Chapitre 8 - moodle.utc.fr · B= A qI: Cette matrice admet comme valeurs propres i qoù isont les...
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Analyse numrique lmentaire
Chapitre 8 : Calcul numrique des valeurs propres et des vecteurs propres
quipe de Mathmatiques Appliques
UTC
Juin 20075
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suivant I
2
Chapitre VIIIDtermination des valeurs propres et des
vecteurs propres
VIII.1 Rappels et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3VIII.2 Mthode de la puissance itre - nonc et hypothses . . . . . . . . . . . . . . 5VIII.3 Mthode de la puissance itre - convergence et remarques . . . . . . . . . . . 7VIII.4 Mthode de la puissance itre inverse - principe . . . . . . . . . . . . . . . . . 10VIII.5 Mthode de la puissance itre inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12VIII.6 Les mthodes de dflation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
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3 II
VIII.1 Rappels et notations
On rappelle que, tant donne une matrice A Mnn(IR), le problme de calcul des valeurspropres consiste trouver un scalaire tel quil existe un vecteur y, y 6= 0, tel que
Ay = y.
Notations Dans tout ce chapitre on notera 1, 2, ..., n les n valeurs propres distinctes ou nonde A et on supposera dsormais que
|1| |2| ... |n|,
1 sappelle la valeur propre dominante de A.On supposera que la matrice A est diagonalisable, il existe donc une base de vecteurs propres
que lon notera y(1), y(2), ..., y(n).
Le problme de la dtermination des valeurs propres deA est quivalent trouver les racinesdu polynme caractristique
PA(s) = det(sI A).
On pourrait penser que le calcul numrique des valeurs propres se ramne au calcul num-rique des racines dun polynme. En ralit cest linverse qui se fait. En effet, tant donn unpolynme
p(t) = tn + antn1 + an1tn2 + ...+ a2t+ a1,
on peut dmontrer (voir exercice de TD A.2.2 ) que ce polynme est le polynme caractristique
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JJ 4
Rappels etnotations
de la matrice suivante
A =
0 1 0 ... 00 0 1 ... 0...
.... . . . . .
...0 0 ... 0 1a1 a2 ... an1 an
.Les matrices A qui ont la forme prcdente sappellent des matrices "Compagnon".
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VIII.2 Mthode de la puissance itre - nonc et hypothses
Exercices :Exercice A.1.1
La mthode de la puissance itre est la suivante :x(0) donn dans IRn,
x(k+1) =Ax(k)Ax(k) , k 0, (VIII.1)
o . dsigne une norme quelconque.
Hypothses et notations On suppose que
|1| > |2| |3| ... |n|.
On a donc que 1 est une valeur propre relle simple (le montrer en exercice). On suppose que x(0) nappartient pas au sous-espace engendr par les vecteurs propres{
y(2), y(3), ..., y(n)}
. Soit p un indice tel que y(1)p 6= 0
Thorme VIII.1. Sous les hypothses prcdentes, la suite(x(k)
)kIN gnre par les relations
(VIII.1) possde les proprits suivantes :
limk
Ax(k) = |1|,
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JJ 6
Mthode de lapuissance
itre -nonc et
hypothses
on a dailleurs plus prcisment
limk
[Ax(k)]px
(k)p
= 1.
De plus la suite(x(k)
)kIN converge vers un vecteur propre associ 1 de la faon suivante :
limk
[sgn (1)]kx(k) = y(1), (VIII.2)
o est une constante relle.
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VIII.3 Mthode de la puissance itre - convergence et remarques
On va maintenant dmontrer le thorme VIII.1.On dmontre immdiatement que lon a :
x(k) =Akx(0)Akx(0) . (VIII.3)
En effet cette proprit est vraie pour k = 1 par construction mme de x(1), si lon suppose quela proprit est vraie pour k, on a alors
x(k+1) =Ax(k)Ax(k) =
AAkx(0)Akx(0)A Akx(0)Akx(0)
=
Ak+1x(0)Ak+1x(0) .En dveloppant x(0) sur la base des vecteur propres on peut crire
x(0) =ni=1
iy(i), 1 6= 0.
On obtient alors
Akx(0) =ni=1
iAky(i) =
ni=1
iki y
(i) = k1
(1y
(1) +ni=2
i
[i1
]ky(i)
)= k1w
(k), (VIII.4)
o lon a pos
w(k) = 1y(1) +ni=2
i
[i1
]ky(i),
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Mthode de lapuissance
itre -convergence
et remarques
en utilisant (VIII.3) et (VIII.4) on obtient
x(k) =k1|k1 |
w(k)w(k) = sgn (1)k w(k)w(k) , (VIII.5)or lim
kw(k) = 1y(1), car |i/1| < 1, i > 1, do
limk
sgn (1)kx(k) = y(1), o =1
|1|y(1) .
