Compl´ements d’optique interf´erences et...

IPhO – N. Schlosser Complement sur les interferences optiques 1

Complements d’optique

interferences et diffraction

Plan du cours

I. Extraits du syllabus 2

II. Les bases du cours de SUP sur les ondes 2II.1. Diffraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2II.2. Pouvoir de resolution d’un instrument d’optique (lunette, microscope ... ) . . . . . . . 2II.3. Interferences a deux ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

II.3.a. Rappel – Cas simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3II.3.b. Notion de chemin optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4II.3.c. Notion de coherence en optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4II.3.d. Bilan des interferences en optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

II.4. Diffraction par deux fentes de largeur e, espacees de a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

III.Lames minces 6III.1.Coefficients de reflexion et de transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6III.2.Difference de marche introduite par une lame mince . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6III.3.Interferences en lumiere blanche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7III.4.Franges d’egale epaisseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8III.5.Exercices et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

IV.Les reseaux de diffraction 12IV.1.Formule des reseaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12IV.2.Resolution en spectroscope – Pouvoir separateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13IV.3.Exercices et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

V. Diffraction de Bragg 14V.1. Principe de la diffraction sur un cristal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14V.2. Loi de Bragg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

** *

I. Extraits du syllabus

Les parties en italiques sont a connaıtre pour le test de selection.

Interferences et diffractions : Superposition des ondes : coherence, battements, ondes station-naires, principe d’Huygens (forme integrale de l’amplitude dans la condition des petits angles),interferences dans le cas des films minces (conditions pour des maxima et des minima d’intensiteseulement). Diffraction par une ou deux fentes, reseau de diffraction, loi de Bragg.


Appareils optiques Telescope et Microscopes : grossissement et pouvoir de resolution ; reseau dediffraction et son pouvoir de resolution ; interferometres.

II. Les bases du cours de SUP sur les ondes

II.1. Diffraction

Dans le cas d’une propagation dans un milieu a deux dimensions, lorsqu’une onde de longueurd’onde λ arrive en incidence normale sur une fente de largeur a, l’onde est essentiellement diffracteedans un secteur plan, d’origine le milieu de la fente, centre sur la mediatrice de la fente1 et d’angle

au somment 2θ0 tel que : sin θ0 =λ

aEn particulier, on retrouve qu’il ”n’y a pas de diffraction”dans le cas ou l’ouverture est tres grande

devant la longueur d’onde, soit a≫ λ.

Le phenomene se generalise pour une propagation tridimensionnelle :

• dans le cas d’une fente de largeur a et de hauteur grande devant a, la diffraction se fait essen-

tiellement dans la direction orthogonale a la fente, sur un angle 2θ0 tel que : sin θ0 =λ

a

• dans le cas d’un trou de diametre a, la diffraction se fait selon un cone d’angle au sommet 2θ0

tel que : sin θ0 ≃ 1, 22λ

a.2

Enfin, sur un ecran situe a une distance D d’une fente de largeur a, il n’y a pas d’etalement dansla direction de la grande dimension de la fente. Dans la direction orthogonale, la taille de la tache

centrale est de ∆x = 2D × tan θ0 ≃ 2Dθ0 ≃ 2λD

a

II.2. Pouvoir de resolution d’un instrument d’optique (lunette, micro-

scope ... )

Figure 1: Critere de Rayleigh

Le pouvoir de resolution, ou pouvoir de separation, ou la re-solution spatiale, est l’angle minimal qui doit separer deux pointscontigus pour qu’ils soient correctement discernes par un systemeoptique, tel que les microscopes, les telescopes ou l’œil ...

Ce pouvoir de resolution est limite essentiellement par deuxphenomenes : la diffraction ou la taille finie des cellules elemen-taires des detecteurs. Pour determiner l’ordre de grandeur dela resolution angulaire, il suffit d’exprimer que la distance d en-tre deux images ponctuelles discernables est juste superieure a lataille (en gros le diametre) de l’image de ces points. La taille del’image d’un point a prendre en compte est le plus grand des deuxdiametres suivants : soit la taille de la tache de diffraction, soit la taille d’une cellule elementaire ducapteur.

