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MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

Cadre général

Hypothèses de base

Signification physique du vecteur contrainte

Contraintes normale et tangentielle

Conditions aux limites en pression

Théorème de l’action et de la réaction

Contraintes dans un repère orthonormé

Tenseur des contraintes

Signification physique des contraintes

Équations d’équilibre

Forces extérieures agissant sur un volume

Équilibre des forces

Équilibre des moments

Contraintes principales

Contrainte moyenne et déviateur

Contraintes équivalentes

Différents tenseurs des contraintes

Utilisation du tenseur des contraintes

Bilan

Résumé

CONTRAINTES

CONTRAINTES


Il faut utiliser le tenseur des contraintes

Comment décrire les efforts auxquels est soumis ce solide ?CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

















Bilan

Résumé

Cadre général


Efforts de cohésion dans ΩA(dus à la déformation)

Efforts de Ω sur ΩA(provoquant la déformation)

Ω

ΩA

Densité surfacique de forces t

t

Densité volumique de forces F

F

CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

















Bilan

Résumé

Hypothèses de base


Ω

Vecteur contrainte


Le tenseur des contraintesest symétrique

F dv = t dsΩA ∂ΩA

P

x

C(t)

FΩA

t

F = div(σ)

t = σ.n

F∧x dv = t ∧x dsΩA ∂ΩA

σ = σt

CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

















Bilan

Résumé



Le vecteur contrainten ’est pas forcémentporté par la normaleà cette surface.

ndf

t

t = limds -> 0

dfds

CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

















Bilan

Résumé



surfacecontraintesvecteur

Cauchy (eulérien, symétrique)

Piola-Kirchhoff (lagrangien, symétrique)

Piola-Lagrange

df = σ.dsCONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

















Bilan

Résumé



n

ds

t

Contrainte normale

σn

Contrainte tangentielle

bσt

σn = t . n = σij ni nj

σt = t . b = σij bi nj

ou

σt b = t - σn n

CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

















Bilan

Résumé



Ω

∂Ω

Vecteur contrainte T connu

sur la partie ∂ΩT de ∂Ωt = T σ.n = T

nT∂ΩT

CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

















Bilan

Résumé



Dans un repère orthonormé (Oxyz) :

σ =

σxx σxy σxz

σyx σyy σyz

σzx σzy σzz

tn001

σxzσyz

σzz

σxy

σyy

σzy

σxx

σyx

σzx

CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

















Bilan

Résumé



actions sur ΩA par lemilieu extérieur

- vecteur contrainte t

- forces de volume fv

Ω

ΩA

CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

















Bilan

Résumé



Ωργγγγ

Ω

Ω

∂

Ω

σσσσ

Ω

ργγγγ σσσσ

ργγγγ

CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

















Bilan

Résumé



Ω

∂∧

Ωργ γ γ γ ∧

Ω

∧

Ω

σσσσ

ργγγγ ∧ σσσσ σ σ σ σ )

Ω

équilibre des forces symétrie du tenseurdes contraintes

CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

















Bilan

Résumé



σ = σt Dans le repère « principal » :


σIII

σ =

σI

σII

00

00

0 0

CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

















Bilan

Résumé



symétriquede trace nulle

contrainte moyenne :

σ =

σ11 σ12 σ13

σ21 σ22 σ23

σ31 σ32 σ33

σtr σ

déviateur des contraintes :

S =

σ11 - σm σ12 σ13

σ21 σ23

σ31 σ32

σ22 - σm

σ33 - σm

CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

















Bilan

Résumé



ContraintesHypothèse des petites

perturbations

vecteur contrainte : t ( X, n, t)

tenseur des contraintes :

t = σ . n avec σ = σ ( X, t)

équations d’équilibre :σij,j + fvi = ργi

conditions aux limites :σ . n = T sur ∂ΩT

CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

















Bilan

RésuméRésumé

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