Circuits Courant Alternatif Monophase 21

LECON 1&2 : LES CIRCUITS A COURANT ALTERNATIF MONOPHASE

CHAPITRE 2 : LES CIRCUITS EN REGIME ALTERNATIF MONOPHASE 35

LES CIRCUITS A COURANT ALTERNATIF MONOPHASE

1 - Différents formes de courants (et de tension) Dans l'ensemble des formes de courants, nous pouvons effectuer une première partition :

- Les courants unidirectionnels, - Les courants bidirectionnels,

t

i

0

t

i

0 Courant unidirectionnel Courant bidirectionnel

Nous pouvons effectuer une seconde partition :

- Les courants périodiques, - Les courants non périodiques,

1.1 - Courant périodique Un courant est périodique si son intensité reprend la même valeur à intervalles de temps égaux,

t

i

T t2 t1

1.2 – Période la période d'un courant périodique est la durée constante qui sépare deux instants consécutifs où le

courant se produit identiquement à lui-même, La période est une durée (un temps), elle s'exprime en seconde, son symbole est T,

1.3 – Fréquence La fréquence (f) d'un courant périodique est le nombre de fois que le courant se produit identiquement à lui-même en une seconde,

⎪⎩

⎪⎨⎧

=hertz en f

seconde en T avec

T1 f

1.4 - Courant alternatif C'est un courant bidirectionnel et périodique dont la valeur moyenne est nulle, Les deux aires hachurées sont égales,



t

i

T 0

1.5 - Courant alternatif symétrique C'est un courant périodique dont la valeur moyenne est nulle, les deux aires hachurées sont égales

comme précédemment mais en plus elles sont superposables car les courbes A de la première demi période et B de la deuxième demi période sont identiques,

Ce sont les deux alternances du courant (A : alternance positive, B : alternance négative),

Si io est l'intensité du courant à l'instant t0, une demi-période plus tard, l'intensité est -i0,

t

i

T 0

A

B

2T

i0

-i0

2Tt0 +

t0

)i(t - )2T (ti 00 =+

1.6 - Courant sinusoïdal C'est un courant alternatif symétrique dont l'intensité est une fonction sinusoïdale de temps, Ce courant est le plus important, toute l'énergie électrique est produite sous cette forme,

t

i

T 0 2T

2 - Courant/Tension sinusoïdal Un courant (ou une tension) est alternatif sinusoïdal s'il varie en fonction du temps selon la loi

sinusoïdal, S'il s'agit d'une tension, elle a pour expression :



⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

ω

ϕ

=ϕ+ωϕ+ω=

s)rd( pulsation :

phase de originel' à rapport par déphasage :

(rd) einstantané phse t

(V) maximale amplitude : U

einstantané valeur : u(t)

: avec ) t( sin U )t(u

0

0

M

0M

On définit :

- La période T en seconde (s) avec : ωπ

=2T

- La fréquence f en Hz avec : πω

==2

T1 f

S'il s'agit d'un courant, il a pour expression : i(t) = IM sin (ωt +ϕ)

θ

i

0

u(θ)i(θ)

ϕ0 Δϕ

ϕ

Δϕ = ϕ - ϕ0 : est le déphasage entre le courant et la tension

3 - Valeurs moyennes et efficaces du courant sinusoïdal Soit : i(t) = IM sin ωt Intensité moyenne :

[ ] [ ] 0 1 - 1 2I- 0 cos Tcos

TI- t cos -

TI dt t sin I

T1 dt i(t)

T1 I MM

T

0

MT

0M

T

0moy =

π=−ω

ω=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

ωω

=ω== ∫∫

Intensité efficace :

2 I

2 1 I 0 )

2T2 sin

21 -

2T(

TI-

2

t2 sin - t 2.T2.I dt

2t2 cos - 1

T2.I dt t sin I

T2 dt (t)i

T2 dt (t)i

T1 I

IMeffM

2M

2T

0

2M2

T

0

2M2

T

0

22M

2T

0

2T

0

22eff

=⇒⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −ω

ω=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

ωω

=ω

=ω=== ∫∫∫∫

De même pour la tension : 2

U U ; 2

U U MMmoy ==

4 - Représentation de Fresnel 4.1 - Convention de Fresnel Soit le signal : ) t( sin S 2 ) t( sin S )t(S M ϕ+ω=ϕ+ω=



Ce signal peut être représenté par un vecteur OM de module S.2 placé par rapport à OX origine des phases, tel que ϕ= )OM,OX(

Le vecteur OM tourne avec une vitesse ω constante dans le sens trigonométrique,

ω

Y

X

M1 (t = t)

M (t = 0) ωt1+ϕ

ϕ

0

L'intérêt de la représentation de Fresnel c'est de séparer la partie temporelle (ωt) de la partie de phase (ϕ),

4.2 - Somme vectorielle de deux grandeurs sinusoïdales Soient deux grandeurs sinusoïdales : ) tsin( 2 S )t(S 111 ϕ+ω= de module 2S1 et de phase par rapport à l'origine ϕ1, ) tsin( 2 S )t(S 222 ϕ+ω= de module 2S2 et de phase par rapport à l'origine ϕ2,

