Comparaison d’approche continue et discrète pour la...

Comparaison d’approche continue etdiscrète pour la modélisation géométriqued’organes pelviens épais

Thierry Bay

Aix-Marseille UniversitéLSIS UMR CNRS 7296Domaine Universitaire de Saint-JérômeAvenue Escadrille Normandie-Niemen13397 MARSEILLE CEDEX [email protected]

RÉSUMÉ. Dans l’optique de concevoir un simulateur patient-spécifique des organes pelviensle projet MoDyPe considère les organes en tant que surfaces épaisses. Partant d’une sur-face paramétrique fermée pour l’enveloppe externe, une approche offset est appliquée. Cepen-dant, respecter d’une part l’épaisseur en tout point et d’autre part garantir l’absence d’auto-intersection est impossible si la forme présente des courbures locales trop importantes. Deuxapproches itératives sont présentées. La première méthodeest basée sur la représentation con-tinue paramétrique, alors que la seconde s’appuie sur une représentation discrète du modèle.

ABSTRACT.In order to design a patient-specific simulator of pelvic organs, MoDyPe project con-siders the organs as thick surfaces. Starting from a closed parametric surface for the outer hull,an offset approach is applied. However, respecting the thickness on the surface and ensuringthe absence of self-intersection is impossible if the shapehas too important local curvatures.Two iterative approaches are presented. The first method is based on continuous parametricrepresentation, while the second presents a discrete representation to define the model.

MOTS-CLÉS :Approche offset, ajustement paramétrique, B-spline, système masses-ressorts.

KEYWORDS:Offset approach, parametric fitting, B-spline, mass-spring system.

1re soumission àJDL6, le 01/04/2012

2 1re soumission àJDL6

1. Introduction

Les études effectuées sur la simulation d’organes cherchent à mieux comprendredes troubles mal connus de certains patients. La problématique qui nous intéresse faitréférence à la statique pelvienne, dont les organes ont subiun déséquilibre dans leurconfiguration spatiale. Bien que la chirurgie puisse être employée pour y remédier,estimer l’impact fonctionnel d’un acte chirurgical est difficile. De nombreux outilsont été développés pour la simulation chirurgicale, nécessitant une virtualisation del’environnement d’intérêt (cf. par exemple (Schwartzet al.,2005)).

Dans notre cas d’étude, une segmentation est tout d’abord effectuée avec le logi-ciel Itk-Snap à partir d’IRM de patientes (cf. (Yushkevichet al., 2006)). Un nuagede points décrivant le contour externe de chaque organe est créé. La modélisationgéométrique intervient ensuite pour construire des surfaces pelviennes épaisses en sebasant sur la réalité physiologique : en effet, avec une approche uniquement surfaciquel’épaisseur non-négligeable des membranes ne serait pas prise en compte, alors quecertaines cavités internes ont presque disparu (par exemple l’utérus) ; de même, unmaillage volumique n’est pas suffisant pour les organes présentant une différence dedensité entre l’intérieur et la paroi (par exemple l’urine et la paroi vésicale). Une épais-seur est ajoutée avec une approche offset. En sortie, un maillage des membranes estcréé et utilisé pour l’étude des lois de comportement des tissus mous.

La partie qui nous intéresse fait référence à la modélisation géométrique, qui s’in-sère dans un processus pré-opératoire et patient-spécifique (cf. (Bayet al., 2011) et(Bay et al., 2012)). Une B-spline est tout d’abord ajustée aux données pour obtenirla surface externe. La littérature présente de nombreuses méthodes pour construireune seconde surface située à une distance donnée de la surface initiale. Après un tourd’horizon de l’existant, nous présentons une méthode développée pour les B-splines.Une seconde méthode est alors introduite, construisant un offset discret puisqu’unmaillage hexaédrique est à fournir en sortie. Une comparaison qualitative des deuxapproches est proposée.

