Comportement vibratoire des arbres de transmission ... transmission composites surcritiques Etude

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  • Comportement vibratoire des arbres de transmission composites surcritiques Etude thorique, exprimentale et dimensionnement Olivier Montagnier Christian Hochard* Centre de Recherche de lEcole de lAir Laboratoire de Dynamique du Vol BA 701 13361 Salon Air *Laboratoire de Mcanique et dAcoustique 31 chemin Joseph Aiguier 13402 Marseille Cedex 20 e-mail : oliviermontagnier@yahoo.fr RSUM. Ce travail traite du dimensionnement d'arbres de transmission surcritiques composites. Ces systmes doivent tre conus de manire minimiser les effets dynamiques dus la rotation. Nous prsentons ltude dynamique dun arbre mont sur suspensions viscolastiques. Nous proposons des solutions analytiques pour le mouvement forc, le mouvement libre et linstabilit. Cette tude fait apparatre un critre de stabilit qui met en vidence leffet dstabilisant de lamortissement tournant et le gain de stabilit donn par les supports viscolastiques sous certaines conditions. Enfin,nous prsentons une comparaison de deux fibres de carbone (haut module/ haute rsistance) sur un exemple de transmission surcritique.

    ABSTRACT. This work relates to the dynamic of supercritical composite drive shafts. These structures must be sizing to minimize the dynamic effects due to the rotation. We presented here a dynamic analysis of a drive shaft mounted on viscoelastics supports. We proposed analytical solutions for the mass unbalance motion, for the free motion and for the instability. This study shows an instability criterion that demonstrates the destabilizing effect of the internal (or rotational) damping and the positive effect of viscoelastic support under special conditions. Finally, we present a comparison of two carbon fibers (high modulus/ high resistance) for a supercritical drive shaft example.

    MOTS-CLS : arbre de transmission ; surcritique ; instabilit ; amortissement ; fibres de carbone. KEYWORDS: drive shafts ; supercritical ; instability ; damping ; carbon fibers.

  • 2 7me Colloque national en calcul des structures, 17-20 Mai 2005, Giens

    1. Introduction

    Ce travail traite du dimensionnement d'arbres de transmission surcritiques en matriau composite, cest dire des arbres dont la vitesse nominale est suprieure la premire frquence propre. Les arbres de transmission surcritiques encore peu utiliss doivent tre conus de manire transmettre le couple et minimiser les effets dynamiques dus la rotation. Nous prsentons ltude dynamique dun tube mont sur paliers supports viscolastiques permettant dintroduire lamortissement ncessaire au passage des modes. Ltude du mouvement transitoire fait apparatre un critre qui met en vidence leffet dstabilisant de lamortissement tournant. Le modle est valid par des essais surcritiques. Enfin, sur un exemple, nous prsentons une comparaison entre les fibres de carbone haut module et haute rsistance pour une transmission surcritique.

    2. Un modle darbre continu sur supports viscolastiques

    2.1. Modle et quations dquilibre

    Figure 1. Tube composite lastique sur des paliers suspensions viscolastiques.

    Nous considrons un arbre lastique continu appuy/appuy (figure 1) et amortissant (amortissement interne visqueux not ci). Les lments viscolastiques, parfaitement symtriques, sont reprsents par une rigidit k et un amortissement externe visqueux (not ce). Le module homognis de larbre en flexion est not E et G en cisaillement. Une section darbre est dfinie par sa surface note S et son moment dinertie en flexion par rapport x not I. Les paliers sont supposs rigides et de masse mp. L'effet gyroscopique des sections de l'arbre est pris en compte. Le dfaut dexcentricit du tube est dfini par la fonction de z. Le dplacement de corps rigide (axe non dform du tube) est compos dun dplacement et dune rotation autour de Ct0 (centre du tube non dform) nots respectivement us et s dans le plan complexe (x,y). Nous supposons que les lments viscolastiques restent dans le plan (Oo, x, y). Le dplacement des centres de section du tube C par rapport laxe non dform est not ut dans le plan complexe (x,y). Lquation locale du mouvement de larbre sous les hypothses dEuler-Bernoulli scrivent alors :

  • Comportement vibratoire des arbres de transmission surcritiques 3

    ],0[)()( 2 lzezuiuS

    cu

    SEIu

    SJiu

    SIu titt

    it =+++

    [1]

    [ ]dzeuSm

    umku

    mc

    ul ti

    ps

    ps

    p

    es =++ 0

    2

    21 [2]

    [ ]dzeul

    zlSmm

    kmc l ti

    ps

    ps

    p

    es

    =++0

    2221 [3]

    avec : zff = , tff = , ),()()(),( 22 tzuttutzu ts

    zls ++= , et dans le cas dun

    tube de rayon extrieur Re et de rayon intrieur Ri ( )444 ie RRI = et IJ 2= .

