CHAPITRE 7: INTRODUCTIONAUX MODELES DYNAMIQUES• Les p r o p r i é t é s des est i m a t eu r s u su els da n s les m o dè les dy n a m i q u es de

p a n el so n t di f f é r en t es de c elles des est i m a t eu r s p o u r les m o dè lesst a t i q u es

• Les est i m a t eu r s u su els so n t en g é n é r a l non c onv e r g e nt s , sa u f da n sc er t a i n s c a s p a r t i c u li er s

• A u t r e di f f é r en c e: p r o b lè m e des c ond i t i ons i ni t i a l e s du p r o c essu s

• B r è v e i n t r o du c t i o n à l’est i m a t i o n de c es m o dè les, q u i o n t c o n n u etc o n n a i ssen t en c o r e u n esso r i m p o r t a n t

• P o u r si m p li f i er , o n c o n si dè r e p r i n c i p a lem en t des m o dè lesa u t o r é g r essi f s d’o r dr e 1 du t y p e:

y it = γy it−1 + x itβ + α i + δ t + η it

1

• Plan:

1. les modèles à effets fixes2. les modèles à erreurs composées3. la méthode des moments généralisés qui permet de faire la

synthèse entre les différentes méthodes d’estimationproposées dans la littérature.

1. Modèles autorégressifs1.1 Modèle à effets fixes et estimateur dela covariance• Po u r s i m p li f i e r , o n c o ns i dè r e d’ab o r d le m o dè le au t o r é g r e s s i f s ans

v ar i ab le s e x p li c at i v e s :

y it = γy it−1 + α i + η it i = 1, . . . ,N, t = 1, . . . ,T,

o ù o n f ai t l’h y p o t h è s e de s t at i o nnar i t é |γ| < 1

2

• L’é c h a n t i llo n e st c y li n d r é

• Le s e r r e u r s so n t c e n t r é e s, h o m o sc é d a st i q u e s e t n e so n t p a s c o r r é lé e s a uc o u r s d u t e m p s:

Eη it = 0 Vη it = σ2 Eη itη it

′ = 0

• Le s o b se r v a t i o n s c o n c e r n a n t d e s i n d i v i d u s d i f f é r e n t s so n t su p p o sé e si n d é p e n d a n t e s

• R a p p e l: l’e st i m a t e u r d e la c o v a r i a n c e e st l’e st i m a t e u r li n é a i r e d em e i lle u r e p r é c i si o n d a n s le m o d è le st a t i q u e à e f f e t s f i x e s

• C e t e st i m a t e u r s’o b t i e n t e n e st i m a n t la r é g r e ssi o n d e s é c a r t s d e so b se r v a t i o n s à le u r m o y e n n e i n d i v i d u e lle :

y it − y i.

t= γy it−1 − y i. + η it − η i.

o ù :

y i.

t=

1T − 1∑t=2

T

y it , y i. =1

T − 1∑t=1

T−1

y it

3

η i. =1

T − 1∑t=2

T

η it

• P u i s q u ’i l n’y a q u ’u ne v ar i ab le e x p li c at i v e , l’e s t i m at e u r d e lac o v ar i anc e e s t :

γ =

∑i=1

n

∑t=2

T

y it − y i.

ty it−1 − y i.

∑i=1

n

∑t=1

T−1

y it − y i. 2

= γ +

∑i=1

n

∑t=2

T

η it − η i.y it−1 − y i.

∑i=1

n

∑t=1

T−1

y it − y i. 2

4

• Comme la v ar i ab le d é p en d an t e est v ar i ab le au c ou r s d u t emp s, led é n omi n at eu r d e la d eu x i è me ex p r essi on a p ou r p r op r i é t é :

n→∞

p li m 1n ∑

i=1

n

∑t=1

T−1

y it − y i. 2

=∑t=1

T−1

Ey it − y i. 2

= T − 1Ey it − y i.2 > 0

p u i sq u e la sé r i e y it est su p p osé e st at i on n ai r e

• S on n u mé r at eu r p eu t au ssi s’é c r i r e :

1n ∑

i=1

n

∑t=2

T

η ity it−1 − η i.y i. =1n ∑

i=1

n

∑t=2

T

η ity it−1 − T − 1η i.y i.

d on t la p r ob ab i li t é li mi t e est é g ale à :

T − 1Eη ity it−1 − Eη i.y i.

p u i sq u e l’on su p p ose q u e les sé r i es son t st at i on n ai r es

5

• Comme η it et y it−1 s ont non c or r é lé s (c ar η it n’es t p as c or r é lé av ec s onp as s é ), on a f i nalement :

n→∞

p li m γ̂ − γ = −

Eη i.y i.

