Chapitre I Module DS

8/17/2019 Chapitre I Module DS

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Chapitre I: vibrations linéaires des systèmes à 1 degrés de liberté

Mr :abdelaziz Page 1

I.1 Oscillations libres non amorties : Système à un degré de liberté

I.1.1 Mouvement périodique :

Définition : C’est un mouvement qui se répète à intervalles de temps réguliers, cet intervalle est

appelé période (T) qui s’exprime en seconde (s).Pour les mouvements rapides, on utilise la fréquence : exprimée en Hertz (HZ)

I.1.2 Mouvement vibratoire :

Définition : Un mouvement vibratoire est un mouvement périodique se produisant de part est

d’autre d’une position d’équilibre. On peut aussi définir un mouvement vibratoire par sa fréquence . La fréquence indique le nombre d’oscillations complètes (dans le sens aller retour) se produisant par seconde.

On peut établir la relation entre la fréquence et la période: T=1/f et f=1/T

La période T des oscillations est le temps mis par le système pour revenir à une position identique

quelque soit le choix de cette position. C’est aussi, le temps mis pour faire une oscillation

complète ou un « aller-retour ». Mathématiquement, le mouvement périodique de période T est

défini par:

, ( + ) = ()I.1.3 Mouvement vibratoire libre

Définition : les vibrations libres sont les vibrations qui résultent lorsqu’on écarte un système de sa

position d’équilibre ou on lui donne une vitesse initiale, puis on le laisse vibrer librement.

Exemples : Une masse accrochée à un ressort - un pendule simple - le balancier d’une horloge - la

rotation d’un moteur tournant à vitesse constante….. etc.

I.1.4 Mouvement vibratoire sinusoïdal

Définition : un mouvement vibratoire est sinusoïdal, si un point vibrant possède une élongation du

type :

() = ( + ) La grandeur () est appelée l'élongation (ou la position) à

l’instant t, l’élongation maximale ou l’amplitude du mouvement,

elle varie entre – A et +A.

La quantité est la pulsation du mouvement et exprimée en ( /s).


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la quantité ( + ) est la phase instantanée, exprimée en (radian, sans dimension), l’angle est la phase initiale, correspond à la phase à l’instant t=0

I 1 5 Vibration harmonique

Définition : On appelle vibration harmonique tout système dont le paramètre

(

) qui la

caractérise est une fonction sinusoïdale du temps : () = ( + ) La fonction cosinus est une fonction périodique de période 2. Si T est la période

temporelle du mouvement, on aura donc:

[( + ) + + ] = 2 ⟹ = On en déduit l’expression de T en fonction de pulsation :T= / .

La fréquence f, nombre d’oscillations par seconde correspond à l’inverse de lapériode T : f = 1/T. Il existe d’autres expressions équivalentes pour la fonction x(t).En effet, la fonction sinus est équivalente à la fonction cosinus décalée de π/2. Onpeut donc écrire : = cos( + ) = sin( + ') avec ' = + /2

Donc :Les grandeurs caractéristiques d’une vibration harmonique sont :- L’amplitude A, - La période T, = 2/= 2 ;: , : é.- La phase .

I 1 5 1 oordonnées généralisées d’un système physiqueDéfinition : Les coordonnées Généralisées sont l’ensemble de variables réellesindépendantes ou liées

permettant de décrire et configurer tous les éléments du système à tout instant t.

Par exemples :

un point matériel libre dans l’espace peut êtredéterminé par 3 coordonnées généralisées (x, y, z);

un corps solide peut être déterminé par 6 coord. génér. :

- 03 coordonnées relatives au centre de gravité;

- 03 coordonnées liées aux angles d’Euler ,, ) Les coordonnées généralisées d’un système de points

matériels et corps solides sont défini par : = 3 +6


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On note :

Les coordonnées généralisées : 1(), 2(,………. ().Les vitesses généralisées : ̇, ̇ … … … … … . ̇

I 1 5 2 degré de liberté

Définition : Le degré de liberté est le nombre de coordonnées généralisées indépendantes,

nécessaires pour

configurer tous les éléments du système à tout instant : = Où, le nombre de coordonnées généralisées liées, pour configurer tous les éléments du

système à tout instant moins (-) le nombre de relations reliant ces coordonnées entre

elles : =

: Degré de liberté ;

: Nombre de coordonnées généralisées : Nombre de relations reliant ces coordonnées entre elles. : Nombre de coordonnées généralisées : Nombre de relations reliant ces coordonnées entre elles.Exemples :

Un disque de masse m et de rayon r, roule sans glisser sur un plan horizontal.

