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CNAM ELE 103 D. Roviras 1
CNAM
Bases de Traitement du Signal
ELE 103, partie I (draft version)
Tel : 01 40 27 25 67
Bureau: Accès 11, 2ème étage, Bureau 11B2.37
2018-2019 version 26
CNAM ELE 103 D. Roviras 2
Sommaire :
1. Introduction
2. Rappels sur le filtrage (C1, TD1)
3. Rappels sur la Série de Fourier et la Transformée de Fourier (C2,C3,TD2,TD3,TD4)
4. Signaux déterministes à énergie finie (C4)
5. Signaux déterministes à puissance finie (C4)
6. Introduction aux probabilités (C5,C6,C7,TD5, TD6)
7. Signaux aléatoires (C8 C9 C10, TD7)
8. Filtrage des signaux (C11, TD8, TD9)
9. Signaux bande étroite (C12 C13)
10. Modulations (C14 C15, TD10, TD11, TD12)
CNAM ELE 103 D. Roviras 3
Introduction1. Pré requis et place de ELE103 dans un cursus
ingénieur
2. Le traitement du signal
Introduction
CNAM ELE 103 D. Roviras 4
Introduction
A quoi sert le cours de
« Bases de Traitement du Signal » ?
Station de radio n°1
Station de radio n°2
mon poste de radio
CNAM ELE 103 D. Roviras 5Introduction
A quoi sert le cours de
« Bases de Traitement du Signal » ?
t
Signal station de radio n°1
t
Signal station de radio n°2
Traitement
Modulation
Amplification
Transmission
Traitement
Modulation
Amplification
Transmission
mon poste
de radio
CNAM ELE 103 D. Roviras 6Introduction
A quoi sert le cours de
« Bases de Traitement du Signal » ?
Pré-amplification
Traitement
Démodulation
Amplification
CNAM ELE 103 D. Roviras 7
Introduction
A quoi sert le cours de
« Bases de Traitement du Signal » ?
m1(t)
t
(1) Signal station de radio n°1 (m1(t))
g(t)
Passe-Bas
x(t)
(2) Traitement du signal m1(t) : filtrage
cos( 2.p.fp.t)
v(t)
(3) Modulation du signal m1(t)
h(t)
Canal hertzien
y(t)
(4) Transmission hertzienne
+
n(t) cos (2.p.fp.t)
e(t)
s(t)z(t)
Passe-Bas
(5) Démodulation
CNAM ELE 103 D. Roviras 8
Introduction
SystèmeEntrée Sortie
✓ Caractérisation temporelle et fréquentielle des
signaux d’entrée, de sortie et des perturbations
✓ Relations entrée/sortie ?
✓ Quel traitement réaliser ?
Perturbations
CNAM ELE 103 D. Roviras 9
Introduction
Source
CAN
Signal
CNA Décodeur
source
Décodeur
canal
Codeur
source
Codeur
canal
Modulateur
Canal
Récepteur
Exemple d’un chaîne de
transmission numérique
ELE102-103ELE103
ELE103
ELE102-103
ELE102-112
ELE102-103-112
ELE102-112
ELE102-112
ELE102-103-112
ELE103-112
ELE102-112
CNAM ELE 103 D. Roviras 10
Rappels sur le filtrage et
les distributions
1. Filtrage par un SLIT
2. Rappel sur les distributions
Filtrage
CNAM ELE 103 D. Roviras 11
Système Linéaire Invariant Temporellement (SLIT)
Linéarité :
SLIT)(1 tx )(1 ty SLIT)(2 tx )(2 ty
SLIT)(.)(. 21 txbtxa )(.)(. 21 tybtya
Invariance temporelle :
SLIT)(1 tx )(1 ty SLIT)(1 tx )(1 ty
Filtrage
CNAM ELE 103 D. Roviras 12
Système Linéaire Invariant Temporellement (SLIT)
Exemple de système Non Linéaire : comparateur
Filtrage
SystèmeEntrée (x) Sortie (y)
x: amplitude de l’entrée
y : amplitude de la sortie
A
0
x1(t)=constante = 1 y1(t)=constante=A
x2(t)=constante = 2 y2(t)=constante=A
x3(t)= x1(t)+x2(t) )()()( 213 tytyAty
CNAM ELE 103 D. Roviras 13
Système Linéaire Invariant Temporellement (SLIT)
Exemple de système Non Linéaire : diode
Filtrage
SystèmeEntrée (x) Sortie (y)
x: amplitude de l’entrée
y : amplitude de la sortie
0
x1(t)=constante = -1 y1(t)=constante=0
x2(t)=constante = 1 y2(t)=constante=1
x3(t)= x1(t)+x2(t) )()(0)( 213 tytyty
Pente de 1
CNAM ELE 103 D. Roviras 14
Système Linéaire Invariant Temporellement (SLIT)
Exemple de système Variant Temporellement :
Filtrage
Systèmex(t) y(t)
x(t) y(t)
g(t)
)()()()()()(
)()()()(
11212
111
tytxtgtytxtx
txtgtytx
CNAM ELE 103 D. Roviras 15
Système Linéaire Invariant Temporellement (SLIT)
Exemple de système Variant Temporellement :
Filtrage
x(t) y(t)
g(t)
t
g(t)
t
t
x1(t)
y1(t)
x2(t)=x1(t-)
y2(t)
1
2
CNAM ELE 103 D. Roviras 16
Système Linéaire Invariant Temporellement (SLIT)
Caractérisation d’un SLIT : Réponse fréquentielle H(f)
)( fH
f
)( fH
f
)( fHPhase
Filtrage
Système)2cos( 00 tfA p )2cos( 101 p tfA
)(de Phase )( 10
0
10 fH
A
AfH
module phase
CNAM ELE 103 D. Roviras 17
Système Linéaire Invariant Temporellement (SLIT)
Caractérisation d’un SLIT : Réponse impulsionnelle h(t)
SLIT)(t )(th
h(t)
t
Filtrage
)()( thTFfH
1/D
D
t
lim0
)(D
t
0
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Relation entrée/sortie d’un SLIT
SLIT
h(t))(tx )(ty
)(tx
t
)(txe
t
SLIT
h(t)
)(tye
t
Rectangle de largeur D et de hauteur x(k.D)k.D
Réponse au rectangle de
largeur D et de hauteur
x(k.D): V(t-kD)
Filtrage
Invariance temporelle
et linéarité
CNAM ELE 103 D. Roviras 19
Relation entrée/sortie d’un SLIT
k
D
k
e kDtkDxhauteur
).DkD et (kentrerectkDxtx )().(
1
1 ).()(
k
e kDtVD
DkDxty )(1
.).()(
k
De kDtD
DkDxtx )(1
.).()(
Si D tend vers 0 alors on a xe(t) qui tend vers x(t)
)(1
tD
D tend vers (t)
k
e kDthDkDxty )(.).()(
)(1
tVD
tend vers h(t)
Invariance temporelle
et linéarité
dthxty
)().()(
Filtrage
CNAM ELE 103 D. Roviras 20
Relation entrée/sortie d’un SLIT
)(*)().()( thxdthxty
)(*)()( thtxty
De façon à ne pas alourdir les notations on écrira plus simplement :
)().()( fHfXfY
On verra dans le chapitre suivant que l’on a :
Filtrage
CNAM ELE 103 D. Roviras 21
Propriétés de la relation de convolution
)(*)()(*)( txththtx Commutativité
Distributivité
Associativité
Transformée de
Fourier
Transformée de
Fourier
)(*)()(*)()(*)()( 2121 thtxthtxthtxtx
)(*)(*)()(*)(*)( 321321 txtxtxtxtxtx
)().()(*)( fHfXthtxTF
)(*)()().( fHfXthtxTF
Filtrage
)(*)()(*)( 1221 txtxtxtx
CNAM ELE 103 D. Roviras 22
Interprétation graphique de la convolution
dthxty
)().()(
)(x
)(h
)( 0 th
dthx
)().( 0
)(ty
t
t0
Filtrage
CNAM ELE 103 D. Roviras 23
Notion de causalité
)(h
Filtrage
Les systèmes physiques réels sont causaux. Cela veut dire
que la sortie du système ne peut pas varier avant que l’on ait
appliqué l’entrée
Avec un SLIT causal on a h(t)=0 pour t<0
Remarque : dans certains calculs théoriques nous utiliserons des filtres non
causaux. C’est une liberté qui permet de simplifier les calculs mais il est bien
clair que ces systèmes non causaux sont non réalisables physiquement.
Exemple: un filtre passe-bas idéal
CNAM ELE 103 D. Roviras 24
Notion de causalité
Filtrage
Comment rendre causal un filtre non causal ?
h(t)
t
On tronque temporellement la réponse impulsionnelle :
h(t)
t
On décale temporellement la réponse impulsionnelle tronquée :
h(t)
t
Imaginons que l’on veuille réaliser un SLIT avec la réponse impulsionnelle suivante:
CNAM ELE 103 D. Roviras 25
Rappels sur les distributions
Filtrage
Remarque : Ces rappels ne sont pas un cours sur les Distributions mais quelques
notions physiques sur l’impulsion de Dirac et les propriétés associées
Soit x(t) un rectangle centré sur 0 de largeur D et de hauteur 1/D. L’aire de x(t) vaut 1.