Ey it − y i.2

• M ont r ons q u e l’e s t i m a t e u r d e la c o v a r i a n c e e s t b i a i s é

• P ou r c ela, d é v elop p ons l’ex p r es s i on d e y it en f onc t i on d e s on p as s é :

y it = η it + γη it−1 +. . .+γt−2

η i2 +1 − γ

t−1

1 − γα i + γ

t−1y i1 (1)

• E n s ommant , on ob t i ent :

T − 1y i. =∑t=2

T−1

1 − γT−t

1 − γη it

+

T − 2 −∑ 1−γt−1

1−γ

1 − γα i +

1 − γT−1

1 − γy i0

6

• Ainsi:

T − 12Eη i.y i. =∑t=2

T−1

1 − γT−t

1 − γσ

2

= σ2

1 − γT − 2 + γ − γT−1

1 − γ2

• L e b ia is s’e x p r im e d o nc c o m m e :

n→∞

p l im γ̂ − γ = −

σ2

T − 12.Ey it − y i.2

×1 − γT − 2 + γ − γ

T−1

1 − γ2

7

• Supposons q ue le v r a i m odè le ne soi t pa s dy na m i q ue (γ = 0)

• L’e st i m a t e ur de la c ov a r i a nc e du t e r m e dy na m i q ue c onv e r g e e n c e c a s

v e r s la q ua nt i t é −σ

2T − 2

T − 12Ey it − y i.2

• C e n’e st q ue da ns le c a s où le nom b r e de pé r i ode s de v i e nt t r è s g r a nd(T → ∞) q ue l’e st i m a t e ur de la c ov a r i a nc e e st c onv e r g e nt

• Le b i a i s v i e nt du f a i t q ue l’é li m i na t i on de l’e f f e t f i x e pa r é c a r t à lam oy e nne i ndi v i due lle i nt r odui t de la c or r é la t i on e nt r e pe r t ur b a t i ons,η i., e t v a r i a b le s e x pli c a t i v e s, y i.

• Le s v a r i a b le s e x pli c a t i v e s sont donc e ndog è ne s m a i s i l e st di f f i c i le depe nse r à de s m é t h ode s si m ple s de v a r i a b le s i nst r um e nt a le s

• I l e st v r a i q ue le b i a i s e st c a lc ula b le e t q ue l’on pour r a i t pe nse r à unem é t h ode e n de ux é t a pe s pour r e c ouv r e r la v r a i e v a le ur de γ

• O n e nv i sa g e i c i une a ut r e t r a nsf or m a t i on pe r m e t t a nt d’é li m i ne r l’e f f e tf i x e

8

1.2 Principe d’estimation convergente• Au li e u d e r e t i r e r la m o ye n n e i n d i v i d ue lle à t o ut e s le s o b s e r v at i o n s , o n

ut i li s e m ai n t e n an t l’o p é r at e ur d e p r e m i è r e d i f f é r e n c e d é f i n i p ar :

y it − y it−1 = γy it−1 − y it−2 + η it − η it−1

• N é an m o i n s , le s h yp o t h è s e s d u m o d è le li n é ai r e n e s o n t p as v é r i f i é e sp ui s q u’e n r ai s o n d e (1), la v ar i ab le y it−1 e s t c o r r é lé e av e c η it−1 (m ai s n el’e s t p as av e c η it

• Au n i v e au g lo b al, i l y a c o r r é lat i o n e n t r e p e r t ur b at i o n s e t v ar i ab le se x p li c at i v e s e t e n d o g é n é i t é d e s r é g r e s s e ur s

• Q u e l l e s v a r i a b l e s i n s t r u m e n t a l e s ?