Ici on a deux coordonnées généralisées

et

donc

=

.

et sont liées avec une relation: = donc : = .Le nombre de degrés de liberté = = .

Un système mécanique constitué de 02 points matériels 1 et 2 reliés d’une tigede longueur l.1(1, 1, 1) : 3

2(

2,

2,

2) : 3

l'équation de liaison l = x x y yz z = c , ⇒ r = 1 ⇒ d = 5I 1 6 Equation différentielle du mouvementDans ce cours, on établi l’équation différentielle en utilisant le formalisme de Lagrange.L’intégration de cette dernière permet de donner l’équation du mouvement. I 1 6 1 Formalisme de Lagrange

La méthode de Lagrange, mise de l’avant en 1788 dans son célèbre traité la mécaniqueanalytique, a pour but


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d’´etablir de manière systématique les ´équations différentielles déterminant lemouvement du système m´mécaniqueétudiée, en fonction des coordonnées généralisées, à partir simplement de l’expression del’´energie cinétique et del’énergie potentielle. En un sens, elle schématise au maximum l’étude des problèmesm´mécaniques en offrant le

chemin le plus court et le plus sûr vers les ´équations du mouvement. Lagrange se vantait

que son traité ne contenait

aucune illustration ou schéma et que la m´méthode qu’il proposait était purementanalytique.

Ce formalisme repose sur la fonction de Lagrange(

=

. L’ensemble d’équations dumouvement s'écrit:

L: Fonction de Lagrange ou Lagrangien• T : L’énergie cinétique du système;

• U : L’énergie potentielle du système ;

• : est la coordonnée généralisée et ̇ est la vitesse généralisée du système.Pour un système à un degré de liberté, N= 1 ou ddl=1 l’équation dumouvement s’écrit :

Remarques :

• Pour un mouvement unidimensionnel

, l’équation de Lagrange s’écrit : Pour un mouvement rotationnel , l’équation de Lagrange s’écrit :

I.1.6.2 Exemples d’oscillateurs harmoniques


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Exemple 1 : Pendule élastique vertical Un pendule élastique est constitué d’une massesuspendue à un ressort de raideur k et peut donc osciller

verticalement avec une élongation ().Le système nécessite une seule coordonnée généralisée x(t) qui

peut décrire le mouvement de la masse m et de l’extrémité mobiledu ressort. Donc le système a un seul degré de liberté d=N=1.Supposant que le ressort est idéal…..

L’énergie cinétique du système: = ̇ L’énergie potentielle du système: l’énergie emmagasinée dans le ressort dépendde l’allongement des 2 extrémités du ressort. Elle s’exprime :

La fonction de Lagrange : L=T-U

L’équation de Lagrange : ̇ = 0

On divisant par m ⇒ ̈ = 0 le rapport k/m étant positif et en posant : = ⁄ on obtient l’équation différentielled’une vibration harmonique de la forme :

⇒ ̈ = 0

La pulsation 0 ne dépend que de la masse et de la raideur du ressort, est appelée « lapulsation propre » du système.

La masse oscille donc indéfiniment avec une période propre 0 donnée par la relation suivante:

Exemple 2 : Pendule pesant simple


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Un pendule simple est constitué d’un solide de petite dimension de masse m suspendu à un point

fixe O par un fil inextensible de longueur L. Ecarté de sa position d’équilibre, il oscille dans le

champ de pesanteur terrestre g.

Les coordonnées du système :

L’énergie potentielle du système:

=

(h est la hauteur de m par rapport à un plan de

référence donnée.)

NB : On a deux possibilités pour calculer la valeur du déplacement h, selon le choit de l’origine des

énergies potentielles (U(0)=0), ce choit doit avoir lieu lorsque la masse est dans sa position

d’équilibre θ = 0. L’énergie potentielle correspond à l’énergie potentielle de pesanteur.

