1

CT57(année scolaire 2001/2002)

RÉSISTANCE DES MATÉRIAUXContraintes - Déformations

Dimensionnement de structures simples

JM CHATEL

2

Résistance des matériaux

1 - Les états limites

2 - Loi de comportement de l ’acier

3 - Dimensionnement d ’une barre soumise à de la traction

4 - Dimensionnement d ’une barre soumise à de la compression

5 - Dimensionnement d ’une poutre soumise à de la flexion simple6 - Dimensionnement d ’une poutre soumise à de la flexion déviée

7 - Dimensionnement d ’une poutre soumise à de la flexion composée

8 - Équation de la déformée - Théorie du flambement

3

1 - ÉTATS LIMITES

1.1 Convention de notation

Les charges fixes (permanentes) seront désignées par la lettre :

G (charge répartie en kN/m²)

g (charge linéïque en kN/ml)

Les charges variables seront désignées par la lettre :

Q (charge répartie en kN/m²)

q (charge linéïque en kN/ml)

4

1 - ÉTATS LIMITES

1.2 État limite ultime (ELU )

Il met en cause la sécurité des personnes

(limite avant rupture de la structure)

Majoration des charges

CAPACITÉ RÉSISTANTE > EFFORTS INTERNES

Pu = 1,35 . G + 1,5 . Q

pu = 1,35 . g + 1,5 . qCombinaison (ELU) :

5

1 - ÉTATS LIMITES

1.3 État limite de service (ELS )

Il est lié aux conditions normales d ’exploitation et de durabilité

(limite avant arrêt d ’exploitation)

Pserv = G + Q

pserv = g + qCombinaison (ELS) :

Exemple : limitation de la flèche prise par une poutre supportant un pont roulant

6

2 - LOI DE COMPORTEMENT DE L ’ACIER

L ’essai de traction (1/3)

La loi de comportement de l ’acier est obtenue par la réalisation d ’un essai de traction sur une éprouvette cylindrique.

L

Surface : A=.R²

Au cours de cet essai, il est possible de définir deux grandeurs :

L L

FF

[m²][MN]

[MN/m² = MPa]

[m]

= F / A (appelée contrainte)

= L / L (allongement relatif ou déformation relative)

[exprimé en o/oo] [m]

7

en o\OO

en MPA

O

A BC

D

E

E (pente de la droite) module d ’YOUNG

pour de l ’acier courant E = 210 000 MPa

Tronçon OA :

Phase élastique linéaire

Allongements proportionnels aux efforts appliqués

= E .

[o/oo][MPa][MPa]

2 - LOI DE COMPORTEMENT DE L ’ACIER

L ’essai de traction (2/3)

8

Le domaine élastique linéaire est délimité par :

en o\OO

en MPA

O

A BC

D

E

Tronçon AB :

Palier plastique

Allongement sous effort constant

Relâchement de l ’effort

Déformation permanente

Déformation permanente

e

e = 240 MPa (contrainte limite élastique pour des aciers courants)

2 - LOI DE COMPORTEMENT DE L ’ACIER

L ’essai de traction (3/3)

9

3 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA TRACTION

(1/3)

Coupe fictive

Répartition uniforme de l ’effort sur toute la surface

Mise en évidence d ’une contrainte uniforme :

Remarque :

L ’effort Nu à considérer, correspond à l ’effort normal déterminé à l ’endroit de la coupure.

Nu

Nu

x

Pondéré ELU

= Nu / A

10

Remarque :

Par convention, nous considérerons que les contraintes de traction seront négatives (harmonisation avec le béton armé)

Le matériau devant travailler dans son domaine élastique, le dimensionnement consistera donc à adapter la section de la pièce de façon à ce que :

Nu

Nu

x

= Nu / A e(traction)

3 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA TRACTION

Équation d ’équarrissage (2/3)

11

3 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA TRACTION

Exemple - Dimensionnement d ’un tirant (3/3)

AB

CP

Effort normal maximum Numax = 0,2 MN (20 tonnes)

La barre B-C est en traction

Données complémentaires :

La barre B-C sera en acier courant :

E = 210 000 Mpa

e = 240 MPa

Question :

Dimensionner la barre B-C

12

En faisant subir à une éprouvette d ’acier un effort croissant de compression, nous obtenons une courbe inverse à celle observée avec l ’essai de traction ( sans tenir compte des problèmes de flambement).