• O n p o ur r ai t r e c o ur i r à d e s v ar i ab le s e x t é r i e ur e s z it v é r i f i an t le s d e uxc o n d i t i o n s d e v ali d i t é d e s v ar i ab le s i n s t r um e n t ale s

1. corrélées avec les variables explicatives y it−1 − y it−2

2. mais non corrélées avec les perturbations

9

• On di s p o s e d’i ns t r u m e nt s p o t e nt i e ls q u i s o nt le s v a r i a b le s dé p e nda nt e sà d’a u t r e s da t e s

• I l e s t é v i de nt à p a r t i r de (1) q u e le s v a r i a b le s y it−1, . , y iT ne p e u v e nt ê t r ede s i ns t r u m e nt s v a li de s p u i s q u ’e lle s s o nt c o r r é lé e s a v e c le sp e r t u r b a t i o ns de l’é q u a t i o n e n p r e m i è r e s di f f é r e nc e s

• P a r c o nt r e , i l e s t c la i r q u e le s v a r i a b le s p a s s é e s y it−2, . , y i1 ne s o nt p a sc o r r é lé e s a v e c le s p e r t u r b a t i o ns

• D e p lu s , o n v é r i f i e à l’a i de de (1) q u e :

Ey it−1 − y it−2 y it−2 ≠ 0

e t :

Ey it−1 − y it−2 y it−2 − y it−3 ≠ 0

10

• Les m é t h o des q u i u t i li sen t c es i n st r u m en t s o n t é t é p r o p o sé es p a rA n der so n et H si a o (1982)

• N é a n m o i n s, p o u r des r a i so n s de p r é c i si o n , A r ella n o (1989)r ec o m m a n de l’u t i li sa t i o n de la p r em i è r e m é t h o de, da n s la q u elle o ninstrumente l es p remiè res d if f é renc es p a r l es v a ria b l es en niv ea u

• P a r ex t en si o n , o n p o u r r a i t u t i li ser d’a u t r es i n st r u m en t s da n s le p a ssé

• T o u t e v a r i a b le y ik do n t le r et a r d est d’a u m o i n s 2 k ≤ t − 2 estp o t en t i ellem en t u n b o n i n st r u m en t

• I l f a u t a lo r s u t i li ser le m o m en t :

Ey iky it − y it −1 = γEy iky it −1 − y it −2

• Le n o m b r e d’i n st r u m en t s dé p en d a lo r s de la p é r i o de c o n si dé r é e et i lf a u t do n c é t en dr e le m o dè le li n é a i r e da n s c et t e di r ec t i o n (c f . sec t i o n 2)

11

1.3 Modèles autorégressifs à erreurscomposées• Considèrons l e m odèl e :

y it = γy it−1 + u i + η it a v e c |γ| < 1

où u i e t η it sont non c orré l é s, de m oy e nne nu l l e , h om osc é da st iq u e s e tindé p e nda nt s e nt re indiv idu s

• O n p e u t é c rire (1) sou s l a f orm e :

y it = γt−1

y i1 + u i

1 − γt−1

1 − γ+ it (2)

où it e st u n b ru it a u t oré g re ssif :

it =∑τ=0

t−2

γτη it−τ = γ it−1 + η it

12

• Le p r o c es s u s es t ai n s i do n n é en f o n c t i o n des v aleu r s i n i t i ales y i1 etd’u n ef f et i n di v i du el u i

• I l f au t do n c p r é c i s er q u elles s o n t les h y p o t h è s es s t o c h as t i q u es p o r t an ts u r c es c o n di t i o n s i n i t i ales

a. Les conditions initiales• H y p o t h è s e la p lu s s i m p le: s u p p o s er q u e les v ar i ab les y i1 p eu v en t ê t r e

as s i m i lé es à des c o n s t an t es f i x es n o n alé at o i r es

• S i l’o n r es t e dan s le c as o ù les v ar i ab les s o n t alé at o i r es , c ec i r ev i en t àf ai r e l’h y p o t h è s e:

Ey i1u i = 0

• M ai s c et t e h y p o t h è s e es t c r i t i q u ab le p u i s q u ’elle s u p p o s e q u e lep r o c es s u s a c o m m en c é à la dat e 1, à p ar t i r d’u n e v aleu r ex o g è n e q u in e dé p en d p as des ef f et s i n di v i du els

13

• Peu d e d o n n é es é co n o m i q ues s a t i s f o n t cet t e h y p o t h è s e

• O n co n s i d è r e d o n c en g é n é r a l q ue l a v a r i a b l e y i1 es t i n d é p en d a m m en td i s t r i b ué e en t r e i n d i v i d us , h o m o s cé d a s t i q ue, et q u’el l e es t co r r é l é ea v ec l es ef f et s i n d i v i d uel s u i :

