Comportement des Matériaux : Grandes...

Introduction

CinématiqueDéfinitions

Déformations

Décomposition polaire

Déformations

Invariants

SthéniqueDéfinition

Contraintes de Cauchy

Contraintes de Piola 1


Propriétés

Equations d’équilibre

ThermodynamiqueClausius Duhem

Bilan d’énergie

Loi de comportement

HyperélasticitéGénéralités

Symétries Matérielles

Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.1

Comportement des Matériaux :Grandes DéformationsMars 2013

Cantournet [email protected]

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.2

Intérêt des Grandes Def ?Quelques dommaines d’applications

• Les instabilités de structures

• Le crash (dynamique rapide)• La mise en forme (emboutissage, ....)• Les polymères, les tissus, les bio-matériaux, . . .• . . .

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.2


• Les instabilités de structures• Le crash (dynamique rapide)

• La mise en forme (emboutissage, ....)• Les polymères, les tissus, les bio-matériaux, . . .• . . .

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.2


• Les instabilités de structures• Le crash (dynamique rapide)• La mise en forme (emboutissage, ....)

• Les polymères, les tissus, les bio-matériaux, . . .• . . .

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.2


• Les instabilités de structures• Le crash (dynamique rapide)• La mise en forme (emboutissage, ....)• Les polymères, les tissus, les bio-matériaux, . . .• . . .

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.3

C’est quoi les grandes defs ?

Points clés et difficultés :

• Le choix d’une configuration pour décrire le milieu :• Référence=Lagrangien• Courante=Eulérien• Mixte=mélange des deux

• Plusieurs mesures de contraintes et de déformations• La notion d’objectivité

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.4

Origine entropique

• pour un processus isotherme : (∂F )T = (∂W )T = (σ : d�)T• déformation deux origines :

σ =

(∂F∂�

)T

=

(∂U∂�

)T− T

(∂S∂�

)T

• relation de maxwell :(∂σ

∂T

)�

= −(∂S∂�

)T

• hypotèse : si l’on a une variation de température le volumereste constant

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.5

Origine entropique

•

σ =

(∂U∂�

)T

+ T(∂σ

∂T

)�

• si T> Tg

σ = T(∂σ

∂T

)�

= −T(∂S∂�

)T

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.6

CinématiqueConfiguration et Transformation

1 Ω0 un milieu continu dans son état initial et X la positiond’un point matériel.

2 Ωt le même milieu à l’instant t et x la position du mêmepoint matériel à t .

définition 1

on note φ(X , t) l’application (vectorielle), bijective, tq. :

x = φ(X , t)

φ est appelée la transformation.

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.6


définition 1

on note φ(X , t) l’application (vectorielle), bijective, tq. :

x = φ(X , t)

φ est appelée la transformation.

définition 2

Localement, autour du point x on a :

dx = (∇X φ(X , t)) · dX = F∼(X , t) · dX

F∼ est le gradient de la transformation.

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.6


Propriétés de F∼• Si on introduit le champ de déplacement u ,

x = X + u (X , t)

on aF∼ = I∼ +∇X u (X , t)

• Transformation infinitésimale de volume :

dv = detF∼dV0 = JdV0

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.7

CinématiqueComposition de transformation

F

RU

RV


On défini de manière unique R∼ ,U∼ et V∼ tel que :

F∼ = V∼ · R∼ = R∼ · U∼

R∼ est un tenseur orthogonal qui définit la rotation. U∼ et V∼ sontdes tenseurs de déformations pures droit et gauche.

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.8


F

RU

RV

Propriétés de la décomposition polaire

U∼ et V∼ ont les mêmes valeurs propres : λi > 0. Si on note Niles vecteurs propres de U∼ et ni ceux de V∼ on a :

U∼ =3∑

i=1

λiNi ⊗ Ni et V∼ =3∑

i=1

λini ⊗ ni

de plus on a : ni = R∼Ni . Les λi sont appelés dilatationsprincipales.

