CHAPITRE 6 2012-13

Finance de March ULB Professeur Ariane Szafarz

6.1

CHAPITRE 6:

LES ACTIFS DERIVES

Un ACTIF DERIVE est un titre dont la valeur dpend

d'un autre actif appel "support" ou "primitif" ou "sous-

jacent".

Exemples de sous-jacents: actions, indices boursiers, taux de change.

CONTRAT A TERME = engagement de raliser une

opration financire future des conditions fixes.

OPTION = droit de raliser une opration financire

future des conditions fixes.

SWAP = change de flux financiers futurs.

L'valuation des actifs drivs se fait sur base du

principe d'absence d'arbitrage.

Les drivs permettent de raliser des oprations de

spculation, de couverture et d'arbitrage.

Remarque: Dans ce chapitre, on utilisera principalement

l'actualisation et la capitalisation en temps continu.


6.2

LES CONTRATS A TERME

Il s'agit de contrats d'achat (position longue) ou de vente

(position courte) une date future (chance ou maturit)

d'un actif donn (sous-jacent) un prix fix (prix de

livraison ou delivery price).

Le prix de livraison est choisi de manire ce que la

valeur initiale du contrat soit nulle pour les 2 parties.

A la conclusion d'un contrat terme, il n'y a pas de

paiement.

Ensuite, selon l'volution du prix du sous-jacent, la

valeur des positions longue et courte varie (la somme

des deux faisant toujours 0).

Si le prix du sous-jacent valeur de la position longue terme valeur de la position courte terme

Le prix de livraison varie en fonction de la maturit du

contrat.

Exemple: Cours de largent terme New York le 29/1/13 (source : lEcho)

maturit (USD/ounce)

Fvrier 13 30,86

Avril 13 30,92

Mai 13 30,93


6.3

PROFIT A L'ECHEANCE

Soit T l'chance du contrat terme, K le prix de livraison

(en T) et TS le prix (inconnu en t) au comptant du sous-

jacent en T.

Pour le dtenteur de la position longue :

K S

S K T

T

Profit en T

Pour le dtenteur d'une position courte:

K S

T

T

K S

Profit en T


6.4

PRIX A TERME

Considrons un contrat terme cr en 0 pour lchance

T. Le prix de livraison, L = F0,T, est aussi appel prix

terme en 0.

Le prix terme est fix sous lhypothse dabsence

dopportunit darbitrage.

A chaque date t < T, le prix terme en t pour la mme

chance, t ,TF F , est fix de la mme manire.

Il permet alors dvaluer les positions longue et courte

du contrat terme conclu en 0 (la somme tant nulle).

Valeur de la position longue positive si : t ,TF > L

Valeur de la position courte positive si : L > t ,TF

Exemple :

Si L= 95 et t ,TF = 100 (ce sont des de la date T): la

valeur de la position longue (courte) du contrat conclu en

0 est positive (ngative).


6.5

COMMENT CALCULER UN PRIX A TERME ?

Hypothse : absence d'arbitrage

Notations :

prix au comptant du sous-jacent en t : tS S .

prix terme en t pour chance T : t ,TF F

1er cas: La dtention du sous-jacent ne produit aucun

revenu/cot entre t et T.

Rsultat :

r T tF S e

Remarque: F avec S, r et T t . Dmonstration

a) Si r T t

F S e

: un arbitrage est possible, il comporte une

vente terme, un achat au comptant et un emprunt.

En t : emprunter le montant S (taux r)

+S

acheter le sous-jacent au comptant

- S

prendre position courte terme (prix F)

PAS DE MISE DE FONDS: 0


6.6

En T : Raliser la vente

terme

F

Rembourser l'emprunt r T t

S e

BENEFICE CERTAIN:

r T t

F S e

> 0

b) Si

r T t

F S e

: un arbitrage est possible, il comporte un

achat terme, une vente au comptant ( dcouvert) et

un placement.

En t : vendre le sous-jacent dcouvert

+S

placer sans risque le montant de la vente

- S

prendre position longue terme (prix F)


En T : Raliser l'achat

terme

-F

Rsultat du placement r T t

S e

BENEFICE CERTAIN: r T t

S e F > 0


6.8

2me cas: revenus/cots connus entre t et T.