En faisant tendre D vers 0 on a x(t) qui tend vers une impulsion baptisée impulsion de
Dirac
t
)(1
tD
D
-D/2 D/2
1/D
D tend vers 0
t
)(t
0
Par convention de dessin on dessine une impulsion de Dirac comme ci dessus
CNAM ELE 103 D. Roviras 26
Propriétés de l’impulsion de Dirac
Filtrage
1)( dttAire unitaire
Dirac .Fonction
Dirac.Fonction
Dirac.Fonction
Convolution
Convolution
Convolution
Convolution
TF
TF
TF
TF
)().0()().( txttx
)().()().( 000 tttxtttx
)().()().( 01001 ttttxttttx
)()(*)( txttx
)()(*)( 00 ttxtttx
)()(*)( 00 ttxtttx
)()(*)( 0101 tttxttttx
1)( tTF
)(1 fTF
00 2exp)( jftttTF p
)(2exp 00 fftjfTF p
CNAM ELE 103 D. Roviras 27
Rappel sur les nombres complexes
Filtrage
ginairepartie imabréellepartieajbac
a
Re
Im
bc
cdu vecteur Longueur bacule de c mod 22
f
cdu vecteur Anglea
barctg phase de c f
CNAM ELE 103 D. Roviras 28
Rappel sur les nombres complexes
Filtrage
et )exp(. 22
a
barctgbacavecjcc ff .bjac
complexesdeux
cc
et 21
2121 .. cccc )()().( 2121 cccc fff
.bjac .* bjac *cc )()( *cc ff
.bjac *2.ccc
n
n
n
n AA *
*
complexes
desAn
complexes
desAn
n
n
n
n AA*
*
)2sin(.)2cos( )2exp( )sin()cos()exp( ftjftjftjj ppp
1 )2exp( jftp
)2exp( )2exp(*
jftjft pp
)exp( )exp().exp( baba
).exp(.).exp( tKKtKdt
d
CNAM ELE 103 D. Roviras 29
Rappel sur les fonctions trigonométriques
Filtrage
)cos(2
1)cos(2
1)sin()sin( bababa
)cos(2
1)cos(2
1)cos()cos( bababa
)sin(2
1)sin(2
1)cos()sin( bababa
)sin(2
1)sin(2
1)sin()cos( bababa
)sin()cos()cos()sin()sin( bababa
)sin()cos()cos()sin()sin( bababa
)sin()sin()cos()cos()cos( bababa
)sin()sin()cos()cos()cos( bababa
2))2cos(1()(cos2 aa
2))2cos(1()(sin2 aa
CNAM ELE 103 D. Roviras 30
Rappel sur les dérivées de fonctions trigonométriques
Filtrage
)sin()cos(
uu
u
)cos()sin(
uu
u
)sin()cos( uduu
)cos()sin( uduu
)sin(.).cos(
uku
uk
').('')(
)]([ggfgf
u
ugf
'.'.'.
)().(gfgfgf
u
uguf
2
'.'.'/
)(/)(
g
gfgfgf
u
uguf
).cos().sin(
uku
uk
).sin(.1
).cos( ukk
duuk
).cos(.1
).sin( ukk
duuk
)exp()exp(
uu
u
).exp(.
).exp(ukk
u
uk
CNAM ELE 103 D. Roviras 31
Rappels sur la Série et la
Transformée de Fourier
1. Série de Fourier
2. Transformée de Fourier
SF et TF
CNAM ELE 103 D. Roviras 32
SF et TF
Série de Fourier pour les signaux déterministes
périodiques :
Soit x(t) un signal périodique de période T
• x(to)=x(to+T)
• x(t) est décomposable en série de Fourier c.a.d. en une
somme de sinusoïdes de fréquences multiples de 1/T
• On a un spectre de raies
• Deux décompositions duales: somme de sinus/cosinus ou
somme d’exponentielles
CNAM ELE 103 D. Roviras 33
SF et TF
Décomposition en somme d’exponentielles
Forme bilatérale avec fréquences positives et négatives
tT
njXtx
n
n p2exp)(
dttT
njtx
TX
Tto
to
n
p2exp)(
1
1:2
jRappel
CNAM ELE 103 D. Roviras 34
SF et TF
Décomposition en somme de sinus et cosinus
Forme mono latérale avec fréquences positives seulement
tT
nbt
T
na
atx n
n
n pp 2sin2cos2
)(1
0
dttT
ntx
Ta
Tto
to
n
p2cos)(
2
dttT
ntx
Tb
Tto
to
n
p2sin)(
2
CNAM ELE 103 D. Roviras 35
SF et TF
Quelques propriétés des coefficients de Fourier
* )( nn XXréelletx jbajbaRappel
*:
positifnjbaX nnn pour 2
1
signaldu continue composante la représente 2
0oa
X
nX
n
nXPhase
n
En général, tend vers 0 quand n tend vers l’infininX
CNAM ELE 103 D. Roviras 36SF et TF
Résultats d’une troncature des coefficients de Fourier
1
5
3
7
21
1
3
9
Signal carré: 1, 3, 5, 7 et 21 harmoniques
Signal sinusoïdal redressé
en simple alternance:
1, 3 et 9 harmoniques
CNAM ELE 103 D. Roviras 37
SF et TF
Quelques propriétés des coefficients de Fourier
22
)(1
n
n
Tto
to
XdttxT
Puissance
Identité de Parseval :
Calcul de la puissance dans le domaine temporel et spectral :
CNAM ELE 103 D. Roviras 38
SF et TF
Exercices sur la série de Fourier
• Démonstration de l’identité de Parseval• Objectifs ?
tT
njXtx
n
n p2exp)(
dttT
njXt
T
njX
Tdttx
T
Tto
to n
n
n
n
Tto
to
pp 2exp2exp
1)(
1 *2
n
n
n
n AARappel *
*
:
dttT
pnjXX
TdtX
Tdttx
T
Tto
to
p
pnpn
n
Tto
to n
n
Tto
to
p2exp
11)(
1 *
,
22
Intégrale égale à 0
n
n
Tto
to
XdttxT
22)(
1
CNAM ELE 103 D. Roviras 39
SF et TF
Exercices sur la série de Fourier
• Démonstration de l’expression des coefficients Xn
tT
njXtx
n
n p2exp)(
tT
pjt
T
njXt
T
pjtx
n
n ppp 2exp2exp2exp)(
Tto
to n
n
Tto
to
dttT
pjt
T
njXdtt
T
pjtx ppp 2exp2exp2exp)(
Tto
to n
n
Tto
to
p dttT
pjt
T
njXdtX pp 2exp2exp
Intégrale égale à 0
CNAM ELE 103 D. Roviras 40
SF et TF
Exercices sur la série de Fourier
• Calcul des coefficients de SF d’un signal carré
ailleurs 0et 2
D
2pour )(
t
DAtx
t
0
D/2-D/2
T-T
A
T
nDc
T
AD
T
nD
T
nD
T
ADX n sin
sin
p
p
x
xxcDéfinition
p
p )sin()(sin:
CNAM ELE 103 D. Roviras 41
SF et TF
Exercices sur la série de Fourier
• Calcul des coefficients de SF d’un signal carré
T
nDc
T
AD
T
nD
T
nD
T
ADX n sin
sin
p
p
AD/T
f01/D 2/D-1/D-2/D
fD
fD
T
AD
p
psin
1/T 2/T 3/T-1/T
Coefficient X1
CNAM ELE 103 D. Roviras 42
SF et TF
Exercices sur la série de Fourier
• Calcul des coefficients de SF d’un signal carré
✓ Si la période tend vers l’infini
Les raies spectrales deviennent infiniment serrées : spectre continu (Série
de Fourier)
✓ Si A tend vers l’infini et D vers 0 de façon à ce que A.D=1 et la période T
est constante
Le signal périodique tend vers un peigne de Dirac en temporel
La représentation spectrale d’un peigne de Dirac temporel est un peigne
de Dirac fréquentiel
CNAM ELE 103 D. Roviras 43
SF et TF
Transformée de Fourier :
Existence de la TF:• Fonctions de carré intégrable, signaux à énergie finie
• Signaux à puissance finie
• Distributions: Dirac et peigne de Dirac
dtjfttxfX
p2exp)()(
dfjftfXtx
p2exp)()(
CNAM ELE 103 D. Roviras 44
SF et TF
Transformée de Fourier :
dffXdttxEnergie
22
)()(
Identité de Parseval pour les signaux à énergie finie
dtdfjftfXtxdttxtxdttx
*
*22exp)()()()()( p
dtdfjftfXtxdtdfjftfXtx
pp 2exp)()(2exp)()( **
dffXdffXfXdffXdtjfttx
2** )()()()(2exp)( p
CNAM ELE 103 D. Roviras 45
SF et TF
Propriétés de la Transformée de Fourier :
Propriété Temporel Fréquentiel
x(t) X(f)
Linéarité a.x(t)+b.y(t) a.X(f)+b.Y(f)
Conjugaison x(t)* X(-f)*
Fonction réelle x(t) réel Symétrie Hermitienne
Décalage temporel x(t-to)
Décalage
fréquentiel
pairefonction )( fX
impairefonction )( fXPhase
)2exp()( ojftfX p
)2exp()( tjftx op )( offX
CNAM ELE 103 D. Roviras 46SF et TF
Propriétés de la Transformée de Fourier :
Propriété Temporel Fréquentiel
Dérivée
Symétrie X(t) x(-f)
Multiplication x(t)y(t)
Convolution x(t)*y(t)
Modulation
)()( * fYfX
njffX p2)(n
n
dt
xd
)2cos()( tftx op
)().( fYfX
)(2
1)(
2
1oo ffXffX
CNAM ELE 103 D. Roviras 47SF et TF
Propriétés de la Transformée de Fourier :Démonstrations :
Conjugaison : changement de variable
Fonction réelle : changement de variable
Décalage temporel : changement de variable
Décalage fréquentiel : changement de variable
Multiplication et convolution
dtjfttytxtytxTF
p2exp)(*)()(*)(
dtjftdtyxdtjfttytx
pp 2exp)()(2exp)(*)(
p dtyTFxddtjfttyx
)()(2exp)()(
)()()2exp()()()()( fYfXdjffYxdtyTFx
p
CNAM ELE 103 D. Roviras 48SF et TF
Propriétés de la Transformée de Fourier :Démonstrations :
Conjugaison : changement de variable
Fonction réelle : changement de variable
Décalage temporel : changement de variable
Décalage fréquentiel : changement de variable
Multiplication et convolution
dtjfttxtxTF
p 2exp)()( tuposons
duujfuxtxTF
p 2exp)()(
)2exp(.2exp)( pp jfdujfuux
)2exp(.)( pjftxTF
CNAM ELE 103 D. Roviras 49
Transformée de Fourier usuelles (1/5)x(t)= Rectangle = )(tT
amplitude=1, largeur=T, centré sur 0
T.sinc(f.T)= T.[sin(p.f.T)/p.f.T]
x(t)= Triangle
amplitude=1, largeur=2.T, centré sur 0
T.sinc2(f.T)
exp( . . . . )2 p j fo t ( )f fo
cos( . . . )2 p fo t 1
2. ( ) ( ) f fo f fo
1 ( )f
( )t 1
)...2sin( tfop
jf fo f fo
2. ( ) ( )
SF et TF
)...2cos( 0p tfo ).exp().(2
1).exp().(
2
100 jfofjfof
CNAM ELE 103 D. Roviras 50
Transformée de Fourier usuelles (2/5)
SF et TF
Bt
BtBtx
p
psin)(
1hauteur de B/2et B/2- entre
Blargeur de Rectangle X(f)
2
sin)(
Bt
BtBtx
p
p
1hauteur de Bet B- entre
2Blargeur de Triangle X(f)
CNAM ELE 103 D. Roviras 51
U(t) = Echelon unité 1
2
1
2. ( )
. . .