De mme daprs (VIII.3) et (VIII.4)
Ax(k) =Ak+1x(0)Akx(0) = k+11 w(k+1)k1 wk = 1sgn (1)k w
(k+1)w(k) (VIII.6)do Ax(k) = |1|w(k+1)w(k) ,et donc lim
k
Ax(k) = |1|.On a de plus en utilisant (VIII.5) et (VIII.6)
(Ax(k))px
(k)p
= 1w
(k+1)p
w(k)p
.
Or limk
w(k)p = 1y(1)p ( non nul par hypothse ), donc
limk
[Ax(k)]px
(k)p
= 1
Quelques remarques :
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Mthode de lapuissance
itre -convergence
et remarques
Si lon a par exemple 1 = 2 et |1| > |3| |4| ... |n|, cest dire si la valeur propredominante est double la dmonstration est encore valide, il suffit dcrire
x(0) = 1y(1) +ni=3
iy(i),
o 1y(1) est la composante de x(0) sur le sous espace propre associ 1 (qui est ici dedimension 2).Ce serait encore valable si 1 tait de faon gnrale multiple. Par contre si on a 1 6= 2et |1| = |2|, alors la dmonstration nest pas valable, cest ce qui se passe en particulierdans le cas des valeurs propres complexes.
Dans la formule (VIII.2) apparat le signe de 1, ce qui veut dire que, si 1 est ngatif,alors les vecteurs x(k) oscillent entre les deux vecteurs +y(1) et y(1). On verra en TD(exercice A.2.1 ) une variante de la mthode de la puissance itre qui utilise la normeinfinie judicieusement afin dviter ces oscillations.
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VIII.4 Mthode de la puissance itre inverse - principe
Si est valeur propre de A et que A est inversible, alors, de faon quivalente, 1 est valeurpropre de A1 et les vecteurs propres associs sont les mmes. On a en effet
Ay = y y = A1y A1y = 1y.
Par ailleurs dfinissons, pour q scalaire donn, la matrice
B = A qI.
Cette matrice admet comme valeurs propres iq o i sont les valeurs propres de A, la matriceB1 (si elle est dfinie, cest--dire si q nest pas valeur propre de A) admet pour valeurs propres
i =1
i q.
En effet si z est vecteur propre de B1 associ (i q)1, il est vecteur propre de B, donc de Aet il est videmment associ la valeur propre i. Vrification :
B1z = (i q)1z z = (i q)1Bz Bz = (i q)z (A qI)z = (i q)z Az qz = (i q)z Az = iz.
Soit A matrice diagonalisable dans IR, soit q un rel et soit j une valeur propre de A quivrifie
0 < |q j | < |q i|, i 6= j, (VIII.7)
cest dire q nest pas valeur propre de A et j est la valeur propre la plus proche de q. Il rsultede (VIII.7) que la matrice B1
B1 = (A qI)1
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Mthode de lapuissance
itre inverse- principe
admet1 =
1j q
comme valeur propre dominante. Donc pour q donn on peut sinspirer de lalgoritme de lapuissance itre appliqu B1 ce qui permet dobtenir 1, et on retrouve j en posant
j =11
+ q.
La mthode sappelle mthode de la puissance itre inverse.
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VIII.5 Mthode de la puissance itre inverse
Posons B = A qI. On donne x(0) arbitraire (ou presque !) et on dfinit la suite x(k+1) parBu(k+1)=x(k)
x(k+1)=u(k+1)u(k+1) , k 0. (VIII.8)
On peut noncer le thorme suivant :Thorme VIII.2. Soit q IR donn tel que q 6= i, i, et soit B = A qI. Si le vecteur initialx(0) nappartient pas au sous-espace engendr par
{y(i)}i=1...n,i 6=j alors la suite
(x(k)
)kIN gnre
par la mthode (VIII.8) possde les proprits suivantes :
limk
u(k) = 1j q ,
o j est la valeur propre de A la plus proche de q. On a dailleurs plus prcisment si y(j)p 6= 0
limk
u(k+1)p
x(k)p
=1
j q.
De plus la suite(x(k)
)kIN converge vers y
(j) le vecteur propre de A associ j de la faonsuivante :
limk
[sgn
(1
j q
)]kx(k) = y(j), (VIII.9)
o est une constante relle.On peut montrer que la mthode converge dautant plus vite que |q j | est petit devant
|q i|, i 6= j.