2. Etat de l’art sur l’approche offset paramétrique

Un état de l’art résumant différentes méthodes de calcul de surfaces offsets ou-vertes est présenté dans (Kulczyckaet al.,2002). Les techniques applicables pour dessurfaces peuvent être regroupées en différentes catégories. La première concerne lesméthodes décomposant la surface globale en carreaux de Bézier, puis calculant l’off-set de chaque carreau pour finalement fusionner tous les résultats. La continuité estgénéralementC0 ouC1. Nous pouvons citer la méthode de Hoschek (cf. (Hoscheketal., 1989)) avec une interpolation hermitiennne, celle dans (Farouki, 1986) pour dessurfaces de degré 5, ou encore celle des moindres carrés appliqués sur chaque carreau.La seconde catégorie traite des méthodes travaillant sur lasurface entière : une méth-ode basée sur les moindres carrés sans décomposition de la surface permet d’aboutirà une continuitéC2 pour les points à l’intérieur. Finalement, le dernier groupe fait

Modélisation d’organes pelviens 3

(a) Intersections locales (b) Intersections globales

Figure 1. Auto-insertections dans le cas d’une courbe.

référence aux méthodes géométriques, basées par exemple sur l’offset du réseau decontrôle (cf. (Tilleret al.,1984)) amenant à une continuitéC2.

Le problème connu des offsets est celui des auto-intersections locales et glob-ales lorsque la courbure est trop importante par rapport à ladistance-offset (cf. fig-ures 1(a) et 1(b)). Les méthodes se veulent très différentespour apporter une réponseà cette question, travaillant soit sur le nuage-offset, soit directement sur la surfaceparamétrique. Dans (Kumaret al., 2002), un nuage ordonné est nécessaire. Avantd’être interpolé, les échantillons situés sur une ligne sont reliés en une seule polylignepour vérifier la présence d’intersections et les enlever. Dans (Sunet al., 2004), unrepositionnement itératif des points de contrôle est effectué pour diminuer la courburedans les zones sujettes aux intersections locales. Dans (Seonget al.,2006), les auteursse basent sur une carte de distance entre la surface initialeet la surface-offset. Unefonction quadrivariée (basée sur la somme des deux espaces bivariées individuels) estformée. La projection des zéros de cette fonction sur l’espace paramétrique de l’offsetpermet de déterminer les zones d’intersection avec la surface-offset.

Mais la limitation de ces algorithmes se situent au niveau des petites intersectionsqui peuvent ne pas être décelées. Pour se débarrasser des intersections, trois choix sontpossibles : modifier l’espace de départ, i.e. les points à choisir pour la discrétisationde la surface initiale susceptibles a priori de créer des intersections, agir au niveau dela création du nuage-offset en empêchant la génération de points pouvant créer desproblèmes (mais non nécessairement leur suppression), ou modifier la surface aprèscréation de l’offset pour se débarrasser a posteriori des intersections. Les méthodesagissent généralement à ce troisième niveau.

Nous présentons au paragraphe 3 un autre algorithme à classer dans cette catégorie.Il a l’avantage d’être basé sur les moindres carrés comme le processus d’ajustementparamétrique utilisé pour la surface. Ensuite, l’approchedu paragraphe 4 mettra enévidence que la représentation discrète permet d’éviter denombreux problèmes crééspar la représentation paramétrique, tout en respectant lescontraintes du modèle.

3. Une épaisseur par une approche paramétrique

L’opérateur offset dans cette partie repose sur l’ajustement paramétrique présentédans (Bayet al.,2012) : une fonction d’énergie bidirectionnelle décrit l’ensemble des


distances des données décrivant les organes de la patiente vers l’échantillonnage de lasurface et vice-versa, puis est minimisée par une descente de gradient.

