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CNAM ELE 103 D. Roviras 1

CNAM

Bases de Traitement du Signal

ELE 103, Partie III (draft version)

D. [email protected] : 01 40 27 25 67Accès 11, 2 ème étage(version 9)


Sommaire :

1. Introduction

2. Rappels sur le filtrage (C1)

3. Rappels sur la Série de Fourier et la Transformée de Fourier (C2 C3)

4. Signaux déterministes à énergie finie (C4)

5. Signaux déterministes à puissance finie (C4)

6. Introduction aux probabilités (C5 C6 C7)

7. Signaux aléatoires (C8 C9 C10)

8. Filtrage des signaux aléatoires (C11)

9. Signaux bande étroite (C12 C13)

10. Modulations (C14 C15)


Signaux bande étroite

1. Propriétés dans le cas déterministe2. Propriétés dans le cas aléatoire

Signaux aléatoires


X(f)=XA(f+fp)

Sx(f)=SxA(f+fp)

XA(f)=2.X+(f)

Signaux Bande Etroite

X(f)

X+(f)X-(f)

f0 fp-fp

SxA(f)=4.Sx+(f)

Sx(f)

Sx+(f)Sx-(f)

f0 fp-fp


XA(f)=2.X+(f)

(t)xj.x(t) x(t)(t)=x

Soit x(t)

A ˆde Analytique Signal

étroite bande signalun

+=

[1]


X(f)

X+(f)X-(f)

f0 fp-fp

)(.)(1

*)()(2

)(2

1*)(.2)( txjtx

ttxjtx

t

jttxtxA

)+=

+=

+=ππ

δ

quenceité de frééchelon unavec U(f)fUfXfXfXA === + )().(2)(2)(


(1)


*x(t)π.t

(t)x

)ert de x(te de HilbTransformé(t)x

1ˆ

ˆ

=

=

( ) ( ) )(2

)()( fsignefXPhasefXPhaseπ−=

)

(2)

(3)

)()( fXfX)

=

(t)xj.x(t) x(t)(t)=x

Soit x(t)

A ˆde Analytique Signal

étroite bande signalun

+=


(6)

(4)

(5)


[ ][ ][ ]πjfpt)((t).x(t)x

πjfpt)((t).xx(t)

jfpttx x(t)(t)x

fp)(f.Xfp)(fX(f)X

A

A

2exp~Im

2exp~Re

)2exp()(de complexe Enveloppe~2

~

=⇒

=⇒

−==+=+= +

)

π

[ ]πjfpt)((t).xx(t) 2exp~Re=

fp)(f.Sfp)(fS(f)S

fp)(f.Xfp)(fX(f)X+xxx

A

A+=+=

+=+= +

4

2~

~


fp)(fSfp)(fS(f)S(f)S

fp)]-(-fS+ fp)-(f.[S4

1=(f)S

fp)]-(-fX~

+fp)-(fX~

.[2

1=X(f)

bas".-passe" typede réelsSignaux (t) a(t), (t),x(t),x

(t)) +.fp.t (2. .cos a(t) = x(t)

.fp.t)(2.sin (t)x-.fp.t)(2. cos (t) x= x(t)

)](.exp[).((t)j.x(t)complexe Signal(t)x~

-x

+xxx

x~x~x

*

qp

qp

qp

qp−++==

=+==

ϕϕπ

ππϕ tjtax


(7)

(8)



Comment calculer des enveloppes complexes ?

1. On peut calculer X(f), XA(f), XA(f+fp) et xA(t) par TF-1

2. SI LE SIGNAL x(t) EST BANDE ETROITE :On pourra comparer (7) ou (8) avec l’expression de x(t)

et déterminer les signaux xp(t), xq(t) ou bien a(t) et φφφφ(t)

Exemple d’un signal m(t) de bande B multiplié par un cosinus à la fréquence fp avec fp>>B



[ ]πjfpt)((t).xx(t) 2exp~Re=

)2sin()()2cos()( πfpttxπfpttxx(t) qp −=

fp)(fSfp)(fS(f)S(f)S

fp)]-(-fS+ fp)-(f.[S4

1=(f)S

-x

+xxx

x~x~x

qp−++==


Filtre passe-bas équivalent

h(t) s(t)x(t)Signal BandeEtroite autour de fp Passe-bande

autour de fp

)(~

.2

1)()(H

équivalent baspasse filtre avec ~~ ,ˆˆ ,

PBE fHfpfHf

(t)h(t)(t)*hx(t)s

(t)*h(t)x(t)s(t)*h(t)x(t)s)* h(t)s(t) = x(t

PBEPBE

AA

=+=

−====

+

)(~.

2

1th(t)hPBE =


Chaîne de transmission passe-bas équivalente

m(t)

cos( 2.π.fp.t)

h(t)

Passe-Bandecentré sur fp

v(t)

cos (2.π.fp.t)

e(t)s(t)z(t)y(t)

Passe-Bas

g(t)

Passe-Bas

x(t)

On peut écrire : y(t)=v(t)*h(t) mais cela ne donne pas, en général, d’expression intéressante

On peut écrire :

ce qui donnera une expression intéressante

== )(~

2

1*)(~)(*)(~)(~ thtvthtvty PBE



~h(t) h (t) j. h (t)

H (f) = H (f fp) H ( f fp)

p q

p*

= +

+ + − ++ +

m(t) s(t)1/4 hp(t) e(t)g(t)

m(t)

cos( 2.π.fp.t)

h(t)

Passe-Bandecentré sur fp

v(t)

cos (2.π.fp.t)

e(t)s(t)z(t)y(t)

Passe-Bas

g(t)

