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CHAPITRE III – MODELE D’HYSTERESIS PROPOSE

PARTIE I. 40

MODELE D’HYSTERESIS PROPOSE

1. Introduction

Le chapitre II présente des modèles d’hystérésis existants mais limités. Ce chapitre est

consacré à la formulation d'un modèle d’hystérésis original bien adapté aux boucles efforts-

déflexion et qui se couple aux équations différentielles du mouvement de systèmes et de

structure par le biais de l’effort de restitution.

L'isolation vibratoire fait largement appel à la suspension passive composée

d’amortisseurs qui peuvent avoir une conception complexe agençant parties élastomère,

métalliques, voire fluides, etc. Leurs comportements dynamiques sont non linéaires, les non

linéarités géométriques et matériels dépendent, naturellement, de la conception, mais également

des paramètres, tels que température, amplitude de déflexion, charge initiale, et types

d'excitation [15, 17, 58, 59, 109].

D’un point de vue général, un amortisseur fournit une force de restitution, qui ne peut pas

être déterminée par la seule connaissance de la variable de déflexion. Ceci caractérise le

phénomène d'hystérésis. Aux modèles précédemment étudiés on peut rajouter les travaux de

Inaudi et Kelly [93] qui ont étudié l'amortissement d’hystérésis avec un modèle indépendant de

fréquence. Baber et Noori [27] modélisent le comportement par hystérésis sous excitation

aléatoire. Ko et al [102], Wong et autres [184], et Ni et autres [139] ont étudié numériquement

et expérimentalement le comportement des isolants de fil-câble avec frottement sec, tandis que

Mallik et autres [127] se concentraient sur modeler des isolants d'élastomère.

Les travaux menés dans le laboratoire pour modéliser des amortisseurs ont concernés des

modèles ‘raideur’ spécifiques au type d'excitation [58, 67, 78], voir également la synthèse sur la

modélisation de l’amortissement par Lalanne [109]. Ces modèles sont limités car établis pour

des applications spécifiques au type de comportements et au type d'excitations. Ainsi il est

logique de vouloir formuler un modèle général original qui tient compte en particulier des

linéarités et de la dissipation contre la phénomène de déflexion.

Le modèle proposé est présenté en utilisant des fonctions régissant un opérateur d’entrée

et de sortie, dépendante chacune de la force de restitution et de la déflexion. La formulation

mathématique est démontrée en employant les conditions de Lipschitz. Par la suite le modèle

est appliqué aux amortisseurs académiques et industriels de différents comportements. Enfin les

réponses calculées et mesurées concernent une structure souple équipée de différents type de

plot.


PARTIE I. 41

2. Modèle d'hystérésis proposé

En génie mécanique nombre de composants ont un comportement d’hystérésis décrit par

une boucle de force-déflexion avec diverses formes : assouplissement (softening), raidissement

(hardening) ou une combinaison de tous les deux. Aussi un modèle d'hystérésis général doit

pouvoir respecter ces types de comportement et des fondements mathématiques.

L'idée du modèle proposé vient du modèle de Dahl, présenté au chapitre précédent, et où

les courbes enveloppe (ou frontière) sont réduites à des droites horizontales et indépendantes du

temps et de la vitesse ; la déflexion et la force de restitution y sont les fonctions d'entrée et de

sortie. Seule la forme assouplissement peut être retranscrite. Ces caractéristiques limitent le

modèle de Dalh.

Aussi le modèle proposé est bordé par deux courbes enveloppes qui peuvent dépendre du

temps et de la vitesse. En outre, afin de coller aux formes de comportement, un opérateur

d'hystérésis est établi comme suit :

Soient les fonctions scalaires p et q, combinaisons linéaires de la force de restitution R et

de la déflexion u de l’amortisseur [14, 15] :

( )kuRR

p )1(1

0

λλ −+−= , (1)

( )kuRR

q λλ −−= )1(1

0

, (2)

où R0 est une force de référence, k > 0 a la dimension d'une raideur, et λ est défini dans

l'intervalle (0, 1). Les fonctions d’entrée et de sortie sont respectivement p et q. La construction

de l'opérateur nécessite les suppositions suivantes:

1- La quantité dp

dq est indépendante de l’origine de p (l'espace étant isotrope).

2- La quantité dp

dq toujours positive quand 0

dt

dp > implique 0dt

dq ≥ . Par conséquent un

effet de rigidité est recherché plutôt qu'un effet de viscosité.