pf
j f
Signe(t) 1
j f. .p
exp(-a.t).U(t)
(U(t) = Echelon unité de temps)
1
2a j f . . .p
exp(-a.|t|)
2
22 2
.
( . . )
a
a f p
exp( . )p t 2
exp( . )p f 2
exp( . ).cos( . . . ). ( )a t fo t U t2 p a j f
a j f fo
. . .
( . . . ) ( . . )
2
2 22 2
p
p p
exp( . ).sin( . . . ). ( )a t fo t U t2 p
2
2 22 2
. .
( . . . ) ( . . )
p
p p
fo
a j f fo
Transformée de Fourier usuelles (3/5)
SF et TF
CNAM ELE 103 D. Roviras 52
1
b aa t b t U t
. exp( . ) exp( . ) . ( )
1
2 2( . . . ).( . . . )a j f b j f p p
cos( . . . ). ( )2 p fo t tD D
D D2
. sin ( .( )) sin ( .( ))c f fo c f fo
n
n tT
njX )....2exp(. p
X fn
Tnn
. ( )
Transformée de Fourier usuelles (4/5)
SF et TF
CNAM ELE 103 D. Roviras 53
2. . ( . )A t n T ATn
Signal carré de largeur T/2, entre +A et -A et
périodique de période T
X fn
T
A c n
A
n
A
n
nn
. ( )
.sin ( / )
.
.
.
.
p
p
avec X
avec
X pour n pair ou nul
X pour n = 1, 5,....
X pour n = 3, 7, ....
n
n
n
n
2
0
2
2
A t n Tn
. ( . )D
Signal carré de largeur D, entre 0 et +A et
périodique de période T
X fn
T
A
Tc n T
nn
. ( )
..sin ( / )
avec X
n
DD
n
Tnt ).(
n T
nf
T)(.
1
Transformée de Fourier usuelles (5/5)
SF et TF
CNAM ELE 103 D. Roviras 54
Exemple de calcul de TF usuelles :
)(tT
exp( . . . . )2 p j fo t
cos( . . . )2 p fo t
( )t
)...2sin( tfop
Rectangle =Calcul classique
x(t)= Triangle
d’amplitude=1, largeur=2.T,
centré sur 0
Convolution de deux rectangles
Calcul par TF-1 de (f-fo)
Décomposition en
exponentielles
Décomposition en
exponentielles
Calcul classique ou limite du
rectangle
1 Limite du rectangle
Peigne de Dirac temporel signal carré périodique et
passage à la limiteSF et TF
CNAM ELE 103 D. Roviras 55SF et TF
TF de signaux bornés temporellement
Si x(t) est un signal borné temporellement alors sa TF s’étend de moins l’infini à
plus l’infini
t
x(t)
t
T(t)
fT
fTTfXfXttxtx T
p
p )sin(*)()()().()(
La fonction sin(pfT)/pfT s’étendant de moins l’infini à plus l’infini, le support
spectral de X(f) est donc infini
CNAM ELE 103 D. Roviras 56SF et TF
Allure générale d’un signal et de sa TF
Si x(t) est très «pointu», sa TF sera très «étalée»
t
x(t)
f
X(f)
Si x(t) est très «étalé», sa TF sera très «pointue»
t
x(t)
f
X(f)
CNAM ELE 103 D. Roviras 57SF et TF
TF de signaux périodiques
Soit x(t) un signal périodique de période T
x(t) est décomposable en série de Fourier
tT
njXtx
n
n p2exp)(
Une fonction périodique présente un spectre de
raies espacées de 1/T
)()(T
nfXfX
n
n
CNAM ELE 103 D. Roviras 58
SF et TF
Peigne de Dirac et échantillonnage
Objectif de la numérisation d’un signal :Transformer un signal continu (défini quelque soit t et prenant une infinité de valeurs
d’amplitude) en une suite de points prenant leurs valeurs dans un ensemble fini.
Signal
x(t)Bits à
émettreNumérisation
Signal
x(t)Bits à
émettre
➢ Echantillonnage du signal : Fe échantillons par seconde
échantillonnage Fe Deux opérations
Pour numériser
Quantification
sur n bits
➢ Quantification : n bits par échantillon
CNAM ELE 103 D. Roviras 59
➢ Objectif :
➢ Rappel du théorème d’échantillonnage
➢ Démonstration
➢ Notion de repliement de spectre
Signal
x(t)
Echantillonnage
Fe
x(k.Te)
à partir de x(k.Te) pouvoir revenir au signal original x(t)
Fe > 2. fmax
Peigne de Dirac et échantillonnage
SF et TF
CNAM ELE 103 D. Roviras 60
Signal x(t)
Echantillonnage Fe=1/Te
x(k.Te)
Peigne de Dirac et échantillonnage
Objectif : à partir de la suite de valeurs x(k.Te) pouvoir revenir au
signal original x(t)
n
e TektTekxtx ).().()( SLIT )(tx
Calcul du spectre de xe(t)
kkk
e TekttxTekttxTektTekxtx ).()().()().().()(
kk
eTe
kf
TefXTektTFfXfX
1*)().(*)()(
k
eTe
kfX
TefX
1)(
SF et TF
CNAM ELE 103 D. Roviras 61
Peigne de Dirac et échantillonnage
k
e FekfXTe
fX .1
)(
-B +B f
)( fX
Fe>2.B
-B +Bf
)( fX e
k=0
k=1k=-1
Fe-Fe
Fe<2.Bf
)( fX e
k=0
k=1k=-1
Fe-Fe
k=-2
-2Fe
k=2
2Fe
SF et TF
0
CNAM ELE 103 D. Roviras 62
Peigne de Dirac et échantillonnage
Recouvrement (ou repliement) de spectre si Fe<2.B avec B= bande du signal
Reconstitution de x(t) par filtrage possible si pas de repliement de spectre
c.a.d. si Fe>2.B
Pour échantillonner correctement un signal de
bande B, il faut que la fréquence
d’échantillonnage Fe soit telle que:
Fe>2.B
Passage du signal échantillonné au signal temporel : voir TD
SF et TF
CNAM ELE 103 D. Roviras 63
➢ Plus Fe est grande plus le débit est grand (Db=Fe.n)
➢ Choix de Fe ?
➢ Notion de Qualité de Service (QoS)
➢ Limitation de la bande du signal transmis
➢ Exemples de Fe pour signaux de parole et de musique
Signal
x(t)
Echantillonnage
Fe
x(k.Te)
Fe > 2. fmax
Peigne de Dirac et échantillonnage
SF et TF
CNAM ELE 103 D. Roviras 64
➢ Exemples de Fe pour signaux de parole et de musique
Signal
x(t)
Echantillonnage
Fe
x(k.Te)
Fe > 2. fmax
Parole en téléphonie fixe classique➢ fmax transmise = 3400 Hz
➢ Suffisant pour le service de téléphonie fixe
➢ Fe=8KHz, Te=125µs
➢ Bande du signal de parole : [300 Hz, 3400 Hz]
Musique sur CD audio➢ fmax transmise = 20000 Hz
➢ Meilleure qualité de restitution du son
➢ Fe=44.1 KHz
Peigne de Dirac et échantillonnage
SF et TF
CNAM ELE 103 D. Roviras 65
➢ Plus n est grand plus le débit sortant est grand (Db=Fe.n)
➢ Choix de n ?