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.9

CinématiqueDéformation

Dans la configuration de référence

• C∼ = F∼T · F∼ = U∼

2 est le tenseur de Cauchy-Green droit.

• E∼ =12 (C∼ − I∼) le tenseur de Green-Lagrange.

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.10

CinématiqueDéformation

Dans la configuration actuelle

• B∼ = F∼F∼T = V∼

2 est le tenseur de Cauchy-Green gauche.

• A∼ =12 (I∼− B∼

−1) le tenseur de Euler-Almansi.

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.11


X

X1

x

F

FF

12

Décomposition multiplicative

On a : dx = F∼ · dX et dX 1 = F∼1 · dX et dx = F∼2 · dX 1d’ou :

F∼ = F∼2 · F∼1 6= F∼1 · F∼2

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.11


X

X1

x

F

FF

12



F∼ = F∼2 · F∼1 6= F∼1 · F∼2

exo.

Calculer E∼ en fonction de E∼1 et E∼2.

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.11


X

X1

x

F

FF

12



F∼ = F∼2 · F∼1 6= F∼1 · F∼2

exo.

Calculer E∼ en fonction de E∼1 et E∼2.

E∼ = E∼1 + F∼T1 · E∼2 · F∼1

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.12

CinématiqueInvariants de la déformation

Principaux invariants

"Quantité scalaire invariante par changement de base"I1(Z∼) = tr(Z∼)

I2(Z∼) =12

(tr(Z∼)2 − tr(Z∼

2))

I3(Z∼) = det(Z∼)

avec Z∼ = B∼ ,C∼ , . . .

remarque

Il existe une infinité d’invariants (par exemple les λi sont desinvariants)

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.13

CinématiqueCe qu’il faut retenir...

Lagrangien EulérienTenseur des di-latations

C∼ ,U∼ B∼ ,V∼

Tenseur des dé-formations

E∼ A∼

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.14

SthéniqueContraintes

Une définition...

Le champ de contrainte traduit les efforts de cohésion internes’exerçant à travers un élément de surface interne, virtuel.

En grandes déformations• Choix de l’élément de surface (Configuration actuelle ou

de référence)• Choix de la configuration des efforts (idem).

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.15

SthéniqueContraintes

dSds

Nn

dTdt

Dans la configuration actuelle (Ct )• Soit dt le vecteur contrainte, c.a.d les efforts intérieurs à

travers n ds.

Dans la configuration de référence (C0)• Soit dT le vecteur contrainte transporté, c.a.d les efforts

intérieurs à travers N dS (sens physique ?).

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.16

SthéniqueContraintes de Cauchy

dSds

Nn

dTdt

Description Eulérienne (Ct )• On défini σ∼(x , t) tel que

dt = σ∼ · n ds

• Il caractérise les efforts de cohésions, dans laconfiguration actuelle et qui s’exercent à travers unélément de surface déformé.

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.17

SthéniqueContraintes de Piola Kirchhoff 1

dSds

Nn

dTdt

Description "Mixte"

• On défini S∼(X , t) tel que

dt = S∼ · N dS

• Il caractérise les efforts de cohésions, dans laconfiguration actuelle et qui s’exercent à travers unélément de surface non-déformé.

• Contrainte de l’ingénieur : «simple d’accès par la mesure»

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.18

SthéniqueContraintes de Piola Kirchhoff 2

dSds

Nn

dTdt

Description Lagrangienne (Ct )

• On défini Π∼ (X , t) tel que

dT = Π∼ · N dS

• Il caractérise les efforts de cohésions, dans laconfiguration de référence et qui s’exercent à travers unélément de surface non-déformé.

• Sens physique ?

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.19

SthéniqueQuelques propriétés

dSds

Nn

dTdt

Remarques

• En petites déformations tous les tenseurs de contraintessont équivalents.

