacement maximal de ces étriers est égal à:

cm 20SSoit

203mm1,11

226S

=

=≤

- Armature transversale à la section S28

A cette section l'épaisseur brute de l'âme est égale à 270 mm et l'épaisseur nette 232 mm. L'effort tranchant (Vp) est égal à 1072KN (le tableau III.17 permettant de calculer Vp à la section S28). A ce chapitre V, nous avons calculé les valeurs suivantes:

III.17et III.15 tableaux lesselon 0Α ; 3892KN.mΜ

1502mmd' ; 5,13MPaΑ

Ρδ

sdc

pg

==

===

A la section S28, Mf = 5721KN.m et (Vu)min = 2307KN L'équation (F) donne d = dp = 1502mm Selon le tableau III.16, fpe = 0,414fpu > 0,40fpu, la limite inférieure est donc valide. Comme la valeur de (d) est inférieure à 80% de la hauteur de la section, nous utilisons donc d = 0,80h = 2320mm Avec l'équation (E) à (K), nous obtenons: Ac = 270 x2320 = 626400mm²

Annexes

XCIV

9,52MPa626400

3892.105,130,3350,3τ

2,49MPa5721

38921350,25τ

3

c

c

2

1

=+×+×=

=

++×=

2482KN626400.10350,67747KNV

747KN15062307V

V)(VV

1560KN626400.102,49V

3s

s

cminus

3c

=⋅=

=−=−=

=×=

−

−

p

283mm

0,805

228S

m0,805mm²/m4002320

747.10

S

Α 3v

=

=×

=

p

Soit S = 25 cm - Armature transversale à la section S23

A cette section l'épaisseur brute de l'âme est égale à 270 mm et l'épaisseur nette 232 mm. L'effort tranchant (Vp) est égal à 787 KN (le tableau III.16 permettant de calculer Vp à la section S23). A ce chapitre 5, nous avons calculé les valeurs suivantes:

1-VIet 1-V tableaux lesselon 0Α ; KN.m 1116Μ

mm 1924,7d ; MPa 5,63Α

Ρ

sdc

pg

==

===σ

A la section S23, Mf = 5279KN.m et (Vu)min = 1662KN L'équation (F) donne d = dp = 1924,7mm Selon le tableau III.17, fpe = 0,456fpu > 0,40fpu, la limite inférieure est donc valide. Comme la valeur de (d) est inférieure à 80% de la hauteur de la section, nous utilisons donc d = 0,80h = 2320mm Avec l'équation (E) à (K), nous obtenons Ac = 270 x2320 = 626400mm²

4,72MPa626400

787.105,630,3350,3τ

1,79MPa5279

11161350,25τ

3

c

c

2

1

=+×+×=

=

++×=

KN 2482626400.10350,67KN 540V

KN 54011221662V

V)(VV

KN 1122626400.101,79V

3s

s

cminos

3c

=⋅×=

=−=−=

=×=

−

−

p

mm 391

0,582

228S

mm²/mm 0,5824002320

540.10

S

Α 3v

=

=×

=

p

Soit S = 35 cm Avec les données des tableaux III.15 et III.16 qu'aux sections S62-S56, l'armature transversale minimale est suffisante:

Annexes

XCV

/mmmm 0,236400

2700,35

S

A 2s =×=

Selon l'équation (VI.2-2), l'espacement maximal est égal à 600 mm. Avec cet espacement, l'aire minimale de l'armature transversale est égale à: 2

v mm 141,66000,236Α =×=

Les étriers TOR 12 à deux branches sont amplement suffisants (Av = 2 x 113 = 226 mm²)

VI. CALCUL DE LA DALLE

La dalle sera calculée à partir des abaques de REYNAUD. Ces abaques sont publiés sous la référence [18]. Nous supposons que la dalle est appuyée sur quatre câbles. Nous adoptons les notations suivantes: - lx : longueur de la plaque - ly : largeur de la plaque

- 1l

lρ

y

x ≤=

- u : largeur du rectangle chargé dans le sens x

x l

uα:l =

- v : largeur du rectangle dans le sens y

y l

vβ:l =

Ces charges donnent les valeurs des coefficients M1 et M2 en fonction de α, les courbes étant paramétrées en fonction de β. Les moments maximums suivant les petites et grandes portées sont obtenus à l'aide des formules suivantes:

- sens de la petite portée ( )ΡυΜΜΜ 21x +=

- sens de la grande portée ( )ΡυΜΜΜ 12y +=

Conformément aux règles B.P.E.L., à l'état limite ultime (ELU) et à l'état limite de service (ELS), 81,054,0 2

31 =×=Μ

D'où: - à ELU ul2yul1x Ρ ΡΜΜ ⋅Μ=Μ⋅=

- à ELS ( ) ( ) ser12yser21x 2,0 2,0 Ρ⋅Μ+Μ=ΜΡ⋅Μ+Μ=Μ

Pul charge ultime Pser charge de service Nous affecterons aux résultats obtenus les coefficients de réduction en tenant compte de l'encastrement partiel aux appuis, à savoir: - 0,8 en travée - -,5 aux appuis Les combinaisons d'actions à considérer sont les suivantes: - pas de vérification des ELU de résistance: Pul = 1,35.G+1,5.Qr Pas de vérification des ELS: Pser = G+Qr G charge permanente Qr charge routière, sans caractère particulier (système Bpc, charge de trottoir), obtenue par la multiplication des charges figurant au fascicule B1-titre II par:

Annexes

XCVI

1,07 aux ELU 1,20 aux ELS 1,000 aux ELS pour charges des trottoirs - la dalle est délimitée par les murs des poutres et les deux entretoises. D'où ses dimensions:

Travée extérieure

Largeur lx = 3;00-0,27 = 2,73 m Largeur ly = 12,61-0,18 = 12,43 m Epaisseur ho = 0,18 m β = 0,22

Travée centrale

Largeur lx = 3;00-0,27 = 2,73 m Largeur ly = 12,5-0,18 = 12,32 m Epaisseur ho = 0,18 m β = 0,22 Nous constatons l'égalité des deux coefficients β. En effet, nous admettons les calculs de dalle pour les deux travées (extérieure et centrale).

VI.1. COEFFICIENT DE MAJORATION DYNAMIQUE (formule 61B du CPC- Art.4)

S4P1

0,3

140,21

0,21δ

+++=

- Charges permanentes

Nous avons du revêtement d'épaisseur moyenne 4 cm et de poids spécifique 2,2 t/m3. Epaisseur de la dalle 18 cm Dalle: 0,18 x 3,00 x 2500 = 1350Kg Chaussée: 0,04 x 3,00 x 2000 = 264Kg 1614Kg/ml Soit pour un carré de 3,00m de côte: P = 3,00 x 1614 ! 4842Kg

- Surcharge

La surcharge qu'il est possible de disposer sur la longueur L = 3,00 m est un camion de 15 tonnes. Ce qui donne S = 15 000Kg

26,1

15000

484241

3,0

32,0

2,01δ =

×++

×+=

δ = 1,26

VI.2. MOMENTS FLECHISSANTS

VI.2.1. Moments fléchissants dus à la charge permanente

Nous utiliserons l'abaque de PIGEAUD (cf annexe XII) relatif à une charge uniformément répartie sur toute la surface de la plaque supposée appuyée sur ses quatre côtes, avec

Annexes

XCVII

55,4ρ

1 0,22ρ ==

L'abaque nous donne M1 = 0,029 M2 = 0,003 La charge permanente étant de 1614 Kg pour une largeur de 3 m,

182,6KNGP

246,5KN1,35.GP

182,6KNGsoit

18256,44Kg12432,733

1614G

ser

ul

====

=

=××=

à ELU 0,74KN.m246,90,003Μ

7,15KN.m246,50,0029Μ

yg

xg

=×=

=×=

à ELS 1,607KN.m182,60,029)2,00,003(Μ

5,405KN.m6,182)003,00,20,029(Μ

yg

xg

=××+=

=××+=

VI.2.2. Moments fléchissants dus aux surcharges Bpc

Fig. III. 26

La seule position maximale est donnée sur la figure III.26 ci-dessus. Nous n'envisageons que l'effet de deux roues arrières 5t x 2. Les autres roues qui se situent trop loin sont négligées.

Annexes

XCVIII

1oo

1oo

h ξ 2hbv

résistantmoyen revêtementpour 0,75 avec h ξ 2hau

++==++= ξ

- Rectangle d'Impact

ao et u dimension parallèle à lx bo et u dimension parallèle à ly

Annexes

XCIX

Position I

0,04

l

vβ

0,55l

uα

y

x

1

==

==

L'abaque donne

ρ β M1 M2 0,2 0,01 0,145 0,140 0,2 0,05 0,140 0,098 0,25 0,01 0,145 0,135 0,25 0,05 0,142 0,105

Par interprétation sur ρ

ρ β M1 M2 0,22 0,01 0,1450 0,1380 0,22 0,05 0,1408 0,1008

Par interpolation sur β

ρ β M1(I) M2(II) 0,22 0,04 0,0957 0,1101

Position II

0,04

l

vβ

0,55l

uα

y

x

1

==

==

L'abaque donne

ρ β M1 M2 0,2 0,01 0,100 0,093 0,2 0,05 0,095 0,070 0,25 0,01 0,100 0,093 0,25 0,05 0,088 0,075

Par interprétation sur ρ

ρ β M1 M2 0,22 0,01 0,1000 0,0930 0,22 0,05 0,0942 0,0720

Par interpolation sur β

ρ β M1 M2 0,22 0,04 0,0957 0,0773

Les coefficients M1 et M2 étant des rapports entre les moments et la charge totale et non entre les moments et l'intensité de la charge répartie. Donc chaque coefficient M1 s'obtiendra en ajoutant (ou retranchant) les coefficients dus à chaque élémentaire pondérée par les surfaces correspondantes.

D'où 12

i1i21 SS

(I)ΜS(II)ΜSΜ

+−

=

Annexes

C

2

2

21

12201cm 24949 S

7399cm 15149 S

=×=

=×=

Nous obtenons M1 = 0,0245 M2 = 0,0268 Pul = 1,5Qr = 1,5 x (2 x 5) = 15t = 150KN Pser = Qr = 2 x 5 = 10t = 100KN

à ELU KN.m 4,0201500,0268M

KN.m 3,6751500,0245Μ

BPCy

BPCx

=×==×=

à ELS 3,170KN.m1000,0245)0,2(0,0268M

2,986KN.m1000,0268)0,2(0,0245M

BPCy

BPCx

=××+==××+=

Tableau III.17: Moments résultants

Moments résultants (KN.m)

Sens de la plus petite partie de M x Sens de la plus grande partie de

My Cas de charge

Sur appui En travée Sur appui En travée -0,5MxG 0,8MxG -0,5MyG 0,8MyG

ELS -2,703 4,324 -0,804 1,286 Charge

permanente ELU -3,575 5,720 -0,370 0,592

-0,58 x 1,2MxBpc

0,88 x 1,2MxBpc

-0,58 y 1,2MyBpc

0,88 y 1,2MyBpc ELS

-2,257 3,612 -2,397 3,834 -0,58 x

1,07MxBpc 0,88 x

1,07MxBpc -0,58 y

1,07MyBpc 0,88 y

1,07MyBpc

Charge d'exploitation

(Bpc) ELU

-2,477 3,964 -2,710 4,339 ELS -4,960 7,936 -3,201 5,120 Moment

résultant ELU -6,052 9,684 -3,080 4,931

VI.3. EFFORT TRANCHANT

Pour les dalles portant sur ses quatre (4) côtes, l'effort tranchant par unité de longueur est donné par les formules suivantes:

- Cas de charge uniformément répartie

Au milieu de y

yx 3l

GV:l =

Au milieu de xy

xy l2l

GV:l

+=

- Cas des charges concentrées réparties avec un rectangle de dimensions u x v

u: dimension du rectangle parallèle à lx v: dimension du rectangle parallèle à ly

Pour u ≥ v pour u < v

Au milieu de u 3v

QV

v2u

QV r

ur

u =+

=

Au milieu de v u2v

QV

3u

QV r

vr

v +==

Annexes

CI

VI.3.1. Efforts tranchants dus à la charge permanente

Nous avons G = 182,6 KN (poids propre) Gu = 1,35G D'où

8,935KN/m2,73)12,43(2

182,61,35V

6,611KN/m12,433

182,61,35V

x

y

=+×

×=

=×

×=

VI.3.2. Efforts tranchants dus aux surcharges

Le cas de surcharges le plus défavorable après calcul préliminaire des efforts tranchants est le système Bpr (roue isolée de 5t). Au milieu de u et de v

51,02KN/m

0,04)1,50,183(0,25

501,5VV

lh ξ 2hau avec 3u

QVV

vu

oor

vu

=×++

×==

++===

En considérant le coefficient de majoration dynamique δ = 1,26 et le coefficient de pondération des surcharges 1,07, cette valeur devient: 68,79KN/m51,021,071,26VV vu =××==

VI.3.3. Efforts tranchants résultants

Efforts tranchants résultants [KN/ml] Cas de charge Au milieu du petit côté V y Au milieu du plus grand côté V x

Charge permanente 6,611 8,935 Roue Bpr 68,79 68,79

Effort tranchant résultant 75,401 77,725

VI.4. FERRAILLAGE DE LA DALLE

Nous appliquerons les règles de calculs présentées aux règles B.A.E.L. 1991[7] - Schémas de calcul En travée Sur appui hourdis d'épaisseur ho = 18 cm largeur b = 100 cm enrobage c = 5 cm Nous supposons que la fissuration est préjudiciable. En effet, le dimensionnement se fait à ELS (le calcul en ELU est inutile).

VI.4.1. Caractéristiques des matériaux

VI.4.1.1. Béton

- Résistance caractéristiques à la compression MPa 35f'c =

D'où la résistance de calcul

Annexes

CII

θ8b

0,85f'f c

bu =

Avec γb = 1,5 coefficient de fiabilité θ = 1 pour la durée t d'application des combinaisons d'action est supérieure à 24 heures.

MPa 19,81,51

350,85f bu =

××=

- Contrainte limite en service

MPa 21350,6bσ 0,6f'bσ ccc =×==

- Contrainte caractéristique à la traction MPa 2,73506,06,0ft 0,06f'0,6ft 28c28 =×+=+=

VI.4.1.2. Aciers

- Résistance de calculs

a348MP1,15

400f cd ==

Avec γs: coefficient de fiabilité γs = 1,15 fy: limite élastique fy = 400MPa pour acier fe E 400HA

D'où a348MP1,15

400f cd ==

- contrainte limite en service

Fissuration préjudiciable

=⇒tj

r32

sηf110

f Minσ

avec η = 1,6; on a:

=×

=×=⇒

MPa 228 2,71,6110

MPa 267 400 Minσ

32

s

MPa 228σs =

VI.4.2. Sollicitation à l'ELS

- Moment fléchissant Mser: • Sens de la petite portée de Mx

En travée Mser = 7,936KN.m = 7936.10-6MN.m Sur appui Mser = -4,960KN.m = -4960.10-6MN.m

• Sens de la plus grande portée de My En travée Mser = 5,120KN.m = 5120.10-6MN.m

Sur appui Mser = -3,201KN.m = -3201.10-6MN.m

VI.4.3. Dimensionnement de l'armature à l'ELS

N.B: Les valeurs entre crochets correspondant aux valeurs relatives au sens de la plus grande portée

Annexes

CIII

VI.4.3.1. En travée

VI.4.3.1.1. Moment résistant réduit

0,234µ

3

0,58010,580

2

1µ

3

α1α

2

1µ

580,02282115

2115

σσ15

σ15α

rb

rb1

1rb

1sbc

bc1

=

−=

−=

=+×

×=+

= α

VI.4.3.1.2. Nécessité d'acier comprimés

rbserrbser

2

6

serbc

2o

serser

-6

µ0,2340,0224µ µ µ

[0,01444]

0,022421(0,13)1

7936.10µ

Tdb

Μµ

[0,0144] ][5120.10

==

=××

==−

ppf

0'=Α⇒

VI.4.3.1.3. Calcul des aciers tendu

m 105,03

580,0113,0z

3

α1dz b

1b =

−=

−=

246

ser

sb

serser

2-6

cm 3,32102280,105

7936.10Α

σz

ΜΑ

][2,14cm ][5120.10

=××

==−

VI.4.3.2. Aciers sur appui

VI.4.3.2.1. Moment résistant

40,23µ rb =

VI.4.3.2.2. Nécessité d'acier comprimé

0' µ0,2340,014µ µ µ

[0,0090]

0,01421(0,13)1

4960.10µ

σdb

Μµ

[0,0144] ][5120.10

rbserrbser

2

6

serbc

2o

serser

-6

=Α⇒==

=××

==−

ppf

VI.4.3.3. Sections minimales d'armature

a- bande suivant "ly"

O.K /mcm 1,38 /m2,07cmΑ

O.K /mcm 1,58 /m2,14cmΑ

/m1,44cm(Fe400)8hΑ

22ay

22ty

2oymin

f

f

=

=

==

Annexes

CIV

b- bande suivant "lx"

O.K /mcm 1,38 /m2,07cmΑ

O.K /mcm 1,58 /m3,32cmΑ

/m1,58cm Α2

ρ-3 Α

22ax

22tx

2yminxmin

f

f

=

=

==

VI.4.3.4. Choix des aciers

Dispositions constructives

mm 10 plusau prénons

mm 1810

180

10

hΦ

min =Φ⇒

==Φ≤

a- En travée "sens lx" /m3,32cm2

tx =Α


/m3,95cmΑ

25cmS 20cm5

100S p.m10HA 5

25cm

36cm182min

25cm

2hminS 40cmh

2

tt

otxo

=

==Φ

=⋅

≤

≤

p

p

b- En travée "sens ly" /m2,14cm2

ty =Α


/mmm 3,14Α

25cmS 25cm4

100S p.m10HA 5

25cm

36cm182min

25cm

2hminS 40cmh

2

tt

otyo

=

==Φ

=⋅

≤

≤

p

p

c- En chapeau

2

t

2ay

2ax

3,14mmΑ 4T10Pm 25cmS

/m1,33cmΑ

/m2,07cmΑ

=≤

=

=

VI.4.4. Effort tranchant

VI.4.4.1. Sollicitation ultime

Au milieu du grand côté 77,725KN/mVux =

Au milieu du petit côté uxuy V75,401KN/mV p=

VI.4.4.2. Vérification

Annexes

CV

1,63MPa1,5

350,070,598MPa τ τ

100cmb

0,598MPa0,13

77,725.10 τ

γ

f'0,07

d

Vτ

uu

w

3

ub

cuu

=×=

=

===−

ppf

fp

VI.4.5. Arrêt des barres

En travée sens lx, nous alternons: 3 T 10 HA Pm filants 2 T 10 HA Pm arrêtés à 0,1 x 2,73 = 0,25m En travée sens ly, nous alternons: 2 T 10 HA Pm filants 2 T 10 HA Pm arrêtés à 0,1 x 2,73 = 0,25m Sur appui (Ma = 0,5Mo)