4 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA COMPRESSION

4.0 - Remarque préliminaire

en o\OO

en MPA

TRACTION

COMPRESSION e (compression)

E

e (traction)

E

e (compression) = e (traction) = 240 ou 360 MPa

(aciers classiques en CM)

13

4 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA COMPRESSION

4.1 - Principales étapes

Pour des éléments de structure soumis à de la compression (Nu0, Mu=0 et Vu=0), il y a lieu de mener deux calculs :

1 - Dimensionnement fonction de la contrainte limite

(en adoptant les coefficients de majoration sur les charges définies aux ELU).

2 - Vérification au flambement

(en adoptant les coefficients de majoration sur les charges définies aux ELU).

14

4 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA COMPRESSION

4.2 - Dimensionnement à la contrainte limite

Démarche identique à celle suivie dans le cas de la traction (au signe prêt travailler en valeur absolue)

= Nu / A e(compression)

15

4 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA COMPRESSION

4.3 - Vérification au flambement (1/2)

L ’effort normal (N) doit être inférieur à l ’effort normal critique défini par EULER, à savoir :

avec Nk =

² . E . A

(maxi)²

E : module d ’YOUNG (Mpa)

A : surface de la pièce (m²)

maxi : élancement mécanique maximum (sans dimension)

avec

² . E . Imini

(Lf)²=Nu < Nk

16

4 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA COMPRESSION

4.3 - Vérification au flambement (2/2)

Élancement mécanique :

maxi = Lf

i mini

longueur de flambement (fonction des conditions aux appuis)

Imini

ARayon de giration minimum =

Longueur de flambement :

Lo

Lo :

longueur libre

Lo Lo Lo

Lf = Lo Lf = 0,7 Lo Lf = 0,5 Lo Lf = 2 Lo

17

4 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA COMPRESSION

4.4 - Exemple

AB

C

P

h = 4,00 m

Données complémentaires :

La barre B-C sera en acier courant :

E = 210 000 Mpa

e = 240 MPa

Effort normal maximum Numax = 0,2 MN (20 tonnes)

Questions :

1 - Dimensionner à la contrainte limite la barre B-C

2 - Vérifier au flambement l ’élément calculé

3 - Proposer un autre choix de profilé si le premier n ’est pas satisfaisant

18

5 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION SIMPLE

5.1 - Principales étapes

Pour des éléments de structure soumis à de la flexion simple (Nu= 0,

Mu 0, Vu 0, Nserv= 0, Mserv 0 et Vserv 0), il y a lieu de mener deux calculs :

1 - Dimensionnement fonction de la contrainte limite

(en adoptant les coefficients de majoration sur les charges définies aux ELU).

2 - Vérification des flèches limites

(aux ELS c ’est à dire sans majoration des charges).

19

5 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION SIMPLE

5.2 - Dimensionnement à la contrainte limite aux ELU (1/4)

Le principe de vérification est toujours le même, à savoir :

min(traction) e(traction) (Pour les zones tendues)

max(compression) e(compression) (Pour les zones comprimées)

La première étape consiste donc à connaître :

- la min(traction)

- la max(compression)

20

5 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION SIMPLE

5.2 - Dimensionnement à la contrainte limite aux ELU (2/4)

Rappel : Répartition des contraintes dans une section droite soumise à un

effort normal de compression

Les sections droites se « rapprochent », la déformation () est identique quelque soit le point considéré de la section.

NuNu

Coupure fictive

Répartition uniforme des contraintes

= Nu / A

21

5 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION SIMPLE

5.2 - Dimensionnement à la contrainte limite aux ELU (3/4)

Répartition des contraintes dans uns section droite soumise à de la flexion simple (Mu 0, Vu 0 et N = 0) :

Les sections droites « pivotent », la déformation () varie linéairement dans le sens de la hauteur de la poutre.

