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Théorie de l’équilibre concurrentiel

Chapitre

Marchés parfaitement concurrentiels

•  Un marché concurrentiel parfait peut être défini à l’aide des critères suivants: –  De nombreux vendeurs et acheteurs –  Entreprises sont petites par rapport au

marché –  Les biens sont homogènes –  Il n’y a pas de coûts d’entré sur le marché

pour les firmes (libre entrée)

Equilibre partiel sur le marché des biens

•  Introduction de la notion d’équilibre partiel i.e. un équilibre tel que Demande Globale=Offre Globale

•  Pour déterminer un équilibre partiel il faut : –  Une fonction d’offre agrégée, déterminée par

l’agrégation de toutes les fonctions d’offre individuelles

–  Une fonction de demande agrégée, déterminée par l’agrégation de toutes les consommations optimales individuelles, connaissant les prix

Courbe de demande agrégée •  On part des résultats sur la théorie du

consommateur : les demandes Marshaliennes pour un bien x et pour un consommateur :

•  S’il y a n consommateurs sur le marché du bien x. Alors la demande agrégée est :

–  Les prix des autres biens ainsi que le revenu sont constants dans un équilibre partiel.

€

dx (px, py , I)

€

Dx (px ) = dxi (px )

i =1

n

∑

Courbe de demande agrégée •  Courbe de demande agrégée pour le

bien x est la somme de toutes les N courbes d’offre des N firmes pour ce bien :

€

Sx (px, r, w) = sxi

i =1

N

∑ (px,r,w) = sxi

i =1

N

∑ (px )

Equilibre concurrentiel partiel •  Définition : Un équilibre partiel sur le

marché du bien x est un prix p*x tel que

Dx(p*x) = Sx(p*

x)

Exemple 1 •  Supposons que la fonction d’offre agrégée

sur le marché de l’automobile soit donnée par S(p)=2+15p

•  La fonction de demande agrégée sur ce même marché est D(p)=110+3p

•  L’équilibre est alors le prix p* tel que: D(p*)=S(p*) 110-3p*=2+15p* p*=6

•  La quantité d’équilibre sera lors : q*=2+15.6=92

Equilibre partiel vs Equilibre général

•  Jusqu’à présent : équilibre partiel sur un marché particulier par un bien particulier (automobile par ex.).

•  La relation de ce marché avec d’autres est absente (pétrole, énergie, travail etc.)

•  Nous avons besoin alors d’un modèle qui relie tous les marchés tel que si un prix d’équilibre change sur un marché, les prix et les quantités d’équilibre sur d’autres marchés seront affectés.

Exemple 2 •  Si l’on taxe un bien particulier, alors le prix

relatif des autres biens risque de changer, et donc les prix d’équilibre sur l’autre marché peuvent varier.

•  Il faut donc regarder non seulement le marché où la taxe est appliquée mais également tous les autres marchés.

•  Application : cas de l’élargissement de l’espace européen (taxe sur le lait par exemple).

Théorie des l’équilibre général - Introduction

•  Débute avec Walras. Point de départ de l’analyse économique rigoureuse.

•  Mais il faut attendre les 70’s pour résoudre certains problèmes (existence, stabilité). Arrow et Debreu.

•  Quelques limites à la théorie de Walras –  Coûts de transaction –  L’information –  La monnaie –  Les externalités

•  Problèmes résolus par la suite

Cartographie du cours •  Interdépendance des marchés – la loi

de Walras •  L’équilibre : la commissaire priseur •  La main invisible : Efficacité de Pareto

Interdépendance des marchés – la loi de Walras

•  Avantage de la théorie de l’équilibre général – Prend en compte l’interdépendance des

marchés. •  Soit une économie à L marchés (voiture,

travail, chaussure etc.), alors on peut montrer que si (L-1) marchés sont à l’équilibre (i.e. où D=S) alors il en sera de même pour le Lième marché. C’est l’essence même de la loi de Walras.