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VIII.6 Les mthodes de dflation
Les mthodes prcdentes permettent de dterminer une valeur propre et le vecteur propreassoci, par exemple la mthode de la puissance itre inverse permet de calculer la valeurpropre de plus petite valeur absolue si elle est unique. Donc si lon a dtermin par une mthodequelconque une valeur propre 1 ( v.p. dominante par exemple), on peut songer construire unematrice dans laquelle la valeur propre que lon vient de dterminer nest plus dominante et qui,par contre, possde toujours (j), j 6= 1 comme valeurs propres. La mthode de la puissance(par exemple) permet alors de dterminer une nouvelle valeur propre dominante de la famille(j), j 6= 1 et ainsi de suite. Cette procdure constitue ce quon appelle une mthode de dflation.
1er cas : A symtrique.Supposons que lon connaisse un vecteur propre y associ la valeur propre avec y2 =1. Considrons alors la matrice
B = A yy>.
Evidemment on aBy = Ay yy>y = y y = 0.
Par ailleurs si z est un autre vecteur propre de A associ une autre valeur propre on a
Bz = Az yy>z = z
car y>z = 0 en vertu de lorthogonalit des vecteurs propres. 2me cas : A quelconque (Mthode de Duncan et Collar)
Soit A une matrice quelconque et supposons quon a obtenu un couple propre (, y) etsupposons pour simplifier que la premire composante de y est gale 1. Notons A1 lapremire ligne de la matrice A, par dfinition du couple (, y) on a
A1y = y1 = . (VIII.10)
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Les mthodesde dflation
Dfinissons alors la matrice B par
B = A yA1.
Alors la premire ligne de B est nulle, en effet
B1 = A1 y1A1 = 0.
Par ailleurs, daprs (VIII.10) :
By = Ay yA1y = y y = 0. (VIII.11)Si lon suppose que les autres vecteurs propres de A ont leur premire composante nonnulle alors on peut les normaliser de faon ce quelle soit gale 1. Dans ces conditionssi (, z) est un autre couple propre de A ( 6= ) on a Az = z, donc
A1z =
etB(z y) = Bz = Az yA1z = z y = (z y)
la premire galit tant une consquence de (VIII.11). Les autres valeurs propres de Bsont donc identiques celles de A avec pour vecteurs propres associs z y . Rciproque-ment si (, u) est un couple propre de B , si on suppose que 6= 0 et que A1u = (ceciest toujours possible si A1u 6= 0) alors :
A(u+ y) = Bu+ yA1u+Ay = u+ ( )y + y = (u+ y)
On vient de dmontrer que (u + y) est vecteur propre de A associ la valeur propre .Pour obtenir les couples propres de A autres que (, y) , on se ramne donc rechercher lescouples propres de B (valeur propre non nulle). Compte tenu de la structure particulirede B (sa premire ligne tant nulle) on est ramen un problme de calcul de valeurspropres dans IRn1 .
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Annexe AExercices
A.1 Exercices du chapitre VIII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16A.2 Exercices de TD du chapitre 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
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A.1 Exercices du chapitre VIII
A.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
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Exercice A.1.1
Montrer que si A Mnn, si 1, 2, ..., n les n valeurs propres de A vrifient |1| > |2| ... |n|, alors 1 est une valeur propre relle et simple.
retour au cours
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A.2 Exercices de TD du chapitre 8
A.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19A.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23A.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
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Exercice A.2.1
1. Soit A Mnn(IR), on cherche dterminer la plus grande ( priori) valeur propre de A enmodule ainsi quun vecteur propre associ, pour cela on peut utiliser un algorithme inspirde la mthode de la puissance itre associ la norme .. On se donne un vecteur xnon nul et N un nombre maximal ditrations, puis on applique lalgorithme :
1: Dterminer p tel que |xp| = x2: x xxp3: pour k = 2 jusqu N faire4: y Ax5: yp6: Dterminer p tel que |yp| = y7: si |yp| < alors8: Arrter lalgorithme et crire 0 est valeur propre et x est vecteur propre
9: sinon10: E
x yyp 11: x yyp12: fin si13: si E < alors14: Arrter lalgorithme et crire est valeur propre et x est vecteur propre
15: fin si
16: fin pour
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Exercice A.2.117: Ecrire : lalgorithme na pas converg
(a) Appliquer lalgorithme prcdent A =
3 0 10 1 03 0 1
en choisissant x = 10
3
.(b) Mme question en partant de x =
113
.(c) Mme question en partant de x =
112
. On pourra montrer que les x obtenus sontde la forme
12k1
.2. (a) Calculer exactement toutes les valeurs propres de A et les vecteurs propres associs.