( )

=+=

xxMM

411 0,2ll0,3

l Maxl

a

o

=

2

1

x

2

l

l

l

Maxl

Comme f'c > 25 MPa, nous devrons calculer la longueur du scellement à l'aide de la formule suivante:

3,645MPa2,7(1,5)0,6τ f ,0,6ψτ avec

τ

f

4

Φl

2sutj

2su

su

ys

=××==

×=

Où ψ = 1,5 pour l'acier HA

Φ=Φ×= 283,6454

400l s

En conséquence

=×=×

==

=×=×

==

25cm550,5

28cm128max28cml 2T10pm

54,6cm2730,2

28cm128max55cml 2T10pm

1

1

VI.4.6. Poinçonnement

b

ctocuγ

fh0,045u Q pf

Avec au charge ultime Qu = 1,5 x 50 = 75KN uc: charge impacte au niveau de feuillet moyen uc = 0,25 + 0,18 + 1,5 x 0,04 = 0,49 m ho: épaisseur de la dalle ho = 0,18m

5,1

3518,049,0045,0093,0075,0 ×××=p

Annexes

CVI

VI.5. VÉRIFICATION DE L'ENCORBELLEMENT DU TROTTOIR

En appliquant la surcharge d'une roue isolée de 3 tonnes dont la surface d'impact sera un carré de 0,20 m (CPC fascicule 61-art.7) (cf figure III.28)

VI.5.1. Calcul de moment d'encastrement sur AB

VI.5.1.1. Charge permanente

Trottoir gt = 0,15 x 2,5 x 1,00 = 0,375 t/m

m0,1403t.m/2

0,8650,375Μ

2

ΑΒ −=×−=

Dalle: gd =0,18 x 2,5 x 1,00 = 0,457 t.m / m

m / t.m0,1682

0,8650,45Μ

2

ΑΒ −=×−=

Partie m / t.m0649,0865,05,22

06,0 2

=××=pg

m / t.m0187,03

865,0649,0ΑΒp −=×−=Μ

Garde corps gs = 50Kg / m Ms = -0,05 x 0,865 = -0,0432 t.m / m

VI.5.1.2. Surcharge: roue de 3 tonnes

73,1

765,0326,1no

××=

Avec 1,26 représente le CMD 1,73 = AB = 200 + (865 - 100) x 2 Moment résultant, comme la fissuration est préjudiciable, nous dimensionnerons ces pièces à l'état limite de service. D'où MAB = -2,04 t.m / m soit: -20,4 m KN / m

VI.5.2. Calcul des armatures supérieurs

MAB = -20,4 m KN / m Aser = 0,4 cm² = 39 mm² Comme l'armature sur l'appui est faible, il faut donc faire le révélé de câble sur appui (construction de trottoir).

VII. CALCUL DE L'ENTRETOISE

VII.1. CALCUL DES LIGNES D'INFLUENCE DES MOMENTS FLECHISSANTS ET EFFORTS TRANCHANTS DANS L'ENTRETOISE

L'entretoise est supposée parfaitement encastrée aux poutres principales Pour le calcul des sollicitations, nous utiliserons la ligne d'influence.

VII.1.1. Lignes d'influence des moments fléchissantes aux appuis

L'équation de la ligne d'influence de moment à l'appui A est:

( ) ( ) 9/3)( m 3L avec / )( 2Α

22 αααααα −−=Μ=−−=Μ Α LL La courbe représentative de MA (α) a pour dérivée par rapport à la variable α: (3-α) (3-3α) / 9

Annexes

CVII

Cette ligne d'influence est donc de pente (-1) en A et (0) en B et les abscisses des extremums sont α = 0 et α = 1; les ordonnées de ces extremums sont α = 0 ⇒ MA(0) = 0 α = 1 ⇒ MA(1) = -0,444 Calcul de point d'inflexion

( ) ( )α

αα

+−−=Μ Α 2

3

2)(2

2

d

d

Donc au point α = 2, elle présente un point d'inflexion.

VII.1.2. Lignes d'influence des moments fléchissants dans la section

médiane

MA(α) = -α (3- α)² / 9 Si on change α par L- α MA(3- α) = - (3- α)[3-(3- α)]² / 9 = (3- α) (-α)² = α² (3- α)

( ) ( )9

α3 αΜ

9

α3 αΜ avec

L

xΜ

L

x1Μ(x)Μ

Β

2

Α

ΒΑ1

−−=−−=

+

−=

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

93

xα3α

9

1α3α

3

α3αx)Μ(α, x α Si

3

α3xΥ x α Si

3

x3αΥ x α Si

L

xLxΥ1

xL

Υ

x

Υ

2

3x2

α

α

−−

−−−−=≤

−=≥

−=

−=⇒=−

+

p

Cette ligne d'influence dépend de α et de x. Séparons alors la fonction d'influence en deux parties: l'une due aux influences de deux moments d'encastrement de deux extrémités; l'autre due au moment d'une poutre appuyée sur deux appuis simples.

Pour la première partie:

( ) ( )

0

1)( 331

pΧΑ

ΒΑ

Μ⋅ΜΜ+−Μ=Μ xxx

Prenons Gα le centre de gravité de chargement du diaphragme.

La courbe est linéaire par rapport à x

Condition Conséquence Courbe

Gα < 1,5m ( ) ( )x,x, αΜαΜ ΒΑ f

Gα > 1,5m ( ) ( )x,x, αΜαΜ ΒΑ p

Annexes

CVIII

Gα = 1,5m ( ) ( )x,x, αΜ=αΜ ΒΑ Uniforme

La courbe est un polynôme de degré 3 en fonction de α donc croit rapidement en fonction de

α.

VII.1.3. Calcul de moment maximum dans la travée

Prenons une section Σ repérée par rapport à l'extrémité A, soit (x) cette valeur, la première charge à considérer est le Bpc dont 10t sur l'essieu arrière et de 5t sur l'essieu avant. Le calcul de moment fléchissant le plus défavorable pour l'entretoise est de 10t, cette force de 10t se répartit sur les deux roues dont 5t sur chacune d'elles. Puisque les charges sont égale, le seul paramètre à considérer pour le moment fléchissant maximal est l'ordonnée de la fonction d'influence. Divisons la travée en deux zones. Pour x < 1,5 m qui est le cas à considérer comme domaine d'étude dont le moment fléchissant est symétrique, la pente de la fonction est élevée sur la zone I. La contrainte qu'il convient également de considérer est la limite de la position de l'essieu.

Plaçons l'essieu dans la zone II et déplaçons le progressivement vers la gauche.Y1 augmente, de même que Y2. Le moment fléchissant au droit de x est toujours 0,5P (Y1+Y2).

A partir de x (toujours dans le sens droite vers la gauche), l'ordonnée Y1 diminue et Y2 augmente toujours.

Comparons la variation de Y1 et Y2 Zone I, la pente est élevée, cela entraîne une grande diminution pour le même déplacement dans la zone II. Donc Y1+Y2 diminue. La position de α est alors un cas des plus défavorables et est unique: mettre α au droit x. Pour le 3ème cas, x > 0,75 le cas le plus défavorable est unique: α1 =0,75. Pour le système Bpr,(roue isolée de 5t), le cas le plus défavorable est de mettre au droit de la section à étudier la roue isolée de 5t.

VII.1.4. Fonction d'influence à considérer

Dans les cas n°1 et 2, la seule fonction à considérer est α > x

( ) ( ) ( ) ( )9

3

93

13

3

3, 3

22

x

x

xx

αααααα

−−

−−−−=Μ

Annexes

CIX

- Section n°1 0,25m0,375mx f=

Roue N°1 Roue N°2 α1 = 0,375 α2 = 2,375 α'1 = 2,625 α'2 = 0,625 M = 0,0718 t.m M = 0,0617 t.m ΣM = 0,0101 t.m - Section n°2

0,75mx = Roue N°1 Roue N°2 α1 = 0,75 α2 = 2,754 M = 0,2109 t.m M = 0,004 t.m ΣM = 0,2066 t.m - Section n°3

1,125mx = α1 = 0,75 α2 = 2,75 M = 1,1523 t.m M = 0,0300 t.m ΣM = 0,1553 t.m - Section n°4

1,5mx = α1 = 0,75 α2 = 2,75 M = 0,0938 t.m M = 0,0104 t.m ΣM = 0,1042 t.m

VII.1.5. Calcul de moment fléchissant dû à la roue isolée

Section Repère de la section (m) Moment fléchissant (t.m) 1 x = 0,375 0,0718 2 x = 0,75 0,2109 3 x = 1,125 0,3296 4 x = 0,500 0,3750

VII.1.6. Moment fléchissant dû à la charge permanente uniforme unitaire

( )

12

Ldα

L

αLαΜ

2L

0 2

2

Α −=−−= ∫

Tableau récapitulatif du moment dû à la surcharge (poids 5t)

x (m) 0 0,375 0,750 1,125 0,500 Y1 -0,2105 0,0708 0,2109 0,3296 0,3750

5 x Y1(t.m) -1,0528 0,3590 1,0545 1,6480 1,8750

VII.1.7. Comparaison de l'effet de surcharge Bpc et Br sur diaphragme

Au niveau des appuis, c'est Bpc qui est le plus défavorable, mais travée c'est la roue isolée du 5t qui est la plus défavorable.

VII.2. EFFORT TRANCHANT

VII.2.1. Fonction d'influence de l'effort tranchant

Annexes

CX

( )

( )( )

( ) ( )x si

L

2αLα-LT(x)

x si L

2ααlLxLT(x)

x si L

3L2ααT(x)

3

2

3

22

3

2

≥+=

≥−+−=

≤−=

α

α

α

VII.2.1.1. Cas de surcharge Bpc (valeur maximale)

x = 0 α = 0,25

Section Repère de la section x(m) Effort tranchant (t) 0 0 0,5683 1 0,375 0,5346 2 0,750 0,4317 3 1,125 -0,0655 4 1,500 -0,0655

VII.2.1.2. Valeur maximale de l'effort tranchant dû à la surcharge Bpc

x (m) 0 0,375 0,750 1,125 1,500 0,5 (Y1+Y2) 0,5683 0,5346 0,4317 -0,0655 -0,0655

T(x)=5(Y1+Y2) 5,683 5,346 4,317 -0,655 -0,655

VII.2.1.3. Effort tranchant dû à B1

x (m) 0,250 0,375 0,750 1,125 1,500 Vi 0,980 0,957 0,844 0,684 0,500

5t + Vi 4,900 4,785 4,220 3,420 2,500

Tableau donnant la valeur maximale de l'effort tranchant dû à la surcharge B

x (m) 0 0,250 0,375 0,750 1,125 1,500 V(x) (t) 5,7 5,7 5,3 4,3 3,42 2,5

Courbe de l'enveloppe de l'effort tranchant

Annexes

CXI

VII.2.1.4. Effort tranchant dû aux charges permanentes uniformes supposés unitaires

( )

≥−

≤−=

=−⇒=

xα si L

αL

xα si L

α

xΤ

0L

ΜΜ ΜΜ ΑΒ

ΒΑ

x (m) 0 0,250 0,375 0,750 1,500

T (x = t) 1,500 1,125 0,750 0,375 0

VII.3. CALCUL DE g

Poids au mètre de l'entretoise: 0,16 x 1,90 x 2,320 x 2,5 = 1,044 t / m Charge uniforme équivalent de la dalle et du revêtement: - dalle 1,125 t - revêtement 0,132 t / m Donc g = gent + g0 + gn = 2,30 t / m

Annexes

CXII

Annexes

CXIII

h = 0,18 m épaisseur de la dalle hr = 0,04 m épaisseur du revêtement Pour l'entretoise H = 2500-200 x 180 =2,320 m Longueur = 0,18 m Tableau récapitulatif de moment fléchissant dû aux charges permanentes et aux surcharges

x (m) 0,9M G

(t.m) MG

(t.m) 1,35MG

(t.m) Mo

(ELS) Mo

(ELU) Combinaison

ELS Combinaison

ELU 0 -1,103 -1,226 -2,330 -1,754 -2,631 -2,980 -4,961

0,375 -0,534 -0,593 -0,801 0,359 0,539 -0,175 -0,054 0,750 0,197 0,216 0,291 1,0545 1,582 1,249 1,873 1,125 0,631 0,701 0,947 1,648 2,472 2,279 3,419 1,500 0,777 0,863 1,165 1,875 2,912 2,652 3,978

Annexes

CXIV

Effort tranchant

x (m) 0,9V G

(t.m) VG

(t.m) 1,35VG

(t.m) Vo

(ELS) Vo

(ELU) Combinaison

ELS Combinaison

ELU 0 3,107 3,452 4,660 5,700 8,554 9,152 13,210

0,250 2,589 2,877 3,884 5,700 8,550 8,577 12,434 0,375 2,330 2,589 3,495 5,300 7,950 7,889 11,445 0,750 1,553 1,726 2,330 4,300 6,450 6,026 8,780 1,125 0,777 0,863 1,165 3,420 5,130 4,283 6,295 1,500 0 0 0 2,500 3,750 2,500 3,750

VII.4. FERRAILLAGE DE L'ENTRETOISE

Comme la fissuration est préjudiciable, nous dimensionnons ces poutres à l'état limite de service.

VII.4.1. Caractéristiques des matériaux

VII.4.1.1. Béton

2,71MPa350,060,6f c0,006f'0,6f

21MPa350,6σb 0,6f'σb

t28t28

oco

=×+=+==×==

VII.4.1.2. Acier


=×

=×=

=228,63MPa21,6110

MPa67,266403

2

Min 228MPa 110η1

f3

2

σ

tj

ys

VII.4.2. Sollicitation à l'ELS

Mser = 2,652 t.m = 26,52 KN.m

VII.4.3. Dimensionnement de l'entretoise longitudinale à l'ELU

- Moment résistant réduit

0,2343

δ1δ

2

1µ

0,580σσb15

σb15δ

LLrb

so

oL

=

−=

=+

=

- Nécessité d'acier comprimé

0'

234,000136,0 µ µ

0,00136σbd²b

Μµ

serrbser

oo

serser

=Α⇒

=

==

ppf µ

- Calcul des aciers tendus

0,63m²δz

ΜΑ

1,831m3

δ1dz

sb

serser

Lb

=⋅

=

=

−=

Annexes

CXV

- Conclusion Fissuration préjudiciable: Φ > 6 mm

6,34cm²f

fd,23b0

y

t28omin ==Α

Armature minimale: Soit BT12 = 6,70cm² Lit 1 = 2T12 Lit 2 = 2T12 Lit 3 = 2T12

VII.4.4. Calculs des armatures transversales

VII.4.4.1. Effort tranchant

- Effort tranchant maximal (ELU)

a) charge repartie Vu = 4,66 t =46,6 KN b) charge ponctuelle Vu = 8,55 t =85,5 KN

- Effort tranchant réduit

C'est une transmission directe des charges aux appuis: Charges uniformément reparties:

B.A.E.L. ⇒Les charges reparties situées au moins de h / 2 du nu d'appuis sont négligées, et les charges situées entre h / 2 et 3 / h développent un effort tranchant égal à: 2V / 3h. En effet,

[ ]KN 3VSoit

KN 2,9592

hx²

3h

qε

2

1

3h

2qV

ε3h

2qq(ε( avec dε q(ε(V

uo

2x

h/22

x

h/2

=

=

−==

== ∫

Charge concentrée: comme les charges concentrées s'appliquent à 0,25 m < h/2= 1,16 donc Vuo = 0 Total: Vuo = Vuo (Pu) + Vuo (Q) ⇒ Vuo = 3 + 0 = 3 KN

VII.4.4.2. Vérification du béton

- Contrainte tangente conventionnelle

MPa 0,0079db

Vτ

m 2,0882,320,9 d 0,9h d

o

uouo ==

=×==

- Vérification Fissuration préjudiciable:

limuo

b

c

lim

τMPa 3,5MPa 0,0079τ

MPa 4

MPa 3,51Min 3,65MPa

MPa 4

γ

f'0,15

Minτ

==

=

=

p

⇒ Armature d'âme droite

Annexes

CXVI

VII.4.4.3. Armature d'âme

- Armature calculée

( )

1,15γ400MPa,f FeE400

1cosαsinα90α droiteΑ

Α desn inclinaisoα avec cosαsinα 0,9

0,3kfτ

γ

f

Sb

Α

syt

t

ttju

s

yi

to

t

==⇒

=+⇒=⇒

=+

=≥⋅

o

0 si réponse sans indentation - pas de réponse k 00 si fissuration très préjudiciable - fissuration préjudiciable k = 1 1 sinon en flexion libre - flexion simple ft28 borne supérieurement à 3,3 MPa ft28 = 2,7 MPa < 3,3 MPa (OK)

⇒≥Α

0046,0 f

t

t

Sarmature minimale

- Pourcentage minimal

10

mm18

66mm

12mm

Min 12mm 35

1

==

Φ

Φ

o

t

b

hMinp

Prenons Φ = 8 mm D'où pour coudre deux files: At = 100cm3 Sto = 55,55cm Retenons un cadre Φ 8HA à Sto = 55cm

- Espacement maximal

==≤

=≤

0Α'car 0

40cm

208,8cm

Min40cmS

0Α' si15Φ

40cm

0,9d

Min t

lim

tS

tt ScmcmS == 4055 f

⇒ St = 40 cm

- Répartition des armatures d'âme

Espacement initial Stl Sto = 40 cm ⇒Stl = 40 cm Retenons donc 8 x 35 = 280 cm

Annexes

CXVII

VIII. CALCUL DE L'ANCRAGE

Lors de la mise en précontrainte, le vérin s'appuie sur la plaque de répartition. D'après la norme qui limite la contrainte de traction au vinage ou valeur de 0,80fpu pour l'acier à relaxation normale, il est nécessaire de dimensionner la plaque de répartition par la tension de vérinage.

