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7/24/2019 CI8-cours

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PSI Les Ulis Cours CI8 DYNAMIQUE DES SYSTEMES

Sciences Industrielles pour lIngnieur - Page 1 -

Dynamique des systmes de solides

Objectif final :

En prsence dun systme technique industriel compos de solides rigides en mouvementrelatif sous laction defforts extrieurs, vous devrez tre capable de :

Relier les quantits cinmatiques (effets) aux actions mcaniques (causes)o Principe fondamental de la dynamiqueo Thorme de lnergie cintique

Rsoudre des problmes de 3 types:o Systmes cinmatique impose

Rechercher les actions mcaniques

(Exemple : couple de dmarrage dun moteur)o Systmes cinmatique libre et actions mcaniques connues

Rechercher les lois de mouvement(Exemple : dtermination de lacclration limite entranant une pertedadhrence dun vhicule)

o Systmes inconnues mixtes(cinmatique et actions mcaniques)

Plan :

I SYSTEME MATERIEL A MASSE CONSERVATIVE .............................................................. ....................... 2

I.1 SYSTEME MATERIEL.................................................. ........................................................... ................................. 2

I.2

CONSERVATION DE LA MASSE....................................................... ........................................................... ............. 2

II CENTRE DINERTIE .......................................................... ........................................................... ....................... 3

II.1 DEFINITION...................................................................................................................................................... 3II.2 PROPRIETES.......................................................... ........................................................... ................................. 3

III TORSEUR CINETIQUE / DYNAMIQUE DUN SYSTEME MATERIEL ................................................... ... 4

III.1 TORSEUR CINETIQUE........................................................................................................................................ 4

III.2 TORSEUR DYNAMIQUE.................................................... ........................................................... ....................... 4

III.3

RELATION ENTRE LE MOMENT DYNAMIQUE ET LE MOMENT CINETIQUE......................................................... ... 5

IV PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE ...................................................... ................................. 6

IV.1 ENONCE...................................................... ............................................................ .......................................... 6

IV.2

THEOREMES GENERAUX DE LA DYNAMIQUE........................................................... .......................................... 6IV.2.1 Thorme de la rsultante dynamique ................................................................................. ....................... 6

IV.2.2 Thorme du moment dynamique ............................................................................................................... 6

IV.3

THEOREME DES ACTIONS RECIPROQUES........................................................................................................... 7

IV.4 PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE......................................................................................... ............. 7

V CINETIQUE DES SOLIDES INDEFORMABLES ................................................... .......................................... 7

V.1

SOLIDE AU SENS DE LA CINETIQUE/DYNAMIQUE..................................................... .......................................... 7

V.2 CALCUL PRATIQUE DU MOMENT CINETIQUE POUR UN SOLIDE S ........................................................... ............. 7

V.3 CALCUL PRATIQUE DU MOMENT DYNAMIQUE POUR UN SOLIDE S ..................................................................... 8

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I SYSTEME MATERIEL A MASSE CONSERVATIVE

I.1 Systme matriel

Un systme matriel est constitu dun ensemble de points P chacun de masselmentaire )(Pdm .

dvPPdm )()( = avec )(P : masse volumique en P

dv : lment de volume

==P z y x

dzdydxPPdmm )()()(

La masse est dfinie positive et est additive.

)()()( 22 11 += mmm

Lunit de masse est le kg.

Expression du volume lmentaire :Coordonnes cartsiennes Coordonnes cylindriques Coordonnes sphriques

dzdydxdv ..=

dzddrrdzdrdrdv ...... ==

dzddrrdv ... =

drdrdrdv ...sin..=

dddrrdv ...sin.2=

I.2 Conservation de la masse

Un systme matriel ( ) est masse conservative si toute partie (Si) de quon suit aucours du temps a une masse constante.

Consquence :Soit

r

( , )P t est une fonction vectorielle dfinie sur et drivable par rapport au temps.

Pour tout repre R, on peut crire :

[ ] )()( ),(),( Pdmdt

dPdm

dt

d

RP

tPRP

tP

=

rr

En dynamique et nergtique, les systmes tudis seront masse conservative.

Systme ,

Masse M

Point P

dm(P)=(P)dv

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II CENTRE DINERTIE

II.1 Dfinition

G est le centre dinertie de sil vrifie :

=P PdmGP 0)( ou encore

=P dvPGP 0)( .

II.2 Proprits

Position de G :

Soit O un point quelconque.

= P PdmOPOGm )(

Si prsente un lment de symtrie matrielle(symtrie gomtrique et symtrie de la distribution

massique) alors G appartient cet lment.

