CHAPITRE 6. GRAPHOSTATIQUE - 6.1 - - Roger · PDF file2017-08-16 · questions de la...

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  • CHAPITRE 6. GRAPHOSTATIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 6.1 -6.1. Principe. Notions de statique graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 6.1 -

    6.1.1. Objet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 6.1 -6.1.2. Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 6.1 -6.1.3. Rappels des conditions dquilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 6.1 -6.1.4. Rappels des principes de rduction des systmes de forces . . . . . . . . . . . . . . . . - 6.2 -

    6.2. Rsolution des problmes plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 6.6 -6.2.1. Forces concourantes en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 6.6 -

    A) Premier cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 6.6 -B) Second cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 6.6 -C) Application importante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 6.7 -

    6.2.2. Forces parallles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 6.9 -6.2.3. Forces coplanaires quelconques : droite de Culmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 6.10 -6.2.4. Forces coplanaires quelconques : polygone funiculaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 6.12 -

    A) Rsultante et axe central dun systme de forces coplanaires . . . . . . . . . . - 6.12 -B) Conditions dquilibre en graphostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 6.14 -

    6.3. Position du centre de masse de surfaces planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 6.19 -6.4. Notions sur les systmes trianguls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 6.22 -

    6.4.1. Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 6.22 -6.4.2. Mthode de calcul des systmes trianguls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 6.23 -

    A) Equilibre dune barre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 6.23 -B) Equilibre dun noeud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 6.24 -

    6.4.3. Mthodes des noeuds de Crmona (treillis simples) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 6.24 -6.5. Introduction la graphostatique dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 6.27 -

    6.5.1. Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 6.27 -6.5.2. Equilibre du point : systme de trois barres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 6.27 -

    Version du 16 aot 2017 (18h47)

  • CHAPITRE 6. GRAPHOSTATIQUE

    6.1. Principe. Notions de statique graphique

    6.1.1. Objet

    La graphostatique ou statique graphique est lensemble des mthodes graphiques appliques auxquestions de la statique : elle donne des rsultats en gnral plus rapidement que la mthode analytique,mais leur prcision dpend videmment du soin apport la ralisation des pures.On lapplique surtout la recherche des conditions dquilibre, des centres de masse, des moments ...lorsque toutes les forces sont coplanaires. Si les forces ne sont pas coplanaires, il faut procder enconsidrant lquilibre dans deux plans perpendiculaires.

    6.1.2. Principe

    Ltude se fera en gnral partir de deux dessins : une pure de situation gomtrique donnant la position des lignes daction des forces, les

    unes par rapport aux autres. Ce dessin seffectue une chelle des longueurs : .1cm a m

    Sur cette pure, les forces figurent (pas ncessairement lchelle), uniquement en vue denindiquer le sens;

    une pure dite polygone des forces o celles-ci sont reprsentes par des vecteurs libres, une chelle des forces, par exemple : .1cm b N

    Cest sur cette pure que se fait la construction des rsultantes de forces etc.

    La sparation de ces deux pures facilite la clart de ltude.

    Il est indispensable de choisir correctement les chelles de faon ce que les rsultats soientclairs, facilement interprtables et prcis. Une pure trop petite enlve toute prcision la mthode.Les chelles doivent toujours tre indiques sur les dessins. Sans cette indication, les dessins sont sanssignification.

    6.1.3. Rappels des conditions dquilibre

    Un problme ne pourra tre rsolu graphiquement que si et seulement si il peut ltreanalytiquement.

    Ainsi, il faudra, pour chaque problme, vrifier que le nombre dinconnues quon cherche dterminer, est bien en accord avec les quations de la statique (qui traduisent, rappelons-le, les conditions

    vectorielles et ). F 0

    MO 0

    Le tableau ci-dessous rsume les divers cas possibles.

    J-P. Bauche - R. Itterbeek Mcanique - Graphostatique Page - 6.1 -

  • Conditions dquilibre Nombredinconnues

    dterminables F 0

    MO 0

    Forcescoplanaires(dans Oxy)

    Concourantes f

    f

    i x

    i y

    0

    0- 2

    Parallles ( Oy) f i y 0 m fOz i 0 2

    Quelconquesf

    f

    i x

    i y

    0

    0 m fOz i 0 3

    Forcesdans lespace(Oxyz)

    Concourantes

    f

    f

    f

    i x

    i y

    i z

    0

    0

    0

    - 3

    Parallles ( Oz) f i z 0

    m f

    m f

    Ox i

    Oy i

    0

    03

    Quelconques

    f

    f

    f

    i x

    i y

    i z

    0

    0

    0

    m f

    m f

    m f

    Ox i

    Oy i

    Oz i

    0

    0

    0

    6

    Nous allons, dans les paragraphes qui suivent, parcourir ces diffrents cas.