ΚΝ=Ν=××=Ρ

≤ΑΡ

=

9984,248410,24991680186080,0 3o

ocn

oo σσ

Condition à vérifier

( ) cocooc

ocn

oo

ff '25,12,0/'8,0 12 ≤−ΑΑ=

≤ΑΡ

=

σ

σσ

- Calcul de An d: diamètre de la gaine, 75mm D: diamètre de l'ouverture de la plaque de répartition, 155mm a1 x b1: dimension de la plaque

4

2

11

Dban π−×=Α

- Répartition des câbles sur l'about de la plaque H: hauteur de al poutre, 2900mm e = -100mm hs:profondeur de centre de gravité, 1096mm H-hs = 2900-1096 = 1804 mm Nous avons 6 câbles ⇒ 5 intervalles

1196mmχ2,5χ

508mmχχ

2392mm2χ5χ

1196mm1096100χ2,5χ

2900mmΗχχ5χ

1

12

1

1

21

=+=−=+

=+=+==++

Prenons mm 450χ =

mm 608χ

mm 71χ

2

1

==

VIII.1. DIMENSIONNEMENT DE LA PLAQUE D'APPUI

L'évaluation des contraintes dans ces zones d'ancrage est un problème très complexe. Etant donné que l'effort dans un câble de précontrainte est transmis au béton sur une surface dont les dimensions sont très réduites par rapport à celle de la surface totale de béton, la précontrainte doit se diffuser verticalement et horizontalement pour s'étendre sur toute la section.

Annexes

CXVIII

Cet épanouissement de la précontrainte induit un état triaxial de contrainte dans la zone d'ancrage. A une certaine distance de la phase d'about, la diffusion est terminée et les contraintes normales longitudinales sont régularisées.

A partir de cette section, notée Sg, les équations habituelles de la résistance des matériaux sont valides. L'étude de la zone d'ancrage est identique à l'étude de poutre de hauteur profonde. La hauteur de la poutre est à une distance mesurée à partir de la section about dont à partir de cette distance, la contrainte est régularisée.

Dans notre cas, puisque nous avons 6 câbles, pour simplifier les calculs, isolons chaque ancrage par un prisme symétrique de hauteur convenable, la contrainte est régularisée à la distance h de la section d'about.

Condition de limitation de contrainte

n

oc

ΑΡ=σσσ p

Puisqu'au vérinage, le vérin s'appuie sur la plaque de répartition dont la valeur limite de contrainte de vérinage pour l'acier à relaxation normale est: 0,8fpu, donc l'effort reste alors:

( )

oc1

2

2

1,25f' 2,08,0

15121680

1860

84,2499168018608,0

≤−ΑΑ

=

≤ΑΡ

Τ=Α

ΜΡ=ΚΝ=××=Ρ

ococ

ocn

p

pu

f

mm

af

σ

σ

( )2

1

11

2

05,0

175500

bbf ==

ΑΑ

⇒ Calcul de la valeur minimale à donner à b1

mmb

mmb

ff ococ

26,294

²49,865862,025,115,1

175000

25,12,0

'25,12,0'8,0

1

2

21

2

1

2

1

2

≥

=+×

≥

≤−ΑΑ

≤−ΑΑ

Prenons b1 = 305mm a1 =1,15 x 305 = 350,75 ∼ 350mm σoc = 28,84 MPa

MPaMPa ocn

o 84,2845,28 =≤=ΑΡ σ Condition vérifiée

a1 = 350mm b1 = 305mm - Calcul de la contrainte d'éclatement, de la contrainte d'écaillement et de la tension d'équilibrage

Annexes

CXIX

ΚΝ=

Α=Ρ

2187,36

70,0 ppuo f

σ (câble à relaxation normale)

- Contrainte d'éclatement due à la diffusion verticale D'après la courbe de la variation de la contrainte d'éclatement maximale en fonction de l'éclatement et la courbe de position du point où la contrainte d'éclatement est maximale ou devient nulle, on peut donner la valeur suivante: K = 0,78 ⇒ traction nulle à 0,25a Traction maximale: 0,48a Désignations des

poutres Dimensions

(mm) A (mm) z (mm) S∆∆∆∆ = A.z.106 z' (mm) γγγγ∆∆∆∆ = S∆∆∆∆.z.109

Ame 2900 x 390 1131000 1459 1639,95 158000/3 3170,57 Table supérieur 2110 x 180 379800 90 34,182 360/3 4,10184 Gousset sous table 805 x 50 45080 198,67 3,95 198,67 1,779 Io gousset 805 x 563/18 0,00785 Talon rectangulaire 2 x 815 x 200 46000 2800 128,8 2800 360,64 Io talon 115 x 2003/6 0,153 Gousset sur talon 115 x 131,43 15114 2656,19 40,14 2656,19 106,63 Io gousset 115x131,43/18 0,0145 1616994 1852,02.106 3643,90.106

Position de centre de gravité:

( )mm 450a

Κ 120,30Κ10,25ΡΤ

mm867,80.10S

mm1329,5.10S

1,5227.10ΥSΙΙ

1754,65mmΥ

1145,55mmΑ

S

oe

36i

36s

12s∆oo

i

∆s

=Ν=−=

=

=

=⋅−=

=

==Υ

VIII.2. CALCUL DU MOMENT D'ÉQUILIBRAGE MAXIMAL

Le moment d'équilibrage est maximal au niveau de l'ancrage extrême inférieur. Plaque de répartition: 305 x 307 mm Effort de précontrainte: 2187,36 KN Charge uniforme équivalente de la plaque: 2187,86/0,350 = 6249,6 KN/m

- Calcul De bras de levier

( )( )

( )( ) 47,,13857,27617,314,33/17,3214,3

14,357,2332/57,2769,257,2332/57,276117,3

57,27620043,131608

707943,13117,308,53/08,5217,3

13,10020012,508,53/12,5208,5

3

2

1

=×+××+=Χ=×+−

=−−

=×+××+=Χ

=×+××+=Χ

g

g

g

Elément Bras de levier Surface (KN) Moment (KN.mm)

Annexes

CXX

1 138,47 872,58 120826,15 2 347,36 542,15 188321,22 3 508,13 1020 518292,60 827439,98

Influence de l'appui: M=qx²/2=6249 x (35/2)²=95697000 N.mm DM = 731742926,6N.mm 0,45h=0,45 x 2900 T= DM/0,45h=560723N=560KN Te=120,30KN T=560KN T'=(2900-450/2900) x 560,723=473,71 KN

- Contrainte admissible des aciers passifs

0,6fe=0,6 x 400=246MPa As2 > 473,71.103/240 = 1973,79mm² As1 > 120,30.103/240 = 501,25mm²

VIII.3. DIFFUSION HORIZONTALE

Rapport d'étalement: K = b1 / b2 = 305/399=0,78 La section nécessaire est la même pour la diffusion verticale et horizontale. Puisque les câbles sont relevés au voisinage de la section d'about et l'exploitation des câbles précontraints est au voisinage de la limite élastique, il faut donc s'assurer par des armatures passives l'effet des Ru.

Explication du phénomène

Après la fissuration dans les zones où consistent des contraintes normales et des contraintes de cisaillement (zone d'effort tranchant et des moments fléchissants), la poutre fonctionne comme un treuil, comprenant une membrane comprimée en béton (membrane supérieure si le moment fléchissant est positif), et une membrane tendue constituée des câbles et de l'armature passive et longitudinale (Aps et As). Ces deux membranes extrêmes sont reliées par les armatures transversales et par des biellettes de béton comprimées entre les fissures inclinées, les biellettes de béton équilibrent les efforts de compressions. Les armatures transversales, tendues par l'ouverture des fissures, équilibrent les efforts de traction.

Puisque l'armature transversale est verticale (solution la plus économique de la couture d'âme dans le cas où l'effort tranchant peut prendre des valeurs de signes contraires dans une même section) nous avons un treuil de type PRATT.

Nous admettons que les câbles ne peuvent pas coudre la fissure provoquée par Ru due à leur position, il faut donc les remplacer par des armatures passives.

D'après la fonctionx

21 0,5σ

τtg2θ = , l'inclinaison de la contrainte principale de traction

varie en fonction de τz. Or nous connaissons bien que la fonction tangente est une fonction bijective, c'est-à-dire l'augmentation de 2θ, exige l'augmentation de τz, donc, 41,899° est la valeur minimale de l'inclinaison de contrainte principale de traction si τz atteint limite de 3,030MPa. L'inclinaison devient alors:

Annexes

CXXI

zxR

tg

τσθ

θ

+=

=

=×=

25,0

966,41

406,964,0

201,32

2

1

o

MPapt 642,21264,05,0 −=−×=σ

Supposons que l'évolution de l'effort tranchant après fissuration par contrainte principale de traction n'entraîne pas d'autre changement de direction de fissure. Fixons alors la valeur de θ = 41,966°

25,80cm²Α

400MPaf

²2580,537mmf

cotgθRΑ

1022,215KNg41,966928,302cotMaxR

MaxRcotgθRΤ

2,58mcotgθh,80

y

y

ush

1

1uu

=

=

=≥

===×=

=××

Prenons 2 Φ 32 + 2 Φ 25

VIII.4. CALCUL DE LA LONGUEUR DU CIBLE

dxdx

dedxyxds

xfy

xx

222 1''

)(

+=+=

==

e est une parabole, donc dx

deest une fonction linéaire en x, alors ds peut se présenter:

²1 uK +

Solution de l'intégrale: ∫ + duu²1

Posons u=sht Ch²t-sh²t=1 Alors ch²t=1+sh²t

positive donc 2

eecht

chtch²tsh²t1xx −+=

==+

Alors chtcht =

( )

∫ ∫=⋅

=+==−

dtch²t dtcht cht

cht2

ee2d(sht)du

xx

Annexes

CXXII

ch²t12ch²t

ch²tsh²tch²t

1sh²tch²t

+==+=−

2

ch²t1ch²t

+=

sh²t4

1t

2

1dt

2

ch²t

2

1dtch²t +=

+=∫ ∫

Avec tsheeee

shtchtxxxx

²2

1

22=+×+=⋅

−−

Donc sh²t = 2cht x sht ch²t = 1+sh²t

shttshtsh

tshcht

×+=

+=

²12²

²1

Avec

u²1u2

1Argshu

2

1duu²1 ++=+∫

2shu = eu+e-u 2eu shu = e2u-1

( )( )

( )

( )( )13,15210.8,4/

10.120013,154,810.10u

15,13mx0

Ku²1u2

1u²1uLog

2

1duu²1

u²1uLogArgshu

sh²u1shuLogu

sh²u1shu

3

323

u

−×=−−=⇒

≤≤

+

++++=+

++=

++=

++=

−

−

∫

xdxde

x

e

( )

145248,0

0

0

13,15

13,1510.6,9²110.6,9

11

1

0

313,15

0 3

2

−⇒

−=+=

+ ∫∫−

−

ux

xduudxdx

de

L = 15,183m

15,13 ≤≤≤≤ x1 ≤≤≤≤ 32,151m

e(x) = 5,126.10-3 (x-15,13)²-1200.10-3

( ) ( )[ ]

0

20,17449929u

15,13

32,151x

25,126.10

duu²1

dx15,13x25,126.10115,13x25,126.10dx

de(x)

3

b

a

32,151

15,13

233

⇒

⋅+

−⋅+=−×=

−

−−

∫

∫

L = 17,107m

Annexes

CXXIII

32,151 ≤≤≤≤ x1 ≤≤≤≤ 37,825m

e(x) = -15,377.10-3 (x-15,13)² + 687,951.10-3 (x-15,13)-7140.10-3

mL

dx

xde

x

7026,5

60,17448716

1,103.10-u

37,151

37,825x

0,030754-

duu²1

dx)(

1

16325902,1030754,0dx

de(x)

5-

b

a

37,825

32,151

=

⇒

+

+

+−=

∫

∫

- Travée centrale

0≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ 17,5m

e(x) = 4,526x².10-3-1200.10-3

17,573mL

0

0,15841u

0

17,5x

9,052.10

duu²1

dx)(

1

10.052,910.2.526,4dx

de(x)

3-

b

a

17,5

0

2

33

=

⇒

+

+

==

∫

∫

−−

dx

xde

xx

17,5≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ 25m

8,227mL

0,3696-

0,528-u

17,5

25 x

0,0211210-

duu²1

dx)(

1

10.02112,0dx

de(x)

107805,1250

528)(

3-

b

a

25

17,5

2

3

32

=

⇒

+

+

−=

+

+−−=

∫

∫

−

−

dx

xde

x

xx

xe

- Longueur moyenne de la gaine

[ ] m585,127227,8573,17703,5107,17183,152 =++++

Annexes

CXXIV

IX. CALCUL DE LA FONDATION

IX.1. DESCENTE DES CHARGES

IX.1.1. Calcul de l'enveloppe de réaction de chaque appui

Puisque nous avons 4 appuis dans 3 travées continues de 126,45m, alors la dépendance des travées entraîne une certaine variation au niveau de la réaction des appuis. Donc il est nécessaire de connaître l'enveloppe de chaque réaction.

IX.1.1.1. Réaction due aux charges permanentes

Supposons que la poutre se comporte comme un matériau homogène et élastique. Méthode utilisée: identique à celle dans la comparaison des variantes (cf Partie II,§ IV) Déplacement au niveau de l'appui intermédiaire δ1 déplacement au niveau du 1er appui intermédiaire δ2 déplacements au niveau du 2ème appui intermédiaire ⇒ Équation canonique

22)(

21

11

21

22212122

22211111

0

δδ

δδδδδδ

δδδδ

=ΕΙ

Μ=

==

++=

++=

∫ dx

avec

xx

xx

L

p

p

dx

dx

dx

L

pp

L

pp

L

∫

∫

∫

ΕΙΜ⋅Μ

=

ΕΙΜ⋅Μ

=

=ΕΙ

Μ⋅Μ=

)(

11

)(

22

22)(

2112

δ

δ

δδ

149,49

209,24535

055,29278

symétrie deraison par δδ

495,2644861

21

12

11

1p2p

1

±=ΕΙ

=

ΕΙ=

=ΕΙ

−=

xx

p

δ

δ

δ

D'où le tableau ci-après

R1 R2 R3 R4 13,676 49,149 49,149 13,676 (en tonne)

IX.1.1.2. Calcul de charge permanente par mètre linéaire

Pour une poutre: g1 = gppl +gadditionnel g1 = 33,53 + 5,57 = 39,100 KN/m

Annexes

CXXV

Pour la superstructure: g = 2.g1 g = 39,100 x 2 = 78,200KN/m Alors on peut résumer dans le tableau ci-après les valeurs des réactions au niveau des appuis dus aux charges permanentes.

Appui R 1 R2 R3 R4 Réaction (KN) 1069,643 3843,452 3842,452 1069,643

IX.1.2. RI due au piéton

Calcul de Max R1, Max R2, Min R1, Min R2 Zone I Mp = 32,125.R1-x²/2 Zone II Mp = 7,15365

23,636RR

14,189RR

209,24535

055,29278

055,29278

553,1271956δ

553,1271956

32

41

12

22

11

2p

1

====ΕΙ

=

ΕΙ=

ΕΙ=

ΕΙ−=

ΕΙ−=

δ

δ

δ

δ p

Tableau récapitulatif

R1 R2 R3 R4 14,189 23,636 23,636 14,189 (en tonne)

η= 1,000 q = 0,180 t/m = 1,5KN/m Chargement symétrique des deux trottoirs: pour deux trottoirs de 1 x 2m de largeur, on a: q = 1,000 x 2 x 1,5 = 3,000 t/m

R1 R2 R3 R4 42,567 70,908 70,908 42,567 (en tonne)

(Max R1 piéton)

Avec le même mode de calcul, on peut récapituler dans le tableau ci-après les réactions dans chaque appui pour chaque type de chargement.

R1 R2 R3 R4 12,023 54,214 36,968 -2,380 (en tonne) 36,069 162,642 71,904 -7,140 (en tonne)

(Max R2 piéton)

R1 R2 R3 R4 -11,776 36,776 36,776 -11,776 (en tonne) -35,328 110,328 110,328 -35,328 (en tonne)

(Min R1 piéton)

R1 R2 R3 R4 -0,633 0,925 18,868 18,868 (en tonne)

Annexes

CXXVI

-1,899 2,775 56,604 55,995 (en tonne) (Min R2 piéton)

IX.1.3. Détermination de la valeur minimale et maximale de réaction due à la surcharge

Bcp (camion de 15t) 3m Deux essieux de 10t + 5t Poids de l'essieux arrière: 10t Poids de l'essieux avant: 5t Distance entre deux essieux: 3m Distance entre deux essieux de deux camions consécutifs: Disposition de camion: disposition irrégulière, c'est-à-dire on surcharge toutes les parties donnant un effet le plus défavorable.

Détermination de la valeur maximale de R1 due au Bpc

Nombre d'essieux = nombre d'intervalle + 1 Nombre de camion = nombre d'essieu /2

Disposition la plus défavorable des camions dans la zone I qui produit l'effet la plus défavorable de R1

Longueur de travée: 37,825 m Nombre d'intervalles: 37,825/3 = 12,608 ≈ 13 Nombre d'essieux: 13 + 1 = 14 Nombre de camions: 14/2 = 7 Poids de ces 7 camions: 7 x 15t = 105t

Disposition la plus défavorable des camions dans la zone II produisant l'effet la plus défavorable dans R1

Hypothèse: conserve toujours la direction et le sens des camions dans la zone I. Ainsi, l'essieu de 10t reste toujours dans la partie gauche.