Centre dinertie et centre de gravitEn faisant lhypothse dun champ de pesanteurconstant en tout point alors le centre dinertie G estconfondu avec le centre de gravit (pointdapplication de la rsultante des efforts de pesanteur).

Rsultantes cintique/dynamique en mouvement par rapport un repre R ; O fixe dans R

= P PdmOPOGm )(

( )R

dt

d...

( ) ( )RP

R PdmOP

dt

dOGm

dt

d = )(

( ) ( ) = P RR PdmOPdtd

OGdt

dm )(

= P PdmRPVRGVm )()/()/( Or G P

= P PdmRPVRGVm )()/()/( Rsultante cintique de /R

De la mme manire, par drivation de la rsultante cintique :

= P PdmRPRGm )()/()/( Rsultante dynamique de /RCas de plusieurs systmes matriels

=

=

=ni

iii

i

AGAG mm 1

1

=

=

=ni

i

ii

i

RGVmm

RGV1

)/(1

)/(

=

=

=ni

i

ii

i

RGmm

RG1

)/(1)/(

Exemple : cette roue possde unesymtrie matrielle (axe de rvolution

zA,

x

y

z

A

Le centre d'inertie appartient donc

l'axe zA,

x

y

z

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III TORSEUR CINETIQUE / DYNAMIQUE DUN SYSTEMEMATERIEL

III.1 Torseur cintique

Le torseur cintiquedun systme matriel ( ) dans son mouvement par rapport (R)est

{ }

=

=

=

P

P

A

PdmRPVAP

PdmRPVRGVm

C].s[kg.mAencintiqueMoment)()/(/R)A,

]kg.m.scintique[Rsultante)()/()/(

1-2

1-

/R

(r

r

r

Nous montrons ici que /R)(C est bien un torseur. Calculons

=P

PdmRPVBP )()/(/R)B,( rr

avec

=BP BA AP + donc

+=P

PdmRPVAPBA )()/()(/R)B,( rr

+

=PP

PdmRPVBAPdmRPVAP )())/(()())/((/R)B,(r

ABRGVm += )/(/R)A,/R)B, (( rr

formule de changement de point

/R)A,( r

caractrise bien un champ de moment. Donc { }

=

/R)A,

)/(

(/R

r

RGVm

A

C est

bien un torseur.

III.2 Torseur dynamique

De la mme manire, il est possible dintroduire un torseur dynamique du systmematriel ( ) dans son mouvement par rapport (R) :

{ }

=

=

=

P

P

A

PdmRPAP

PdmRPREGm

].s[kg.mAendynamiqueMoment)()//R)A,

][kg.m.sdynamiqueRsultante)()/)/

2-2

2-

/R

((

((rr

rr

D

( ) ABRGm += )/(/R)A,/R)B, (( r

rr

formule de changement de point

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III.3 Relation entre le moment dynamique et le moment cintique

A est un point quelconque, G et P .

Moment cintique en A :

=P

PdmRPVAP )()/(/R)A,( rr

( )R

dt

d...

( )RP

R PdmRPVAP

dt

d

dt

d

=

)()/(/R)A,( rr

( )

=

P RR

PdmRPVAPdt

d

dt

d)()/(/R)A,(

rr

( ) ( )

+

=

P P

RR

R PdmRPV

dt

dAPPdmRPVAP

dt

d

dt

d)()/()()/(/R)A,(

rrr

O un point fixe dans R.

( ) ( )

444444 3444444 21

444 3444 21

r

444444 3444444 21

r

43421

r

43421

r

rrr

r

/R)A,(

)/()/()/(

)()/()()/()()/(-/R)A,(

+

+

=

P

RP

R

O

P

RPV

RP

RAV

RR

PdmRPVdt

dAPPdmRPVOP

dt

dPdmRPVOA

dt

d

dt

d

( ) ( ))/()/(/R)A,(/R)A,( RGVmRAVdt

dR

= rrrr

( ) )/()/(/R)A,/R)A,( ( RGVRAVmdtd

R +=

rrr r

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IV PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE

IV.1 Enonc

Il existe au moins un repre, appel repre galilen Rg, tel que pour tout systmematriel ( ), le torseuren un point A quelconque des efforts extrieursappliqus ( )

not{ }

T , soit gal au torseur dynamique en ce mme point A de ( ) dans son

mouvement par rapport Rg notgR/

D .

{ }gR/

= DT

au mme POINT !!!