1Dans le cas ou l’onde n’arrive pas en incidence normale sur la fente, la direction moyenne est celle prevue parl’optique geometrique

2Le coefficient 1,22 est obtenu en utilisant quantitativement le principe de Huygens-Fresnel.


Dans le cas d’un systeme optique de focale f , de diametre d’ouverture D, travaillant a la longueur

d’onde λ, le rayon3 de la tache de diffraction dans le plan focal image est de l’ordre de θ0f ≃ 1.22λf

D.

Deux objets ponctuels a l’infini, separes par un angle α, donnent des images distantes de αf .La figure 2 illustre que la limite de resolution due a la diffraction est bien obtenue pour :

α0 = 1.22λ

D

Figure 2: Limitation par la diffraction : limite de resolution α d’un systeme optique de focale f etde diametre d’ouverture D

II.3. Interferences a deux ondes

II.3.a. Rappel – Cas simples

Considerons deux ondes sinusoıdales, de meme frequence f = 1/T , qui interferent en un pointM ou leurs amplitudes respectives sont A1 et A2 (donc leurs intensites I1 = A2

1et I2 = A2

2). Si les

signaux associes aux ondes en M sont dephases de ψ(M), le signal resultant est encore sinusoıdal, dememe frequence f d’amplitude A(M) telle que :

A2(M) = A2

1+ A2

2+ 2A1A2 cos(ψ) ou encore I(M) = I1 + I2 + 2

√I1 I2 cosψ(M)

Le fait que I(M) 6= I1 + I2 est la signature de la presence d’interferences, caracterisees par leterme d’interference : 2

√I1 I2 cosψ(M)

Pour un retard τ entre les ondes en M, le dephasage s’ecrit : ψ(M) =2π

Tτ .4

Dans le cas ou la vitesse des ondes est uniforme et egale a c partout entre les sources et M,

le dephasage peut s’ecrire : ψ(M) =2π

T

δ

c=

2π

λδ ou δ est la difference de marche, c’est-a-dire la

difference entre les deux chemins parcourus par les deux ondes entre les sources et M.

3On considere ici le rayon (critere de Rayleigh), car l’eclairement dans la tache de diffraction n’est pas uniforme cffigure 1

4Si les deux ondes proviennent de deux sources differentes, il ne faut pas oublier de prendre en compte le dephasageinitial entre ces deux sources.


II.3.b. Notion de chemin optique

Figure 3: Utilisation du cheminoptique

Le retard pris par l’onde sur le chemin (1) du haut s’ecrit :

τ1 =d1v1

+d2v2

=n1d1 + n2d2

C

De meme, sur le chemin (2) du bas, τ2 =n0d0C

.

Le retard temporel de l’onde (1) sur l’onde (2) en M est donc :

τ = τ1 − τ2 =δ

C=

(n1d1 + n2d2)− (n0d0)

C

Le retard de phase de (1) sur (2) en M s’ecrit donc : φ(M) =2π

Tτ =

2π

CTδ =

2π

λδ ou λ est la

longueur d’onde dans le vide, δ = (n1d1 + n2d2)− (n0d0) est la difference de marche.Les quantites nidi portent le nom de chemin optique. C’est une ”distance effective”, prenant

en compte le fait que la lumiere se deplace moins vite dans un milieu d’indice ni que dans le vide, cequi permet d’utiliser C ou la longueur d’onde dans le vide λ dans la formule des dephasages.