3- q est assujetti à rester dans les courbes enveloppes définies par :

( ) )p(sgn)p(sgn,ph =γ , (3)

où la courbe enveloppe h est positive et dt

d=• . Ainsi le modèle a l'expression suivante :

( )µα )(- psgnqhdt

dp

dt

dq= , (4)

avec :


PARTIE I. 42

1. α , constante d'énergie de dissipation,

2. k, constante de grandeur,

3. µ , constante du comportement de la boucle,

4. λ , constante définissant le comportement général. 0=λ fournit au modèle un

comportement raidissement pur tandis que 1=λ un assouplissement.

L'originalité du modèle proposé réside dans l'utilisation de courbes enveloppes

dépendantes du temps et de la vitesse, les constantes, α , µ et k ayant un rôle bien défini.

3. Validation mathématique du modèle

Il s’agit de démontrer que le modèle proposé satisfait le théorème d'hystérésis de

Pokrovskii, [104, 152] (l’opérateur d’hystérésis est dérivable et borné) et de prouver l’existence

et l’unicité de la solution quand l’opérateur d’hystérésis est couplé aux équations du

mouvement d’une structure.

3.1 Dérivabilité et bornes de l’opérateur d’hystérésis

Le théorème d'hystérésis de Pokrovskii est limité au comportement stationnaire

d'hystérésis il est tout d’abord proposé de l’appliquer à des courbes enveloppes qui ne

dépendent que de la fonction d’entrée p et du signe de sa vitesse, puis de le généraliser aux

comportements qui dépendent légèrement de tp, .

3.1.1 Les courbes enveloppes dépendent de p et du signe de sa vitesse

Dans le plan (p, q), il est supposé que +− γγ , sont les courbes enveloppes supérieure et

inférieure de la boucle (voir la Figure II.4), et +− φφ , soit les courbes gauches et droites de la

boucle d'hystérésis. Les courbes doivent satisfaire la condition de Lipshitz (fonctions dérivables

et bornées). L'équation définie par Pokrovskii peut être exprimée comme :

( )( )psgn,q,pgdt

dp

dt

dq= , (5)

qui, comparée à l'équation (4), amène :

( )( ) ( )µ)p(qsgnhpsgn,q,pg -.= . (6)

Un opérateur général doit avoir des courbes enveloppes +− γγ , qui dépendent de p. Ainsi:

h−=−γ , et h+=+γ , (7)

où

hpsgn )( =γ et ( )( )psgnphh ,= , (8)


PARTIE I. 43

ainsi, selon (6):

( )µαφ )(),( psgnqhqp −= , (9)

d’où

( )µαφ q)1,p(h)q,p( −+=+ , (10)

et

( )µαφ q)1,p(h)q,p( +−=− . (11)

Afin de vérifier que +φ , par exemple, vérifie la première condition de Lipschitz, voir

l’équation (II.10), il faut que :

( ) ( ) ( )( ) ( )2)1,()1,( qqLqphqphqq ′−≤′−+−−+′− µµα , (12)

pour qq ′≠ , l’équation (12) peut s’écrire sous la forme

( ) ( )( )L

qq

qphqph ≤′−

′−+−−+ µµα )1,()1,(, (13)

ce qui est vérifié en vertu du théorème de la valeur moyenne de Lagrange [150, 156] :

Si une fonction ( )zf est continue dans l’intervalle [ ]21 z,z , alors il y a un point ξ dans

cet intervalle qui vérifie l’équation suivante :

( ) ( ) ( ) ( )ξfzzzfzf ′−=− 2121 (14)

L’application de ce théorème à la fonction ( ) ( )( )µα zphzf −+= 1, , sur l'intervalle [ ]qq ′, ,

donne :

( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )ξα µµ fqqqphqph ′′−=′−+−−+ 1,1, , (15)

( )( ) ( )( ) ( )ξα µµ

fqq

qphqph′=

′−′−+−−+ 1,1,

. (16)

avec :

( ) ( ) ( )( ) 11,1 −−+−=′ µξµαξ phf , (17)

et comme α > 0, µ > 0 et ( )( ) 01, >−+ ξph selon les deuxième et troisième hypothèses du

paragraphe 2, ( ) 0<′ ξf . Si L est positif réel, il vient :

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) Lphqq

qphqph≤−+−=

′−′−+−−+ −11,1

1,1, µµµ

ξµαα. (18)

Alors la première condition de Lipschitz est vérifiée. La même démonstration peut

s’appliquer à la seconde équation (II.11) relative à −φ .