Si I = VA (en t) des revenus/cots associs la dtention du sous-jacent entre t et T , on obtient :

r T tF S I e

Dmonstration: Si r T tF S e , l'arbitrage consiste

acheter terme, vendre dcouvert au comptant et placer

le montant. La vente dcouvert implique de payer le

dividende (par exemple) au moment, not t', de son

attribution aux actionnaires.

En :t vendre le sous-jacent dcouvert +S

placer sans risque : I VA D entre t et t', S I entre t et T

- S

acheter terme (prix F)


En ' :t

rsultat du placement '

r t tD I e

payer le dividende -D


En :T raliser l'achat terme - F

rsultat du placement ( ) r T t

S I e

BBEENNEEFFIICCEE CCEERRTTAAIINN ::

0r T t

S VA D e F


6.9

3me cas: taux de change

Les revenus associs la dtention de devises sont les

intrts (ici en capitalisation continue). Si F et S sont

exprims en monnaie domestique, r est le taux domestique

et q le taux tranger, on obtient :

r q T tF S e

Remarque : si r > q : F > S.

Dmonstration : Si

r q T t

F S e

, l'arbitrage consiste emprunter en monnaie domestique, acheter au comptant et placer les devises et prendre une position courte terme.

En t : emprunter S (taux r) +S

acheter devise au comptant et placer (taux q)

- S

vendre terme devise (avec intrts)


En T : Raliser la vente terme + q T t

F e

Rembourser l'emprunt

r T tS e

BENEFICE CERTAIN : q T t r T t

F e S e

Puisque: ( )

0r q T t q T t r T t

F S e F e S e

.


6.10

Exemple (donnes au 29/1/13,

http://en.easy-forex.com/Int/interestratetable.aspx )

Cours du dollar australien au comptant :

S = 0,7723 EUR/AUD.

Taux d'intrt 3 mois en EUR : r = 0,09%

Taux d'intrt 3 mois en AUD : q = 2,97%.

Cours terme de 3 mois :

7683.077230 41

)0297.0009.0(

x

xe.F EUR/AUD

Remarque:

Dans le journal, on trouvera dans la rubrique "Devises

terme" les valeurs de la base (F S) (dport si -,

report si +). Dans l'exemple, on a un dport de 0,004

(=0,7723 - 0,7683=0,004).


6.11

FORWARD ET FUTURES

FORWARD = contrat terme de gr gr (over the

counter : "OTC"). FUTURES = contrat terme sur marchs organiss.

FORWARD FUTURES

Contrats sur mesure Contrats standardiss

Contrats privs entre deux

parties

Chambre de compensation

(clearing house)

Difficilement ngociables Facilement ngociables

(sur le march financier)

Rglement l'chance Dpt de garantie +

appels de marge (Marking

to Market)


6.12

COUVERTURE PAR CONTRAT A TERME

COUVERTURE = limination ou rduction d'un risque

auquel on est expos. Exemple :

Situation de dpart :

Une entreprise vendra 1.000 barils (un baril = 159 litres)

de ptrole dans 3 mois au comptant. A l'heure actuelle le

prix au comptant est de 96 $ par baril (pour un baril de

qualit West Texas Intermediate au 29/1/2013) et le prix

terme de 3 mois (avril 2013) est de 97 $ le baril. (Source :

LEcho)

L'entreprise subit le risque de voir le prix du ptrole

chuter. Pour se couvrir, elle peut prendre une position

courte terme sur le march financier et donc vendre

terme de 3 mois 1.000 barils au prix de livraison de 97 $

par baril.

Situation en T (aprs 3 mois) :

- Si l'entreprise ne s'tait pas couverte

Si ST = 96 $ le baril, l'entreprise enregistrera un

chiffre d'affaire de 96.000$. Si ST = 98 $ le baril, l'entreprise enregistrera un

chiffre d'affaire de 98.000$.