Passe-Bas

x(t)



m(t) CodeurI/Q

+-

x(t)H(f)

Passe-bande

cos (2.π.π.π.π.fp.t)

sin (2.π.π.π.π.fp.t)

Ι(Ι(Ι(Ι(t)

Q((((t)

e(t)sI(t)

e(t)sQ(t)

y(t)

Modulateur Canal Démodulateur


-sin (2.π.π.π.π.fp.t)

Passe-bas

g(t)

g(t)

Passe-bas



m(t) CodeurI/Q

I(t)

Q(t)

hp(t)/4

SI(t)

SQ(t)e(t)

e(t)+

++

-

+

+

hq(t)/4

hq(t)/4

hp(t)/4

g(t)

g(t)



e(t)sI(t)

e(t)sQ(t)


sin (2.π.π.π.π.fp.t)

+

n(t) No/2BRUIT ADDITIF

e(t)sI(t)

e(t)sQ(t)

+

+

nQ(t) No/4

nI(t) No/4

Bruits sur I et QIndépendants


Application aux modulations

1. Modulations d’amplitude2. Modulations angulaires3. Performances des modulations4. Architecture d’un récepteur


Modulations d’amplitude

1. Modulation d’amplitude avec porteuse2. Modulation d’amplitude sans porteuse3. Modulation BLU


Modulations d'amplitude

Soit m(t) un signal aléatoire de Densité Spectrale de Puissance (DSP) Sm(f), et de bande [-B, +B]

Cas général

f-B +B

Sm(f)

0

m(t)signalmodulant Up.cos(2.π.fp.t) avec fp>B

s(t), signal modulé en amplitude

1


Modulations d'amplitude

( )fp)Sm(ffp)Sm(fUp

Ss(f)

Up.m(t)(t)s

−++=

=

4

~

2

Ss(f)

ffp-fp 0

2.B

Up2/4


Modulations d'amplitude avec et sans porteuse

m(t) a une valeur moyenne non nulle: une raie en f=0 sur Sm(f), donc une raie en fp et -fp sur Ss(f)On parle de modulation d'amplitude avec porteuse (AM+P) ou DSB (Double Side Band)

Ss(f)

ffp-fp 00

Sm(f)

m(t) a une valeur moyenne nulle: pas de raie en f=0 sur Sm(f), donc pas de raie en fp et -fp sur Ss(f)On parle de modulation d'amplitude sans porteuse (AM-P) ou DSB-SC (Double Side Band- Suppressed carrier)

Ss(f)

ffp-fp 00

Sm(f)



Démodulation synchrone

Dans les deux cas, AM-P et AM+P on peut faire de la démodulation synchrone:

s(t):m(t).cos(2.π.fp.t + φo)

Up.cos(2.π.fp.t + φo)

signal démodulé

Passe-basmêmefréquenceet phase !!

|H(f)|

f+B-B 0

1



Démodulation par détection d'enveloppe

0

000

exp~

≥==

)(t) si m(t égale à me a(t) estL'envelopp

si m(t)< ou bien π si m(t)>(t)= et m(t)a(t)

(t)) (j.(t).Up.m(t)= a(t)s

ϕϕ

• On pourra faire de la détection d'enveloppe si le signal modulant, m(t), est toujours positif ou nul.• Ce type de démodulation n'est valable qu'en AM+P• Si le signal à transmettre est centré, il faudra rajouter une composante continue avant la modulation par le cosinus afin d'avoir un signal modulant positif ou nul




Tracé de v(t) en fonction de s(t) en supposant que la diode est idéale (circuit ouvert si Vd<0 et court circuit si Vd>0)

s(t)=m(t).cos(2.π.fp.t)

v(t)R C

Vd

m(t)

s(t)

t

v(t)




s(t)=m(t).cos(2.π.fp.t) v(t)Détecteurd'enveloppe

s(t)=m(t).cos(2.π.fp.t) v(t)NL PasseBas

s(t)=m(t).cos(2.π.fp.t) v(t)PasseBas



• Détection d'enveloppe très simple• Rendement faible en AM+P car beaucoup de puissance dépensée dans la porteuse

⇒ Rendement = 33% si m(t) est un sinus⇒ Rendement =10% si m(t) est centré et gaussien et si on veut une bonne démodulation dans 99.9% des cas.

ηπ

=Puissance dépensée à amplifier m(t).cos(2. . fp. t)

Puissance totale consommée

� Démodulation synchrone difficile (reconstitution de la porteuse)

� Dans les 2 cas, la bande occupée est de 2.B


Modulation à Bande Latérale Unique (BLU)

SSB (Single Side Band)Pourquoi SSB : économie de la moitié de la bande occupée par le signal modulé

m(t)

Up.cos(2.π.fp.t)

s(t) BLUSuppression d'une des bandes latéralespar filtrage passe bande

y(t)

Sy(f)

ffp-fp 0

Up2/4

0

Sm(f) 1

Sm-(f) Sm+(f)

Ss(f)

ffp-fp 0

Up2/4

B

BLU-Sup


Modulation à Bande Latérale Unique (BLU)Ss(f)

ffp-fp 0

Up2/4 BLU-Sup

( )

( )

( )

( )

)(.2

)(~ )(.4

)(~

)(~)(~.4

1)(

)()(.16

)(

)(.4

1)(

)()(.4

)(

)()(.4

)(

2

2

2

2

tmUp

tsfSmUp

fsS

fpfsSfpfsSfSs

fpfSmfpfSmUp

fSs

fSmfSm

fpfSmfpfSmUp

fSs

fpfSmfpfSmUp

fSs

AA

AA

A

=⇒=

−−+−=

−−+−=

=

−−+−=

++−=

+

++

−+

(Propriété signaux bande étroite)