PARTIE I. 44

3.1.2 Les courbes enveloppes dépendent légèrement de p et du temps

Ici, la fonction h s’enrichit de deux variables ( )( )tppsgnphh ,,, = , avec la condition :

( ) ( )εε Ot

hO

p

h =∂∂=

∂∂

,

, (19)

par exemple

( )( )tppsgnphh εε ,,, = , (20)

la fonction h peut alors être développée en séries de Taylor par rapport à la variable ε:

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) +++= εεε Otppsgnphtppsgnph 0,0,,,,, , (21)

( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )

+++=

tppsgnph

Opsgnphtppsgnph

0,0,,10,0,,,,,

εεε , (22)

puisque ( )( ) ( )εOpsgnph >>0,0,, , l'équation (22) peut être écrite comme:

( )( ) ( )( )0,0,,,,, psgnphtppsgnph ≈εε . (23)

L'équation (6) devient

( )( ) ( )( )µα psgnqpsgnphg −≈ 0,0,, , (24)

( )( ) ( )( )µα psgnqpsgnphg −≈ ∗ , , (25)

et les fonctions −+ φφ , , deviennent

( )( )µαφ qph −+≈ ∗+ 1, , (26)

( )( )µαφ qph +−≈ ∗− 1, . (27)

Les conditions de Lipschitz sont vérifiées comme précédemment.

3.2 Existence et unicité de la solution

Les relations (1), (2) définissant p et q et l’équation différentielle (4) qui les relient

permettent de déterminer la force de restitution R qui vient se superposer à la force d’excitation

F(t). Ces forces sont alors appliquées à une structure flexible dont le mouvement est régi par les

équations différentielles :

)(.. tFR t2

t1 //yKyCyM +−=++ , (28)

avec KCM ,, , matrices de masse, d’amortissement, de raideur de la structure, y le vecteur

déplacement et t1/ et t2/ les vecteurs transposés de localisation des efforts. Soient les

conditions initiales suivantes :

( ) ( ) ( ) 00,00,00 === Ryy . (29)

Soit l’équation différentielle qui régit la force de restitution :


PARTIE I. 45

( ) ( )( )uRsgntuuhukR −= εεα ,, , (30)

avec ( )tuuh εε ,, est une fonction continue dérivable et :

y/tu 1= . (31)

Il s’agit de démontrer que la solution du système des équations couplées (28) et (30) muni

des conditions initiales (29) existe et est unique. Le théorème de Cauchy-Lipschitz a le sens

suivant [28, 80, 150] : soit I un intervalle dans ℜ et nnIf ℜ→ℜ×: une fonction continue de

classe 1C de variable ( )110 ,,, −= nxxx X pour tout It ∈ . Si la fonction différentielle fDX est

bornée dans X par une fonction continue L(t) :

[ [ ( ) ( ) nIttLtfDIL ℜ∈∀∈∀≤⇒+∞→∃ XXX ,,,0: (32)

alors le problème de Cauchy:

( )

( )

==

00

,

XX

XX

t

tf

, (33)

a une solution unique.

L'équation (28) a également l'expression suivante

)(tFR t2

t1 /KyyCyM/ +−−−= , (34)

qui introduite dans l'équation (30) multipliée par t1/ conduit à:

( ) ( )( )usgntFhukR )(t2

t1

t1 /KyyCyM// +−−−−= α , (35)

or la dérivation de l’équation (34) :

)(tFR t2

t1 /yKyCyM/ +−−−= ,

introduite dans l'équation (35) établit l’équation suivante :

( ) ( )( ) )()( tFusgntFhuk 12

t2

t1 //KyyCyM/yKyCyM ++−−−−−=++ α , (36)

qui est donc de la forme :

( )t,,,- yyyy = . (37)

Si:

[ ]20 zzzZ ,, 1= , avec yzyzyz 20 === ,, 1 , (38)

les équations (37) munies des conditions initiales (29) peuvent être écrites comme:

( )[ ]

=

=− )0(,0,0

,

F

tft2

10 /MZ

ZZ . (39)

où f est une application ( ) ( )( )ttf ,,,,,,: 21021 zzz-zzZ → . Comme la fonction

( ) ( )thtuuhh εεεε ,,,, yy == est localement Lipschitzienne (fonction dérivable et bornée), et


PARTIE I. 46

sachant que le composé de fonctions Lipschitziennes est une fonction Lipschitzienne, ainsi

( )t,,, yyy Φ et ( )Z,tf sont localement Lipschitziennes. Comme ( )Z,tf est localement

Lipschitzienne par rapport à Z , il existe un intervalle ouvert I1 centré en t0, et un voisinage V1

de 0Z dans nℜ tel que :

( ) ( ) ( ) ∗∗∗ −≤−××∈∀ ZZZZZZ 1111 ,,,,, ktftfVVIt , (40)

avec +ℜ∈1k .