ω

Y

X ϕ1

0

S1

S2

ϕ2 ϕ

S

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ϕ+ϕϕ+ϕ

=ϕ⇒ϕ+ϕϕ+ϕ

=ϕ•

ϕϕ++=ϕ+ϕ+ϕ+ϕ=•

ϕ+ω=+=

2211

2211

2211

2211

122122

21

22211

22211

2

21

cos S cos S sin S sin S arctg

cos S cos S sin S sin S tg : Phase

) - ( cos S2S S S ) cos S cos (S ) sin S sin (S S : Module

) t( sin 2S. (t)S (t)S )t(S

Application : Connaissant les expressions u1(t) et u2(t), trouver graphiquement celle de u(t) = u1(t) + u2(t),

avec : )2

- t( sin 212 )t(u et t sin 28 )t(u 21π

ω=ω= ; Echelle : 1 cm → 2 V



2U0

1U

U

ϕ ⏐ϕ⏐ = 56° ⇒ ⏐ϕ⏐ = 0,98 rd U = 14,4 V

0,98) - t( sin 2 14,4 )t(u ω= 5 - Représentation complexe A un signal ) t( sin 2S )t(S ϕ+ω= , on peut correspondre un nombre complexe S de module 2S et

d'argument ϕ,

S peut s'écrire : ⎪⎩

⎪⎨⎧

ϕ=

ϕ=ϕ+ϕ== ϕ

cos S )S( Réel

sin S )S( Im : avec ) sin j (cos 2S e 2S )t(S j ,

dont le module est la valeur efficace S et l'argument ϕ la phase de s(t), La pulsation ω ne figure pas dans les représentations complexes, mais il est sous entendu que toute

les fonctions sinusoïdales quelles représentent ont la même pulsation, 5.1 - Somme de deux grandeurs complexes

Soient deux grandeurs complexes :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ϕ+ϕϕ+ϕ

=ϕ⇒ϕ+ϕϕ+ϕ

=ϕ•

ϕ−ϕ++=⇒ϕ+ϕ+ϕ+ϕ=•

ϕ+ϕ+ϕ+ϕ=ϕ+ϕ==+=

ϕ+ϕ==

ϕ+ϕ==

ϕ

ϕ

ϕ

2211

2211

2211

2211

122122

21

22211

22211

2

22112211j

21

2222j

22

1111j

11

cos S cos S sin S sin S arctg

cos S cos S sin S sin S tg :Phase

)( cos SS 2 S S S ) sin S sin (S ) cos S cos (S S :Module

) sin S sin (S j ) cos S cos (S ) sin j (cos S e S S S S

) sin j (cos S e S S

) sin j (cos S e S S

6 - Loi d'ohm en alternatif 6.1 - Définition de l'impédance Z et de l'admittance Y L'impédance Z est le rapport de la tension appliquée au circuit par le courant qu'elle produit :

IUZ =

L'admittance est par définition : Z1

UI Y == en simens (s),



6.2 - Circuit purement résistif

phase sont tension la et courant le que déduit On

R) t( sin 2 U

i(t) i(t) r u(t) : ohmd' loi la aprèsD'

) t( sin 2 I )t(i

) t( sin 2 U )t(u

0

1

0

ϕ+ω=⇒=

⇒ϕ+ω=

ϕ+ω=

i(t)

Ru(t)

Δϕ = 0 car ϕ1 = ϕ2 et que Z = R, Donc : IR. UR =

0 I U

X

RU I =

6.3 - Circuit purement inductif Considérons une bobine d'inductance L et de résistance nulle,

ω=π

+π

ω=ω=ω

==

π+ϕ+ωω=ϕ+ωω==

ϕ+ω=

ϕ+ω=

π

ϕ

π+ϕ

L j )2

sin j 2

(cos L e L e 2 I

e 2 I L IU Z

)2

t( sin 2 IL ) t( cos 2 IL dtdiL u(t) : a On

) t( sin 2 I )t(i

) t( sin 2 U )t(u

2j

1j

)2

1j(

11

1

0

i(t)

L u(t)

On déduit que la tension est en quadrature avant avec le courant (2

π=ϕΔ ). Donc : I L j UL ω=

0 I

X

I L UL ω=

2π

Remarque : Une bobine idéale traversée par un courant continu (i(t) = cte), elle se comporte comme un court-

circuit (Z = 0 car (ω = 0), XL s'appelle réactance inductive avec : XL = Lω en Ω

6.4 - Circuit purement capacitif

e C1

Cj-

jC1

e 2 U C

e 2 U IU Z

)2

t( sin 2 UC ) t( cos 2 UC dtduC i(t) : a On

) t( sin 2 I )t(i

) t( sin 2 U )t(u

2-

)2

0j(

0j

00

1

0

π

π+ϕ

ϕ

ω=

ω=

ω=

ω

==

π+ϕ+ωω=ϕ+ωω==

ϕ+ω=

ϕ+ω=

C u(t)

i(t)



On déduit que la tension est en quadrature arrière avec le courant (2

- π=ϕΔ ). Donc :

ω=

jCI UC

0

IX

ω=

CI UC

2π

− Remarque : Un condensateur alimenté par une tension continu (u(t) = cte), se comporte comme un circuit

ouvert (Z → ∞ car ω = 0),

XC s'appelle réactance capacitive avec : ω

=C1 XC en Ω

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