- A gauche de l'appui R3 la pente de la variation de la fonction d'influence de R1 est plus grande par rapport à celle de la partie droite

- Nous limiterons le nombre des camions dans cette zone au nombre égal à 6 - Position du centre de gravité de ces 6 camions

i: numéro de l'essieu de 10t quelconque j: numéro de l'essieu de 5t quelconque O, O': origine π: Résultat de ces essieux xG: position de π K: nombre total d'essieux de 10t dans la zone II K': nombre total d'essieux de 5t dans la zone II δi: abscisse de l'essieu i δj: abscisse de l'essieu j δi = δo + bi avec b: distance entre deux essieux de 10t consécutifs δj = δo' + bj

Annexes

CXXVII

- Moment statique

( ) ( )

16,000m2pi

S

3mδ 0δ avec 1440S

bδ5bδ10S

o'o

5i

0i

5j

0jjo'io

=

===

+++= ∑ ∑=

=

=

=

x i 102,669x i Pi ∑∑∑∑Pi δδδδi (δδδδi ≤≤≤≤ x i) M(x) d i(m) d G xG

0 0 10 0 0 3 2,00 2,00

3 302,007 5 30 272,007 3 1,665 4,665

6 616,014 10 75 541,014 3 1,589 7,589

9 924,021 5 150 774,021 3 1,562 10,562

12 1232,028 10 240 992,028 3 1,543 13,543

15 1540,035 5 360 1180,035 3 1,534 16,534

18 1848,042 10 495 1353,042 3 1,525 19,525

21 2156,049 5 660 1494,049 3 1,521 22,521

24 2464,056 10 280 1624,056 3 1,515 25,515

27 2772,063 5 1050 1722,063 3 1,512 28,512

30 3080,077 10 1275 1805,070 3 1,507 31,507

33 3388,077 5 1530 1858,077 3 1,505 34,505

36 3696,084 10 1800 1896,084 1,825 0,915 36,915

37,825 3883,455 Appui 1952,500 1930,955 1,175 0,585 38,410

39 4004,031 5 2100 1904,091

Annexes

CXXVIII

N° surface surface x GI.xG² Ordonnée de xG dans

MR2

Ordonnée de xG dans

MR3 MR2 . MBpc MR3 . MBpc

1 408 2,0 -1,398 -0,602 -570 -246

2 1220 4,665 3,261 -1,404 -3978 -1713

3 1973 7,589 -5,305 -2,285 -10467 -4508

4 2649 10,562 -7,383 -3,180 -19558 -8424

5 3258 13,543 -9,467 -4,077 -30843 -13283

6 3800 16,834 -11,557 -4,980 -43917 -18924

7 4274 19,525 -13,648 -5,872 -58332 -25123

8 4680 22,521 -15,742 -6,780 -73673 -31730

9 5019 25,515 -17,835 -7,618 -89514 -38551

10 5291 28,512 -19,930 -8,583 -105450 -45413

11 5492 31,507 -22,024 -9,485 -120956 -52092

12 5631 34,505 -24,119 -10,388 -135814 -58495

13 3492 36,915 -25,804 -11,113 -90108 -38807

14 2253 0,590 -14,875 -59168 -33513

15 90025 24,730 -18,995 -1710025 -1695351

12' 5295 33,505 -10,086 -23,420 -53405 -124009

11' 5162 30,508 -9,185 -21,325 -47413 -110080

10' 4961 27,512 -8,282 -19,231 -41087 -95405

9' 4692 24,516 -7,380 -17,137 -34627 -80407

8' 4356 21,522 -6,479 -15,044 -28223 -65532

7' 3953 18,527 -5,577 -12,951 -22046 -51195

6' 3482 15,537 -4,677 -10,860 -16285 -37815

5' 2943 12,548 -3,778 -8,771 -11119 -25813

4' 2337 9,570 -2,881 -6,690 -6733 -15635

3' 1664 6,605 -1,988 -4,617 -3308 -7683

2' 923 3,713 -1,118 -2,595 -1032 -2395

1' 169 1,276 -0,384 -0,892 65 155

Total -2817716 -2682297

Annexes

CXXIX

Récapitulation de δii

37tet x 65 x:donne qui ce

029278x24535x2682297

024535x29278x2817716

:devient canoniqueéquation l'

4743

53813

24535

29278

26882297δ

2817776

32

32

32

2322

3322

32

3322

3p

2

===++−=++−

ΕΙ=−

ΕΙ=+

ΕΙ=

=ΕΙ

=

ΕΙ−=

ΕΙ−=

δδ

δδ

δ

δδ

δ p

R4 = 42t R1 = 51t R2 = 65t R3 = 37t

Tableau donnant les valeurs des réactions au niveau de chaque appui lors du surchargement produisant un effort maximum au niveau de R2

R1 R2 R3 R4 34 133 66 -8 (en tonne)

Valeurs des réactions lors du surchargement par des camions Bpc produisant la valeur minimale dans R1

R1 R2 R3 R4 -10,537 78,035 78,035 -10,537 (en tonne)

Valeurs des réactions lors du surchargement par des camions Bpc produisant la valeur minimale dans R2

R1 R2 R3 R4 1,361 -6,388 62,716 47,282 (en tonne)

L'enveloppe de la réaction d'appui Combinaison à l'état limite de service

Valeur minimale Valeur maximale R1 (KN) 928,302 1622,000 R2 (KN) 3779,572 5341,094

Pour le calcul du nombre de pieux, on utilise les valeurs maximales des réactions.

Annexes

CXXX

IX.2. PREDIMENSIONNEMENT DE L'INFRASTRUCTURE

Appuis intermédiaires D'après la descente de charge précédente: R1 = 2671 KN = 267,1t

IX.2.1. Prédimensionnement du chevêtre

Longueur du chevêtre

1,4λ < l < 1,6λ λ = 3m 4,20m < l < 4,80m Prenons l = 4,50m

Forme du chevêtre

a = 1,25 b = 1,60

Poids par mètre:5t/m

Vérification de la contrainte

Le moment est maximal à la mi-traînée y!1 / 2 ωp = 0,5 ωn = -0,781 ωn + ωp = -0,281

2b

2pb t/m1320σ'0,8 t/m328,692

ω

Μσ' === p

IX.2.2. Etude de pile

Etude de cas le plus défavorable

Par définition on appelle CRT le coefficient de répartition d'une charge provenant d'un essieu sur les poutres principales. Par principe de l'action et de a réaction, l'effort dans chaque pile due au camion est affectée de la CRT, puisque la poutre s'appuie sur le chevêtre et l'ensemble est équilibré.

Pour l'appui n°2, la valeur maximale transmise par la superstructure sur l'appui n°2 est de 133t, donc la répartition la plus défavorable est la suivante: 133 x CRT = 77,592t 133 x (1-CRT) = 55,408t CRT = 0,5834 Avec CMB = 1,01

Charge permanente due à la superstructure: 343,452t Charge permanente due au chevêtre: 32,5t Descente de charge due au piéton: 16,264t Longueur de la pile n°2: 13,08m Surface de la pile: π D2/4= 1,131m² (D = 1,2m) Volume par unité de longueur: 1,936 m3/m Poids par unité de longueur: 2,827 t/m Pour la pile n°1: L = 9,250 m donnant un poids égal à 26,150t Pour la pile n°2: L = 13,00 m donnant un poids égal à 26,757t

Annexes

CXXXI

Détermination de la hauteur de la semelle

Enrobage 50mm v ≥ 525,544750 = 572,544mm

Vérification de recouvrement par les pieux

Capacité portante des pieux : 250 Diamètre des pieux : 800mm Prenons alors la hauteur de la semelle égale à : 1,2 + 0,5 = 1,7 m Ho = 1,70m

X. MATÉRIAUX DE CONSTRUCTION- MODE D'EXÉCUTION DE L'OUVRAGE

X.1. MATÉRIAUX DE CONSTRUCTION

X.1.1. Armature EN acier pour béton armé

a) Rond lisses nuance Fe E 24 (norme AFNOR 35-015) b) Aciers à haute adhérence: nuance FeE 40 (norme AFNOR 35-016)

- Façonnage des armatures

Le pliage des barres à haute adhérence devra obligatoirement être effectué sur mandrins, le sondage des barres est interdit.

- Protection et entreposage des armatures

Les armatures pour béton armé doivent exemptes de saleté, terre, huile, peinture et rouille, et ne doivent pas être déformées, tordues ou indûment pliées.

X.1.2. Armature et procédés de précontrainte

Nous proposons le procédé du FREYSSINET: ces armatures sont approvisionnées par STUP (France). En effet, les gaines et leurs raccordements, les ancrages, le matériel de mise en tension, les matériaux et les matériels seront conformes à l'agrément du procédé du précontrainte adapté. Nous proposons les gaines de feuillards d'acier nervurés qui a une résistance à l'écrasement suffisante et une étanchéité complète à l'infiltration de la pâte de ciment. Il faut un diamètre intérieur de 75 mm pour le câble 12T15. - Transport et stockage de armatures de précontrainte:

Les opérations de transport, stockage et manutention sont organisées de manière que les armatures ne subissent pas d'altérations. En effet, les armatures de précontrainte seront obligatoirement enduites d'une huile émulsionnable du type:

� SHELL DROMUS B � MOBIL OLI SOLVAG 1535 � ELF SARELF A � Ou similaire

Le mélange de ces huiles avec de l'eau est strictement interdit. Les armatures de précontrainte sont entreposées sans contact avec le sol et protégées des intempéries. En effet, la livraison des aciers sera faite par camions bâchés et toutes les précautions seront prises pour éviter que les armatures ne soient blessées ou déformées au

Annexes

CXXXII

cours de manutentions. Le stockage se fera obligatoirement dans un local fermé, isolé du sol, au minimum par des bâchés et si possible par un hangar.

Toutes durée de stockage supérieure à un mois donnera lieu à des vérifications périodiques de l'état des aciers et au renouvellement, si nécessaire de la matière spéciale de protection. A tout moment, elles doivent être protégées des étincelles provenant des découpages et des soudures éventuelles exécutées dans le voisinage. Toute armature dont les rouilles légères ne s'enlèveraient au frottement d'un chiffon sera rebutée, il en sera de même pour toute armature présentant un défaut superficiel même léger.

X.1.3. Coulis d'infection

X.1.3.1. Nature

Les coulis d'injections sont constitues par du ciment, de l'eau, des adjuvant et éventuellement des élément fins. Les propriétés requises pour les coulis sont les suivantes:

- exsudation4 à 3 heures inférieures à 2% - exsudation à 24 heures: nulle - temps d'écoulement au cône MARSH compris entre 17 et 25 secondes - résistance minimale à la flexion (60 bars) et à la compression (350 bars).

X.1.3.2. Composition

- Ciment

Il sera constitué par du CPA de classe 45 ou 55 admis à la marque NF.VP (conformité à la norme NFP 15-301)

- ne pas présenter de phénomène de fausse prise - avoir une teneur en ion chlore (Cl-) inférieur à 0,05 % - ne contenir ni ion S--, ni tous autres éléments susceptibles d'entraîner la corrosion

des aciers - être livré en sac de cinquante (50) kilogrammes et stocké à l'abri de l'humidité.

- Eau

L'eau respecte les spécifications suivantes: - chlorures par Cl- < 250 mg/l - sulfates par −2

4SO < 250 mg/l - absence de détergents

La température d'utilisation sera inférieure à 30°C

- Adjuvants

Les adjuvants utilisés sont ceux agrées par les normes françaises; adjuvant dans la catégorie "adjuvant pour coulis d'injection". Ils devront être exempts d'ions agressifs (chlorures, sulfures, nitrates) et n'entraînent ni dégagement d'hydrogène, ni chute de résistance, ni augmentation excessive du retrait.

Les épreuves d'étude et de convenance devront montrer que les adjuvants utilisés augmentent la facilité de mise en œuvre ou réduisent la tendance à l'exsudation.

X.1.4. Sables pour mortiers et béton

Les sables pour mortiers et béton seront des sables de rivière non micacés. L'emploi des sables concassage est interdit.

4 L'exsudation caractérise la stabilité de coulis

Annexes

CXXXIII

Ils devront être propres et exempt de terre, matières organiques ou végétales et autres détritus. Ces sables devront posséder les qualités suivantes:

- tolérance sur le module de finesse ± 0,3 (valeur absolue). - Ne pas contenir d'éléments d'une dimension supérieure à 5 mm - Un pourcentage dépassant au tamis de 900mailles/cm² < à 5% en poids.

Ils devront en outre satisfaire à l'essai d'alcali réaction (norme ASTMC289-66) et à l'essai colorimétrique à la soude (norme NFP18-301).

- propretés des sables 75 < ES < 80 pour béton armé; 80 < ES < 90 pour béton précontraint.

- Un pourcentage d'éléments très fins (argiles, vases, …) obtenus par décantation inférieure à deux (2) pour les sables destinés au béton armé et inférieur à un (1) pour les sables destinés au bétons précontraint.

X.1.5. Gravillons pour béton

Selon la qualité des bétons exigés, les granulats seront criblés pour obtenir les deux classes 5/15 et 15/25 exprimées en diamètres de passoires au sens de la norme NFP 18-306. La qualité des granulats devra répondre aux exigences suivantes:

- Los Angeles (NFP 18-573): L.A. < 35 sur échantillon de la classe 10/14 (Norme NFP 18-573)

- Le passant au tamis de deux (2) mm: < 2 pour les gravillons; pour béton armé: < 1 pour le B.P.

- Le coefficient volumétrique déterminé par l'essai mené suivant la norme NFP 18-301 sera supérieur à 0,15

- Etre conformes aux spécifications de la norme NFP 18-301 Ces spécifications des granulats sont mentionné au §2.2.

X.1.6. Ciment pour mortiers et bétons

Les spécifications des ciments sont notés dans le §2.2.

X.1.7. Eau de gâchage

Elle devra répondre aux spécifications de la norme NFP 18-303, l'Administration se réservant le droit d'exiger, éventuellement après avis du L.N.T.P.B., des clauses plus sévères.

X.1.8. Bois d'étaiement et de coffrage

Le bois nécessaire pour les étaiements et les coffrages doit être aptes à assurer leurs fonctions essentielles:

- réaliser les formes géométriques projetées sans aucune déformation imprévue. - Obtenir la qualité d'aspect spécifier pour les parements conformément au fascicule

65 art. 14 du C.C.T.G., grâce à la qualité, au degré de remploi, à la propreté et à l'étanchéité de leur paroi.

X.1.9. Gargouilles

Les gargouilles constituant les pénétrations à travers le tablier seront constituées par des tubes de 80mm de diamètre en matériaux inerte: polyvinyl - chlorure rigide, ciment, aluminium, acier galvanisé.

Annexes

CXXXIV

X.1.10. Garde-corps

Les garde-corps seront constitués de tubes et profilés, en acier galvanisé.

X.1.11. Joints de chaussée

Les Joints de chaussée seront constitués de deux (2) cornières en L de 80 x 80 x 8 mm ancrées par des fers soudés sur chacune de leurs ailes.

10.1.12. Appareils d'appui

Les appareils d'appui seront en élastomère frette. Ils devront provenir d'usines agrées. Les caractéristiques mécaniques portées aux fiches d'agrément seront confirmées aux normes NFT 46 002 et NFT 46 003.

Leurs dimensions et la nature des plaques de frettage devront être conformes au bulletin Technique N°4 du SETRA (Ministère français de l'Equipement).

X.2. MODE D'EXÉCUTION

X.2.1. Implantation de l'ouvrage

Avant le commencement des travaux, il sera procédé par l'administration et aux frais du titulaire à l'implantation contradictoire de l'axe des culées de l'ouvrage. Il appartiendra ensuite eu titulaire d'exécuter à ses frais tous les piquetages complémentaires nécessaires à la bonne exécution des travaux et dont il demeure entièrement responsable.

Les côtes de nivellement général seront celles du service géographique de Madagascar.

X.2.2. Etude de procédés de mise en tension après durcissement (post- tension)

La précontrainte par post-tension est réalisée par des armatures tendues après la coulée du béton, lorsque celui-ci a suffisamment durci. Pour pouvoir s'allonger librement lors de la mise en tension, les armatures de précontrainte sont isolées du béton par des gaines étanches placées dans le coffrage avant le bétonnage. Les aciers de précontrainte ne sont pas en contact direct avec le béton, ils peuvent être enfilés dans les gaines après le coulage de la pièce.

Lorsque le béton atteint une résistance suffisante (30MPa), les armatures du précontrainte sont mises en tension par des vérins prenant appui sur le béton de la pièce qui devient précontraint. Lorsque l'allongement est atteint, l'acier de précontrainte est bloqué à l'aide d'ancrage permanent. Dans notre cas, nous faisons la mise en tension en tendant l'acier aux extrémités de la pièce et non simultanée (voir sous chapitre sur la perte de précontrainte instantanée).

Une fois les aciers tendues et ancrés, on procède à l'injection des gains avec un coulis de ciment et l'aide d'une pompe (l'installation des appareils) sera mentionnée plus loin). L'injection est faite de façon que tout le vide que l'acier de précontrainte laisse à l'intérieur de sa gaine soit rempli de mortier.

L'injection produit l'adhérence de l'acier de précontrainte au béton de la pièce (par l'intermédiaire du mortier et de la gaine) et protège l'acier de précontrainte contre la corrosion et améliore la résistance de la pièce à la fissuration. Il convient de souligner que l'injection des gaines est le procédé le plus utilisé pour protéger l'acier de précontrainte contre la corrosion. En résumé, nous avons les stades suivants :

1. 1er stade : pose des armatures enrobées dans une gaine isolante; 2. 2éme stade : coulage du béton et durcissement;

Annexes

CXXXV

3. 3éme stade : mise en tension des aciers qui glissent dans leur gaine, les vérins hydrauliques s'appuyant sur le béton durci;

4. 4éme stade : blocage des aciers par injection du ciment dans les cônes d'ancrage, immersion des extrémités des aciers dans une masse de béton, et enfin, coulis de ciment dans ces gaines.

Comme il a été mentionné auparavant, le procédé celui de précontraint et nous choisissons les procédés de FREYSSINET, nous avons noté au § 10.2. que les gaines et leurs raccordements, les ancrages, le matériel de mise en tension, les matériaux et les matériels seront conformes à l'agrément du procédé du précontraint adopté.

Nous pouvons donc décrire les procédés d'installation des appareils du FREYSSINET, réalise par STUP.

En effet, la création de STUP a facilité considérablement la tâche des entreprises désireuses d'aborder à l'étude et la réalisation d'ouvrage maintenant dispense des sujétions d'achat de matériels constitué principalement par de vérin spéciaux. La STUP fournit également les pompes à haute pression, les organes et parfois même des fils tréfilés à haute adhérence.

Comme l'entreprise COLAS et SNTPI ont déjà eu ces matériels, c'est pourquoi nous choisissons le procédé de FREYSSINET.

X.3. INSTALLATION DES APPAREILS

Soit une pompe P alimentant le vérin double V, par l'intermédiaire de tuyauteries souples le robinet 1 permettant d'admission de la pression dans le pot de vérin (chambre A de la coupe sur vérin). Le robinet 2 commande l'admission de la pression dans les vérins intérieurs (chambre B). Pour assurer la mise en tension, on ouvre le robinet 1, admettant ainsi la pression dans le pot. La mise en tension réalisée, on assurera le blocage par l'ouverture de robinet2. le manomètre M permettra des pressions réalisées. Enfin, l'opération terminée, les robinets 1 et 2 étant ouverts, on évacuera le liquide par le robinet 3. Le matériel nécessaire à la conduite d'une opération de mise en tension est donc relativement simple:

- la pompe sera une pompe pour des hautes pressions - les tuyauteries sont en caoutchoucs spéciaux pour hautes pressions - les pressions à atteindre dans le vérin de mise en tension seront de l'ordre

300Kgs/cm². Dans le vérin de blocage, elles atteindront 400Kgs/cm² environ. Les taux pression sont facilement calculables Soit F la valeur de la traction à assurer Soit S la section du piston de vérin Soit P la pression intérieure

On aura: S

F=Ρ

Pour le blocage, on se limitera à une valeur de la traction à assurer, égale à 0,70F

Annexes

CXXXVI

X.4. CONSTRUCTION DES COFFRAGES, ÉCHAFAUDAGES ET CINTRES

Les coffrages, échafaudages et cintres devront résister en toute sécurité à une pression de 120 daN au mètre carré de couple s'exerçant normalement sur toutes les pièces exposées au vent.