( )( )

( )

( ) Inf-BLU )...2sin().()...2cos().(.2

)(

Sup-BLU )...2sin().()...2cos().(.2

)(

)....2exp().(~Re)(

)(.)(.2

= )(.2

)(~

tfptmtfptmUp

ts

tfptmtfptmUp

ts

tfpjtsts

tmjtmUp

tmUp

ts A

ππ

ππ

π

)

)

)

+=⇒

−=⇒

=

+=

m(t)Up.cos(2.π.fp.t)

Up.sin(2.π.fp.t)Filtre de

Hilbert

ΣΣΣΣ BLU

)(ˆ tm



• Démodulation BLU : démodulation synchrone• Avantage BLU: Bande occupée par le signal modulémoitié moins grande qu'en AM• Problème BLU: il faut un certain espacement entre les bandes inférieures et supérieures pour réaliser de la BLU (comme avec des signaux de parole)

• Remarque: la BLU n'est pas à proprement parler une modulation d'amplitude

Exemple:m(t)=cos(2.ππππ.fm.t)BLU-Sup: s(t) =cos(2.ππππ.(fp+fm).t), l'information n'est pas contenue dans l'amplitude de la porteuse mais dans sa phase


Démodulation synchrone de AM-P et BLU

Influence d'une erreur de phase en démodulation synchrone

s(t) AM-Pou BLU

cos(2.π.fp.t + φ)

v(t) signal démodulé

Passe-basy(t)

AM P s t m t fp t v tm t

− = =: ( ) ( ).cos( . . . ) ( )( )

.cos( ) 22

π φ

BLU s t m t fp t m t fp t

v tm t m t

: ( ) ( ).cos( . . . ) $ ( ).sin( . . . )

( )( )

.cos( )$ ( )

.sin( )

= ±

= ±

2 2

2 2

π π

φ φ



Influence d'une erreur de phase en démodulation synchrone

).fm.t.cos(2.2

1= v(t)2sinˆ

.fm.t)cos(2.=m(t) :rparticulie Cas

)sin(.2

)(ˆ)cos(.

2

)()( :

φππ

π

φφ

±⇒

±=

.fm.t).((t)=m

tmtmtvBLU

Dans le cas d'une transmission de parole, toutes les composantesspectrales vont subir une rotation de phase de ΦΦΦΦ. Comme l'oreille humaine n'est pas très sensible à la phase des composantes spectrales on pourra faire de la démodulation synchrone avec une erreur de phase dans le cas de la BLU.



Influence d'une erreur de fréquence en démodulation synchrone :

s(t) AM-Pou BLU

cos(2.π.(fp+∆f).t)

v(t) signal démodulé

Passe-basy(t)

AM P s t m t fp t v tm t

f t− = =: ( ) ( ).cos( . . . ) ( )( )

.cos( . . . ) 22

2π π ∆

BLU s t m t fp t m t fp t

v tm t

f tm t

f t

: ( ) ( ).cos( . . . ) $ ( ).sin( . . . )

( )( )

.cos( . . . )$ ( )

.sin( . . . )

= ±

= ±

2 2

22

22

π π

π π∆ ∆



Influence d'une erreur de fréquence en démodulation synchrone :

Cas particulier: m(t) = cos(2. .fm.t)

v(t) =1

2.cos(2. .(fm f). t)

π

π$ sinm(t)= ( .p.fm.t)2 ⇒ ± ∆

Dans le cas d'une transmission de parole, toutes les composantesspectrales vont subir une translation de ∆∆∆∆f. Si cette translation est faible (inférieure à quelques Hz) le signal de parole est toujours compréhensible. On peut donc faire de la démodulation synchrone avec une faible erreur de fréquence dans le cas de la BLU.

BLU v tm t

f tm t

f t: ( )( )

.cos( . . . )$ ( )

.sin( . . . ) = ±2

22

2π π∆ ∆


Modulations angulaires

1. Principe des modulations angulaires2. Spectre d’une modulation FM3. Principe du démodulateur FM



Soit m(t) un signal aléatoire de Densité Spectrale de Puissance (DSP) Sm(f), et de bande [-B, +B]

Cas général

f-B +B

Sm(f)

0

m(t)signalmodulant

s(t), signal modulé en fréquence ou phase

1

ModulateurFM ou PM



s t Up fp t t t fct m t( ) .cos( . . . ( )), ( ) ( ( ))= + =2 π φ φ

Modulation de fréquence (FM)

s t Up fp t K m u duf

t

( ) .cos( . . . . . . ( ). )= +−∞∫2 2π π

Modulation de phase (PM)

s t Up fp t K m tp( ) .cos( . . . . ( ))= +2 π


Modulation de fréquence

m(t)Oscillateur Contrôlé enTension (VCO)porteuse= fpgain en Hz/V = Kf

s(t)=Up.cos(Φi(t))

φ ω π

φ π π φ

π π φ

i i

t

i

t

i f

i f

t

f

t

t u du f u du

avec f t fp K m t

t fp t K m u du

s t Up fp t K m u du

( ) ( ). . . ( ).

( ) . ( )

( ) . . . . . . ( ).

( ) .cos . . . . . . ( ).