6.13

- Si l'entreprise s'tait couverte :

Si ST = 96 $ le baril, l'entreprise enregistrera :

- Une vente (relle) 96 $ le baril : +96.000$

- Un "produit" financier (= livrer 1.000 barils 97$

alors que le cours au comptant est de 96 $):

+ 1.000 $

rsultat : 96.000 + 1.000 = 97.000 $.

Si ST = 98 $ le baril, l'entreprise enregistrera :

- Une vente (relle) 98 $ le baril : +98.000$

- Une "charge" financire (= livrer 1.000 barils

97$ alors que le cours au comptant est de 98$): -

1.000 $.

rsultat: 98.000 - 1.000 = 97.000 $.

Remarque :

En pratique, la livraison physique n'a pas toujours lieu

et la diffrence est paye.

En Rsum:

Couverture ST Vente Future Total

NON 96$ 96.000$ 96.000$

98$ 98.000$ 98.000$

OUI 96$ 96.000$ +1.000$ 97.000$

98$ 98.000$ -1.000$ 97.000$

Conclusion : la couverture rend l'entreprise insensible

aux fluctuations du cours du ptrole.


6.14

En pratique : les couvertures sont souvent imparfaites

pour diverses raisons :

l'actif couvrir n'est pas exactement le sous-jacent du

contrat terme ;

la couverture ne porte pas exactement sur le mme

dlai que le risque couvrir ;

les quantits sont standardises.

risque rduit mais pas limin.


6.15

LES OPTIONS

PUT

CALL droit

vendre de

acheter'd une quantit dtermine

d'un actif (sous-jacent) un prix fix (= prix d'exercice ou

"strike price") ou avant une date fixe (= chance ou

maturit).

Option europenne = droit d'exercer une date fixe.

Option amricaine = droit d'exercer jusqu' une date fixe.

Acheter une option = acqurir un droit

rmunration du vendeur par une prime (premium)

= prix de l'option (pay la conclusion du contrat).

non symtrie acheteur / vendeur.

Similitude entre prime d'une option et prime d'assurance.

cf. "assurance de portefeuille" par achat de PUT.


6.16

PROFIT A L'ECHEANCE

Soit T l'chance de l'option europenne de prix d'exercice

K et TS le prix au comptant du sous-jacent en T.

Pour l'acheteur de call :

Profit l'chance T

K

S T

perte limite la prime


6.17

Pour le vendeur de call :

Profit l'chance T

K

S T

Pour l'acheteur de put :

Profit l'chance T

S

K

T

Perte limite la prime.


6.18

Pour le vendeur de put :

Profit l'chance T

S K

T


6.19

EXEMPLES DE MONTAGES D'OPTIONS

STRADDLE = PUT + CALL de mme sous-jacent, mme

chance et mme prix d'exercice.

pour l'acheteur de straddle:

Profit l'chance T

S

PUT

K

CALL

STRADDLE

T

pour le vendeur de straddle:

Profit l'chance T

S K T

Variantes: STRIP = 1 CALL + 2 PUTS

STRAP = 1 PUT + 2 CALLS


6.20

STRANGLE = PUT (prix d'exercice 1K ) + CALL (prix

d'exercice 2K ) de mme sous-jacent, mme chance

avec 2 1K K .

pour l'acheteur de strangle :

Profit l'chance T

PUT CALL STRANGLE

K K 1 2

BULL SPREAD = achat d'un CALL de prix d'exercice 1K + vente d'un CALL de mme sous-jacent, de mme

chance et de prix d'exercice 2 1K K .

Profit l'chance T

1K 2K S T


6.21

BEAR SPREAD = achat d'un CALL de prix d'exercice 2K + vente d'un CALL de mme sous-jacent, de mme

chance et de prix dexercice 1 2K K .

Profit

K

K

1

2

S T

BUTTERFLY SPREAD = achat d'un CALL 1K et d'un CALL 3K et vente de 2 CALLS 2K o 1 3K K et

1 32

2

K KK

(mme sous-jacent, mme chance).

Profit l'chance T

1K 3K

TS

2K


6.22

EVALUATION D'UNE OPTION

A lchance (option europenne), le dtenteur dune

option lexerce ou pas, selon son intrt financier :

Max {valeur si exercice, valeur si pas exercice}

valeur de l'option l'chance T en fonction du prix

du sous-jacent en T.