II.3.c. Notion de coherence en optique

cf. Notes de cours

II.3.d. Bilan des interferences en optique

• Il faut une unique source S (deux sources differentes n’interferent pas)

• Il faut deux chemins de la source S au point M ou on observe les interferences

• On utilise le chemin optique : indice × distance

• On calcule la difference de marche = δ(M) = difference de chemin optique

• Le dephasage en M est alors φ(M) =2π

λδ(M)

Pour une source polychromatique, dont le spectre contient les longueurs d’onde λi, i = 1 → N ,on calcule l’intensite pour chaque composante du spectre separement :

Ii(M) = I1(λi) + I2(λi) + 2√

I1I2 cos

(

2π

λiδ(M)

)

Il ne reste plus ensuite qu’a sommer toutes ces intensites puisque les longueurs d’onde differentesn’interferent pas entre elles, soit :

I(M) =N∑

i=1

Ii(M)

Dans le cas de la lumiere blanche, on verra que l’on aura finalement meme pas besoin de cettederniere etape.


II.4. Diffraction par deux fentes de largeur e, espacees de a

Figure 4: Diffraction par deux fentes

On considere la diffraction a l’infini. Chaque fentediffracte dans un secteur angulaire d’angle au sommet2θe tel que :

sin θe ≃ θe =λ

e

Or, dans la direction θ, deux rayons, provenantchacun d’une des deux fentes, interferent. Leur dif-ference de marche est donnee par : δ = a sin θ ≃ aθ

Il y aura donc interference constructive dans lesdirections θp telles que : δ = aθp = pλ ou p est unentier relatif. Donc :

θp = pλ

a

On aura donc des franges d’interferences separees angulairement deλ

a, mais uniquement dans le

secteur angulaire de diffraction : il y aura un nombre N limite de franges dans la tache centrale dediffraction, comme le montre la figure 5.

Figure 5: Profil de l’intensite diffractee et position des franges

Si a≫ e, le nombre de franges dans la tache centrale de diffraction est donc donne par :

N =2λ/e

λ/a=

2a

e

Si la condition a ≫ e n’est pas remplie, il suffit de compter les franges ! Pour cela, on calcule

l’ordre d’interference associe a θmax = θe, soit pmax =aθeλ

=a

e. Les franges brillantes correspondent

aux entiers contenus dans l’intervalle ouvert ]− pmax, pmax[


III. Lames minces

Figure 6: Lame a face parallele.

L’etude complete et rigoureuse des in-terferences produites par des lames mincestransparentes d’indice n peut conduire a desdeveloppements relativement complexes. On selimitera ici a des montages simples permettantde comprendre l’essentiel de l’etude de ce typed’interferences.

III.1. Coefficients de reflexion etde transmission

Lorsqu’une onde d’amplitude A0 arrive5 surun dioptre separant le milieu incident d’indice n1

et le milieu emergent d’indice n2, les amplitudesdes ondes transmise et reflechie sont respectivement donnees par At = tA0 et Ar = rA0 ou t et r sontles coefficients de transmission et reflexion en amplitude. On peut montrer que :

r =n1 − n2

n1 + n2

et t =2n1

n1 + n2

Applique aux rayons de la figure 6, on pose donc :

• pour le premier dioptre : r1 =n0 − n

n0 + net t1 =

2n0

n0 + n

• pour le second dioptre : r2 =n− n0

n0 + net t2 =

2n

n0 + n

Dans la plupart des cas, la lame de verre est plongee dans l’air, donc n0 = 1. Pour simplifier, onpose alors r2 = −r1 = r > 0. Dans le cas d’une lame de verre (n = 1.5) plongee dans l’air (n0 = 1),les amplitudes des differentes ondes a prendre en compte sont donnees dans le tableau 1.

Onde en Premiere onde Deuxieme onde Troisieme ondeReflexion r = 0.2 t1t2r = 0.19 t1t2r

3 = 0.007Transmission t1t2 = 0, 96 t1t2r

2 = 0, 04 t1t2r4 = 0, 001

Tableau 1: Amplitudes relatives (en valeur absolue) des differentes ondes a prendre en compte

On comprend que l’on peut dans ce cas se limiter a l’etude de l’interference des deux premieresondes. D’autre part, comme les amplitudes des ondes reflechies sont voisines, les interferences parreflexion sont plus contrastees (meme si elles sont moins lumineuses) que celles obtenues par trans-mission.