= =

= +

= + +

= + +

−∞ −∞

−∞

−∞

∫ ∫

∫

∫

2

2 2

2 2

0

0


Modulations angulaires FM et PM

Un même signal s(t) en modulation angulaire peut être vu comme le signal m(t) modulé en FM ou comme l'intégrale de m(t) modulée en PM.Dans la suite nous étudierons la modulation FM sachant que les résultats obtenus sont valables pour la PM.

m(t) Modulateur FMVCO, fp, Kf

s(t) signal modulé en FM

m(t) Modulateur PMfp, Kp=2.ππππ.Kf

s(t) signal modulé en FMIntégrateur

−∞∫t


Allure temporelle d'un signal FM

Signal modulant: m(t), Signal modulé en FM: s(t)

0 100 200 300 400 500 600 700-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

m(t)


Allure temporelle d'un signal PM

Signal modulant: m(t), Signal modulé en PM: s(t)

0 100 200 300 400 500 600 700-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

m(t)

dm(t)/dt


Spectre d'une modulations FM

( )( )

s t Up fp t t Up j fp t j t

s t Up j fp t j t

s t Up j fp t j tj t

n

n

( ) .cos( . . . ( )) .Re exp( . . . . . ( )

( ) .Re exp( . . . . ).exp( . ( ))

( ) .Re exp( . . . . ). . ( ) ...( . ( ))

!

= + = + =

= =

= + + +

2 2

2

2 1

π φ π φ

π φ

π φφ

Au vu de l'expression précédente, on ne peut pas donner, dans le cas général, une expression analytique de Ss(f) en fonction de Sm(f).

On peut dire, néanmoins, que Ss(f) aura un support infini du fait des termes ΦΦΦΦ(t)n.


Modulations FM dans le cas où m(t) est harmonique

( )

m t Um fm t

s t Up fp t K m u du

s t Up fp tK Um

fmfm t

s t Up fp t fmt

f

t

f

( ) .cos( . . . )

( ) .cos( . . . . . . ( ). )

( ) .cos . . ..

.sin( . . . )

( ) .cos . . . .sin( . . . )

=

= + =

= +

=

= +

−∞∫

2

2 2

2 2

2 2

π

π π

π π

π δ π

( )~( ) .exp . .sin( . . . )s t Up j fm t= δ π2

L'enveloppe complexe de s(t) est périodique, elle peut donc être développée en série de Fourier



( )

( )

( )( )

~( ) .exp . .sin( . . . )

~( ) . .exp( . . . . )

. exp . .sin( . . . ) .exp( . . . . . )

. exp . .sin( . . . ) . . . .

.

.

.

.

s t Up j fmt

s t Up Sk k fmt

Sk fm j fm t j k fm t dt

Sk fm j fm t k fmt dt

k

k

fm

fm

fm

fm

= =

=

= − =

= − =

=−∞

=+∞

−

+

−

+

∑

∫

∫

δ π

π

δ π π

δ π π

2

2

2 2

2 2

12

12

12

12



( )( )

( )( )

Sk fm j fm t k fm t dt

posons fmt v

Sk j v k v dv Jk

Jk

fm

fm

= − =

= ⇒

= − =

−

+

−

+

∫

∫

. exp . .sin( . . . ) . . . .

. . .

.. exp . .sin( ) . ( )

( ):

.

.

δ π π

π

π δ δ

δδ

π

π

2 2

2

1

2

12

12

Fonction de Bessel de première espèce

d' ordre k et d' argument

~( ) . ( ).exp( . . . . )s t Up Jk k fmtk

k

==−∞

=+∞

∑ δ π2



( )

~( ) . ( ).exp( . . . . )

( ) Re ~( ).exp( . . . . )

( ) . ( ).cos( . .( . ). )

s t Up Jk k fmt

s t s t j fp t

s t Up Jk k fm fp t

k

k

k

k

=

= ⇒

= +

=−∞

=+∞

=−∞

=+∞

∑

∑

δ π

π

δ π

2

2

2

Signal FM avec signal modulant harmonique

δδδδ=indice de modulation=∆∆∆∆f/fm



[ ]

s t Up Jk k fm fp t

Ss fUp

Jk f fp k fm f fp k fm

k

k

k

k

( ) . ( ).cos( . .( . ). )

( ) . ( ) . ( . ) ( .

= +

= + + + − −

=−∞

=+∞

=−∞

=+∞

∑

∑

δ π

δ δ δ

2

4

22

Du fait des propriétés des fonctions de Bessel, le spectre de s(t) est:

• un spectre de raies,• symétrique autour de fp,• décroissant à mesure que l'on s'éloigne de fp


Modulations FM : Fonctions de Bessel

Propriétés des fonctions de Bessel

( ) ( )J u J u J u J u

J uu

kJ u J u

J u J u J u

k

kk

k kk

k

k k k

kk

k

kp

p

pk

k

k

J

( ) . ( ) ( ) . ( )

( ).

( ( ) ( ))

( ) . ( ). ( )

lim ( )

= − = − −

= +

= =

=

−

− +

=−∞

=+∞

=−∞

=+∞

=−∞

=+∞

→+∞

∑ ∑∑

1 1

2

1 1

0

1 1

2

δ

Les fonctions de Bessel sont tabuléesFonctions réelles


Modulations FM : Fonctions de Bessel

Exemple de fonctions de Bessel:

0 4 8 12 16 20-0.5

0

0.5

1

δ

k=0 k=2 k=3k=1 k=4 k=5



Exemple de spectre d'un signal FM avec signal modulant sinusoïdal

m(t)=Um.cos(2.ππππ.fm.t)δδδδ=5

fp

Signaux m(t) et s(t) DSP de s(t)