    6.1.4. Rappels des principes de rduction des systmes de forces

    A) On ne modifie pas leffet dune force en la faisant glisser le long de sa ligne daction (fig. 6.1.)

    B) Deux forces et dont les lignes daction. sont concourantes en A peuvent tre remplaces par leurf1

    f 2

    rsultante (diagonale du paralllogramme des forces) dont la ligne daction passe galement par A (fig.6.2.).

    fig. 6.1. - Force glissante sur sa ligne daction.

    J-P. Bauche - R. Itterbeek Mcanique - Graphostatique Page - 6.2 -

  • C) Une force peut tre dcompose suivant deux forces et de directions imposes a1 et a2, f1

    f11

    f12

    condition que , et concourent en un mme point (fig. 6.3.).f1

    f11

    f12

    D) On ne change rien un systme de forces en y ajoutant un systme de deux forces rciproques et r

    r

    (deux forces opposes, sur la mme ligne daction, fig. 6.4.).

    E) Deux forces parallles et peuvent tre remplaces par leur rsultante respectant la relationf1

    f 2

    F

    tablie en 3.2.3.; diverses constructions graphiques sont possibles, qui vrifient toutes la relationprcite.

    fig. 6.2. - Compositions de 2 forces concourantes.

    fig. 6.3. - Dcomposition dune force en 2 directions connues.

    fig. 6.4. - Ajout de forces rciproques.

    J-P. Bauche - R. Itterbeek Mcanique - Graphostatique Page - 6.3 -

  • 1re mthode (fig. 6.5.)

    Pour trouver le point dapplication de , onF

    trace :

    BC f

    1

    AD f

    2

    Les triangles et sont semblables,AXD XBCdonc :

    AX

    EC AB

    AD

    ED

    f

    f f

    2

    1 2

    (avec connu) et donc :AB

    AX ABf

    f f

    2

    1 2

    2ime mthode (fig. 6.6.)

    F f f

    f r f r

    f f

    1 2

    1 2

    3 4

    3ime mthode (fig. 6.7.)

    F f f 1 2

    fig. 6.5. - Rsultante de 2 forces parallles.

    fig. 6.6. - Rsultante de 2 forces parallles..

    fig. 6.7. - Rsultante de 2 forces parallles.

    J-P. Bauche - R. Itterbeek Mcanique - Graphostatique Page - 6.4 -

  • Les mmes constructions peuvent tre utilises pour deux forces parallles de sens contraires.

    Exemple par la 1re mthode (fig. 6.8.) :

    BC f

    1

    AD f

    2

    F) Une force peut tre dcompose en deux forces et , de lignes daction a1 et a2 imposes,f1

    f11

    f12

    parallles la ligne daction de (fig. 6.9.).f

    fig. 6.8. - Rsultante de 2 forces parallles de sens contraires.

    fig. 6.9. - Dcomposition dune force en 2 directionsparallles.

    J-P. Bauche - R. Itterbeek Mcanique - Graphostatique Page - 6.5 -

  • 6.2. Rsolution des problmes plans

    6.2.1. Forces concourantes en un point

    La seule condition dquilibre, , se traduit en graphostatique par un polygone des forces F 0

    ferm.

    A) Premier cas

    Soit un systme de n forces concourantes en P.f

    Dterminer graphiquement la force qui quilibre le point P.r

    Il suffit, partir dun point Ao quelconque du plan, de tracer le polygone des n forces connues, lchelle ; chaque force est reporte paralllement sa ligne daction. dans lpure de situation.1cm b N

    La force recherche est reprsente lchelle b par le vecteur qui ferme le polygone des forces.r A An 0

    Deux inconnues ont ainsi t dtermines : la direction et la grandeur de la rsultante .r

    B) Second cas

    Soit un systme de n forces concourantes en P. On demande de dterminer graphiquementf i

    les forces et , de directions c et d connues, qui quilibrent le point P.f c

    f d

    Comme dans le premier cas, on construit partir dun point quelconque Ao le polygone desforces connues, lchelle . Par le point de dpart Ao, on mne une parallle c, et par le point1cm b N

    dextrmit An, une parallle d. Ces deux droites se coupent en