III.2. Difference de marche introduite par une lame mince

Pour une longueur d’onde λ dans le vide, le dephasage φt (resp. φr) entre les deux premiersrayons transmis (resp. reflechis) successifs est donne par :

5En toute rigueur, les coefficients de reflexion r et de transmissions t dependent de l’angle d’incidence. Les formulesdonnees ici correspondent a une incidence normale


φt =2π

λ2ne cos(r) et φr =

2π

λ2ne cos(r) + (π)

Le dephasage supplementaire de π est a ajouter dans le cas ou n0 < n, puisque la premiere

reflexion s’accompagne d’un saut de phase de π lorsquen0 − n

n0 + n< 0.

III.3. Interferences en lumiere blanche

Si on eclaire une lame mince d’epaisseur e et d’indice n (plongee dans l’air) par une onde plane

(faisceau de lumiere parallele) en incidence normale, le dephasage est alors de φt =2π

λδ en trans-

mission et de φr =2π

λδ + π en reflexion (a cause du dephasage de π a la premiere reflexion). La

difference de marche a pour expression δ = 2ne et la seule facon de voir une modulation de l’intensitereflechie est de jouer soit sur l’epaisseur e, soit sur la longueur d’onde.

Par exemple, si on eclaire par une onde monochromatique de longueur d’onde λ, l’intensite de

l’onde reflechie6 est de la forme : I(λ) =I02

(

1− cos2π

λδ

)

Figure 7: Forme du spectre cannele pour une difference de marche de δ = 280 nm. En centre blanc(transmission), la couleur correspond a du violet alors qu’elle est jaune en centre noir (reflexion).

Si on eclaire le dispositif par de la lumiere blanche, les differentes longueurs d’onde du spectreauront des etats d’interference differents : il apparaıt donc des ”franges” dans le spectre, appeleescannelures. En reflexion (avec un dephasage de π supplementaire), les longueurs d’onde λp ”eteintes”(cannelures sombres) sont telles que :

δ = 2ne = pλp avec p entier

Dans le cas de la transmission, le spectre est complementaire : les longueurs d’onde λp correspondentaux cannelures brillantes. Un exemple d’un tel spectre est represente sur la figure 7.

Selon la valeur de la difference de marche δ, la position des cannelures differe : l’evolution descouleurs en fonction de δ constitue l’echelle des teintes de Newton, representee sur la figure 8. Oncomprend que lorsque δ augmente, les cannelures se rapprochent et les couleurs sont alors de moins

6On suppose que les deux amplitudes des ondes qui interferent sont egales


en moins contrastees. Au dela d’une certaine valeur de δ, le contraste est si faible que l’on observedu blanc, appele blanc d’ordre superieur.

Figure 8: Echelle et nom des teintes de Newton en fonction de la difference de marche

Application : En eclairant en lumiere blanche une lame a faces paralleles dont on connaıtl’indice, la couleur de la lumiere reflechie (ou l’etude quantitative de son spectre) permet de remontera son epaisseur e en passant par la determination de la difference de marche : δ = 2ne

III.4. Franges d’egale epaisseur

On se propose d’etudier ici le cas de lames minces dont l’epaisseur e(M) est non uniforme : elledepend de la position M consideree sur la lame.

Si on eclaire une telle lame sous incidence normale en lumiere monochromatique de longueur

d’onde λ, comme le montre la figure 9 7, le dephasage, qui s’ecrit φ =2π

λ2ne(M) + (π), depend de

7La realisation pratique d’un tel montage demande un certain nombre de precautions que l’on ne detaillera pas ici: c’est le probleme de la localisation des franges d’interferences


la position M consideree sur la lame par l’intermediaire de l’epaisseur variable e(M).