Remarque :Il s'agit d'un principe, nonc par Isaac Newton en 1687. Il ne faut donc pas s'attendre une dmonstration de ce principe. Sa validit est lie l'exactitude de ce principe encomparaison des expriences.

Le PFD introduit la notion de rfrentiel galilen. Un rfrentiel galilen est unrfrentiel dans lequel le PFD est valide. Les rfrentiels galilens courants sont :

le rfrentiel de Copernic (son centre est le centre d'inertie du systme solaire, etses axes sont trois directions stellaires), utilis pour l'tude des mouvements dessystmes interplantaires, par exemple ;

le rfrentiel li au centre de masse de la Terre, et d'axes ceux du rfrentiel deCopernic, utilis pour l'tude des satellites autour de la Terre, par exemple ;

la Terre, utilis pour l'tude de tous les systmes mcaniques courants.

IV.2 Thormes gnraux de la dynamique

On a { } gR/ = DT

Qui peut scrire au point A

=

/R)A,

)/,(

),

)(

(r

r

r

r

RGm

A

R

AA(M

IV.2.1 Thorme de la rsultante dynamique

On en dduit le thorme de la rsultante dynamique :

)/,()( RGmR =

rr

IV.2.2 Thorme du moment dynamique

On en dduit le thorme du moment dynamique au point A :

/R)A,), ( = rr

A(M

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IV.3 Thorme des actions rciproques

On suppose que 21 = . Le PDF appliqu donne :{ }

gR/ = DT

soit encore g2g121 R/R/ +=+ DDTT (1)

Le PDF appliqu 1 donne 121g111 R/ +== TTDT (2)

Le PDF appliqu 2 donne 212g222 R/ +== TTDT (3)

En rinjectant (2) et (3) dans (1), on obtient le thorme des actions rciproques (outhorme de l'action et de la raction)

2112 = TT

IV.4 Principe Fondamental de la StatiqueSi un systme est l'quilibre, en mouvement de translation rectiligne uniforme ou

de masse ngligeable, { }0gR/ =D , on retrouve le Principe Fondamental de laStatique.

{ } { }0=

T

V CINETIQUE DES SOLIDES INDEFORMABLESV.1 Solide au sens de la cintique/dynamique

Cest un solide dfini au sens de la cinmatique sur lequel la masse mSest prise enconsidration.

Le torseur cinmatique peut tre utilis et ses proprits :

{ }

=

/R)A

)/(

(/

V

RSV

A

RSr

r

; formule de changement de point, quiprojectivit, CIR.

V.2 Calcul pratique du moment cintique pour un solide S

)(.)/()/()(.)/()/,( PdmAPRSRSAVAPPdmRSPVAPRSASPSP

+==r

44444 344444 214444 34444 21r

)/(.),()/(

)(.)/()(.)/()/,(

RSSAI

SP

RSAVAGm

SP

PdmAPRSAPPdmRAVAPRSA

S

+==

Avec ),( SAI la matrice dinertie du solide S au point A (termes caractrisant la

rpartition des masses en kg.m2 ) (voir fiche sur les oprateurs dinertie)

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Le moment cintique en A dun solide S dans son mouvement par rapport au repre

galilen ),,,( zyxOR est :

GARSAVmRSSAIRSA S += )/(.)/().,()/,(

Au centre de gravit Gde S:

)/().,()/,( RSSGIRSG = En un point A fixe:

)/().,()/,( RSSAIRSA =

Pour calculer le moment cintique en un pointBquelconque, on applique la relationdu changement de point du moment dun torseur classique :

ABRSGVmRSARSBS

+= )/(.)/,()/,(

Pour un ensemble de solides Si, le moment cintique en A est la somme desmoments cintiques enAde chaque solide :

)/,()/,( RSARA ii

= Au mme pointA!!!

V.3 Calcul pratique du moment dynamique pour un solide S

Le moment dynamique en A dun solide S dans son mouvement par rapport au repre

galilen ),,,( zyxOR sobtient par la relation liant les moments dynamique et cintique :

( ) )/()/(/R)A,/R)A,( ( RGVRAVmdt

dR

+= rrr r

Au centre de gravit Gse S:

RRSGdt

dRSG )]/,([)/,( =

En point fixeA:

RRSA

dt

dRSA )]/,([)/,( =

Pour calculer le moment dynamique en un point B quelconque, on applique larelation du changement de point du moment dun torseur :

ABRSGmRSARSB S += )/(.)/,()/,(

Pour un ensemble de solides Si, le moment dynamique en Aest la somme desmoments dynamiques enAde chaque solide :

)/,()/,( RSARA ii

= Au mme pointA!!!

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