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Le mo dele de la loi normale Calculs pratiques

Chapitre 3

La loi normaleUniversite de Paris Ouest

20122013

Chapitre 3 20122013


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Sommaire

1 Le modele de la loi normaleUn exempleProprietes de la loi normale

2 Calculs pratiques

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Un exemple pour commencer : Test de memoire

Etude de la capacite de memoiredadultes atteints dune maladie

neurologique.Chaque individu lit 30 mots et doit ensuite en reciter le plus possible.

PopulationP= { patients atteints de la maladie} Variable quantitative X= nombre de mots retenus

2 parametres , .

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La courbe en cloche

En sciences humaines on observe souvent des distributions

plutot symetriques autour de

avec une forme de cloche

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L d l d l l l C l l


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La courbe en cloche

En sciences humaines on observe souvent des distributions

plutot symetriques autour de

avec une forme de cloche

Pour pouvoir faire des calculs, on va parfois supposer que Xsuit unedistribution modele, appelee Loi normale.

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L d l d l l i l C l l ti


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Premieres proprietes de la loi normale

Si X suit cette distribution modele, on lui associe une courbe :

courbe symetrique par rapport a

forme de cloche

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Premieres proprietes de la loi normale

Si X suit cette distribution modele, on lui associe une courbe :

aire grisee = P(X z)

z

courbe symetrique par rapport a

forme de cloche

laire grisee represente la proportion cumulee

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Parametres de la loi normale

Pour chaque , , il existe une loi normale de moyenne etdecart-type .

On la noteN(, ).

Cas particulier= 0 et = 1 : loi normale centree/reduite.

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Pour chaque , , il existe une loi normale de moyenne etdecart-type .

On la noteN(, ).

Cas particulier= 0 et = 1 : loi normale centree/reduite.

Lorsque lon suppose quune variable X suit le modele de la loi normale

N(, ), on ecritX N(, ) .

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Exemples de lois normales avec moyennes differentes, meme ecart-type :

3-1

N(3,1)N(1, 1)

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p q


Exemples de lois normales avec moyennes differentes, meme ecart-type :

3-1

N(3,1)N(1, 1)

Exemples de lois normales avec meme moyenne, ecart-types differents :

3

N(3,

1)

N(3,2)

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Pour les plus matheux : lequation de la courbe

Pour la tracer a la calculatrice/ordinateur,

y= 1

2exp

(x )222

.

Cette formule nest pas utile pour ce cours !

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Exemple : QI

Etude sur le QIde 515 enfants du meme age, = 100, 1, = 5, 7.

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Exemple : QI

Etude sur le QIde 515 enfants du meme age, = 100, 1, = 5, 7.

En rose, courbe de la loi normaleN(= 100, 1; = 5, 7).

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Loi normaleN(, ) : a retenir

distribution modele pour des variables quantitatives continues moyenne , ecart-type

allure de la courbe :

aires = proportions cumulees

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Sommaire

1 Le modele de la loi normale

2 Calculs pratiques

Loi normale centree/reduiteLoi normale quelconqueQuantiles

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Loi normale centree/reduiteN(0, 1)

ExempleOn suppose quune certaine variable X N(0, 1). Pour quelle proportiondindividus est-ce que X 1, 56 ?On cherche P(X 1, 56) (rappel : on ecrit aussi F(1, 56)).

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ExempleOn suppose quune certaine variable X N(0, 1). Pour quelle proportiondindividus est-ce que X 1, 56 ?On cherche P(X 1, 56) (rappel : on ecrit aussi F(1, 56)).

0

aire grisee = F(1, 56)

1, 56

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ExempleOn suppose quune certaine variable X N(0, 1). Pour quelle proportiondindividus est-ce que X 1, 56 ?On cherche P(X 1, 56) (rappel : on ecrit aussi F(1, 56)).On cherche1,56dans la table :

. . . 0, 06 . . ....

1, 5 . . . 0.9406 . . ....

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ExempleOn suppose quune certaine variable X N(0, 1). Pour quelle proportiondindividus est-ce que X 1, 56 ?On cherche P(X 1, 56) (rappel : on ecrit aussi F(1, 56)).On cherche1,56dans la table :

. . . 0, 06 . . ....

1, 5 . . . 0.9406 . . ....

Donc P(X 1, 56) = 0, 9406.Pour 94, 06 % des individus, la variable X est inferieure a 1, 56.

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Exemple

On suppose quune certaine variable X N(0, 1). Pour quelle proportiondindividus est-ce que X 1, 49 ?On cherche P(X 1, 49).

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Exemple

On suppose quune certaine variable X N(0, 1). Pour quelle proportiondindividus est-ce que X 1, 49 ?On cherche P(X 1, 49). On ecrit dabord

P(X

1, 49) = 1

P(X

1, 49) = 1

F(1, 49)

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Exemple

On suppose quune certaine variable X N(0, 1). Pour quelle proportiondindividus est-ce que X 1, 49 ?On cherche P(X 1, 49). On ecrit dabord

P(X

1, 49) = 1

P(X

1, 49) = 1

F(1, 49)

On cherche1,49dans la table.

. . . . . . 0, 09...

1, 4 . . . . . . 0.9319...

Donc P(X 1, 49) = 0, 9319.Soit P(X

1, 49) = 1

0.9319 = 0.0681.