Largeur spectrale d'un signal FM

Spectre pour différents indices δ, δ=δ, δ=δ, δ=δ, δ=∆∆∆∆f/fm avec fm=cte

δ=0.2

δ=1

δ=5

δ=10

La largeur de bande considérée contient 98% de la puissance totale du signal



Spectre pour différents indices δ, δ=δ, δ=δ, δ=δ, δ=∆∆∆∆f/fm avec ∆∆∆∆f=cte

δ=0.2

δ=1

δ=5

δ=10

La largeur de bande considérée contient 98% de la puissance totale du signal



Pour fm=constante

La Bande augmente si δδδδ augmente c.a.d. si ∆∆∆∆f augmenteBande FM=K.∆∆∆∆f

Pour ∆∆∆∆f=constante

La Bande diminue si δδδδ augmente c.a.d. si fmdiminue Bande FM=K.fm

Bande empirique de Carson:

Bande FM=2.(∆∆∆∆f+fm)=2.(δδδδ+1).fm


Modulation FM: Bande avec signal modulant quelconque

modulant signaldu maximale fréquencefmax

)(.

fp àrapport par éeinstantann fréquence la de maximalEcart f avec

max modulation de Indice

max

=

=∆=∆

∆==

tmKf

f

f

f

δ

Bande empirique de Carson:

Bande FM = 2.(∆∆∆∆f+fmax)


Démodulation FM

m(t)∆∆∆∆v

s(t)∆∆∆∆f

Modulateur FM

v(t)Κ.∆Κ.∆Κ.∆Κ.∆v

Démodulateur FM

Objectif du démodulateur: Donner une information en sortie proportionnelle à une variation ∆∆∆∆f du signal d’entrée

Plusieurs techniques:• Discriminateur• Boucle à Verrouillage de Phase (Phase Locked Loop PLL)


Démodulation FM: Discriminateur

m(t)∆v

s(t)∆f

Modulateur FM, Kf

s(t)∆f

y(t)Filtre linéaire, H(f)

fp

|H(f)|

GoPente K1



+∆+∆+∆+∆v1

−−−−∆∆∆∆v2

Signal m(t)

Signal s(t) fp fp + Kf.∆∆∆∆v1 fp - Kf.∆∆∆∆v2

fp

|H(f)|

Pente K1

fp + Kf.∆∆∆∆v1fp - Kf.∆∆∆∆v2

Gain Go

Gain= Go+K1.Kf.∆∆∆∆v1

Gain= Go-K1.Kf.∆∆∆∆v2



+∆+∆+∆+∆v1

−−−−∆∆∆∆v2

Signal m(t)

Signal s(t) fp fp + Kf.∆∆∆∆v1 fp - Kf.∆∆∆∆v2

Signal y(t)

Gain GoGain Go+K1.Kf.∆∆∆∆v1

Gain Go-K1.Kf.∆∆∆∆v2



Signal y(t)

Enveloppe de y(t) = m(t) + constante

s(t)FM

v(t)

Signaldémodulé

Filtre linéaire,H(f), module proportionnelà la fréquence

Détecteurd ’enveloppey(t)

Eliminationcomposante

continue



Cas particulier: démodulation par dérivation

Le dérivateur est un filtre particulier dont le module est proportionnel à la fréquence (H(f)=j.2.π.f)

possible envelopped'détection et PAM

0))(.( aon et )(.signal avec

.)(

))(.).(.2).((t)...2sin()(

).(...2(t) avec )(t)...2cos()(

+⇒

≥++=

=

=++−=

=+= ∫∞−

tmKfptmKfp

signalPorteusedt

tds

tmKfptfpdt

tds

duumKtfpts

ff

f

t

f

πφπ

πφφπ


Démodulation FM: PLL

Etude en quasi-statique: Hypothèse:

))..(.2cos()(

))..(.2cos()(

ϕππ

∆+∆+=∆+=

tffpto

tffpts

Filtrede Boucle

VCOfp

gain Hz/V = Ko

Signalmoduléen FM

s(t)

Signaldémodulé

v(t)

Multiplieur

o(t)

e(t)


Démodulation FM: PLL en quasi-statique

2)cos(2

1)(

)...2cos(.21)cos(2

1)().()(

0)(0v(t)

0v(t) )...2cos()(

)...2cos()(

0 0)(

πϕϕ

ϕπϕ

ϕππ

=∆⇒∆=

∆++∆==

=⇒=

=⇒∆+==

=∆⇒=

te

tfptotste

te

tfpto

tfpts

ftm

1er cas: m(t)=0



20

Ko

f)cos(2

1)(

Ko

f)(

.

Ko

fv(t)

Ko

fv(t) ))..(.2cos()(

))..(.2cos()(

0. 0)(

πϕϕ

ϕπ

π

<∆⇒>∆=∆=

∆=⇒∆

=∆=

∆=⇒∆+∆+=

∆+=

>∆=∆⇒>∆=

te

teKo

vK

tffpto

tffpts

vKfvtm

f

f

2ème cas: m(t)=∆∆∆∆v >0



20

Ko

f)cos(2

1)(

Ko

f)(

.

Ko

fv(t)

Ko

fv(t) ))..(.2cos()(

))..(.2cos()(

0. 0)(

πϕϕ

ϕπ

π

>∆⇒<∆=∆=

∆=⇒∆−

=∆=

∆=⇒∆+∆+=

∆+=

<∆−=∆⇒<∆−=

te

teKo

vK

tffpto

tffpts

vKfvtm

f

f

3ème cas: m(t)=-∆∆∆∆v <0


Démodulation FM: PLL en quasi-statiquef∆

v∆π/2

Pente KfPente Ko

)()( tets ∆=∆

ϕ∆0π


Démodulation FM: PLL dynamique

Filtrede Boucle

VCOfp

gain Hz/V = Ko

Signalmoduléen FM

s(t)

Signaldémodulé

v(t)o(t)

e(t)

H1(f)

H2(f)

m(t) v(t)

r(t)

εεεε(t)+

-


Démodulation FM: PLL dynamiqueComparateur de phase

h(t)(t))2-(t)1.(2

.v(t)

h(t)(t))2-(t)1sin(.2

.)(e(t)v(t)

h(t))2

-(t)2-(t)1cos(.2

.)(e(t)v(t)

)2

(t)2(t)1cos(.2

. )

2-(t)2-(t)1cos(.