Annexes

CXXXVII

Tous les vides qui se pourront se produire entre les pièces jusqu'au jour de bétonnage seront bourrés de mortier toutes les semaines; on visitera et, le cas échéant, on resserrera tous les boulons. Les ouvrages métalliques éventuellement utilisés seront justifiés conformément au Fascicule 61 titre V du CPC. Le poids du béton frais est considéré comme une surcharge. Les ouvrages en bois éventuellement utilisés devront satisfaire aux normes NFP 21-202 et B 52-001.

X.5. MISE EN ŒUVRE DES ARMATURES POUR BÉTON ARME

- Façonnage (Fasc.65,art. 33)

Les armatures pour béton armé seront façonnées à froid du premier coup selon les dispositions conformes aux plans d'exécution.

- Mise en place (Fascicule 65, art. 33-3)

Les armatures sont maintenues par arrimage et calage suffisants pour qu'elles ne puissent subir, lors des opérations de mise en œuvre, des déplacements ou des déformations excédant les tolérances admises.

- Recouvrement

Les jonctions par recouvrement sont conformes aux prescriptions du chapitre A6 des sigles B.A.E.L. (cf planche de dessin correspondante).

X.6. MISE EN ŒUVRE DES ARMATURES DE PRECONTRAINTE

Chaque gaine sera solidement ligaturée à des armatures passives à espacements rapprochés susceptibles de ne subir aucun déplacement lors du bétonnage. Les tolérances de mise en place des gaines d'armature en hauteur et en plan par rapport aux épreuves d'exécution sont les suivantes, celles-ci étant exprimées en cm.

Hourdis Talon et gousset Ame En plan 2,0 1,0 0,5

En hauteur 0,5 1,0 2,0

X.7. MISE EN ŒUVRE DES BÉTONS

L'ingénieur doit établir le programme d'exécution des travaux. Le programme de bétonnage comporte un mémoire d'ensemble, assorti de schéma nécessaire, précisant notamment:

- les délais de mise en place du béton après fabrication - le matériel employé (nature, répartition, caractéristiques) - pour le transport (jusqu'au coffrage) et la mise en place du béton - les phases devant doit se dérouler sans reprise, avec les cadences du bétonnage

correspondantes - les moyens en réserves et les dispositions destinées à pallier les défaillances

éventuelles à tous les stades depuis la fabrication jusqu'au serrage - le trace et le mode de traitement des reprises - les moyens de réglage et de finition des surfaces non coffrées - les moyens de cure et plus généralement, les méthodes employées en fonction des

facteurs climatiques (temps chaud ou temps froid)

Pour avoir une idée pour l'établissement du programme de bétonnage, nous pouvons nous référer à la bibliographie [6][12].

Annexes

CXXXVIII

L'étude du béton sera faite par le L.N.T.P.B. à Antananarivo, aux frais exclusifs du titulaire, à partir de ces composants. Enfin, nous pouvons noter qu'auparavant de commencer le bétonnage d'une pièce, le responsable devra vérifier le coffrage (dimensions, solidité, étanchéité, propreté, humidifications des parois à l'eau). Il devra également s'assurer que la distance des armatures aux parements soit partout respectée.

X.8. MISE EN TENSION DES ARMATURES

Immédiatement après le bétonnage, on vérifie qu'il ne s'est produit aucune déformation des conduites laissés vides pendant le coulage et qu'il ne s'y trouve ni inclusion du béton ni corps étranger. En cas d'obtention, l'entrepreneur prend les dispositions nécessaires pour assurer le libre passage des armatures de précontrainte, sans risque d'abrasion ni frottement prévus.

Avant la mise en tension

Immédiatement après le bétonnage, les unités de précontrainte qui ont été mises en place avant le bétonnage sont coulissées d'un mouvement alternatif dans leurs conduites pour assurer leur libre jeu.

Les manomètres de mise en tension devront obligatoirement faire l'objet d'un étalonnage avant le début des travaux. Ils feront également l'objet d'étalonnages périodique au cours du chantier à un rythme défini par le responsable de l'exécution des travaux.

Au point de vue résistance, la mise en tension est subordonnée aux résultats des essais d'information (les essais d'information sont exécutés selon la norme NFP 18-405), les effectués pour connaître la résistance à la compression f'c du béton à l'âge j prévus pour l'opération dans la zone d'ancrage (dans notre cas, la date prévue est de 21 jours après coulage).

A cet effet, un prélèvement est effectué dans une au moins des gâchées mise en œuvre dans la zone d'ancrage. Si la moyenne des résultats d'essais obtenus sur 3 éprouvettes à 21 jours est inférieure à la résistance requise (30 MPa), l'opération de mise en tension sera retardée.

- Mise en tension La mise en tension de chaque câble sera réalisée en présences du responsable de l'exécution de l'ouvrage. Seront notés les allongements aux diverses pressions manométriques et les reculs à l'ancrage. La tension à l'ancrage sera de 3656KN pour chaque câble.

Au cours de l'opération, pendant le fonctionnement de la pompe, il est interdit à toute personne de se tenir derrière le vérin ou dans un voisinage immédiat (le vérin peut basculer en cas de défaut de résistance du béton sous l'ancrage).

- Contrôle

La vérification du bon déroulement de l'opération repose sur la confrontation, d'une part en regard des efforts appliqués, des allongements théoriques calculés et les allongements mesurés, d'autre part et le cas échéant, s'il y a lieu à l'issue de la montée en tension des coefficients de transmission théorique calculés et des coefficients réels mesurés.

Si f'c est la pression obtenue à la fin de mise en tension, Ao étant l'allongement théorique correspondant, les allongements sont mesurés successivement:

- à au moins trois (3) paliers de pression inférieur à 0,85fpo - à un palier dit de pression d'alerte fpa compris 0,90 et 0,95fpo - à fpo

Annexes

CXXXIX

La mise en tension est arrêtée dès que l'une des deux conditions suivantes est vérifiée:

- la pression atteint fpo - l'allongement réel atteint est à 1,10Ao

X.9. INJECTION DES GAINES DE PRECONTRAINTES

L'opération d'injection est conforme au § 10.3. La protection des armatures sera exécutée conformément aux prescriptions du Fascicule CCTG.

Les ouvriers devront être habitués à cette technique. En effet, le personnel et le matériel utilisés pour réaliser les injections devront être agrées par le responsables de l'exécution de l'ouvrage. La pompe à injection devra munie d'un dispositif de sécurité limitant la pression maximum de 18 bars.

Avant l'injection, il sera procédé au lavage des câbles par circulation d'eau propre, suivi d'un soufflage efficace à l'air comprimé.

La pression en cours d'injection sera limitée à 15 bars (par temps chauds, la température ambiante dépasse 25°), il faut prendre toutes dispositions utiles pour éviter la formation du bouchon dû à une prise trop rapide du colis (sur les dispositions qu'il est possible de prendre, se reporter au Fascicule 65, annexe de la flèche technique T34).

Après l'injection, il est procédé à l'exécution des cachetages définitifs dont le but est d'empêcher les pénétrations d'eau le long de l'armature. Toutes dispositions sont prises pour éviter les risques importants d'infiltration. En effet, le cachetage des encoches de câble ancrées dans le hourdis supérieur et dans les abouts de poutre sera effectué au moyen d'un mortier en époxy. L'étanchéité sera ensuite assurée par une chape en résine époxy débordant de 50cm tout autour de l'encoche.

X.10. APPAREILS D'APPUI

Les appareils d'appui devront être mis en place de manière à ce que leur liberté de fonctionnement soit totale

Ils devront reposer par l'intermédiaire d'un mortier ou d'un micro béton de calage sur une zone de béton fretté au-dessus et en dessous de la plaque d'appui. Ils ne devront en aucun cas risquer de baigner dans l'eau stagnante sur le chevêtre. Ils seront posés sur un bossage d'une hauteur de 5cm au moins.

La tolérance de positionnement des appareils d'appui est de 3mm dans toutes les directions. On sera tenu de recaler les appareils d'appui qui seraient anormalement distendus, par le relevage du tablier à l'aide de vérin.

X.11. GARGOUILLES

Les gargouilles seront constituées par des tubes en chlorure de polyvinyl rigide en matériau similaire. Elles seront mises en œuvre dans le hourdis avant le bétonnage. Chacun d'elles devra comporter à sa partie basse une "goutte d'eau" ou un embout d'une longueur de 7 cm minimum.

X.12. COUCHES D'USURE DU TABLIER

Il sera réalisé une couche d'usure en béton de 4 cm d'épaisseur constituée par une surépaisseur d'enrobage des armatures supérieures du hourdis. Elle sera coulée en même temps que le hourdis.

X.13. COUCHE DE ROULEMENT

Annexes

CXL

Selon l'étude de Fanilo ANDRIAMAHAZO et Jean Marcel RAKOTO [25] l'accès en ouvrage sera encore en terre (couche de roulement); il ne sera donc pas réalisé de couche de roulement sur l'ouvrage. La circulation sera faite directement sur la couche d'usure de tablier.

Annexes

CXLI

Nous venons de voir comment se réalise l’étude de l’ouvrage d’art.

Notre projet n’est pas complet, mais il reflète l’étude sommaire d’un pont. Soulignons

que pour l’étude d’un projet d’ouvrage, il faudrait pour un bureau d’études plusieurs mois, et

en plus nécessiterait plusieurs spécialistes (géologues, géotechniciens, hydrologues

éventuellement, topographes, dessinateurs, etc…). Le temps qui nous a été permis d’entamer

le travail ne suffit pas à élaborer un projet complet de tel ouvrage d’art.

Cependant, ce projet nous a donné, dans un premier temps, l’occasion de nous

familiariser aux problèmes d’ensembles et en particulier des différentes étapes du projet. Il

nous a ensuite permis de nous rendre compte quels sont les travaux et la responsabilité que

l’Ingénieur devrait assumer, et de compléter notre formation: certaines théories n’ont pas été

abordées à l’Ecole alors qu’elles ont été appliquées dans les calculs.

En effet, pour les calculs des éléments autres que les poutres principales, la méthode

de calcul suivant les règles B.A.E.L. 91 est plus avantageuse en raison de l’économie des

matériaux.

En ce qui concerne le calcul des poutres principales en béton précontrainte, malgré

l’absence des documents européens lors de nos études, nous avons traité le calcul aux état

limites de ces pièces suivant les règles canadiennes ou nord- américaines.

Pour terminer, nous pouvons dire que nous avons acquis d’amples connaissances au cours de la réalisation de ce mémoire.

CONCLUSION GENERALE

Annexes

CXLII

1. J.R. LYBBY, N.D PERKINS, N.D, Modern Prestressed Concrete Highway Bredge

Superstructures, San Diego, California, Grantville Publishing Co, 1976.

2. ASSOCIATION CANADIENNE DE NORMALISATION, Calcul des pont -routes,

CAN 3-56-M78, Rexdale Ontario -Edition française, 1980.

3. A PICARD Béton précontrainte, tomes 1 & 2, Edition Gaëtan Morin, 1993

4. ASSOCIATION SCIENTIFIQUE DE LA PRECONTRAINTE, Recommandations

pour le calcul et l’exécution des ouvrages précontraintes, 1965.

5. DOCUMENT TECHNIQUE UNIFIE B.P.E.L. 91, Règles technique de conception et

de calcul des ouvrages et construction en béton précontraint suivant les méthodes des

états limités, Eyrolles, Paris, 1993.

6. G. DREUX, Nouveau guide du béton, Eyrolles, Paris, 1985.

7. DOCUMENT TECHNIQUE UNIFIE B.P.E.L. 91, Règles technique de conception et

de calcul des ouvrages et construction en béton armé suivant les méthodes des états

limités, Eyrolles, Paris, 1993.

8. C.C.T.G., Fascicule 65, Règle de mise en oeuvre du béton en précontrainte, 1993.

9. ANONYME, Technique de l4ingénieur, tome C.4.

10. G.DREUX, Pratique du béton précontrainte, Eyrolles, Collection UTI, Paris, 1973.

11. J. FAUCHART, Béton précontrainte, tome II, 1982.

12. REBUT, Guide pratique de la vibration des bétons, Eyrolles, Paris, 1962.

13. CANADIAN STANDARS ASSOCIATION STEEL FOR PRESTRESSED

CONCRETE, Tendons CSA Standard, G 279 MI 982, Rexdale Ontario.

14. A.C.T., Committee 318, Proposed revisions to “Building code requirement for

reinforced concrete” and to “ commentary on building code requirements for

reinforced concrete”, Concrete international, Vol. 4 N°12, 1982.

15. A.C.T., Committee 318, “Building code requirements for reinforced concrete”, A.C.T.

318-77, AMERICAN concrete Institute, Detroit Michigan, 1977.

16. A.R. RJANITSYMIN, Calcul à la rupture et plasticité des constructions, Chap. 5,

Eyrolles, Paris, 1959.

17. A.E. NAMMAN, Prestressed concrete-analysis and design, vol. 1: Fundamentals,

Chap. 2, Mc Graw-Hill, 1982.

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES

Annexes

CXLIII

18. J.P. MOUGIN, Abaques pour le calcul des rectangulaires articulées sur leur contour

Annales de l’ITTBTP: Théorie et méthode de calcul, vol. 275 N°436, 1985.

19. CANADIAN STANDARS ASSOCIATIONS, Code for the design of concrete

structure for buildings, CAN 3 A23-3 M84.

20. A.C.T., Committee 318, Building code requirements for reinforced concrete (A.C.T.

318-83), Chap 11,13 &18, American Concrete Institute, Detroit Michigan, 1983.

21. H. THONIER, Comparaison pratique du code modèle C.F.B. 78 et des règles

B.A.E.L. 80, Annales de l’ITTBTP, N° 404, 1982.

22. H. THONIER, Règlement britannique de béton armé CP 110, Annales de l’ITTBTP,

N° 420, 1983.

23. O. RASOLDIER, Résistance des matériaux, Université d’Antananarivo, E.S.P.A.,

Notes de cours, 1991.

24. COMITE EURO-INTERNATIONAL DU BETON, C.E.B FIP Model code for

concrete structures, Chap. 3, 11 & 12, 1978.

25. F.H. ANDRIAMALALA, J.M. RAKOTO, Etude de réhabilitation du CIP 602 reliant

Soavina et Ambondromisaotra et étude préliminaire du pont sur la Mania, Mémoire de

fin d’études d’Ingéniorat, E.S.P.A., Université d’Antananarivo, 1994.

26. J. COURBON, Initiation aux calculs des structures.

27. STUP 66, Doc. 133, Appareils d’appuis.

28. MINISTERE DES TRAVAUX PUBLICS, Note technique N° 67-1 du 24 Août

1967,Appui en élastomère fretté, 1967.

29. J. BARRET, Le béton précontraint préfacé par M. FREYSSINET, 1950

30. Y. GOYON, Construction en béton précontraint classes états limites, tome 2: étude de

la poutre, Eyrolles, Paris, 1968.

31. G. DREUX, Nouveaux mémento du béton précontraint, Eyrolles, Paris, 1978.

32. H. THENOZ, Structures hyperstatiques en béton précontraint, 1982.

33. M. FREYSSINET, Béton précontraint-théorie et calculs, Eyrolles, Paris, 1984.

34. MINISTERE DE L’EQUIPEMENT ET DE L’AMENAGEMENT DU TERRITOIRE,

Boles et Plées: appui des tabliers, PP73 SETRA, 1977.

35. MINISTERE DE L’EQUIPEMENT, Laboratoire Central des Ponts et Chaussées-

Services d’études techniques des routes et autoroutes, FOND 72, 1976.

36. L. DURET, Estimation des débits de crues à Madagascar, 1976.

37. B.C.E.O.M., Manuel sur les comptages routiers et les enquêtes des troupes.

Annexes

CXLIV

38. MINISTERE FRANÇAIS DE LA COOPERATION ET DU DEVELOPPEMENT,

Hydraulique routière, B.C.E.O.M.

39. S. RAJOELINANTENAINA, Cours de "Ponts", Université d'Antananarivo, E.S.P.A,

notes de cours, 1994-1995.

40. P. CHARON, Méthode de Cross.

41. R. RIVONIRINA, Cours de "Calcul des structures, Université d'Antananarivo,

E.S.P.A, notes de cours, 1994.

42. A. RAMASY, Cours de "Géométrie analytique", Université d'Antananarivo, E.S.P.A.,

notes de cours, 1993.

43. C.P.C., Fascicule 61 B, Conception, calcul et épreuves des ouvrages du type "Ponts

provinciaux".