E yi1

2= σ1

2< +∞ , E y i1u i = α1

• C a s p a r t i c ul i e r : l es p r o ces s us d i t s n o n i n i t i a l i s é s , c’es t à d i r e ceux q uis o n t s up p o s é s s t a t i o n n a i r es et /o u co m m en ç a n t en −∞. D a n s ce ca s , enut i l i s a n t (2) et ∣ γ ∣< 1, o n p eut é cr i r e:

y i1 = u i1

1 − γ+∑

τ=0

∞

γτη i1−τ

• O n en d é d ui t :

E y i1u i =σu

2

1 − γ, E y

i1

2=

σu2

1 − γ2+

ση2

1 − γ2

14

b. Méthodes d’estimation• Dans t o u s le s c as, o n p e u t e st i m e r (2) p ar d e s m é t h o d e s d e m o i nd r e s

c ar r é s o u d e s m é t h o d e s d e m o m e nt e n u t i li sant le s p r i nc i p e sd é v e lo p p é s d ans le c h ap i t r e e t la se c t i o n p r é c é d e nt s

• E n e f f e t , l’i nf o r m at i o n ap p o r t é e p ar le s d o nné e s c o nc e r ne le sc o r r é lat i o ns e nt r e le s v ar i ab le s d é p e nd ant e s y it e t y it

′ q u ’i l f au t m e t t r ee n r e lat i o n av e s le s p ar am è t r e s d u m o d è le γ, . . .

• R e m a r q ue : le s e st i m at e u r s u su e ls (G L S , C V , B) so nt b i ai sé s m ai s leb i ai s e st c alc u lab le p ar la m ê m e m é t h o d e q u e d ans la se c t i o np r é c é d e nt e

• O n p e u t au ssi e st i m e r c e m o d è le p ar la m é t h o d e d u m ax i m u m d ev r ai se m b lanc e . O n f e r a alo r s d e s h y p o t h è se s d e d i st r i b u t i o n su r u i, η it

e t le s v ale u r s i ni t i ale s

15

• Conclusion:

1. si l’on n’a aucune idée sur les conditions initiales et que l’onne veut pas développer de tests sur ces conditions, onutilise des méthodes à variables instrumentales, comme onl’a vu pour le modèle à effets fixes

2. sinon, on adopte une méthode des moments généralisésou du maximum de vraisemblance

2. Méthode des momentsgénéralisés

• O n p r é s e n t e c e t t e m é t h o d e d a n s le c a s g é n é r a l o ù l’o n s u p p o s e q u el’o n d i s p o s e d e L r e s t r i c t i o n s d e m o m e n t d u t y p e :

E hy i,x i,a0 = 0

o ù a0 e s t u n p a r a m è t r e d e d i m e n s i o n K, h u n e f o n c t i o n d e d i m e n s i o n L

16

• Les v a r i a b les y i,x i so n t su p p o sé es i c i i n d é p en d a m m en t d i st r i b u é es

• O n su p p o ser a q u e les f o n c t i o n s h so n t li n é a i r es en les p a r a m è t r es a0

m a i s la m é t h o d e est p lu s g é n é r a le

• P a r ex em p le, le m o d è l e l i n é ai r e g é n é r al se d é f i n i r a p a r les Kr est r i c t i o n s d e m o m en t s :

Ex i

′y i − x iβ = 0

• U n a u t r e ex em p le est c elu i d e la m é t ho d e d e s v ar i ab l e s i n s t r u m e n t al e so ù l’o n su p p o se q u e :

Ez i

′y i − x iβ = 0

2.1 Méthode• O n r ep r en d i c i r a p i d em en t la f o r m u la t i o n d e la m é t h o d e d o n n é e p a r

G o u r i é r o u x et M o n f o r t (1989) et p a r M a t y a s (1999)

• T o u t es les p r eu v es f i g u r en t d a n s c es o u v r a g es

17

• Définition : S oit u ne s u ite de m a tr ic e s Sn s y m étr iq u e s , définie s

p os itiv e s , de dim e ns ion L, L, q u i c onv e r g e v e r s u ne m a tr ic e S0

définie p os itiv e . O n a p p e lle e s t i m at e u r d e s m o m e n t s g é n é r al i s é sa s s oc ié à Sn, u ne s olu tion

aSn du p r ob lè m e :

a

m in ∑i=1

n

hy i, x i, a

′

Sn ∑i=1

n

hy i, x i, a

• S ou s le s h y p oth è s e s q u e nou s a v ons fa ite s da ns le s m odè le sd’éc onom étr ie linéa ir e v u s j u s q u ’à p r és e nt, e t e n p a r tic u lie r s ou sl’h y p oth è s e d’ide ntific a tion de s p a r a m è tr e s , on e n dédu it :