•  Loi de Walras : –  Débutons par l’équation de la droite de budget du

consommateur i, étant donné que nous connaissons les fonctions de demande (Marshallienne) di

l(p) et les fonctions d’offre si

l(p) (où l représente le bien l) de ce consommateur :

p1di1(p)+…+pldi

l(p)+…+pLdiL(p) = p1si

1(p)+…+pLsiL(p)

–  A gauche du signe «=» : la valeur de tous les biens demandés (qui peuvent inclure le travail)

–  A droite du signe «=» : la valeur de tous les biens offerts (travail, dotations initiales…)

•  On peut reformuler le problème en utilisant la fonction d’excés de demande (ou demande nette du consommateur), notée ni

l(p) t.q. ni

l(p) = xil(p)-si

l(p)

On obtient donc p1ni

1(p)+…+plnil(p)+…+pLni

L(p) = 0 (*)

•  Les prix, sur lesquels la demande repose, sont présentés sous forme vectorielle p=(p1, …, pl,…, pL)

•  L’identité (*) ci-dessus peut être réécrite en

€

plnli (p) ≡ 0

l =1

L

∑

•  Sommons maintenant sur les M individus de l’économie :

•  Notons N (demande nette) la somme de toutes demandes individuelles sur le marché d’où: €

i=1

M

∑ plnli(p) ≡ 0

l=1

L

∑

pli=1

M

∑ nli(p) ≡ 0

l=1

L

∑

€

plNl (p) ≡ 0l=1

L

∑

•  La loi de Walras établit que la somme des demandes nettes sur le marché est égale à 0 et ce à l’équilibre ou non. – Pourquoi ? Si dans l’économie il y a L biens,

alors si (L-1) marchés sont à l’équilibre (i.e. Nl(p)=0, pour l=1,2,..,(L-1)), alors le Lième marché doit être à l’équilibre également, i.e. NL(p)=0. (Remarque: on ne s’occupe que des quantités !)

– Mais que devons nous apprendre à propos des préférences des consommateurs ?

•  Revenons à la contrainte de base du consommateur pxxi(px,py,M)+pyyi(px,py,M) = M

•  Cette constrainte nous dit seulement ce que le consommateur peut au plus acheter. Mais doit-il nécessairement consommer autant ? On pourrait avoir pxxi(px,py,M)+pyyi(px,py,M) < M

•  Donc la loi de Walras n’est pas tout à fait une identité, mais suppose la non saturation des préférences.

Equilibre général d’une économie d’échange pure

•  Il n’y a pas de production, et le revenu des agents provient de leurs dotations initiales (les fruits de leurs arbres).

•  Par convention nous noterons xli la

quantité de bien l consommée par l’agent i. La fonction de demande (Marshal.) pour ce bien l sera notée xl

i(p) où p=(p1, …, pl,…, pL).

Description de l’économie •  N individus dont les préférences sont

données par des fonctions d’utilité U(x1i,

x2i,…, xL

i) •  L biens disponibles •  ωl

i sont les dotations initiales en bien l de l’individu i

Qu’est-ce qu’un équilibre ? •  Définition : Pour une économie donnée

(décrite ci avant), un équilibre concurrentiel général est :

– une allocation – un vecteur de prix

€

ˆ x 11, ˆ x 2

1 ,..., ˆ x L1( ),..., ˆ x 1

i, ˆ x 2i ,..., ˆ x L

i( ),..., ˆ x 1N , ˆ x 2

N ,..., ˆ x LN( ){ }

€

p = (p1, p2,..., pl , ..., pL )

•  Tels que : – L’optimalité individuelle est respectée :

étant donné un vecteur de prix pour chaque consommateur i, l’allocation

est solution du problème max U(x1

i, x2i,…, xL

i) sc p1x1

i+p2x2i+…+pLxL

i = p1ω1i+p2ω2

i+…+pLωLi

– Le marché est à l’équilibre : pour chaque bien l=1,…, L, la demande agrégée et égale à la dotation (offre) agrégée ;

€

ˆ x 11, ˆ x 2

1,..., ˆ x L1( )

€

ˆ x li

i=1

N

∑ = ω li

i=1

N

∑

Comment arriver à l’équilibre ? Le commissaire priseur de

Walras 1.  Le CP annonce un prix pour tous les biens de

l’économie; 2.  Chaque consommateur calcule sa demande pour les

biens au prix annoncé. Il soustrait ensuite sa dotation pour obtenir la demande nette de ce bien;

3.  Le CP vérifie si la somme des demandes nettes est égale à 0 sur chaque marché;

4.  Si ce n’est pas égal à 0, le CP recommence à l’étape 1, en choisissant un prix différent; si c’est égal à 0, nous avons l’équilibre. Plusieurs tours peuvent être nécessaires, puisque l’équilibre sur un marché dépend de l’équilibre sur un autre marché.