Relation liant σ∼, S∼, Π∼

Jσ∼ = S∼ · F∼T = F∼ ·Π∼ · F∼

T

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.20

SthéniqueEquations d’équilibre

Tt

0

0

Configuration actuelle

• ∂Ωft surface d’application des efforts extérieurs, ∂Ωut

surface d’application des déplacements, avec :

∂Ωt = ∂Ωft ∪ ∂Ωut et ∂Ωft ∩ ∂Ωut = ∅

• t efforts extérieurs surfaciques dans la configurationactuelle

• D un sous-domaine de Ωt et τ les efforts intérieurs sur ∂D

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.20


Tt

0

0

Configuration de référence

• ∂ΩF0 surface d’application des efforts extérieurs, ∂ΩU0

surface d’application des déplacements, avec :

∂Ω0 = ∂ΩF0 ∪ ∂ΩU0 et ∂ΩF0 ∩ ∂ΩU0 = ∅

• T efforts extérieurs surfaciques transportés dans laconfiguration de référence.

• D0 un sous-domaine de Ω0 et ∂D0 sa frontière.

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.21


Tt

0

0

Equation bilan

• Conservation de la masse

ρD = ρ0D0 =⇒ Jρ = ρ0

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.22


Tt

0

0

Description Eulérienne

• Equilibre local

divx σ∼ + fv = 0 dans Ωt

σ∼ · n = ts sur ∂Ωft

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.23


Tt

0

0

Description Mixte

• Equilibre local

divX S∼ + fV = 0 dans Ω0

S∼ · N = tS sur ∂Ωft

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.24


en Eulerien

• Le premier principe :

ρ•e = σ∼ : D∼ + ρr − divx q

• Le second principe :

ρT•s − ρr + divx q −

1T

q · ∇x T ≥ 0

• Energie libre de Helmoltz :

ψ = e − Ts

Clausius Duhem (en Eulerien)

Φ = σ∼ : D∼ − ρ(•ψ + s

•T )− 1

Tq · ∇x T ≥ 0

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.25


en Lagrangien

• Le premier principe :

ρ0•e = Π∼ :

•E∼ + ρ0r − divX Q

• Le second principe :

ρ0T•s − ρ0r + divX Q −

1T

Q · ∇X T ≥ 0

• Energie libre de Helmoltz :

ψ = e − Ts

Clausius Duhem (en Lagrangien)

Φ0 = Π∼ :•E∼ − ρ0(

•ψ + s

•T )− 1

TQ · ∇X T ≥ 0

Φ0 = S∼ :•F∼ − ρ0(

•ψ + s

•T )− 1

TQ · ∇X T ≥ 0

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.26

ThermodynamiqueBilan d’énergie

Sources de Dissipations

• Par dérivation en chaine :

ψ̇ =∂ψ

∂E∼:•E∼ +

∂ψ

∂T

•T +

∂ψ

∂G·•G

• en ordonnant les termes, la dissipation devient

Φ0 = (Π∼ −ρ0∂ψ

∂E∼) :•E∼−ρ0(

∂ψ

∂T+s)

•T −ρ0

∂ψ

∂G·•G−Q · G

T> 0

• avecG∼ = ∇X T

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.27

Lois de comportements dites "hyperélastiques"

• pour les contraintes

Π∼ = ρ0∂ψ

∂E∼

• pour l’entropie

s = −∂ψ∂T

∂ψ

∂G= 0

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.28

Thermodynamiqueloi de comportements

Principes généraux

• La loi de comportement doit fournir l’état de contrainte enfonction des variables thermodynamiques.

• Une loi de comportement doit vérifier le principed’objectivité (indifférence matérielle).

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.29


Dissipation intrinsèque

• En eulérien :σ∼ = 2ρB∼

∂ψ

∂B∼• En mixte :

S∼ = ρ0∂ψ

∂F∼• En lagrangien :

Π∼ = ρ0∂ψ

∂E∼

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.29


Dissipation intrinsèque

• En eulérien :σ∼ = 2JB∼

∂W∂B∼

• En mixte :S∼ =

∂W∂F∼

• En lagrangien :

Π∼ =∂W∂E∼

• avecρ0 ψ = W

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.30


Traction sur un élastomère (en statique)

Constats :• pas de dissipation• comportement

non-linéaire• très grandes

déformations (>400%)

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.31


Définition

• On considère des comportements réversibles (pas dedissipation mécanique).