Figure 9: Franges d’egale epaisseur

L’etat d’interference dependant donc de la posi-ton M sur la lame : on peut alors voir des frangesd’interferences localisees sur la lame. Par exemple, enreflexion (dephasage de π supplementaire), les frangessombres correspondent a l’ensemble des points M telsque :

2ne(M) = pλ avec p entier

III.5. Exercices et applications

Aspect d’une feuille de couleur (QCM 2010)Eclairee en lumiere blanche, une feuille de papier rougeporte une figure de forme circulaire verte. Quelle estl’aspect de la feuille si on l’eclaire en rouge ?a) Toute Rouge b) Rouge avec un disque vertc) Noire avec un disque rouge d) Rouge avec un disque noir

Reponse:d)

Etude de filtres en cascade (QCM 2010) On dispose de 10 filtres identiques. Lorsqu’on met1 filtre devant une lampe blanche, la lampe apparaıt rouge. Quand on place les 10 filtres la lampeapparaıt verdatre. Quel est le profile de transmission d’un filtre ?

Reponse:a)

Tache d’huile (QCM 2011) De l’huile (indice 1,5) a ete repandue en une couche tres mince surune flaque d’eau. Cette flaque d’eau est eclairee en lumiere blanche et en incidence normale. On lavoit verte (λv ≃ 520 nm). Quel est l’ordre de grandeur de l’epaisseur de la couche d’huile ?

Reponse:LeQCMproposait10nm;100nm;0.2µmet0.52µm.Lareponseattendueetait100nm

(discutableamonhumbleavis)

Couleur d’un film mince : Un film mince d’epaisseur 0.2 µm et d’indice dans le visible 1.52 esteclaire normalement en lumiere blanche. Quelle est la longueur d’onde de la radiation pour laquellel’intensite de la lumiere reflechie est minimale ? En deduire l’aspect du film lorsqu’on l’observe parreflexion.

Lalongueurd’ondedelaradiationpourlaquellel’intensitedelalumierereflechieestminimale,precisement

eteinte,esttelleque:δ=2ne=pλavecpentier,soitλ=2ne

p=

608

pennm.Commeλappartientau

spectrevisible,p=1etλ=608nm.L’aspectdufilmestdonccoloreaveclateintecomplementairequi

estcyan(vert-bleu).


Bulle de savon dont (QCM-2012) Juste avant d’exploser, la couleur d’une bulle de savon est :(a) transparente.(b) grise.(c) d’une couleur dependant de la taille de la bulle(d) d’une couleur dependant de son indice de refraction

Reponse:(b)

Bulle de savon Une bulle de savon est constituee d’une lame mince d’eau savonneuse (n = 1.33)plongee dans l’air et contenant de l’air. Lorsque la bulle vieillit, l’epaisseur e du film diminue et justeavant sa disparition, l’intensite reflechie devient tres faible. Interpreter cette observation.

Reponse:e→0,doncaucundephasagen’estdualadifferencedetrajetdesondesreflechiesal’interface

air-eaueteau-air;maislareflexionsurledioptreeau-airdephasedeπalorsquecellesurledioptreeau-air

nedephasepas;donclesdeuxondessontenoppositiondephaseetlesinterferencessontdestructives.

Couche anti-reflet Plusieurs personnes ont des verres correcteurs qui apparaissent bleu-vert quandils reflechissent la lumiere. Un mince film d’une substance d’indice de refraction n = 1.35 est appliquesur la surface exterieure des verres de sorte que l’interface film-verre ne reflete pas la lumiere rougede longueur d’onde : 630 nm. Quelle doit etre l’epaisseur du film pour que cela se produise ? Onsuppose que l’indice de refraction du verre est de 1,6.

L’ondereflechieparl’interfaceair-filmetl’ondereflechieparl’interfacefilm-verresontdephaseesdeφ=4πne

λ(iln’yadansaucundesdeuxcasdedephasagealareflexionpuisquenfilm>1etnverre>nfilm).

Onainterferencesdestructivessie=λ

4nfilm

=117nm

Procede Lippman de la photographie On eclaire sous incidence normale une pellicule d’epaisseure ≈ 1 mm posee sur un miroir (M) parfaitement reflechissant avec une onde monochromatique delongueur d’onde λ0. On obtient dans la pellicule apres developpement, une succession de plans par-alleles a (M) ou le chlorure d’argent a ete reduit en argent. Ces plans ”noircis” sont equidistants deλ0/2 et le plan le plus proche du miroir est a la distance λ0/4 du miroir.