Annexes

CXLV

CAMPAGNE DE COMPTAGES ROUTIERS Juin - Juillet 1994

FICHE DE SYNTHESES DE COMPTAGES AU POSTE N°29 LOCALISATION PK: 0 + 100 ANTSAHAKELY

Jours Date Véhicule

L 04/07

M 28/06

M 29/06

J 30/06

V 01/07

S 02/07

D 03/07

Total semaines

Moyenne journalière

Coefficient de pondération

Moyenne avec pondération

Berlines 5 3 3 1 1 3 2 18 3 1 3

Familiales et bâchées

39 31 18 26 39 57 26 236 34 2 68

PL < 10T Minibus

9 10 1 4 5 19 4 52 7 3 21

PL > 10T sans remorque un seul

essieu arrière 7 1 3 2 4 17 2 5 10

PL > 10T sans remorque deux essieux arrières

0 0 5 0

Ensemble articulé PL avec remorque –

Autocar 2 2 4 1 7 7

Engins TP/Tracteur agri/charrettes

8 2 2 1 19 5 1 38 5

Vélo/motocyclettes 7 6 4 14 9 8 3 51 7

Total 77 53 31 46 75 94 40 416 59

N° Troçon C I P 6 0 2

ANNEXE 1 LISTE DES PRINCIPAUX SYMBOLES

Annexes

CXLVI

Annexes

CXLVII

ANNEXE 2

Annexes

CXLVIII

ANNEXE 3

Annexes

CXLIX

ANNEXE 4

Annexes

CL

Annexes

CLI

I. Charges permanentes II. Coefficient de répartition transversale (CRT) III. Coefficient de majoration dynamique (CMD) IV. Calculs des moments fléchissants IV.1 Fonction d'influence et traçage des ligne d'influence IV.2 Moment fléchissant dus aux charges permanentes IV.3 Moment fléchissant dus aux charges d'exploitation V. Calculs des efforts tranchants V.1 Traçages des lignes d'influence de l'effort tranchant V.2 Effort tranchant dus aux charges permanentes et charges d'exploitation (Tableau récapitulatif) I. CHARGES PERMANENTES (soit au mètre linéaire de d emi-pont) Les charges permanentes d'une poutre sont calculées suivant les dimensions présentées sur la figure III. 3 Pour le calcul de l'avant – projets, la masse volumique du béton précontraint sera évaluée à 2500Kg/m3 (Instruction provisoire relative à l'emploi du béton précontraint, Art.5) a) ossature résistance: gpp1 = 20,84 KN/m ce valeur approximative pour les dimensionnements (cf 3) gpp1 = 0,01 x 2500 x 1,156 = 34,125 KN/ml b) Superstructure: - trottoir 1,00 x 0,15 x 2500 375 kg/ml - garde de corps 50kg/ml - revêtement enrobé de 4cm d'épaisseur 1,500 x 0,04 x 2200 132kg/ml gad = 557kg/ml soit 5,57KN/ml gad: charge permanente additionnel ou supplémentaire II. COEFFICIENT DE RÉPARTITION TRANSVERSALE (CRT) Nous avons a = 3m, largeur entre extrémités des poutres L = 50m largeur de la travée

⇒== 5,006,050

3

L

ap La méthode de la répartition transversale des charges suivant la

méthode de compression excentrée est applicable a) charge permanente:

ANNEXE 5

DERMINATION DES EFFORTS DANS LES POUTRES PRINCIPALES

Annexes

CLII

Nous avons une répartition égale car nous avons le même moment d'inertie Donc g1 = gpp1 = 20,845 KN/ml charge permanente au moment de la masse en tension G2 = gad = 5,57 KN/ml charge permanente additionnel b) charge d'exploitation Les figures suivantes indiquent les lignes d'influences des réactions aux appuis

Les ordonnées de la ligne d'influence sont indiquées sur la figure . Pour les surcharges Bpc, le CRT est égale: ( ) 5834,025,09167,05,0 =+⋅=Βpcη

. Pour les piétons

( )

166,12

11333,1 =⋅+=fη

III. COEFFICIENT DE MAJORATION DYNAMIQUE (CMD) D'après l'article 4 du béton des fascicules 61-B, Nous avons:

5

41

3,0

021

2,01

PL ++

++=δ

Avec L: longueur surchargée L = 126,45 P charge permanente qui est égal à ( ) KN089,667945,126257,584,20 =××+ S surcharge maximale du système Bpc, 21 x 15 = 315T KN /3150KN

D'où 04,1

3150

089,6679413,0

45,1262,01

2,01 =

×++

×++=δ

IV. CALCULS DES MOMENTS FLECHISSANTS

IV.1 FONCTION D'INFLUENCE ET TRAÇAGE DES LIGNE D'INFLUENCE

a) Méthode utilisées: Méthode de Foyer Critère de choix de cette méthode

Annexes

CLIII

D'après la courbe de comportement d'une poutre précontrainte (M, ∆), l'introduction de précontrainte augmente la ténacité (poutre sous armée). La précontrainte devient élastique donc on peut utiliser la méthode exacte pour la détermination de moments fléchissants. Méthode de Foyer Notations

Ao, A1, A2, A3: Appuis (Nombre 4) P = l Charge unitaire mobile pouvant circuler le long de la poutre α: Repérage de la charge mobile par rapport à l'appui voisin de la charge placée à gauche

Calcul de l'angle de rotation aux extrémités d'une poutre isostatique Notations: θ'i et θ''i

Prenons L = li tgα1 = Y/α tgα2 = Y/l-α tgα1 + tgα2 = tgα = 1 ⇒ Y(1/α + 1/L-α) = 1

Calcul de MP x M2: (même mode de calcul que la précédente)

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )/3L2αL/LAGYG

3αα/3/LAGYG1/L/YGΥG

/32αL/33α2L3LαL 2/3LΑG

32ΑG

/2αLαΥS

2ααΥS

22

1121

2

1

2

1

+====⇒=

+=+−=−−==

−×=⋅=

Y = α (L-α) / L

Annexes

CLIV

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )[ ]

( ) [ ]( ) ( )( ) ( ) L/6α/LL α/L1α

/6LαLL α-Lα

LαL/6LαY

2αLαL2α /6LαΥ

/3L2αL/2αLαΥ2αα/3α/2αY

SYGSΥGΜΜ 22112Ρ

⋅+−=+=+=

+−+=+×−×+××=

⋅+⋅=×

Pour la charge uniformément repartie (=1)

( )( )

[ ][ ]

L/24

L/4-L/2 L/6

α/4L-α/2 L/6

dL α/LαL/6

dL α/L1αL/6ΜM 2P

===

−=

−=×

∫

∫

Pour la charge uniformément repartie de MP x M1

( ) ( )( )

( )[ ][ ]

L/24

L/4L-L L/6

α/4Lα/L-α L/6

dL α/L3αα/-2αL/6-

dL α/L3αα/2αL/6

dLα/L-2 α/L1αL/6ΜM 1P

−=+−=

+−=

+=

+−−=

−−=×

∫

∫

∫

Tableau récapitulatif de θθθθ' et de θθθθ"

Charge concentrée Charge unitaire repartie

EIθθθθ' -α(1-α/L) (2-α/L).L/6 -L/24

EIθθθθ" α(1-α/L) (1+α/L).L/6 L/24

Utilisation des relations de 3 moments

Hypothèse: L'inertie de la poutre est constante sur toute la longueur

Convention de signe

Rotation positive: rotation dans le sens contraire d'une aiguille d'une montre, de même pour le moment extérieur Calcul de θθθθ' i

Annexes

CLV

( )

111111iii δθΜδΜδδ

x/11Y(x)

==⋅=⋅=−−=

∑

Calcul de δδδδ11 Schéma de calcul

Calcul de M1 x MP S1, S2: Aire des moments dans MP G1, G2: Centre de gravité de S1 et S2 YG1, YG2: Ordonnées des G1 et G2 dans M1

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( )αL 2/3BG

/32α3Lα2/3LBGα2/3AG

/2αLαY/2αLαYS

α/2αYα/2/LαL αS

2

11

2

1

−=−=⋅−=⇒⋅=

−⋅=−×=⋅=×−=

( ) ( )

( ) ( )/3L2α2L/3LαL2/LBGYG1/L/BGYG

/3L2α3L/3L2α3L/LBGYG1/L/BGYG

2222

1111

+−=−−=−=⇒−=+−=−−=−=⇒−=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ]( ) [ ]( ) [ ] ( )( )( )( )/6α/L2αLαΜΜ

6L/LαL2Lα1αLα2L/6LαΥ

2α4Lα2L2α3Lα/6LαΥ

αL2α2Lα2α3L/6LαY

/2αLαY/3L2α2Lα/2αY/3L2α3L

SYGSYGΜΜ

Ρi

2211Ρ1

−−−=××+−−=+−=

−+−+−=−+−++−=

−××+−+××+−=⋅+⋅=×

Calcul de θθθθ'' i

( ) ( )L/6α/L2 α/L1 αθ'i −−−=

Annexes

CLVI

( )( ) ( )

0ΜΜLibre Extrémité

αθ"θ'ΜbΜacΜb

θ"θ'ΜbΜacΜb

3o

233323212

1222121o1

==⇒

−=+++−=+++

L'équation (α) devient:

( )

( ) ( )'"'

"'0

2323212

1222122 αθθ

θθ

−=Μ++Μ−=Μ+Μ++

acb

bac

Poutre d'inertie constante sur toute la longueur alors ci = Li / 3EI ai = Li / 3EI bi = Li / 6EI

i 1 2 3 Li[m] 37,825 50 37,825 ai 12,6083 / EI 16,6667 / EI 12,6083 / EI ci 12,6083 / EI 16,6667 / EI 12,6083 / EI bi 6,3042 / EI 8,3333 / EI 6,3042 / EI

c1+a2 = 29,2750 / EI c2+a3 = 29,2750 / EI L'équation (α) devient: 29,2750 / EI x M1 + 8,3333 / EI x M2 = θ"1-θ"1 8,3333 / EI x M1 +29,2750 / EI x M2 = θ'3-θ"2 1er cas: La charge P = l se trouve dans la travée AO, A1 θ'2 = 0, θ"2 = 0, θ'3 = 0 L'équation (α) devient 29,2750 / EI x M1 +8,3333 / EI x M2 = θ"1 8,3333 / EI x M1 + 29,2750 / EI x M2 = 0 θ"1 =α (1-α/L) (1+α/L).L/6EI

Annexes

CLVII

( ) ( )

12

21

21

2847,0

02750,293333,8

6//113333,82750,29

MM

MM

LLMM

−=

=+⋅+−−=+

⇒ααα

( ) ( )

( ) ( ) Lα/L1α/L10,0018αM

37,825L

Lα/L1α/L10,0062αM

2

1

×+−==

×+−−=

En remplaçant L par sa valeur on trouve

3

2

31

00005,00668,0

00016,02345,0

αααα

−=

+−=

M

M

2ème cas: La charge unitaire se trouve dans la travée A1, A2

L'équation (α) devient:

0013,0/1

5817,787

3333,82750,29

"2750,293333,8

'3333,82750,29

221

221

=∆=

−=∆

−=+=+

EIMM

EIMM

θθ

( )

( ) EI"θ0106,0θ'0372,0M

"θ3333,8'2750,29EI2750,29EIθ"

3333,8EIθ'∆x

221

222

2

+=

+=−

= θ

( )

( ) EI"θ0372,0θ'0106,0M

EIθ'3333,8"2750,29EIθ"3333,8

EIθ'2750,29∆y

222

222

2

+−=

+−=−

= θ

( )( )

+−=+=Μ

EIθ"0,0372θ'0,0106Μ

EIθ"0,0106θ'0,0372

222

221

( ) ( )( ) ( )

50mL

0,0033α8,3333α/6α/L1α/L1αθ"EI

0,0033α0,5α16,6667αL/6α/L2α/L1αθ'EI32

2

322

=−=+−=

−+−=−−−=

33

22

α0,0001α0,0033

α0,01860,5α

α0,620016,6667α

0,0372x

−→−+→

−→−

33

22

α0,00003α0,0033

α00α

α0,0883α3333,8

0,0106x

−→−+→

−→

Annexes

CLVIII

321 α0,0001α0,0186α0,5317 −+−=Μ

Calcul de M2

3α0,00003α0,0033

α0,00530,5α

α1766,016,6667α

x0,0106

−→−+→

→−

α0,00012α0,0033

α0α0

α0,3100α3333,8

x0,0372

+→−+→

−→

3 ème cas: La charge unitaire P = 1 se trouve dans la travée 3 Conséquence: θ'2 = 0 θ"2 = 0 θ'3 = 0 Alors l'équation α devient : 29,2750 /EI x M1 + 8,3333 EI X M2 = 0 8,3333 /EI x M1 + 29,2750 EI X M2 = θ'3

EI θ' + α (1 - α/L)L/6 L = 37, 825 m M1 = -8,3333 / 29,2750 x M2 = -0,287 M2 M2 = 0,032 θ'3

M1 = - 0,0106 θ'3

θ'3 = - 12,6023 α + 0,4999 α - 0,0044 α

b) Calcul de la fonction d'influence

321

322

α0,00005α0,0053α0,1336Μ

α0,0002α0,0186α0,4688Μ

+−=

−+−=

322

321

0,0001α0,0186α0,5317αΜ

0,00016α0,0053α0,1333αΜ

−+−=

+−−=

Annexes

CLIX

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) i1iii

iii1i

L/(x)ΜL/x1xΜxµxΜ

xΜL/xxΜxΜxµxΜ

+

+

+−+=+⋅−+=

Analyse de µ(x)

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )/LxLα

αΥαL/xLxµx/LxΜα/LαΥαSi

/LαLx

/LαLαx/α

αΥx/αxµ/xxΜ/ααΥxαSi

/LαLααΥ

−=⋅−−=⇒−=−⇒

−=−⋅=

⋅=⇒=⇒

−=

xf

p

Annexes

CLX

Tableau récapitulatif de la fonction d'influence des moments fléchissants

Position de P Comparaison

avec x µµµµ(x) M1 M2 N°travée

x < α x (L-α) / L

x > α α (L-x) /L 1

0 2

1 (A0 A1)

Pour toute position de x

dans 1er travée 0

-0,2343 α +0,00016 α3

+0,0668 α -0,00005 α3

3

Pour tout x 0

x < α x (L-α) / L 1

x > α α (L-x) /L 2

2 (A1 A2)

Pour tout x 0

-0,3317 α +0,0186 α2 -0,00016 α3

-0,1333 α -0,0053 α2

+0,00016 α3

3

0 Pour toute position de x

dans 3 0

1

x < α x (L-α) / L 2

3 (A2 A3)

x > α α (L-x) /L

+0,1336 α -0,0053 α2

+0,00005 α3

-0,4688 α +0,0186 α2 -0,00016 α3

3

Annexes

CLXI

Traçage de la ligne d'influence Cas où [ ]10 ΑΑx ∈ a) Moment fléchissant M0 = M(A0) = 0 M1 = M(A1) : Moment au niveau de l'appui N°1 M(x) = M0(1+x / L1)+M1.x / L1+µ(x) M(x) = µ(x) +M1.x / L1

1ère cas de changement [ ]101 ΑΑ∈=Ρ

M1 = -0,2343 α+0,00016 α3 µ(x) = α (L1-x) / L1 si α ≤ x µ(x) =x (L1-α) / L1 si α ≥ x 2ème cas de chargement [ ]211 ΑΑ∈=Ρ

M1 = -0,3317 α + 0,0186 α2 - 0,00016 α3 µ(x) = 0 Pour tout x 3ème cas de chargement [ ]321 ΑΑ∈=Ρ

M1 = 0,1336 α - 0,0053 α2 + 0,00005 α3 µ(x) = 0 b) Effort tranchant

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

dx

xdµxθavec

L/ΜxθxΤ

dx

xdΜxΤ

11

=

+=

=

Pour avoir la ligne d'influence, on voir la position de P = 1, la valeur de M(x) ou T(x) correspondant à la position de P. donne l'ordonnée de la ligne d'influence au droit de la position de P. (P varie le long de la poutre) Cas où [ ]21ΑΑx ∈ a) Moment fléchissant M(x) = M1(1-x / L2) + M2.x / L2 + µ(x)

Annexes

CLXII

1ère cas de changement [ ]101 ΑΑ∈=Ρ

M1 = -0,2343 α+0,00016 α3 µ(x) = 0 M2 = +0,0668 α - 0,00005 α3 2ème cas de chargement [ ]211 ΑΑ∈=Ρ µ(x) = α (L2 -x) / L2 si α ≤ x µ(x) =x (L2 - α) / L2 si α ≥ x M1 = -0,3317 α + 0,0186 α2 - 0,00016 α3 M2 = -0,1333 α - 0,0053 α2 + 0,00016 α3 3ème cas de chargement [ ]321 ΑΑ∈=Ρ

µ(x) = 0 M1 = 0,1336 α - 0,0053 α2 + 0,00005 α3 M2 = -0,4688 α + 0,0186 α2 - 0,00016 α3 b) Effort tranchant

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

dx

xdµxθavec

L/)-Μ(xθxΤ

dx

xdΜxΤ

212

=

Μ+=

=

Pour avoir la ligne d'influence, on varie la charge P = 1 le long de la poutre. La valeur de M(x) ou T(x) correspondant à la position de P donne l'ordonnée de la ligne d'influence au droit de la position de P.

Annexes

CLXIII

Annexes

CLXIV

Annexes

CLXV

Annexes

CLXVI

Annexes

CLXVII

Annexes

CLXVIII

Annexes

CLXIX

Annexes

CLXX

Annexes

CLXXI

Annexes

CLXXII

Annexes

CLXXIII

Annexes

CLXXIV

Annexes

CLXXV

Annexes

CLXXVI

Annexes

CLXXVII

Annexes

CLXXVIII

Annexes

CLXXIX

Annexes

CLXXX

Annexes

CLXXXI

Annexes

CLXXXII

Annexes

CLXXXIII

Enveloppe de l'effort tranchant

Enveloppe due au Bpc

Travée N°1: mode du chargement

Partie à surcharger pour avoir:

- Un effort tranchant positif: zone 2 et 4 - Un effort tranchant négatif: zone 1 et 3

Par définition: ( ) ( )dx

xdΜxΤ =

Or

( )

T(x)4

Mθ(x)

dx

dM(x)

L

xM0µ(x)M(x)

L

xML/x1Mµ(x)M(x)

1

11

111o

=+=

++=

+−+=

Diagramme de θθθθ(x) M1: Superposition de moment fléchissant provenant des différents parties à surcharger au droit de l'appui n°1 Puisque L1 est constante T(x) et M1 sont alors proportionnels, donc si M1 augmente alors T(x) augmente, il faut se référer toujours à la position la plus défavorable de M1 dans le cas de chargement de travée en dehors de la travée de la section à étudier Pour la travée, où on étudie la section Σ la position est unique

Notons r la valeur entre l'appui et l'essieu où on ne peut pas disposer un autre camion Analysons la valeur de r

Annexes

CLXXXIV

Nous remarquons que les pentes à gauche et à droite au niveau de l'appui n°1 sont égales sur la fonction d'influence, mais sur la variation, en écartant l'appui n°1, la variation de la partie gauche est plus grande que celle à droite. L'essieu à gauche est de 10t et à droit 5t. Notons dg l'écartement à gauche par rapport à l'appui n°1 de l'essieu à gauche et dd pour l'essieu à droite m3dd dg =+

5yd10yg= (équilibre où le camion additionnelle apporte de moindre effet sur Σ) Avec yg: ordonnée à gauche yd: ordonnée à droite

1md3mdd

0,5dd0,5yyg

dg

dgdg =⇒=+⇒

≈⇒=

Or e: espacement entre deux camions e + dg = r rmin = dg min+e Si r ≥ 4m: on dispose un camion additionnel r < 4m: on supprime ce camion Pour l'effort tranchant négatif, il faut changer la direction des camions en surchargeant les zones 1 et 3. Dans la travée 1, il n'y a pas de limitation des essieux. Pour la partie centrale (travée centrale), le mode de disposition de camion est la même, même r en raison de changement de direction des camions pour la valeur maximale.

D'où la courbe enveloppe de l'effort tranchant se présentera à la figure suivante.