➢ Lié au bruit de quantification
➢ n petit Db faible et bruit de quantification grand
➢ n grand Db grand et bruit de quantification faible
➢ Notion de QoS
Quantificationx(k.Te)n bits par
échantillon
Peigne de Dirac et échantillonnage
SF et TF
CNAM ELE 103 D. Roviras 66
Quantificationx(k.Te)n bits par
échantillon
Pas de
quantificationD
➢ N =2n plages de quantification
➢ n bits par échantillon
Peigne de Dirac et échantillonnage
SF et TF
Puissance du bruit de quantification =D2/12 (voir TD n°6)
CNAM ELE 103 D. Roviras 67
➢ Exemples de quantification pour signaux de parole et de musique
Parole en téléphonie fixe classique➢ 8 bits par échantillon
➢ Db=64 Kbps (Kilo bits par seconde)
➢ SNR de quantification de l’ordre de 35dB
Musique sur CD audio➢ 16 bits par échantillon
➢ Db=705 Kbps
Quantificationx(k.Te)n bits par
échantillon
Peigne de Dirac et échantillonnage
SF et TF
CNAM ELE 103 D. Roviras 68
Signal
x(t)Bits à
émettre
Echantillonnage
Fe
Quantification
Db = Fe . n
Signal
x(t)Db
Bits à
émettre
Echantillonnage
Fe
CANFiltre
Anti
repliementn Bits par
échantillon
Peigne de Dirac et échantillonnage
SF et TF
CNAM ELE 103 D. Roviras 69
Signaux à énergie finie
1. Notion de corrélation
2. Densité spectrale d’énergie
SEF
Objectifs :
• Dualité corrélation/spectre
• Introduction de la notion de corrélation
Signal à énergie finie :
• Signaux bornés temporellement
• Signaux de carré intégrable
finieValeur )(2
dttxEnergie
CNAM ELE 103 D. Roviras 70
SEF
Dualité corrélation/spectre :
• Si un signal varie lentement : ce signal est «pauvre» en hautes fréquences
• Si un signal varie lentement : le signal va ressembler à une version décalée de lui-même :
x(t) ressemblera à x(t+t)
• La vitesse de variation, c’est-à-dire la richesse fréquentielle est donc liée à la notion de
ressemblance
• Comment mesurer la ressemblance d’un signal avec une version décalée de lui-même ?
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Signal x1(t)
Signal x2(t)
CNAM ELE 103 D. Roviras 71
SEF
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-4
-2
0
2
4
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-4
-2
0
2
4
630 632 634 636 638 640 642 644 646 648 650
-2
0
2
632 634 636 638 640 642 644 646 648
-2
0
2
4
x1(n) et x1(n-10)
x2(n) et x2(n-10)
)()( : )et x(t x(t)entre ceressemblan de Mesure dttxtx
CNAM ELE 103 D. Roviras 72
SEF
t
x1(t)
t
x2(t)
Ressemblance entre x(t) et x(t+)
Fonction de corrélation
Kx1()
Kx2()
Transformée de Fourier :
Densité
Spectrale d’énergie
f
Sx1(f)
f
Sx2(f)
CNAM ELE 103 D. Roviras 73
SEF
Autocorrélation
Intercorrélation
Définition de la fonction de corrélation pour les
signaux à énergie finie
) dtτ)(t)x(tx (τK *
xx
) dtτ)(t)y(tx (τK *
xy
CNAM ELE 103 D. Roviras 74
SEF
Propriétés de la fonction de corrélation
Autocorrélation Intercorrélation
Symétrie Hermitienne
Inégalité de Schwartz
Si x(t) est réel, Kxx() est une fonction réelle et
paire
Si x(t) et y(t) sont réels, Kxx() est réelle
)() * τK(τK yxxy )() * τK(τK xxxx
x(t)de Energie 0
2
dtx(t))(K xx
)0(K)(K xxxx )0)02
(K(K)(K yyxxxy
)(*)() * xτx(τKxx )(*)() * yτx(τKxy
))) ''
'(τK(τK(τK
xxxxxx ))) ''
'(τK(τK(τK
xyyxxy
Rappel de
l’inégalité
de Schwartz:
duuBduuAduuBuA22
2
* )(.)()().( )(.)( : si égalité avec * uBkuA
CNAM ELE 103 D. Roviras 75
SEF
Définition de la densité spectrale d’énergie
Pourquoi densité spectrale d’énergie ? :
(Parceval) )(finieValeur )(22dffXdttxEnergie
)(*)()(.)()()()( ***2txtxTFtxTFtxTFfXfXfX
)()(*)()( *2tKTFtxtxTFfX xx
)( Energied' Spectrale Densité )()(2
tKTFfXfS xxxx
dtjfttKfSfS xxxxx )2exp()()()( p
2
1
2
1
)()(f2et f1 entre Energie
f
f
xx
f
f
xx dffSdffS
CNAM ELE 103 D. Roviras 76
SEF
Propriétés de la Densité Spectrale d’Energie
Sx(f) est insensible aux décalages temporels de x(t)
Si x(t) est un signal réel alors Sx(f) est réelle et paire
dfjffSfSTFK xxxx )2exp()()()( 1 p
dffSK xxx )()0(
négativenon réellefonction ,0)( fSx
Unités:
Si x(t) est en Volts, Kxx(t) est en V2s et Sx(f) en V2s/Hz soit en V2s2
Si x(t) est en Unité-arbitraire, Kxx(t) est en (Unité-arbitraire)2s
et Sx(f) en (Unité-arbitraire)2s2
)( Energied' Spectrale Densité )()(2
tKTFfXfS xxxx
CNAM ELE 103 D. Roviras 77
SEF
Exemple de calcul de fonction d’autocorrélation et de DSE
x(t)=exp(-at) pour t>0 et 0 ailleurs
0pour ))(exp(exp )0
dtτtaat)(dtτ)(t)x(tx (τK *
xx
00
)exp(2exp))(exp(exp) dtaτat)(dtτtaat)( (τKxx
a
aτaτ
a
at(dtaτat)( (τK xx
2
)exp()exp(
2
)2exp)exp(2exp)
00
0 si 2
)exp()
a
aτ(τK xx
2
)exp()
a
τa(τKxx
CNAM ELE 103 D. Roviras 78
SEF
Exemple de calcul de fonction d’autocorrélation et de DSE
x(t)=exp(-at) pour t>0 et 0 ailleurs
2
)exp()
a
τa(τKxx
)djfexp(-2
2
)exp() p
a
τa(fSx
pp d)jf2-exp(2a
1 )djfexp(-2
2
)exp(
τaa
τa
ppp d)jf2-exp(d)jf2-exp(2a
1d)jf2-exp(
2a
1
0
0
τaτaτa
0
0
0
0
jf2-
)jf2-exp(
jf2-
)jf2-exp(
2a
1d)jf2-exp(d)jf2-exp(
2a
1
p
p
p
ppp
a
a
a
aaa
22 f2
2
2a
1
jf2-
1
jf2-
1
2a
1
ppp a
a
aa
22 f2
1)(
p
afSx
CNAM ELE 103 D. Roviras 79
SEF
Exemple de calcul de fonction d’autocorrélation et de DSE
t
x(t)
0
Kxx()
0
1
1/2a
f
Sx(f)
0
1/a2
Vérifier les propriétés de
Kxx() et Sx(f)
1/a
1/(2a2)
a/(2.p)
Faire varier a,
Conséquences ?
1/a
CNAM ELE 103 D. Roviras 80
Signaux à puissance finie
1. Corrélation
2. Densité Spectrale de Puissance
3. Cas des signaux périodiques
SPF
Signal à puissance finie :
• Signaux physiquement réalisables
• Signaux périodiques
finieValeur )(1
lim
2/
2/
2
dttxT
Puissance
T
TT
CNAM ELE 103 D. Roviras 81
SPF
Autocorrélation
Intercorrélation
Définition de la fonction de corrélation
1
lim)
2/
2/
dtτ)(t)x(txT
(τK
T
T
*
Txx
1
lim)
2/
2/
dtτ)(t)y(txT
(τK
T
T
*
Txy
Unités:
Si x(t) est en Volts, Kxx(t) est en V2
Si x(t) est en Unité-arbitraire, Kxx(t) est en (Unité-arbitraire)2
CNAM ELE 103 D. Roviras 82
SPF
Propriétés de la fonction de corrélation
Autocorrélation Intercorrélation
Symétrie Hermitienne
Inégalité de Schwartz
Si x(t) est réel, Kxx() est réelle et paire Si x(t) et y(t) sont réels, Kxy() est réelle
)() * τK(τK yxxy )() * τK(τK xxxx
x(t)de Puissance 1
lim0
22/
2/
dtx(t)T
)(K
T
TT
xx
)0(K)(K xxxx )0)02
(K(K)(K yyxxxy
))) ''
'(τK(τK(τK
xxxxxx ))) ''
'(τK(τK(τK
xyyxxy
CNAM ELE 103 D. Roviras 83
SPF
Densité Spectrale de Puissance
La fonction de corrélation mesure la ressemblance de deux signaux et donc
leur richesse temporelle. Par analogie avec le cas des signaux à énergie finie
on définira la Densité Spectrale de Puissance comme :
dtjfttKtKTFfS xxxxx )2exp()()()( p
dffSK xxx )( x(t)de Puissance)0(
2
1
2
1
)()(f2et f1 entre Puissance
f
f
xx
f
f
xx dffSdffS
Unités:
Si x(t) est en Volts, Sx(f) est en V2/Hz
Si x(t) est en Unité-arbitraire, Sx(f) est en (Unité-arbitraire)2/Hz
CNAM ELE 103 D. Roviras 84
SPF
Propriétés de la Densité Spectrale de Puissance
Sx(f) est insensible aux décalages temporels de x(t)
Si x(t) est un signal réel alors Sx(f) est réelle et paire
dfjffSfSTFK xxxx )2exp()()()( 1 p