D'autre part, le théorème de la valeur moyenne de Lagrange s’écrit pour la fonction

continue ( )Z,tf de la manière suivante :

( ) ( ) ( ) ( )∗

=

∗ −∂

∂=− ZZZ

ZZZ

Z

,,,

tftftf , avec [ ]∗∈ ZZ , , (41)

La valeur absolue de la relation (31) :

( ) ( ) ( ) ∗

=

∗ −∂

∂=− ZZZ

ZZZ

Z

,,,

tftftf , (42)

permet de la comparer à l’équation (30) et de montrer que :

( )

1,

ktf ≤

∂∂

=ZZZ

, (43)

plus généralement, la relation (33) peut être exprimée par :

( ) ( )tLtf ≤

∂∂

ZZ,

, (44)

( )tL est une fonction bornée. Par conséquent, selon l'équation (34) et le théorème du

Cauchy-Lipschitz, la solution du système d’équations couplées (28) et (30) existe et est unique.

4. Exemples d’applications du modèle

Le modèle proposé d'hystérésis décrit par les équations (1), (2) et (4) est adaptable au

comportement des amortisseurs existants utilisés dans l'isolement de vibration. Ses paramètres

sont déterminés en utilisant les boucles expérimentales de force-déflexion des isolants. Les

boucles numériques présentées dans les exemples suivants sont tracées en présentant une

déflexion imposée u dans le modèle telle que :

teuu t Ω= − sin0ξ . (45)

4.1 Modèle général de ressort

Classiquement le ressort est supposé ne pas avoir de dissipation. Dans le cas où∞→0R

et )( phh = , l'effet de ( )p disparaît dans le modèle proposé qui devient alors :


PARTIE I. 47

( )( )

−−−+= µ

µµ

αλαλαh

hh

dt

duk

dt

dR

11

1, (46)

( ) ,,dt

duRuk

dt

dR ∗= avec ( ) ( )( )µ

µµ

αλαλαh

hhkRuk

−−−+=∗

11

1, , (47)

La valeur de λ permet de modifier le comportement du ressort sans dissipation :

- Effet d’assouplissement, (softening), voir la Figure 1 :

( )dt

duuk

dt

dR ∗=⇒= 0λ , (48)

- Effet linéaire :

dt

duk

dt

dR =⇒→2

1λ , (49)

- Effet de raidissement, (hardening) :

( )dt

duRk

dt

dR ∗=⇒= 1λ . (50)

Fig. 1. Comportement en assouplissement de ressort (sans hystérésis)

4.2 Modèle de Dahl

Si 1,0 == hλ , le modèle proposé correspond au modèle de Dahl

0R

kup = , (51)

0R

Rq = . (52)


PARTIE I. 48

L’équation (4) devient:

µ

−α=

00 R

uksgn

R

Rh

dt

duk

dt

dR . (53)

Si cRR =0 , (qui est une force critique du frottement de Coulomb), et les courbes

enveloppes sont réduites à des droites horizontales, l'équation (53) décrit alors le modèle de

Dahl et génère la boucle présentée Figure 2.

( )( )ξηξηsgn

dt

d

dt

d −= 13500 , (54)

cRRuu == ηξ ,0 . (55)

Fig. 2 Modèle proposé limité au modèle de Dahl

4.3 Modèle d’hystérésis avec assouplissement

Une boucle d’hystérésis est produite typiquement, par exemple, par un effort de

cisaillement d’une paire d'amortisseurs montés en vis-à-vis l'un de l'autre. Le modèle

correspondant est obtenu avec1=λ :

0R

Rp −= , (56)

0R

kuq −= . (57)


PARTIE I. 49

Fig. 3. Hystérésis avec effet d’assouplissement

L’équation (4) devient:

µ−

−

α=

00 R

Rsgn

R

ukh

dt

duk

dt

dR

, (58)

et génère la boucle tracée Figure 3 avec α=5, k=1750, 1000 =R , )(

00 R

Rsgn

R

R

eh

−= et µ=1.