L'valuation (ou pricing) consiste dterminer la valeur

de l'option en t < T en fonction du prix du sous-jacent en t

(et dautres caractristiques).

Ce calcul sert par exemple un metteur doptions pour

fixer la prime ou un arbitragiste pour comparer avec les

prix disponibles sur le march.

L'valuation des options se fait sous lhypothse

d'absence d'arbitrage.

De plus, des hypothses sur l'volution du prix du

sous-jacent sont indispensables.

Pour les options "simples" ("plain vanilla"), on utilise le

modle de Black et Scholes (en temps continu).

Pour les cas plus compliqus ("options exotiques"),

souvent il n'existe pas de formule exacte et on utilise des

mthodes numriques.


6.23

Quelles sont les caractristiques qui influencent la valeur d'une option (en t) ?

le prix au comptant du sous-jacent (sous-jacent fix par contrat) : S (= St)

le prix d'exercice (fix par contrat) : K

la volatilit du sous-jacent (suppose constante):

le dlai maturit (maturit T fixe par contrat) : T t

le taux sans risque (en t pour lchance T): r

de la prsence de dividendes (entre t et T).

Pour les options europennes sur un sous-jacent ne

versant pas de dividendes entre t et T, on a :

Variable Prix du CALL:

tC

Prix du PUT:

tP

S

K

T t

r

. r T tVA K K e


6.24

LA VALEUR-TEMPS

Considrons un CALL europen de prix d'exercice K sur

un sous-jacent ne distribuant pas de dividendes.

A l'chance:

0 si (on n'exerce pas)

si (on exerce)

T

T

T T

S KC

S K S K

max 0, TS K

Avant l'chance, en t T :

tC max 0, valeur-temps

valeur intrinsque

tS K

C

SK

v aleur-temps v aleur

intrinsque

t

t


6.25

La valeur-temps n'est pas constante en fonction de tS :

Elle est maximale lorsque tS K .

3 cas sont possibles:

Si :tS K la valeur intrinsque est nulle, le call est dit

"hors des cours" ("out of the money").

Si :tS K la valeur-temps est maximale, le call est "

parit" ("at the money").

Si :tS K la valeur intrinsque ( tS K ) est positive et

le call est "dans les cours" ("in the money").

La valeur-temps (pour S fix) dcrot mesure qu'on se

rapproche de l'chance (o elle est nulle).


6.26

LA RELATION PUT-CALL

Considrons un call (prix C) et un put (prix P) europens

de mme sous-jacent (sans dividendes), mme

chance et mme prix d'exercice K. Sous l'hypothse

d'absence d'opportunit d'arbitrage, on a :

P S C VA K .

Cette formule peut servir valuer un put europen

lorsqu'on connat la valeur du call de mmes

caractristiques.

On peut construire des arbitrages (voir ci-dessous)

lorsqu'il existe des call et put dont les prix ne vrifient pas

cette relation.

Dmonstration de la formule :

Si P C VA K S (le put est survalu)

arbitrage:

actionl' vendre

CALL le acheter

PUT le vendre

Si P C VA K S (le put est sous-valu) arbitrage inverse


6.27

Exemple:

S = 100, taux sans risque : 4% (en capitalisation

continue).

Supposons que le CALL europen 3 mois de prix

d'exercice K = 110 est valu C = 4,5.

Selon la relation put-call, le put 3 mois de prix

d'exercice K = 110 devrait valoir :

P C VA K S

-0,04 0,254,5 110 100e 13,41


6.28

Si le PUT est disponible 10 on peut raliser

l'arbitrage suivant:

En 0 : acheter un put : -10

vendre un call : + 4,5

acheter une action : - 100

emprunter le solde : 105,5

pas de mise de fonds 0

En T = 3 mois :

rembourser l'emprunt : 0,04 0,25105,5 . e = - 105,56

si 110 TS K :

on n'exerce pas le put et

le call est exerc par la contrepartie :

vendre l'action : +110

si 110 TS K :

on exerce le put et

le call n'est pas exerc par la contrepartie

vendre l'action : +110

bnfice certain : 110 - 105,56 = 3,44


6.29

EVALUATION D'UN CALL EUROPEEN SUR UN

SOUS-JACENT SANS DIVIDENDES

Hypothses communes aux modles prsents :

1. Il n'y a pas d'opportunit d'arbitrage.

2. Le taux sans risque r est identique pour toutes

transactions et pour toutes dures.