La boîte d’Edgeworth •  On reprend l’analyse (graphique) du

consommateur, mais en combinant 2 biens et 2 agents. Bien que ce soit une version réduite de l’économie, il n’en reste pas moins que nous cherchons un équilibre général sur les marchés des 2 biens !

Description du modèle •  Une économie à 2 agents, Gina (agent 1) et

Mario (agent 2) et 2 biens, des jeux (biens 1) et des Chips (bien 2). –  Le problème du consommateur i :

max U(x1i, x2

i) sc p1x1

i+p2x2i = p1ω1

i+p2ω2i

–  Remarque : la CB ne contient pas la variable exogène M, mais la valeur des dotations (évaluées aux prix du marché)

•  A quoi ressemble cette CB ? Réécrivons là comme une fonction x2

i(x1i) donc :

€

x2i =

p1ω1i + p2ω 2

i

p2ordonné à origine

−p1

p2

x1i

pente

•  Pour déterminer la CB, nous devons en premier lieu déterminer le point des dotations initiales (en bien 1 et 2 pour chaque i), et ensuite étant donnée la pente (donnée par le ratio des prix), tracer la CB passant par le point de dotation.

problème max d’utilité de Gina

•  Problème max d’utilité pour Mario

•  Nous sommes prêts pour construire la boîte d’Edgeworth en réunissant les deux graphiques. –  faire pivoter le graphique de Mario (agent

2) de 180° et le placer sur le graphique de Gina.

–  la dimension de la boîte est déterminée par les dotations initiales. Les axes des x1 et x2 ont une longueur égale à la somme des dotations, i.e. x1 = ω1

1+ω12 et x2 =

ω21+ω2

2

•  Chaque point : Allocation possible et points hors de la boîte sont impossibles.

•  Situation d’équilibre: Sachant les prix, les utilités des deux agents sont max. A l’équilibre, les deux IC sont tangentes i.e. les TMS sont égaux et égaux au rapport des prix.

G

M

Trouver l’équilibre : Exemple •  Les deux agents ont des préférences

identiques représentées par une CD :

max (x1i)0.6(x2

i)0.4

s.c. p1x1

i+p2x2i = p1ω1

i+p2ω2i

pour i=1(Gina), 2(Mario)

•  Les dotations initiales sont : –  Pour i=1(Gina) : (ω1

1 = 7, ω21 = 5)

–  Pour i=2(Mario) : (ω12 = 3, ω2

2 = 7)

•  Les fonctions de demande en x1 et x2 sont les mêmes pour les deux agents :

pour i = 1 ou 2

€

x1i(p1, p2) = 0.6 × p1ω1

i + p2ω 2i

p1

x2i (p1, p2) = 0.4 × p1ω1

i + p2ω 2i

p2

•  Maintenant, imposons la condition d’équilibre D=O sur les marchés du bien l :

•  Intéressons nous au bien l=1 :

€

xli

i=1

2

∑ = ω li

i=1

2

∑ pour l =1,2

€

x11 + x1

2 =ω11 +ω1

2

0.6 × p1ω11 + p2ω 2

1

p1+ 0.6 × p1ω1

2 + p2ω 22

p1=ω1

1 +ω12

•  Substituons par les valeurs des dotations:

•  Résolvons sur les prix:

€

0.6 × p17 + p25p1

+ 0.6 × p13+ p2 7p1

= 7 + 3

€

4.2 + 3 × p2p1

+1.8 + 4.2 × p2p1

= 7 + 3

p2p1

=47.2

=59≈ 0.5556

•  Normalisation des prix: – Nous avons une équation à 2 inconnues,

les prix. Mais comme nous sommes dans une économie d’échange pure sans argent, seuls les prix relatifs importent. On peut donc normaliser un des prix à 1 (numéraire) t.q. p1=1 et p2=5/9