Afin d’améliorer les tests à effectuer sur le maillage lors del’application des loisde comportement, les hexaèdres du maillage en sortie doivent être uniformes, voirequasi-uniformes. Or, l’épaisseur d’un organe comme la vessie peut atteindre 10% de sataille (Schuenkeet al.,2010), nécessitant plusieurs couches offsets dans la membranesi la discrétisation est dense. Plusieurs paramètres sont alors à définir afin de créerl’épaisseur : la distance-offset, le sens de l’offset (choisi vers l’intérieur), le nombrede couches-offsets et la répartition des couches dans l’épaisseur.

3.1. L’opérateur offset

à partir d’une surfaceS0 ajustée sur les données d’une patiente, la construction dela surface-offsetS1 à une distance-offsetd fixée consiste en quatre étapes majeures :construire un échantillonnage uniforme deS0, calculer la normale en chaque échantil-lon, créer le nuage-offset en parcourant la normale de chaque échantillon sur une dis-tanced, et ajuster itérativement une surface paramétrique ferméesur le nuage-offsetpour obtenir la surface-offsetS1 (cf. (Bayet al.,2012)).

Le même processus est répété jusqu’à obtention du nombre voulu de couches,si ce n’est qu’à chaque nouvelle surface les données considérées proviennent de ladiscrétisation de la surface précédente. La somme des épaisseurs entre deux couchessuccessives doit correspondre à la distance-offsetd de la membrane. Afin d’avoir unmaillage final conforme, la carte paramétrique est fixée au départ. Les quadranglesentre deux surfaces-offsets successives pour un même couple paramétrique sont alorstrès proches.

3.2. Résultats

Les simulations sont obtenues avec un Intel Core i7 M620 (2.67 GHz, 4 GB RAM).La B-spline initiale est d’ordre 4 dans les deux directions paramétriques. Le réseau decontrôle est de 16×7. Un ajustement paramétrique est d’abord appliqué sur les formessur 10 itérations (cf. (Bayet al.,2012)).

La méthode est appliquée sur les organes d’intérêt, avec desdonnées de l’ordre de40K points. Puisque l’épaisseur est non-négligeable, la connaissance de ces valeursest essentielle. Ces épaisseurs varient d’une femme à l’autre. Les valeurs choisies sontla moyenne des valeurs trouvées dans la littérature (cf. (Schuenkeet al.,2010)) : 3,5mm pour la vessie, 5,5 mm pour le rectum et 25 mm pour l’utérus. Le vagin n’est pasconsidéré, car la segmentation du vagin ne peut être séparéede celle de l’utérus. Lesrésultats mis en évidence par la suite proviennent de la vessie et du rectum.

Concernant la vessie, la figure 2(a) illustre la surface épaisse obtenue. La con-struction de l’offset s’effectue sans problème puisque la forme est simple. L’épais-


(a) Épaisseur avec 3 couches

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1 2 3

Err

eurs

et e

pais

seur

a a

ttein

dre

(en

mm

)

Couches

Erreurs des donnees vers l’echantillonnageErreurs de l’echantillonnage vers les donnees

Erreur maximaleEpaisseur-objectif

(b) Erreurs maximales et moyennes

Figure 2. Offset d’une paroi vésicale, de l’extérieur vers l’intérieur.

seur n’est pas suffisante pour créer des auto-intersectionsglobales. L’histogrammede la figure 2(b) concernant la création des couches internesillustre les erreurs pourchaque sous-fonctionnelle et la distance maximale entre lasurface et les données. Ilindique que l’erreur maximale à chaque nouvelle création decouche reste inférieure àla distance-offset à atteindre.

Les résultats sont cependant différents pour le rectum. L’épaisseur prise est de 5,5mm. La figure 3(a) montre les auto-intersections locales à l’extrémité du rectum duesà la forte courbure. L’histogramme de la figure 3(b) illustreeffectivement le problèmedu maximum de l’erreur entre deux couches successives.

(a) Auto-intersections

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

1 2 3

Err

eurs

et e

pais

seur

a a

ttein

dre

(en

mm

)

Couches

Erreurs des donnees vers l’echantillonnageErreurs de l’echantillonnage vers les donnees

Erreur maximaleEpaisseur-objectif

(b) Erreurs maximales et moyennes

Figure 3. Offset de la paroi d’un rectum, de l’extérieur vers l’intérieur.