1. Propriété 1 : L’estimateur des moments généralisés associé àS0 existe asymptotiquement et converge en probabilité vers a0

2. Propriété 2 : Il existe des estimateurs des moments généralisésoptimaux. Ils sont obtenus pour une suite Sn qui converge enprobabilité vers S0 = V hy i, x i; a0 −1

18

• Cette d er n i è r e p r o p r i é té s u g g è r e u n e méthode en deu x étap es

1. La première étape consiste en l’estimateur “naïf”, où l’onconsidère Sn = I.

On obtient alors un estimateur â1 qui est convergent.Sous certaines hypothèses, qui sont satisfaites pour tousles modèles que nous avons vu, on peut donc construire unestimateur convergent de la matrice V hy i, x i; a0 enconsidérant la quantité:

Ω̂n =1n ∑

i=1

n

hy i, x i, â1 h ′y i, x i, â1

19

2. Dans une deuxième étape, puisque cet estimateur estconvergent, on peut donc construire un estimateur desmoments généralisés optimal en minimisant le critère :

Cn = ∑i=1

n

hy i,x i,a

′

Ω̂n−1 ∑

i=1

n

hy i,x i,a

• O n p e u t v o u l o i r e n f i n co n st r u i r e d e s t e s t s d e r e s t r i c t i o n ss u r i d e n t i f i an t e s s’i l y a l i e u , c’e st à d i r e si l e n o m b r e L d e m o m e n t s e stsu p é r i e u r au n o m b r e d e p ar am è t r e s K à e st i m e r

• O n l e s f o n d e su r l a p r o p r i é t é su i v an t e :

• P r o p r i é t é 3 : S o u s l e s m ê m e s h yp o t h è se s, o n a :

Cn

n→∞

dˆ χ

2L − K

20

2.2 Exemple: les doubles moindres carrés• On a do p t e la m é t h o de p r é cé de nt e e n de u x é t a p e s

• L e s r e s t r i ct i o ns de m o m e nt q u e l’o n co ns i dè r e s o nt :

Ez i

′y i − x iβ = 0

o ù le s v a r i a b le s z i s o nt e n no m b r e L,

c’e s t à di r e t e lle s q u e

r g Ezi

′z i = L

e t le p a r a m è t r e β e s t de di m e ns i o n K

• L e s co ndi t i o ns d’i de nt i f i ca t i o n d’o r dr e e t de r a ng s e r é s u m e nt p a r :

r g Ezi

′x i ≥ K

21

• On su p p o se au ssi q u ’i l y a h o m o sc é d ast i c i t é d e s r é si d u s :

Vz i

′y i − x iβ = Ez i

′y i − x iβy i − x iβ ′z i

= Ez i

′Ey i − x iβy i − x iβ ′ ∣ z i z i

= σ2Ez i

′z i

• L’e st i m at e u r d e s m o m e nt s g é né r al i sé s o p t i m al s’o b t i e nt al o r sd i r e c t e m e nt e n m i ni m i sant l e c r i t è r e :

1σ2∑i=1

n

y i − x iβ ′z i ∑i=1

n

z i

′

z i

−1

∑i=1

n

z iy i − x iβ

q u i p e u t se r é -é c r i r e so u s f o r m e m at r i c i e l l e :

1σ2

Y − Xβ ′ZZ ′Z−1Z ′Y − Xβ

o u d e f aç o n é q u i v al e nt e :

1σ2

Y − Xβ ′PZY − Xβ

22

• En c o nsi d é r ant le s c o nd i t i o ns d u p r e m i e r o r d r e , o n o b t i e nt l’e st i m at e u rd e s d o u b le s m o i nd r e s c ar r é s :

β̂2MC = X ′PZX−1X ′PZY

• D e p lu s, le c r i t è r e d e s m o m e nt s g é né r ali sé s:

Cn =1

σ2Y − Xβ̂2MC ′PZY − Xβ̂2MC

e st le c r i t è r e d e S ar g an d e s t e st s d e r e st r i c t i o n su r i d e nt i f i ant e s

2.3 Application aux modèles dynamiques• L e m o d é le d y nam i q u e à e f f e t s f i x e s q u e l’o n a v u p e u t s’é c r i r e

c o m m e :

Δy i t = γΔy i t −1 + Δη i t

o ù l’o p é r at e u r Δ e st l’o p é r at e u r d e p r e m i è r e d i f f é r e nc e :