–  i.e., p2 donne le nombre d’unités de bien 1 que l’on peut échanger contre une unité de bien 2

•  Remarque: – Ce résultat est lié au fait que les fonctions

de demande sont homogènes de degré 0. Par définition nous avons :

dx(px,py)=dx(αpx,αpy) pour tout α>0

– Posons α=1/px, nous obtenons alors: dx(px,py)=dx(1,py/px)

•  On peut maintenant déterminer les demandes individuelles pour le bien 1:

•  Vérifions que la Demande est égale à l’Offre sur le marché du bien 1: €

x11(1, 5

9) = 0.6 ×

1× 7 +59× 5

1= 5.87

x12(1, 5

9) = 0.6 ×

1× 3+59× 7

1= 4.13

€

x11 + x1

2 =ω11 +ω1

2

5.87 + 4.13 = 7 + 310 =10

•  Le Marché du bien 2 ? – Par la loi de Walras, si un des deux

marchés est à l’équilibre, le second le sera également (si le nombre total de marchés est 2 !).

– Ainsi, en utilisant les prix déjà calculés ci-avant, nous obtenons les demandes à l’équilibre sur le marché du bien 2.

p1=1, p2=5/9 et x1

2=4.13, x22=4.96

•  En résumé: L’équilibre de cette économie est donné par: – Un vecteur des prix : p*=(1, 5/9)

– L’allocation des biens entre Gina et Mario : {(x*1

1, x*21),(x*1

2, x*22)}={(5.87, 7.04), (4.13,

4.96)}

Une économie avec production •  Les deux biens sont désormais produits dans deux

entreprises j (j=1 ou 2). •  L’entreprise j produit le bien j avec uniquement du

travail (l). •  On notera yj et lj respectivement la production et la

quantité de travail utilisée dans l’entreprise j. •  On notera fj la fonction de production de

l’entreprise j. •  yj=fj(lj) représente la quantité de bien j produite en

fonction de la quantité de travail disponible dans l’entreprise.

•  Soient p1 et p2 les prix des deux biens; •  Soit w le taux de salaire; •  Les revenus des deux consommateurs

sont : salaires + profits; •  Soit n (paramètre fixé) la quantité de

travaille offerte par les 2 agents (la même pour simplifier).

•  On suppose que chaque agent détient la moitié des titres de propriété de chaque entreprise et donc reçoit la moitiés des profits.

•  Ii := Revenu de l’agent i, d’où :

•  Sa contrainte budgétaire :

•  Sa fonction d’utilité :

€

I i = w × nsalaires +

12

p j y j − wl j( )j=1

2

∑profits distribués

€

p1x1i + p2x2

i = I i

€

Ui(x1i, x2

i )

•  Dans cette économie, un EG est caractérisé par :

•  2 vecteurs de consommation (x1i, x2

i), i=1,2 ; •  2 vecteurs de production (yj, lj), j=1,2 ; •  1 vecteur de prix (p1, p2, w).

tels que les 4 conditions suivantes soient vérifiées : •  Chaque agent maximise sont utilité sous contrainte bud ; •  Chaque entreprise maximise son profit sous la contrainte

technique définie par sa fonction de production ; •  Les quantités totales consommées = quantités totales

produites pour chaque bien ; •  La quantité de travail utilisée par les entreprises =

quantité de travail offert par les agents.

•  Mathématiquement : – Condition 1 : Le problème du consommateur i :

Notons la fonction de demande de l’agent i pour le bien h=1,2 Sachant Ii, la condition 1 s’écrit : .