Effort tranchant dû au C.E. piéton

Effort tranchant positif : travée N°1

Annexes

CLXXXV

( )

( )

( )2

xL

dαL

α1dααθ

L

α1αθ

2

L

x

L

x

−=

−=

−=

∫∫

Notons M1(3): moment au niveau de l'appui (1) provenant du chargement de la travée n°3

Avec L = L3 = 37,825 m

( )

( )0,6755

L

dααΜΤoùD'

4

L0,0005

3

L0,0053

2

L0,1336dααΜ

3

L

O

313

1

433L

0

(3)1

==

++=

∫

∫

M1(1): moment au niveau de l'appui 1 provenant de la changement du travée 1.

D'où ( ) ( ) ( )1

1

L

Μxθ

dx

xdΜxΤ +==

( ) ( ) ( )

675504

0001602

234302 1

41

1

221

1

21 ,

L

xL,

L

xL,

L

xL +−+−−+=

Moment négatif

( )

( )

( )

( )( )

1

4

1

3

1

x

o1

4x

o

2

3

1

2x

o

2

1

4L

x0,00016

2L

x0,2343

L

dααMxθ

4

x0,00016

2

x0,2343αM

0,00016α0,2343ααM

2L

xdα

L

αxθ

50mL

37,825mL

1

+−==

+−=

+−=

−=−=

==

∫

∫

∫

Chargement de la travée N°2

( )

( ) ( ) 139,6254L

x0,00016

2L

x0,2343

2L

x

L

ΜxθxθΤ

139,625L

Μ

0,00016α0,0186α0,5317α

1

4

1

3

1

2

1

21

1

1

21

L

0

3221

2

−+−−=++=

−=⇒

−+−=Μ

−

∫

Effort tranchant négatif

( ) ( ) ( )2

12

L

MMxθαΤ

dx

dMxθ

−+=⇒=

Annexes

CLXXXVI

Calcul de θθθθ(x)

( )

4

xk

3

xk

2

xkdα

L

ΜΜ

αkαkαkL

ΜΜ

2L

xdα

L

αxθ

4

3

3

2

2

1

x

o2

12

33

221

2

12

2

2x

o2

++=−

++=−

−=−=

∫

∫

Avec

6

23

22

21

6.10L

0,000160,0016k

0,00048L

0,01860,0053k

0,0080L

0,33170,1333k

−=+=

−=−−=

=+=

Chargement de la travée N°3

Même procédure de la travée n°2 avec x = L1

6

23

22

21

4.10L

00005,000016,0k'

00048,0L

00053,00186,0k'

0120,0L

1336,04688,0k'

−−=−−=

=−=

−=−−=

.dû aux piétons x dans la

4

Lk'

3

Lk'

2

Lk'

4

xk

3

xk

2

xk

2L

xΤ

41

3

31

2

21

1

4

3

3

2

2

12

2

++++++−=∑

Effort tranchant dû au C.P.

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )2

22

1

11

3

0i

L

0

(i)22

1

1

3

0i

L

0

(i)11

L

x1

x

o1

L

Μ

2

2xLxΤ2nTravée

L

Μ

2

2xLxΤ1nTravée

dααΜΜ

L

ΜxΤoùD'

dααΜΜ

2

2xLdα

L

α1dα

L

αxθ

i

i

1

+−=°

+−

=°

=

=

=

−=

−+−=

∑ ∫

∑ ∫

∫∫

=

=

Les valeurs des efforts tranchants sont présentés aux tableaux suivants, conformes aux états limites de service et état limite ultime.

Annexes

CLXXXVII

Annexes

CLXXXVIII

Annexes

CLXXXIX

Annexes

CXC

IV.2. MOMENTS FLECHISSANTS DUS AUX CHARGES D'EXPLOI TATION – COURBE ENVELOPPE

a) Enveloppe du moment fléchissant dus à la surcharge Bp Moment maximum: ( )∑ ∑ piOBP yΡδβη

Moment minimum: ( )∑ ∑ niOBP yΡδβη

Avec ηBp = 0,5834 βo = 1,0 une voie δ = 1,04 coefficient de majoration dynamique D'où la courbe enveloppe du moment fléchissant dû à la surcharge Bp (charge relative à l'état limite de service)

Courbe enveloppes du moments fléchissant du charge d'exploitation Bp avec le coefficient CMP et CRT

b) Enveloppes du moment fléchissant dus au charge du piéton (charge relatif à l'état limite de service)

Selon la fascicule 61 du CPC, on appliquera sur les trottoirs une charge uniforme de 150 Kg par mètre carré de façon à produire l'effort maximal envisagé. Moment max = ηf x 1,5 Σ ωp (KN.m) Moment min ηf x 1,5 Σ ωn (KN.m) Avec ηf = 1,166 D'où la courbe enveloppe

Annexes

CXCI

Courbe enveloppe du moment fléchissant dû au surcharge piéton affectant le coefficient CRT (ηp)

ELSf

ELSBpc

ELS2CPELS

G

ELUGELU

II

ELSf

ELSBpc

2ELSCPELS

G

ELUGELU

II

min5,1min5,1η

ηmin

max5,1max5,1η

η.max

Μ+Μ−Μ=Μ

Μ+Μ+Μ=Μ

[Formule 73, cours de pont E.S.P.A.] gad: gr + gt + go, ηG

ELS = 1 ou 0,9; ηGELU = 1,38 ou 0,9

yp: ordonnée de la ligne d'influence positive yn: ordonnée de la ligne d'influence négative yp, yn: au droit de charge concentrée ωp: aire de la ligne d'influence en dessous de la charge uniformément repartie [partie positive] ωn aire de la ligne d'influence en dessous de la charge uniformément repartie [partie négative] Tableau donnant la valeur de MII

ELS, ELU suivant le coefficient de surcharge approprié

Annexes

XLVII

Valeur minimale de V Valeur maximale de V

Section 1,5 (V fmin + VBpc

min ) 1,5 (Vfmax + VBpc

max) ELS 1 ELS II ELU 1 ELU II ELS 1 ELS II ELU 1 ELU II

S0 -150 725 401 407 1040 1476

S4 -237 416 176 135 649 918

S9 -270 282 -12 -83 375 534

S14 -309 254 -202 -305 173 260

S18 -419 173 -456 -666 -50 -10

S23 -530 84 -723 -1030 -277 -286

S28 -684 56 -1009 -1430 -460 -497

S33 -839 36 -1297 -1835 -640 -702

S37- -1034 26 -1611 -2279 -813 -896

S37+ -78 1115 828 900 1721 2435

S44 -95 899 597 638 1332 1889

S50 -137 683 349 352 944 1343

S56 -215 494 77 29 573 824

S62 -326 347 -217 -326 231 347

Annexes

XLVIII

Valeur minimale de M Valeur maximale de M

Section 1,5 (M fmin + MBpc

min ) 1,5 (Mfmax + MBpc

max) ELS I ELS II ELU I ELU II ELS I ELS II ELU I ELU II

S0 0 0 0 0 0 0

S4 -441 1905 1541 1598 3310 4658

S9 -884 3041 2295 2321 5232 7367

S14 -1325 3662 2263 2171 5937 8381

S18 -1766 3837 1444 1147 5471 7769

S23 -2207 3314 -161 -751 3664 5279

S28 -2648 2153 -2641 -3830 647 1278

S33 -3485 930 -6403 -8994 -3052 -3151

S37 -5768 1089 -12005 -16784 -6618 -7071

S44 -1886 1298 -4071 -5685 -1668 -1516

S50 -1634 2409 -185 -630 2610 3765

S56 -1629 4272 1899 1666 6143 8720

S62 -1619 4797 2574 2440 725 10276

Annexes

XLIX

EFFORT TRANCHANT

Section 0,9Vcp II 1Vcp

II 1,75Vcp Vfmin Vfmax VBpc min VBmax Vfmin + VBpc min Vfmax + VBmax

S0 501 557 751 -10 45 -90 438 -100 483

S4 334 372 502 -11 34 -147 243 -158 277

S9 168 187 252 -13 25 -167 163 -180 188

S14 4 4 6 -18 17 -188 152 -206 169

S18 -165 -183 -247 -25 11 -248 104 -273 115

S23 -333 -370 -500 -33 0 -320 56 -353 56

S28 -497 -553 -746 -42 1 -414 36 -456 37

S33 -664 -738 -996 -42 2 -506 22 -559 24

S37- -830 -922 -1245 -53 2 -624 15 -689 17

S37+ 880 978 1320 -65 71 -49 672 -52 743

S44 660 733 990 -3 57 -59 542 -63 599

S50 440 489 660 -4 42 -85 413 -91 455

S56 220 244 330 -11 30 -132 299 -143 329

S62 0 0 0 -18 21 -199 210 -217 231

Annexes

L

Contraintes Normes S 6 Norme A 23.3

Compression au transfert (σoc) 0,6f0'co 0,60f'co

Traction au transfert (σot) cof '25,0− cof '25,0−

Compression en service (σc) 0,4f'c 0,45f'c

Traction en service (σt) cof '50,0− cof '50,0−

ANNEXE 6

CONTRAINTES ADMISSIBLES DANS LE BÉTON

Annexes

LI

Béton de densité normale Béton léger Mode de circonstance

m f pe m f pe Pré -tension

(torons) -acier à la relaxation normale

-acier à basse relaxation 0,74 0,78

0,32fpu 0,59fpu

0,71 0,76

0,50fpu 0,59fpu

Post- tension (torons et fils)

-acier à la relaxation normale -acier à basse relaxation

0,80 0,84

0,56fpu 0,63fpu

0,77 0,81

0,54fpu 0,21fpu

Post –tension (barres) 0,78 0,55fpu 0,73 0,51fpu NOTES: Les valeurs de fpe ont été calculées avec l'équation présenté au note marginale page en supposant fpe = 0,70 par les fils et torons à relation normale et pour les barres et supposant fpo =

0,75 fpu pour les fils - torons et basse relation (Source: André Picard –Principes fondamentaux et dimensionnels)

ANNEXE 8 VALEURS APPROXIMATIVES DU

PARAMÈTRE m UTILISÉES UR LES CALCULS PRÉLIMINAIRES

Annexes

LII

Acier de précontrainte Circonstance A relaxation

normale A basse relaxation

Contrainte de vérinage, foi (lors de la mise en tension des aciers)

≤ 0,80 fpi (∼ 0,94 fpy)

≤ 0,86 fpu (∼ 0,94 fpy)

Contrainte au transfert, foo (lors de la mise en précontrainte des bétons après la perte des

précontraintes instantanées)

< 0,70 fpu (∼ 0,82 fpy)

< 0,75 fpu (∼ 0,83 fpy)

Contrainte au transfert, foc (après la perte des précontraintes différée) Aucune limite spécifiée

Certaines normes limites à 0,60fpu la contrainte à long terme de l'acier de précontrainte

ANNEXE 8 CONTRAINTE MAXIMALE DANS L'ACIER DE PRECONTRAINTE

Annexes

LIII

Désignation (mm) Aire de la section (mm²)

Disponibilité (MPa) (Nuances)

Fils 6 7 8

31,67 38,48 50,27

1650, 1720 1620, 1720, 1760

1550, 1720

Torons

6 8 9

11

13

15

16

23,2 37,4 51,4 54,8 69,7 74,2 92,9 98,7 138,7 140,0 148,4

1720 1720 1720 1860 1720 1860 1720 1860 1720 1860 1720

ANNEXE 9 FILS DE TORONS DE PRÉLÈVEMENT

Annexes

LIV

I. VALEURS DES COEFFICIENTS k ET µ

µµµµ

Type de calcul k câbles Barres à haute

adhérence A surface métallique 0,003 0,35 0,40 A surface en béton,

formée par une gaine rigide

0 0,55 0,65

A surface en béton, formée par une gaine

souple 0,0015 0,55 0,65

II. PERTES DE PRECONTRAINTE ET FORCE DE PRECONTRAINTE FINALE DANS LES DIVERSES SECTIONS

Section S0

Pertes de précontrainte dues Intervalle de

temps Au retrait du béton (K.N)

Ai fluage du béton (K.N)

A la relaxation de l'acier (K.N)

Pertes totales (K.N)

11 12 13

114,69 121,99 112,97

210,32 112,28 201,88

459,43 79,07 195,92

784,44 313,34 510,77

TOTAL 349,65

(21,74%) 524,48

(32,61%) 734,42

(45,66%) 1608,55 (100%)

La précontrainte finale P = 11580 – 1608,55 = 9971,454 K.N Po = 11580 – ¼ (524,48) = 11449 K.N Section S4






11 12 13

114,69 121,99 112,97

240,92 126,98 227,94

257,86 40,14 83,51

613,47 289,11 424,42

ANNEXE 10

PERTE DE PRECONTRAINTE

Annexes

LV

TOTAL 349,65

(26,35%) 595,84

(44,90%) 381,51

(28,75%) 1327

(100%)

La précontrainte finale P = 9639 -1167,60= 8471,4 K.N Po = 9639 – ¼ (710,96) = 9461,26 K.N Section S9






11 12 13

114,69 121,99 112,97

279,86 144,98 259,26

147,57 17,74 17,22

542,12 284,71 389,45

TOTAL 349,65

(28,75%) 684,10

(56,25%) 182,53

(15,01%) 1216,28 (100%)

La précontrainte finale P = 9935 – 1216,28 = 8718 K.N Po = 9935 - – ¼ (684,10) = 9763,97 K.N Section S14






11 12 13

114,69 121,99 112,97

291,78 150,51 268,67

99,36 8,13

-

505,83 280,63 381,14

TOTAL 349,65

(29,94%) 710,96

(60,89%) 107,49 (9,20%)

1167,60 (100%)

La précontrainte finale P = 9639 – 1167,60 = 8471,4 K.N Po =- 9639 – ¼ (710,96) = 9461,26 K.N Section S18






11 12 13

114,69 121,99 112,97

258,62 135,11 242,06

44,84 - -

418,15 257,10 355,03

Annexes

LVI

TOTAL 349,65

(33,93%) 635,79

(61,71%) 44,84

(4,35%) 1030,28 (100%)

La précontrainte finale P = 9264 – 1030,28 = 8233,72 K.N Po =- 9264 – ¼ (635,79) = 9105 K.N Section S23






11 12 13

114,69 121,99 112,97

194,14 104,11 187,98

- - -

308,83 226,10 300,92

TOTAL 349,65

(41,83%) 486,23

(58,17%) -

835,85 (100%)

La précontrainte finale P = 8673 – 835,85 = 7837,15 K.N Po =- 8673 – ¼ (486,23) = 8551 K.N m = 0,9165 / 1,01 Section S28






11 12 13

114,69 121,99 112,97

143,73 78,25 141,94

- - -

258,40 200,26 713,57

TOTAL 349,65

(49,00%) 363,92

(51,00%) (0%)

713,57 (100%)

La précontrainte finale P = 7849 – 713,57 = 7135,43 K.N Po =- 7849 – ¼ (363,92) = 7758,02 K.N Section S33






11 12 13

114,69 121,99 112,97

126,88 63,12 111,74

- - -

241,57 185,11 224,71

TOTAL 349,65

(53,68%) 301,74

(46,32%) (0%)

651,39 (100%)

Annexes

LVII

La précontrainte finale P = 5114 – 651,39 = 5462,61 K.N Po = 5115 – (301,74)¼ = 6038,56 K.N Section S37






11 12 13

114,69 121,99 112,97

92,48 34,29 58,88

- - -

207,17 156,28 169,85

TOTAL 349,65 (65,32%)

185,65 (34,68%) (0%) 535,30

(100%)

La précontrainte finale P = 5707 -533,30 = 5173,70 K.N Po = 5707 – (185,65)¼ = 5660,59K.N Section S44






11 12 13

114,69 121,99 112,97

117,85 59,73 105,60

- - -

232,54 181,72 218,57

TOTAL 349,65

(55,25%) 301,74

(44,75%) (0%) 632,83 (100%)







11 12 13

114,69 121,99 112,97

77,74 41,65 74,42

- - -

192,43 163,64 187,39

TOTAL 349,65

(64,34%) 193,81

(35,66%) (0%)

543,46 (100%)

La précontrainte finale P = 4313 – 543,46 = 3769,54 K.N

Annexes

LVIII

Po = 4313 – (193,81)¼ = 4264,55 K.N Section S56






11 12 13

114,69 121,99 112,97

63,80 31,23 54,69

- - -

171,90 146,21 161,17

TOTAL 349,65

(68,76%) 149,72

(31,24%) (0%)

479,28 (100%)







11 12 13

114,69 121,99 112,97

56,15 25,51 43,74

- - -

164,25 140,49 150,22

TOTAL 349,65

(72,44%) 125,40

(27,56%) (0%) 450,96 (100%)

La précontrainte finale P = 3838 – 450,96 = 3383,04 K.N Po = 3838 – (125,50)¼ = 3806,63 K.N

TABLEAU RÉCAPITULATIF DE LA FORCE DE PRECONTRAINTE REQUISE

SECTION S0 S4 S9 S14 S18 S23

P (KN) 9971,45 6229 9718,72 8471,40 8233,72 7837,15

S28 S33 S37 S44 S50 S56 S62

7135,43 5462,61 5173,70 4716,17 3769,54 3509,72 3383,04

Annexes

59

ANNEXE 11

Annexes

60

1. RÉSISTANCE ULTIME EN FLEXION (PRINCIPES DES CALCULS) 2. CONTRAINTE DANS L'ACIER DE PRECONTRAINTE A LA RUPTURE DE LA POUTRE (ÉQUATION EMPIRIQUE) 3. INDICE DE L'ARMATURE 4. MÉTHODE DE COMPTABILITÉ

I. PRINCIPES DES CALCULS

Le principe des calculs de la résistance ultime en flexion est conséquence avec les méthodes générales de dimensionnement des pièces fléchies en béton précontraint proposé au Paragraphe 2 et 3. A Cette étape de calculs, l'armature de précontrainte est connue quelle que soit la classe à laquelle appartient la pièce précontrainte. En effet, nous avons déterminé Aps en choisissant la force de précontrainte requise lors de la mise en précontrainte du béton (Po) à l'intérieur de l'intervalle des valeurs Po. L'intervalle des valeurs de Po est calculé en considérant les contraintes admissibles sous les charges d'utilisation. Si la pièce appartient à la classe II, on détermine l'intervalle des valeurs Po de manière que le moment de flexion dû aux charges d'utilisation totale ne dépasse pas le moment de fissuration de la section [équationIV.1.4]. Dans ce cas, la contrainte admissible en traction sous la charge totale est inférieure au module de rupture du béton en traction (annexe 7). Pour une même section et une même charge totale à supporter, les pièces de cette classe exigent une force de précontrainte moins grand que la classe I, donc une petite valeur de Aps. Connaissant la valeur Aps, les principales étapes du calcul de la résistance ultime en flexion d'une section sont les suivantes:

1. Déterminons d'abord la contribution de l'armature de précontrainte à la résistance ultime en flexion (Mup).

Si à la section considérée, Mu = Mup satisfait l'équation (IV.1.1.), on n'a pas besoin d'armature ordinaire. Pour satisfaire les règles de bonne construction, la section contient quant même une quantité minimale d'armature ordinaire.