3. Le sous-jacent ne distribue pas de dividendes pendant

la vie de l'option. Il est indfiniment divisible et les

positions dcouvert sont admises.

De plus, chaque modle impose une hypothse

spcifique sur le processus stochastique suivi par le

prix du sous-jacent. Nous envisagerons 3 possibilits :

en temps discret : le modle binomial une priode ;

en temps discret : le modle binomial multipriode ;

en temps continu: le mouvement brownien

gomtrique la base de la formule de Black et

Scholes.


6.30

1. LE MODELE BINOMIAL A UNE PERIODE

Hypothses : Le modle comporte une seule priode. Le prix de l'actif risqu volue selon le schma binomial

suivant : en 0t , il vaut S ; en 1t , il a deux valeurs

possibles :

Haut

Bas

S

1 h S

1 b S

o b < r < h

Problme : On veut valuer le call europen de prix

d'exercice K o : 1 1b S K h S .


6.31

Principe: composer un portefeuille (appel "call

synthtique") de mme valeur que le call en 1t (dans

chacun des deux tats). Par absence d'arbitrage, ce

portefeuille et le call ont mme valeur en 0t .

Le prix du call volue selon le schma suivant :

Haut

Bas

C

0

1 h S K

Le call synthtique est compos de 1 placs sans

risque et 2 actions (valeur : 2S ) avec :

1 2

1 2

1 1 1

1 1 0

r h S h S K

r b S

Solution :

1

2

1 1

1

1

b h S K

r h b

h S K

h b S


6.32

Par absence d'arbitrage: 1 2C S

1

1

r bC S h K

r h b

.

N.B. : La probabilit de hausse du cours de l'actif risqu

et l'attitude des investisseurs vis--vis du risque

n'apparaissent pas dans cette formule.

Interprtation de la formule :

Supposons que le cours de l'actif risqu en 1t soit donn par :

11 avec proba

1 avec proba 1

h S pS

b S p

En 1t , la valeur du call sur cet actif est donc :

1

1 avec proba

0 avec proba 1

h S K pC

p

1 1 1 0 1E C p h S K p p h S K

1 11

pVA E C h S K

r


6.33

Comparons C et 1VA E C :

Prix du valeur actuelle call en 0 du prix futur anticip du call.

On a: 1C VA E C lorsque: r b

ph b

on dfinit: *r b

ph b

= probabilit de hausse "risque-neutre"

qui permet d'valuer le call dans un "monde neutre au

risque" ("comme si" il y avait neutralit vis--vis du

risque).

* 1pC VA E C

Exemple:

Une action vaut 100 aujourd'hui. Dans 3 mois, elle vaudra

90 ou 120 : 0,2

0,1

h

b

Taux sans risque trimestriel: 2,5% par trimestre.

Que vaut un call europen 3 mois sur cette action de

prix d'exercice K = 110 ?


6.34

Dans 3 mois, ce call vaudra :

90actionprix si 0

120actionprix si 10

Probabilit risque-neutre :

0,025 0,1

* 0,4170,2 0,1

r bp

h b

Le call vaut donc :

1

* 10 1 * 01

C p pr

= 025,1

17,4 = 065,4

Remarque: On peut aussi dterminer la composition

1 2, du call synthtique :

1 2

1 2

.1,025 .120 10

.1,025 .90 0

1 29,27 et 2 0,33

Acheter un CALL revient donc emprunter 29,27 et

acheter 0,33 action.

Vrification : 29,27 0,3333.100 4,065C .


6.35

2. LE MODELE BINOMIAL MULTIPERIODE DE

COX, ROSS ET RUBINSTEIN (1979)

Mmes hypothses que ci-dessus, mais n priodes.

