CHAPITRE 8 

Géométrie analytique

Objectifs:

- Lire les coordonnées d’un vecteur sur un graphique.

- Représenter un vecteur dont on connaît les coordonnées.

- Calculer les coordonnées d’un vecteur.

- Savoir calculer les coordonnées du milieu d’un segment.

- Savoir calculer la longueur d’un segment dans un repère orthonormé.

Introduction sur les repères du plan

Il existe trois types de repère (O, I, J)

I

J

O1

1

Repère quelconque

I

J

1

1

Repère orthogonal

I J

O 1

1

O

Repère orthonormé

Dans ce chapitre, nous travaillerons dans un repère orthonormé (O, I, J).

I. Coordonnées d’un vecteur1) Formule de calcul

Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O, I, J),

Remarque: on note

A

B

xA xB

yA

yB

J

IO

si

deux points A et B ont pour coordonnées respectives (xA ;

yA) et

(xB ; yB), alors le vecteur AB a pour coordonnées:

( xB - xA ; yB – yA ).

AB AB ( xB - xA ; yB – yA )

Exemple : Dans un repère orthonormé (O, I, J) du

plan, on donne A(-3 ; 2) et B(6 ; 7).

Calculer les coordonnées de AB .

Cliquez sur l’icône pour voir l’animation On a AB ( 6-(-3) ; 7-

2 )donc AB ( 9 ; 5 )

2) Lecture graphique

Exemple : Dans l’exemple précédent

•le déplacement horizontal de

A vers B est de 9 unités vers

la droite :donc l’abscisse du

vecteur AB est +9

•le déplacement vertical de A vers B est de 5 unités

vers le haut : donc l’ordonnée du vecteur AB est +5

AB ( déplacement horizontal de A à B ; déplacement vertical de A

à B)

+9

+5

3) Propriété

Si deux vecteurs sont égaux,

alors leurs coordonnées sont égales.

Remarque: La réciproque est vraie.

Exemple : Dans un repère orthonormé (O, I, J) du plan,

on donne u (3 ; 2) et A(4 ; 7).

Calculer les coordonnées de B tel que u = AB.

On a AB( xB - 4 ; yB – 7 )

Or u ( 3 ; 2 ) et u = AB

Donc

27

34

B

B

y

x soit encore

9

7

B

B

y

xDonc B( 7 ; 9 )

On peut le vérifier graphiquement!

II. Coordonnées du milieu d’un segment

Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O, I, J),

Remarque: on note

A

B

xA xB

yA

yB

J

IO

si

deux points A et B ont pour coordonnées respectives

(xA ; yA) et (xB ; yB), alors le milieu M de [AB] a pour coordonnées :

xA+ xB yA + yB 2

M xA+ xB  yA+ yB

2 ; ( )

M

xA+ xB

2

yA+ yB

2 ( ) ;

2 2

Exemple: Dans un repère orthonormé (O, I, J) du plan,

on donne A(3 ; 5) et B(-1 ; -1) .

Calculer les coordonnées du milieu M de

[AB]. Les coordonnées du milieu

M du segment [AB] sont :

d’où M(1 ; 2)

2

2

BA

BA

yy

xx

2)1(5

2)1(3

2

1

On peut vérifier ce résultat graphiquement.

III. Distance entre deux pointsDans le plan muni d’un repère orthonormé (O, I, J),

Remarque: on peut facilement

démontrer cette formule avec

le théorème de Pythagore dans

le triangle dessiné ci-contre.

A

B

xA xB

yA

yB

J

IO

si

deux points A et B ont pour coordonnées respectives

(xA ; yA) et (xB ; yB), alors la longueur AB se calcule avec la formule

suivante:

AB

AB = √( xB - xA)²+ ( yB – yA )²

Exemple : Dans un repère orthonormé (O, I, J) du

plan, on donne A(-3 ; 2) et B(5 ; -2).

Calculer la distance AB.

Cliquez sur l’icône pour voir l’animation