€

max Ui(x1i, x2

i )scp1x1

i + p2x2i = I i

€

ˆ x hi ( p1, p2, I i)

€

xhi = ˆ x h

i ( p1, p2, w × nsalaires +

12

p j y j − wl j( )j =1

2

∑profits distribués

)

– Condition 2 Le problème de l’entreprise j s’écrit :

Notons les fonctions d’offre de bien j et de demande de travail par l’entreprise j : elles définissent la solution optimale en fonction des prix pj et w. On a donc :

€

max p j y j − wl jscy j = f j (l j )

€

ˆ y j , ˆ l j

€

y j = ˆ y j ( p j ,w)

l j = ˆ l j (p j ,w)

– Condition 3 :

– Condition 4 : €

x j1 + x j

2 = y j

€

l1 + l2 = n + n

•  Résumons l’ensemble des conditions:

4 équations, i=1, 2 h=1,2

2 équations, j=1, 2 2 équations, j=1, 2

2 équations, j=1, 2

1 équation

€

xhi = ˆ x h

i ( p1, p2, w × nsalaires +

12

p j y j − wl j( )j =1

2

∑profits distribués

)

€

y j = ˆ y j ( p j ,w)

l j = ˆ l j (p j ,w)

€

x j1 + x j

2 = y j

€

l1 + l2 = n + n

•  Au total : 11 équations à 11 inconnues :

–  les consommations : x11, x2

1, x12, x2

2 ; –  les productions : y1, y2 ; –  les quantités de travail utilisées par les

entreprises : l1, l2 ; –  les prix des biens : p1, p2 ; –  le taux de salaire : w

•  Mais : – pas forcément de solution au système ; – difficulté pour prouver l’existence d’une

solution (théorèmes du point fixe).

•  D’où : –  Illustration graphique ; – Étude d’un exemple.

Une illustration Graphique y2

y1

H2

O

H1

(C) A

•  D’autre part, la quantité de L qui maximise le profit de l’entreprise j est donné par: max pjfj(lj)-wlj

et elle vérifie la condition nécessaire d’optimalité : pj.(∂fj/∂lj)-w = 0

•  Tout point de la courbe (C) correspond à des quantités de travail l1=f1-1(y1) et l2=f2-1(y2) telles que l1+l2=2n.

•  D’après ce qui précède ces quantités sont les demandes de L des entreprises (i.e. celles qui correspondent au profit max) si les prix relatifs p1 /w et p2 /w vérifient :

pj /w = 1/(∂fj /∂lj), avec j=1,2 on a alors:

(∂f2 /∂l2)/(∂f1 /∂l1) = p1 /p2

•  A l’équilibre général, le TmT du bien 2 au bien 1 est égal au rapport des prix.

Boîte d’Edgeworth

Commentaires •  Ce résultat montre :

– Le fonctionnement des marchés conduit à une certaine forme d’efficacité dans l’allocation des ressources. •  Les Taux marginaux (TmT et TmS) sont égaux.

– A l’EG il n’est pas possible d’augmenter la satisfaction d’un agent sans réduire celle d’un autre. C’est un optimum de Pareto.

Efficacité de Pareto •  Définition : Un vecteur d’allocation de biens

X={(x11, x1

1,…, xL1), (x1

2, x12,…, xL

2),…, (x1N, x1

N,…, xL

N)} parmi N consommateurs est efficace si

1.  l’allocation X est réalisable (possible) à savoir ∑i xli =

∑i ωli pour tous les biens l

2.  il n’existe pas une autre allocation Y={(y11, y1

1,…, yL

1), (y12, y1

2,…, yL2),…, (y1

N, y1N,…, yL

N)} telle que a)  Y est réalisable i.e., ∑i yl

i = ∑i ωli

b)  Y est faiblement préférée par tous les consommateurs i.e., pour tout i=1,…, N, on a : Ui(y1

i, y1i,…, yL

i)≥Ui(x1i, x1

i,…, xLi)

a)  Y est strictement préférée par au moins un consommateur j, i.e. Ui(y1

i, y1i,…, yL

i)≥Ui(x1i, x1

i,…, xLi)

Les deux théorèmes fondamentaux de l’économie

du Bien Etre •  Premier Théorème de l’EB : « Tout équilibre

concurrentiel est efficace au sens de Pareto. »

•  Deuxième théorème de l’EB : « Sous des hypothèses faibles, chaque allocation efficace au sens de Pareto est décentralisable en un équilibre concurrentiel ; i.e. qu’on peut trouver un vecteur de prix tel que si les dotations initiales sont égalisées à l’allocation de Pareto, tous les agents demanderont exactement ces dotations à l’équilibre.