(b) Justifier les rsultats obtenus prcdemment.3. Etant donn q rel, on veut maintenant dterminer la valeur propre de A la plus proche
de q, cest dire dterminer i telle que|i q| |j q|, j = 1, . . . , n, on pose = i.(a) i. Montrer que q est la valeur propre de plus petit module de (A qI).
ii. Que vaut si q est valeur propre de A ?iii. Si q nest pas valeur propre de A, montrer que A qI est alors inversible et que
= ( q)1 est la plus grande valeur propre en module de (A qI)1.(b) Montrer que lalgorithme de la puissance itre pour trouver puis devient : on
se donne un vecteur x non nul, N un nombre maximal ditrations, et q rel puis onapplique lalgorithme :
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Exercice A.2.11: Dterminer p tel que |xp| = x2: x xxp3: pour k = 2 jusqu N faire4: Rsoudre le systme linaire (A qI)y = x5: si le systme na pas de solution unique alors6: Arrter lalgorithme et crire q est valeur propre
7: sinon8: yp9: Dterminer p tel que |yp| = y
10: E x yyp
11: x yyp12: fin si13: si E < alors14: = 1 + q
15: Arrter lalgorithme et crire est valeur propre et x est vecteur propre.
16: fin si
17: fin pour18: Ecrire : lalgorithme na pas converg
(c) i. On choisit q = 3, appliquer cet algorithme la matrice A prcdemment dfinie.
On partira de x =
111
.
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Exercice A.2.1ii. Mme question en choisissant q = 0.
iii. Mme question en choisissant q = 1, on partira de x =
113
.
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Exercice A.2.2
1. On dit que la matrice A est une matrice Compagnon, si elle scrit :
A =
0 1 0 . . . . . . 00 0 1 0 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .0 . . . . . . . . . 0 1a1 a2 . . . . . . an1 an
,montrer que le polynme caractristique de A scrit :
p() = n + ann1 + . . .+ a2+ a1.
2. En dduire une mthode pour calculer la racine de plus grand module du polynme
p(t) = tn + antn1 + . . .+ a2t+ a1.
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Exercice A.2.3
Soit A Mnn(IR) une matrice dont on connat une valeur propre non nulle et y unvecteur propre associ. On suppose que z est un vecteur de IRn vrifiant zT y = 1. On dfinit lamatrice B de la faon suivante :
B = A yzT .1. Montrer que y est un vecteur propre de B. Quelle est la valeur propre associe ?2. Il existe au moins une composante de y non nulle, supposons que yp 6= 0.
(a) Montrer que lon peut choisir zT =Apyp
.
(b) Montrer que lon a alors
B = A 1ypyAp.
(c) En dduire que la ligne p de B est nulle.3. (a) On suppose que et x sont une valeur propre et un vecteur propre associ de B, on
suppose que 6= 0, 6= , on dfinit
y = ( )x+Apx
ypy.
Montrer que y 6= 0, montrer que y est vecteur propre de A associ la valeur propre.
(b) On suppose que et y sont une valeur propre et un vecteur propre associ A, onsuppose que 6= , 6= 0, on dfinit
x = y ypypy.
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Exercice A.2.3Montrer que x 6= 0, montrer que x est vecteur propre de B associ la valeur propre.
(c) En dduire que si 6= 0, 6=
{ est valeur propre de A} { est valeur propre de B}
4. On dfinit C matrice extraite de B en supprimant la ligne p et la colonne p de B. Etantdonn v IRn1, on construit le vecteur x IRn de la faon suivante
xi = vi pour 1 i p 1, xp = 0, xi = vi1 pour p+ 1 i n.
Montrer que si 6= 0{Cv = v} {Bx = x}.
5. On dfinit
A =
5 2 3 42 5 4 33 4 5 24 3 2 5
.Sachant que cette matrice a pour valeur propre = 14 et pour vecteur propre associ
y =
1111
, construire par la mthode prcdente la matriceB et la matrice C, en dduireles autres valeurs propres et vecteurs propres de A.
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Index des concepts
Le gras indique un grain o le concept est d-fini ; litalique indique un renvoi un exercice ou unexemple, le gras italique un document, et le ro-main un grain o le concept est mentionn.
DDflation-mthodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
PPuissance itre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5Puissance itre inverse-mthode . . . . . . . . . .12Puissance itre inverse-principe . . . . . . . . . . .10Puissance itre-convergence . . . . . . . . . . . . . . . . 7
RRappels et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Solution de lexercice A.1.1
Si 1 tait complexe non relle, alors 1 serait une autre valeur propre 2 et on aurait |1| = |2|, ce qui est faux, donc1 est relle. Il est vident que 1 est simple.
Retour lexercice N
Dtermination des valeurs propres et des vecteurs propresRappels et notationsMthode de la puissance itre - nonc et hypothsesMthode de la puissance itre - convergence et remarquesMthode de la puissance itre inverse - principeMthode de la puissance itre inverseLes mthodes de dflation
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