P

Coupure fictive

Répartition bi-triangulaire

des contraintes

22

5 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION SIMPLE

5.2 - Dimensionnement à la contrainte limite aux ELU (4/4)

Répartition des contraintes dans uns section droite soumise à de la flexion simple (Mu 0, Vu 0 et N = 0) :

zmax= h/2

zmin= - h/2

hy

z

y ’

z ’

Par définition, la contrainte existante pour la fibre d ’altitude z est égale à :

(z) =Mu

y ’y

. z

En compression max =Mu

y ’y

. zmax

En traction min =Mu

y ’y

. zmin

> 0

< 0

23

5 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION SIMPLE

5.3 - Vérification des flèches limites aux ELS

La vérification de la structure étudiée vis à vis de la flèche est une étape primordiale.

Permet de s ’assurer que le bâtiment pourra être utilisé sans problème dans le cas d ’un chargement habituel (sans pondération des charges).

Condition à vérifier :

f < f

f : flèches calculées aux ELS en utilisant les formules de la RDM

f : flèches admissibles définies par la réglementation

24

5 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION SIMPLE

5.4 - Exemple d ’application

Étude d ’une poutre console supportant un auvent de gare :

2/3 L F = 100 daN

g = 20 daN/m

q = 100 daN/m

L = 3,00 m

A B

Schéma mécanique :

Questions :

1 - Calculer le moment fléchissant et l ’effort tranchant maxi en A

2 - Dimensionner aux ELU la poutre A-B (contrainte limite = 240 Mpa)

3 - Calculer la flèche maximum au point B et la comparer avec la flèche limite ( f = L/200)

4 - Proposer un nouveau profilé si cela est nécessaire

25

6 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION DÉVIÉE

6.1 - Définition (1/2)

Flexion déviée La poutre est chargée suivant deux directions

Coupe verticale de la poutre

x

z

y

z

pz

pZ

py

py

26

6 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION DÉVIÉE

6.1 - Définition (2/2)

x

z

y

z

pz

pZ

py

py

Charge pz

Flèche suivant l ’axe z

Moment fléchissant My (mobilise l ’inertie Iy)

Répartition bi-triangulaire des contraintes dans le sens de la hauteur de la poutre

Compression

Traction

Charge py

Flèche suivant l ’axe y

Moment fléchissant Mz (mobilise l ’inertie Iz)

Répartition bi-triangulaire des contraintes dans le sens de la largeur de la poutre

27

6 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION DÉVIÉE

6.2 - Principales étapes du dimensionnement ou de la vérification (1/2)

Composition des diagrammes de contraintes :

pz

py

y

z

y

z

Compression

Traction

Compression Traction

y

z

Fibre étant la plus sollicitée en traction

Fibre étant la plus sollicitée en compression

28

6 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION DÉVIÉE

6.2 - Principales étapes du dimensionnement ou de la vérification (2/2)

Le principe de dimensionnement est le même que celui adopté dans le cas de la flexion simple.

La difficulté réside dans le fait qu ’il faut raisonner dans les deux directions y et z du profilé (N= 0, My 0, Vy 0, Mz 0 et Vz 0).

1 - Dimensionnement ou vérification fonction de la contrainte limite

(en adoptant les coefficients de majoration sur les charges définies aux ELU).

2 - Dimensionnement ou vérification en fonction des flèches limites

(aux ELS c ’est à dire sans majoration des charges).

29

6 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION DÉVIÉE

6.3 - Dimensionnement ou vérification à la contrainte limite aux ELU (1/2)

y

zpz

py

Compression

Traction

Rappel : Wy et Wz correspondent aux modules d ’inertie de la section considérée ( Wy = Iy / | zmax | et Wz = Iz / | ymax | )

Cas particulier : Section possédant deux axes de symétrie

min(traction) = max(compression) < e

max =Muy

y 

. zmax Muz

z

. ymax+

Cette condition se traduit de la façon suivante :

max < e max =Muy

Wy

+Muz

Wz

Soit

30

6 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION DÉVIÉE

6.3 - Dimensionnement ou vérification à la contrainte limite aux ELU (2/2)

Remarque : Muy

Wy

+Muz

Wz

< e

1 - Les grandeurs Wy et Wz étant indépendantes mathématiquement l ’une de l ’autre, le dimensionnement du profilé passe obligatoirement par une phase itérative (sauf cas particuliers).