1er

cas : si on choisi comme origine des énergies potentielles l’axe () on a donc :ℎ = .cos (Le signe moins vient du fait que la masse m est inférieur à l’axe choisi).Dans ce cas : =..

2ème

cas : si on choisit comme origine des énergies potentielles (U(0)=0) l’axe (′’).À l’équilibre, on aura : ℎ =.cos. Dans ce cas : = (1-)Calcule du lagrangien : =

1er

cas : On remplaçant T et U dans L on trouve : = ̇ mgl.cosθ L’équation deLagrange :

̇ = 0

Dans le cas des faibles oscillations, les angles sont très petits on a : s in θ ≈ θc o s θ ≈ 1 ≈ 1 On aura donc ̈ =0, En divisant par ml2 on trouve : ̈ = 0 C’est l’équation de l’oscillateur harmonique de pulsation propre :

= ⁄

On trouve enfin : ̈ = 0


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I.1.6.3 Solution de l’équation différentielle du mouvement

L’équation différentielle (EDF) du mouvement est de la forme :

⇒ ̈ = 0

C’est une équation différentielle du second ordre sans second membre dont la solution sous la

forme complexe est de la forme : = La dérivée première de la fonction ()) (la vitesse) : ̇ = La dérivée seconde de la fonction () (l’accélération) : ̈ = On remplace dans l’EDF : = 0 ⇒ = 0 Donc la solution aura la forme: = Selon la relation d’Euler :

± =cosω

t±jsinω

tx t = A cos ωtjsin ωt A cos ωtjsin ωtxt=A A cos ωt j A A sin ωt = C cos ωtDsin ωtTel que : C =( 1 + 2 ) et D= ( 1 − 2 )Donc ()=C cos 0t+D 0 est aussi une solution de l’équation différentielle. Si on pose : =. et = .sin , on aura : ()= . cos 0t+.sin 0 cosx y ≡ cos x cos y sin x sin y donc ∶ xt = acos ωt θ=acos ωt φ , φ

=θ

π

donc: xt =acos ωt φ,T el que ∶ a = C D et θ = arc tang DAI.1.7 Systèmes équivalents

Définition : C’est un système simple qu’on représente en générale par un ressort équivalent ou une

masse équivalente.

I.1.7.1.1 Masse équivalente : Cas d’un ressort de masse non négligeable.

: La masse du ressortAu repos :


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• : La longueur du ressort.• dm : masse élémentaire située à une

distance y du point de suspension

En mouvement :

o () : Déplacement instantané del’extrémité mobile du ressort.

o : Déplacement de la masse élémentaire ⟹ = .o la masse linéique du ressort à une distance l: ̅ = ⇒ = ̅ .l.o La masse de l’élément du ressort : = ̅ . =

⟹L’énergie cinétique = Σ toutes les énergies de ses éléments;

I.1.7.2 Ressorts équivalents : On a 3cas :

1er

cas : Ressorts en paral lèles (en oppositions) :

L’élongation de chaque ressort est égale à x(t) donc : .= (1+2)=.⟹=+ 2

éme cas : Ressorts en séries :

Soit 1 : l’élongation du ressort 1 tel que : .=1 1 Soit

2 : l’élongation du ressort

2 tel que :

.

=

2

2


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⟹ x = x1 x2 = M. g 1k1 1k2

1K = ( 1k1 1k2 ) ⟹ K = k1

k2

k1 k2

3éme

cas : Barre liée à02 ressorts (Distance non négl igeable)

I.2 Oscillations libres amorties : Système à un degré de liberté

Introduction : Le pendule élastique comme le pendule pesant, se comporte comme un oscillateur

harmonique à la condition de négliger tout frottement. Il oscille alors théoriquement sans jamais

s’arrêter. En réalité, la masse se déplace dans un fluide (en général l’air) où il existe toujours des

forces de frottement de type visqueux. L’oscillateur est alors amorti et fini par s’arrêter.