1. Quel phenomene physique peut-on invoquer pour interpreter cette observation.

2. Quelle condition le miroir impose-t-il a la vibration ?

Apres avoir supprime le miroir, on eclaire la photographie sous incidence normale en lumiereblanche. On constate que la lumiere reflechie est quasi-monochromatique de longueur d’onde λ = λ0.

8

3. Interpreter en supposant que lorsqu’une onde lumineuse de longueur d’onde λ arrive sur unplan noirci, elle se partage en une onde transmise et une onde reflechie.

4. Montrer que les longueurs d’ondes λ = λ0/n avec n entier devraient donner le meme phenomene.

5. Pourquoi n’est-ce pas le cas ?

Coin d’air QCM2013 On realise des franges d’egale epaisseur avec un coin d’air d’angle α eclaireen incidence normale avec une lumiere monochromatique de longueur d’onde λ. Les franges seresserrent si :

a) on diminue l’angle α c) on remplace l’air par de l’eaub) on utilise λ′ > λ d) aucune des propositions precedentes ne convient

Reponse:c)

8Ainsi la pellicule a garde la trace de la couleur de l’onde qui l’a impressionnee.


Coin d’air On realise un coin d’air avec deux plaques carrees de verre, de cote a = 10 cm, et unefeuille mince en carton separant les deux plaque sur un de leur cote. On l’eclaire normalement avecun faisceau parallele, monochromatique, issu d’un laser (λ = 633 nm). Les franges observees sur lalame sont espacees de 2.5 mm. Quel est l’angle du coin en secondes d’arc ? En deduire l’epaisseurde la feuille.

Commei=λ/(2α),ontrouve:α=λ

2i=126.6µrad,soitα=26.1”puisque1”=5µrad.L’epaisseur

delafeuilleest:α×a=12.6µm.

Mesure de l’epaisseur d’une couche mince (Selection 2011) On considere deux lames deverres dont les faces en regard forment un diedre d’angle ǫ tres faible. Une couche de metal d’epaisseurd recouvre partiellement la lame du dessous (figure 10(a)). Le coin d’air ainsi constitue est eclaire avecun faisceau parallele monochromatique, de longueur d’onde λ = 589 nm, en incidence normale. Onobserve des franges d’interference localisees au voisinage des plaques, et paralleles a l’arete, decaleesdu fait de la presence du depot de metal (figure 10(b)).

Figure 10: (a) Dispositif experimental – (b) Figure d’interference observee

1. En mesurant le decalage relatif des franges sur l’image ci-dessous, determiner l’epaisseur d.

2. Comment est modifiee la figure d’interference si on augmente l’angle ǫ ? Si on remplace l’airentre les lames par de l’eau ?

1.Latraverseeducoind’airdonneunedifferencedemarcheδ=2eoueestl’epaisseurducoind’air

traverse.Ladifferencedemarchevautδ=pλpourunefrangesombre.Commel’angleesttresfaible,la

positionXpdelafrangesombrenumeropestrelieeal’epaisseurepducoind’airtraverseeparXp≃epǫ

=

pλ

2ǫavecuneinterfrangei=

λ

2ǫ

L’introductiondumetalmodifiel’epaisseurducoind’airetdoncladifferencedemarcheetdecaleles

frangesde∆X=d/ǫ.Onobtientundecalagerelatifdesfranges∆X

i=

2d

λ,soitd=

λ∆X

2i.

A.N.:∆X

i=

0.3

2.3=0.13doncd=38nm.Lescorrecteursacceptaitl’intervalle[30nm,40nm].

2.Sionaugmenteǫ,ondiminuel’interfrange:lesfrangesseresserrent.Sionremplacel’airpardel’eau,

celarevientachangerλparλ/ndonclaencorel’interfrangediminue.