2

.)(

)2

(t)2cos(.)(

).(...2...2(t) avec )(t)1cos(.)(

∗≈

∗=∗=

∗=∗=

+++=

+=

+== ∫∞−

φφ

φφ

πφφ

πφφπφφ

πφ

ππφφ

UoUs

UoUsth

UoUsth

UoUsUoUste

Uoto

duumKtfpUstst

f


Démodulation FM: PLL dynamiqueModèle du comparateur de phase

h(t)(t))2-(t)1.(2

.v(t) ∗≈ φφUoUs

Φ1(t)

Φ2(t)

+

-

Kd=Us.Uo/2

Filtre passe bas

H(f)v(t)


Démodulation FM: PLL dynamiqueModèle du VCO

o t Uo fp t Ko v u du Uo t

t fp t Ko v u du

t

t

( ) .cos . . . . . . ( ). .cos( ( ) )

( ) . . . . . . ( ).

= +

= +

⇒ = + −

−∞

−∞

∫

∫

2 2 22

2 2 22

π π φπ

φ π ππ

Φ2(t)+Intégrateur

G(f)=1/ j.2.π.f v(t)

+-

π/22.π.fp.t

2.π.Ko



Modèle complet de la PLL

Φ2(t)

2.π.fp.t

Φ1(t) +

-

Kd=Us.Uo/2

Filtre passe bas

H(f)v(t)

-

++

IntégrateurG(f)=1/ j.2.π.f

π/2

2.π.Ko



s t Us fp t K m u du Us t

t fp t K m u du

f

t

f

t

( ) .cos . . . . . . ( ). .cos( ( ))

( ) . . . . . . ( ).

= +

=

⇒ = +

−∞

−∞

∫

∫

2 2 1

1 2 2

π π φ

φ π π

Entrée de la PLL

+IntégrateurG(f)=1/ j.2.π.f

m(t)+

2.π.fp.t

2.π.Kf


Démodulation FM: PLL dynamiqueModèle complet de la PLL

Φ2(t)

2.π.fp.t

+

-

Kd=Us.Uo/2

Filtre passe bas

H(f) v(t)

-

+ +Intég.

1/j.2.π.f

π/2

+

+

2.π.fp.t

2.π.Kf

Intég.1/j.2.π.f

m(t)

2.π.Ko

Φ1(t)


Démodulation FM: PLL dynamiqueModèle complet de la PLL

Φ2(p)

+

-Kd.H(p) V(p)

Ko.2.π/p

2.π.Kf /pM(P)Φ1(p)



)(.)(..2..

)(....2)(

)(...2

.).(.1

)(.)(1.

.2.).(.1

)(.)(

pMpHKoKdp

pHKdKpV

pMp

K

pHKd

pHKdp

p

KopHKd

pHKdpV

f

f

+=

+=

+=

ππ

πφπ

bas-passe typede Système ...2

)(..2..

...2)(

1)(

⇒=

+=

=

KdK

pMKoKdp

KdKpV

pH

fc

f

πωπ

π



surtension avec ordre 2èmedu bas-passe Système

)(..2...

...2)(

.1

1)(

2

⇒

++=

+=

pMKoKdpp

KdKpV

ppH

f

πτπ

τ


Démodulation FM: Autre solution

Filtre linéaire, H(f)

fp

Phase(H(f))

π/2

Pente -K1

f

m(t)∆∆∆∆v

ModFMKf

H(f)s(t) v(t) y(t)

signaldémodulé

w(t)


Démodulation FM: Autre solution

v.K1.K.2

1fK1..

2

1f)K1.sin(.

2

1f)K1.-

2cos(.

2

1y(t)

f)K1.-2

cos(.2

1f)K1.-

2)..(.4cos(.

2

1w(t)

f)K1.-2

)..(.2cos()(

avec ))..(.2cos()(

f ∆=∆≈∆=∆=

∆+∆+∆+=

∆+∆+=

∆=∆∆+=

π

πππ

ππ

π

tffp

tffptv

vftffpts

m(t)∆∆∆∆v

ModFMKf

H(f)s(t) v(t) y(t)

signaldémodulé

w(t)


Performances des modulations

1. Performances des modulations d’amplitude2. Performances des modulations FM


Performance des modulations

m(t)Bande[-B +B]

ModAM+PAM-PBLUFM

Canal detransmission

C(f)=1

s(t)

y(t)signal

démodulé

Puissance émise= PeBande=Bo n(t) BBGC

DSP=No/2Emetteur Canal

H1(f)Filtre passe bande

Bande B1centrée sur f1

H2(f)Filtre passe basBande [-B +B]

Démod.AM+PAM-PBLUFMRécepteur

v(t)w(t)

u(t)


Performance des modulations: AM-P

BNofSnfSn

tfptntfptntn

tn

tntstv

fH

tntstu

BBoUpPm

Pe

fpfSmUp

fpfSmUp

fSs

tfpUptmts

qp

qp

<==

−=⇒

+=⇒

+=

==⇒

−++=

=

f pour )()(

)...2sin().()...2cos().()(

étroite bande Processus :)(

)()()(

1=gain fp, deautour centrée 2.B=B1 Bande bande, Passe:)(

)()()(

.2et 2

.