4.4 Suspension de caméra infrarouge

L’amortisseur cylindrique à frottement sec, schématisé Figure 4, équipe la suspension

d'une caméra infrarouge embarquée [77]. Il se compose de ressorts coniques et cylindriques

pré-chargés. Un circlip intérieur maintient en contact deux plaques demi-lune contre la paroi du

corps et assure ainsi un frottement sec périphérique quand il y a déflexion verticale.

La Figure 5-a montre les boucles verticales force-déflexion mesurées à 15Hz pour

différentes amplitudes de déflexion. Modéliser cet amortisseur impose 0=λ . Ainsi les

équations (51), (52), et (53) restent valides. La boucle tracée Figure 5-b est obtenue avec le

modèle :

( )( )uRsgne15dt

du2500

dt

dR )t5000cos(01.0)uu(sgn

−= +− . (59)


PARTIE I. 50

Fig. 4. Amortisseur de caméra infrarouge

(a) mesurée (b) calculée

Fig. 5. Boucle effort déflexion à 15 Hz pour plusieurs amplitude de déflexion

4.5 Amortisseur à coussins métalliques

Les Figures 6-a et 6-b montrent la photo et le schéma d'un amortisseur entièrement

métallique utilisé notamment pour la protection vibratoire d'équipements électroniques

embarqués. Il travaille essentiellement en traction compression et possède une double butée.

Son corps en aluminium a une hauteur de 22,5 mm et un diamètre de 28,5 mm. L’axe équipé

des deux butées, les deux ressorts coniques et les deux coussins sont en acier. Toute déflexion

(traction ou compression) écrase un des deux coussins métalliques et génère par voie de

conséquence de la dissipation par contact entre les multi-brins métalliques, entre le coussin et le

corps de l’amortisseur.


PARTIE I. 51

Ressortsconiques

Coussinsmétalliques

Corps

Axe

(a) (b)

Fig. 6. Plot à coussins métalliques

4.5.1 Régime quasi-statique

Le plot soumis à une déflexion imposée de 20 mm/mn fournit après 4 cycles

d’échauffement, la boucle force-déflexion tracée Figure 7-a, voir [75]. le comportement

asymptotique vertical pour une déflexion de +/-6mm est imputable à l’effet de la double butée.

La dissipation est la plus importante pour des déflexions situées entre 4 et 6mm d’une part et –4

et –6mm d’autre part : ceci est dû au fort écrasement d’un des deux coussins métalliques.

(a) (b)

Fig. 7. Boucles force-déflexion obtenues par la mesure (a) et par le modèle proposé (b) du plot

à coussins métalliques en traction-compression quasi-statique


PARTIE I. 52

Comme il y a raidissement, λ= 0 s’impose et l’équation (4) devient :

µ

−α=

00 R

uksgn

R

Rh

dt

duk

dt

dR , (60)

avec

1,0,1,45500 0 =>== µα kRk . (61)

la fonction enveloppe est approchée par la méthode des moindres carrés :

uul eeuh 20501650 00025.001.02.708063.8 +−+−= − , (62)

uuu eeuh 4702550 68.300005.08.430712.1 +−+= − , (63)

( ) ( ) ( )2

"" hhusgnhh

h uu −++= , (64)

la Figure 7-b montre que le modèle obtenu est proche du comportement mesuré Figure 7-a.

4.5.2 Régime harmonique

L’analyse de boucles force-déflexion mesurées à trois fréquences (20, 30 et 50 Hz)

montrent que les caractéristiques de plot à coussins métalliques sont indépendantes de la

fréquence mais changent légèrement avec l’amplitude [71]. La Figure 8-a montre les courbes

force-déflexion mesurées à 20 Hz pour plusieurs amplitudes de déflexion.

(a) (b)

Fig.7. Boucles force-déflexion obtenue par la mesure à 20 Hz (a) et par le modèle proposé (b)

du plot à coussins métalliques en traction-compression


PARTIE I. 53

Le modèle est établi en retenant là aussi λ= 0. L’équation est identique à (60) mais les

paramètres sont :

1,0,1,87500 0 =>== µα kRk . (65)

Par la méthode des moindres carrés la courbe enveloppe est approchée par :

( ) ( ) ( )2

sgn""

hhuhhh uu −++= , (66)

avec :

( ) ( ) ( )uuuuuuuul eeeeeeeeh cc 8.13.403.3263.168.31001.0001.0003.0 22 ++−−−−−+= −−−− , (67)

( ) ( ) ( )uuuuuuuuu eeeeeeeeh cc 5.14.45.53.81.192.25001.0001.0004.0 22 +−+−−+−+= −−−− , (68)

où u est exprimé en en mm, et uc sont les déflexions maximales des boucles expérimentales qui

servent à régler les constantes du modèle. La méthode de tir (méthode de Runge-Kutta associée

à la méthode de Newton-Raphson [52, 70, 113] est utilisée lors des simulations de type

réponse. Les logiciels ont été développés sous Matlab [6].