3.3. Avantages et inconvénients

Pour les organes ne présentant pas une forme complexe comme la vessie, l’épais-seur non-négligeable des organes est prise en compte, nous rapprochant par ce biaisde la réalité physiologique. Les informations disponiblessur l’épaisseur des organesrestent limitées (valeur globale de l’épaisseur choisie pour chaque organe). Les IRMpermettent de segmenter les contours, mais pas de repérer l’intérieur.

L’utilisation d’une méthode basée sur les moindres carrés permet d’avoir rapide-ment un algorithme fonctionnel pour construire l’épaisseur de surfaces. Mais en casde distance-offset trop importante, l’approche moyennante n’est pas suffisante (prob-lème aux extrémités des formes pour les organes) et des intersections sont générées.Les chevauchements ne sont pas résorbables dans ces zones deforte courbure sanstraitement approprié. Puisqu’il faut fournir un maillage hexaédrique en sortie, tra-vailler dans le domaine discret avec des liaisons élastiques entre les points constituantles membranes se justifierait. La définition d’une approche différente répondant à cetroisième critère est finalement présentée dans la partie 4.

4. Une approche discrète à travers un système masses-ressorts

L’approche choisie dans cette partie travaille directement sur le maillage pour créerun offset discret. Puisqu’aucune connaissance précise n’est disponible pour analyserl’épaisseur des organes si ce n’est en quelques points ponctuels sur la surface, nousallons concevoir un système masses-ressorts pour construire la surface interne. Nousdifférencions notre modèle des approches mécaniques classiques puisque notre objec-tif n’est pas de faire explicitement de la déformation.

Dans le cas général, un ensemble den+1 particules{Pi}ni=0 compose le modèle.

Chacune possède une massemi , une position dans l’espace 3Dpi , une vitesse ˙pi etune accélération ¨pi à un temps donnét. Le système est gouverné par la seconde loide Newton :Fi = mi pi , avecFi la somme de l’ensemble des forces exercées au pointPi . Les forces se différencient en deux catégories majeures : les forces internes gérantles contraintes et la stabilité du système (e.g. action sur une particule de la raideur desressorts voisins), et les forces externes (généralement laforce de gravitation, d’amor-tissement et la réponse à la collision). Les méthodes actuelles se différencient par lanature des forces mises en jeu, ainsi que par la résolution des équations de la dy-namique newtonienne.

Dans le domaine de la modélisation et de l’animation, les travaux vont de la modi-fication de la géométrie des réseaux à un changement dans la topologie des systèmes.Terzopoulos et Waters ont conçu un système masses-ressortspour la modélisation fa-ciale (cf. (Terzopouloset al., 1990)). Le réseau était constitué de trois couches depropriétés distinctes : le derme, la couche graisseuse et lemuscle. Nous pouvonsciter également les travaux de Terzopoulos sur la transition d’état solide à état liq-uide (cf. (Terzopouloset al.,1989)). Pour se faire, les nœuds sont connectés entre euxformant un treillis d’hexaèdres. De nombreux travaux ont également été entrepris sur


la conservation de forme. Vassilev dans (Vassilevet al.,2002) définit un nouveau typede ressort préservant le volume pour des ellipsoïdes déformables. Le comportementdes tissus est également étudié en animation. Les treillis des réseaux sont toutefoissouvent semblables. La différenciation se fait au travers de la méthode d’intégrationpour résoudre la dynamique du système : schémas explicites,implicites, ordres d’in-tégration (cf. (Volinoet al.,2001) et (Mesitet al.,2007)). La dualité entre précisionet stabilité est toujours présente, nécessitant d’étudierl’espace de stabilité du systèmemasses-ressorts (cf. (Shinya, 2005)).