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Loi normale centree/reduiteN(0, 1) : valeurs negatives

Exemple

On suppose quune certaine variable X N(0, 1). Pour quelle proportiondindividus est-ce que X 1, 1 ?

Chapitre 3 20122013


N


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Exemple

On suppose quune certaine variable X N(0, 1). Pour quelle proportiondindividus est-ce que X 1, 1 ?On cherche P(X 1, 1), cest-a-dire F(1, 1).

0-1, 1

P(X 1, 1)

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/ N ( )


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Exemple


0-1, 1 1, 1

P(X 1, 1)P(X 1, 1)

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L i l / d i N (0 1) l i


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Exemple


0-1, 1 1, 1

P(X 1, 1)P(X 1, 1)

Mais on sait traiter les > :

P(X 1, 1) = 1 P(X 1, 1) = 1 0, 8643.Finalement, P(X

1, 1) = 0, 1357.

Chapitre 3 20122013


L i l / d i N (0 1) l i


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A retenir :F(a) = 1 F(a)

0-1, 1 1, 1

P(X 1, 1)P(X 1, 1)

par exemple : F(1, 1) = 1 F(1, 1).

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C l l l N (0 1) t l


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Calculs avec laN(0, 1), tous les cas

Pour nimporte quel a >0,

I P(X a)0 a

table

II P(X a)0 a

= 10 a

cas I

III P(X a)0-a

=0 a

cas II

IV P(X a)0-a

=0 a

cas I

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L i l l N ( )


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Loi normale quelconqueN(, )

Pour faire des calculs avec uneN(, ), on se ramene a la loiN(0, 1).

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Loi normale quelconque N ( )


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Theoreme

Si X N(, ) alors X

N(0, 1)

On dit que lon centre et reduit X

.

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Loi normale quelconque N ( )


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Theoreme

Si X N(, ) alors X

N(0, 1)= Z.

On dit que lon centre et reduit X

.

On utilise la lettre Z pour designer une loi normale centree/reduite.

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Un exemple avec une N (11; 2)


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Un exemple avec uneN(11; 2)

Exemple

On suppose quune certaine variable X N(11; 2). Pour quelleproportion dindividus est-ce que X 14 ?On cherche P(X 14).

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Exemple

On suppose quune certaine variable X N(11; 2). Pour quelleproportion dindividus est-ce que X 14 ?On cherche P(X 14). On centre et on reduit X : X11

2

N(0, 1).

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Exemple


2

N(0, 1).

P(X 14) = P

X 112 14 11

2

= P(Z

1, 5)

On cherche 1, 5 dans la table.

Chapitre 3 20122013




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Exemple


2

N(0, 1).

P(X 14) = P

X 112 14 11

2

= P(Z

1, 5)

On cherche 1, 5 dans la table.

On trouve finalement P(X 14) = 0, 9332.

Chapitre 3 20122013


Quantile > 50% dune N (0, 1)


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Quantile >50% d uneN(0, 1)

Exemple

On cherche le quantile a 97, 5% pour laN(0, 1).Cela revient a trouver a tel que P(Z a) = 0, 975.

Chapitre 3 20122013


Quantile > 50% dune N (0, 1)


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Quantile >50% d uneN(0, 1)

Exemple

On cherche le quantile a 97, 5% pour laN(0, 1).Cela revient a trouver a tel que P(Z a) = 0, 975.On lit la table a lenvers :

. . . 0, 06 . . ....

1, 9 . . . 0.9750 . . ....

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Quantile >50% duneN(0, 1)


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Q > % N ( , )

Exemple


. . . 0, 06 . . ....

1, 9 . . . 0.9750 . . ....

Donc P(X

1, 96) = 0, 9750.

Le quantile recherche est donc 1, 96.

Chapitre 3 20122013


Quantile >50% duneN(0, 1)


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Q ( , )

Exemple


. . . 0, 06 . . ....

1, 9 . . . 0.9750 . . ....

Donc P(X 1, 96) = 0, 9750.Le quantile recherche est donc 1, 96.

Notation

Le quantile dordre pour la loi normale centree/reduite est note z.Par exemple, z0,975= 1, 96.

Chapitre 3 20122013


Quantile


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( , )

Exemple

On cherche le quantile a 14% pour laN(0, 1).Cela revient a trouver a tel que P(Z a) = 0, 14.

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Quantile


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( )

Exemple

On cherche le quantile a 14% pour laN(0, 1).Cela revient a trouver a tel que P(Z a) = 0, 14.Il ny a pas de nombre


43/48

Exemple



44/48

Exemple



45/48

Exemple



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A retenir :z = z1

0

0, 14

-1, 08

0, 14

z0,86 = 1, 08

par exemple : z0,14 = z0,86.

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Quantile dune loi normale quelconque


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Notons Q

le quantile dordre alpha dune loi normale quelconqueN(, ).

A retenir :Q = +

z.

On dereduit et on decentre le quantile de la loi normalecentree/reduite.

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Quantile dune loi normale quelconque


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Notons Q

le quantile dordre alpha dune loi normale quelconqueN(, ).

A retenir :Q = +

z.

On dereduit et on decentre le quantile de la loi normalecentree/reduite.

ExerciceQuel est le quantile a 90% pour une loi normaleN(11, 2) ?

Chapitre 3 20122013

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