Dans [58, 71, 75] sont utilisés les notions de raideur et de facteur d’amortissement

dynamiques équivalents par cycle rappelées par la relation (I.50) et tirées de la mesure. A

condition d’approcher la force imposée, Figure 8, le modèle proposé peut aussi fournir en

utilisant les formules (I.50) ces caractéristiques dynamiques équivalentes qui sont comparées à

celles de la mesure, Figures 9 et 10. Dans la Figure 10 sont aussi reportés les facteurs

d’amortissement obtenus par la mesure de l’aire de chaque boucle de différentes amplitudes

(méthode d’énergie ou de la surface). L’accord calcul-mesure est très satisfaisant.

Fig. 8. Amplitude de la force imposée au plot

à coussin métallique


PARTIE I. 54

Fig. 9. Raideur dynamique équivalente Fig. 10. Facteur d’amortissement équivalent

Figure 9. représente la raideur dynamique équivalente du plot à coussins métalliques obtenus

par la mesure, et par le modèle proposé tandis que Figure 10 montre le facteur d’amortissement

équivalent du plot à coussins métalliques obtenu par la mesure, par le modèle proposé en

utilisant équation (I-50, 54), dans l’équation (I-54) à la place E′ la raideur dynamique est

utilisée.

La raideur équivalente est maximale aux faibles amplitudes de déflexion, l’amortissement

diminue aux grandes déflexions.

4.6 Plot en élastomère

L’analyse porte sur un plot cylindrique en élastomère et à queues filetées, [58, 71, 75] en

régime harmonique. Les boucles expérimentales mesurées pour différentes amplitudes de

déflexion révèlent un comportement raidissement-assouplissement, voir Figure 11-a. Le

modèle est réglé avec λ= 0, et correspond à l’équation (60) avec toutefois pour paramètres :

1,0,1,21500 0 =>== µα kRk . (69)

La fonction enveloppe est approchée avec l’aide des moindres carrés (u est en mm) :

( ) ( ) ( )2

sgn""

hhuhhh uu −++= , (70)

avec :

( ) ( ) ( ) uuuul eeueeh ccc 45.005.45.33.4 5.3269.614.1456.146.3315.54 −−−− −−++−= , (71)

( ) ( ) ( ) uuuuu eeueeh ccc 45.07.11.27.1 3.1302.763.487.52.12586 −−−− −−−++= , (72)


PARTIE I. 55

(a) (b)

Fig. 11. Boucles force-déflexion de traction compression mesurées (a) et calculées avec le

modèle proposé (b) du plot en élastomère.

Comme précédemment les formules (I–50, 54) sont utilisées pour extraire des boucles

calculées les raideurs et facteur d’amortissement équivalent en utilisant la force appliquée,

(Figure 12 représente la plus grand boucle), et qui sont, Figures 13 et 14, comparés à ceux

obtenus par la mesure. Pour ce qui est du facteur d’amortissement, là encore la méthode de la

mesure de la surface est aussi utilisée pour élargir la comparaison, Figure 14.

Fig. 12. Force appliquée au plot en élastomère du plot en

élastomère


PARTIE I. 56

Fig. 13. Raideur dynamique équivalente Fig. 14. Facteur d’amortissement équivalent

Figure 13. représente la raideur dynamique équivalente du plot en élastomère obtenus par la

mesure, et par le modèle proposé, tandis que Figure 14 montre le facteur d’amortissement

équivalent du plot en élastomère obtenu par la mesure, par le modèle proposé.

Dans la majeure partie de la plage des amplitudes de déflexion analysées l’accord est

satisfaisant.

5. Conclusion

L’opérateur d’hystérésis proposé permet de modéliser la force de restitution

d’amortisseurs à comportement élastoplastique ou viscoélastique à partir des courbes

enveloppes. Les courbes enveloppes de la boucle effort-défléxion sont établies à partir d’essais

soit quasi-statiques soit harmoniques. Le modèle proposé dont les fondements mathématiques

ont été établis a été validé expérimentalement en analysant les boucles effort déflexion, mais

aussi les raideur et amortissement équivalents que l‘on peut extraire du modèle. On note

toutefois que la modélisation des comportements viscoélastiques est délicate à réaliser.

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