2. Si à la section considérée, l'équation (IV.1.1), n'est pas satisfaite, en considérant uniquement l'armature de précontrainte. Il faut déterminer la quantité d'armature ordinaire en traction (As). On calcule cette armature de manière que la valeur de Mu obtenu de (IV.1.3) puisse satisfaire (IV.1.1).

3. La dernière étape du calcul consiste à déterminer l'indice de l'armature et à s'assurer que la poutre est sous – armée dans la zone en compression (A's) pour que la poutre soit sous armée.

Il faut s'assurer que: Mu > ½ Mer (cette équation équivaut à spécifier une quantité minimal d'armature) est satisfaite. Les hypothèses de calcul ont été présentées au paragraphe 4. En voici en bref résumé:

- la partie est sous armée - la résistance ultime en flexion est atteinte avant qu'il y a rupture de cisaillement

ANNEXE 12

Annexes

61

- les sections planes restent planes jusqu'à la rupture. L déformation unitaire du béton varie donc linéairement sur la hauteur de la section.

- On admet que l'adhérence est parfaite - La contrainte dans l'acier de précontrainte lors de la rupture en flexion de la poutre

(fps) est obtenue à l'aide d'une équation empirique - La valeur ultime de déformation unitaire du béton en compression est égale à

0,003 quels que soient la résistance du béton et l'état de confirment du béton comprimé (hypothèse conservatrice)

- L'hypothèse de diagramme rectangulaire des compressions dans le béton est retenue.

- La résistance ultime en flexion est calculée en utilisant les valeurs nominales des propriétés géométriques et mécaniques de l'acier et du béton

II. CONTRAINTE DANS L'ACIER DE PRECONTRAINTE A LA R UPTURE

DE LA POUTRE (ÉQUATION EMPIRIQUE) – MÉTHODE DE CALCUL APPROXIMATIVE Dans cette méthode de calcul, on néglige la contribution de l'armature ordinaire en compression (A's) à la résistance ultime en flexion. La méthode de calcul approximative est surtout caractérisée par le fait que la contrainte fps est obtenue directement de l'une des équations suivantes à la référence [14]. - pièces avec l'armature de précontrainte, m admet que fps = fpu dans

l'équation:

=c

ps

ppsp f'

fbdΑω

ωp: pourcentage mécanique de l'armature Aps b: largeur de la section au niveau des fibres extrêmes en compression.

a)- sans armature ordinaire (As = A's = 0)

−=

c

pu

dp

ps

1

ppups f'

f

b

Α

β

γ1ff (1)

b)- avec armature ordinaire en traction

+

−= ω

d

d

f'

f

bd

Α

β

γ1ff

p

s

c

pu

p

ps

1

ppups (2)

c)- avec armature en traction et en compression

−

+

−= ω'

d

dω

d

d

f'

f

bd

Α

β

γ1ff

pp

s

c

pu

p

ps

1

ppups (3)

La plupart des paramètres des équations 1 à 3 ont été définis (voir Fig. ) ωo et ω'o sont les pourcentages mécaniques d'armature pour As et A's respectivement

=

=

c

css

c

y

p

s

f'

f

bd

Α'ω'

f'

f

bd

Αω

Il est important de noter que cette référence [14], on admet que l'armature ordinaire en compression atteint sa limite élastique de la rupture de poutre (fcs = fy)

Annexes

62

- le paramètre γp tient compte à relaxation normale

≥ 0,85

f

f

per

py

On an γp = 0,40

III. INDICE DE L'ARMATURE

Selon l'hypothèse 8 du paragraphe 4:

maxpp d

C0,75

d

C

≤

Cette équation n'est utile que si on peut établir une relation entre la quantité d'armature et la profondeur d'axe neutre. Avant de dériver cette relation, définissons les pourcentages mécaniques d'armature dénotées Cup, Cu et C'o pour Aps, As, A's respectivement

)6(f'

f

bd

Α''ω

)5(f'

f

bd

Αω

)4(f'

f

bd

Αω

c

css

c

y

s

s

c

ps

p

psp

=

=

=

Dans ces équations, b représente la largeur de la section au niveau de la fibre extrême en compression (Fig A et B). Dans l'équation (6), fcs représente la contrainte de compression dans l'armature A's à la rupture de la poutre. Le paramètre d de l'équation (6) représente la distance entre les fibres extrêmes comprimées et la force résultante de traction dans les armatures Aps et As. La valeur de ce paramètre est calculée avec l'équation suivante:

sps

ps

yspsps

sysppsps

ddaon0Α

ddaon0Αsi

)7(fΑfΑ

dfΑdfΑd

==

==

++

=

Soit Cu la force de compression dans le béton lors de la rupture en flexion de la pièce et C'u la force de compression dans l'armature A's (C'u = A's fcs) L'équilibre des forces agissant sur la section permet d'écrire yspspsuu fΑfΑC'C ⋅+⋅=+ (8)

Pour calculer Cu, il faut distinguer deux cas Premier cas: (a = β1c ≤ ho; fig.A)

Annexes

63

fig.A Hypothèse du diagramme rectangulaire: ( )bcβf'0,85C 1cu = (9)

L'équation (8) et (9) donnent: csyspsps1c fΑ'fΑfΑbcβf'0,85 −+= (10)

Si on divise (10) par bdp f'c

(11)ω'd

dω

d

dω

d

cβ0,85

f'bd

fΑ'

d

d

f'bd

fΑ

d

d

f'bd

fΑ

d

c0,85β

pp

sp

p1

cp

css

pcp

ys

p

s

cp

psps

p

1

−

+=

−

+=

L'indice d'une poutre ayant un comportement de poutre rectangulaire ( à la rupture) est dénoté Ir et défini par l'équation suivante:

ω'd

dω

d

dωΙ

pp

spR

−

+= (12)

En tenant compte l'hypothèse 8 du paragraphe 4 et l'équation (10), la validité de l'indice doit satisfaire l'équation suivante:

( )

)13(d

cβ0,64Ι

d

cβ0,850,75

d

cβ0,85

maxp1R

maxp1

p1R

≤

≤

=Ι

Deuxième cas: (a = β1c > ho; fig.B)

Annexes

64

Pour étudier ce cas, on divise la valeur de Cu en deux composant soit Cuf la force de compression dans la partie d'aile comprimée située en dehors de l'âme et Cuw la force de compression dans l'âme. On a donc

( ))16(bcβf'0,85C

(15)hbb0,85f'C

(14)CCC

w1cuw

owcuf

uwufu

=−=

+=

Si on introduit (15) et (16) dans (8), on obtient: ( ) owccssyspspsw1c hbb0,85f'fΑ'fΑfΑbcβf'0,85 −−−+=

En divisant par bw dp fc, on obtient:

( )

( ))17(h

db

hbb0,85Ι

b

b

d

cβ0,85

(12)selon

db

hbb0,85ω'

d

dω

d

dω

b

b

d

c0,85β

opw

owR

wp1

pw

ow

pp

sp

wp1

−−

=

−−

−+=

L'indice d'armature d'une poutre ayant un comportement de la poutre en T est dénoté IT et est défini par l'équation suivante:

( )

pw

wR

w db

bb0,85Ι

b

b −−

=ΙΤ (18)

Selon l'hypothèse 8 et l'équation (17) et (18), on a:

max

1 d

cβ0,64

≤ΙΤ (19)

Annexes

65

IV. MÉTHODE DE COMPTABILITÉ Cette méthode est basée sur la comptabilité entre les contraintes et les déformations unitaires. Cette comptabilité est illustrée sur la Fig. C pour l'acier de précontrainte.

Fig. C: variation de la déformation unitaire et de la contrainte dans l'acier de précontrainte en fonction du moment fléchissant La méthode de comptabilité est itérative. On suppose d'abord une valeur de fps. Pour les poutres sous armées, la valeur de fps se situe entre fpy et fpe. Nous rappelons que la valeur de fpy est au moins égal à 0,85 fpu pour les fils et torons à relaxation normale. Avec la valeur supposée de fps, nous trouvons sur la courbe (σ−ε) de l'acier de précontrainte la valeur de εps. Correspondant à la valeur de fps. Ensuite, nous calculons avec:

)21(ΕΑ

Ρ

Ε

fε

et

(20)εε∆ε

pspsps

pepe

pepsp

==

−=

Et La profondeur d'axe neutre (c), connaissant (c), nous déterminerons la force de compression dans l'armature A's et dans le béton, et nous vérifions si la force de précontrainte totale égale à la force de traction totale dans l'acier (Aps + As + As fy). La convergence est rapide car l'intervalle dans laquelle se situe fps est assez restreint (fpy ≤ fps ≤ fpu) Pour les calculs, il est préférable de définir la courbe (σ−ε) de l'acier de précontrainte par des équations. Cette courbe est basée sue les propriétés mécaniques minimales des aciers de précontrainte et sur des courbes mesurées expérimentalement.

Annexes

66

Lorsqu'on calcule la courbe de comportement théorique d'une poutre, la contrainte dans l'acier varie fpe à fps et se situe successivement dans les zones A, B et C identifiées sur la Fig.D. Du point de vue pratique, l'ingénieur est surtout intéressé à résistance ultime en flexion (Mu) c'est-à-dire au point maximum de la courbe de comportement. Dans ce cas, seule la zone III de la courbe montre sur la Fig.D est importante car la contrainte dans l'acier de précontrainte à la rupture de la pièce (fps) se situe dans cette zone, si la poutre est sous armées et précontrainte par des câbles adhérents.

Fig. D: courbe (σσσσ−−−−εεεε) simplifiée pour les fils et torons à la relaxation normale (fpy ≥≥≥≥

0,85fpu)

Annexes

67

ββββ ααααE ΦΦΦΦ (1) (2) (3) (4)

3,0

3,5

4,0

1,09

1,10

1,12

1,18

1,21

1,25

0,90

0,86

0,83

0,79

0,75

0,71

(1)- Analyse précise du comportement de la charpente sur ordinateur, vérification indépendante par un ingénieur expérimenté. (2)- Analyse manuelle détaillé: vérification indépendante par un ingénieur qualifié. (3)- Pièces en béton de densité normale, préfabriquées en usine, bon contrôle de qualité. (4)- Pièces en béton léger, préfabriqué en usine; pièce coulée en place; leur contrôle de qualité.

ANNEXE 13

VALEURS DES COEFFICIENTS ααααE ET ΦΦΦΦ

Annexes

68

MODÈLE DE TREILLIS (TREILLIS PLAN) Après la fissuration, dans les zones où coexistent des contraintes normales et des contraintes de cisaillement (zones d'effort tranchant et du moment fléchissant), la poutre fonctionne comme un treillis (Fig1)

Figure 1: Modèle de treillis Soit D: La force de compression dans la barre diagonale S: La force de traction dans la barre verticale Cg et Cd: La force de compression dans la membrane à gauche du nœud et à droite du nœud respectivement

- L'équilibre des forces horizontales donne:

)(cosθj

SV'D

j

SV'

j

AMCCcosθD

n

ngd

Α=

==−=

V'n: représente l'effort tranchant net à une étape quelconque du chargement après la fissuration j: la distance entre des membranes S: la longueur d'un panneau de treillis

ANNEXE 14

RÉSISTANCE A L'EFFORT TRANCHANT

Annexes

69

- L'équilibre des forces verticales donne:

(B)tgθd

sV'S

sinθDS

n

=⇒

=

Le modèle du treillis indique que, pour résister à l'effort tranchant, il est essentiel qu'il y ait des armatures longitudinales (armature précontrainte ou passive). En effet, ces armatures doivent reprendre la composante horizontale de la compression dans les bielles du béton, qui est maximale aux appuis. Considérons la zone d'appui simple montré sur la figure 2 (extrémité d'une poutre). Sur cette figure. Ru: représente la réaction verticale au moment où la résistance ultime de la pièce est atteinte.

Figure 2: Equilibre des forces dans une zone d'appui

Equilibre en A:

==

=

cotgθRcosθDΤ

sinθ

RR

uuuh

uu

Equilibre en B:

==

uu

uu

RS

sinθRS

Note: On peut remplacer Ru par l'effort tranchant à la force d'appui. Nous admettons qu'il n'y a pas de câble de précontrainte dans la zone d'appui ou que les câbles sont relevés

(C)

f

cotgθRA

fAcotgθR

y

ush

yhsuuh

≥

≤=Τ

Ash: représente l'aire de l'armature passive longitudinale requise pour résister à l'effort tranchant à l'appui. fy: est la limite de l'élasticité de cette armature

Annexes

70

L'effort de traction verticale (Su) doit être repris par les étriers répartis sur une longueur approximativement égale à 0,8 h cotg θ (Fig.2), nous avons donc: S: espacement des étriers fyt: la limite élastique des armatures transversales Av: aire de la section d'un étrier

yt

uv

fh0,8

tgθR

S

Α≥ (D)

En comparant (C) et (D), nous obtenons la conclusion suivante: plus l'angle θ est petit,

plus la valeur de Ash est grande et plus la valeur de s

VΑ est petite.

A noter que l'équation (D) est trop conservatrice. Le modèle du treillis doit être corrigé pour donner une quantité d'armature plus réaliste. La plupart des méthodes de calcul simplifiées [21][5][19][20] proposent l'addition d'un terme correcteur au modèle du treillis, appelé contribution du béton à la résistance ultime. Cette contribution tient compte de la résistance à l'effort tranchant de la membrane comprimée et de la transmission des forces le long des fissures. La détermination de cette contribution est basée partiellement sur des résultats d'essais. Le module du treillis avec θ = 45° ne reconnaît pas la redistribution des efforts entre l'armature longitudinale et l'armature transversale. La contribution des armatures est sous estimée de sorte que les méthodes simplifiées prévoient une contribution du béton (terme correctif semi empirique dénoté Vc). Dans les équations qui suivent, on considère un couple transversal perpendiculaire à l'axe longitudinale de la pièce. Sur ce couple, on calcule, une contrainte de cisaillement moyenne agissant sur une section effective. La surface cisaillée est donnée par l'équation suivante: Ac = bw d (E) bw: représente l'épaisseur brute de chaque âme d: hauteur de la section donnée par:

h0,8fΑfΑ

dfΑdfΑd

yspyps

sysppyps ≥++

= (F)

La limite inférieure est validée pour pupe 0,40ff ≥

A une section quelconque, la résistance ultime est égale à la somme de contribution du béton (Vc) et celle des armatures transversales:

==

=

≥+=

(I)ΑτV

(H)ΑτVminVavec

(G)(min)VVVV

cc2c2

cc1c1c

uscu

La contrainte de cisaillement τcs tient compte d'une rupture résultant principalement de la combinaison du moment de flexion et l'effort tranchant. Elle est donnée par:

cf

dccc1 f'λ0,60

Μ

Μ1f'λ0,85τ ≤

+=

Où Mde: moment de décompression Mf: moment de flexion relatif à l'ELU λ: 1,0 pour le béton de la densité normale f'c en MPa La contrainte de cisaillement τc2 tient compte d'une rupture causée principalement par effort tranchant. Elle est donnée par:

Annexes

71

( )c

pcc2

Α

Vσg0,3f'λ0,3τ ++= (K)

Vp: effort tranchant de précontrainte pris en valeur absolue σg: la contrainte normale au centre de gravité de la section (σg = P/A) Après avoir déterminé la contribution du béton, il est possible de calculer la quantité d'armature transversale puisque l'effort tranchant auquel doit résister cette armature (Vs) est connu. Selon (G) Vs > (Vu) min – Vc (L) Pour éviter de sur armer l'âme, la valeur de Vs est limitée par Vs < 0,67 λ (M) Quelle que soit la méthode de calcul ultime, on peut utiliser les équations du modèle du treillis pour calculer la quantité d'armature transversale. Il suffit de respecter les hypothèses de la méthode de calcul. Ainsi, l'effort de traction dans les armatures transversales est donné par (B) où j est remplacé par d et t: 45° Cette traction est due à l'effort tranchant Vs. On a donc V'n = Vs et l'équation (B) donne:

( )[ ]

( )[ ](N)

fd

VV

S

Α

fΑtg45d

SVV

yt

cminuv

ytvcminu

−≥

≤°−

L'équation (M) est valide si les étriers sont perpendiculairement à l'axe longitudinale (β = 90°) Si les étriers sont inclinés sur l'horizontal d'un angle β(≥ 45°) nous avons:

( )[ ]

( ) ytvSminu fΑ

45βsin

45sin

d

sVV≤

°+°−

(Treillis type Wara. D'où par

simplification (relation trigonométrique)

( )

( )cosβsinβfd

VV

S

Α

yt

cminuv

+−

≥ (O)

Les équations (N) et (O) sont similaires à celles proposées dans les références [2], [19], [20]. Dans les références [5] et [24], le paramètre j défini sur la figure 1 est pris égal à 0,9d au lieu de d. La constante 0,9 apparaît donc au dénominateur du terme de droite des équations (M) et (O), ce qui donne 0,9d = 0,8 h tel qu'indique sur la figure 2). En plus du calcul des armatures, il faut vérifier la compression dans les bielles du béton de l'âme. Les bielles les plus comprimées se situent aux appuis (bielles d'extrémité, Fig.2). Pour les calculs, nous utilisons la bielle idéalisée montrée sur la figure 3. La largeur de cette bielle est égale à 0,9d cosθ et l'aire de la section transversale de la bielle est égale à: ( )cosθ0,9dbnΑb =

Annexes

72

Fig. 3: Idéalisation d'une bielle d'extrémité Note: cette idéalisation est valable seulement s'il n'y a pas de charge concentré plus pris que (0,9d cotg θ) du centre de l'appui. L'effort tranchant (Vu)min calculé avec Vg à la face de l'appui, et noté Vum dans les équations qui suivent: Selon la figure 2, nous avons:

sinθ

VD um

u = (Q)

La contrainte de compression dans la bielle est donnée par:

( ) ( )sin2θ0,9db

2V

sinθ0,9dcosθb

V

Α

D

n

um

n

um

b

u == (R)

On admet que θ = 45° et on vérifie la compression dans la bielle avec l'équation suivante:

cn

um

b

u 0,55f'd,9b0,

V2

Α

D≤=

La valeur maximale de la compression dans la bielle (0,55f'c) peut sembler faible compte tenu de fait qu'il s'agit d'un état limite ultime.

CONTRIBUTION A L’ETUDE DU PONT TRAVERSANT 602

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