II.2.1 Oscillations libres amorties

La présence de frottements implique une dissipation d’énergie sous forme de chaleur ; on observe

alors

• soit des oscillations dont l’amplitude diminue au cours du temps,

• soit un retour à l’équilibre sans oscillation.

On parle alors d’amortissement. L'expression de la force de frottement visqueux est la suivante :

Fq =αq ̇ Tel que : : est le coefficient de frottement visqueux. : [./].q : la cordonnée généralisée du système ;

̇ : La vitesse généralisée du système.


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Le signe moins (-) vient du fait que cette force s'oppose au mouvement en agissant dans la

direction et le sens contraire à la vitesse. Dans un mouvement unidimensionnel x la force s’écrit

sous la forme :

⃗ =⃗ = ̇ ⃗ I.2.2 Equation de Lagrange dans un système amortiEn tenant compte de la force de type frottement fluide (coefficient de frottement visqueux ),l’équation de Lagrange dans ce cas devient : ( ̇ ) () = Sous l’action des forces de frottements, le système dissipe (perde) de l’énergie mécanique sous

forme de chaleur, il ya donc une relation entre la force

et la fonction de dissipation

d’un côté

et la fonction de dissipation et le coefficient de frottement visqueux : = ̇ = ̇ L’équation de Lagrange dans le cas d’un système amorti devient :

̇ = ̇ I.2.2.1 Equation différentielle : Système masse-ressort-amortisseur

Reprenons le cas du pendule élastique (vertical par exemple). L’étude de l’oscillateur amorti se

fait de la même façon que précédemment mais en ajoutant la force de frottement visqueux. A une

dimension, l’équation de Lagrange s’écrit : ̇ = ̇ L’énergie cinétique du système : c’est l’énergie cinétique de la masse m : = ̇ L’énergie potentielle du système : c’est l’énergie emmagasinée dans le ressort: = La fonction de dissipation : = ̇ La fonction de Lagrange : L = T U ⟹ L = ̇

En remplaçant dans l’équation de Lagrange on aura :

̈ = ̇ ⇒ ̈ ̇

= 0


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C’est l’équation différentielle du mouvement dans le cas d’un système libre amorti.

Par rapport aux oscillations libres non amorties, on reconnaît un nouveau terme ( ̇)

provenant de la dissipation d’énergie

La forme générale: ̈ ̇ = 0 Souvent l'équation différentielle est écrite sous une forme dite réduite :̈ 2 ̇ = 0 Tels que ∶

{ = 2 [1] : . = : .

À une dimension la forme réduite s’écrit : ̈ 2̇ = 0 I.2.2.1 La solution de l’équation différentielle : Système masse-ressort-amortisseur

L’équation différentielle du mouvement : ̈ 2 ̇ = 0 Il s’agit d’une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants sans

second membre.

La fonction x(t)= Dert est une solution particulière de cette équation différentielle à

condition que soit une des deux racines 1 et 2 de l’équation du second degré,appelée équation caractéristique .

2 = 0 La solution générale de l’équation prend la forme : = Tel que: 1 = 2 022 = 2 02 ; On voit bien que la solution dépend des valeurs de δ et w0.1

er cas : < ω0 (0


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La solution∶ = −sin Remarque: () représente un mouvement vibratoire. L’amplitude − est décroissante :()tend vers 0 quand t augmente l’élongation x (t ) va osciller en restant

comprise entre

−

− .Ces deux exponentielles représentent l’enveloppe du

mouvement de l’oscillateur c’est-à-dire les positions extrémales.

prises par x lorsque le temps s’écoule.

2 éme cas : δ = ξ = 1 ∶ ∶ = = δLa solution : : = −

= = ⇒ = = 2√ ∶ Valeur critique du coefficient de frottement.Remarques :

• () n’est pas oscillatoire car il ne contient pas un terme sinusoidal. • () tend vers 0 sans oscillation quand le temps augmente.• Le système revient à sa position d’équilibre le plus rapidement possible.

3éme

cas : > ω0 (>1) : système sur - amorti ou for tement amorti⇔ 1 = 2 022 = 2 02 ;

La solution :

= − + − +− Remarques :

• () tend vers 0 sans oscillation quand le tempsaugmente.