)(.4

)(.4

)(

)...2cos().()(

11

111

1

1

1

2

22

ππ

π


Performance des modulations: AM-P

BNo

Pe

BNo

PmUp

N

S

tntmUp

fH

PAM

p

...2

.

2

)(

2

)(.=y(t)

1=gain B,=B2 bas, Passe :)(

2

1

2

==

+⇒

−

( )

v t Up m t fp t n t fp t n t fp t

w t v t fp t

w tUp m t n t

fp tn t

fp t

p q

p q

( ) . ( ).cos( . . . ) ( ).cos( . . . ) ( ).sin( . . . )

( ) ( ).cos( . . . )

( ). ( ) ( )

. cos( . . . )( )

.sin( . . . )

= + −=

= +

+ −

2 2 2

2

2 21 4

24

1 1

1 1

π π ππ

π π


Performance des modulations: BLU

BNo

fSnfSn

tfptntfptntn

tn

tntstv

fH

tntstu

BBoPmUp

Pe

fpfSmUp

fpfSmUp

fSs

tfptmUp

tfptmUp

ts

qp

qp

<==

−=⇒

+=⇒

+=

==⇒

−+−=

−=

−+

f pour 2

)()(

)...2sin().()...2cos().()(


)(1)()(

1=gain b,+fpet fp entre B=B1 Bande bande, Passe:)(

)()()(

et 4

.

)(.4

)(.4

)(

Sup)-(BLU )...2sin().(ˆ.2

)...2cos().(.2

)(

11

111

1

1

2

22

ππ

ππ


Performance des modulations: BLU

BNo

Pe

BNo

PmUp

N

S

tntmUp

fH

BLU

p

...4

.

2

)(

4

)(.=y(t)

1=gain B,=B2 bas, Passe :)(2

2

1

==

+⇒

( )

s tUp

m t fp tUp

m t fp t

n t fp t n t fp t

w t v t fp t

w tUp m t n t

fp t

Up m t n t

p q

p

q

( ) . ( ).cos( . . . ) .$ ( ).sin( . . . )

( ).cos( . . . ) ( ).sin( . . . )

( ) ( ).cos( . . . )

( ). ( ) ( )

. cos( . . . )

. $ ( ) ( )

= −

+ −=

= +

+

− +

22

22

2 2

2

4 21 4

4 2

1 1

1

1

π π

π ππ

π

.sin( . . . )4 π fp t


Performance des modulations: FM

2f pour )()(

)...2sin().()...2cos().()(


)()()(

1=gain , fp deautour Bc=B1 Bande bande, Passe:)(1

)()()(

)(.K=f avec ).(2et 2

)).(...2...2cos(.)(

11

111

1

1

maxf

2

BcNofSnfSn

tfptntfptntn

tn

tntstv

fH

tntstu

tmBfBcBoUp

Pe

duumKtfpUpts

qp

qp

t

f

<==

−=⇒

+=⇒

+=

∆+∆===⇒

+= ∫∞−

ππ

ππ



v t Up fp t K m u du

n t fp t n t fp t

v t Up fp t t n t fp t n t fp t

fp t t

d t

dt

f

t

p q

p q

( ) .cos( . . . . . . ( ). )

( ).cos( . . . ) ( ).sin( . . . )

( ) .cos( . . . ( )) ( ).cos( . . . ) ( ).sin( . . . )

.cos( . . . ( ))

( ))

= +

+ −= + + −

+

−∞∫2 2

2 2

2 2 2

2

1 1

1 1

π π

π ππ ϕ π π

α π ψψ

Démodulateur FM:

entrée = (t)

sortie = Ko.

Objectif:

décomposer v(t) sous la forme: r(t).cos( . . . ( ))2 π θfp t t+



n1p .sin(ϕ(t))+n

1q .cos(ϕ(t))

Diagramme de Fresnel

ϕ(t) θ(t)

α(t)Up

n1p

n1q

ϕ(t)

ϕ(t)Up+n 1p

.cos(ϕ

(t))-n

1q.si

n(ϕ(t)

)

r(t)



( ) ( )r t Up n t t n t t n t t n t tp q p q( ) ( ).cos( ( )) ( ).sin( ( )) ( ).sin( ( )) ( ).cos( ( )= + − + +1 1

2

1 1

2

ϕ ϕ ϕ ϕ

αϕ ϕ

ϕ ϕθ ϕ α

θπ

α

( )( ).sin( ( )) ( ).cos( ( )

( ).cos( ( )) ( ).sin( ( ))

( ) ( ) ( )

( ) .( )

. . . . ( ) .( )

( )

t Arctgn t t n t t

Up n t t n t t

t t t

w t Kod t

dtKo K m t Ko

d t

dtw t

p q

p q

f

=+

+ −

= −

= =

=

1 1

1 1

2 -

signal + bruit



d t

dt

d

dtArctg

n t t n t t

Up n t t n t t

d t

dt

d

dtArctg

n t

Up n t

n t Up n

p q

p q

q

p

p

α ϕ ϕϕ ϕ

ϕ ϕ

α

( ) ( ).sin( ( )) ( ).cos( ( )

( ).cos( ( )) ( ).sin( ( ))

( ) ( )

( )

( )

=+

+ −

⇒

⇒ =+

⇒ <<

1 1

1 1

1

1

1

On peut calculer le bruit quelquesoit (t) (t) = 0

HYPOTHESE: Bruit filtré par H1(f) faible devant le signal:

et 1

1 1 11

q

q q q

t Up

d t

dt

d

dtArctg

n t

Up

d

dt

n t

Up Up

dn t

dt

( )

( ) ( ) ( ).