Anneaux de Newton Dans le montage permettant d’observer des franges d’egale epaisseur, onplace une lame d’air constituee par une lentille plan-convexe de rayon de courbure R posee sur unelame de verre parfaitement plane (cf. figure 11). La face plane de la lentille possede un traitementanti-reflet

Justifier l’allure des franges observees. On calculera notamment les rayons des anneaux sombreset on justifiera la couleur de la tache centrale. Qu’observerait-on en lumiere blanche ?


Figure 11: (a) Dispositif experimental – (b) Anneaux de Newton

IV. Les reseaux de diffraction

IV.1. Formule des reseaux

Un reseau plan par transmission ou reflexion est constitue d’un grand nombre de traits parallelesequidistants. La distance entre deux traits consecutifs (pas du reseau) est notee a et la quantite

N =1

arepresente le nombre de traits par unite de longueur. La largeur utile totale du reseau sera

note L = Na dans la suite.

Figure 12: (a) Reseau par transmission – (b) Reseau par reflexion

Les angles d’incidence αi et d’emergence αp sont reperes a partir de la normale au reseau avec lameme convention de signe que l’angle de deviation D. Ces angles sont representes sur la figure 12.

Pour une onde incidente plane monochromatique d’incidence αi, on observe des pics d’intensitedans les directions αp definies par une relation appelee relation fondamentale des reseaux et faisantintervenir l’ordre d’interference p (entier relatif) du pic de lumiere observe et la longueur d’onde λ.

Dans le cas de reseaux par reflexion : sinαp + sinαi = pλ

a(figure 12(b))

Dans le cas de reseaux par transmission : sinαp − sinαi = pλ

a(figure 12(a))


Dans le cas par transmission, on definit la deviation du reseau par la relation D = αp − αi ; onpeut montrer que si l’on fait varier l’angle d’incidence alors la deviation |D| passe par un minimumpour αi = −αp pour un ordre d’interference p donne.

IV.2. Resolution en spectroscope – Pouvoir separateur

Si la lumiere incidente possede deux longueurs d’onde voisines λ et λ+∆λ, les ondes diffracteesdans l’ordre p auront des directions differentes : on peut donc utiliser un reseau pour visualiser lespectre de la lumiere incidente. L’ecart ∆α entre ces deux directions s’obtient en differenciant larelation fondamentale des reseaux9. On obtient : a∆α cosαp = p∆λ, ce qui permet de definir ladispersion angulaire du reseau :

Da =∆α

∆λ=

p

a cosαp

A cause de la diffraction induite par la taille finie L du reseau, les pics d’intensite (donnes par lesangles αp) ont une certaine largeur angulaire. Or dans la direction αp, on peut considerer l’ensembledu reseau comme une unique ”grosse fente” equivalente de largeur L cosαp, chaque pic a donc une

largeur angulaire 2∆α =2λ

L cosαp

.

Comme pour le pouvoir de resolution d’un instrument d’optique,on utilise le critere de Rayleigh pour evaluer la plus petite difference delongueur d’onde ∆λ resolue avec un reseau de largeur L dans l’ordrep. Il suffit d’ecrire qu’a la limite de resolution, la separation angu-

laire Da∆λ =p∆λ

a cosαp

entre les deux pics correspondant aux longueurs

d’ondes voisines separees de ∆λ dans l’ordre p est juste egale a la demi-

largeur angulaire des pics de diffraction ∆α =λ

L cosαp

.

On obtient donc ∆λ =λ

L cosαp

× a cosαp

p=λa

pL=

λ

Np

On definit le pouvoir de resolution d’un reseau de N traits dans l’ordre p par : P.R. =λ

∆λ= pN

IV.3. Exercices et applications

Reseau dans un liquide Un reseau par transmission a un pouvoir separateur R. Place dans l’air,il separe 2 raies distantes de ∆λ dans le visible a l’ordre 2. On place le systeme dans un liquided’indice n.

a) On observe toujours au meme ordre, il n’y a pas de raison que ca change.b) On peut observer a un ordre plus eleve.c) On peut observer a un ordre plus faible.d) Un reseau ne peut pas fonctionner dans un liquide.