Δy i t = y i t − y i t −1

23

• On a v u é g ale m e nt q u e c e m o d è le v é r i f i e t o u t e s le s c o nd i t i o ns d em o m e nt s d u t y p e :

∀k < t − 1, EΔy it. y ik = γEΔy it−1. y ik

• S o i e nt le s r e s t r i c t i o ns d e m o m e nt s p o u r t = 3, . , T c o ns t r u i t e s à p ar t i rd e s f o nc t i o ns :

h tk y i, γ = Δy it − γΔy it−1y ik

d o nt l’e s p é r anc e e s t nu lle

• L e no m b r e d e r e s t r i c t i o ns e s t d o nc é g al à :

1 +. . . +T − 2 =T − 1T − 2

2

c e q u i m o nt r e q u e le p ar am è t r e γ n’e s t i d e nt i f i ab le q u e s i T > 2

24

• On o b t i e nt de p l u s l a m a t r i c e de v a r i a nc e s -c o v a r i a nc e s de h e n no t a ntq u e :

Eh tkh t′k′ = Ey ikΔy it − γΔy it−1Δy it′ − γΔy it′−1y ik′

= Ey ikEΔη itΔη it′ ∣ y ik, y ik′ y ik′

e t e n u t i l i s a nt l e s h y p o t h è s e s d’i ndé p e nda nc e e nt r e η it e t η it′ à de sda t e s di f f é r e nt e s , e t e nt r e η it e t u i:

EΔη itΔη it′ ∣ y ik, y ik′ =

= 2ση2 s i t = t ′

= −ση2 s i t = t ′ + 1 o u t = t ′ − 1

= 0 s i no n

25

2.4 Application aux modèlesapparemment statiques• Revenons a u x m od è les st a t i q u es d u t y p e :

y it = x itβ + u i + η it

• F a i sons l’h y p ot h è se q u e les va r i a b les x it sont c or r é lé es a vec l’ef f eti nd i vi d u el et sont p r é d é t er m i né es ou f a i b lem ent ex og è nes, et non p lu sf or t em ent ex og è nes :

E x itu i ≠ 0

E x itη is ≠ 0 si s < t

E x itη is = 0 si s ≥ t

• C’est le c a s si les c h oc s c ont em p or a i ns su r la va r i a b le d é p end a nt ea f f ec t ent a u ssi les va r i a b les ex p li c a t i ves d a ns le f u t u r m a i s ne sont p a sc or r é lé s a vec leu r p a ssé

26

• L’e s t i m at e u r de la c o v ar i an c e e s t n o n c o n v e r g e n t p o u r la m ê m e r ai s o nq u e dan s le s m o dè le s dyn am i q u e s : i l y a corrélation e ntre rég re s s e u rse t e rre u rs

• L’i dé e d’u n e p r o c é du r e c o n v e r g e n t e e s t c o m m e p r é c é de m m e n t dec o n s i dé r e r le m o dè le e n p r e m i è r e s di f f é r e n c e s :

Δy it = Δx it . β + Δη it

• N é an m o i n s , i l y a c o r r é lat i o n e n t r e r é g r e s s e u r e t e r r e u r s i la c o r r é lat i o ne n t r e x it e t η it−1 e s t n o n n u lle , c o m m e l’o n e n a f ai t l’h yp o t h è s e

• O n c o n s i dè r e do n c q u e le s i n s t r u m e n t s v ali de s s o n t x it−1, . . . x i1 e ty it−2, . . . y i1

• O n ap p li q u e alo r s la m éth od e d e s m om e nts g énéralis és

• O n t e s t e r a de la m ê m e f aç o n le s r e s t r i c t i o n s s u r i de n t i f i an t e s

27

BibliographieAnderson, T.W., and C.,Hsiao, 1982, “Formulation and Estimationof Dynamic Models using Panel Data”, Journal of Econometrics,18:47-82.

Arellano, M., 1989, “A Note on the Anderson-Hsiao Estimator forPanel Data”, Economic Letters, 31: 337-341.

Arellano, M., et S., Bond, 1991, “Some Tests of Specification forPanel Data”, Review of Economic Studies, 58:277-97.

Gouriéroux, C. et A.,Monfort., 1989, Statistique des ModèlesEconométriques, Economica: Paris.

Matyas, L., 1999, Generalized Method of Moments Estimation,Cambridge UP: Cambridge

28