dffSK xxx )()0(
négativenon réellefonction ,0)( fSx
CNAM ELE 103 D. Roviras 85
SPF
Exemple de calcul de fonction d’autocorrélation et de DSP
x(t)=A.cos(2pfot+f)
oo
2/
2/
2/
2/
1/fT avec 11
lim)
dtτ)(t)x(txT
dtτ)(t)x(txT
(τKo
o
T
T
*
o
T
T
*
Txx
))(2cos()2cos()
2/
2/
2
dttftfT
A(τK
o
o
T
T
oo
o
xx
fpfp
)cos(2
1)cos(
2
1)cos()cos( : Rappel bababa
)2cos(2
)2
p oxx fA
(τK Vérifier les propriétés de la fonction
d’autocorrélation de signaux à puissance finie
𝐾𝑥𝑥 𝜏 =𝐴2
2𝑇𝑜න
−𝑇𝑜/2
+𝑇𝑜/2
cos 4𝜋𝑓𝑜𝑡 + 2𝜋𝑓𝑜𝜏 + 2∅ + cos 2𝜋𝑓𝑜𝜏 𝑑𝑡
𝐾𝑥𝑥 𝜏 =𝐴2
2𝑇𝑜𝑇𝑜/2−+𝑇𝑜/2 cos 4𝜋𝑓𝑜𝑡 + 2𝜋𝑓𝑜𝜏 + 2∅ 𝑑𝑡 +
𝐴2
2𝑇𝑜𝑇𝑜/2−+𝑇𝑜/2 cos 2𝜋𝑓𝑜𝜏 𝑑𝑡 =
𝐴2
2cos 2𝜋𝑓𝑜𝜏
CNAM ELE 103 D. Roviras 86
SPF
Exemple de calcul de fonction d’autocorrélation et de DSP
)2cos(2
)2
p oxx fA
(τK
Vérifier les propriétés de la DSP de signaux à puissance finie
)(4
)(4
)2cos(2
)222
ooox ffA
ffA
fA
TF(fS
p
quelconque phase deet A amplituded' cosinusun d' Puissance : 2
)02A
(Kxx
CNAM ELE 103 D. Roviras 87SPF
x(t)=A.exp(2pjfot)
))(2exp()2exp(1
)
2/
2/
22/
2/
dttjftjfT
Adtτ)(t)x(tx
T(τK
o
o
o
o
T
T
oo
o
T
T
*
o
xx
pp
Autre exemple de calcul de fonction d’autocorrélation et de DSP
)2exp( )2exp()2
2/
2/
2
pp o
T
T
o
o
xx jfAdtjfT
A(τK
o
o
)2exp()2
p oxx jfA(τK )()2
ox ffA(fS
Application aux signaux périodiques
CNAM ELE 103 D. Roviras 88SPF
Fonction d’autocorrélation et DSP de signaux périodiques
période T avec 2exp)(
tT
njXtx
n
n p
pT
njXK
n
nxx 2exp)(2
T
nfXfS
n
nx 2
)(
Vérifier qu’en intégrant Sx(f) on retrouve Parseval, ou bien que la fonction d’autocorrélation
en zéro est bien la puissance
La fonction d’autocorrélation d’un signal périodique est
périodique de même période
La densité spectrale de puissance d’un signal périodique est un
spectre de raies espacées de k/T
CNAM ELE 103 D. Roviras 89SPF
Exemple de fonction d’autocorrélation et DSP de signaux périodiques
n
T Tnttxtx ).(*)(T période de périodique Signal )(
dtτ)(t)x(txT
dtτ)(t)x(txT
dtτ)(t)x(txT
K*
T
T
T
*
T
T
T
*
xx
111
)(
2/
2/
2/
2/
)()()( avec ttxtx TT
-tu avec 11
)(
duu)u)x(τ(xT
dtτ)(t)x(txT
K*
T
*
Txx
)()(*)(*1
)()(*1
)(
ukTuuxu)(xT
uuxu)(xT
Kk
k
T
*
T
*
Txx
)()(*)(1
)()(*)(*1
)(
ukTuuKT
ukTuuxu)(xT
Kk
k
x
k
k
T
*
Txx T
k
k
xxx kTKT
KT
)(*)(1
)(
k
k
xxT
kffS
TfS
T)().(
1)(
2
CNAM ELE 103 D. Roviras 90SPF
Exemple de fonction d’autocorrélation et DSP de signaux périodiques
k
k
xxx kTKT
KT
)(*)(1
)(
k
k
xxT
kffS
TfS
T)().(
1)(
2
0 T t
xT(t)
0 T t
x(t)
0 T
KxT()
0 T
Kx()
-T
-T
0 f
SxT(f)
0 f
Sx(f)
1/T-1/T
-T
TF
TF
CNAM ELE 103 D. Roviras 91
Introduction aux
probabilités
1. Propriétés générales
2. Variables Aléatoires (VA) discrètes et continues
3. Moments d’une variable aléatoire
4. VA multi dimensionnelles
5. Changement de variable
6. Théorème de la limite centrale
Probabilités
CNAM ELE 103 D. Roviras 92
Propriétés générales
Probabilités
Notion de probabilité:
Tirage d’un dé à six faces : tiragesde totalNombre
4 avec tiragesNombrelimProba(4)
tiragesde nombre
Probabilité :
Ensemble des résultats de l’expérience aléatoire : S
W= partition de l’ensemble S
Probabilité : Application de Wvers l’ensemble 0,1
Tirage d’un dé à six faces :
S={1,2,3,4,5,6}
W [0,1]
Calculer P(1), P(2), P(3), P(4), P(5), P(6)
Calculer P(1,2,3) = P(tirage = 1 ou 2 ou 3)
CNAM ELE 103 D. Roviras 93
Propriétés générales
Probabilités
Propriétés:
0 videEnsemble 1 S PP
)(1 APAP
10 AP
)()()() ( BAPBPAPBouAPBAP
Exemple : Tirage d’un dé à six faces
Calculer Proba(tirage = {1 ou2} ou {2 ou 3 ou5} = Proba({1,2} U {2,3,5})
Calculer Proba(tirage = nombre pair)
Calculer Proba(tirage = nombre entier)
Calculer Proba(tirage = nombre premier)
Calculer Proba(tirage >3)
Calculer Proba(tirage<10)
1)( : aon ,....,, : Avec1
21
N
i
iN aPaaa
CNAM ELE 103 D. Roviras 94
Propriétés générales : probabilités conditionnelles
Probabilités
)()/(/ APABPP(B)BAPB)P(A
S,PS1
A, P(A)
B, P(B)
BA
CNAM ELE 103 D. Roviras 95
Propriétés générales : probabilités conditionnelles
S
AB)(
)()
)(
)()
S
S
Surface
BSurfaceP(B
Surface
ASurfaceP(A BA
A
vérifiéB
)(
)(.
)(
)(
)(
)()
)(
)()/
S
S
Surface
ASurface
ASurface
BASurface
Surface
BASurfaceBP(A
ASurface
BASurfaceAP(B
)()./) APAP(BBP(A
CNAM ELE 103 D. Roviras 96
Propriétés générales : formule des probabilités totales
Probabilités et évènements disjoints et complets:
Plus généralement, si les évènements Ai sont disjoints et complets :
B)AP(BAPP(B)
Probabilités
A
AB
B A BA
)(/)(/ A)PAP(BAPABPP(B)
N
i
Ai
jisivideAjAi
1
S
N
i
AiPAiBPP(B)1
)(/
CNAM ELE 103 D. Roviras 97
Propriétés générales : Règle de Bayes
Probabilités conditionnelles:
Exemple : Transmission de 0 et de 1 à travers un canal de transmission
Emission : P(0)=0.9 P(1)=0.1
Canal binaire symétrique
p = Probabilité de ne pas faire une erreur
1-p = Probabilité d’erreur = 0.1
Calculer P(0 reçu/1 émis)= P(détecter 0/1émis)
Calculer P(1 reçu/ 1 émis)
Calculer P(0 émis/ 1 reçu)
Calculer P(1 émis/ 1 reçu)
Calculer P(0 émis/ 0 reçu) et P(1 émis/ 0 reçu)
P(A/B)P(B)P(A)B/APA)P(B
Probabilités conditionnelles
règle de Bayes :
0
1
0
1
p
p
1-p
Probabilités
)(
)()/(/
BP
APABPBAP
CNAM ELE 103 D. Roviras 98
Propriétés générales : formule de Bayes
Autre exemple : sondage avec 3 tranches d’âge :
Les tranches d’âge:
TR1 âge <30 ans, proba(TR1)=30%
TR2 30 ans<âge <50 ans, proba(TR2)=50%
TR3 50 ans <âge, proba(TR3)=20%
Le sondage : choix d’un CD parmi 3
Calculer Proba(choisir CD1/tranche âge = TR1)=P(CD1/TR1)
Calculer P(CD3/TR2)
Calculer P(être dans la tranche TR2/ CD1 choisi) = P(TR2/CD1)
Calculer P(être dans la tranche TR2/ CD2 choisi) = P(TR2/CD2)
Calculer P(être dans la tranche TR2/ CD3 choisi) = P(TR2/CD3)
Calculer P(être dans la tranche TR1/ CD3 choisi) = P(TR1/CD3)
Probabilités
TR1 TR2 TR3
CD1 80 30 10
CD2 15 50 20
CD3 5 20 70
CNAM ELE 103 D. Roviras 99
Propriétés générales : formule de Bayes
Probabilités
(30%) TR1
(50%) TR2
(20%) TR3
CD1
CD2
CD3
0.8
0.5
0.15
0.05
0.3
0.20.1
0.7
0.2
P(CD1/TR1) = 0.8 (donné par l’énoncé)
P(CD3/TR2) = 0.2 (donné par l ’énoncé)
0.365941.0
5.0 . 3.0 1/2
41.02.0.1.05.0.3.03.0.8.0)()/1(P(CD1)
)1(
5.0 . 3.0
)1(
)2()2/1(1/2
3
1 totales)tés(Probabili
)(
CDTRP
TRiPTRiCDP
CDPCDP
TRPTRCDPCDTRP
i
Bayes
CNAM ELE 103 D. Roviras 100
Propriétés générales : formule de Bayes
Probabilités
0.7463335.0
5.0 . 5.0 2/2
335.02.0.2.05.0.5.03.0.15.0)()/2(P(CD2)
)2(
5.0 . 5.0
)2(
)2()2/2(2/2
3
1 totales)tés(Probabili
)(
CDTRP
TRiPTRiCDP
CDPCDP
TRPTRCDPCDTRP
i
Bayes
0.3922255.0
5.0 . 2.0 3/2
255.02.0.7.05.0.2.03.0.05.0)()/3(P(CD3)
)3(
5.0 . 2.0
)3(
)2()2/3(3/2
3
1 totales)tés(Probabili
)(
CDTRP
TRiPTRiCDP
CDPCDP
TRPTRCDPCDTRP
i
Bayes
5.0255.0.3922.0335.0.7463.041.0.3659.0)()/2(P(TR2)
: queier peut vérifOn
3
1 totales)tés(Probabili
i
CDiPCDiTRP
0.0588 255.0
3.0 . 05.0
)3(
)1()1/3(3/1
)(
CDP
TRPTRCDPCDTRP
Bayes
CNAM ELE 103 D. Roviras 101
Variables aléatoires discrètes et continues
Probabilités
Variable aléatoire : Résultat d’une expérience aléatoire.