•

(

) est un mouvement non sinusoïdal


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I.2.3 Décrément logarithmique

Définition : C’est le logarithme du rapport de 2 amplitudes successives des oscillations amortie

= l n

; =

Où (1) et (1+) représentent les amplitudes des oscillations aux instants 1 et (1+):généralement ces deux instants sont choisiscorrespondent à deux extrema successifs de même

signe. Cette quantité mesure la décroissance des

amplitudes pendant une période.

= l n = ln Pour un système amorti : = −sin

⇒ = l n = ln −sin −+sin =ln =

= − = 2 − ; donc: = l n = = 2 − Remarques :

• Pour plusieurs périodes :

=

;

2=

1+

⟹ = l n = ln = = 2 1 • La pseudo- période et le décrément logarithmique n’ont de sens que si le régime est

pseudopériodique.

I.2.4 Facteur de qualité (Facteur de surtension)

La notion ‘qualité’ est la grandeur qui traduit l'aptitude du système à garder son énergie tout

en oscillant. Pour décrire l'amortissement d'un système oscillant, soit mécanique ou électrique

on utilise le facteur de qualité définit par l’expression suivante : = 2 || • : est l’énergie maximale stockée dans le système. • |Δ| : est l’énergie perdue par cycle. • La qualité est d’autant meilleure que le rapport

|| est grande .I.2.4.1 Calcule du facteur de qualité : système masse-ressort-amortisseur (,,)

Prenons l’exemple d’un système masse-ressort-amortisseur (

,

,

) faiblement amorti dont la

solution de l’équation différentielle est sous la forme :


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Supposons que l’amortissement est très faible ⟹ = 02 2 ≈ 0 Dans un système libres amorti, l’énergie mécanique n’est pas constante mais commel’amortissement est très faible on peut utiliser : = D’autre part: Δ = ∫ + Tel que : (): est la force de frottement visqueux : =̇ o On retrouve bien une variation négative de l’énergie c’est-à-dire qu’il ya une perte

d’énergie au cours du temps. o L’énergie perdue se transforme en énergie thermique ou elle se disperse en se diffusant

dans le milieu avoisinant.

En remplaçant dans l’expression de , on trouve :

I.3 Oscillations forcées amorties : Systèmes à un degré de liberté

Introduction : On a vu que l’amortissement des oscillations était dû à une diminution de l’énergie

mécanique sous forme de chaleur dissipée. Pour compenser ces pertes d’énergies et entretenir

(conserver) les oscillations, il faut une source d’énergie à travers une force extérieure. On va donc

rajouter une force extérieure souvent dite excitatrice.

Il va donc y avoir une force supplémentaire qu’il vaut mieux qu'elle soit colinéaire au mouvement

et qu'elle soit le plus possible dans le sens du mouvement. Dans ce partie, on étudie la réponse d’un

système amorti à 1 ddl à une excitation harmonique sinusoïdale produite par une force extérieure au

système. Ce type d’excitation se rencontre fréquemment dans l’industrie (machines tournantes,

ventilateurs, moteurs, pompes …).

I.3.1Equation différentielle du mouvement

a) Pour un mouvement de translation, on écrit : ̇ = ̇

b) Pour un mouvement de rotation avec un angle , on écrit ̇ = ̇


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∶ = . = ( ̇ ) .

(

) : Est le moment de la force appliquée [N.m].

Le moment : caractérise la capacité d’une force à faire tourner un objet autour d’un point.

L : Le bras du levier : est la distance droite d’action de la force.

r : La distance parcourue par la masse dans la direction de l’action de la force.

III.3.1.1 Exemple : système masse-ressort-amortisseur

Reprenons le cas du pendule élastique (vertical par exemple).

L’étude de l’oscillateur amorti se fait de la même façon que

précédemment mais en ajoutant une force extérieure

(). A une dimension, l’équation de Lagrange s’écrit : ( ̇ ) () = ( ̇ ) Prenons une force sinusoïdale appliquée à la masse m : =.L’énergie cinétique du système : c’est l’énergie cinétique de la masse m : = ̇ L’énergie potentielle du système : c’est l’énergie emmagasinée dans le ressort:

=

La fonction de dissipation : = ̇ La fonction de Lagrange : L = T U ⟹ L = ̇


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En remplaçant dans l’équation de Lagrange on aura :

̈ = ̇ ⇒ ̈ ̇ =

Tels que ∶ = 2 [1] : . = : .