• Le comportement mécanique est défini par la donnéed’une énergie de déformation.

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.32


Propriétés de l’énergie

• Pas d’énergie pour une déformation nulle :

W (F∼ = I∼) = 0

• Etat de référence libre de contraintes :

∂W∂F∼|F∼=I∼

= 0∂W∂B∼|B∼=I∼

= 0∂W∂E∼|E∼=0

= 0

• Polyconvexité (existance de solutions du pb d’équilibre) :

W (F∼) =?

W (F∼ ,CofF∼ ,detF∼) avec?

W convexe

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.33

HyperélasticitéSymétries Matérielles

Isotropie

Invariance matérielle pour toute rotation Q∼

de la configurationde référence. Se traduit par :

W (F∼ ·Q∼ ) = W (F∼) ∀Q∼ tenseur orthogonal

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.34

HyperélasticitéSymétries Matérielles

Théorème de représentation

Une fonction scalaire isotrope W (X∼ ), ou X∼ est un tenseursymétrique, peut-être représentée par les invariants de X∼ :

W (X∼ ) = W (I1, I2, I3)

avec I1(X∼ ) = tr(X∼ )

I2(X∼ ) =12

(tr(X∼ )2 − tr(X∼

2))

I3(X∼ ) = det(X∼ )

Propriétés

• Hyperélasticité isotrope : X∼ = B∼ ou X∼ = C∼• Ce théorème est généralisable à W (X∼ ,Y∼ , . . .)

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.35

HyperélasticitéHyperélasticité isotrope

Loi de comportement

• en eulérien :

σ∼ = 2J(

(W1 + W2I1)B∼ −W2B∼2 + W3I3I∼

)• en mixte :

S∼ = 2(

(W1 + W2I1)F∼ −W2F∼ · C∼ + W3I3F∼−T)

• en lagrangien :

Π∼ = 2(

(W1 + W2I1)I∼−W2C∼ + W3I3C∼−1)

avec Wi = ∂W∂Ii

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.36


Loi de comportement (autre approche)

• en eulérien :

σ∼ = 23∑

a=1

λa∂W∂λa

(na ⊗ na)

• en mixte :

S∼ =3∑

a=1

∂W∂λa

(na ⊗ Na)

• en lagrangien :

Π∼ = 23∑

a=1

1λa

∂W∂λa

(Na ⊗ Na)

avec Na et na les vecteurs propres de U et V.

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.37

HyperélasticitéHyperélasticité incompressible

Incompressibilité

On impose J = 1, ou encore I3(B∼) = I3(C∼ ) = 1, à l’aide d’unmultiplicateur de Lagrange p tel que :

W = W (X )− p(det(F∼)− 1)

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.37

HyperélasticitéHyperélasticité incompressible

Incompressibilité

On impose J = 1, ou encore I3(B∼) = I3(C∼ ) = 1, à l’aide d’unmultiplicateur de Lagrange p tel que :

W = W (X )− p(det(F∼)− 1)

• Dans chaque configuration on a :

σ∼ =2J

B∼∂W (B∼)∂B∼

− pI∼

S∼ =∂W (F∼)∂F∼

− pcofF∼

Π∼ = 2∂W (C∼ )∂C∼

− pJC∼−1

• p est assimilable à une pression.

