CHAPITRE 5

Ecritures fractionnaires

Objectifs: - Simplifier des fractions.

- Utiliser la propriété suivante et sa réciproque: 

« si alors a x d = b x c » (b ≠ 0 et d ≠ 0).dc

ba

- Savoir additionner, soustraire, multiplier et diviser des fractions.

Extrait de la pièce Marius de Marcel Pagnol (acte 11).

CÉSAR (à Marius) - Eh bien, pour la deuxième fois, je vais te l'expliquer, le picon-citron-curaçao. Approche-toi ! Tu mets d'abord un tiers de curaçao. Fais attention : un tout petit tiers. Bon. Maintenant, un tiers de citron. Un peu plus gros. Bon. Ensuite, un BON tiers de Picon. Regarde la couleur. Regarde comme c'est joli. Et à la fin, un GRAND tiers d'eau. Voilà.

MARIUS - Et ça fait quatre tiers.

CÉSAR - Exactement. J'espère que cette fois, tu as compris.

MARIUS - Dans un verre, il n'y a que trois tiers.

CÉSAR - Mais, imbécile, ça dépend de la grosseur des tiers.

MARIUS - Eh non, ça ne dépend pas. Même dans un arrosoir, on ne peut mettre que trois tiers.

CÉSAR - Alors, explique-moi comment j'en ai mis quatre dans ce verre.

MARIUS - Ça, c'est de l'Arithmétique.

I. Valeurs approchées d’un quotient

On a = 5 ÷ 8 = 0,625 et = 6 ÷ (-2) = -3 85

26

Les divisions se terminent.

Ici , le quotient est un nombre décimal. b

a

On peut donner sa valeur exacte.

Mais = 15 ÷ 7 = 2,142857143… 715

La division ne se termine pas.

Pour donner une valeur approchée d’un nombre, on peut faire une troncature ou un arrondi.

Mais = 15 ÷ 7 = 2,142857143… 715

La division ne se termine pas.

Pour donner une valeur approchée d’un nombre, on peut faire une troncature ou un arrondi. Troncature de Arrondi de

à l’unité

au dixième

au centième

au millième

715

715

On « coupe » l’écrituredu nombre à l’endroit

demandé.

2

2,1

2,14

2,142

Il s’agit du nombre le plus proche. Ex : si on fait un arrondi au centième il

faut regarder le chiffre suivant, c'est-à-dire, celui des millièmes…

2 ou 3 2

2,1 ou 2,2 2,1

2,14 ou 2,15 2,14

2,142 ou 2,143 2,143

II. Quotients égaux 1) Fractions égales

Autrement dit :

Le quotient de deux nombres en écriture fractionnaire ne change pas si l’on multiplie ( ou si l’on divise) par un même nombre non nul le numérateur et le dénominateur.

avec k ≠ 0 ba

kbka

Remarque : Cette règle sert à simplifier des fractions ou à les « réduire » au même dénominateur.

Exemples :

4218

2,48,1

73

3515

10545

2) Propriété du produit en croix

Pour tous nombres a, b, c et d (b ≠ 0 et d ≠ 0)

Si alors a x d = b x c dc

ba

Réciproquement : Si a x d = b x c alors dc

ba

Exemple : Trouver le nombre p tel que 43

7p

On a 4 x p = 7 x 3

4 x p = 21

donc 421

p ou encore p = 5,25

III. Addition et soustraction 1) Fractions de même dénominateur

Pour additionner ou soustraire deux fractions de même dénominateur:

1- On additionne ou on soustrait les numérateurs2- On garde le dénominateur commun

Autrement dit : d

badb

da

et d

badb

da

Exemple : 11

93119

113

1112

Calculatrice : pour effectuer du calcul fractionnaire avec la machine, on utilise la touche

cd

2) Fractions de dénominateurs différentsOn se ramène au cas précédent en « réduisant » d’abord les fractions au même dénominateur.

Exemples :

97

32

Le premier multiple commun dans les tables de 3 et de 9 est 9 donc le dénominateur commun de 3 et 9 est 9.

97

3332

97

96

9

76

91

83

5

Le premier multiple commun dans les tables de 1 et de 8 est 8 donc le dénominateur commun de 1 et 8 est 8.

83

8185

83

840

8

340

837

41

52

Le premier multiple commun dans les tables de 5 et de 4 est 20 donc le dénominateur commun de 5 et 4 est 20.

5451

4542

205

208

20

58

203

IV. Multiplication Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

Autrement dit :

(avec b ≠ 0 et d ≠ 0) dbca

dc

ba

Exemple :

349

354

335494

335494

357774

On décompose les numérateurs et dénominateurs afin de simplifier le calcul final.

1528

Attention 7

157

5375

3

et non pas 53

5375

3

V. Nombre inverse et division1) Le nombre inverse

Lorsque le produit de deux nombres est égal à 1, on dit qu’ils sont inverses l’un de l’autre.

L’inverse de x est x

1(avec x ≠ 0)

L’inverse de est ba

ab (avec a ≠ 0 et b ≠ 0)

Exemples : 123

32

32

deinverse'lest23

donc

141

4

4deinverse'lest41

donc

2) La division

Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.

Autrement dit : c

dba

dc

ba

(avec b ≠ 0, c ≠ 0 et d ≠ 0)

Exemples :

85

43

43

58

Diviser par -5/8 revient à multiplier

par son inverse c’est-à-dire 8/-5

5483

54

42356

365

65

31

Diviser par 3 revient à multiplier

par son inverse c’est-à-dire 1/3

3615

185

VI. Exemples de calcul prioritaireEffectuer les calculs suivants en détaillant les étapes :

83

5425

72

A

83

840

425

4212

A

837

427

A

876377

A

4837

A

Le dénominateur commun de 7 et 42 est 42

Le dénominateur commun de 1 et 8 est 8

On simplifie par 7

Les calculs au numérateur

et au dénominateur sont prioritaires

Le dénominateur commun de 5 et 4 est 20

Le dénominateur commun de 1 et 2 est 2

Diviser par 11/2 revient à multiplier par son inverse c’est-à-dire 2/11

On simplifie par 2