Nous obtenons donc une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants

avec second membre.

I.3.2 Solution de l’équation différentielle du mouvement

La solution générale de cette équation différentielle est la somme de deux termes :

• Une solution de l’équation sans second membre : solution homogène (),• Une solution de l’équation avec second membre : solution particulière ().La solution totale de l’équation du mouvement sera donc : ()=()+ ()III.3.2.1 Solution homogène :

La solution homogène correspond à la solution de l’équation différentielle sans second membre : ̈ 2 ̇ = 0 Il apparaît que la solution de l'équation différentielle homogène est tout simplement la solution

trouvée pour l'oscillateur harmonique amorti en régime libre dans le cas des oscillations faiblement

amorties :

= − sin = Remarque :

La solution générale de l’équation sans second

membre correspond à un régime transitoire (qui ne

dure qu’un certain temps).

I.3.2.2 Solution particulière:

Lorsque la composante () devient vraiment négligeable, il ne reste plus que la solution particulière, qui est la solution imposée par la fonction d'excitation. Nous disons que nous sommes

en régime forcé ou régime permanent. La force excitatrice oblige le système mécanique à suivre une

évolution temporelle équivalente à la sienne. Donc si est une fonction sinusoïdale de pulsation; alors la solution particulière () sera une fonction sinusoïdale de même pulsation .


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Les oscillations de la masse ne sont pas forcément en phase avec la force excitatrice et présente un

déphasage noté . La solution particulière correspondant au régime permanent s’écrit dont : = s i n Pour des raisons pratiques, il est commode d’utiliser la notation complexe. La grandeur complexe

associée à x(t) s’écrit :

= + = Déterminer les grandeurs et revient à chercher le module de l’amplitude complexe I.3.2.2.1 Calcul de l’amplitude () Vérifie l’équation différentielle avec second membre : ̈ 2̇ = = ∗ Calculons la dérivée première puis le dérivé second :

= + ⇒ ̇ =+ = ̈ = + = On remplace dans (*) et on trouve: 2 = ⇒ 2 = 2+ = ⇒ 2 = On divise sur "

" et on trouve:

2 = − (1)Le conjugué de cette équation est la suivante : 2 = (2)

1 X 2 ⟹ 2 = ⟹ A = B 2 =cte I.3.2.2.2 Calcul de

2 = −

⇔

=2= ⇒ = 2

⇒ = 2 Donc :

xPt= B 02 22 22sin 202 2

Remarques:• La solution générale de l’équation différentielle s’écrit : ()=()+ ().

•

(

) est appelée solution homogène caractérisant un régime transitoire qui disparaît

exponentiellement avec le temps. Quand le régime transitoire disparaît : () ≈ ()


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() est appelée solution particulière d’amplitude A = 022222 caractérisant un régime permanent (stationnaire) car il subsiste aussi longtemps que la force extérieure () est appliquée. Nous notons la dépendance de l'amplitude A de la pulsation

La solution () aura donc souvent une allure caractéristique comme celle présentée sur la figure ci-dessous :

I.3.3 Etude du régime permanent : phénomène de résonance en amplitude

I.3.3.1 La variation de l’amplitude en fonction de la pulsation de la force pour différentes valeurs de

:

Soit () l’amplitude de la solution particulière caractérisant le régime permanent (forcé) : Aω= B 02 22 22

A = B02 1 202

2 202 2 = A 1 202

2 2022202

= A 1 202

2 22 02

Aω = A 1 022 22 02

Posons = ⇒ Aω = −+ et cherchons la valeur maximale de (). A() est maximale quand le dénominateur ()=(− )+() est minimal.