Une variable aléatoire sera notée dans le cours par une majuscule.
• Une VA est dite discrète si elle prend un nombre fini de valeurs
Par exemple suite des valeurs de la face d’un tirage de dé
• Une VA est dite continue si elle prend un nombre infini de valeurs
Par exemple, une tension continue perturbée par un bruit
Si Vo=1V on aura la suite de valeurs qui sera:
{…., 1.002, 0.958, 1.41, 0.9954, ….}
Vo+
n(t)
x(t)Suite de valeurs
VA : X
CNAM ELE 103 D. Roviras 102
Variables aléatoires discrètes et continues
Probabilités
Caractérisation des VA :
• VA discrète : Probabilité des différentes valeurs prises par la VA
• VA continue :
Proba(X=1.025083947)=0
La notion de probabilité d’apparition d’une valeur n’a pas de sens…
On introduit la notion de fonction de répartition et de densité de
probabilité
Fonction de répartition de la VA X :
• C’est une fonction notée FX(u)
• FX(u) est non décroissante et comprise entre 0 et 1
•
)()( ooX uXPuF
0 )(FX1 )(FX
CNAM ELE 103 D. Roviras 103
Variables aléatoires discrètes et continues
Probabilités
Exemple de fonction de répartition de la VA X :
X est définie par la suite de valeurs d’un tirage de dé à six faces
Tracer la fonction de répartition de la VA X
Exemple de fonction de répartition de la VA X :
X est définie par la suite de valeurs de l’expérience suivante:
• Tirage 1er dé : v1
• Tirage 2ème dé : v2
• Valeurs de X : v1+v2
Tracer la fonction de répartition de la VA X
Sur les deux exemples précédents, vérifier les propriétés de la fonction de répartition
Programme Matlab : ELE103_VA_1_et_2dim.m
CNAM ELE 103 D. Roviras 104
Variables aléatoires discrètes et continues
Probabilités
Répartition des familles selon le nombre d'enfants
Pas
d’enfant 1 enfant 2 enfants 3 enfants
4 enfants
ou plus
Un homme
- actif
occupé 18 262 104 367 45 888 13 878 4 278 186 673
- autre 58 693 32 621 9 414 3 273 2 024 106 025
Une femme
- active
occupée 81 176 499 239 259 611 70 433 17 578 928 037
- autre 332 807 223 046 118 586 56 359 33 066 763 864
Deux actifs
occupés 1 911 611 1 754 773 1 856 785 569 551 114 582 6 207 302
Un seul actif
occupé
- l’homme 803 818 617 879 737 205 437 348 204 825 2 801 075
- la femme 577 933 187 951 114 714 43 240 17 790 941 628
Pas d’actifs
occupés 3 708 032 195 983 113 056 73 897 71 210 4 162 178
Total 7 492 332 3 615 859 3 255 259 1 267 979 465 353 16 096 782
champ : France métropolitaine
source : Insee, recensement 1999.
Un homme et une femme
Nombre d’enfants
Total
Un seul adulte
Tracer la fonction de répartition de la VA X qui est le nombre d’enfants d’un
couple d’actifs tous deux occupés
CNAM ELE 103 D. Roviras 105
Variables aléatoires discrètes et continues
Probabilités
Propriétés de la Fonction de répartition d’une VA :
•
• FX(u) est non décroissante et comprise entre 0 et 1
•
•
)()( ooX uXPuF
0 )(FX 1 )(FX
)()( 0110 xFxFxXxP XX
CNAM ELE 103 D. Roviras 106
Variables aléatoires discrètes et continues
Probabilités
FX(u)1
u
X : VA continue
x1 x2 x5x3 x4
FX(u)1
u
X : VA discrète
CNAM ELE 103 D. Roviras 107
Variables aléatoires discrètes et continues
Probabilités
Notion de densité de probabilité :
dxx
xFuXPuF
ou
XooX
)()()(
)()()()( oXXoX
o
X uFFuFu
xF
La dérivée de la fonction de répartition s’appelle la densité de probabilité :
δx
(x)δF(x)p X
X
CNAM ELE 103 D. Roviras 108
Variables aléatoires discrètes et continues
Probabilités
Propriétés de la densité de probabilité :
•
• pX(x) est une fonction positive ou nulle
•
•
•
δx
(x)δF(x)p X
X
1(x)dxpX
)()( oX
u
Xo uF(x)dxpuXPo
)()( 0110
1
0
xFxF(x)dxpxXxP XX
x
x
X
pX(u)
u
X : VA continue
pX(u)
u
X : VA discrète
x1 x2 x3
CNAM ELE 103 D. Roviras 109
Variables aléatoires discrètes et continues
Probabilités
Exemple de densité de probabilité de VA :
X est uniformément répartie entre -1 et +1. Cela veut dire que la probabilité est
identique quelque soit x sur -1/+1
Calculer la densité de probabilité de cette VA continue
• Tracer la densité de probabilité
• Vérifier les propriétés de la densité de probabilité
• Calculer et tracer la fonction de répartition de la VA X
• Calculer P(0<X<0.5)
• Calculer P(X=0.5)
Exemple de densité de probabilité de VA :
X est uniformément répartie entre -1 et +1
Y est uniformément répartie entre -1 et +1
Z=X+Y
• Calculer et tracer la fonction de répartition de la VA Z
• Calculer la densité de probabilité de la VA continue Z
• Tracer la densité de probabilité
• Vérifier les propriétés de la densité de probabilité
Programme Matlab : ELE103_VA_1_et_2dim.m
CNAM ELE 103 D. Roviras 110
Exemple de VA continue
Probabilités
Loi Normale ou Gaussienne :
La loi normale est caractérisée par une densité de probabilité symétrique en
forme de « cloche » :
pX(u)
uuo
2
2
2
)(exp
2
1
p
oX
uu(u)p
uo=moyenne
= écart type
2 = variance
CNAM ELE 103 D. Roviras 111
Variables aléatoires discrètes et continues
Probabilités
-5 0 5 100
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4Signal 1 (b), Signal 2 (r)
Signal 1
Signal 2
Signal 1 : Gaussienne de moyenne 0 et
d’écart type sigma = 1
Signal 2 : Gaussienne de moyenne 1 et
d’écart type sigma = 2
Densité de probabilité de deux fonctions
Gaussiennes
Loi Normale ou Gaussienne Programme Matlab : ELE103_TP_TS_Gauss
CNAM ELE 103 D. Roviras 112
Variables aléatoires discrètes et continues
Probabilités
Signal 1 : Gaussienne de moyenne 0 et
d’écart type sigma = 1
Signal 2 : Gaussienne de moyenne 10 et
d’écart type sigma = 2
Tracé temporel des deux
signaux suivant une loi
Gaussienne
Loi Normale ou Gaussienne Programme Matlab : ELE103_TP_TS_Gauss
0 500 1000 1500 2000 2500-5
0
5
10
15
20Tracé temporel Signal 1 (b), Signal 2 (r)
Signal 2
Signal 1
CNAM ELE 103 D. Roviras 113
Variables aléatoires discrètes et continues
Probabilités
du
uuduupSXP o
SSX
2
2
2exp
2
1)()(
p
p
.2
exp2
1)(
: variablede Changement
2
dvv
SXP
uuv
ouS
o
p
ouS
uSQdv
vSXP
o2
exp2
1)(
2
Pas de primitive:
Table
Loi Normale ou Gaussienne
CNAM ELE 103 D. Roviras 114
Variables aléatoires discrètes et continues
Probabilités
Loi Normale réduite
p z z
Q z p u du
z
( ).
exp
( ) ( ).
1
2
1
2
2
p
0 2 4 6 7 z
Q(z)
2.27 e-2
3.17 e-5
1.28 e-12
9.87 e-10
Loi Normale ou Gaussienne
CNAM ELE 103 D. Roviras 115
Variables aléatoires discrètes et continues
Probabilités
Loi Normale réduite
z
duuzQ .2
1exp
.2
1)( 2
p
u0 z
Q(z) (voir table de la fonction Q(z))z>0
u0z
Q(z) (non tabulée)z<0
)(1.2
1exp
.2
11
.2
1exp
.2
11.
2
1exp
.2
1)(
2
22
zQduu
duuduuzQ
z
z
z
p
pp
CNAM ELE 103 D. Roviras 116
Variables aléatoires discrètes et continues
Probabilités
Relations entre Q(z) et erfc(z)
duuzQz
.2
1exp.
.2
1)( 2
p
dvvzerfcz
.exp.2
)( 2
p
2.