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.38


Loi de comportement

• en eulérien :

σ∼ = 2J(

(W1 + W2I1)B∼ −W2B∼2 + p I∼

)• en mixte :

S∼ = 2(

(W1 + W2I1)F∼ −W2F∼ · C∼ + p F∼−T)

• en lagrangien :

Π∼ = 2(

(W1 + W2I1)I∼−W2C∼ + p C∼−1)

avec Wi = ∂W∂Ii

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.39


Loi de comportement (elongation principale)

• en eulérien :

σ∼ = 22∑

a=1

λa∂W∂λa

(na ⊗ na) + p I∼

• en mixte :

S∼ =2∑

a=1

∂W∂λa

(na ⊗ Na) + p F∼−T

• en lagrangien :

Π∼ = 22∑

a=1

1λa

∂W∂λa

(Na ⊗ Na) + p C∼−1

avec Na et na les vecteurs propres de U et V.

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.40

HyperélasticitéQuelques Modèles pour les élastomères

Modèles statistiques

• NEO-HOOKE (1943)

W = −T ∆S

W (I1) =12

NkT (I1 − 3)

N : nombre de chaines par unité de volume,k : constante de Boltzmann.

y

z

x

��

��

��

��

r

dr

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.41


Modèle phénoménologique incompressible

Le modèle de MOONEY & RIVLIN (1940)

W (I1, I2) = C10(I1 − 3) + C01(I2 − 3)

• Valable jusqu’à 100% de déformation.• Linéaire en cisaillement.

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.42



Le modèle de RIVLIN & SAUNDERS (1951)

W (I1, I2) =∞∑

i,j=0

Cij (I1 − 3)i (I2 − 3)j avec C00 = 0

• En pratique i , j ≤ 3.• Valable pour de grandes déformations.• Modèle très (trop) riche.

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.43



Le modèle de GENT & THOMAS (1958)

W (I1, I2) = C1(I1 − 3) + C2ln(

I23

)

• Valable pour des déformations ≤ 200%.• Non linéaire en cisaillement.

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.44



Le modèle de OGDEN (1972)

W (λ1, λ2, λ3) =N∑

p=1

µpαp

(λαp1 + λ

αp2 + λ

αp3 − 3) avec µpαp > 0

• Valable pour de grandes déformations.• Paramètres difficiles à identifier.

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.45

HyperélasticitéIdentification de lois Hyperélastiques

Les essais courants

• La traction uni-axiale

l

l2

l2

F∼ =

λ 0 00 1√λ 00 0 1√

λ

S11 = 2

∂W∂I1

(λ− 1

λ2

)+ 2

∂W∂I2

(1− 1

λ3

)

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.45


Les essais courants

• Extension equi-biaxialel

l

F∼ =

λ 0 00 λ 00 0 1

λ2

S11 = S22 = 2

∂W∂I1

(λ− 1

λ5

)+ 2

∂W∂I2

(λ3 − 1

λ3

)

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.45


Les essais courants

• Le glissement simple

g

F∼ =

1 γ 00 1 00 0 1

S12 = 2γ(

∂W∂I1

+∂W∂I2

)

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.45


Les essais courants

• Le cisaillement pur

l

l2

F∼ =

λ 0 00 1 00 0 1λ

S11 = 2∂W∂I1

(λ− 1

λ3

)+ 2

∂W∂I2

(λ− 1

λ3

)S22 = 2

∂W∂I1

(1− 1

λ2

)+ 2

∂W∂I2

(λ2 − 1

)

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.46

Modèle NEO-HOOKEEN

W (I1) =µ

2(I1 − 3)

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.47

Modèle MOONEY

W (I1) = C10(I1 − 3) + C20(I1 − 3)2 + C30(I1 − 3)3 + ...

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.48

Modèle HART-SMITH

W (I1, I2) = h1∫

exp (h3(I1 − 3)2)dI1 − 3h2 ln(

I23

)

Introduction


Déformations


Déformations

Invariants





Propriétés



Bilan d’énergie

Loi de comportement



Isotropie

Incompressibilité

Identification

hyper.49

Modèle OGDEN

W =N∑

p=1

µp

αp

(λα

p

1 + λαp

2 + λαp

3

)

Comportement des Matériaux : Grandes...

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