2 - Si les caractéristiques Wy et Wz du profilé sont connues (dimensionnement préalable fonction de la flèche limite), la vérification à la contrainte est immédiate.

31

6 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION DÉVIÉE

6.4 - Vérification ou dimensionnement fonction des flèches limites aux ELS (1/2)

Cette étape est dans la majorité des cas la plus contraignante

Permet de s ’assurer que le bâtiment pourra être utilisé sans problème dans le cas d ’un chargement habituel (sans pondération des charges).

Condition à vérifier :

ftotale < f

avec f totale = fy² + fz²

p

y

z

pz

py

fzfy

ftotale

Les valeurs fy et fz étant obtenues à partir des formulations RdM

32

6 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION DÉVIÉE

6.4 - Vérification ou dimensionnement fonction des flèches limites aux ELS (2/2)

Déformations maximum des éléments fléchis :

(poutres de chemins de roulement misent à part)

Eléments d'ouvrage Déplacement maximum

Toitures accessibles uniquement pour l'entretien L / 200

Toitures normalement accessibles L / 250

Planchers (sans équipement particulier) L / 250

Planchers et toitures supportant des matériaux fragiles L / 250

Planchers supportant des poteaux L / 400

Critère d'aspect du bâtiment L / 250

33

6 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION DÉVIÉE

6.5 - Exemple (dimensionnement d ’une panne)

5,00 m

Pente de la toiture = 20 %

5,00 m

Données complémentaires :

Poids couverture 36 daN/m²

Charge de neige 45 daN/m²

Acier : E = 210 000 Mpa

e = 240 MPa

Question :

Proposer un dimensionnement économique pour les pannes

e = 2,50 m

34

Flexion composée L ’élément est soumis à :

- un moment fléchissant (flexion),

- un effort normal (compression).

Coupe verticale de la poutre

x

z

y

z

pz

pZ

7 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION COMPOSÉE

7.1 - Définition (1/2)

N N N

35

7 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION COMPOSÉE

7.1 - Définition (2/2)

Composition des diagrammes de contraintes :

y

z

y

z

pz

N

Diagramme des déformations

max = My / Wy

Diagramme des contraintes

Compression

Traction

Compression

max = N / A

max (traction) = My

Wy

-N

A

max (compression) = N

+My

WyA

36

7 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION COMPOSÉE

7.2 - Méthode de vérification

La vérification de ce type d ’élément de structure peut être obtenu directement par lecture directe sur abaques (résultats d ’essais).

Cette vérification revient également à résoudre l ’inéquation suivante :

K1 . N + K2 . F < e

Méthode :

1 - Calcul de N (contrainte générée par l ’effort normal Nu),

2 - Calcul de F (contrainte générée par Mu),

3 - Calcul de l ’élancement mécanique ,

4 - Vérification sur l ’abaque par lecture directe.

37

7 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION COMPOSÉE

7.3 - Exemple d ’application

B

C

A

P

h = 4,00 m

Un premier dimensionnement du poteau B-C (sous l ’effet unique d ’un effort normal Numax = 0,2 MN) nous a conduit à retenir un HE 100 B.

Ce profilé est-il toujours correctement dimensionné, si l ’on considère qu ’il reprend également une charge horizontale de vent ?

v

v = 5,25 kN/m

38

7 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION COMPOSÉE

7.4 - Noyau central d ’une section (1/3)

Soit une section droite soumise à :

X G

- un effort normal N

- un moment fléchissant M

N

M

Ce schéma peut être remplacé par

N

e (excentricité)

Avec (e) tel que :

e = M / N

39

7 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION COMPOSÉE

7.4 - Noyau central d ’une section (2/3)

Le noyau central d ’un section correspond à la zone dans laquelle l ’effort N (excentré par rapport au centre de gravité) ne génère pas de contrainte de traction.

N

e (excentricité)X G

Axe neutre

Amax (compression) =

N+

N .e

Wy

max (traction) = N . e

Wy

-N

A= 0

Diagramme de contraintes

40

7 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION COMPOSÉE

7.4 - Noyau central d ’une section (3/3)

Exemple : Cas d ’un fondation rectangulaire soumise à un effort vertical excentré

b

h X G

Nu

Coupe verticale dans le sens de

la largeur b

G

e

A partir de quelle valeur (e), le sol n ’est-il plus entièrement comprimé sous l ’assise de la fondation ?