2
1)(
zerfczQ
Loi Normale ou Gaussienne
CNAM ELE 103 D. Roviras 117
Variables aléatoires discrètes et continues
Probabilités
Histogramme et estimation de la densité de probabilité :
Soit une suite finie de points issus de la réalisation d’une VA X
• Xmin=valeur minimale de la suite de valeurs
• Xmax=valeur maximale de la suite de valeurs
• On partage le segment [Xmin, Xmax] en C classes équidistantes
• On compte le nombre de valeurs dans chaque classe
• On a une estimation de la densité de probabilité
,....,, 21 NxxxSuite
D ).()(
valeursde totalNombre
Vet V entre Valeurs
points de totalNombre
classe la dans points de Nombre1
1iiXii
i VpVXVP
Avec D = largeur d’une classe = (Xmax-Xmin)/C
CNAM ELE 103 D. Roviras 118
Variables aléatoires discrètes et continues
Probabilités
Histogramme et estimation de la densité de probabilité :
1 2 3 4 5 ………………………………………. N
Xmin
Xmax
C2
C3
C1
CNAM ELE 103 D. Roviras 119
Variables aléatoires discrètes et continues
Probabilités
Exemple : histogramme d’une VA Gaussienne :
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500Histogramme d'une Gaussienne avec 1000 points et 5 classes
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40
5
10
15
20
25
30
35Histogramme d'une Gaussienne avec 1000 points et 100 classes
Trop peu de points pour l’estimation de la densité de probabilité
Programme Matlab : ELE103_Illustration_Histogramme.m
CNAM ELE 103 D. Roviras 120
Variables aléatoires discrètes et continues
Probabilités
Exemple : histogramme d’une VA Gaussienne :
Trop peu de classes pour l’estimation
de la densité de probabilité
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50
1
2
3
4
5
6
7x 10
4Histogramme d'une Gaussienne avec 100000 points et 5 classes
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000Histogramme d'une Gaussienne avec 100000 points et 100 classes
Estimation correcte de la densité de
probabilité
Programme Matlab : ELE103_Illustration_Histogramme.m
CNAM ELE 103 D. Roviras 121
Moments d’une variable aléatoire
Probabilités
Moyenne d’une variable aléatoire discrète :
Petit Jeu :
Pendant 50% du temps je gagne 1€
Pendant 50% du temps je gagne -1.5€ (en fait c’est une perte de 1.5€)
Combien vais-je gagner en moyenne ?
Solution du petit Jeu :
Combien vais-je gagner en moyenne : 0.5 x 1€ + 0.5 x (-1.5€) = -0.25€
)( associées ésprobabilit les avec ,....,,: 21 iN xPxxxXVA
N
i
iiX xPxµXEXdeEspéranceXdeMoyenne1
)()(
CNAM ELE 103 D. Roviras 122
Moments d’une variable aléatoire
Probabilités
Moyenne d’une variable aléatoire continue :
Soit X une VA continue caractérisée par sa densité de probabilité pX(u)
Cette expression est aussi applicable aux VA discrètes
L’espérance d’une VA est encore appelé moment d’ordre 1 de la VA
duupuµXEXdeMoyenne XX )(.)(
duupuXEkordredMoment X
kk )(.)( '
CNAM ELE 103 D. Roviras 123
Moments d’une variable aléatoire
Probabilités
Moments d’une fonction de VA :
Petit Jeu :
Dans 90% des recherches je trouve un diamant de 1 carat que je peux vendre à 1€/carat
Dans 10% des recherches je trouve un diamant de 100 carat que je peux vendre à
100€/carat
Combien vais-je gagner en moyenne pour chaque recherche ?
1 carat à 1€/carat = 1€
100 carats à 100€/carat = 10000€
Je gagne en moyenne pour chaque recherche : 0.9 x 1€ + 0.1 x 10000€ = 1000.9€
Soit X une VA continue caractérisée par sa densité de probabilité pX(u)
Soit Y=f(X) une nouvelle VA
duupufXfEYE X )().()( )(
CNAM ELE 103 D. Roviras 124
Moments d’une variable aléatoire
Probabilités
Moments principaux d’une VA :
duupuµXEXdeMoyenne XX )(.)(
VariancetypeEcart X
222 )( XX µXEXEXEVariance
2222 )()( XEXEXEXEX
CNAM ELE 103 D. Roviras 125
Moments d’une variable aléatoire
Probabilités
Sens physique des moments d’une VA :
E(X)=µX : Valeur moyenne = composante continue
[E(X)]2=µX2 : Puissance de la composante continue
E(X2) : Puissance totale du signal
X-E(X) : Fluctuations autour de la composante continue
X2 = E([X-E(X)]2 ) : Puissance des fluctuations
E(X2)= µX2 + X
2 = P(composante continue)+P(fluctuations)
CNAM ELE 103 D. Roviras 126
Variables aléatoires multidimensionnelles
Probabilités
Variable aléatoire à plusieurs dimensions (encore appelé
vecteur de VA): Résultat dépendant de plusieurs caractères
aléatoires.
Exemple de VA discrète à deux dimensions:
VA X à deux dimensions X1 et X2
X1 : tirage d’un dé à six faces
X2 : tirage d’une pièce en pile ou face
Exemple de VA continue à deux dimensions:
VA X à deux dimensions X1 et X2
X1 : taille
X2 : poids
CNAM ELE 103 D. Roviras 127
Variables aléatoires multidimensionnelles
Probabilités
Caractérisation d’une VA multidimensionnelle:
• Fonction de répartition
• Densité de probabilité
• Propriétés
➢FX1,..,Xn(u1,…,un) : fonction non décroissante et positive ou
nulle
➢
➢ pX1,…,Xn(u1,…,un) : fonction positive ou nulle
),....,(,...., 111,..,1 nnnXnX uXuXPuuF
nXnX
n
n
nXnX uuFuuu
uup ,....,...
,...., 1,...,1
21
1,...,1
1,...., 0,...., ,...,1,...,1 XnXXnX FF
CNAM ELE 103 D. Roviras 128
Variables aléatoires multidimensionnelles
Probabilités
Exemple de VA multidimensionnelle:
• Tracer la fonction de répartition et la densité de probabilité de la VA suivante:VA X à deux dimensions X1 et X2
X1 : tirage d’une pièce en pile ou face (0 ou 1)
X2 : tirage d’une pièce en pile ou face (0 ou 1)
1/41/2
1/2
1
0 1
0
1
Fonction de répartition :
Densité de probabilité :
0 10
1
X1
X2
CNAM ELE 103 D. Roviras 129
Variables aléatoires multidimensionnelles
Probabilités
Exemple de VA multidimensionnelle:
• Tracer la fonction de répartition et la densité de
probabilité de la VA suivante:VA X à deux dimensions X1 et X2
X1 : tirage d’un dé à six faces
X2 : tirage d’une pièce en pile ou face (0 ou 1)
Exemple de VA multidimensionnelle:
• Tracer la fonction de répartition et la densité de
probabilité de la VA suivante:VA X à deux dimensions X1 et X2
X1 : tirage d’un dé à six faces
X2 : somme du tirage du premier dé et d’un second dé
Programme Matlab : ELE103_VA_1_et_2dim.m
CNAM ELE 103 D. Roviras 130
Variables aléatoires multidimensionnelles
Probabilités
Exemple de VA multidimensionnelle:X1 : Gaussienne de moyenne nulle et de variance un
X2 : Uniformément répartie entre +1 et -1
0
20
40
60
80
100
020
40
6080
100
0
200
400
600
Histogramme VA multidimensionnelle
Programme Matlab :
ELE103_Illustration_VA_continues_2dim.m
CNAM ELE 103 D. Roviras 131
Variables aléatoires multidimensionnelles
Probabilités
020
4060
80100
0
50
1000
500
1000
1500
2000
Histogramme VA multidimensionnelle
Exemple de VA multidimensionnelle:X1 : Gaussienne de moyenne nulle et de variance un
X2 : Gaussienne de moyenne nulle et de variance un
Programme Matlab :
ELE103_Illustration_VA_continues_2dim.m
CNAM ELE 103 D. Roviras 132
Variables aléatoires multidimensionnelles
Probabilités
Exemple de VA multidimensionnelle:
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
20
40
60
80
100
0
500
1000
1500 Histogramme VA multidimensionnelle
Programme Matlab :
ELE103_Illustration_VA_continues_2dim.m
)1,3(
)1,3(bien ou
)1,0(
)1,0(
2
1
N
N
N
N
X
X
CNAM ELE 103 D. Roviras 133
Variables aléatoires multidimensionnelles
Probabilités
Lois de probabilités marginales :
21
21
2
212,1 ,, uuFxx
uup XXX
2212,111 , duuupup XXX
1212,122 , duuupup XXX
n
i
iXXX uuPup1
12,111 ),(
m
j
jXXX uuPup1
22,122 ),(
VA continues VA discrètes
CNAM ELE 103 D. Roviras 134
Variables aléatoires multidimensionnelles
Probabilités
Moments de VA multidimensionnelle, cas général :
Corrélation statistique:
Covariance :
Coefficient de corrélation :
nnXnXnn duduuupuufXXXfE ...),...,().,...,(....),...,,( 11121 1
212121 ),(... duduuupuuYXERxy XY
212121 ),(... duduuupµuµuµYµXEC XYYXYXXY
YX
XY
Cxy
CNAM ELE 103 D. Roviras 135
Variables aléatoires multidimensionnelles
Probabilités
Propriétés :
)(.)(.)( YEbXEabYaXE
YXXYXY µµCR
XYYXYX C.2222
CNAM ELE 103 D. Roviras 136
Indépendance de Variables aléatoires
Probabilités
Deux VA X et Y sont dites indépendantes si la connaissance d’une
VA n’apporte rien sur l’autre VA
Pour des VA indépendantes on a :
)().(),( 2121 upupuup YXXY
YXXY µµYEXEYXER )().().(
0XYC
222
YXYX
)()/( YPYXP
)().()()./() ()( YPXPYPYXPYetXPYXP
CNAM ELE 103 D. Roviras 137
Changement de variables
Probabilités
Soit X une VA continue caractérisée par sa densité de probabilité pX(u)
alors la VA continue Y=f(X) a une densité de probabilité donnée par :
Soit (X1,X2,…,Xn) un vecteur de VA continue caractérisé par sa densité de
probabilité pX1X2…Xn(u1,u2,…un), alors le vecteur de VA continue
(Y1,Y2,…,Yn)=f(X1,X2,…,Xn) a une densité de probabilité donnée par :
)()( 11 )(. )(.)(
vfuXvfuXY upY
XupJvp
),...,1(,..,1..1 1),...,1(.),...,1(
vnvfunuXnXY unupJvnvp
Yn
Xn
Y
Xn
Yn
X
Y
X
J
...1
::
1...