    2.2. Mouvement transitoire

    Le rgime transitoire permet dtudier leffet du couplage arbre/supports sur les pulsations propres et linstabilit du systme haute vitesse. Pour cette tude, nous prenons des solutions compatibles en dplacement pour tout n sous la forme

    [ ] tilntnsnzsn nezUUtzu )sin(),( 221 ++= [4] Aprs calculs, le systme [1]-[3] scrit sous la forme dune quation

    caractristique dordre 4 en n. En crivant les solutions sous une forme partie relle (terme de pulsation propre) et partie imaginaire (terme damortissement). La rsolution de lquation caractristique est simplifie. Si nous crivons la partie relle de lquation caractristique au premier ordre en ngligeant leffet gyroscopique, nous trouvons les pulsations du systme coupl

    { }4,..1)2(2121 4

    022

    0242

    02 +++

    = knnknnnnnnnn

    nnk

    [5]

    avec 42 )(ln

    SEI

    n

    = ,

    ))1(2(2

    20

    nam

    pn

    m

    k

    ++

    = , )(

    4

    ))1(2(222

    nam

    p

    an

    m

    m

    n+

    +=

    , 2)(1 l

    nSI

    n += .

    La partie imaginaire de lquation caractristique au premier ordre, donne lamortissement en fonction de . Nous montrons alors que le systme devient instable pour une vitesse de rotation suprieure

    { }4;3et ))1(

    )(1(

    20

    2

    22

    lim_ +

    ++= kn

    AA

    nnknAA

    nnknn

    in

    ennknk

    in

    en [6]

    avec nii

    in Sc

    A 2==,

    nemp

    een

    nam

    cA 0

    ))1(2(2

    2 =+

    =+

    , 2)(ln

    SJ

    n = .

  • 4 7me Colloque national en calcul des structures, 17-20 Mai 2005, Giens

    Nous remarquons que l'amortissement externe a un effet stabilisant alors que l'amortissement interne a un effet dstabilisant. Un critre simplifi montrant cet effet est prsent dans (Tondl, 1965). Dautre part, nous traitons le comportement transitoire (amplitude au passage des modes) et linstabilit par une mthode de Newmark sur les quations globales (calcul sur la base de lapproximation harmonique). Enfin, le mouvement stationnaire est trait dans (Montagnier et al., 2005).

    3. Essais transitoires et surcritiques

    Le comportement stationnaire, transitoire et la stabilit sont tudis exprimentalement sur une machine dessai de tubes haute vitesse de rotation sur supports viscolastiques (figure 2 (a),(b)). Les mouvements du centre dune section du tube sont mesurs par deux capteurs lasers sans contact (figure 2 (c)). Ces lasers peuvent se dplacer le long de laxe du tube pendant la phase de fonctionnement du banc. Des essais sont raliss sur un tube en aluminium de 1640mm de long, de 50mm de diamtre et de 2mm dpaisseur (figure 2 (a)). La figure 3 montre une comparaison entre lexprience et le calcul numrique pour le passage du premier mode du tube. Les figures reprsentent la position du centre du tube (z=820mm) chaque instant dans le plan (x,y), cette position tant dcrit temporellement selon le troisime axe de la figure. Le tube suit une loi linaire de mont en rgime durant 2.5s jusqu la frquence de rotation de 50Hz suivie dun palier durant 5.5s. Ces figures montrent une bonne corrlation : mouvement trs stable avant le mode et fortement perturb aprs le passage du mode. Toutefois lexprience montre un comportement non symtrique qui nest pas rendu par le modle axisymtrique.

    Figure 2. Banc dessais (a), palier/lastomres (b) et capteurs lasers (c).

    Ltude de linstabilit est ralise partir de tubes en pvc. Ce matriau lavantage dtre peu rigide et amortissement ce qui va dans le sens de linstabilit dcrite par le critre [6]. Les premiers essais raliss montre lexistence dune zone de stabilit et corrle les prvisions thoriques (figure 4) (Montagnier et al., 2005). La figure 5 prsente une instabilit visualise exprimentalement.

  • Comportement vibratoire des arbres de transmission surcritiques 5

    Figure 3. Passage du 1er mode du tube : exprimental (a) et thorique (b).

    Figure 4. Zone dinstabilit et modes du systme coupl en fonction de la longueur du tube (thorique et exprimental).

    4. Etude dun exemple : comparaison des fibres haut module/ haute rsistance

    Nous nous intressons au dimensionnement dun arbre surcritique en matriau composite carbone/poxy. Ce dimensionnement concerne deux points : la rsistance et la dynamique. En terme de rsistance, si nous faisons labstraction du dimensionnement des extrmits de larbre, deux points doivent tre traits : la rsistance matriau et le flambage en torsion. La rsistance du matriau composite en torsion est calcule par le critre classique de Tsai-Wu. Le calcul

  • 6 7me Colloque national en calcul des structures, 17-20 Mai 2005, Giens

    Figure 5. Instabilit lapproche du premier mode du tube pvc de 1m 29Hz. du couple limite de A flambage en torsion est ralis par la rsolution des quations de Flgge (Flgge, 1973) associe la thorie des stratifis pour lhypothse des tubes infiniment longs. Pour la partie dynamique, nous nous intressons au calcul des modes coupls, au c