41

Coupe verticale de la poutre

8 - ÉQUATION DE LA DÉFORMÉE - THÉORIE DU FLAMBEMENT

8.1 - Équation de la déformée (1/3)

Considérons cette poutre isostatique :

x

z

y

z

Charge appliquée suivant l’axe z

pz

Les sections droites pivotent autour de l ’axe y, en mobilisant l ’inertie Iy

Apparition : - d ’une flèche dans le sens de l ’axe z

- d ’un moment fléchissant My(x)

42

Coupe verticale de la poutre

8 - ÉQUATION DE LA DÉFORMÉE - THÉORIE DU FLAMBEMENT

8.1 - Équation de la déformée (2/3)

x

z

y

z

pz

z(x)

Par définition, l ’équation de la déformée est obtenue à partir de la formulation suivante :

E . Iy . z’’(x) = My(x)

43

8 - ÉQUATION DE LA DÉFORMÉE - THÉORIE DU FLAMBEMENT

8.1 - Équation de la déformée (3/3)

Coupe verticale de la poutre

x

z

y

z

pz

z(x)

Exemple :

1 - Déterminer l ’expression de la déformée de cette poutre

2 - Déterminer l ’expression de la flèche maximum

44

8 - ÉQUATION DE LA DÉFORMÉE - THÉORIE DU FLAMBEMENT

8.2 - Théorie du flambement

45

QUESTIONS

1 - Pratique du calcul de structure ?

2 - Étapes suivies par un projeteur pour élaborer les plans d ’exécution d ’un ouvrage ?

46

1 - PRISE EN COMPTE ET ETUDE DE L ’ESQUISSE

47

2 - VALIDATION DU SYSTEME PORTEUR A CHAQUE ÉTAGE

Vues en plan Coupes

48

3 - RECUEIL DES CONTRAINTES EXTÉRIEURES

VENT

(RÈGLE NV65)

NEIGE

(RÈGLE N84)

SÉISME

RECOMMANDATIONS AFPS90

Type de fondations ?

Étude de sol obligatoire

49

4 - RECUEIL DES CONTRAINTES INTERNES (1/2)

A) Prise en compte des charges fixes

Poids propre des éléments composant le bâtiment

béton

isolation+ étanchéité Régi par la normeNFP 06.001

Poids des équipements fixes

Ex : machine outil

50

4 - RECUEIL DES CONTRAINTES INTERNES (2/2)

B) Prise en compte des charges variables

Régi par la normeNFP 06.004

Fonction de l ’utilisation des locaux (ex : bureau, archives,…)

C) Prise en compte des contraintes réglementaires (acoustique, incendie,…)

BOUM !

Nouvelle réglementation acoustique

Règlements de sécurité incendie(ERP, habitation,…)

51

5 - MODÉLISATION DE LA STRUCTURE PORTEUSE

STRUCTURE RÉELLE

MODÉLISATION GLOBALE FILAIRE MODÉLISATION

DE CHAQUE ÉLÉMENT

CHARGE FIXE

52

6 - DESCENTE DE CHARGES ET CALCUL RDM

MODÉLISATION ET IDENTIFICATION DES CHARGES

CALCUL DE DESCENTE DE CHARGES

EFFORTS AU SOL? ?

CALCUL DE RDM

EFFORTS INTERNES

53

7 - PRISE EN COMPTE DES LOIS DE COMPORTEMENT DES MATÉRIAUX

DÉTERMINATION DES LIMITES ACCEPTABLES (avant rupture ou limitation des déformations) POUR CHAQUE

MATÉRIAU (ACIER, BÉTON, SOL, ….)

54

8 - VÉRIFICATION DE L ’ÉQUILIBRE GÉNÉRAL ET DIMENSIONNEMENT DE CHAQUE ÉLÉMENT

COMPOSANT LA STRUCTURE

CAPACITÉ RÉSISTANTE > EFFORTS INTERNES

! Coefficients de sécurité

55

9 - PLANS D ’EXÉCUTION

RÉALISATION DE L ’OUVRAGE

56

QUESTIONS ?

57

BRAVO !A bientôt pour de nouvelles aventures !