4.1. La création de l’épaisseur

Le choix du treillis nécessite de définir le domaine d’application et les contraintesà satisfaire. Les forces sont ensuite déterminées. Le traitement de la collision n’étantpas encore géré de façon optimale, il est omis pour le moment.Bien qu’il s’agisse d’unsystème masses-ressorts, aucune masse n’est considérée (donc pas de force de grav-ité). Un système mécanique est utilisé, sans qu’il s’agissed’une simulation physique.

Nous partons au départ avec un maillage hexaédrique conforme mais dégénéré.Le maillage n’a qu’une épaisseur d’hexaèdres. La première couche correspond à ladiscrétisation de la surface paramétrique ajustée sur les données, la seconde à la mem-brane interne. La dégénérescence vient du fait que les arêtes reliant les deux couchessont de longueur nulle. La connectivité entre les particules est celle issue de la dis-crétisation. Soit{Pi, j}

n,mi, j=0 l’ensemble des(n+1)× (m+1) particules sur lesquelles

nous travaillerons. Les énergies qui définissent notre système sont les suivantes.

Force externe :elle est appliquée en chaquePi, j , provenant de la discrétisation dela surface paramétriqueS. Un couple paramétrique(ui ,v j) est associé à chaque point.La force externe est basée sur la formulation des approches offsets, en étant orientéedans les mêmes direction et sens que la normale en chaque point de l’échantillonnage :

Fext(Pi, j) =−γ(

∂S(ui,v j )

∂u×

∂S(ui,v j )

∂v

)

[1]

avecγ > 0 un cœfficient de pondération.

Force interne et préservation des distances :la loi de Hooke est utilisée pourl’élasticité des ressorts et la préservation des distances(cf. équation 2). Elle permet unretour des ressorts à leur position de repos en l’absence de forces externes.

Fstretch(Pi, j) = ∑k,l

ki j ,kl

(

(pk,l − pi, j)−L0i j ,kl

) pk,l − pi, j

‖pk,l − pi, j‖[2]

oùki j ,kl est la constante de raideur reliant les particulesPi, j etPk,l si elles sont voisines,et L0

i j ,kl est la longueur au repos du ressort.

Pour la déformation de vêtements, trois types de ressorts sont souvent rencontrés(cf. (Provot, 1996)) : les ressorts d’étirement (connectent les masses adjacentes d’après


Pi,j

Pi,j+1

Pi+1,j

Pi-1,j

Pi,j-1

Li,j/i,j-1

L i,j/i+1

,j

Li,j/i,j+1

L i,j/i-1

,j

ki,j/i,j-1

k i,j/i-1

,j

ki,j/i,j+1

k i,j/i+1

,j

0

0

0

0

(a) Loi de Hooke et treillis quadrangulaire

Pi, j+1

Pi+1, j

Pi−1, j

Pi, j−1

S(ui,vj)

Pi, j

L0i, j ki, j

Surface S

L0i, j ki, j

P⊥i, j

ki j ,i+1 j

ki j ,i−1 j

ki j ,i j+1

ki j ,i j−1 L0i j ,i+1 j

L 0i j ,i j+1

L0i j ,i j−1

L0i j ,i−1 j

(b) Treillis à six ressorts enPi, j

Figure 4. Treillis du système.

le voisinage de la topologie quadrangulaire), les ressortsde cisaillement (chaque par-ticule est liée à son voisinage diagonal), et les ressorts deflexion (contrôlent la résis-tance à la courbure, simulent les propriétés différentes des tissus).

Le treillis utilisé par la suite répond à la configuration suivante. Quatre ressorts surle maillage interne correspondent à la configuration des ressorts d’étirement, représen-tée par la figure 4(a). La notion de distance-offset est reliée au modèle par l’ajout dedeux ressorts (cf. figure 4(b)) : le premier lie le pointPi, j et le point correspondant àsa localisation paramétrique dans la surface externeS(ui,v j) ; le second est particulierpuisqu’il est modifié tout au long de la résolution, par une projection orthogonalep⊥i, jdu point situé enpi, j sur la surfaceS. L’action conjuguée de ces deux ressorts éviteune dégénérescence du système interne par l’action des ressorts d’étirement, tout encherchant à conserver la direction normale à la surface pourcréer l’offset.