Reponse:b)

Resolution d’un reseau Un reseau a un pouvoir separateur R. Il separe 2 raies distantes de∆λ dans le visible (rouge) a l’ordre 3. On cherche a separer 2 raies distantes du meme ∆λ dansl’infrarouge proche. Pour cela il faut :

a) Observer au meme ordre

9Ce qui revient a faire un calcul au premier ordre


b) Observer a un ordre plus elevec) Observer a un ordre plus faibled) Un reseau pour le visible n’est pas adapte pour l’IR meme proche

Reponse:b)

Reseau pour les ondes centimetriques QCM-2013 On realise la diffraction d’ondes planescentimetriques (λ = 8.0 cm) avec un reseau plan par transmission, sous incidence normale. Lemaximum d’ordre 1 est releve dans la direction θ = 30◦ par rapport a la normale au reseau. Quelest le pas du reseau ?

a) 16 cm b) 11 cm c) 5,7 cm d) 2,8 cm

Reponse:a)

V. Diffraction de Bragg

La loi de Bragg est une loi empirique qui interprete le processus de la diffraction des radiationssur un cristal. Elle fut decouverte par W.H. et W.L. Bragg vers 1915. Lorsque l’on bombarde uncristal avec un rayonnement dont la longueur d’onde est du meme ordre de grandeur que la distanceinter-atomique, il se produit un phenomene de diffraction. Comme pour les reseaux, les conditionsde diffraction donnent les directions dans lesquelles on observe des pics d’intensite diffractee par lecristal.

V.1. Principe de la diffraction sur un cristal

Lorsqu’un cristal est irradie par un faisceau de rayons X, chaque atome du cristal diffuse une ondequi se propage dans toutes les directions et ces ondes, issues des differents atomes, interferent.

Du fait de l’organisation reguliere du cristal, on peut observer dans certaines directions de l’espacedes interferences destructives et dans d’autres des interferences constructives. Dans ce dernier cas,on observe sur un detecteur (un film photographique, une cellule CCD, etc.) des taches de diffractiondont la repartition est caracteristique de la structure du cristal.

La determination generale des directions dans lesquelles on observe des interferences constructivesest largement hors de propos ici. On se contentera du modele de Bragg qui permet d’interpretersimplement les observations experimentales.

V.2. Loi de Bragg

Figure 13: Diffraction de Bragg

Pour justifier cette loi, on considere que tous les atomesdu cristal sont situes dans plans imaginaires equidistants ded. On considere alors que ces plans, qui portent le nom deplans reticulaires, se comportent comme des miroirs pourla lumiere incidente. On montre alors que les directions2θ de l’espace dans lesquelles on aura des pics d’intensiteverifient : 2d sin θ = pλ

ou d est la distance interreticulaire, c’est-a-dire distanceentre deux plans cristallographiques ;

θ est l’angle de Bragg, c’est-a-dire le demi-angle de devi-ation (moitie de l’angle entre le faisceau incident et la di-rection du detecteur) ;

p est l’ordre de diffraction (nombre entier) ; λ est la longueur d’onde du rayonnement incident.


Applications

Questions simples

Un ecran opaque a ete perce de trois fentes (de diametre 0,1 mm), comme indique ci- contre (a 1cm). Il est eclaire en lumiere visible, par une source situee tres loin. Sur un ecran, a une distance de0,5 m, on observe : a) Des franges d’interferences de contraste variable b) Trois figures de diffractionOK c) L’ombre geometrique des trous d) Des interferences modulees par de la diffraction.

2011 Un cristal eclaire par un faisceau de rayons X renvoie une radiation λ dans une directiondonnee par l’angle θ compte par rapport au plan de la surface. On peut en deduire : a) La couleurdu cristal b) Sa composition chimique c) La taille de ses atomes ou ”motifs ”OK d) Cette experienceest impossible a realiser

Poudre de licopode (exo2012)

Compl´ements d’optique interf´erences et...

Documents

Transcript of Compl´ements d’optique interf´erences et...