Aω ⇔

=0⇒21r²2r8ξr = 0


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= 0 ⇒ 4r1r²2ξ2 = 0 ⇒ r = 0

r = 1 2ξ2 On a un minimum ou un maximum selon le signe de la deuxième dérivée :

dArdr =12r 8ξ 4 , donc ∶r = 0 ⇒ dArdr = 8ξ2 4 < 0 ; 0 < < 1

r = 1 2ξ2 ⇒ dArdr = 8 1 6 ξ2 > 0; 0 < < 1

{

= 0 … … solution refusée

= 1 2ξ2 Donc :

∗ = 1 2 ξ > 1 ⟹ < √ >1 La variation de l’amplitudeen fonction de la pulsation de la force pour différentes valeurs de ξ est représentée sur la figure suivante:

Remarques :

• L’amplitude

augmente quand le rapport d’amortissement

diminue.

• L’amplitude de vibration atteint un maximum quand ≅ : on dit qu’il ya résonance.


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Discussions:

Au début d’un mouvement résonnant, lorsque la force est appliquée au système, la majeure partie de

l’énergie, fournie lors de chaque cycle, est emmagasinée dans le système; une faible partie se dissipe en

frottement. L’énergie ainsi emmagasinée par le système fait augmenter progressivement l’amplitude de ses

oscillations jusqu'à une valeur maximum. Cette valeur subsiste tant que subsiste l’apport d’énergie par la

force extérieure.

Plus l’amortissement est faible, plus cette courbe est aigue et plus le maximum est grand : en l’absence

d’un amortissement suffisant rien ne viendrait limiter les amplitudes des oscillations à s’amplifier, risque de

destruction du système : le système entre en résonance. Les conséquences peuvent être graves.

I.3.3.2 La variation de la phase en fonction de la pulsation de la force pour différentes valeurs de :

Soit la phase initiale de la solution particulière caractérisant le régime permanent (forcé) tel que := 2 • Nous remarquons que est négatif. Cela paraît normal qu'il y ait un retard de l'oscillateur par

rapport à la force qui entretient le mouvement. L'oscillateur harmonique essaie de suivre le

mouvement en étant ralenti par les frottements, donc il doit obligatoirement prendre du retard

par rapport à l'oscillation excitatrice donc avoir un déphasage négatif. Ce déphasage est

dépendant de la pulsation de la force .= 2 = 21 = 21

= 2 1 = 2 1

• Si = 1 = 0 ⟹ = ∞ ⟺ = 2 ; ∀ . • Si =0⟹ =0⟺=0 =

Remarques :

• L’oscillateur est en résonance de phase quand=−/ pour =.• L’oscillateur est toujours en retard de phase par

rapport à la force et ce retard augmente lorsque la

pulsation augmente.


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• L’oscillateur et la force sont en phase pour = I.3.3.3 Phénomène de résonance et Facteur de qualité

• Dans les systèmes éléctriques, ce phénomène permet de calculer le facteur de qualité quiaugmente lorsque l’amplitude maximale augmente

= .

• Une autre méthode pratique pour déterminer le facteur de qualité : = − • Pour caractériser l’acuité (intensité) de la réponse d’un oscillateur en fonction de la pulsation, on

définit une bande passante : −

La bande passante est la largeur mesurée en hertz, d’une plage de fréquence, elle peut aussi décrire un

signal, tout simplement c’est la différence entre la plus haute fréquence et la plus basse fréquence d’un

signal. Exemple : Siganl téléphonique 300Hz-3400Hz, Voix : 50Hz-3KHz…..etc

Conclusions :

• Quand augmente ⟹ diminue ⟹− augmente ⟹ la courbe de résonance est plus large⟹ diminution de l’amplitude de résonance donc de la qualité aussi. • Les extrémités de la bande passante correspondent à une amplitude de vitesse √ fois plus petitequ’à la résonance.

I.3.3.4 L'impédance mécanique

L'impédance mécanique est une mesure de la résistance opposée à un mouvement par une structuresoumise à une force donnée. Elle concerne les forces des vitesses agissant sur un système mécanique.

L'impédance mécanique d'un point sur une structure est le rapport entre la force appliquée en un point et

la vitesse résultante à ce point.

Exemple :

Pour la force de frottement visqueux :

=̇ ⟹ |Z| = ̇

̇ =

Chapitre I Module DS

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