La force interneFint est composée des actions de chaque élément du treillis :

Fint(Pi, j) = Fstretch(Pi, j)+ ki, j(

‖S(ui,v j )− pi, j‖− L0i, j

) S(ui,v j)− pi, j

‖S(ui,v j)− pi, j‖

+ ki, j(

‖p⊥i, j − pi, j‖− L0i, j

) p⊥i, j − pi, j

‖p⊥i, j − pi, j‖

[3]

D’autres grandeurs sont souvent préservées dans les systèmes masses-ressorts :l’aire définie par trois points, le volume défini par un tétraèdre. Mais nous ne voulonspas que le système revienne au repos, ce qui conduirait au maillage dégénéré initial.Ces deux contraintes ne sont donc pas considérées.

Force d’amortissement : une force d’amortissement basée sur le modèle deKelvin-Voigt est également ajoutée au système. Cette forceest appliquée dans la di-rection opposée à la vélocité :

Fdamp(Pi, j) =−ηpi, j [4]


Figure 5. Application de la force interne totale.

où η est le cœfficient d’amortissement et ˙pi, j la vitesse de la particulePi, j .

Force de collision :dans notre modèle, trois natures différentes de collision co-habitent. Les auto-intersections locales (en cas de courbure trop importante), les auto-intersections globales (en cas d’épaisseur localement trop grande ou de manque decontrôle des forces du système), et les intersections entreorganes (dues aux erreursde la discrétisation). Cette dernière catégorie sera traitée par l’application des lois decomportement mécanique. Une pénalité sera appliquée sur les maillages des différentsorganes pour repousser les zones en contact.

Schéma d’intégration : la force du système appliquée sur la particulePi, j à uninstantt est :

Ftot(Pi, j , t) = Fint(Pi, j , t)+Fdamp(Pi, j , t)+Fext(Pi, j , t) [5]

La méthode choisie pour résoudre la seconde loi de Newton estle schéma explicitede Euler. La gestion des collisions semble plus appropriée avec ce type de schéma,puisqu’il requiert un pas de temps petit. Le choix de la valeur du pas de temps ne doitpas excéder la période naturelle du système (cf. (Provot, 1996)). Une augmentation dela constante de raideur doit donc impliquer une réduction dupas de temps.

4.2. Résultats

L’entrée du modèle est la discrétisation de la surface paramétrique ajustée. Pourdes soucis de visualisation, la discrétisation est grossière par la suite. L’organe étudiéest le rectum. Nous rappelons que l’approche paramétrique au paragraphe 3.2 n’a pasréussi à atteindre l’épaisseur de 5,5 mm sans créer d’auto-intersections.

En premier lieu, si seulement la force d’étirementFstretch est appliquée en chaqueparticule, seule une force de tension est appliquée à la surface. Le problème est qu’unedégénérescence du maillage interne serait inévitable, puisque seuls les ressorts d’étire-ment cherchent à retrouver leurs valeurs de repos (fixées faibles pour garantir la ten-sion de la surface). Pour pallier cela, nous appliquons à chaque particule deux forcessupplémentaires : la première l’associe à son point de même localisation paramétriquesur la surface (contrôle de la création de l’offset par une recherche de la conformitédu maillage), et la seconde à sa projection orthogonale (changement dynamique de


ressort pour garantir une direction constamment orthogonale à la surface externe). Lafigure 5 illustre l’utilisation de ses trois composantes dans la force interne, construisantbien le maillage interne à l’intérieur de la forme. La dernière étape consiste à calculerles distances exactes entre les couches interne et externe par projection orthogonalede chaque particule sur la surface paramétrique externe.