( )

<<

⇒ =

=

=

α



w t Ko K m tKo

Up

dn t

dtKo K m t n tf

q

f( ) . . . . ( ) .( )

. . . . ( ) ( )= − = +2 2 21π π

n1q(t)Dérivateur

G(f)=Ko/Up.(j.2.π.f) n2(t)

S fKo

Upj f S fn n q2

2

21

( ) . . . . . ( )= π

S fKo

Upf S fn n q2

2

2 241

( ) . . . . ( )=

π



S fKo

Upf S fn n q2

2

2 241

( ) . . . . ( )=

π

Sn1(f)

Sn1q(f)

BcNo/2

No

Sn2(f)

-Bc/2 +Bc/2

f

f

f



( ) ( )

.

...3

.2.

...3

.3

.2...4.

...2.

.)(...4.

...2.

fpour )(...4.)(

2

1=gain B],+ [-B entre bas Passe :H1(f) Filtre

)()(...2.)(

3

2

3

22

32

2

2

22

2

2

22

2

3

3

2

1

1

BNo

PePmK

BNo

PmKUp

N

S

BNo

Up

Ko

PmKKo

dffSfUp

Ko

PmKKo

N

S

BfSfUp

KofS

(t)n.m(t).p.Ky(t)=Ko.

tntmKKotw

ff

FM

f

B

B

n

f

FM

nn

f

f

q

q

==

=

=

<

=

+⇒

+=

∫+

−

π

π

π

π

π

π


Performance des modulations: Comparaison

.

...3

.

.

3

2

BNo

PePmK

N

S

BNo

Pe

N

S

BNo

Pe

N

S

f

FM

BLU

PAM

=

=

=

−

En Am-P et BLU la seule façon d'augmenter le S/N est d'augmenter la puissance émise

En FM on peut aussi augmenter le S/N en augmentant Kf ou Pm, ce qui revient à augmenter l'indice de modulation


Performance des modulations: Comparaison

...2

.3

..2

...3

2

avec .

...3

23

22

2

3

2

δBNo

Pe

BNo

PeMK

N

S

MPm

BNo

PePmK

N

S

f

FM

f

FM

==

==

Performance en FM entrée=M.sin(2.ππππ.fm.t)

L'augmentation du S/N en FM est proportionnelle à l'indice de modulation au carré


Effet de seuil en FM

En FM, le résultat établi précédemment n'est valable qu'avec l'hypothèse de bruit faible. Si le bruit en entrée du démodulateur n'est plus faible devant la puissance du signal on a un effet deseuil: diminution brusque du rapport S/N

Pe

S/N sortiedémodulateur

δδδδ1

δδδδ3>δδδδ2δδδδ2>δδδδ1

faible)(Bruit .

...33

2

BNo

PePmK

N

S f

FM

=


Préaccentuation / Désaccentuation

En FM, le bruit en sortie de démodulateur a une allure parabolique: Les hautes fréquences vont être plus perturbées que les basses fréquences.Pour combattre ce phénomène on peut faire de l'accentuation

m(t)Bande[-B +B]

Filtre passe haut ModulateurFM

signaldémodulé

DémodulateurFM

Filtre passe bas

-B +B

-B +B


Architecture d ’un récepteur


Architecture d'un récepteur

M(t)Signal

Multiplex

Filtre passe bande

sur fpi

Démodulateursur fpi

Filtre passe basBande [-b +b]

Problème: Faire des filtres sélectifs avec fréquence centrale variableFaire un démodulateur avec fréquence de démodulation variable

1 2 i n

fpi

Multiplex fréquenciel SM(f)

f


Architecture d'un récepteur hétérodyne

M(t)Signal

Multiplex

Filtre passe bande

sur Fi

Démodulateursur Fi

Filtre passe basBande [-b +b]

Solution: Au lieu de déplacer le filtre sur la bande du multiplex on va déplacer le multiplex dans la fenêtre du filtre.Filtrage à fréquence fixe, appellée fréquence intermédiaire: FiDémodulation à fréquence fixe Fi

cos(2.ππππ.fOL.t)

v(t)


Récepteur super-hétérodyneM t a t f t t

v t M t f t

v t a t f t t f t

v ta t

f f t t

a tf f

k pk kk

n

OL

k pk kk

n

OL

kpk OL k

k

n

kpk OL

( ) ( ).cos( . . . ( ))

( ) ( ).cos( . . . )

( ) ( ).cos( . . . ( )).cos( . . . )

( )( )

.cos( . .( ). ( ))

( ).cos( . .( ).

= +

= =

= +

= − +

+ +

=

=

=

∑

∑

∑

2

2

2 2

22

22

1

1

1

π ϕ

π

π ϕ π

π ϕ

π t t

f f Fi

f f Fi f f Fi

f f Fi

kk

n

pi OL

OL pi OL pi

OL pi

+

⇒ ± − =⇒ = − = +

− ⇒ = +

=∑ ϕ ( ))

)1

(Termes HF)

on veut démoduler le signal d' indice i (

ou bien

Récepteur super hétérodyne


Récepteur hétérodyne: Problème de la fréquence image

fpi-fpi

FIFI FI FI

fOL-fOL

Pas deproblème



Problème !!

fpi-fpi



fp1fp1

B_MUX

2.FI

Pas de problème de fréquence image si: B_MUX < 2.FI


Exemples de multiplex en Radiodiffusion analogique

Modulation AM+P FM

Bande allouée

540-1600 KHz 88-108 MHz

Bande du signal modulant

3-5 KHz 15 KHz(mono) 53 KHz (stéréo)

Bande du signal modulé

6-10 KHz 200KHz

Fi 455 KHz 10.7 MHz

∆∆∆∆f -- 75 KHz

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