S

2

(1 + h) S

(1 + b)

(1 + h)

(1 + h) S

S

2

(1 + b)

(1 + b)

S

S

Valeur du call d'chance n et de prix d'exercice K :

*p nC VA E C

0

1* 1 * max 1 1 ,0

1

ni n i i n i

ni

np p S h b K

ir

o *r b

ph b

probabilit risque-neutre.


6.36

3. LE MODELE DE BLACK ET SCHOLES (1973)

EN TEMPS CONTINU

Hypothses : Le march se compos de trois titres : un actif risqu

(sans dividendes), un call europen sur cet actif et un

actif sans risque (taux r).

Les titres sont valus en continu dans 0,T

Le prix de l'actif risqu suit un mouvement brownien

gomtrique :

dSdt dz

S

taux de rentabilit instantan.

taux instantan attendu (ou "drift")

0

1lim t h th

E S Sh

.

2 variance instantane (ou "volatilit")

2

0

1lim t h th

E S Sh

.

dz accroissement d'un processus de Wiener.


6.37

Processus de Wiener 0t t

z

:

C'est l'analogue en temps continu de la marche

alatoire en temps discret :

0

1

0

t t t

z

z z

o t est un bruit blanc gaussien de variance 1.

1) 1

~ 0,t

t i

i

z N t

, t < 0.

2) .stt

sii

01

s),-tN(0,~zzst

On peut montrer (par le lemme d'It) que :

2

2(log ) ( ) 2

d S dt dz

et que les prix ont une distribution lognormale :

2

2

0log ~ log ( ) ,2

S N S t t

, pour t > 0.

Rfrences: G. Demange et J.-C. Rochet (2005), Mthodes mathmatiques de la finance (3

e ed.), Economica, Paris.

S.N. Neftci (2000), An introduction to the mathematics of financial derivatives (2

d ed.), Academic Press, San Diego.


6.38

Black et Scholes ont montr qu'un call europen

d'chance T et de prix d'exercice K vaut en t :

1 2. .r T t

C S N d K e N d

o

r est le taux sans risque pour tous horizons en

capitalisation continue.

2

1

1ln

2

Sr T t

Kd

T t

2 1d d T t

N est la fonction de rpartition de la distribution normale centre rduite.

Remarques pratiques :

Si on connat le TAEG r', il faut d'abord dterminer r tel

que : 1 're r

La volatilit n'est pas directement observable. On

utilise soit la volatilit historique, soit la volatilit

implicite.


6.39

Exemple

L'action A est cte 800 et ne distribue pas de dividende

avant 3 mois. On a estim sa volatilit 0,20 . Sachant

que le taux sans risque en capitalisation continue est de

6%, quel est le prix d'un CALL europen 3 mois de prix

d'exercice 720 sur cette action ?

On connat donc : S = 800, 2 = 0,20, K = 720, r = 0,06,

T = 0,25 (en annes).

Par la formule : 1 2r T t

C S N d Ke N d

o:

2

1

1ln

2

Sr T

Kd

T

800 0,20ln 0,06 0,25

720 2 0,65

0,20 0,25

et: 2 1 0,65 0,20 0,25 0,4264d d T

Selon la table de la normale centre rduite :

1 0,65 0,742N d N et 2 0,4264 0,6651N d N

0,06.0,25 800 0,742 720 0,6651 121,86C e


6.40

EXTENSIONS

Options amricaines :

CALL : jamais intressant de l'exercer avant l'chance (car exercice prmatur = perte de la valeur temps)

A EC C

PUT: plus compliqu. On a : A EP P

Prise en compte des dividendes : dans la formule, on

remplace S par le cours ajust :

Dividendes futursajS S VA Taux d'intrt stochastique :

indispensable pour l'valuation des options sur taux d'intrt.

il existe de trs nombreux modles d'volution des

taux d'intrt: Vasicek (1977), Cox-Ingersoll-Ross

(1985), etc.

difficults supplmentaires dues au fait qu'il faut

prendre en compte l'volution de toute la structure par

terme des taux.

Nombreuses mthodes numriques d'valuation.

CHAPITRE 6 2012-13

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