Tableau 1.Analyse de l’épaisseur (en mm) de la paroi du rectum : comparaison dumodèle B-spline et masses-ressorts.

Min. Max. Moy. E.-typeB-spline 0.0004 6.4 3.89 1.96Ressorts 2.3 11.6 6 1.77

Les tableaux 1 et 2 ci-dessous présentent un comparatif entre l’approcheparamétrique et discrète pour construire la paroi rectale épaisse. Pour l’approcheparamétrique, nous pouvons tout d’abord constater que deuxfois moins d’élémentsont atteint l’épaisseur escomptée. En outre, la valeur minimale met en valeur le prob-lème de proximité entre les couches interne et externe dans certaines zones.

Tableau 2.Proportion des épaisseurs ayant atteint 90% et 100% de la distance-offsetavec les modèles B-spline et masses-ressorts.

> 5.5 mm (%) > 90% de 5.5 mm (%)B-spline 24.7 % 52 %Ressorts 55.5 % 73 %

Concernant l’approche discrète, le maximum est bien supérieur à celui de l’ap-proche paramétrique. Ceci est dû au fait que la distance-offset est plus importante dansle système de ressorts pour garantir la stabilité avec la force interne. Une proportion de25% des éléments reste encore à atteindre. En augmentant cependant les valeurs desconstantes de raideur pour la tension de la surface, une proportion supérieure à 98%des éléments de la surface interne est à la bonne distance de la membrane externe. Lesystème reste cependant difficilement contrôlable.

Plusieurs couches sont générées à l’issue de la simulation par interpolation linéaireentre la couche externe et interne (cf. figures 6(a) et 6(b)).

(a) Ensemble des mailles dans l’épaisseur (b) Création des hexaèdres

Figure 6. Maillage épais d’un rectum.


4.3. Avantages et inconvénients

Par cette approche, la gestion de l’épaisseur est gérée par l’action conjuguée desforces externes et internes. La gestion des collisions permettra de gérer explicite-ment les intersections, empêchant les chevauchements dansle maillage. Cependant,le paramétrage empirique des forces est inévitable. Un contrôle du processus est en-core nécessaire pour arriver à l’épaisseur exacte recherchée, mais la méthode présentedes perspectives intéressantes pour la suite.

5. Conclusions et perspectives

L’approche paramétrique par les moindres carrés présente de nombreux avantagespour des problèmes d’ajustement à des données bruitées. Nous avons choisi cependantune orientation différente. Puisqu’aucune connaissance sur l’épaisseur des organesn’est disponible mis à part des points ponctuels, un offset discret est défini. Un systèmemasses-ressorts est établi pour garantir les contraintes en entrée. Le modèle présentede nombreux avantages, comme un contrôle direct sur les forces et la possibilité detester directement l’absence de chevauchement dans le maillage. De nombreux travauxprésentent des résultats efficaces dans le domaine discret et peuvent être exploités.

Toutefois, le contrôle n’est pas total et le choix des forcespeut être étendu. Le testde collision de Monte-Carlo doit être également implémenté. En outre puisque noustravaillons sur un système avec de nombreux paramètres, uneanalyse de sensibilitéserait intéressante à effectuer. Après détermination de plans d’expériences factoriels,une analyse de variance et le calcul d’indices de sensibilité permettraient d’estimerl’impact de chaque paramètre ainsi que leurs interactions.

À l’issue de la boucle de simulation, le maillage hexaédrique peut servir finalementde support à l’application de lois de comportement mécanique des organes.

Remerciements

Ce travail est supporté par l’Agence Nationale de la Recherche, sous la référence« ANR-09-SYSC-008 ».

6. Bibliographie

Bay T., Chambelland J.-C., Raffin R., Daniel M., Bellemare M.-E., « Geometric modeling ofpelvic organs »,in , IEEE (ed.),33rd Annual International Conference of the IEEE Engi-neering in Medicine and Biology Society, Boston, USA, p. 4329-4332, 2011.