1
1
det
Attention : ne pas oublier
de prendre la valeur
absolue du Jacobien !
CNAM ELE 103 D. Roviras 138
Changement de variables
Probabilités
Cas d’une fonction Y=f(X) monotone et dérivable
Y
Xu u+du
v
v+dv
Y
Xuu-du
v
v+dv
duupdvvp
duuXudvvYv
XY ).().(
)(P)(P
duupdvvp
uXduudvvYv
XY ).().(
)(P)(P
)(point au calculé avec ).()(
).().( :aon t Globalemen
1 vfu(u)pdv
duupvp
duupdvvp
XXY
XY
CNAM ELE 103 D. Roviras 139
Changement de variables
Probabilités
Cas d’une fonction Y=f(X) non monotone et dérivable
dv
duup
dv
duup
dv
duupvp
duupduupduupdvvp
duuXuuXduuduuXudvvYv
XXXY
XXXY
).().().()(
).().().().(
)(P)(P)(P)(P
321
332211
333222111
)( avec )(.)( :aon t Globalemen 1
1
vfuupdv
duvp k
n
k
kXY
Y
Xu1 u1+du1
v
v+dv
u2
u2-du2
u 3u3+du3
CNAM ELE 103 D. Roviras 140
Probabilités
Exemples :
• Soit X une VA continue uniformément répartie entre [-1, +1]. Calculer la
densité de probabilité de 2.X+3
• Soit X une VA continue uniformément répartie entre [-1, +1]. Calculer la
densité de probabilité de X2 et de X3
• Soient X1 et X2 deux VA continues indépendantes et uniformément
répartie entre [-1, +1]. Calculer la densité de probabilité de X1.X2
• Soient X1 et X2 deux VA continues indépendantes caractérisées par pX1(u)
et pX2(v). Calculer la densité de probabilité de Y=X1+X2
Changement de variables
Programme Matlab : ELE103_VA_chgt_var
CNAM ELE 103 D. Roviras 141
Probabilités
Soit X une VA continue uniformément répartie entre [-1, +1]. Calculer la
densité de probabilité de 2.X+3
Changement de variables, Exemple, pdf de Y=2X+3
2
3
2.
2
1)(
)(point au calculé avec 2
1).()(
2/1
3/2-v/2u 3)/2-(Y 3.2)(
)(point au calculé avec ).()(
:donc aon monotone,est f(X)fonction la Ici
1
1
vpvp
vfu(u)pupvp
dv
du
XXXfY
vfu(u)pdv
duupvp
XY
XXY
XXY
CNAM ELE 103 D. Roviras 142
Probabilités
Soit X une VA continue uniformément répartie entre [-1, +1]. Calculer la
densité de probabilité de X2
Changement de variables, Exemple, pdf de Y=X2
ailleurs 0
10pour 1
5.0)(
10pour 2/12/1.1
.2
1.
1.
2
1)(
et soit )( avec )(.1
.2
1)(
0pour 1
.2
1 .
2
1
)(
)( avec )(.)(
:donc aon monotone,non est f(X)fonction la Ici
21
1
1
2/1
2/122/12
1
1
vvvp
vv
vpvpv
vp
vuvuvfuupv
vp
vv
vdv
du
vuuvYYXXXfY
vfuupdv
duvp
Y
XXY
k
n
k
kXY
k
n
k
kXY
CNAM ELE 103 D. Roviras 143
Probabilités
Soient X1 et X2 deux VA continues indépendantes caractérisées par pX1(u)
et pX2(v). Calculer la densité de probabilité de Y=X1+X2
Changement de variables, Exemple, pdf de X1+X2
1110
11det
2
2
1
22
1
1
1
det
),(.
2
2
1
22
1
1
1
det ),(.),(
21
1
2
1
2
1
2
1
12
1
2
1
21
1
2
1
2
1
),(),(2121),(),(2121212121
12121
121
Y
X
Y
XY
X
Y
X
J
vv
v
u
u
uu
u
v
v
u
u
uup
Y
X
Y
XY
X
Y
X
uupJvvp
XX
X
X
Xf
Y
Y
X
X
vvfuuXXvvfuuXXYY
CNAM ELE 103 D. Roviras 144
Probabilités
Soient X1 et X2 deux VA continues indépendantes caractérisées par pX1(u)
et pX2(v). Calculer la densité de probabilité de Y=X1+X2
Changement de variables, Exemple, pdf de X1+X2
)(*)()(
)().(),(
,)(
, : marginales ésProbabilit
)().(),( : aon tesindépendanétant X2et X1
),( ),(.1),(
2121
112211112121
1212,122221
1212,122
1221112121
12121121212121
vpvpvp
dvvvpvpdvvvvp
dvvvpvpvp
dvvvpvp
vvpvpvvvp
vvvpvvvpvvp
XXXX
XXXX
YYYXX
YYY
XXXX
XXXXYY
CNAM ELE 103 D. Roviras 145
Probabilités
Si X1 et X2 sont deux VA indépendantes
caractérisées par pX1(u) et pX2(v), alors la
densité de probabilité de la somme de ces
deux VA est égale à la convolution des
deux densités de probabilité
Densité de probabilité d’une somme de VA indépendantes
)(*)()( 2121 vpvpvp XXXX
CNAM ELE 103 D. Roviras 146
Probabilités
Changement de variables
X une VA continue uniformément
répartie entre [-1 ,+1] et Y= 2.X+3
-6 -4 -2 0 2 4 60
1000
2000
3000
4000
5000
6000Histogramme VA X et Y
X VA unif répartie entre [-1,+1]
Y=2.X+3
X = VA continue uniformément
répartie entre [-1, +1] et Y= X2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20
1
2
3
4
5
6
7
8x 10
4 Histogramme VA X et Y
X VA unif répartie entre [-1,+1]
Y=X.X
Programme Matlab : ELE103_VA_chgt_var
CNAM ELE 103 D. Roviras 147
Probabilités
Changement de variables
X = VA continue
uniformément répartie entre
[-1, +1] et Y= X3
X et Y= VA continue uniformément
répartie entre [-1, +1] et Z= X.Y
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20
2
4
6
8
10
12
14
16
18x 10
4 Histogramme VA X et Y
X VA unif répartie entre [-1,+1]
Y=X.X.X
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5x 10
4 Histogramme VA X et Z=X.Y
X VA unif répartie entre [-1,+1]
Z=X.Y
Programme Matlab : ELE103_VA_chgt_var
CNAM ELE 103 D. Roviras 148
Probabilités
Changement de variables
X1, X2, X3, VA continues
indépendantes uniformément réparties
entre [-1, +1] et Z=X1+X2+X3
X1, X2, VA continues indépendantes
uniformément réparties entre [-1, +1]
et Z=X1+X2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20
1000
2000
3000
4000
5000
6000Histogramme VA X et Z=X+Y
X VA unif répartie entre [-1,+1]
Z=X+Y
-3 -2 -1 0 1 2 30
1000
2000
3000
4000
5000
6000Histogramme VA X1 et Z=X1+X2+X3
X VA unif répartie entre [-1,+1]
Z=X1+X2+X3
Programme Matlab : ELE103_VA_chgt_var
CNAM ELE 103 D. Roviras 149
Théorème de la limite centrale
Probabilités
La distribution statistique de la somme de n VA
indépendantes et de même loi tend vers la loi
Normale quand n tend vers l’infini
• Illustration de la tendance vers la loi normale avec Matlab:ELE103_Illustrtion_limite_centrale.m
Les bruits physiques sont souvent
Gaussiens à cause du théorème de la
limite centrale
Programme Matlab : ELE103_Illustration_limite_centrale.m
CNAM ELE 103 D. Roviras 150
Théorème de la limite centrale
Probabilités
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-3
-2
-1
0
1
2
3Bruit résultant de la somme des N signaux indépendants (b) et signal individuel (r)
Signaux indépendants et uniformément répartis entre -0.5 et +0.5
Somme de N=10 signaux (bleu)
-6 -4 -2 0 2 4 60
2000
4000
6000
8000
10000
12000Histogramme de la somme des N signaux indépendants
Programme Matlab : ELE103_Illustration_limite_centrale.m
CNAM ELE 103 D. Roviras 151
Théorème de la limite centrale
Probabilités
Signaux indépendants avec fréquence et phase aléatoire
Somme de N=10 signaux (bleu)
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-8
-6
-4
-2
0
2
4
6Bruit résultant de la somme des N signaux indépendants et signal individuel (r)
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000Histogramme de la somme des N signaux indépendants
Programme Matlab : ELE103_Illustration_limite_centrale.m
CNAM ELE 103 D. Roviras 152
Théorème de la limite centrale
Probabilités
Signaux indépendants avec suite de +1 et -1 aléatoires
Somme de N=10 signaux (bleu)
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8Bruit résultant de la somme des N signaux indépendants et signal individuel (r)
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100
1000
2000
3000
4000
5000
6000Histogramme de la somme des N signaux indépendants
Programme Matlab : ELE103_Illustration_limite_centrale.m