Bay T., Chen Z.-W., Raffin R., Daniel M., Joli P., Feng Z.-Q., Bellemare M.-E., « Geometricmodeling of pelvic organs with thickness »,3D Image Processing and Applications, 2012.

Farouki R. T., « The approximation of non-degenerate offsetsurfaces »,CAGD, vol. 3, ElsevierScience Publishers B. V., Amsterdam, The Netherlands, The Netherlands, p. 15-43, 1986.


Hoschek J., Schneider F.-J., Wassum P., « Optimal approximate conversion of spline surfaces »,CAGD, vol. 6, p. 293-306, 1989.

Kulczycka M. A., Nachman L. J., « Qualitative and quantitative comparisons of B-spline offsetsurface approximation methods »,CAD, vol. 34, p. 19-26, 2002.

Kumar G. V. V. R., Shastry K. G., Prakash B. G., « Computing non-self-intersecting offsets ofNURBS surfaces »,CAD, vol. 34, p. 209 - 228, 2002.

Mesit J., Guha R. K., Chaudhry S., « 3D Soft Body Simulation Using Mass-spring System withInternal Pressure Force and Simplified Implicit Integration »,JCP, vol. 2, p. 34-43, 2007.

Provot X., « Deformation Constraints in a Mass-Spring Modelto Describe Rigid Cloth Behav-ior », Graphics Interface, p. 147-154, 1996.

Schuenke M., Schulte E., Schumacher U., Ross L., Lamperti E., Voll M., Wesker K.,Neck andInternal Organs, vol. 20, Thieme, chapter 2, 2010.

Schwartz J.-M., Denninger M., Rancourt D., Moisan C., Laurendeau D., « Modelling liver tissueproperties using a non-linear visco-elastic model for surgery simulation »,Medical ImageAnalysis, vol. 9, p. 103-112, 2005.

Seong J.-K., Elber G., Kim M.-S., « Trimming local and globalself-intersections in offsetcurves/surfaces using distance maps »,CAD, vol. 38, Butterworth-Heinemann, p. 183-193,2006.

Shinya M., « Theories for Mass-Spring Simulation in Computer Graphics : Stability, Costs andImprovements »,IEICE - Transactions on Information and Systems, vol. E88-D, OxfordUniversity Press, p. 767-774, 2005.

Sun Y. F., Nee A. Y. C., Lee K. S., « Modifying free-formed NURBS curves and surfaces foroffsetting without local self-intersection »,CAD, vol. 36, p. 1161-1169, 2004.

Terzopoulos D., Platt J., Fleischer K., « From Goop to Glop : Heating and Melting DeformableModels »,Graphics Interface, vol. 2, p. 219-226, 1989.

Terzopoulos D., Waters K., « Physically-based facial modelling, analysis, and animation »,TheJournal of Visualization and Computer Animation, vol. 1, John Wiley & Sons, Ltd, p. 73-80,1990.

Tiller W., Hanson E., « Offsets of Two-Dimensional Profiles », IEEE - Computer Graphics andApplications, vol. 4, IEEE Computer Society, Los Alamitos, CA, USA, p. 36-46, 1984.

Vassilev T., Spanlang B., « A Mass-spring Model for Real TimeDeformable Solids »,Proceed-ings of the East-West Vision, p. 149-154, 2002.

Volino P., Magnenat-Thalmann N., « Comparing efficiency of integration methods for cloth sim-ulation »,Computer Graphics International Proceedings, IEEE Computer Society, p. 265-274, 2001.

Yushkevich P., Piven J., Hazlett H., Smith R. G., Ho S., Gee J., Gerig G., « User-guided 3Dactive contour segmentation of anatomical structures : Significantly improved efficiencyand reliability »,NeuroImage, vol. 31, Academic Press Inc Elsevier Science, San Diego,CA, USA, p. 1116 - 1128, 2006.

Comparaison d’approche continue et discrète pour la...

Documents

Transcript of Comparaison d’approche continue et discrète pour la...